chuyentoan.files.wordpress.com · Nguyên hàm của hàm số f (x ) = cosmx .sinnx. Trong đó...

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

Th.S Nguyễn Dương ĐT 093.252.8949

I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số

thường gặp để tính

Ví dụ 1 : Tính I = =

2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng

I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x .

*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số

: một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu thức ,hoặc tử thức là hằng số :

= q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.Hàm số

y = nếu có thể được thì biến đổi y = = + với bậc p(x) bé hơn bậc r(x) họăc p(x) là hằng

số.Ta có : = + = +

Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = , I = Bậc r(x) ,

bậc p(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) . p(x) là hằng số.

*2. Tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.

+ Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b). I1 = = = ln + C .

Ví dụ2 : I = = = ln(5x+3) + C

+ Dạng II: với a .( đặt U = ax+b ) . I2 = = = + C

Ví dụ3 : I = = = + C .

+ Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số

I3 = .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax2+bx+c .Ta chỉ

cần xét với a = 1 .Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích

phân.Có I3 = = Với b1 = , c1 =

Luyện Thi ĐH & Bồi Dưỡng KT Phổ Thông 45 Hồng Lĩnh NHa TRang http://chuyentoan.tk

http://www.iceni.com/unlock-pro.htm


Xét I3 =

a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao

cho : = + .

Do đó : I3 = = A + = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C

Ví dụ 4: I = = - = ln + C

Vídụ 5: I = = dx =

= - ( - ) = ln - .ln + C

b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)

2 .(x0 là nghiệm kép của mẫu thức )

Hai trường hợp :

* Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I3 = = = - + C

(Dạng I2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ)

*Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0) .

Biến đổi: = = + . Do đó ta có:

I3 = = + (q - ) = + ( - q). + C

Vídụ 6: I = = .dx = - 8

= - 8 = 3.ln + + C

c -Nếu x2+bx+c = 0 vô nghiệm .

Ta biến đổi: = = +




Th.S NGuyễn Dương ĐT 093.252.8949

Do đó: = + (q - )

= + C + (q - )

Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a =

Nguyên hàm I = . Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan2t)dt và u

2+a

2 = a

2(1 + tan

2t) Ta có:

I = = = = + C

Vídụ 7: I= = - 8 = - 8

+ Dạng IV : I4 = .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số

a-Nếu g(x) = x3+ax

2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt , x

3+ax

2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

= + + Do đó :

I4 = = + + = A.ln +B.ln + C.ln +D

b-Nếu g(x) = x3+ax

2+bx+c = (x- x1)(x- x0)

2 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn)

Thì bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = +

Do đó : I4 = = + = + .dx

= A + +

= A.ln + .ln + (Bx0-C). + D

c-Nếu g(x) = x3+ax

2+bx+c = (x- x1)(x

2+px + q) , trong đó x

2+px+q = 0 vô nghiệm





Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

= +

Ta có : = + = + +

Do đó : I4 = = A + . + .

= A.ln + .ln + (C - ) + D

Nguyên hàm : J = = (Đã nói rõ ở Dạng III:c-Nếu mẫu thức vô nghiệm)

d-Nếu g(x) = x3+ax

2+bx+c = (x – x0)

3 .Bằng phương pháp hệ số bất định tìm các số A. B,

C sao cho : = + + . Do đó ta có :

= + + = - + C.ln + D

-Nếu h(x) là hằng số A thì : = = A = + C

Trƣờng hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi =

Do đó: I4 = = + .Với p1= p- ; q1= q -

Nguyên hàm dạng : j = đã nêu rõ ở trên

Bài tập: Tính nguyên hàm

1. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I =

2. I = ; I = ; I = ; I = ; I =

3. I = ; I = ; I = ; I = ; ; I =





4. I = ; I = ; I = I = ;

5. I = ; I = ; I = I =

6. a/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3)

b/ I = 2

1

3 xx

dx; Chú ý:

c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4)

d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x2+2x+3)

e/ I = = + +

g/ I= Chú ý: = (x-2)(x2+4x+4)

7. a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4)

b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4)

c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3)

d/ I = Chú ý : = (x+1)(x2-x+1)

8. I =

Hướng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + +

9. I = = .dx ( , đặt x = tant )

10.I = (Hd:I = +3 - 2 )

11. I = I = I = I =





12.I = I = I = = - 3 +

13. I = (Hd : I= 3 - + 5 )

14. I = (Hd : I= 3 + 2 - 2 )

15. I = (Hd : I= 3 + 5 - 7 )

16. I = (Hd : I = 2 + 5 - 3 )

17. (Hd : I = -4 + - )

II.Nguyên hàm các hàm số Lƣợng giác 1.Nguyên hàm hàm hợp

1/ I = = = sin(ax+b) +C

2/ I = = = - cos(ax+b) +C

3/ I = = = tan(ax+b) + C

4/ I = = = cot(ax+b) + C

2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cosm

x.sinnx .Trong đó m,n là các số nguyên dƣơng

1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t .Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ

(n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được)

Ví dụ 1 : I = .

- Đặt sinx = t Ta có I = = = - + C

- Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cosmx.sin

nx về nguyên hàm

hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2:

I = = I = =





= = - cos3x - cosx + C

Ví dụ 2 : I =

- Đặt sinx = t Ta có I = = I = = =

Ví dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t)

-Đặt cosx = t.Ta viết I = = I = = I =

= = t2 - ln +C

Ví dụ 4 : I = = = - = - ln + C (Đã đặt cosx = t)

2/Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn)

*Nếu f(x) = cosm

x.sinnx Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng thành tích đƣa

về nguyên hàm hàm hợp.

Ví dụ 5: I = = I = = .2cos2xdx

= dx = dx

= -

= x + sin2x - sin4x - sin6x - sin2x + C

= x + sin2x - sin4x - sin6x + C

*Nếu f(x) = , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = . Đặt cotx = t (Với m và n đều là sỗ chẵn )

Ví dụ 6 : I =

-Ta có : I = = : I = = : I = -

= - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t)

Ví dụ 7 : I = (Vì mẫu thức là sin2x,chính là mẫu thức của cot

2x nên ta đặt cotx = t)

-Ta có : I = = I = = - .d(cotx) = - . cot3x + C





(Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi)

Ví dụ 8 : I = (Vì mẫu thức là cos2x,chính là mẫu thức của tan

2x nên ta đặt tanx = t)

-Ta có : I = = I = =

= - = +

= tanx + sin2x - x + C

3.Nguyên hàm của hàm số f(x) = Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx

*Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t

*Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t

*Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t

-Có những bài dùng phương pháp liên kết.

1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t

Ví dụ 9 : I = = = =

= - = … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ)

2/ Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t

Ví dụ 10 : I = = -2 = -2

= -2 =…

3/Nếu thay cosx bởi (-cosx)và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t

Ví dụ11: I = (Đặt tanx = t thì dx = , sinx = cosx = )

-Ta có I = =

= = (Dạng .Với u = 1 + tanx)

4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan .Ta có dt = (1+ tan2

).dx

Nên dx = , và có sinx = , cosx =





Ví dụ 12 : Tính nguyên hàm I = .

Đặt t = tan .Ta có : dt = (1+ tan2

).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx = .

Do đó :

I = = I = = = - + C

5/Tính nguyên hàm : I =

-Tách tử thức thành một tổng: có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức .Ta viết :

I = = . dx

= + = + .dx

= ln + .dx .

Tính : J = .dx . xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên .Nếu không thỏa mãn

dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan

Ví dụ 13 : I = J = k =

6/ Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx :

-Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp

Ví dụ 14 : Tính I = = .sin8x + .sin2x) +C

Ví dụ 15 : Tính I =

=

= =

= - .cos9x + cos7x - cos3x + cosx + C





******************************************************************************

III.Nguyên hàm của hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa căn thức)

Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc hàm số lượng

giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây

1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức : - Thông thường: Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t

Ví dụ 1 : I = .dx

- Đặt = t Ta có x + 2 = t2 nên dx = 2t.dt và = (t

2 – 1).t

Do đó : I = .dx = I = = 2

Cách 2 : Đặt (x+2) = t thì dx = dt , (x + 1) = (t – 1)

Do đó : I = – = = - + C

Ví dụ 2 : I =

-Đặt = t , x + 1 = t2 nên dx = 2t.dt và = .

-Do đó : I = 2. = 2. = …(Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ)

Ví dụ 3 : I = . Đặt = t

2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n …mà biểu

thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n … Ví dụ 4 :

I = . Đặt = t , ta có x + 1 = t6 nên dx = 6 t

5dt, = t

3, = t

2

Do đó : I = = 6 (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ)

3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và

với a,b,c R , a 0:

-Đổi biến số đƣa về nguyên hàm của hàm số Lƣợng giác (Đã nói trên)

-Ta có = . Gọi (x + ) = u và = =





Hai trường hợp :

1/Nếu 0 : Thì =

2/Nếu < 0 : = . (a > 0 , vì < 0 nên a > 0 căn thức mới có nghĩa )

Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau :

*1 Hàm số chứa u và , đặt u = .tant

*2 Hàm số chứa u và , đặt u =

*3 Hàm số chứa u và , đặt u = .sint

Đưa về nguyên hàm các hàm số Lượng giác đã nói ở trên.

Một số trƣờng hợp riêng :

1/ Tính I1 = .Đặt t = x + + (không quan tâm tới dấu dương ,âm )

-Ta sẽ có : I = =

Ví dụ 5 : I = . Đặt t = x + 1 + Ta có I = =

Cách 2 : Tính : I = .

Đặt x +1 = 2.tant .Ta có : dx = 2.(1 + tan2t).dt và = .Do đó

I = = (1+ tan2t).dx =

2/Tính I2 = =

= A + (B - ) = A +(B - )I1

(Trong đó: I1 = .Đặt t = x + + nói ở trên )

Ví dụ 6 : I = = .dx = - =

= - = .ln -

(Tính Xem ví dụ 5 ngay phía trên)





3/Tính I3 = . Đặt (x – d ) = đưa về dạng I1 nói trên .

Ví dụ 7 : Tính : I =

Đặt x-2 = thì dx = - dz , (x -2) = . =

Do đó : I = = = - (Giả sử z > 0,Nếu z <0 thì?)

(Tính Ví dụ 5 ở phía trên)

4/ Tính I4 = Trong đó Pn(x) là đa thức biến số x , có bậc n.

Cách giải : Đưa về dạng I = Qn-1(x). + .I1

Giả sử : I4 = = Qn-1(x). + . (*)

Với Qn-1(x) là đa thức biến số x ,bậc (n-1) và là số thực bất kỳ .

Lấy vi phân hai vế của (*) và đồng nhất các hệ số của những đa thức do vi phân có được, ta sẽ tìm được các hệ

số của đa thức Qn-1(x) và hệ số . Cuối cùng chỉ cần phải tính I1 =

(đặt t = t = x + + như đã nói rõ ở trên )

Ví dụ 8 :

Tính tích phân I = (Ở đây P2(x) = x2-1 Vì n = 2, Q1(x) = ax + b )

Lời giải:

Gỉa sử : = (ax+b). + . .

- Ta phải tìm các hệ số: a, b, - Lấy đạo hàm hai vế ……. (Đã nói ở trên)

BÀI TẬP :

1/ I = I = I = I =

2/ I = I = .dx I = I = .dx với a > 0





3/ I = .dx I = I = I =

4/ .dx , .dx = .dx ;

5/ ; ; ;

6/ , .dx , .dx , ,

7/*(Tp từng phần) ; ; ; ; .dx

8/* (Tp từng phần) ; ; .sinxcos3x.dx ; .cos

2x.dx

9/ .dx ; .cotx.dx ; ;

10/ ; (Với a,b dương) ; Chứng minh + = 1(Với tana>0)

11/Cho y=f(x) xác định ,liên tục trên , có f(0)>0 và >0 .Chứng minh phương trình f(x) = sinx

Có ít nhất một nghiệm trên đoạn .

12/ .dx ; .dx ; dx ; ;

13/ .cos22x.dx ; .cos

22x.dx ; dx;

14/ ; ; Tìm nguyên hàm của f(x) = ; .cos4x.dx

15/ -sinxcosx-co x).dx ; ; .dx ;

16/Chứng minh rằng : < dx < 2 ;Tính: ,





BÀI TẬP VỀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ

1/Chứng minh rằng : Nếu y = f(x) là hàm số chẵn , a > 0 thì = 2

Bài giải :

Xét I = . Đặt t = -x thì : dx = -dt .Do f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x) tức là f(t) = f(x)

Vậy f(x)dx = - f(t)dt. Khi x = - a thì t = a , Khi x = 0 thì t = 0

Suy ra : = = = .

Vì thế = + = + = 2 (đpcm)

2/Chứng minh rằng : Nếu y = f(x) là hàm số lẻ , a > 0 thì: = 0

Bài giải :

Xét I1 = . Đặt t = -x thì : dx = -dt .Do f(x) là hàm lẻ nên f(-x) = -f(x) tức là f(x) = -f(t)

Vậy f(x)dx = f(t)dt. Khi x = - a thì t = a , Khi x = 0 thì t = 0

Suy ra : = = - = - .

Vì thế = + = - + = 0 (đpcm)

Áp dụng : Tính I1 = (Hàm chẵn). Tính I2 = (Hàm lẻ)

3/Chứng minh rằng : Nếu y = g(x) là hàm số chẵn ,a > 0 thì : .dx = dx

Bài giải :

Xét I1 = .dx . Đặt t = -x thì : dx = -dt .Vì g(x) là hàm chẵn nên g(-x) = g(x) Tức là g(t)=g(x)

Vậy g(x)dx = - g(t)dt .Ta có : = = . Khi x = -a , t = a .Khi x = 0 , t = 0

Suy ra : I1 = .dx = .dt = = .dx

Do đó .dx = .dx + .dx = .dx + .dx = .dx

= (đpcm)

Áp dụng : Cho g(x) = sinx.sin2x.cos5x .Tìm họ nguyên hàm của y = g(x) .Tính I = .



chuyentoan.files.wordpress.com · Nguyên hàm của hàm số f (x ) = cosmx .sinnx. Trong đó...

Documents

Transcript of chuyentoan.files.wordpress.com · Nguyên hàm của hàm số f (x ) = cosmx .sinnx. Trong đó...