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Ênfase nos Primeiros Postulados (continuação II)
Mecânica Quântica
Evolução Temporal dos Estados
Na descrição não-relativística clássica de uma partícula sujeita ou não a forças, busca-se determinar como sua posição se modifica com o tempo.
Sua evolução temporal se ancora na segunda lei de Newton.
A responsabilidade de descrever modificações no tempo, para a partícula, recai sobre as grandezas físicas fundamentais posição e momento linear (e sobre outros observáveis) que são sempre compatíveis.
Está aí embutida a concepção de trajetória de uma partícula.
Em Física Quântica, se buscarmos uma analogia com a situação clássica, construiremos equações de movimento para os operadores associados às grandezas físicas de interesse (descrição de Heisenberg). Porém, como muitos destes observáveis não são compatíveis (inclusive posição e momento na mesma direção), embora esta abordagem seja útil para destacar certos aspectos quânticos e eventuais analogias com sistemas clássicos, nem sempre é prático trabalhar com operadores que se modificam ao longo do tempo.
Em particular, um dado operador em certo instante de tempo pode não ser compatível com o dito operador em outro instante de tempo.
Na descrição de Schrödinger, impõe-se ao estado o papel de informar sobre as modificações sofridas pelo sistema físico ao longo do tempo.
É importante destacar que ambas descrevem a mesma Física.
Vamos nos ater aqui à descrição de Schrödinger, apresentando como postulado a equação conhecida na literatura como equação de Schrödinger dependente do tempo.
É comum dizer-se que a MQ não é determinista e que só trabalha com probabilidades, argumento que muitos utilizam para invalidar a possibilidade de existência de uma lei causal para a evolução temporal dos sistemas quânticos.
A equação de Schrödinger dependente do tempo nos informa que, se conhecemos o estado do sistema quântico em um instante inicial, podemos determinar o estado do sistema em outro instante, desde que o sistema não seja submetido a observações no intervalo de evolução.
Contudo efetuada uma observação (medida) em um dado instante de tempo não será possível determinar que estado anterior no tempo caracterizava o sistema.
Para chegar à equação, Schrödinger se inspirou na equação da onda livre, em paralelo com a equação de conservação de energia de uma partícula clássica livre não relativística .
Schrödinger contudo impôs que a equação fosse válida em situações mais gerais; portanto, tal equação constitui-se em um postulado não demonstrável.
Sexto Postulado da MQ
EmMecânica Quântica, na descrição de Schrödinger, a
evolução temporal de um estado é regida pela
equação
onde é o operador hamiltoniano.
t
ttHtdt
di ˆ
tH
Já não sonho... hoje faço!.
http://x-journals.com/wp-content/uploads/2009/03/quantum-
mechanics1.jpg
Em geral, podemos dizer que o operador hamiltoniano engloba todas as interações que o sistema sofre, além de incluir o operador relacionado à energia cinética.
Mas o que é o operador hamiltoniano?
Para que o operador hamiltoniano esteja
associado à energia total do sistema, é
necessário que H seja independente do
tempo.
Schrödinger analisou inicialmente o caso mais simples não-relativístico de um objeto quântico elementar livre (ou seja, não sujeito a qualquer interação, apenas dotado de energia cinética), de massa m, em que
sendo o operador
momento linear.
mPH 2ˆˆ 2^
P
Para este sistema, Schrödinger obteve simplesmente, na representação de coordenadas espaciais,
22
2
mH
Lembrando que, em uma situação um pouco mais geral, mas ainda simples, o sistema pode estar sofrendo a ação de um potencial , teremos para a energia de uma partícula clássica de massa m e, portanto, podemos escrever para o hamiltoniano do objeto quântico, em que é o operador que representa o potencial que atua sobre o sistema.
)(rV
)rV(2mpE 2
)ˆ(ˆ2ˆˆ 2 rUmPH
)ˆ(ˆ rU
A equação de Schrödinger dependente do tempo, restrita a uma única dimensão espacial e para um potencial do tipo acima, pode ser escrita como
),( )](2
[),(2
22
txxUxm
txt
i
Podemos observar que, para soluções separáveis da equação fundamental
o formato da parte temporal da solução é sempre o mesmo, pois a equação correspondente independe de H, desde que o operador hamiltoniano seja independente do tempo.
)( )(),( tTxtx
Como a equação de Schrödinger dependente do tempo é uma equação diferencial de primeira ordem em relação ao tempo, se o estado do sistema quântico no instante for conhecido, então o estado em qualquer outro instante de tempo t1 pode ser determinado.
Como a equação de Schrödinger dependente do tempo é linear, a soma de duas soluções da mesma é também uma solução da mesma.
)( 0),0( tt
Poço duplo quadrado
http
://ww
w.h
ep
.ma
n.a
c.u
k/u
/fors
ha
w/B
ose
Ferm
i/imag
es/D
oub
le%
20W
ell_
37
.gif
As duas primeiras autofunções de energia.
http://www.hep.man.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/images/Double%20Well_37.gif
Evolução temporal
Superposição dos dois primeiros estados de energia
Instante inicial - Partícula localizada no lado esquerdo.
http://www.hep.man.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/images/Double%20Well_42.gif
http://www.hep.man.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/images/Double%20Well_45.gif
Superposição dos dois primeiros estados de energia
Instante intermediário.
Superposição dos dois primeiros estados de energia
Instante posterior - Partícula localizada no lado direito.
1
2
3
4
1,00,50,0-1,0 -0,5
http://www.hep.man.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/images/Double%20Well_42.gif
(Adaptado)
ExemploMolécula de amônia - NH3
Níveis 1 e 2 muito próximos em valor
Período de oscilação (de N à esquerda do plano dos
hidrogênios, a N à direita) – constante.
Relógio
http
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w.w
ind
ow
s.u
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u/p
hysic
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scie
nce
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