1

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

NGÂN HÀNG ĐỀ THI

Môn: TOÁN KỸ THUẬT

Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc

Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006

DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

THỜI GIAN : 120 phút

MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4)

A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM

Câu 1: Biểu diễn hàm biến phức 3( ) 2f z z iz dưới dạng ( , ) ( , )u x y iv x y , trong đó ( , )u x y ,

( , )v x y là phần thực và phần ảo của hàm ( )f z .

Câu 2: Biểu diễn hàm biến phức 2

( ) zf z e dưới dạng ( , ) ( , )u x y iv x y , trong đó ( , )u x y ,

( , )v x y là phần thực và phần ảo của hàm ( )f z .

Câu 3: Cho hàm biến phức 2( ) cosf z z , tính '( )f i .

Câu 4: Cho hàm biến phức 2( ) zf z e , tính '3

if

.

Câu 5: Tìm hàm biến phức ( )f z thoả mãn '( ) 6 1f z z và (1 ) 9f i i .

Câu 6: Tìm biến đổi Laplace ( ) sin 3X s t t L .

Câu 7: Tìm biến đổi Laplace 2 2( ) cos 2 sin 3tX s e t t L .

Câu 8: Tìm biến đổi Laplace 4 2( ) sin 3tX s e t L .

Câu 9: Tìm biến đổi Laplace 3 2( ) tX s t e L .

Câu 10: Tìm biến đổi Laplace ( ) (4cos3 5sin 2 )ch2X s t t t L .

Câu 11: Tính

7 / 4 5 / 4

3

.

Câu 12: Tính

(3) 3 / 2

9 / 2

.

Câu 13: Sử dụng hàm Gamma tính tích phân 8 2

0

xx e dx

.

Câu 14: Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: 3( ) ( )nx n e u n .

Câu 15: Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: 3( 1)( ) ( )nx n e u n .

2

Câu 16: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: ( ) 5 ( )nx n u n .

Câu 17: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: 1( ) 2 ( )nx n u n .

B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM

Câu 1: Tìm biến đổi Laplace 2 3( ) sin(2 ) cos(3 )t t tX s t e t e t e L

Câu 2: Tìm biến đổi Laplace 2( ) ( 1) ( 1)X s t t L

Câu 3: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: 2 2

0

sin 2

cotg

xI dx

x

.

Câu 4: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: 2

0

cos 2

tg

xI dx

x

.

Câu 5: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: 2

23

0

cotg cos 2I x x dx

.

Câu 6: Tìm hàm phức khả vi ( )f z (viết công thức theo z x iy ), biết rằng

( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y có phần thực

( , ) cos sinxu x y e x y y y và (0)f i .

Câu 7: Tìm chuỗi Fourier phức dạng int( ) nn

x t c e

của hàm số 1 0

( )1 0

tx t

t

nÕu

nÕu

Câu 8: Tìm chuỗi Fourier phức dạng int( ) nn

x t c e

của hàm số ( ) ,x t t t .

Câu 9: Tìm biến đổi Fourier của các hàm số ( ) ( )cos3x t t t .

Câu 10: Tìm chuỗi Fourier phức dạng int( ) nn

x t c e

của hàm số ( ) , 0 2x t t t .

Câu 11: Tìm chuỗi Fourier dạng cực của hàm số ( ) ,x t t t .

Câu 12: Tìm biến đổi Fourier của 1 5

( )0 5

tx t

t

nÕu

nÕu

Câu 13: Tìm nghiệm của phương trình 9tt xxu u thỏa mãn điều kiện đầu 2

2

( ,0) cos 4

( ,0) .xt

u x x

u x e

Câu 14: Tìm nghiệm của phương trình 4tt xxu u thỏa mãn điều kiện đầu 2

( ,0) sin 3

( ,0) .xt

u x x

u x e

Câu 15: Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi 1

( 2)

!

n

n

z

n

.

Câu 16: Tìm hàm phức khả vi ( )f z (viết công thức theo z ), biết rằng

( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y có phần thực

3

2 2 2( , ) 3 cos 2 3yu x y x y e x y , với z x iy .

Câu 17: Tìm hàm phức giải tích ( )f z (viết công thức theo z ), biết rằng

( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y có phần ảo

2 2

( , ) 3 cos 6 2 3yxv x y e x xy x

x y

, với z x iy .

C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM

Câu 1: Tính tích phân phức 2( 2)C

I z z dz , trong C là nửa trên của đường tròn 1z theo

chiều từ phải sang trái.

Câu 2: Bằng cách đưa về tích phân phức hãy tính tích phân 2

0

4sin

3sin 5

xdx

x

Câu 3: Tính tích phân phức 2 2

sin( )

(4 1)(3 )C

i zI dz

z z i

� , trong hai trường hợp sau:

a) C là đường tròn 5 12z .

b) C là đường tròn 1z .

Câu 4: Giải bài toán Dirichlet đối với phương trình 0u phía trong hình tròn tâm O bán kính

bằng 2, biết rằng trên đường tròn S tâm O bán kính bằng 2 thỏa mãn: 222 xyxuS

.

Câu 5: Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt 2

22

u ua

t x

, , 0x t thỏa mãn

điều kiện đầu 1

( ,0)0

x bu x

x b

nÕu

nÕu .

Câu 6: a) Chứng tỏ rằng 3 21( , ) ( ) ( )

6z z x y x y G x H y là nghiệm tổng quát của phương

trình 2

2zx y

x y

, trong đó ,G H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2.

b) Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện 2( ,0) , (1, ) cosz x x z y y .

Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 2 2

22 2

4 x yu ue

x y

, biết rằng phương trình có

một nghiệm riêng dạng 2x yu kxe , k là một hằng số.

Câu 8: Tìm nghiệm của phương trình vi phân '"( ) ( ) ty t y t e , thoả mãn điều kiện đầu:

(0) '(0) "(0) 0y y y .

Câu 9: Tìm nghiệm của phương trình vi phân 2"( ) 4 '( ) 5 ( ) 25( )y t y t y t t t ,

thoả mãn điều kiện đầu: 0)0(')0( yy .

4

Câu 10: Tìm biến đổi Z ngược của hàm giải tích 4

1( )

(3 1)(2 1)X z

z z z

trong miền

2

1z .

Câu 11: Tìm biến đổi Fourier ngược 31( )f

x t e F .

Câu 12: Tìm biến đổi Fourier của hàm số 2

1( )

4x t

t

.

Câu 13: Tính tích phân phức 2( 1)(3 1)

i z

C

edz

z z

� , trong hai trường hợp sau:

a) C là đường tròn 1 2z .

b) C là đường tròn 3 2z .

Câu 14: Tìm biến đổi Laplace ngược 12

2 4( )

( 1)( 3)( 4 5)

sx t

s s s s

L

Câu 15: Tìm biến đổi Laplace ngược 13

1( )

( 1) 1x t

s

L .

Câu 16: Tìm biến đổi Laplace ngược 12 2

6 3 4 8 6( )

2 3 9 16 16 9

s sx t

s s s

L

Câu 17: Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn 2( ; )N . Đặt ( ) , 0ty t Xe t . Hãy

tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của quá trình ( )y t , 0t .

D. LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM

Câu 1: Cho hệ phương trình vi phân

' '

' '

' '

x y y z

y z x z

x z x y

thoả mãn điều kiện đầu

(0) 2, (0) 3, (0) 1x y z . Tìm nghiệm ( ), ( ), ( )x t y t z t .

Câu 2: Cho mạch điện như hình vẽ: Biết điện trở 1 10R , 2 30R

tụ điện C có điện dung 0,01F ,

cuộn dây L có độ tự cảm 1H và

suất điện động 8sin 20E t (Volt).

Đóng mạch tại thời điểm t=0.

Hãy tìm cường độ của dòng điện

qua tụ điện C tại thời điểm t >0.

Câu 3: a) Chứng tỏ rằng biến đổi Laplace của 10( ) cos10 2sin10 cos10 3sin10tx t t t e t t

1R

E

i

2i

1i

C L 2R

5

là 2 2

500( ) ( )

( 100)( 20 200)

sX s x t

s s s

L

b) Cho mạch điện như hình vẽ: Biết điện trở 1 2 10R R , tụ điện C có điện

dung 0,01F , cuộn dây L có độ tự cảm 1H

và suất điện động 50sin10E t (Volt).

Đóng mạch tại thời điểm t=0.

Hãy tìm cường độ của dòng điện

qua tụ điện C tại thời điểm t >0.

Câu 4: Cho mạch điện như hình vẽ: Biết điện trở 1 2 10R R ,

30R , cuộn dây L có độ tự

cảm 3,5H, suất điện động

203sin 2E t (Volt).

Đóng mạch tại thời điểm t=0.

Hãy tìm cường độ 1 2( ), ( )i t i t

của dòng điện tại thời điểm t >0.

Câu 5: a) Chứng minh rằng ( , ) (2 5 ) (2 5 )u x t F x t G x t là một nghiệm tổng quát của phương

trình 2 2

2 24 25

u u

t x

.

b) b) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện (0, ) ( , ) 0

( ,0) sin 2 ; ( ,0) 0t

u t u t

u x x u x

Câu 6: Cho là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên đoạn 2,0 , R là biến ngẫu nhiên

liên tục có hàm mật độ

0,0

0,)(2

2

22

r

rer

rf

r

R

nÕu

nÕu .

Giả sử và R độc lập.

a) Chứng minh rằng ( ) cos(5 )x t R t là một quá trình dừng.

b) Tìm hàm trung bình. Tìm hàm tự tương quan.

c) Quá trình )(tx có phải là quá trình ergodic không?

Câu 7: a) Cho )(tx là quá trình dừng với hàm tự tương quan 52( )

txK t e

, t .

Tìm mật độ phổ.

E

i

2i

1i

C L

1R

2R

1R

E

R 2R L

6

b) Cho quá trình dừng ergodic )(tx có mật độ phổ 2

1(5 ), 5

( )

0 ,x

f ff

P nÕu

nÕu ng­îc l¹i

.

Tìm hàm tự tương quan.

Câu 8: a) Cho dãy tín hiệu rời rạc ( ) ( ), 0nx n a u n a .

i) Tìm biến đổi Z của )(nx .

ii) Tìm biến đổi Fourier của )(nx .

iii) Tìm biến đổi Fourier của )()( nnxny .

b) Tìm biến đổi Fourier ngược của �8 1/ 4

( )0

i fe fX f

nÕu ng­îc l¹i .

Câu 9: Cho 1Z và 2Z là hai biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố xác suất

2

111 11 ZPZP . Đặt 1 2( ) cos5 sin 5x t Z t Z t .

a) Chứng minh )(tx là quá trình dừng.

b) Tìm hàm trung bình. Tìm hàm tự tương quan.

c) Quá trình )(tx có phải là quá trình ergodic không?

Câu 10: a) Cho quá trình dừng nnx )( có hàm tự tương quan 1 4

( )9 5

x

n

K n

. Tìm mật

độ phổ.

b) Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu 2( ) 3 ( )nx n n u n .

Câu 11: Cho quá trình ngẫu nhiên 0( ) sin( )X t A t trong đó A và 0 là hằng số và là

một biến ngẫu nhiên có phân bố đều trong khoảng ( , ) . Xét 2( ) ( )Y t X t .

a) Tìm hàm tự tương quan của ( )Y t .

b) Tìm hàm tương quan chéo ( , ) E ( ) ( )XYR t t X t Y t của ( )X t và ( )Y t .

c) ( )X t và ( )Y t có phải là quá trình dừng không.

Câu 12: Cho hai quá trình ngẫu nhiên ( )X t và ( )Y t dừng, độc lập, có trung bình bằng 0 và hàm

tự tương quan ( )XXR e

, ( ) cos(2 )YYR .

a) Tìm hàm tự tương quan của tổng 1( ) ( ) ( )W t X t Y t .

b) Tìm hàm tự tương quan của hiệu 2 ( ) ( ) ( )W t X t Y t .

c) Tìm hàm tương quan chéo 1 2 1 2( , ) E ( ) ( )W WR t t W t W t của 1( )W t và 2 ( )W t .

Câu 13: Cho chuỗi Markov 0n n

X

với không gian trạng thái 1,2,3E và ma trận xác suất

chuyển

0,3 0,1 0,6

0,2 0,3 0,5

0,7 0,1 0,2

P

.

7

Giả sử chuỗi có phân bố đầu: 0 1 0, 2P X ; 0 2 0,5P X ; 0 3 0,3P X .

a. Tính ma trận xác suất chuyển 2 bước )2(P .

b. Tính 3 12 3P X X ; 3 02 2P X X .

c. Tìm phân bố của hệ tại thời điểm 2n .

Câu 14: Cho chuỗi Markov 0n n

X

với không gian trạng thái 1,2,3E và ma trận xác suất

chuyển

0,40 0,50 0,10

0,10 0,70 0, 20

0,30 0,50 0, 20

P

.

Giả sử chuỗi có phân bố đầu: 0 1 0,3P X ; 0 2 0,1P X ; 0 3 0,6P X .

a. Tính ma trận xác suất chuyển qua hai bước )2(P .

b. Tìm xác suất của các biến cố 2 01, 3P X X , 3 12, 1P X X .

c. Tìm phân bố của hệ tại thời điểm 2n .

Câu 15: Xét một kênh gồm nhiều trạm thu phát chuyển tiếp các tín hiệu 0, 1. Giả sử mỗi trạm

nhận sai tín hiệu với xác suất không đổi bằng ;0 1 . Gọi (0)X là tín hiệu ở trạm phát đầu

tiên và nX là tín hiệu nhận được ở trạm thứ n. Cho biết ; 0,1, 2,...nX n lập thành một chuỗi

Markov. Hai tín hiệu 0, 1 đồng khả năng xuất hiện ở trạm phát đầu tiên.

a. Tính xác suất 0 1 20, 0, 0P X X X .

b. Tính 0 1 2 0 1 20, 0, 0 0, 1, 0P X X X P X X X .

c. Tính 3 11, 0P X X .

d. Tìm phân phối giới hạn.