NF MasterRad Ver015

Univerzitet u Ni²u

PRIRODNOMATEMATIKI FAKULTET

Departman za fiziku

Opti£ke karakteristike sferne kvantneta£ke sa vodoni£nom ne£isto¢om u

spolja²njim stacionarnimelektromagnetnim poljima

Master rad

Kandidat:

Nikola N. Filipovi¢

Br. indeksa: 14

Mentor:

Prof. dr Ljiljana

Stevanovi¢

Ni², oktobar 2015.

Zahvaljujem se od srca svom mentoru, prof. dr Ljiljani Stevanovi¢, na nesebi£noj po-

mo¢i, beskrajnom razumevanju i mesecima provedenih sa mnom u izradi ovog rada, tokom

kojih sam nedvosmisleno shvatio kako izgleda baviti se ozbiljnim istraºiva£kim radom i

krstariti kroz zanimljiv svet nauke. Takoe, veliku zahvalnost dugujem prof. dr Goranu

Ðorevi¢u, na brojnim razgovorima kako o zici, tako i o ºivotu uop²te, koji su mi umno-

gome pomogli da donesem neke vaºne odluke, ili budem na korak od njih. Zahvalan sam

i ostalim nastavnicima i saradnicima Departmana za ziku, zbog kojih sam se svakog tre-

nutka svih ovih godina ose¢ao kao da sam kod ku¢e sa svojom porodicom. Hvala i mojim

kolegama i prijateljima, mojim voljenim specijalcima, koji su mi usadili ve£nu ºelju da

se igram mislima, re£ima i idejama, a posebno Danilu i Marku, sa kojima sam proveo

divne godine, ºive¢i zdu²no sa njima svaki studentski dan. Zahvalan sam i svojoj poro-

dici koja je istrpela moje neobi£ne navike i potrebe, i drago mi je ukoliko sam bar nekog

od njih uspeo da u£inim ponosnim i sre¢nim. Na kraju, neizmerno hvala mojoj devojci

Ma²i na nesebi£noj ljubavi, poverenju i razumevanju, kao i na stalnom podse¢anju, u te-

²kim trenucima, zbog £ega sam uop²te odlu£io da se bavim zikom. Nakon mnogo godina

rada, napora i tegoba, ali i ponosa, radosti, a najvi²e detinjastih trenutaka ushi¢enja i

zaljubljenosti, odavno vi²e ne sumnjam da sam pravilno odabrao.

Sadrºaj

1 Uvod 5

2 Kvantne nanostrukture 7

2.1 Fizi£ke realizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.1 Kvantne jame, ºice i ta£ke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Potencijal konniranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Princip izrade kvantnih ta£aka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Zna£aj i primene kvantnih ta£aka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Metod Lagranºeve mreºe 15

3.1 Op²ta razmatranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.1 Primena metoda Lagranºeve mreºe na re²avanje jednodimenzione

redingerove jedna£ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 LagranºLeºandrove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Leºandrovi polinomi kao osnova za formiranje Lagranºevih funkcija 193.2.2 Denisanje LagranºLeºandrovih funkcija . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Nalaºenje matri£nih elemenata operatora kineti£ke energije . . . . . . . . . 243.3.1 Nedijagonalni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2 Dijagonalni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Modelovanje pona²anja elektrona u kvantnoj ta£ki 29

4.1 Aproksimacija efektivne mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Hamiltonijan elektrona u kvantnoj ta£ki u elektromagnetnom polju u ap-

roksimaciji efektivne mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.1 Postavka problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.2 Efektivne atomske jedinice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.3 Hamiltonijan elektrona u magnetnom i u elektri£nom polju . . . . . 36

5 Elementi nelinearne optike 37

5.1 Osnovne postavke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.1.1 Nelinearna talasna jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1.2 Nelinearni opti£ki procesi drugog i tre¢eg reda . . . . . . . . . . . . 405.1.3 Indeks prelamanja i koecijent apsorpcije sredine . . . . . . . . . . 43

5.2 Formalizam matrice gustine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.1 Matrica gustine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

4 SADRAJ

5.2.2 Liuvilova jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3 Sistem sa dva energijska nivoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3.1 Hamiltonijan sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.2 Master jedna£ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3.3 Re²avanje sistema master jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3.4 Odreivanje susceptibilnosti i koecijenata apsorpcije . . . . . . . . 55

6 Numeri£ka procedura 59

6.1 Odreivanje energija i talasnih funkcija elektrona . . . . . . . . . . . . . . 596.1.1 Zadavanje oblika talasne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.1.2 Nalaºenje matri£nog elementa hamiltonijana za elektron u elektro-

magnetnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.1.3 Svoenje svojstvenog problema hamiltonijana elektrona na obi£nu

matri£nu jedna£inu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Ra£unanje koecijenata apsorpcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Rezultati i diskusija 67

7.1 Analiti£ki izrazi za poloºaje i vrednosti maksimuma i minimuma koecije-nata apsorpcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2 Opti£ke karakteristike sferne kvantne ta£ke u elektromagnetnom polju . . . 717.2.1 Magnetno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2.2 Elektri£no i magnetno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.3 Uticaj intenziteta upadnog laserskog zra£enja i vremena relaksacije na ko-ecijente apsorpcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.3.1 Variranje intenziteta upadnog laserskog zra£enja . . . . . . . . . . . 777.3.2 Variranje vremena relaksacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8 Zaklju£ak 81

Glava 1

Uvod

Poslednjih godina, brojna dostignu¢a u oblasti nanotehnologije u£inila su mogu¢imrealizaciju raznih tipova poluprovodni£kih heterostruktura. Ovako sa£injene heterostruk-ture odlikuju se zavidnim brojem razli£itih vidova primena u oblastima nanoelektronikei optoelektronike [1]. Jednu zna£ajnu klasu ovih heterostruktura predstavljaju kvantne

ta£ke, minijaturni poluprovodni£ki kristali dimenzija najvi²e nekoliko desetina nanome-tara, dovoljno mali da ispoljavaju speci£ne kvantne efekte. Njihovo osnovno svojstvo jekonniranje £estica u sva tri nezavisna pravca [2, 3]. Ovakvi sistemi ispoljavaju izrazitonelinearna opti£ka svojstva, zbog kojih se £esto primenjuju u izradi laserskih poja£ava£a,fotodetektora i solarnih ¢elija, ali imaju vaºnu primenu i u biomedicini, kao i u potpunonovim oblastima nauke i tehnologije koje se o£ekuju da zaºive u godinama koje slede [4,5].Najve¢i broj aspekata primene posledica je postojanja diskretne energijske strukture £e-stica konniranih u njoj, kao i prelaza izmeu ovih energijskih nivoa [6, 7].

Veliki broj istraºivanja je u godinama iza nas bio posve¢en teorijskom prou£avanjukvantnih ta£aka, koje ima vaºnu ulogu u interpretaciji fenomena koji se de²avaju u njima,ali i u razvijanju novih metoda manipulacije kvantnim ta£kama i njihovoj daljoj primeni.Tako je, na primer, velika paºnja posve¢ena izu£avanju kvantnih ta£aka izloºenih dej-stvu konstantnog elektri£nog, odnosno magnetnog polja, kao i njihove kombinacije [810].Bitan aspekt prou£avanja ovih struktura leºi u interakciji kvantnih ta£aka sa elektromag-netnim poljem lasera, kao i odreivanju njihovih opti£kih karakteristika [1113].

S obzirom na to da je kvantne ta£ke mogu¢e realizovati tako da poprime veliki brojrazli£itih geometrijskih oblika, ovom njihovom svojstvu je u istraºivanjima stoga posve-¢ena posebna paºnja. Tako je £est slu£aj da se teorijski tretiraju elipsoidne [14, 15], ku-bi£ne [16], ali i dvodimenzione kvantne ta£ke u obliku diska [17]. Pored toga, brojne reali-zacije povla£e za sobom i brojne oblike potencijala konniranja koje kvantne ta£ke moguda imaju. Tako se, na primer, poslednje navedeni tip kvantnih ta£aka £esto modelujeVuds-Saksonovim (Woods-Saxon) potencijalom [18, 19]. Na kraju, navedimo i naj£e²¢eprou£avani oblik sfernih kvantnih ta£aka, koje se lako eksperimentalno realizuju, a mode-luju konniraju¢im potencijalima, od kojih je jedan od interesantnijih paraboli£ki [2023].

esto je od zna£aja prou£avanje kvantnih ta£aka sa razli£itim tipovima ne£isto¢a. Gorenavedeni radovi uglavnom tretiraju kvantne ta£ke bez ne£isto¢e, ili sa ne£isto¢om kojase nalazi u centru kvantne ta£ke, i obi£no se za tipi£ne predstavnike ne£isto¢a uzimajuvodoniku sli£ni joni. Pored toga, zna£ajan broj istraºivanja posve¢en je kvantnim ta£kama

5

6 GLAVA 1. UVOD

sa jonima ne£isto¢e pomerenim iz centra [24, 25], kao i situacijama kada se u kvantnojta£ki nalaze dve ne£isto¢e, jednako udaljene od njenog centra [26].

Tema ovog rada bi¢e prou£avanje nelinearnih opti£kih karakteristika sferne kvantneta£ke, u £ijem se centru nalazi atom vodonika, pri £emu je ceo sistem izloºen dejstvuelektri£nog i/ili magnetnog polja, gde su oba polja stacionarna i meusobno paralelna.Kvantna ta£ka na koju ¢emo se mi koncentrisati bi¢e opisana konniraju¢im potencija-lom beskona£no duboke potencijalne jame. Takoe, iskoristi¢emo aproksimaciju efektivnemase kako bismo na²li hamiltonijan elektrona ne£isto¢e, a potom i njegove energije i ta-lasne funkcije. Da bismo ovo sproveli u delo, primeni¢emo metod Lagranºeve (Lagrange)mreºe za re²avanje redingerove (Schrödinger) jedna£ine elektrona, koji ¢e nam posluºitii u nalaºenju matri£nih elemenata elektri£nog dipolnog prelaza elektrona. Iz ovako do-bijenog sistema izdvoji¢emo dva najniºa energijska nivoa, i prou£iti apsorpciju laserskesvetlosti od strane posmatrane kvantne ta£ke. Zavisnost linearnog, nelinearnog i ukupnogkoecijenta apsorpcije od energije upadnog laserskog zra£enja, kao i njihovo pona²anje sapromenom ja£inâ poljâ, radijusa kvantne ta£ke, intenziteta laserskog zra£enja i vremenarelaksacije, bi¢e u centru paºnje istraºiva£kog dela ovog rada. Dobijene rezultate ¢emo, naposletku, diskutovati sa stanovi²ta analiti£kih izraza za pona²anje maksimuma/minimumakoecijenata apsorpcije sa promenom gore navedenih parametara.

Struktura ovog rada sastoji se iz slede¢ih celina. U Glavi 2 nave²¢emo osnovne zi£keprincipe na kojima se bazira izrada poluprovodni£kih heterostruktura, kao i najvaºnijeprimene kvantnih ta£aka, koje predstavljaju osnovnu motivaciju za rad na ovom polju.Glava 3 bi¢e posve¢ena metodu Lagranºeve mreºe, osnovnim postavkama i ilustrativnimprimerima njegove primene. U £etvrtoj Glavi, formulisa¢emo konkretan model sfernekvantne ta£ke koji ¢emo koristiti, uvode¢i pre toga aproksimaciju efektivne mase. Pre-gled osnovnih ideja nelinearne optike i formalizma matrice gustine, zajedno sa detaljnimizvoenjem koecijenata apsorpcije bi¢e izloºen u Glavi 5, dok ¢e numeri£ka proceduraneophodna za re²avanje svojstvenog problema hamiltonijana elektrona biti tema ²esteGlave. Na samom kraju, u Glavi 7, predstavi¢emo originalne rezultate na²eg istraºivanjai uporediti ih sa teorijski dobijenim predvianjima i rezultatima radova koji su se bavilisli£nom tematikom.

Glava 2

Kvantne nanostrukture

Pojam nanostruktura moºe imati jako ²iroko zna£enje. Generalno govore¢i, nanostruk-turom se moºe smatrati ma koji objekat dimenzija od nekoliko angstrema (desetih delovananometara), pa sve do nekoliko desetina nanometara [3]. Ukoliko, pored toga, ovajobjekat ispoljava karakteristi£na kvantna svojstva (²to je, na primer, kod poluprovodnika

ovih dimenzija prakti£no uvek slu£aj), njega i njemu sli£ne objekte nazivamo kvantne

nanostrukture. Ovakve strukture ispoljavaju mno²tvo osobina koje se ne javljaju kodpoluprovodnika makroskopskih dimenzija (engl. bulk semiconductors)1 u kojima je mo-gu¢e prakti£no slobodno kretanje nosilaca naelektrisanja [27]. Upravo ova razlika izmeupoluprovodnika i poluprovodni£kih nanostruktura nas je motivisala da se posvetimo pro-u£avanju kvantnih ta£aka, minijaturnih objekata sa jako speci£nim svojstvima. U ovojGlavi, da¢emo kratak prikaz realizacije kvantnih nanostruktura i nave²¢emo neke njihovenajzna£ajnije predstavnike. Na kraju, pobroja¢emo sve vaºne primene ovih kvantnihobjekata sa akcentom na kvantne ta£ke, koje ¢e se, naravno, proºimati kroz ceo ovaj rad.

2.1 Fizi£ke realizacije

Poluprovodni£ki materijal, odnosno kristal, karakteri²e se periodi£nim potencijalomkristalne re²etke koji stvaraju joni u njenim £vorovima, dok elektroni mogu da se kre¢upo £itavom kristalu. Vrlo £esto se takvo kretanje naziva slobodnim, pri £emu se ne misli nato da na elektron ne deluju nikakve sile (u kristalu ¢e svakako postojati makar privla£enjesa jonima re²etke i odbijanje od drugih elektrona), ve¢ da njegovo kretanje nije ograni£enoni u jednom pravcu. Drugim re£ima, kretanje elektrona u kristalu karakteri²e se sa tri

stepena slobode, pa £ak i ako taj kristal ima dimenzije nekoliko mikrometara.

2.1.1 Kvantne jame, ºice i ta£ke

Sa druge strane, meutim, u kvantnim nanostrukturama, koje smo ne²to ranije po-menuli, dolazi do izraºaja efekat konniranja £estica u posmatranoj nanostrukturi, kao

1S obzirom na to da ¢emo u daljem tekstu razlikovati poluprovodni£ke nanostrukture od standardnihpoluprovodnika, ozna£enih engleskim pridevom bulk, ove poslednje ¢emo stoga nadalje kratko nazivatipoluprovodnicima.

7

8 GLAVA 2. KVANTNE NANOSTRUKTURE

posledica njenih jako malih dimenzija. Tada £estice ne mogu slobodno da se kre¢u u sve tridimenzije. Na osnovu elementarnih kvantnomehani£kih razmatranja moºemo zaklju£itida ¢e elektron, koji je u kristalu mogao da ima energiju u kontinualnom opsegu vrednosti,unutar kvantne heterostrukture makar u jednom pravcu imati diskretan spektar energije.

Ukoliko je, pogodnim tehnolo²kim postupkom, kretanje nosilaca naelektrisanja ograni-£eno u samo jednoj dimenziji, dobijena je kvantna nanostruktura koju nazivamo kvantnajama (engl. quantum well). Kvantna jama predstavlja dvodimenzioni objekat u tom smi-slu ²to £estice u njoj mogu da se kre¢u u dva meusobno nezavisna pravca. Duº ta dvapravca, energijski spektar ¢e biti i dalje neprekidan, ²to se vi²e ne moºe re¢i za tre¢i,konniraju¢i pravac.

Kvantne ºice (engl. quantum wires) predstavljaju nanostrukture u kojima je kretanjenosilaca naelektrisanja ograni£eno u dva pravca, £ine¢i ove strukture jednodimenzionim

objektima. Duº kvantne ºice, £estice i dalje mogu nesmetano da se kre¢u, ali se duºdva preostala pravca javlja diskretan energijski spektar. Kvantne ºice se mogu smatratianologonom talasovoda u klasi£noj elektrodinamici.

Slika 2.1: ematski prikaz poluprovodni£kog materijala, kvantne jame, ºice i ta£ke.

Na kraju, ukoliko se kretanje £estica ograni£i u sva tri pravca, dobija se struktura kojase naziva kvantna ta£ka (engl. quantum dot). Ona predstavlja analogon rezonatora uklasi£noj elektrodinamici, i naziva se objektom nulte dimenzije. Kvantna ta£ka se zapravomoºe shvatiti kao trodimenziona potencijalna jama. Njen oblik, naravno, moºe da varirau zavisnosti od na£ina izrade. Danas je mogu¢e realizovati kvantne ta£ke raznih oblika sferne, elipsoidne, kubi£ne itd. Svima njima je, pak, zajedni£ko to da je (zbog toga ²tosu £estice zarobljene u kutiji) energijski spektar £estica zarobljenih u njima diskretan.Ovaj spektar je, ²tavi²e, jako sli£an diskretnom spektru slobodnih atoma, zbog £ega sekvantne ta£ke £esto nazivaju ve²ta£kim atomima (engl. articial atoms). Zbog sveganavedenog, kao i £injenice da se raznim parametrima kvantnih ta£aka moºe lako mani-pulisati, zaklju£ujemo da je njihov potencijal za masovnu primenu u raznim oblastimanauke i tehnologije zaista veliki. Zgodna ilustracija, na kojoj se jasno mogu videti razlikeizmeu poluprovodnika, kvantnih jama, ºica i ta£aka, prikazana je na Slici 2.1.

2.1. FIZIKE REALIZACIJE 9

2.1.2 Potencijal konniranja

Kvantne nanostrukture se mogu realizovati na razli£ite na£ine. Ono ²to je zajedni£kosvim mogu¢im realizacijama jeste nastojanje da se obezbedi dovoljno veliki potencijalkonniranja, kako bi £estice ostale zarobljene u malom delu prostora. Najjednostavnijina£in za ovo jeste umetanje jednog materijala unutar drugog, £ija je ²irina zabranjene

zone zna£ajno ve¢a. Naj£e²¢e su u pitanju spojevi dva (ili vi²e) poluprovodnika, ali sekonniranje moºe obezbediti i umetanjem poluprovodnika u dielektrik, kao i rastvaranjemkristalne supstance u nekom pogodnom rastvara£u [3].

Slika 2.2: (a) Spoj dva poluprovodnika razli£itih ²irina zabranjene zone, Eg1 i Eg2. (b) Modelpotencijalne barijere nastale spojem dva poluprovodnika iz prethodnog slu£aja. (c) Energijskidijagram kvantne jame sa£injene od umetanja jednog poluprovodnika u drugi.

Na ovommestu ograni£i¢emo se na formiranje poluprovodni£kih heterostruktura nano-struktura koje nastaju umetanjem jednog poluprovodnika u drugi, pri £emu im se energijezabranjenih zona razlikuju. Fizi£ka pozadina koja stoji iza ma kog tehnolo²kog postupkaza dobijanje nanostruktura je ista, i na njoj ¢emo se detaljnije zadrºati. Energijski dija-gram spoja dva razli£ita poluprovodnika dat je na Slici 2.2 (a). Prilikom formiranja paraelektron-²upljina, elektron dospeva u provodnu zonu, dok ²upljine ostaju u valentnoj.U ovom radu ¢emo se fokusirati samo na pona²anje elektrona u kvantnim heterostruk-turama.2 Zbog toga ²to je energija dna provodne zone drugog poluprovodnika ve¢a ododgovaraju¢e energije prvog, elektron iz prvog poluprovodnika nema dovoljnu energijuda pree u drugi. Na ovaj na£in formiran je potencijal konniranja, koji se moºe, uprvoj aproksimaciji, modelovati potencijalnom barijerom kona£ne visine (Slika 2.2 (b)).Potencijal konniranja je, u principu, veli£ina koja se vrlo lako moºe menjati (jedan odna£ina je dopiranje kristala, koje, ako se vr²i u slojevima, moºe formirati potencijalnubarijeru opisanu neprekidnom umesto skokovitom funkcijom), ²to heterostrukture £ini la-kim za manipulaciju. Sa teorijske strane je, stoga, nalaºenje adekvatnih modela za ovajpotencijal od velikog interesa.

2Ne²to generalniji pristup bio bi da, umesto da se ograni£imo samo na elektrone, posmatramo parelektron-²upljina kao jedinstven sistem eksciton (engl. exciton). Tada bismo, kao rezultat primenekvantnomehani£kog tretmana na ovaj sistem, dobili energijski spektar ekscitona u posmatranoj hetero-strukturi.


Slika 2.3: Sa leva na desno: zi£ka realizacija poluprovodni£kih kvantnih jama, ºica i ta£aka,spajanjem dva razli£ita poluprovodni£ka materijala.

Fizi£ka realizacija speci£ne heterostrukture sastoji se u spajanju vi²e delova razli-£itih poluprovodnika. Najjednostavniji slu£aj umetanja jednog poluprovodnika u drugiprikazan je na Slici 2.3, i to za GaAs i Ga1−xAlxAs. Kontrolisanjem udela aluminijumax u drugom poluprovodniku, obezbeuje se ºeljena dubina potencijalne jame kojom kon-niramo £estice [27]. Za kvantnu jamu, gde se konniranje vr²i u samo jednom pravcu,energijski dijagram prikazan je na Slici 2.2 (c).3 Kvantne ºice i kvantne ta£ke se dobijajuna analogan na£in, uz tu razliku ²to se u Ga1−xAlxAs unosi odgovaraju¢i deo GaAs ( jed-nodimenzioni za ºicu i nuladimenzioni za ta£ku), postiºu¢i na taj na£in konniranje udva, odnosno sva tri pravca.

Kako su nam, u daljem radu, one od najve¢eg zna£aja, pozabavimo se razmatranjempoluprovodni£kih kvantnih ta£aka (Slika 2.4). To su strukture £ije je jezgro (unutar kog sukonnirane £estice) sa£injeno od poluprovodni£kog materijala, i koje moºe biti uronjenokako u neki drugi poluprovodnik (kao u gore opisanom slu£aju), tako i u neki dielektri£nimaterijal. Tada, budu¢i da je energija zabranjene zone dielektrika obi£no za nekolikoredova veli£ine ve¢a od one za poluprovodnik, konniraju¢i potencijal se bez ve¢ih pote-²ko¢a moºe opisati beskona£no dubokom jamom. Upravo ovaj slu£aj bi¢e centralni deona²ih kasnijih razmatranja.

2.1.3 Princip izrade kvantnih ta£aka

Tehnolo²kih postupaka izrade kvantnih ta£aka ima vi²e, a ovde ¢emo se zadrºati samona nekoliko najosnovnijih. Konkretno, nave²¢emo litografske tehnike, koloidnu sintezu imetode narastanja kristala, pri £emu kvantne ta£ke dobijene svakom pojedina£nom me-

3Istaknimo na ovom mestu samo da se, po istom principu, i ²upljine mogu zarobiti unutar poluprovod-nika. Razlika je jedino u tome ²to, ukoliko je energija vrha valentne zone prvog poluprovodnika ve¢a odenergije vrha valentne zone drugog (kao u slu£aju sa Slike 2.3 (a)), ²upljine, kao i elektroni, bivaju zaro-bljeni unutar prvog poluprovodnika (heterostrukture tipa I ). Ukoliko je, meutim, energija vrha valentnezone prvog poluprovodnika manja od odgovaraju¢e energije drugog (²to bi, recimo, odgovaralo situacijida poluprovodnici imaju iste ²irine zabranjene zone, samo pomerene jedna u odnosu na drugu za nekiiznos energije), ²upljine ¢e biti zarobljene u drugom poluprovodniku (dok su elektroni i dalje zarobljeniunutar prvog). U poslednjem slu£aju je re£ o heterostrukturama tipa II.

2.1. FIZIKE REALIZACIJE 11

Slika 2.4: ematski prikaz poluprovodni£ke kvantne ta£ke nastale umetanjem jednog polupro-vodnika u drugi. Na slici se jasno vidi koliko atoma kristalne re²etke sadrºi prose£na kvantnata£ka.

todom meusobno imaju bitno razli£ite osobine. [3, 28]. Sve ove tehnike se konstantnounapreuju i stvaraju nove.

Litografske metode se sastoje u nagrizanju materijala kako bi se formirala ºeljena struk-tura. Kvantne ta£ke na ovaj na£in mogu nastati ukoliko se sprovede nagrizanje kvantnejame (prethodno izraene, na primer, metodom narastanja kristala), u dva pravca duºkojih u jami nema konniranja, tako da ostane ostrvo od po£etnog materijala. Dobijenakvantna ta£ka duº pravca konniranja polazne kvantne jame ima ista svojstva kao i jama,dok se u druge dve dimenzije dobija konniraju¢i potencijal druga£ijih karakteristika,kao posledica nagrizanja materijala. Takoe, litografske tehnike, kao ²to su implantacija

jona ili lasersko prekaljivanje (engl. laser annealing), menjaju zonsku strukturu polaznogmaterijala, stvaraju¢i razlike potencijala na mestima koja ¢e kasnije biti granice kvantneta£ke.

Druga metoda podrazumeva nastanak koloidnih sme²a (pri £emu se, za razliku odrastvora, koloidne komponente nalaze u razli£itim agregatnim stanjima), i predstavlja jakojeftinu i jednostavnu metodu koja se obilato koristi u komercijalnoj proizvodnji kvantnihta£aka. Kristalna supstanca se uranja u pogodan rastvor, odabran tako da mu je ²irinazabranjene zone ve¢a od one za kristal, £ime se nosioci nalektrisanja konniraju unutarkristala. Ovako realizovane kvantne ta£ke obi£no imaju sferan oblik, mada su naravnomogu¢a blaga odstupanja (obi£no ako su kristali jako mali), zbog £ega ne £udi £injenicada postoje brojna istraºivanja raznih karakteristika elipsoidnih kvantnih ta£aka. Kako bise pove¢ala stabilnost ovakvih koloida, £esto se koriste kristali sa£injeni od jezgra i ljuske(sa ve¢om energijom zabranjene zone), kako bi pove¢ali konniranje i dodatno spre£ilinosioce naelektrisanja da napuste kristal, i eventualno formiraju neºeljene hemijske veze sarastvara£em. Susre¢u se, takoe, i slu£ajevi kada se pri izradi kvantnih ta£aka kombinujulitografske i koloidne tehnike [29].

Najprecizniji, ali i najskuplji i najkomplikovaniji metod izrade kvantnih ta£aka jemetod narastanja kristala. Najprostije re£eno, on se sastoji u tome da se monoatomskislojevi kristala kontrolisano deponuju na odabrani materijal, stvaraju¢i strukture ºeljenogoblika i performansi. Budu¢i da se radi o jako sloºenim i skupim ureajima koji vr²e jako


ne i precizne operacije, nije ni £udo ²to ovaj metod nije na²ao ozbiljniju komercijalnuprimenu.

Metodom narastanja kristala je obi£no mogu¢e realizovati vrlo £iste strukture bezneºeljenih £estica koje uti£u na osobine kvantne ta£ke. U realnosti, meutim, potrebno jeura£unati postojanje ne£isto¢a u kvantnim ta£kama. Ove ne£isto¢e mogu biti posledicanesavr²enosti metoda izrade kvantne ta£ke, ali ih je takoe mogu¢e kontrolisano unetiu kristal (npr. dopiranjem) kako bi se postigao odgovaraju¢i efekat. Odatle razlog zaprou£avanje kvantne ta£ke koja u sebi sadrºi vodoni£nu ne£isto¢u, koja ¢e biti razmatranau okviru ovog rada.

2.2 Zna£aj i primene kvantnih ta£aka

Ve¢ iz osobina kvantnih ta£aka koje smo do sada naveli, moºe da se nasluti zbog £egaone imaju toliko ²iroku primenu. Na ovom mestu, usredsredi¢emo se samo na nekolikovaºnih vidova primene, kako bismo detaljnije ilustrovali prednosti kvantnih ta£aka u od-nosu na poluprovodnike. Takoe, ovih nekoliko navedenih primera bi¢e nam dovoljno daistaknemo razli£itost oblasti u kojima su kvantne ta£ke na²le, ili su na dobrom putu danau primenu.

Generalno govore¢i, performanse prakti£no svih poluprovodni£kih materijala mogu bitipobolj²ane ukoliko se iskombinuju sa nizom kvantnih ta£aka umetnutim u poluprovodnik.Zbog svojih karakteristi£nih spektara (koji se mogu pode²avati variranjem dimenzije ikonniraju¢eg potencijala ta£ke) koji je gotovo nemogu¢e falsikovati, primenu nalaze£ak i u oblasti bezbednosti i za²tite podataka. Koloidne kvantne ta£ke se koriste kaouorescentni markeri, zbog toga ²to u njima dolazi do uorescentnih prelaza na osnovukojih je mogu¢e vr²iti pra¢enje raznih minijaturnih objekata, kao i mikroorganizama.

Laseri bazirani na kvantnim ta£kama imaju nekoliko prednosti u odnosu na tradici-onalne lasere sa poluprovodnikom ili kvantnom jamom. Iako je princip rada isti, slojevikvantnih ta£aka umesto klasi£nog poluprovodni£kog materijala omogu¢avaju sniºavanjestruje praga za stimulisanu emisiju, i pove¢avaju stabilnost lasera sa promenama tempe-rature [30]. Pored toga, materijal u koji je utisnut niz kvantnih ta£aka, ispoljava karak-teristi£na nelinearna opti£ka svojstva pri interakciji sa laserskim zra£enjem, nakon £egaje mogu¢e dobiti lasersku svetlost poja£anog intenziteta. Konstrukcija ovakvih laserskih

poja£ava£a povezana je sa £injenicom da je, u nelinearnoj sredini, koecijent apsorpcije(koji ¢emo kasnije denisati) negativna veli£ina, stvaraju¢i prira²taj intenziteta upadnoglaserskog zra£enja umesto njegovo smanjenje. Ova bitna karakteristika kvantnih ta£akainspirisala nas je da istraºimo nelinearna opti£ka svojstva kvantnih ta£aka, sa posebnimfokusom na koecijente apsorpcije.4

iroka primena kvantnih ta£aka leºi u polju izrade fotonaponskih ureaja. Tako se,na primer, solarne ¢elije, koje rade na principu fotoelektronske emisije na spoju dva po-

4U ovom radu, bavi¢emo se interakcijom jednog laserskog polja sa kvantnom ta£kom. Istaknimona ovom mestu da je, u okviru modela koji razmatramo, ukoliko kvantnu ta£ku izloºimo dejstvu dva

razli£ita lasera, mogu¢e potpuno eliminisati apsorpciju zra£enja jednog od lasera na odreenoj frekvenci,²to je pojava poznata kao elektromagnetno indukovana transparentnost (engl. electromagnetically induced

transparency). Ova pojava je jako usko vezana sa istraºivanjem koje je sprovedeno u ovom radu, ali se unjemu posebno ona ne¢e detaljnije razmatrati.

2.2. ZNAAJ I PRIMENE KVANTNIH TAAKA 13

luprovodnika dopiranih donorskim, odnosno akceptorskim jonima, karakteri²u ksnomzabranjenom zonom na ovom spoju. Fotoni izbijaju elektrone iz jednog poluprovodnika,koji onda dobijaju dovoljno energije da preu u drugi, £ime dolazi do proticanja strujekroz kolo. Glavni nedostatak solarnih ¢elija sa£injenih od ovakvih poluprovodnika sastojise u tome da je operativni napon ograni£en ²irinom zabranjene zone. Ukoliko se na pome-nutu granicu unesu slojevi kvantnih ta£aka, energija zabranjene zone se moºe graduisanomenjati i kontrolisati, £ime je mogu¢e pove¢ati operativni napon, a samim tim i ekasnostsolarnih ¢elija [31].

iroki spektar oblasti primene je moºda najjednostavnije predstaviti ukoliko se na-vedu primene kvantnih ta£aka u biomedicini. Jo² na po£etku ovog odeljka pomenuli smouorescentne markere. Ovo je tehnika koja se koristi za pra¢enje pona²anja bakterijaili ¢elija unutar nekog tkiva na osnovu uorescentne emisije svetlosti, i materijali kojise naj£e²¢e koriste u tu svrhu su uglavnom organske prirode. Njihov emisioni spektar,meutim, nije mogu¢e jednostavno kontrolisati, ²to je otvorilo put kvantnim ta£kama kaostrukturama koje bi mogle da zamene organske materijale. Laka manipulacija i promenafrekvencije emitovane svetlosti mogu¢a je promenom oblika, dimenzija i potencijala kon-niranja kvantne ta£ke. Brojne biomedicinske tehnike bazirane na kvantnim ta£kama suuveliko postale deo svakodnevne prakse, dok su neke jo² uvek u povoju, i njihov razvoj seo£ekuje u narednim godinama [3].

Navedimo, na kraju, da kvantne ta£ke imaju veliki potencijal za primenu u izradibudu¢ih kvantnih ra£unara. One, naime, predstavljaju jedan od kandidata za kubit osnovnu jedinicu kvantne informacije. Kao analogon klasi£nom bitu, koji moºe imativrednost 0 ili 1, kubit moºe biti u stanju 0, stanju 1, kao i u ma kom stanju superpozicije

ova dva. Ovo svojstvo omogu¢ava da se kvantni algoritmi izvr²avaju neuporedivo brºenego klasi£ni (koji su takoe re²ivi, ali u beskona£nom vremenu). Kvantne ta£ke koje,na primer, sadrºe elektron, koji moºe biti u dva razli£ita svojstvena spinska stanja (i,naravno, u njihovoj superpoziciji), predstavljaju jedan od na£ina da se realizuju stanja 0 i1 jednog kubita. Da bi se ovo ostvarilo, kvantne ta£ke moraju ispunjavati niz kriterijuma,i tome se ve¢ uveliko posve¢uje kako eksperimentalna, tako i teorijska paºnja [5, 32].

Iz svih gore navedenih vidova primene, kao i na£ina eksperimentalne realizacije kvant-nih ta£aka (mada se ovo generalno moºe re¢i i za ostale, vi²edimenzione nanostrukture),vidimo da je, radi daljeg napretka ove oblasti, neophodno razviti dobre teorijske modelekoji bi ²to ta£nije opisivali njihovo pona²anje. Sa ubrzanim razvojem tehnika kojima sekvantne ta£ke kreiraju, tretiraju i kontroli²u, zna£aj teorijskog prou£avanja postaje ne-sumnjivo ve¢i. Umesto puke interpretacije eksperimentalnih rezultata, teorijski modelibi¢e u stanju da doprinesu konstruisanju kvantnih ta£aka ºeljenih karakteristika, i na tajna£in uti£u na efekte koji se ºele posti¢i. Na²a namera i motivacija prilikom izrade ovograda upravo je vezana za ispitivanje nekih speci£nih svojstava kvantnih ta£aka, koja ubudu¢nosti mogu dati snaºan doprinos savremenoj nauci i tehnologiji.

Glava 3

Metod Lagranºeve mreºe

Ogroman broj diferencijalnih jedna£ina, sa kojima se suo£avamo u realnim zi£kimproblemima, ne moºe da se re²i analiti£ki. Jedini na£in za dobijanje nekakve informacijeo sistemu koji je opisan ovakvim jedna£inama jeste kori²¢enje raznih numeri£kih metoda zare²avanje jedna£ina koje opisuju posmatrani model nekog zi£kog sistema. Diferencijalnejedna£ine, a posebno parcijalne diferencijalne jedna£ine je, zbog pojavljivanja izvoda,jako te²ko re²iti, a prilikom numeri£kog ra£unanja se neminovno potkrada velika gre²ka udobijanju zi£ke veli£ine od interesa. Stoga se vrlo £esto pristupa numeri£kim metodimakoji za cilj imaju da diferencijalne jedna£ine, pogodnim matemati£kim manevrima, sveduna sistem algebarskih jedna£ina, koji je pre svega znatno jednostavnije re²iti, a uz to je igre²ka pri ra£unanju zna£ajno manja nego kod re²avanja diferencijalnih jedna£ina. Jedanod pogodnih metoda koji su zasnovani upravo na ovom principu jeste metod Lagranºeve

mreºe [3335]. U ovom poglavlju ¢emo dati osnovne ideje i relacije metoda Lagranºevemreºe, iskoristi¢emo jednostavan primer jednodimenzione redingerove jedna£ine kakobismo demonstrirali njegovu primenu, denisa¢emo Lagranºeve funkcije, da bismo, naposletku, razmatrali jedan konkretan izbor ovih funkcija kojim ¢emo baratati u ovomradu.

3.1 Op²ta razmatranja

Metod Lagranºeve mreºe se moºe na ekasan na£in koristiti za re²avanje parcijalnihdiferencijalnih jedna£ina poput redingerove, na £ije re²avanje ¢emo se fokusirati u ovomradu. Na ovom mestu ¢emo razmotriti samo jednodimenzione probleme, dok je svaka ge-neralizacija na vi²e dimenzija krajnje jednostavna. Osnovna ideja ovog metoda jeste da seoblast nezavisnih promenljivih x ∈ [a, b] diskretizuje, formiraju¢i na taj na£in svojevrsnumreºu.1 Neka je broj £vorova mreºe N , a same £vorove ozna£imo sa xi, i = 1, N (Slika3.1).

Uvedimo sada funkcije preko kojih ¢emo razvijati re²enja diferencijalne jedna£ine.

1Istini za volju, kod jednodimenzionih problema se ne susre¢emo sa mreºom u intuitivnom smislu re£i,ali je jasno da je ovaj naziv dat po uzoru na vi²edimenzione probleme, gde se prostor diskretizuje upravoiscrtavanjem mreºe i operisanjem sa diskretnim ta£kama £vorovima mreºe.

15

16 GLAVA 3. METOD LAGRANEVE MREE

Slika 3.1: Jednodimenziona Lagranºeva mreºa na intervalu [a, b]. vorovi mreºe ne moraju bitiekvidistantni, i mogu se poklapati sa granicama intervala.

Zahteva¢emo od njih da zadovoljavaju slede¢i uslov [35]:

fi(xj) =1√λiδij, (3.1)

gde je λi teºinski faktor o kome ¢e ubrzo vi²e biti re£i. Neprekidne, u op²tem slu£ajukompleksne funkcije fi(x) sa gornjom osobinom nazivaju se Lagranºeve funkcije, i oneformiraju skup od N funkcija koje ¢e £initi bazis u kome ¢emo razvijati traºeno re²enjediferencijalne jedna£ine. Iz gornjeg izraza vidimo da je i-ta Lagranºeva funkcija jednakanuli u svakom £voru mreºe koji nije i-ti. Kompleksnim konjugovanjem izraza (3.1) dobi-jamo

f ∗i (xj) =1√λ∗iδij, (3.2)

jer Kronekerova (Kronecker) delta moºe da ima samo realne vrednosti. Kompleksni koe-cijenti λi se izvorno pojavljuju kod Gausovih (Gauss) kvadratura, koje sluºe kako bi seaproksimativno zapisale vrednosti integrala, odnosno:∫ b

a

F (x)dx ≈N∑i=1

|λi|F (xi), (3.3)

gde je F (x) proizvoljna neprekidna funkcija, a |λi| = λ∗iλi moduo teºinskog faktora.Pozabavimo se sada meusobnim odnosom Lagranºevih funkcija. Potraºimo slede¢i

integral: ∫ b

a

f ∗i (x)fj(x)dx ≈N∑k=1

|λk|f ∗i (xk)fj(xk) =N∑k=1

|λk|1√λ∗iδik

1√λjδjk

= |λk|1√λ∗k

1√λkδij = δij, (3.4)

pri £emu je u prvom koraku integral aproksimiran Gausovom kvadraturom (3.3), u drugomkoraku iskori²¢ena svojstva (3.1) i (3.2), a u tre¢em osobina Kronekerove delte. Jasno jeda su, na ovakav na£in odabrane, Lagranºeve funkcije ortonormirane, ²to je nesumnjivojako pogodno u daljem baratanju njima.

U daljim razmatranjima ¢e se vrlo £esto primenjivati osobine ortonormiranosti Lagran-ºevih funkcija, kao i njihova deniciona relacija (3.1). Kako bi se zapisivanje ovih izrazapojednostavilo i izbeglo pisanje glomaznih integrala, Lagranºeve funkcije ¢emo, kao ²to toradimo sa, na primer, sfernim harmonicima u kvantnoj mehanici, zapisivati u Dirakovoj

(Dirac) bra-ket notaciji :fi(x) = |i〉, f ∗i (x) = 〈i|. (3.5)

3.1. OPTA RAZMATRANJA 17

Ovaj zapis nam omogu¢ava da i izraz (3.4) zapi²emo u ne²to jednostavnijem obliku:

〈i|j〉 = δij, (3.6)

²to predstavlja relaciju ortonormiranosti koju ¢emo mnogo £e²¢e koristiti u ovom radu.

3.1.1 Primena metoda Lagranºeve mreºe na re²avanje jednodi-menzione redingerove jedna£ine

Razmotrimo sada konkretan primer upotrebe metoda Lagranºevih funkcija u ciljure²avanja jednodimenzione redingerove jedna£ine [34]. Hamiltonijan kvantne £estice £ijestanje odreujemo je, sasvim uop²te,

H = T + V (x), (3.7)

pri £emu T predstavlja operator kineti£ke energije, dok funkcionalni oblik (multiplikativ-nog) operatora potencijalne energije V (x), zavisi od slu£aja do slu£aja. Na ovom mestu¢emo razmatrati generalni slu£aj, i nije potrebno ovaj potencijal ni na koji na£in daljekonkretizovati. estica £iju dinamiku posmatramo zadovoljava redingerovu jedna£inu

Hψ(x) = Eψ(x), (3.8)

gde je ψ(x) talasna funkcija £estice, a E njena energija.Primenimo sada metod Lagranºevih mreºa, razvijaju¢i talasnu funkciju preko Lagran-

ºevih funkcija:

ψ(x) =N∑j=1

cjfj(x), (3.9)

gde su cj koecijenti razvoja, koji se iz talasne funkcije mogu dobiti na slede¢i na£in:

ψ(xi) =N∑j=1

cjfj(xi) =N∑j=1

cj1√λjδji = ci

1√λi, (3.10)

²to sledi iz (3.1) i osobina Kronekerove delte. Odavde je

ci =√λi ψ(xi). (3.11)

Ako razvoj (3.9) uvrstimo u jedna£inu (3.8), a zatim dobijeni izraz pomnoºimo sa fi(x) iprointegralimo po nezavisnoj promenljivoj x, dobi¢emo slede¢i rezultat, zapisan u Dira-kovoj notaciji:

N∑j=1

cj〈i|H|j〉 = E

N∑j=1

cj〈i|j〉. (3.12)

Uo£iv²i da faktor uz cj na desnoj strani izraza predstavlja skalarni proizvod dve Lagran-ºeve funkcije koje su pritom ortonormirane, kori²¢enjem realacije ortonormiranosti (3.4)kao i osobina Kronekerove delte, dobijamo

N∑j=1

cjHij = Eci, (3.13)


gde je Hij = 〈i|H|j〉 matri£ni element hamiltonijana £estice. Ovako dobijen sistem odN algebarskih jedna£ina je znatno lak²e numeri£ki re²iti nego bilo kakvu diferencijalnujedna£inu, prevashodno zbog toga ²to su gre²ke ra£unara u zaokruºivanju znatno ve¢eu drugom navedenom slu£aju. Ipak, ovaj sistem je ne²to sloºeniji od sistema obi£nihalgebarskih jedna£ina on zapravo predstavlja svojstveni problem kvadratne matrice di-menzije N ×N , koji je, u principu, ra£unar u stanju da re²i.

Pokaºimo sada u £emu je speci£nost Lagranºevih funkcija. Iskoristimo izraz (3.7)kako bismo zapisali matri£ni element hamiltonijana eksplicitnije:

Hij = 〈i|H|j〉 = 〈i|T + V (x)|j〉 = 〈i|T |j〉+ 〈i|V (x)|j〉 = Tij + Vij. (3.14)

Zadrºimo se na svakom od ova dva dobijena sabirka ponaosob. Potraºimo, najpre, mat-ri£ni element operatora potencijalne energije, znaju¢i da je V (x) = V (x),

Vij =

∫ b

a

f ∗i (x)V (x)fj(x)dx ≈N∑k=1

|λk|f ∗i (xk)V (xk)fj(xk)

=N∑k=1

|λk|1√λ∗iδikV (xk)

1√λjδjk = |λi|

1√λ∗iV (xi)

1√λiδij

= V (xi)δij. (3.15)

Pri dobijanju ove vrednosti, ponovo je iskori²¢en izraz (3.3), zatim denicione relacije (3.1)i (3.2), i na kraju osobina Kronekerove delte. Na osnovu dobijenog izraza, vidimo da jematri£ni element potencijalne energije u metodu Lagranºevih mreºa krajnje jednostavan.Vidimo, takoe, da on ne zavisi od izbora Lagranºevih funkcija, ve¢ da je isklju£ivoposledica relacija koje sasvim uop²teno vaºe za Lagranºeve funkcije. Ova posledica je odizuzetne vaºnosti i ima veliki uticaj na primenljivost ovog metoda, koji time biva drasti£nopojednostavljen. tavi²e, ovakva relacija vaºi sa sve multiplikativne operatore, kakav je ioperator potencijalne energije, ali i operatori koji predstavljaju deo operatora kineti£keenergije, a koji ne zavise ni od kakvih parcijalnih izvoda (potencijal centrifugalne barijere,na primer).

Sa ne²to vi²e pote²ko¢a susre¢emo se kada ºelimo da izra£unamo matri£ni elementkineti£ke energije £estice. Ovo je zbog toga ²to operator kineti£ke energije nije multipli-kativan ve¢ diferencijalan, te se matri£ni element ne moºe pojednostaviti u meri u kojojje to bilo mogu¢e sa potencijalnim £lanom. Imaju¢i u vidu da je

T = − ~2

2m

d2

dx2, (3.16)

gde je m masa £estice a ~ redukovana Plankova (Planck) konstanta, postupimo sli£no kao

3.2. LAGRANLEANDROVE FUNKCIJE 19

prilikom dobijanja izraza (3.15):

Tij = − ~2

2m

⟨i

∣∣∣∣ d2

dx2

∣∣∣∣ j⟩ = − ~2

2m

∫ b

a

f ∗i (x)d2

dx2fj(x)dx

= − ~2

2m

∫ b

a

f ∗i (x)f ′′j (x)dx ≈ − ~2

2m

N∑k=1

|λk|f ∗i (xk)f′′j (xk)

= − ~2

2m

N∑k=1

|λk|1√λ∗iδikf

′′j (xk) = − ~2

2m|λi|

1√λ∗if ′′j (xi)

= − ~2

2m

√λif

′′j (xi), (3.17)

pri £emu takoe imamo u vidu relacije (3.3) i (3.2), kao i osobine Kronekerove delte.Vidimo da je, za odreivanje matri£nog elementa operatora kineti£ke energije, neophodnoznati drugi izvod Lagranºevih funkcija po nezavisnoj promenljivoj x. Proceduru nalaºenjaovog £lana za konkretan skup Lagranºevih funkcija sprove²¢emo u narednom odeljku.

3.2 LagranºLeºandrove funkcije

Jedan od na£ina da se odaberu £vorovi Lagranºeve mreºe je da oni budu nule nekihortogonalnih polinoma. Da bi se odredilo N £vorova mreºe, potrebno je da odabrani po-linom bude N -tog stepena. Izbor ortogonalnih polinoma zavisi¢e od domena nezavisnepromenljive na kome je denisano re²enje u na²em slu£aju talasna funkcija kvantne£estice. Budu¢i da ¢emo se u ovom radu baviti problemom nalaºenja energija i talasnihfunkcija elektrona u sfernoj kvantnoj ta£ki, £ije su dimenzije kona£ne, bi¢e nam potrebnioni polinomi koji su denisani u ograni£enom domenu nezavisnih promenljivih. Kon-kretno, kretanje elektrona u kvantnoj ta£ki polupre£nika R je ograni£eno po radijalnojkoordinati, r ∈ [0, R]. Ukoliko, radi jednostavnosti, uvedemo novu promenljivu x = r/R,oblast denisanosti postaje normirana na x ∈ [0, 1].

3.2.1 Leºandrovi polinomi kao osnova za formiranje Lagranºevihfunkcija

Jedan pogodan izbor ortogonalnih polinoma za ovaj slu£aj su Leºandrovi (Legendre)polinomi. Na prvi pogled se, dodu²e, moºe uo£iti da su oni denisani na druga£ijemdomenu, odnosno za vrednosti z ∈ [−1, 1], a nule ovih polinoma se mogu na¢i iz

PN(zi) = 0, i = 1, N. (3.18)

Ipak, uvoenjem jednostavne smene

z = 2x− 1, (3.19)

dobija se nezavisna promenljiva koja je denisana upravo na domenu [0, 1]. Izraz (3.18)se nakon ove smene transformi²e, i postaje

PN(2xi − 1) = 0, i = 1, N. (3.20)


i na taj na£in dobijamo £vorove Lagranºeve mreºe na intervalu koji nam je od interesa.Leºandrovi polinomi, u kojima je izvr²en prelaz na novu promenljivu £iji je domen razli£it,nazivaju se pomereni Leºandrovi polinomi (engl. shifted Legendre polynomials). Nadalje¢emo baratati gotovo isklju£ivo ovim polinomima.

Sada, nakon ²to smo denisali Lagranºevu mreºu, preimo na denisanje Lagranºe-vih funkcija pomo¢u kojih ¢emo zapisivati re²enje jedna£ine koju budemo re²avali, vode¢ira£una da one moraju zadovoljavati denicionu relaciju (3.1) i relaciju ortonormiranosti(3.4). Posmatrajmo, najpre, skup ortonormiranih funkcija na intervalu [0, 1]:

ϕk(x) =1√hkPk(2x− 1), k = 0, N − 1, (3.21)

gde su hk konstante normiranja. Ove konstante odreujemo sluºe¢i se izrazom za orto-normiranost malo£as uvedenih funkcija:

1 =

∫ 1

0

ϕ2k(x) dx =

1

hk

∫ 1

0

P 2k (2x− 1) dx =

1

2hk

∫ 1

−1P 2k (y) dy

=1

2hk

2

2k + 1=

1

hk

1

2k + 1, (3.22)

pri £emu je najpre uvedena smena y = 2x− 1, a u narednom koraku iskori²¢ena poznatarelacija za ortogonalnost Leºandrovih polinoma. Odavde za konstantu ortonormiranostidobijamo

hk =1

2k + 1, (3.23)

a ortonomirani skup funkcija na intervalu [0, 1] dobija oblik

ϕk(x) =√

2k + 1Pk(2x− 1), k = 0, N − 1. (3.24)

Navedimo sada, bez izvoenja, KristofelDarbuovu (ChristoelDarboux) relaciju zaortogonalne polinome pk(x) denisane na intervalu [a, b], koja ima veliki zna£aj u nalaºenjupogodnih Lagranºevih funkcija, kao i ra£unanju matri£nih elemenata hamiltonijana:2

N−1∑k=0

pk(x)pk(y)

(pk, pk)=

1

AN(pN−1, pN−1)

pN(x)pN−1(y)− pN(y)pN−1(x)

x− y, (3.25)

gde je

(pk, pk) =

∫ b

a

w(x)p2k(x) dx (3.26)

skalarni proizvod dva ortogonalna polinoma sa odgovaraju¢om teºinskom funkcijom w(x).Takoe, AN = aN/aN−1, pri £emu je aN koecijent uz xN u polinomu pN(x).

Odaberimo pk(x) = Pk(2x− 1), ²to ¢e za posledicu imati da je

(Pk, Pk) =1

2k + 1, (PN−1, PN−1) =

1

2(N − 1) + 1=

1

2N − 1, (3.27)

2Preciznije, ova relacija nam je od zna£aja za nalaºenje onog dela matri£nog elementa koji je u vezisa kineti£kom energijom. Razlog za to je ²to jedino on sadrºi izvode Lagranºevih funkcija po nezavisnojpromenljivoj.


²to sledi iz relacije (3.22), ukoliko se uzme w(x) = 1. S obzirom na to da je aN koecijentuz (2x− 1)N u PN(2x− 1) i iznosi

aN =(2N)!

2N(N !)2, (3.28)

za AN tada jednostavno moºemo dobiti

AN =aNaN−1

=

(2N)!

2N(N !)2

(2(N − 1))!

2N−1((N − 1)!)2

=

2N(2N − 1)(2N − 2)!

2 · 2N−1(N(N − 1)!)2

(2N − 2))!

2N−1((N − 1)!)2

=2N − 1

N. (3.29)

Zamenom (3.27) i (3.28) u KristofelDarbuovu relaciju (3.25), dobijamoN−1∑k=0

(2k + 1)Pk(2x− 1)Pk(2y − 1) =

=N

2

PN(2x− 1)PN−1(2y − 1)− PN(2y − 1)PN−1(2x− 1)

x− y.

(3.30)

Vratimo se, za trenutak, na Lagranºeve funkcije ϕk(x). Ta£nije, iskoristimo ih kakobismo denisali teºinske faktore λi na slede¢i na£in:3

1

λi=

N−1∑k=0

ϕ2k(xi), i = 1, N. (3.31)

Sada, ukoliko imamo na umu izraz (3.24), moºemo pisati

1

λi=

N−1∑k=0

ϕ2k(xi) =

N−1∑k=0

(2k+1)P 2k (2xi−1) = lim

x→xi

N−1∑k=0

(2k+1)Pk(2x−1)Pk(2xi−1), (3.32)

gde smo se posluºili uvoenjem limesa kako bismo mogli da primenimo KristofelDarbuovurelaciju. Sa druge strane, kori²¢enjem relacije (3.25) u koju smo stavili y = xi, uz £injenicuda vaºi (3.20), dobijamo

N−1∑k=0

(2k + 1)Pk(2x− 1)Pk(2xi − 1) =N

2

PN(2x− 1)PN−1(2xi − 1)

x− xi. (3.33)

Zamenom dobijenog izraza u (3.32), dolazimo do izraza

1

λi= lim

x→xi

N−1∑k=0

(2k + 1)Pk(2x− 1)Pk(2xi − 1) =N

2PN−1(2xi − 1) lim

x→xi

PN(2x− 1)

x− xi

=N

2PN−1(2xi − 1)

dPN(2x− 1)

dx

∣∣∣∣x=xi

, (3.34)

3Na ovom mestu se moºe primetiti da indeks i uzima vrednosti od 1 do N , dok indeks k ide od 0 doN − 1. Ovakav na£in denisanja ovih indeksa nije kontradiktoran, kako bi se moºda isprva pomislilo,jer oni ozna£avaju razli£ite veli£ine indeks i se koristi za ozna£avanje nula Leºandrovih polinoma kaoi Lagranºevih funkcija, dok se ideksom k ozna£avaju sâmi Leºandrovi polinomi i ortonormirane funkcijeϕk(x). Prilikom matemati£kih operacija u kojima se pojavljuju, ne dolazi ni do kakvog njihovog me²anja,samim tim ni do zabune oko £injenice da ne uzimaju isti opseg vrednosti.


pri £emu smo u poslednjem koraku primenili Lopitalovo (L'Hôpital) pravilo, kako bismoodredili £emu konvergira izraz pod limesom.

Izvod pomerenog Leºandrovog polinoma, koji se pojavljuje u poslednjem izrazu, mo-ºemo izraziti preko drugih Leºandrovih polinoma, ukoliko imamo na umu rekurentnurelaciju koja vaºi za nepomerene Leºandrove polinome,

(z2 − 1)dPN(z)

dz−NzPN(z) +NPN−1(z) = 0. (3.35)

Da bismo se sa promenljive z ponovo vratili na x, iskoristi¢emo smenu (3.19), kao i£injenicu da je

dPN(2x− 1)

d(2x− 1)=

1

2

dPN(2x− 1)

dx, (3.36)

²to nas dovodi do rekurentne relacije

2x(x− 1)dPN(2x− 1)

dx−N(2x− 1)PN(2x− 1) +NPN−1(2x− 1) = 0, (3.37)

odakle se za traºeni izvod dobija

dPN(2x− 1)

dx=N(2x− 1)PN(2x− 1)−NPN−1(2x− 1)

2x(x− 1). (3.38)

Meutim, kako nama treba vrednost ovog izvoda u £voru mreºe, stavi¢emo x = xi iiskoristiti (3.20), ²to nas dovodi do

dPN(2x− 1)

dx

∣∣∣∣x=xi

=NPN−1(2xi − 1)

2xi(1− xi). (3.39)

Sada kona£no moºemo na¢i teºinske faktore λi. Zamenom dobijenog izraza u (3.34),nalazimo

1

λi=N2P 2

N−1(2xi − 1)

4xi(1− xi), (3.40)

odakle sledi da je

λi =4xi(1− xi)

N2P 2N−1(2xi − 1)

, i = 1, N. (3.41)

Na ovaj na£in, uspeli smo da naemo teºinske faktore koji odgovaraju Lagranºevim funk-cijama ϕk(x). Dobijeni rezultati ¢e nam biti od koristi kako bismo, u narednom odeljku,potpuno odredili Lagranºeve funkcije sa kojima ¢emo baratati u nastavku ovog rada.

3.2.2 Denisanje LagranºLeºandrovih funkcija

Preimo sada na zadavanje oblika Lagranºevih funkcija koje ¢e zadovoljavati sve po-trebne osobine. Deni²imo LagranºLeºandrove funkcije na slede¢i na£in:

fi(x) =√λi

N−1∑k=0

ϕk(x)ϕk(xi) =√λi

N−1∑k=0

(2k + 1)Pk(2x− 1)Pk(2xi − 1)

=√λiN

2

PN(2x− 1)

x− xiPN−1(2xi − 1), i = 1, N, (3.42)


pri £emu smo odmah primenili izraze (3.24) i (3.33). Lako proveravamo da ovako deni-sane funkcije takoe zadovoljavaju denicionu relaciju (3.1) sa istim teºinskim faktorima.Konkretno, za i = j imamo

fi(xi) =√λi

N−1∑k=0

ϕk(xi)ϕk(xi) =√λi

N−1∑k=0

ϕ2k(xi) =

√λi

1

λi=

1√λi, (3.43)

pri £emu smo se posluºili relacijom (3.31). Sa druge strane, ukoliko je i 6= j, iskoristimoizraz (3.20), ²to ¢e nas dovesti do

fi(xj) =√λi

N−1∑k=0

(2k + 1)Pk(2xj − 1)Pk(2xi − 1) = 0. (3.44)

Zbirno, prethodne dve dobijene relacije se mogu zapisati u dobro poznatom, ºeljenomobliku:

fi(xj) =1√λiδij. (3.45)

Pokazav²i da ovako denisane funkcije zadovoljavaju denicionu relaciju za Lagranºevefunkcije, istovremeno smo pokazali da iste funkcije zadovoljavaju i relaciju ortonormira-nosti (3.4), sa ta£no²¢u do Gausovih kvadratura.

Zamenimo kona£no (3.41) u (3.42), nakon £ega dobijamo

fi(x) =2√xi(1− xi)

N√P 2N−1(2xi − 1)

N

2

PN(2x− 1)

x− xiPN−1(2xi − 1)

=PN−1(2xi − 1)

|PN−1(2xi − 1)|√xi(1− xi)

PN(2x− 1)

x− xi

= sgn (PN−1(2xi − 1))√xi(1− xi)

PN(2x− 1)

x− xi. (3.46)

U poslednjem izrazu se pojavljuje znak Leºandrovog polinoma PN−1(2x−1) u ta£ki x = xi,za koji iz teorije ortogonalnih polinoma znamo da iznosi (−1)N+i. Ovo za rezultat imada traºene LagranºLeºandrove funkcije dobijaju oblik

fi(x) = (−1)N+i√xi(1− xi)

PN(2x− 1)

x− xi, (3.47)

dok za odgovaraju¢e teºinske faktore vaºi relacija

√λi = (−1)N+i 2

√xi(1− xi)

NPN−1(2xi − 1), (3.48)

pri £emu se ponovo pojavljuje faktor (−1)N+i, budu¢i da smo se oslobodili izraza zaapsolutnu vrednost pomerenog Leºandrovog polinoma PN−1(2xi − 1).

Jedan od problema funkcija denisanih preko (3.47) je ta ²to se, za slu£ajeve koji ¢enama nadalje biti od interesa, ne pona²aju na zadovoljavaju¢i na£in na granicama domena.


Drugim re£ima, kako bi se izbegle singularnosti (u x = 0) i zadovoljili grani£ni uslovi (ux = 1), neophodno je ove funkcije neznatno modikovati. Ovo se postiºe uvoenjem novihLagranºLeºandrovih funkcija, na slede¢i na£in:

fi(x) =x(1− x)

xi(1− xi)fi(x) =

(−1)N+i√xi(1− xi)

x(1− x)PN(2x− 1)

x− xi, i = 1, N, (3.49)

za koje se lako vidi da, pored ²to ispunjavaju traºene uslove fi(0) = fi(1) = 0, zadovolja-vaju i relacije (3.1) i (3.4).

Ovako denisane LagranºLeºandrove funkcije,4 koje zadovoljavaju grani£ne uslove odinteresa, kao i osnovne relacije za Lagranºeve funkcije uop²te, pojavljiva¢e nam se u daljemradu u razvoju talasne funkcije sistema koji nameravamo da opi²emo. Takoe, njihovopoznavanje je neophodno kako bi se odredili matri£ni elementi operatora kineti£ke energijekoji se pojavljuje u hamiltonijanu (matri£ni elementi potencijalne energije su, kao ²to smoranije istakli, nezavisni od izbora ovih funkcija u metodu Lagranºeve mreºe). Stoga ¢emose u narednom poglavlju pozabaviti upravo odreivanjem ovih elemenata.

3.3 Nalaºenje matri£nih elemenata operatora kineti£ke

energije

Da bi se odredili matri£ni elementi hamiltonijana u bazisu koji £ine Lagranºeve funk-cije, po pravilu je potrebno znati druge izvode ovih funkcija u £vorovima mreºe.5 Zbogtoga je od velike vaºnosti njihovo odreivanje. S obzirom na to da se ceo postupak svodina niz pravolinijskih operacija, zbog zametnog ra£una ne¢emo detaljno obrazlagati svakikorak pri dobijanju pomenutih izvoda.

Radi jednostavnosti, razmatrajmo funkciju

gi(x) =x(1− x)PN(2x− 1)

x− xi, (3.50)

²to ¢e za traºeni drugi izvod Lagranº-Leºandrove funkcije dati

f ′′i (x) =d2fi(x)

dx2=

(−1)N+i√xi(1− xi)

d2gi(x)

dx2. (3.51)

Ostaje da se pozabavimo odreivanjem prvog i drugog izvoda nove funkcije gi(x). Najpre,za prvi izvod dobijamo

dgi(x)

dx=x(1− x)

x− xidPN(2x− 1)

dx+

(1− 2x)PN(2x− 1)

x− xi− x(1− x)PN(2x− 1)

(x− xi)2, (3.52)

4O£igledno je da se ova kovanica dobija u zavisnosti od toga koji se ortogonalni polinomi koriste zakreiranje mreºe i samih bazisnih funkcija, ²to opet zavisi od prirode zi£kog problema u razmatranju.

5U nekim slu£ajevima ¢e u ovakvim matri£nim elementima gurisati i prvi izvodi Lagranºevih funkcija,²to bi se, na primer, desilo i ovde da nismo uveli smenu (4.30). Uvoenje pomenute smene nam jeomogu¢ilo dobijanje znatno prostijih izraza za matri£ni element operatora kineti£ke energije.

3.3. NALAENJE MATRINIH ELEMENATA. . . 25

dok za drugi izvod ove funkcije sledi

d2gi(x)

dx2=

2(1− 2x)

x− xidPN(2x− 1)

dx− 2x(1− x)

(x− xi)2dPN(2x− 1)

dx+x(1− x)

x− xid2PN(2x− 1)

dx2

− 2PN(2x− 1)

x− xi− 2(1− 2x)PN(2x− 1)

(x− xi)2+

2x(1− x)PN(2x− 1)

(x− xi)3. (3.53)

Prilikom dobijanja ovih izraza kori²¢ene su samo osnovna pravila za izvod zbira, razlike,proizvoda i koli£nika dve funkcije, kao i izvod sloºene funkcije.

3.3.1 Nedijagonalni elementi

Odredimo sada nedijagonalne elemente operatora kineti£ke energije. Ovo ¢emo posti¢iukoliko u gornji izraz stavimo x = xj, pri £emu je j 6= i. Ukoliko imamo na umu jednakost(3.20), rezultat koji se dobija je

d2gi(xj)

dx2=

2(1− 2xj)

xj − xidPN(2x− 1)

dx

∣∣∣∣x=xj

− 2xj(1− xj)(xj − xi)2

dPN(2x− 1)

dx

∣∣∣∣x=xj

+xj(1− xj)xj − xi

d2PN(2x− 1)

dx2

∣∣∣∣x=xj

. (3.54)

Kako bismo odredili drugi izvod pomerenog Leºandrovoh polinoma u j-tom £voru mreºe,koji se pojavljuje u gornjem izrazu, podsetimo se da Leºandrova diferencijalna jedna£ina

ima oblik

(z2 − 1)d2PN(z)

dz2+ 2z

dPN(z)

dz−N(N + 1)PN(z) = 0. (3.55)

Kako bismo se vratili na pomerene Leºandrove polinome, upotrebimo opet smenu (3.19),kao i relaciju (3.36), nakon £ega dobijamo jedna£inu

x(x− 1)d2PN(2x− 1)

dx2+ (2x− 1)

dPN(2x− 1)

dx−N(N + 1)PN(2x− 1) = 0. (3.56)

Stavljanjem x = xj i kori²¢enjem (3.20), dobijamo

xj(xj − 1)d2PN(2x− 1)

dx2

∣∣∣∣x=xj

+ (2xj − 1)dPN(2x− 1)

dx

∣∣∣∣x=xj

= 0, (3.57)

odnosno, ako preuredimo izraz,

d2PN(2x− 1)

dx2

∣∣∣∣x=xj

=2xj − 1

xj(1− xj)dPN(2x− 1)

dx

∣∣∣∣x=xj

. (3.58)

Podsetimo se, takoe, da smo ve¢ na²li prvi izvod pomerenog Leºandrovog polinoma u£voru mreºe, na osnovu £ega, zamenom (3.39) u gornji izraz (uz £injenicu da sada umestoi treba staviti j), proizlazi

d2PN(2x− 1)

dx2

∣∣∣∣x=xj

=2xj − 1

xj(1− xj)NPN−1(2xj − 1)

2xj(1− xj)=N(2xj − 1)PN−1(2xj − 1)

2x2j(1− xj)2. (3.59)


Sada, kada smo odredili sve bitne veli£ine, kona£no moºemo da zamenimo izraze (3.39) i(3.59) u (3.54), nakon £ega dobijamo:

d2gi(xj)

dx2=

2(1− 2xj)

xj − xiNPN−1(2xj − 1)

2xj(1− xj)− 2xj(1− xj)

(xj − xi)2NPN−1(2xj − 1)

2xj(1− xj)

+xj(1− xj)xj − xi

N(2xj − 1)PN−1(2xj − 1)

2x2j(1− xj)2

=

(2(1− 2xj)

xj − xi− 2xj(1− xj)

(xj − xi)2+

2xj − 1

xj − xi

)NPN−1(2xj − 1)

2xj(1− xj)

=2xixj − xi − xj

(xj − xi)2NPN−1(2xj − 1)

2xj(1− xj). (3.60)

Vra¢anjem (3.60) u (3.51), nalazimo

f ′′i (xj) =(−1)N+iNPN−1(2xj − 1)(2xixj − xi − xj)

2√xi(1− xi)xj(1− xj)(xj − xi)2

, (3.61)

²to predstavlja traºeni drugi izvod LagranºLeºandrove funkcije u £voru mreºe j 6= i.Kako ¢emo u daljem radu imati posla sa operatorom kineti£ke energije koji sadrºi samodrugi izvod po (skaliranoj) prostornoj koordinati x, oblika (3.16), nije zgoreg da jo² sadaodredimo £emu ¢e biti jednaki korespondentni matri£ni elementi. Zapi²imo izraz (3.17) une²to konciznijem obliku:

Tij = − ~2m

T ′ij, (3.62)

gde, ukoliko se ograni£imo, kao i do sada, na slu£aj i 6= j, imamo da je

T ′ij =

⟨i

∣∣∣∣ d2

dx2

∣∣∣∣ j⟩ =√λif

′′j (xi)

= (−1)N+i 2√xi(1− xi)

NPN−1(2xi − 1)(−1)N+jNPN−1(2xi − 1)(2xjxi − xj − xi)

2√xj(1− xj)xi(1− xi)(xi − xj)2

=(−1)i+j√

xi(1− xi)xj(1− xj))xi + xj − 2xixj

(xi − xj)2, i 6= j, (3.63)

pri £emu smo u gornjem izrazu eksplicitno zapisali veli£ine koje se u njemu javljaju,pomo¢u relacija (3.48) i (3.61), u kojoj smo promenili mesta indeksima i i j.

3.3.2 Dijagonalni elementi

Postupak nalaºenja dijagonalnih elemenata operatora kineti£ke energije zahteva ne²todublje poznavanje teorije ortogonalnih polinoma. Konkretno, potrebno je poznavati rela-cije koje zadovoljavaju nule odgovaraju¢ih ortogonalnih polinoma, kao i vrednosti izvodâpolinoma u ovim nulama. Zbog zametnog i komplikovanog ra£una koji prethodi dobijanjuºeljenih izraza, na ovom mestu ¢emo samo dati oblik dijagonalnog matri£nog elementa

3.3. NALAENJE MATRINIH ELEMENATA. . . 27

operatora d2/dx2, u bazisu odreenom funkcijama fi(x), a koji se dobija primenom spe-ci£nih teorema iz teorije ortogonalnih polinoma [36]:(

d2

dx2

)ii

=

⟨i

∣∣∣∣ d2

dx2

∣∣∣∣ i⟩ =1

3xi(1− xi)

(N(N + 1) +

1

xi(1− xi)

). (3.64)

Imaju¢i u vidu da gornji izraz upravo predstavlja veli£inu T ′ij koja se pojavljuje u(3.62), zapi²imo kona£an oblik dijagonalnog matri£nog elementa operatora kineti£ke ener-gije, dobijenog u bazisu LagranºLeºandrovih funkcija fi(x):

T ′ii =1

3xi(1− xi)

(N(N + 1) +

1

xi(1− xi)

). (3.65)

Na ovaj na£in, kompletirali smo metod koji ¢emo u daljem radu koristiti kako bismona²li svojstvene talasne funkcije i energije elektrona u kvantnoj ta£ki. Izraze (3.17) i(3.65) koristi¢emo kao gotove formule u daljem radu. Ponovimo, na kraju, da, ukolikore²enje na²eg problema ºelimo da predstavimo preko nekih drugih Lagranºevih funkcija,procedura nalaºenja matri£nih elemenata operatora kineti£ke energije mora da se sprovedeispo£etka.

Glava 4

Modelovanje pona²anja elektrona u

kvantnoj ta£ki

Kristalna struktura materijala karakteri²e se izvesnom pravilno²¢u u rasporedu £vo-rova kristalne re²etke. Ipak, oko tih £vorova kre¢e se ogroman broj elektrona, £ije jepona²anje od fundamentalnog zna£aja za poznavanje najvaºnijih osobina kristala (Fer-mijeva energija, unutra²nja energija, toplotni kapacitet i mnoge druge). U nameri da²to je mogu¢e ta£nije opi²emo ovakav sistem, moramo imati u vidu da se suo£avamo sasistemom sa velikim brojem £estica, koje izmeu sebe interaguju silama elektromagnetneprirode.1 Da bismo uspeli u tome, neophodno je da se opredelimo za neki od zi£kihmodela za koji smatramo da ¢e nam dati najbolje rezultate, a da je pritom pogodan zaeksploatisanje. Na ovom mestu, upozna¢emo se sa modelom koji zamenjuje razmatranjemno²tva elektrona razmatranjem samo jednog elektrona, £ije se kretanje svodi na kretanjeslobodnog elektrona efektivne mase, koja je, sasvim uop²te, druga£ija od stvarne. Ova,efektivna masa, daje meru uticaja ostalih elektrona i £vorova kristalne re²etke na kretanjeposmatranog elektrona. U skladu sa ovom idejom, £itav model se naziva aproksimacijom

efektivne mase. Na samom po£etku, da¢emo neke osnovne postavke ove aproksimacije saaspekta zike £vrstog stanja, a potom je primeniti na konkretan problem. Od interesa udaljem radu ¢e nam biti interakcija elektrona u sfernoj kvantnoj ta£ki sa spolja²njim sta-cionarnim elektromagnetnim poljima. Kao rezultat, dobi¢emo hamiltonijan posmatranogsistema u aproksimaciji efektivne mase £iji svojstveni problem treba re²iti.

4.1 Aproksimacija efektivne mase

Zonska struktura poluprovodnika opisana je disperzionom relacijom zavisno²¢u ener-gije od talasnog vektora k = (k1, k2, k3) pridruºenog elektronu, E(k) [37, 38]. Za ve¢inumaterijala od interesa, ova zavisnost ima sloºen funkcionalan oblik, za koji je karakteri-sti£na pojava nekoliko maksimuma, odnosno minimuma [39]. U okolini ovih ekstremumaje onda mogu¢e disperzionu relaciju predstaviti paraboli£nom zavisno²¢u, sli£noj onom

1Naravno, kristalne strukture kojima se bavimo imaju takve karakteristi£ne skale da je elektromag-netna sila dominantna sila izmeu £estica koje taj kristal £ine.

29

30 GLAVA 4. MODELOVANJE PONAANJA ELEKTRONA. . .

kojoj se pokorava slobodan elektron,

E(k) =~2k2

2me

=~2k2

2me

, (4.1)

gde je me masa elektrona, a k intenzitet talasnog vektora. Naime, ukoliko E(k) razvijemou Tejlorov (Taylor) red u okolini posmatranog ekstremuma £iji talasni vektor ozna£imosa k0 = (k01, k02, k03), i zadrºimo £lanove do drugog reda po k, ima¢emo [37]

E(k) = E(k0) +3∑i=1

(∂E

∂ki

)0

(ki − k0i) +1

2

3∑i,j=1

(∂2E

∂ki∂kj

)0

(ki − k0i) (kj − k0j)

= E(k0) +1

2

3∑i,j=1

(∂2E

∂ki∂kj

)0

(ki − k0i) (kj − k0j) . (4.2)

Prvi £lan u prvom redu gornjeg izraza predstavlja energiju elektrona u minimumu k0

(odnosno, na vrhu valentne ili dnu provodne zone). Drugi £lan otpada zbog £injeniceda izvod energije traºimo u ta£ki u kojoj ona ima minimum, odnosno (∂E/∂ki)0 = 0.Zapi²imo tre¢i £lan u obliku

1

2

3∑i,j=1

(∂2E

∂ki∂kj

)0

(ki − k0i) (kj − k0j) =3∑

i,j=1

~2

2m∗ij(ki − k0i) (kj − k0j) , (4.3)

gde veli£ina m∗ij, koja zadovoljava relaciju

1

m∗ij=

1

~2

(∂2E

∂ki∂kj

)0

, (4.4)

ima dimenzije mase i predstavlja matri£ni element tenzora efektivne mase M.U specijalnom slu£aju, ukoliko su nedijagonalni elementi tenzora M jednaki nuli, dis-

perziona relacija se prakti£no svodi na disperzionu relaciju za slobodnu £esticu, nalikrelaciji (4.1):

E(k) = E(k0) +3∑i=1

~2(ki − k0i)2

2m∗i, (4.5)

gde smo sada dijagonalne elemente ozna£ili samo jednim indeksom, odnosno m∗ii ≡ m∗i .Jedina razlika je u tome ²to je uticaj kristala na kretanje posmatranog elektrona ura£unatu izrazu za efektivnu masu elektrona (kao mera inercije elektrona u polju svih ostalihelektrona i £vorova kristalne re²etke), i taj uticaj zavisi od speci£nog kristalografskogpravca duº koga se elektron kre¢e. Pored toga, u slu£aju izotropnog kristala (npr. kristalasa kubi£nom re²etkom), vaºi¢e m∗1 = m∗2 = m∗3 = m∗e, i efektivna masa ¢e biti skalarnaveli£ina, data relacijom

1

m∗e=

1

~2

(∂2E

∂k2

)0

. (4.6)

Budu¢i da izvod energije po k moºe biti kako pozitivna (u minimumu), tako i negativnaveli£ina (u maksimumu), zaklju£ujemo da efektivna masa ne mora nuºno da bude ve¢a od

4.2. HAMILTONIJAN ELEKTRONA U KVANTNOJ TAKI. . . 31

nule. U provodnoj zoni, meutim, budu¢i da u njoj disperziona relacija ima minimum,efektivna masa ¢e biti pozitivna, i u daljem radu ¢emo razmatrati jedino ovaj slu£aj.

Preimo, na posletku, na kvantnomehani£ki tretman elektrona u kristalu. Poimo odredingerove jedna£ine koja kao re²enje daje talasnu funkciju ψq(r) elektrona u kristaluu polju spolja²njih sila:

− ~2

2me

∇2ψq(r)− (Eq − Uef(r)− U(r))ψq(r) = 0, (4.7)

gde je r vektor poloºaja elektrona, a Eq odgovaraju¢a svojstvena energija (q je kvantnibroj koji opisuje dato stanje). U gornjem izrazu, Uef(r) predstavlja periodi£ni potencijal2

kristalne re²etke, i prakti£no je nepoznata funkcija. Sa druge strane, U(r) predstavljaneperiodi£ni potencijal koji poti£e od interakcije elektrona sa spolja²njim poljima, kaoi ne£isto¢ama unutar kristala. Uvoenjem aproksimacije efektivne mase, dobijamo jed-nostavniji oblik redingerove jedna£ine, u kojoj je interakcija Uef(r) sada ura£unata uefektivnu masu elektrona, koja je zamenila me:

− ~2

2m∗e∇2ϕq(r)− (Eq − U(r))ϕq(r) = 0, (4.8)

gde je ϕq(r) nova talasna funkcija povezana sa starom preko Blohovog (Bloch) modulaci-onog faktora3 izrazom [37]

ψq(r) = Gq(r)ϕq(r). (4.9)

U aproksimaciji efektivne mase, za opisivanje pona²anja elektrona u kristalu koristise jedna£ina (4.8).4 Najgrublje re£eno, primena ove aproksimacije ogleda se u zamenistvarne mase elektrona efektivnom masom u jedna£inu koja opisuje elektron u spolja²njimpoljima, ali kada se ne nalazi unutar kristala. Veli£ina m∗e se u najve¢em broju slu£ajevaodreuje eksperimentalno, i mi ¢emo je, za materijal koji budemo razmatrali u daljemradu, smatrati poznatom.

4.2 Hamiltonijan elektrona u kvantnoj ta£ki u elektro-

magnetnom polju u aproksimaciji efektivne mase

Nakon ²to smo uveli pojam efektivne mase i objasnili njen zna£aj, formuli²imo modelkoji ¢emo prou£avati u ovom radu. Kao ²to smo ve¢ istakli, umesto da posmatramo mno-²tvo elektrona u kvantnoj ta£ki, odabra¢emo jedan jedini, a dejstvo preostalih elektronai £vorova kristalne re²etke ura£una¢emo preko izraza za efektivnu masu elektrona m∗e.

2Iako to u gotovo celom radu nije slu£aj, na ovom mestu smo pojam potencijal iskoristili kao ekvivalentizrazu za potencijalnu energiju, ²to je £est slu£aj u kvantnoj mehanici.

3Blohov modulacioni faktor Gk(r) je periodi£na funkcija koja guri²e u matemati£koj formulacijiBlohove teoreme. Ona tvrdi da se talasna funkcija elektrona u periodi£nom potencijalu kristalne re²etkemoºe zapisati kao ψ(r) = Gk(r)e

ik·r.4Sasvim uop²te, kada kristal nije izotropan, leva strana jedna£ine ¢e se modikovati tako da se na njoj

nae izraz −~2

2 ∇M−1∇, pri £emu je potrebno poznavati ceo tenzor, odnosno inverzni tenzor efektivne

mase. U slu£ajevima koji su nama od interesa, ova veli£ina je, pak, skalarna, i jedna£ina (4.8) bi¢e sasvimdovoljna.


Dalji postupak izvoenja ¢e biti isti kao da imamo posla sa jednim slobodnim elektronomstvarne mase me, pod uslovima denisanim na ºeljeni na£in.

4.2.1 Postavka problema

Posmatrajmo elektron koji se kre¢e u sfernoj kvantnoj ta£ki polupre£nika R sa nepro-bojnim zidovima, interaguju¢i sa pozitivnim naelektrisanjem (jezgrom atoma vodonika)koje poti£e od ne£isto¢e i nalazi se u centru kvantne ta£ke. Ovaj sistem je uz to izloºendejstvu spolja²njeg konstantnog magnetnog polja B, kao i, njemu paralelnog, konstantnogelektri£nog polja F. Problem ¢emo re²avati u sfernim koordinatama, uz logi£an izbor dase koordinatni po£etak nalazi u centru kvantne ta£ke, tj. na mestu gde se nalazi ne£isto¢a,kao i da je z-osa orijentisana u pravcu i smeru spolja²njeg magnetnog, odnosno elektri£nogpolja (Slika 4.1). U tom slu£aju, magnetno polje moºemo pisati kao

B = Bez, (4.10)

dok elektri£no polje ima oblikF = Fez, (4.11)

pri £emu je ez jedini£ni vektor z-ose. Takoe, kao ²to smo u ranijem izlaganju i na-

Slika 4.1: Skica kretanja elektrona u kvantnoj ta£ki sa beskona£no visokim zidovima, u Ku-lonovom polju jezgra vodonikovog atoma i pod dejstvom spolja²njeg elektri£nog i magnetnogpolja.

govestili, pona²anje elektrona u polju drugih elektrona, kao i £vorova kristalne re²etke,posmatra¢emo u aproksimaciji efektivne mase. Efektivna masa ¢e nam biti skalarna veli-£ina i zavisi¢e, logi£no, od osobina kristala. Potencijal kvantne ta£ke u kojoj je zarobljenelektron (o£igledno sferno simetri£an, tj. zavistan samo od radijalne koordinate r) jemodelovan beskona£no dubokom potencijalnom jamom, odnosno:

V (r) =

0, r < R,∞, r ≥ R.

(4.12)


Ovakav izbor potencijala konniranja zi£ki odgovara situaciji kada je poluprovodni£kakvantna ta£ka uronjena u dielektrik, na ²ta je ve¢ ukazano u Glavi 2. S obzirom na toda se ²irine zabranjenih zona ove dve vrste materijala razlikuju minimum za red veli£ine,aproksimacija beskona£no duboke jame je sasvim opravdana. Modelovan na ovakav na£in,potencijal kvantne ta£ke ¢e prouzrokovati da talasna funkcija elektrona izvan nje budejednaka nuli, ²to implicira da je i verovatno¢a nalaºenja elektrona van kvantne ta£kejednaka nuli. Preostaje jedino da se pozabavimo re²avanjem redingerove jedna£ine zaelektron unutar kvantne ta£ke, uz kori²¢enje grani£nog uslova da talasna funkcija nanjenom obodu mora biti jednaka nuli.

Ukoliko talasnu funkciju elektrona unutar kvantne ta£ke ozna£imo sa Ψ(r) ≡ Ψ(r, θ, ϕ),onda ¢e redingerova jedna£ina koju ona zadovoljava (a koja predstavlja specijalan slu£ajjedna£ine (4.8) kada je spolja²nje polje elektromagnetno) biti oblika

HΨ(r, θ, ϕ) = EΨ(r, θ, ϕ), (4.13)

gde je hamiltonijan £estice u spolja²njem elektromagnetnom polju dat op²tim izrazom

H =1

2m∗e(−i~∇+ eA(r))2 − eφ(r), (4.14)

a E predstavlja svojstvenu vrednost operatora H, odnosno energiju elektrona.5 U gornjemizrazu, φ predstavlja skalarni, a A vektorski potencijal elektromagnetnog polja u ta£kiodreenoj vektorom poloºaja r, m∗e je efektivna masa elektrona, a e apsolutna vrednostnjegovog naelektrisanja. Premda razmatramo elektron u Kulonovom (Coulomb) poljuvodonikovog jezgra (naelektrisano pozitivnim naelektrisanjem e), i imaju¢i u vidu da jeceo sistem izloºen dejstvu konstantnog spolja²njeg elektri£nog polja, skalarni potencijal¢e biti

φ(r) =1

4πε0εr

e

|r|− r · F, (4.15)

pri £emu je ε0 dielektri£na konstanta vakuuma, a εr relativna dielektri£na konstantakristala. Drugi £lan sa desne strane gornjeg izraza dobijen je na osnovu £injenice da jepotencijalna energija interakcije atoma vodonika sa spolja²njim elektri£nim poljem oblika

VF = −M · F = er · F, (4.16)

gde je M = −er elektri£ni dipolni moment atoma vodonika, ra£unat u odnosu na ko-ordinatni po£etak. Tada je prira²taj skalarnog potencijala,6 koji poti£e od interakcije

5Sasvim uop²te, hamiltonijan konnirane naelektrisane £estice u spolja²njem elektromagnetnom poljuima oblik

H =1

2m∗e(p− qA(r))

2+ qφ(r) + V (r),

gde su p i q njen impuls i naelektrisanje, respektivno, a V (r) konniraju¢i potencijal kvantne ta£ke. Izraz(4.14) se dobija kada se za impuls iskoristi operatorski zapis p = −i~∇ i za naelektrisanje elektronastavi q = −e, uz £injenicu da za konniraju¢i potencijal, u oblasti unutar koje re²avamo redingerovujedna£inu, vaºi V (r) = V (r) = 0.

6Ukupan skalarni potencijal bi formalno mogao da se zapi²e kao zbir potencijala koji poti£e od Ku-lonove privla£ne sile izmeu elektrona i jezgra, φC (koji se £esto pogre²no interpretira kao celokupan


dipolelektri£no polje, jednostavno:

φF =VF−e

= −r · F, (4.17)

odakle sledi izraz (4.15). Sa druge strane, za vektorski potencijal moºemo, radi jedno-stavnosti, uzeti

A(r) =1

2(B× r). (4.18)

Lako se moºe proveriti da ovakav vektorski potencijal zadovoljava denicionu jedna£inu∇ × A = B. Nakon zamene (4.15) i (4.18) u (4.14), kori²¢enjem (4.10) i (4.11), uz£injenicu da je |r| = r, kao i osnovnih identiteta vektorske algebre, dobijamo

H = − ~2

2m∗e∇2 − i e~

m∗eA · ∇+

e2A2

2m∗e+ er · F− e2

4πε0εrr

= − ~2

2m∗e∇2 +

eB

2m∗eLz +

e2B2

8m∗er2 sin2 θ + eFr cos θ − e2

4πε0εrr, (4.19)

gde je Lz operator komponente momenta impulsa elektrona L = −i~r × ∇ duº z-oseizabranog koordinatnog sistema.

4.2.2 Efektivne atomske jedinice

Prilikom baratanja glomaznim jedna£inama kvantne mehanike, £esto se, radi ²to ve¢epreglednosti i jednostavnijeg zapisa, prisutne zi£ke veli£ine izraºavaju u atomskim jedi-

nicama. U ovim jedinicama, masa slobodnog elektrona iznosi me = 1, a takoe vaºi ie = 1, ~ = 1 i 4πε0 = 1. Ovo povla£i da je i prvi Borov (Bohr) radijus,

a0 =4πε0~2

mee2, (4.20)

takoe jednak jedinici, i u atomskim jedinicama predstavlja jedinicu duºine. U aproksi-maciji efektivne mase se, pak, koriste ne²to druga£ije jedinice, koje kolokvijalno nazivamoefektivne atomske jedinice. U njima je m∗e = 1, e = 1, ~ = 1 i 4πε0εr = 1, dok se duºinaizraºava u efektivnim Borovim radijusima

a∗0 =4πε0εr~2

m∗ee2

. (4.21)

Sli£no se mogu na¢i i ostale efektivne atomske jedinice veli£ina koje ¢e nam u ovom radubiti od zna£aja. Pre svega, efektivna atomska jedinica energije predstavlja apsolutnu vred-nost energije elektrona u atomu vodonika koji orbitira oko jezgra na rastojanju jednakomprvom Borovom radijusu, i ozna£ava se sa

E∗ =m∗ee

4

(4πε0εr)2~2. (4.22)

skalarni potencijal φ), i gorepomenutog potencijala φF ,

φ = φC + φF ,

²to je zapis koga ¢emo se i mi na ovom mestu pridrºavati.


Elektri£no polje se u efektivnim jedinicama dobija kao ja£ina polja kojom proton delujena elektron u gore opisanim uslovima, ²to se matemati£ki moºe izraziti kao

F ∗ =e

4πε0εr (a∗0)2 , (4.23)

dok se za magnetno polje dobija izraz

B∗ =~

e (a∗0)2 . (4.24)

Napomenimo jo² i da ¢e elektri£ni dipolni moment u efektivnim atomskim jedinicama bitiizraºen preko veli£ine

M∗ = ea∗0. (4.25)

U efektivnim atomskim jedinicama se, kona£no, izraz (4.19) moºe zapisati kao

H = −1

2∇2 +

1

2BLz +

1

8B2r2 sin2 θ + Fr cos θ − 1

r, (4.26)

pri £emu treba imati u vidu da je radijalna koordinata r sada data u efektivnim atomskimjedinicama (dakle, preko a∗0), ²to implicira da su na isti na£in date i sve veli£ine kojeguri²u u diferencijalnom operatoru ∇. Isto tvrenje moºemo izneti i za ja£ine spolja²njihpolja B (izraºeno preko B∗) i F (preko F ∗), kao i za energiju E koja se pojavljuje uredingerovoj jedna£ini (4.13), koju izraºavamo u jedinicama E∗. Ne²to kasnije, bi¢epotrebe da i elektri£ni dipolni moment elektrona izrazimo preko M∗. Povratak na SIjedinice obezbeujemo zamenom vrednosti, koje zi£ke konstante m∗e, e, ~ i 4πε0εr imajuu SI jedinicama, u izraze (4.214.25).

Zapi²imo sada eksplicitno redingerovu jedna£inu (4.13) u efektivnim atomskim jedi-nicama. Rezultat je

− 1

2r2∂

∂r

(r2∂Ψ

∂r

)+

(1

2r2L2 +

1

2BLz +

1


r

)Ψ = EΨ. (4.27)

Prilikom dobijanja ovog izraza, imali smo u vidu da je

∇2 =1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)− 1

2r2L2, (4.28)

gde je L2 operator kvadrata momenta impulsa elektrona.7 Kako bi kasnija ra£unskaprocedura bila jednostavnija, uo£i¢emo da parcijalni izvod u prvom £lanu leve strane

7Izraz za laplasijan u sfernim koordinatama (i u SI jedinicama) je

∇2 =1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂φ2.

Imaju¢i u vidu da je, takoe u sfernim koordinatama,

L2 = −~2(

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

),

zamenom donjeg izraza u gornji, kao i uz uzimanje ~ = 1, dobijamo izraz (4.28).


jedna£ine (4.27) moºe da se zapi²e kao

1

r2∂

∂r

(r2∂Ψ

∂r

)=

1

r

∂2

∂r2(rΨ) , (4.29)

²to nas navodi na zaklju£ak da je u ovom slu£aju pogodno izvr²iti smenu

ψ(r, θ, ϕ) = rΨ(r, θ, ϕ). (4.30)

Nakon smene, jedna£ina (4.27) poprima op²ti oblik

Hψ(r, θ, ϕ) = Eψ(r, θ, ϕ), (4.31)

sa hamiltonijanom oblika

H = −1

2

∂2

∂r2+

1

2r2L2 +

1

2BLz +

1


r. (4.32)

4.2.3 Hamiltonijan elektrona u magnetnom i u elektri£nom polju

Vrlo £esto je od interesa prou£avati pona²anje kvantne ta£ke sa ne£isto¢om kao uprethodnom slu£aju, ali sa uklju£enim samo konstantnim magnetnim, odnosno elektri£nimpoljem. Nakon ²to je dobijen izraz za hamiltonijan (4.32), sada je jednostavno svesti ga naneki od dva pomenuta slu£aja. Ukoliko je primenjeno samo magnetno polje, dovoljno je daelimini²emo £lan koji opisuje interakciju elektri£nog polja sa atomom vodonika stavljaju¢iF = 0, £ime dobijamo

HB = −1

2

∂2

∂r2+

1

2r2L2 +

1

2BLz +

1

8B2r2 sin2 θ − 1

r. (4.33)

Na sli£an na£in, stavljanjem B = 0, dobijamo

HF = −1

2

∂2

∂r2+

1

2r2L2 + Fr cos θ − 1

r. (4.34)

²to predstavlja izraz za hamiltonijan sistema pri delovanju samo spolja²njeg elektri£nogpolja.

U slu£aju kada je to mogu¢e, znatno je pogodnije koristiti pojednostavljeni hamilto-nijan, kada nisu uklju£ena oba polja. Meutim, radi kompletnosti izlaganja, u nastavku¢emo baratati isklju£ivo hamiltonijanom (4.32), iz koga se na²e razmatranje lako moºesvesti na slu£ajeve niºe op²tosti.

Glava 5

Elementi nelinearne optike

Konvencionalna, ili linearna optika, opisuje interakciju elektromagnetnih polja sa sre-dinama £iji odziv, kvantitativno izraºen vektorom elektri£ne polarizacije, linearno zavisiod ja£ine elektri£nog polja elektromagnetnog talasa koji biva usmeren na neku opti£kusredinu. Ovakve interakcije polja i sredine opisane su linearnim diferencijalnim jedna-£inama, odakle izvire jedna od glavnih osobina linearne optike princip superpozicije.Pored toga, opti£ke karakteristike sredine, poput indeksa prelamanja i koecijenta ap-sorpcije, ne zavise od intenziteta upadnog zra£enja. Takoe, frekvencija svetlosti1 ostajenepromenjena prilikom prolaska kroz opti£ku sredinu, niti je u toj sredini mogu¢e dadva elektromagnetna talasa na bilo koji na£in interaguju [40]. Linearna zavisnost izmeuelektri£ne polarizacije sredine i primenjenog elektri£nog polja odgovara zi£koj situacijijedino za dovoljno male vrednosti ja£ine polja, ²to je, sve do sredine XX veka, bila ka-rakteristika svih polja ostvarenih u raznim eksperimentalnim uslovima. Samim tim, sveopti£ke sredine smatrane su linearnim.

Tek nakon otkri¢a lasera 1960. godine, postalo je mogu¢e ostvariti znatno ja£a poljaod dotada²njih. Samim tim, interakciju laserskog zra£enja sa materijalnim sredinama nijevi²e bilo mogu¢e opisati linearnom zavisno²¢u izmeu elektri£ne polarizacije i ja£ine polja.tavi²e, pokazalo se da se ovakvi procesi moraju opisati nelinearnim jedna£inama, £imese ru²i princip superpozicije, a omogu¢ava interakcija vi²e elektromagnetnih talasa u ma-terijalnoj sredini, kao i promena njihovih frekvencija prilikom prolaska kroz nju. Takoe,opti£ke karakteristike nelinearnih sredina zavise od intenziteta primenjenog zra£enja. Svaova otkri¢a uslovila su razvoj jedne potpuno nove i bogate oblasti zike koju danas nazi-vamo nelinearna optika. U ovoj Glavi, pozabavi¢emo se osnovnim postavkama nelinearneoptike i uvesti neke zna£ajne veli£ine. Nave²¢emo neke zi£ke procese koji su isklju£ivoposledica nelinearnosti sredine i nemaju nikakav analogon u linearnoj optici. Nakon toga,pre¢i ¢emo na diskutovanje formalizma matrice gustine koji nam je potreban kako bismoizveli izraze za linearni i nelinearni koecijent apsorpcije, veli£ine koje su nam u ovomradu od presudnog zna£aja.

1Iako se u okviru optike u uºem smislu uzima u obzir samo vidljiva svetlost, njen napredak je omogu¢iorazvoj tehnologija sa elektromagnetnim talasima i u drugim opsezima frekvencija izvan vidljivog. Stoga¢emo u ovom radu pojmove elektromagnetni talas i svetlost smatrati sinonimima.

37

38 GLAVA 5. ELEMENTI NELINEARNE OPTIKE

5.1 Osnovne postavke

Kako bismo dali precizniji opis nelinearne opti£ke sredine, posmatrajmo njenu in-terakciju sa elektromagnetnim talasom, £iji je (vremenski zavistan) vektor elektri£nogpolja ~E(t). Odziv sredine na primenjeno elektri£no polje takoe zavisi od vremena ikarakteri²e se vektorom elektri£ne polarizacije ~P(t) elektri£nim dipolnim momentomjedinice zapremine sredine. U slu£aju linearne optike, tj. za slaba polja, veza ovih veli£inadata je linearnom jedna£inom:

~P(t) = ε0χ(1)~E(t), (5.1)

gde je ε0 dielektri£na konstanta vakuuma, a χ(1) linearna susceptibilnost (Slika 5.1 (a)).U nelinearnoj optici, gornji se izraz mora generalizovati za slu£aj jakih polja, kao ²to su,pre svega, laserska. Tada veza izmeu elektri£ne polarizacije i ja£ine polja, prikazana naSlici 5.1 (b), ima oblik stepenog razvoja

~P(t) = ε0

(χ(1)~E(t) + χ(2) |E(t)| ~E(t) + χ(3) |E(t)|2 ~E(t) + . . .

), (5.2)

pri £emu su nelinearne susceptibilnosti i-tog reda, χ(i), i = 2, 3, . . . , kao uostalom i χ(1),u op²tem slu£aju tenzorske2 veli£ine. Tenzorska priroda ovih susceptibilnosti posledicaje anizotropnosti opti£ke sredine sa kojom interaguje laser. Tada elektri£na polarizacijasredine ne¢e biti kolinearna sa vektorom ja£ine elektri£nog polja lasera. U slu£ajevimakoji ¢e nama biti od interesa, materijalne sredine je mogu¢e smatrati izotropnim, ²to¢e implicirati da su sve susceptibilnosti skalari, a vektori elektri£ne polarizacije i ja£inepolja meusobno kolinearni. Izostavljaju¢i sada oznake za vektore, razvoj (5.2) moºemoprepisati u ne²to jednostavnijem obliku:

P(t) = ε0(χ(1)E(t) + χ(2)E(t)2 + χ(3)E(t)3 + . . .

)= P(1)(t) + P(2)(t) + P(3)(t) + · · · . (5.3)

Veli£inu P(1)(t) nazivamo linearnom elektri£nom polarizacijom, a P(i)(t), i = 2, 3, . . . ,nelinearnom elektri£nom polarizacijom i-tog reda. U daljem razmatranju, ograni£i¢emose samo na prva tri £lana gornjeg razvoja, odnosno pozabavi¢emo se linearnim, kao inelinearnim opti£kim procesima drugog i tre¢eg reda.

Prilikom pisanja jedna£ina (5.15.3), pretpostavili smo da je sredina nedisperzivna

i bez gubitaka. U slu£aju disperzivne sredine, susceptibilnosti ¢e zavisiti od frekvence

upadne svetlosti, ali ¢emo ih za sada smatrati konstantnim veli£inama. Takoe, u srediniu kojoj postoje izvesni gubici (apsorpcija), susceptibilnost ¢e biti kompleksna veli£ina.Napomenimo jo² i to da ¢e, u sredinama koje ispoljavaju inverzionu simetriju (r→ −r),χ(2) identi£ki biti jednaka nuli.3 Ovo je razlog zbog koga ¢emo se u daljem radu mahomkoncentrisati na linearne i nelinearne opti£ke procese tre¢eg reda.

2U op²tem slu£aju, izostavljaju¢i eksplicitno pisanje vremenske zavisnosti, izraz za elektri£nu polari-zaciju je dat kao

Pi = ε0

(χ(1)ij Ej + χ

(2)ijkEjEk + χ

(3)ijklEjEkEl + · · ·

),

gde se indeksi mogu ozna£iti bilo sa x, y, z ili sa 1, 2, 3, i pri £emu se vr²i sumiranje po ponovljenimindeksima. Vidimo da su, sasvim uop²te, susceptibilnosti zapravo tenzorske veli£ine drugog, tre¢eg i vi²ihredova, na ²ta sugeri²e broj indeksa koji te veli£ine karakteri²e.

3S obzirom na to da, kao pravi vektori, P i E (a samim tim i svi £lanovi uz neparne stepene ja£ine polja)

5.1. OSNOVNE POSTAVKE 39

Slika 5.1: Zavisnost elektri£ne polarizacije od ja£ine elektri£nog polja u (a) linearnoj i (b)nelinearnoj sredini.

5.1.1 Nelinearna talasna jedna£ina

Kretanje svetlosti kroz nelinearnu opti£ku sredinu opisuje se, kao i u linearnoj optici,talasnom jedna£inom, koja se dobija iz Maksvelovih jedna£ina za slobodno polje (a kojeovde ne¢emo navoditi) [7]:

∇2~E − 1

c2∂2~E∂t2

= µ0∂2 ~P∂t2

, (5.4)

pri £emu je c = 1/√µ0ε0 brzina prostiranja svetlosti u vakuumu, a µ0 magnetna perme-

abilnost vakuuma. Prime¢ujemo da je oblik ove jedna£ine isti kao i za slu£aj linearneopti£ke sredine, sa tom razlikom da je elektri£na polarizacija sada data kao

~P = ε0χ(1)~E + ~PNL, (5.5)

gde smo sa~PNL = ε0χ

(2)E ~E + ε0χ(3)E2~E + . . . (5.6)

ozna£ili deo elektri£ne polarizacije povezan sa nelinearnim odgovorom sredine na prime-njeno polje. Ubacivanjem (5.5) u (5.4), znaju¢i da je c = 1/

√µ0ε0, εr = 1 +χ(1), a brzina

prostiranja svetlosti u dielektri£noj sredini v = 1/√µ0ε0εr, dobijamo izraz

∇2~E − 1

v2∂2~E∂t2

= µ0∂2 ~PNL

∂t2. (5.7)

Budu¢i da se u ovoj jedna£ini eksplicitno pojavljuje nelinearna komponenta elektri£ne po-larizacije, zva¢emo je nelinearnom talasnom jedna£inom. Vidimo da se, u slu£aju linearnesredine, kada £lan sa desne strane postaje jednak nuli, jedna£ina (5.7) svodi na obi£nutalasnu jedna£inu za prostiranje elektromagnetnih talasa u linearnoj dielektri£noj sredini.U na²em slu£aju, meutim, ovaj £lan unosi bitnu razliku u odnosu na konvencionalnuoptiku, pona²aju¢i se kao svojevrstan izvor nelinearnosti u a priori linearnoj srediniindeksa prelamanja nr = c/v =

√εr. Budu¢i da pomenuti nelinearni £lan u talasnoj

prilikom inverzije koordinata menjaju znak, a kako bi relacija (5.3) i dalje ostala na snazi, neophodno jeda svi £lanovi uz parne stepene E budu jednaki nuli.


jedna£ini ima zi£ki smisao ubrzanja £estica koje se kre¢u u opti£kom medijumu, on jepovezan sa emitovanjem zra£enja od strane ovih £estica, a sve u skladu sa Larmorovom(Larmor) formulom.

5.1.2 Nelinearni opti£ki procesi drugog i tre¢eg reda

Radi jasnijeg uvida u mno²tvo nelinearnih fenomena koji se mogu javiti u raznim opti£-kim sredinama, navedimo nekoliko takvih primera, koji su konkretno posledica postojanjanelinearnih susceptibilnosti drugog i tre¢eg reda. Govori¢emo o nastanku drugog harmo-nika (engl. second harmonic generation), opti£koj rektikaciji (engl. optical rectication)i nastanku zbira i razlike frekvencija (engl. sum- and dierence-frequency generation) kaoprimerima nelinearnih procesa drugog reda, a kao primer nelinearnih procesa tre¢eg reda¢emo detaljnije opisati nastanak tre¢eg harmonika (engl. third harmonic generation) [7].U okviru ovog izlaganja bi¢e dovoljno da se fokusiramo na kvalitativni opis, bez suvi²nihra£unskih detalja.

Slika 5.2: (a) ematski prikaz i (b) energijski dijagram nastanka drugog harmonika [7].

Nastanak drugog harmonika predstavlja pojavu talasa frekvencije dvostruko ve¢e odupadne pri prolasku lasera kroz nelinearnu sredinu (Slika 5.2 (a)). Za ovaj proces zasluºnaje nelinearna susceptibilnost drugog reda. Matemati£ki izraºeno, ukoliko je elektri£nopolje upadnog lasera oblika

E(t) = E0e−iωt + E∗0e

iωt, (5.8)

gde je E0 amplituda upadnog talasa, E∗0 njena kompleksno konjugovana vrednost, a ωnjegova frekvencija (pri £emu smo, radi jednostavnosti, izostavili vektorski zapis), odzivsredine drugog reda dat je drugim £lanom u razvoju vektora elektri£ne polarizacije, £ijioblik vidimo iz izraza (5.3),

P(2)(t) = ε0χ(2)E2(t) = 2ε0χ

(2)E∗0E0 + ε0χ(2)(E2

0e−2iωt + (E∗0)2 e2iωt

). (5.9)

Vidimo da, pri interakciji upadnog polja sa opti£kom sredinom, pod dejstvom χ(2) dolazido stvaranja dva talasa, pri £emu je jedan od njih nulte frekvencije, dok drugi ima frekven-ciju dvostruko ve¢u od upadne. Nelinearna talasna jedna£ina (5.7) nam sugeri²e da prvi£lan ne¢e imati za posledicu emisiju zra£enja, jer ¢e drugi izvod nelinearne komponente


elektri£ne polarizacije biti jednak nuli. Ovaj £lan je, pak, povezan sa nastankom elek-

trostati£kog polja u nelinearnoj sredini, ²to je efekat koji se naziva opti£ka rektikacija.Sa druge strane, zra£enje na dvostruko ve¢oj frekvenci od po£etne ¢e se emitovati kaoposledica postojanja drugog sabirka u (5.9). Nelinearna sredina je, dakle, u interakcijisa elektromagnetnim talasom upadnog lasera, stvorila njegov vi²i harmonik. Nastanakdrugog hamonika je vizuelno prikazan na Slici 5.2 (b). Prilikom stvaranja jednog fotonafrekvencije 2ω, utro²ena su dva fotona po£etne frekvencije lasera. Punom linijom ozna-£en je osnovni nivo atoma, a isprekidanim virtuelni nivoi, koji ne predstavljaju svojstvenastanja slobodnog atoma, ve¢ atoma u interakciji sa spolja²njim elektromagnetnim poljem.Pod odgovaraju¢im eksperimentalnim uslovima, mogu¢e je obezbediti da se frekvencijagotovo celokupnog zra£enja lasera pove¢a sa ω na 2ω. Ovaj proces ima zna£ajnu primenuu pomeranju opsega lasera u neki drugi deo spektra.

Slika 5.3: (a) ematski prikaz i (b) energijski dijagram nastanka zbira frekvencija [7].

Razmotrimo sada slu£aj interakcije nelinearne sredine drugog reda4 sa upadnim zra-£enjem koje sadrºi dve komponente razli£itih frekvencija ω1 i ω2. Ovo zra£enje moºemopredstaviti elektri£nim poljem oblika

E(t) = E1e−iω1t + E2e

−iω2t + c.c., (5.10)

gde su E1 i E2 amplitude elektri£nog polja prvog i drugog talasa, respektivno, a c.c. ozna-£ava kompleksno konjugovanu vrednost prethodno napisanog izraza. Tada ¢e elektri£napolarizacija drugog reda biti

P(2)(t) = ε0χ(2)E2(t) = 2ε0χ

(2) (E∗1E1 + E∗2E2) + ε0χ(2)(E2

1e−2iω1t + E2

2e−2iω2t

+ 2E1E2e−i(ω1+ω2)t + 2E1E

∗2e−i(ω1−ω2)t + c.c.). (5.11)

Iz gornjeg izraza uo£avamo nekoliko komponenti P(2)(t). Zapi²imo, najpre, ovu veli£inuu ne²to pogodnijem obliku:

P(2)(t) =∑n

P (ωn)e−iωnt, (5.12)

4Ovde se misli na hipoteti£ku sredinu koja £ija bi susceptibilnost bila £isto χ(2). Naravno, ova suscep-tibilnost je samo jedna komponenta u razvoju elektri£ne polarizacije, i sama doprinosi ukupnom odzivusredine mno²tvom razli£itih nelinearnih procesa. U sredinama vi²eg reda, broj tih procesa bi¢e sve ve¢i.


gde sumiranje ide po svim pozitivnim i negativnim vrednostima ωn. Posmatraju¢i izraze(5.11) i (5.12), jasno je da komponenta

P (0) = 2ε0χ(2) (E∗1E1 + E∗2E2) (5.13)

odgovara opti£koj rektikaciji, koja se javila i u prethodnom slu£aju. Pored toga, preko£lanova

P (2ω1) = ε0χ(2)E2

1 , P (2ω2) = ε0χ(2)E2

2 , (5.14)

vidimo da ¢e i u ovom slu£aju nastati drugi harmonici, frekvencija 2ω1 i 2ω2. Novi procesikoje ovde opaºamo su dati slede¢im izrazima:

P (ω1 + ω2) = 2ε0χ(2)E1E2, P (ω1 − ω2) = 2ε0χ

(2)E1E∗2 . (5.15)

Prvi od ova dva izraza odgovara nastanku zbira frekvencija. Preciznije re£eno, pri interak-ciji polja sa opti£kom sredinom, nasta¢e novi elektromagnetni talas frekvencije ω1+ω2, ²toje ²ematski prikazano na Slici 5.3 (a). Sa aspekta stvaranja i nestajanja fotona, jasno je daje potrebno utro²iti po jedan foton frekvencije ω1 i ω2 kako bi se formirao jedan foton £ijaje frekvencija ω1 +ω2 (Slika 5.3 (b)). Za drugi £lan, koji matemati£ki opisuje situaciju naSlici 5.4 (a) koju nazivamo nastanak razlike frekvencija, situacija je ne²to manje trivijalna.Da bismo dobili foton frekvencije ω1 − ω2 (uz pretpostavku da je ω1 > ω2), potrebno jeda se utro²i jedan foton vi²e frekvencije (u ovom slu£aju ω1), a nastane jedan sa niºomfrekvencijom (ω2), ²to se vidi na Slici 5.4 (b). Ovo implicira poja£anje svetlosti niºefrekvencije, ²to se u praksi i prime¢uje. Eksperimentalna primena nastanka zbira i razlikefrekvencija je prevashodno vezana za pode²avanje frekvencije izlazne svetlosti, na osnovupromene frekvencije jedne komponente lasera na ulazu, dok se druga drºi ksiranom.Na kraju, napomenimo samo da smo, prilikom navoenja nelinearnih efekata izraºenihjedna£inama (5.125.14), izostavili £lanove negativne frekvencije, premda oni predstav-ljaju kompleksno konjugovane vrednosti ve¢ navedenih izraza, i ne unose nikakvo novopona²anje u sistem.

Slika 5.4: (a) ematski prikaz i (b) energijski dijagram nastanka razlike frekvencija [7].

Pozabavimo se, na kraju, i jednim procesom vezanim za nelinearnost tre¢eg reda.Nastanak tre¢eg harmonika je mogu¢ tek u nelinearnoj sredini tre¢eg reda u sredini


drugog reda se ne javlja (Slika 5.5 (a)). Zapi²imo, radi pogodnosti, elektri£no polje une²to druga£ijem obliku od dosada²njeg,

E(t) = E0 cosωt, (5.16)

gde E0 ponovo ozna£ava amplitudu vremenski promenljivog elektri£nog polja, a ω njegovufrekvenciju. Ukoliko se podsetimo trigonometrijske relacije

cos3 ωt =1

4cos 3ωt+

3

4cosωt, (5.17)

lako vidimo da ¢e elektri£na polarizacija tre¢eg reda imati oblik

P(3)(t) = ε0χ(3)E3(t) =

1

4ε0χ

(3)E30 cos 3ωt+

3

4ε0χ

(3)E30 cosωt. (5.18)

Dakle, pored talasa nepromenjene frekvencije, pri izlasku iz opti£ke sredine javi¢e se italas sa frekvencijom trostruko ve¢om od upadne. Energijski dijagram koji odgovara ovomefektu prikazan je na Slici 5.5 (b). Vidimo da je, da bi nastao jedan foton frekvencije 3ω,potrebno uni²titi tri fotona upadnog zra£enja. Napomenimo, na kraju, da ¢e interakcijalasera sa nelinearnom sredinom tre¢eg reda na izlazu dati bogat spektar talasa raznihfrekvencija, na kojima se u ovom radu ne¢emo zadrºavati.

Slika 5.5: (a) ematski prikaz i (b) energijski dijagram nastanka tre¢eg harmonika [7].

5.1.3 Indeks prelamanja i koecijent apsorpcije sredine

Objasnimo sada zi£ki smisao opti£ke susceptibilnosti, veli£ine koju smo uveli u ovojGlavi. Kao ²to je ranije ve¢ istaknuto, u slu£aju sredine u kojoj postoje izvesni gubici,susceptibilnost je kompleksna veli£ina. Takoe, ukoliko postoji vremenska disperzija,susceptibilnost ¢e jo² zavisiti i od frekvencije upadne svetlosti ω.

Veliki zna£aj susceptibilnosti je u tome ²to se iz nje moºe dobiti informacija kako obrzini prostiranja svetlosti kroz opti£ku sredinu, tako i o gubicima prilikom apsorpcijesvetlosti od strane pomenute sredine. Prva veli£ina se dobija iz indeksa prelamanja, kojideni²emo kao

nr(ω) =√

1 + Reχ(ω), (5.19)


gde Reχ(ω) predstavlja oznaku za realni deo opti£ke susceptibilnosti.Sa druge strane, apsorpcija se kvantitativno opisuje koecijentom apsorpcije, koji se

deni²e na slede¢i na£in:

α(ω) =ω

vImχ(ω) =

ωnr(ω)

cImχ(ω) =

ω√εrc

Imχ(ω), (5.20)

pri £emu je v brzina prostiranja svetlosti u datoj sredini [41]. Vidimo da je koecijentapsorpcije povezan sa imaginarnim delom opti£ke susceptibilnosti sredine. Budu¢i da jetema ovog rada ra£unanje koecijenta apsorpcije konkretne sredine, ovaj poslednji izraz ¢enam nadalje nesumnjivo biti od posebnog zna£aja. Pored toga, za vrednost nr uzima¢emoneku konstantnu, usrednjenu vrednost indeksa prelamanja.

5.2 Formalizam matrice gustine

Opti£ka susceptibilnost, uvedena preko izraza (5.2), od velikog je zna£aja za na² daljirad, budu¢i da se iz nje moºe izvu¢i informacija o apsorpciji laserskog zra£enja pri pro-lasku kroz odgovaraju¢u opti£ku sredinu (jedna£ina (5.20)). U na²em slu£aju, re£ je oapsorpciji zra£enja pri interakciji sa poluprovodni£kom kvantnom ta£kom. Zbog toga jeneophodno poznavati eksplicitan izraz za susceptibilnost, u kome ¢e se pojaviti veli£inekarakteristi£ne za lasersko polje koje usmeravamo na materijal, kao i parametri sâmogmaterijala, poput strukture energijskih nivoa i elektri£nih dipolnih prelaza. Najekasnijina£in za dobijanje ovih eksplicitnih izraza jeste preko kvantnomehani£kog formalizma ma-trice gustine, £ije ¢emo osnove ukratko izloºiti u ovom poglavlju. Nakon toga, izloºene£injenice ¢emo iskoristiti kako bismo na²li najpre eksplicitne izraze za susceptibilnosti, apotom i koecijente apsorpcije za sistem sa dva energijska nivoa.

5.2.1 Matrica gustine

Kako bismo uveli matricu gustine i ukazali na njen zna£aj pri tretiranju sloºenih kvant-nomehani£kih sistema, razmotrimo najpre jedan takav sistem (npr. atom) koji se nalaziu nekom konkretnom kvantnom stanju opisanom talasnom funkcijom ψα(r, t) ≡ |α〉. Ovostanje nije jedino mogu¢e stanje sistema, ve¢ se javlja kao rezultat merenja sa nekomverovatno¢om wα.5 Precizniije, re£ je o verovatno¢i da se jedan £lan ansambla identi£noprepariranih sistema nae u stanju |α〉. Ovu verovatno¢u ne treba shvatiti u kvantnome-hani£kom smislu (kao posledicu relacija neodreenosti), ve¢ kao nemogu¢nost poznavanjakvantnomehani£kog, £istog stanja sistema. Ova nemogu¢nost proizlazi iz £injenice da de-lovi nekih jako sloºenih sistema (na primer, atomi u raznim parama i konglomeratima)snaºno i u£estalo interaguju sa okolinom, prelaze¢i pod tim dejstvom stalno u neka drugakvantna stanja. Ve¢ samo uvoenje pojma ansambla, meutim, sugeri²e nam da je re£ opotpuno klasi£nom pojmu verovatno¢e [7, 42,43].

Neka ortonormirane funkcije un(r) ≡ |n〉 £ine kompletan set bazisnih funkcija u Hil-bertovom (Hilbert) prostoru. Budu¢i da zadovoljavaju relaciju ortonormiranosti, vaºi∫

u∗m(r)u∗n(r) dr ≡ 〈m|n〉 = δmn, (5.21)

5U slu£aju da je wα = 1, sistem se sigurno nalazi u stanju |α〉 koje se onda naziva £isto stanje.

5.2. FORMALIZAM MATRICE GUSTINE 45

gde se integracija vr²i po £itavom prostoru. Razvijmo stanje sistema |α〉 po ovom bazisu.Dobi¢emo izraz

|α〉 =∑n

Cαn (t)|n〉, (5.22)

gde su Cαn (t) koecijenti u razvoju koji zavise od vremena, i predstavljaju amplitude

verovatno¢e nalaºenja atoma u stanju |n〉 u trenutku t. Mnoºenjem (5.22) sa u∗m(r) iintegracijom po £itavom prostoru, uz prelaz na Dirakovu notaciju, dobijamo

〈m|α〉 =∑n

Cαn (t)〈m|n〉 =

∑n

Cαn (t)δmn = Cα

m(t), (5.23)

gde smo se posluºili relacijom (5.21) i poznatom osobinom Kronekerove delte.O£ekivana vrednost operatora neke opservabilne veli£ine A u stanju |α〉 moºe se izra-

£unati po formuli (uz izostavljanje eksplicitne zavisnosti koecijenata od t)

〈A〉α = 〈α|A|α〉 =∑m,n

(Cαm)∗Cα

n 〈m|A|n〉 =∑m,n

(Cαm)∗Cα

nAmn, (5.24)

pri £emu smo imali u vidu izraz (5.22) i £injenicu da je Amn ≡ 〈m|A|n〉. Ova o£ekivanavrednost je zaista izmerena vrednost ove opservable samo ukoliko znamo da se sistemnalazi u stanju |α〉, odnosno ukoliko je ono £isto stanje.

Ukoliko to, pak, nije slu£aj, o£ekivanu vrednost neke merljive zi£ke veli£ine moramora£unati na ne²to druga£iji na£in. Uvedimo, u tom cilju, operator matrice gustine sistemana slede¢i na£in:

ρ =∑α

wα|α〉〈α|, (5.25)

gde se sumiranje vr²i po svim mogu¢im stanjima sistema. Matrica gustine ¢e, onda, bitidata preko svojih matri£nih elemenata u bazisu |n〉 kao

ρmn = 〈m|ρ|n〉 =∑α

wα〈m|α〉〈α|n〉 =∑α

wα (Cαn )∗Cα

m, (5.26)

pri £emu je iskori²¢en (5.23) i njemu konjugovan izraz.Fizi£ki smisao dijagonalnih elemenata matrice gustine se lako vidi iz relacije (5.26):

ρnn =∑α

wα (Cαn )∗Cα

n =∑α

wα |Cαn |

2 . (5.27)

Odavde vidimo da ρnn predstavlja verovatno¢u da se sistem nae u stanju |n〉, nezavisnood toga u kome se stanju |α〉 nalazi. U skladu sa tim, dijagonalni elementi matrice gustinenazivaju se populacije, po²to je pomenuta verovatno¢a direktno povezana sa naseljeno²¢uposmatranog nivoa. S obzirom na to da je verovatno¢a da se sistem nae u bilo komstanju |α〉 i bilo kom stanju |n〉 jednaka jedinici, moºemo pisati∑

n

∑α

wα |Cαn |

2 =∑n

ρnn = Trρ = 1, (5.28)

gde smo iskoristili izraz (5.27) i deniciju traga kvadratne matrice. Dobijena relacija pred-stavlja jednu od vaºnijih osobina matrice gustine. Sa druge strane, nedijagonalni elementi


ρmn imaju ne²to apstraktniji smisao, i povezani su sa prelazima izmeu svojstvenih stanja|m〉 i |n〉. Nedijagonalni elementi matrice gustine se nazivaju koherencije [7]. Takoe, izjedna£ine (5.26) sledi jo² jedna vaºna relacija, ovaj put za nedijagonalne elemente:

ρ∗mn = ρnm. (5.29)

Glavna uloga matrice gustine leºi u izra£unavanju o£ekivanih vrednosti zi£kih opser-vabli. Za sistem u £istom stanju, ova o£ekivana vrednost je data izrazom (5.24). Meutim,ukoliko ono nije poznato, ve¢ je jedina informacija koju imamo o sistemu verovatno¢a wαda se sistem nae u stanju |α〉, o£ekivanu vrednost moramo traºiti po formuli

〈A〉 =∑α

wα〈A〉α =∑α

wα∑m,n

(Cαm)∗Cα

nAmn =∑m,n

ρnmAmn

=∑n

(∑m

ρnmAmn

)=∑n

(ρA)nn

= Tr(ρA), (5.30)

gde se usrednjavanje, pored kvantnomehani£kog, koje je dato izrazom (5.24), vr²i i poansamblu. Prilikom dobijanja ovog izraza, najpre je iskori²¢ena relacija (5.24), a potom i(5.26). Da bi se dobio kona£an izraz, iskori²¢eni su izrazi za matri£ne elemente proizvodadva operatora, kao i denicija traga matrice. Kao ²to smo ne²to ranije istakli, dobijeniizraz je od izuzetnog zna£aja za prou£avanje sloºenih kvantnomehani£kih sistema, kojeje neophodno tretirati statisti£kim metodama. Kao takav, ovaj izraz ¢e i nama biti odzna£aja u daljem radu.

5.2.2 Liuvilova jedna£ina

Navedimo, na kraju, jedna£inu koja ¢e opisivati vremensku evoluciju operatora matricegustine.6 U najprostijem slu£aju ona glasi

˙ρ =1

i~

[H, ρ

], (5.31)

i naj£e²¢e se naziva Liuvilova (Liuville) jedna£ina. Njenim re²avanjem, za konkretan oblikhamiltonijana sistema, dobijamo matricu gustine kao funkciju vremena.

U nezanemarljivom broju slu£ajeva, meutim, gornja jedna£ina ne obuhvata sve zi£keprocese koji se javljaju u kristalu. Tu se pre svega misli na procese relaksacije koji suposledica rasejanja izmeu atoma, raspada, spontane emisije itd. Ovi procesi se, zbogsvoje sloºenosti, ne mogu ura£unati preko izraza za hamiltonijan H, ve¢ je potrebnouvesti ih fenomenolo²ki. Zajedno sa dopunskim £lanom, Liuvilova jedna£ina poprimaoblik

˙ρ =1

i~

[H, ρ

]+ Λρ, (5.32)

pri £emu je Λ fenomenolo²ki operator koji opisuje procese relaksacije u atomskom sistemu.Konkretan izbor matri£nih elemenata ovog operatora ¢e biti tema daljeg razmatranja.

6Detaljno izvoenje svodi se na primenu teorije vremenski zavisnih perturbacija, pri £emu se talasnafunkcija opisana stanjem |α〉 upravo razvija po bazisu |n〉 prema (5.22), a ulogu perturbacije igra ve¢pomenuta interakcija atoma sa okolinom [7].

5.3. SISTEM SA DVA ENERGIJSKA NIVOA 47

5.3 Sistem sa dva energijska nivoa

Preimo sada na razmatranje kvantnog sistema koji je tema istraºivanja ovog rada.Elektron u kvantnoj ta£ki pod datim uslovima moºe se na¢i u onim kvantnim stanjima kojasu re²enja redingerove jedna£ine (4.13), ili, alternativno, (4.31). Sasvim uop²te, mogu¢eje posmatrati ovaj sistem u interakciji sa primenjenim laserskim poljem kao sistem sabeskona£no mnogo nivoa, ali ¢emo se mi u ovom radu ograni£iti samo na dva svojstvenastanja elektrona najniºe energije. Opravdanje za ovu aproksimaciju leºi u £injenici da jelaser mogu¢e podesiti tako da indukuje prelaze upravo izmeu ovih nivoa.

5.3.1 Hamiltonijan sistema

ematski prikaz sistema sa dva nivoa dat je na Slici 5.6. Osnovno stanje ozna£ava¢emosa |1〉, a prvo pobueno stanje ket vektorom |2〉. Istaknimo jo² na po£etku da radimo saortonormiranim stanjima, odnosno da je

〈1|1〉 = 〈2|2〉 = 1, 〈1|2〉 = 〈2|1〉 = 0. (5.33)

Neka je elektromagnetni talas laserskog polja, koje usmeravamo na razmatrani atomski

Slika 5.6: Primer sistema sa dva nivoa i njegove interakcije sa fotonom upadnog laserskogzra£enja, koja dovodi do apsorpcije fotona i prelazak elektrona u vi²e energijsko stanje.

sistem, opisan vektorom vremenski zavisnog elektri£nog polja,

~E(t) =1

2

(E0e

−iωt + E∗0eiωt), (5.34)

gde je ω frekvencija lasera, a E0 amplituda elektri£nog polja lasera. Celokupan sistematomlaser bi¢e okarakterisan hamiltonijanom, koji se moºe zapisati u obliku

H = HA + Hint, (5.35)

gde je HA tzv. atomski hamiltonijan, a Hint predstavlja hamiltonijan interakcije atomasa laserskim poljem. Atomskim hamiltonijanom opisujemo atomski sistem koji nije pod-vrgnut dejstvu nikakvih spolja²njih polja, i stanja |1〉 i |2〉 su upravo svojstvena stanjaovog hamiltonijana. Drugim re£ima, vaºe relacije

HA|1〉 = E1|1〉, HA|2〉 = E2|2〉, (5.36)


gde su E1 = ~ω1 i E2 = ~ω2 energije ovih stanja. Znaju¢i ovo, atomski hamiltonijanmoºemo zapisati u obliku

HA = ~ω1|1〉〈1|+ ~ω2|2〉〈2| = ~ω1A11 + ~ω2A22, (5.37)

pri £emu smo, radi jednostavnijeg pisanja, uveli operator Amn = |m〉〈n|. Imaju¢i u vidurelacije (5.33), lako se vidi da hamiltonijan (5.37) zadovoljava jedna£ine (5.36). Sa drugestrane, hamiltonijan interakcije je, u dipolnoj aproksimaciji, koju ¢emo ovde koristiti, datu obliku

Hint = −M · ~E(t), (5.38)

gde je veli£ina M =∑

i eiri operator elektri£nog dipolnog prelaza, a ei naelektrisanja i rivektori poloºaja £estica posmatranog sistema. Za sistem koji ¢e nama biti od interesa elektron u polju vodonikovog jezgra u aproksimaciji efektivne mase, ovaj operator imaoblik M = −er. Da bismo na²li eksplicitniji oblik ovog operatora, iskoristimo relacijuzatvorenosti u obliku ∑

n

|n〉〈n| = I, (5.39)

u kojoj je I jedini£ni operator, i napi²imo

M = IMI =

(∑m

|m〉〈m|

)M

(∑n

|n〉〈n|

)=∑m,n

Mmn|m〉〈n|

=∑m,n

MmnAmn = M11A11 + M12A12 + M21A21 + M22A22

= M12A12 + M21A21. (5.40)

Sada je jasnije za²to smo veli£inu M nazvali operatorom elektri£nog dipolnog prelaza njegovi matri£ni elementi, Mmn ≡ 〈m|M|n〉, daju amplitudu verovatno¢e prelaza izstanja |n〉 u stanje |m〉. U pisanju gornjeg izraza, iskori²¢ena je £injenica da su, u dipolnojaproksimaciji, dijagonalni matri£ni elementi operatora dipolnog prelaza izmeu stanja isteparnosti jednaki nuli. Uvr²tanjem (5.34) i (5.40) u izraz (5.38), i njegovim preureivanjem,za hamiltonijan interakcije dobijamo

Hint = − 1

2(M12 · E0) e

−iωtA12 −1

2(M12 · E∗0) eiωtA12

− 1

2(M21 · E0) e

−iωtA21 −1

2(M21 · E∗0) eiωtA21. (5.41)

Cilj ovog razmatranja jeste da naemo hamiltonijan sistema atomlaser, i uvrstimoga u Liuvilovu jedna£inu (5.32), kako bismo na²li izraz za matricu gustine. Primetimo daje hamiltonijan interakcije (5.41) vremenski zavistan. Jedan od na£ina na koji je mogu¢epojednostaviti ovaj izraz jeste odgovaraju¢im transformacijama eliminisati zavisnost odvremena. Za po£etak, preimo na interakcionu sliku pomo¢u unitarne transformacije

U = ei~ HAt = eiω1tA11+iω2tA22 . (5.42)

Prilikom ove operacije, hamiltonijan sistema ¢e se transformisati kao

HI = U †HU . (5.43)


Vidimo da je, kako bismo na²li HI , potrebno da znamo kako se transformi²u operatoriAmn. Primenom poznate formule kvantne mehanike,

eABe−A = B +[A, B

]+

1

2!

[A,[A, B

]]+

1

3!

[A,[A,[A, B

]]]+ · · · , (5.44)

gde su A i B proizvoljni linearni operatori, a[A, B

]njihov komutator, znaju¢i relacije

(5.33), dobijamo

AI11 = U †A11U = A11, AI22 = U †A22U = A22,

AI12 = U †A12U = e−iω21tA12, AI21 = U †A21U = eiω21tA21,(5.45)

gde je ω21 = ω2 − ω1 frekvenca koja odgovara energiji prelaza E21 = ~ω21 sa pobuenogna osnovni nivo. Lako se vidi da se atomski hamiltonijan HA pri prelasku na interakcionusliku ne menja. Sa druge strane, hamiltonijan interakcije ¢e imati oblik

HIint = − 1

2(M12 · E0) e

−iωte−iω21tA12 −1

2(M12 · E∗0) eiωte−iω21tA12

− 1

2(M21 · E0) e

−iωteiω21tA21 −1

2(M21 · E∗0) eiωteiω21tA21. (5.46)

Posmatraju¢i gornji izraz, moºemo zapaziti da prvi i poslednji £lan sa desne strane ueksponentu sadrºe £lan tipa ω+ω21. Ovi £lanovi, stoga, znatno brºe osciluju sa vremenomod druga dva £lana koji osciluju frekvencom ω−ω21, znatno manjom od prethodne. Zbogtoga je mogu¢e uvesti aproksimaciju rotiraju¢eg talasa (engl. rotating wave approxima-

tion), odnosno zanemariti prvi i poslednji £lan u gore dobijenom izrazu. Nakon izvr²eneaproksimacije, hamiltonijan interakcije postaje

HIint = −1

2(M12 · E∗0) e−i(ω21−ω)tA12 −

1

2(M21 · E0) e

i(ω21−ω)tA21. (5.47)

Povratkom na redingerovu sliku, primenom inverzne unitarne transformacije U †, za ukup-ni hamiltonijan dobijamo

HS = UHIU † = ~ω1A11 + ~ω2A22 −1

2(M12 · E∗0) eiωtA12 −

1

2(M21 · E0) e

−iωtA21. (5.48)

Ovaj hamiltonijan, meutim, i dalje zavisi od vremena. Zbog toga uvodimo jo² jednuunitarnu transformaciju

U ′ = eiαtA11 + eiβtA22, (5.49)

koja odgovara prelasku u sistem reference koji se kre¢e, odnosno rotira zajedno sa elek-tromagnetnim talasom (engl. rotating frame), gde su α i β koecijenti koje ¢emo odredititako da elimini²emo zavisnost od vremena. Hamiltonijan se transformi²e prema izrazu7

H = i~∂U ′

∂tU ′† + U ′HSU ′†, (5.50)

7Unitarna transformacija U transformi²e talasnu funkciju sistema kao ψ′ = Uψ. Budu¢i da onezadovoljavaju vremenski zavisnu redingerovu jedna£inu,

i~∂ψ

∂t= Hψ,


gde je sa H ozna£en novi hamiltonijan, i ne treba ga me²ati sa po£etnim hamiltonijanomza koji smo koristili istu oznaku. Pomo¢u izraza (5.49) dobijamo najpre da je

∂U ′

∂t= iαeiαtA11 + iβeiβtA22, U ′† = e−iαtA11 + e−iβtA22, (5.51)

da bismo, potom, zamenom ovih izraza, kao i (5.48) u (5.50), uz kori²¢enje denicionerelacije za Amn i relacija (5.33), kona£no dobili

H = ~(ω21 − α)A11 + ~(ω21 − β)A22

− 1

2(M12 · E∗0) ei(β−α−ω)tA12 −

1

2(M21 · E0) e

−i(β−α−ω)tA21. (5.52)

Premda ne ºelimo da se u novom hamiltonijanu pojavljuje zavisnost od vremena, kon-stante u eksponentu ¢emo odabrati tako da £itav eksponent u gornjem izrazu bude jednaknuli, odnosno

β − α− ω = 0. (5.53)

Ovaj uslov nam odreuje samo vezu izmeu koecijenata,

β = α + ω, (5.54)

dok preostali koecijent moºemo izabrati tako da dobijeni hamiltonijan bude ²to jedno-stavniji. Uzmimo, na primer, da je

ω1 − α = 0, (5.55)

£ime elimini²emo prvi £lan izraza (5.52). Odavde, dakle, dobijamo traºene koecijente:

α = ω1, β = ω + ω1, (5.56)

a hamiltonijan poprima kona£an oblik:

H = ~∆A22 − ~Ω∗A12 − ~ΩA21. (5.57)

prilikom (inverzne) unitarne transformacije, ψ = U†ψ′, ona ¢e se transformisati i postati

i~∂

∂t

(U†ψ′

)= HU†ψ′.

Primenom pravila za izvod proizvoda, a potom mnoºenjem zdesna £itavog izraza sa U i preureivanjem,uz £injenicu da je U†U = I, dobijamo

i~∂ψ′

∂t=

(i~∂U

∂tU† + UHU†

)ψ′.

Vidimo da ¢e ψ′ takoe zadovoljavati redingerovu jedna£inu ako se hamiltonijan transformi²e kao

H ′ = i~∂U

∂tU† + UHU†,

²to je i trebalo pokazati.


Prilikom pisanja ovog izraza, uveli smo oznake

∆ = ω21 − ω, (5.58)

koja predstavlja razde²enost (engl. detuning), odnosno razliku izmeu frekvencije atom-skog prelaza i frekvencije upadnog laserskog zra£enja, kao i

~Ω =1

2(M21 · E0) , ~Ω∗ =

1

2(M12 · E∗0) , (5.59)

gde je Ω tzv. Rabijeva (Rabi) frekvencija. Dva gornja izraza su jedan drugom konjugovanokompleksni, zbog £injenice da je M21 = 〈2|M|1〉 = 〈1|M|2〉∗ = M∗

12. Navedimo, radipotpunosti, na posletku i matri£ni oblik hamiltonijana (5.57):

H = ~(

0 −Ω∗

−Ω ∆

). (5.60)

Sada, kada smo dobili izraz za hamiltonijan sistema u aproksimaciji rotiraju¢eg talasa, i unovom koordinatnom sistemu koji se kre¢e zajedno sa elektromagnetnim talasom, moºemopre¢i na odreivanje dinamike matrice gustine posmatranog sistema. Naravno, kada ovobudemo uradili, vrati¢emo se na redingerovu sliku pomo¢u inverzne transformacije U ′†.

5.3.2 Master jedna£ine

Vremenska evolucija operatora matrice gustine odreena je Liuvilovom jedna£inom(5.32). Eksplicitni izraz za matricu gustine zavisi¢e, pak, od konkretnog bazisa u komereprezentujemo dati operator. Kako razmatrani sistem ima dva nivoa, to ¢e na² bazis£initi samo dve svojstvene funkcije, |1〉 i |2〉, pa ¢e matrica gustine biti oblika

ρ =

(ρ11 ρ12ρ21 ρ22

), (5.61)

gde je ρmn = 〈m|ρ|n〉. To zna£i da ¢e se operatorska jedna£ina (5.32) razbiti na £etiriobi£ne skalarne diferencijalne jedna£ine za odreivanje vremenske zavisnosti £etiri ma-tri£na elementa. Napomenimo na ovom mestu da, za sistem od dva nivoa, relacija (5.28)dobija oblik

ρ11 + ρ22 = 1, (5.62)

a (5.29) se svodi naρ12 = ρ∗21. (5.63)

Jedna£ine za svaki matri£ni element operatora matrice gustine zajedno se nazivaju masterjedna£ine, ili opti£ke Blohove jedna£ine.

Da bismo na²li eksplicitan oblik prve od £etiri master jedna£ina, zanemarimo za trenu-tak procese relaksacije, pomnoºimo jedna£inu (5.31) sleva sa 〈1| i zdesna sa |1〉, iskoristimodeniciju matri£nih elemenata operatora matrice gustine, kao i relaciju zatvorenosti za


sistem sa dva nivoa. Rezultat je

ρ11 =1

i~

[H, ρ

]11

= − i~

((Hρ)11−(ρH)11

)= − i

~

(〈1|Hρ|1〉 − 〈1|ρH|1〉

)= − i

~

(〈1|H|1〉〈1|ρ|1〉+ 〈1|H|2〉〈2|ρ|1〉 − 〈1|ρ|1〉〈1|H|1〉 − 〈1|ρ|2〉〈2|H|1〉

)= − i

~(H11ρ11 +H12ρ21 − ρ11H11 − ρ12H21) = − i

~(H12ρ21 −H21ρ12) . (5.64)

Sli£no dolazimo i do preostalih master jedna£ina. Tako, za ρ12 imamo

ρ12 = − i~

((Hρ)12−(ρH)12

)= − i

~(H11ρ12 +H12ρ22 − ρ11H12 − ρ12H22)

= − i~

((H11 −H22) ρ12 +H12 (ρ22 − ρ11)) . (5.65)

Preostale dve jedna£ine ne¢emo navoditi u op²tem obliku, jer se one mogu dobiti kori²¢e-njem relacija (5.62) i (5.63).

Iskoristimo sada eksplicitan izraz za hamiltonijan (5.57) i ubacimo ga u jedna£ine(5.64) i (5.65), a preostale dve master jedna£ine odredimo, kao ²to je ve¢ napomenuto,preko (5.62) i (5.63). Dobijeni sistem jedna£ina

ρ11 = −iΩρ12 + iΩ∗ρ21, (5.66)ρ12 = i∆ρ12 + iΩ∗ (ρ22 − ρ11) , (5.67)ρ21 = −i∆ρ21 − iΩ (ρ22 − ρ11) , (5.68)ρ22 = −iΩρ12 + iΩ∗ρ21, (5.69)

£ini master jedna£ine za sistem sa dva nivoa koji interaguje sa laserskim poljem, u sistemuvezanom za lasersku svetlost, ali bez ura£unavanja efekata relaksacije.

Relaksacija se, kao ²to smo ve¢ naglasili, uvodi fenomenolo²ki, preko drugog £lanadesne strane izraza (5.32). U na²em slu£aju, on je dat izrazima:(

Λρ)11

= Γρ22,(

Λρ)12

= −Γρ12,(

Λρ)21

= −Γρ21,(

Λρ)22

= −Γρ22. (5.70)

Prvi izraz (i znak plus ispred njega) u (5.70) je posledica £injenice da se prvi nivo popunjavaraspadom sa nivoa |2〉, dok poslednji izraz (sa znakom minus ispred) odraºava £injenicuda se naseljenost nivoa |2〉 smanjuje usled relaksacije. U gornjim izrazima, realna veli£ina

Γ =1

τ(5.71)

predstavlja brzinu relaksacije (engl. relaxation rate) sa vi²eg na niºi nivo, a veli£ina τ jevreme relaksacije. Vreme relaksacije je odreeno prevashodno interakcijom elektrona safononima kristalne re²etke. Budu¢i da je teorija koja se bavi izra£unavanjem ove veli£inejako sloºena, vrednost τ se obi£no uzima iz eksperimenata. Takoe, s obzirom na to davreme relaksacije zavisi od velikog broja parametara (izmeu ostalog i od temperaturematerijala), ono moºe uzimati veliki raspon vrednosti. Upravo zbog toga ¢e kasnije u


ovom radu biti re£i o uticaju promene τ na apsorpciju elektromagnetnog talasa od stranepoluprovodni£ke kvantne ta£ke.

Kona£no, master jedna£ine koje opisuju i relaksacione procese, dobijene istim postup-kom kao i prethodne, imaju slede¢i oblik:

ρ11 = −iΩρ12 + iΩ∗ρ21 + Γρ22, (5.72)ρ12 = (i∆− Γ) ρ12 + iΩ∗ (ρ22 − ρ11) , (5.73)ρ21 = − (i∆ + Γ) ρ21 − iΩ (ρ22 − ρ11) , (5.74)ρ22 = −iΩρ12 + iΩ∗ρ21 − Γρ22. (5.75)

Zbog toga ²to su ove jedna£ine meusobno zavisne, u daljem radu ¢emo re²avati samosistem od dve master jedna£ine, i to konkretno (5.73) i (5.75), kojima pridruºujemo ve¢nekoliko puta pominjane relacije (5.62) i (5.63).

5.3.3 Re²avanje sistema master jedna£ina

Preimo sada na nalaºenje eksplicitnih izraza za elemente matrice gustine. Prepi-²imo, za po£etak, jedna£inu (5.73), nakon ²to smo u nju zamenili izraz za ρ11 pomo¢u(5.62), stavljaju¢i tildu iznad elemenata matrice gustine, kako bismo naglasili da je matricagustine ra£unata u koordinatnom sistemu koji se kre¢e zajedno sa talasom (prelaz na tajkoordinatni sistem je matemati£ki iskazan unitarnom transformacijom U ′):

˙ρ12 = (i∆− Γ) ρ12 + iΩ∗ (2ρ22 − 1) . (5.76)

Budu¢i da nas prevashodno interesuje apsorpcija zra£enja, koja ne zavisi od vremenskogtrenutka u kome tu apsorpciju posmatramo, prirodno je o£ekivati da matrica gustinesistema ne zavisi od vremena. Preciznije, pretpostavljamo da stacionarni reºim nastupavrlo brzo i posmatramo matricu gustine upravo u tom limesu. Ova pretpostavka implicirada svi vremenski izvodi koji se pojavljuju u master jedna£inama i²£ezavaju. Budu¢i da smose ograni£ili na razmatranje samo dve master jedna£ine i pomo¢ne relacije, prepi²imo samo(5.76) i (5.75) u stacionarnom limesu (ponovo stavljaju¢i tildu svuda gde je potrebno):

0 = (i∆− Γ) ρ12 + iΩ∗ (2ρ22 − 1) , (5.77)0 = −iΩρ12 + iΩ∗ρ21 − Γρ22. (5.78)

Vidimo da iz jedna£ine (5.77) moºemo izraziti ρ12 preko ρ22. Jednostavnim preureiva-njem izraza dobijamo

ρ12 =iΩ∗ (1− 2ρ22)

i∆− Γ, (5.79)

a kompleksnim konjugovanjem i primenom (5.63) imamo

ρ21 =iΩ (1− 2ρ22)

i∆ + Γ. (5.80)


Ubacivanjem (5.79) i (5.80) u preostalu jedna£inu (5.78), dobijamo jedna£inu po ρ22:

0 = −iΩiΩ∗ (1− 2ρ22)

i∆− Γ+ iΩ∗

iΩ (1− 2ρ22)

i∆ + Γ− Γρ22

= |Ω|2 (1− 2ρ22)

(1

i∆− Γ− 1

i∆ + Γ

)− Γρ22

= |Ω|2 (1− 2ρ22)2Γ

∆2 + Γ2− Γρ22

=2|Ω|2Γ

∆2 + Γ2− 4|Ω|2Γ

∆2 + Γ2ρ22 − Γρ22

=2|Ω|2

∆2 + Γ2− 4|Ω|2 + ∆2 + Γ2

∆2 + Γ2ρ22, (5.81)

gde je |Ω|2 = Ω∗Ω kvadrat modula Rabijeve frekvence. Krajnji izraz dobijen je deljenjemsa Γ. Odavde se kona£no dobija

ρ22 =2|Ω|2

4|Ω|2 + ∆2 + Γ2. (5.82)

Radi kompletnosti, navedimo jo² i izraz za ρ11, koji se jednostavno dobija primenom(5.62):

ρ11 =2|Ω|2 + ∆2 + Γ2

4|Ω|2 + ∆2 + Γ2. (5.83)

Kona£no, zamenom (5.82) u (5.79) odnosno (5.80), imamo

ρ12 =Ω∗ (∆− iΓ)

4|Ω|2 + ∆2 + Γ2, (5.84)

odnosno

ρ21 =Ω (∆ + iΓ)

4|Ω|2 + ∆2 + Γ2. (5.85)

£ime smo potpuno odredili matricu gustine u stacionarnom reºimu.Kao ²to smo ve¢ napomenuli, tildu iznad oznake za matricu gustine uveli smo kako

bismo istakli da je ona ra£unata u sistemu vezanom za elektromagnetni talas. Budu¢i da¢emo nadalje morati da radimo sa operatorima u redingerovoj slici, transformi²imo nasli£an na£in i matricu gustine, primenjuju¢i inverznu transformaciju U ′†:8

ρ = U ′† ˆρU ′. (5.86)

8Zakon transformacije matrice gustine odredi¢emo koriste¢i deniciju njenih matri£nih elemenata.Neka su, nakon unitarne transformacije U , ovi elementi dati izrazom

ρmn = 〈m| ˆρ|n〉,

gde su |m〉 = U |m〉 i |n〉 = U |n〉 talasne funkcije nakon izvr²ene unitarne transformacije. Ubacivanjemovih talasnih funkcija u prethodni izraz, dobijamo

ρmn = 〈m|U† ˆρU |n〉.

Po²to su matri£ni elementi povezani sa verovatno¢om, koja ne sme zavisiti od bazisa u kojem je odreu-


Kori²¢enjem izraza (5.49), druge jedna£ine iz (5.51), kao i (5.56), za matricu gustine uredingerovoj slici dobijamo

ρ = A11ˆρA11 + ei(β−α)tA11

ˆρA22 + e−i(β−α)tA22ˆρA11 + A22

ˆρA22

= ρ11A11 + eiωtρ12A12 + e−iωtρ21A21 + ρ22A22, (5.87)

pri £emu smo imali u vidu relacije ortonormiranosti (5.33) i denicije odgovaraju¢ih ma-tri£nih elemenata. Dakle, elementi matrice gustine dobijaju kona£an oblik:

ρ11 = ρ11, ρ22 = ρ22,ρ12 = eiωtρ12, ρ21 = e−iωtρ21.

(5.88)

5.3.4 Odreivanje susceptibilnosti i koecijenata apsorpcije

Opti£ka susceptibilnost sredine denisana je izrazima (5.1) i (5.2), odnosno (5.3). Mo-gu¢e je, pak, ovu veli£inu denisati ne²to druga£ije, u zavisnosti od toga koji se oblik £inipogodnijim. Nama je na ovom mestu zgodnije da baratamo susceptibilno²¢u denisanomna slede¢i na£in:

~P(t) = ε0εrχ~E(t). (5.89)

U slu£aju linearne sredine, ovaj izraz je ekvivalentan izrazu (5.1) uz χ = χ(1), dok jeu nelinearnoj sredini on ekvivalentan sa (5.2), uz tu razliku ²to je u nelinearnu suscep-tibilnost drugog reda ura£unat faktor |~E(t)|, u susceptibilnost tre¢eg reda faktor |~E(t)|2itd. Ova preformulacija ¢e nam pomo¢i da dobijemo generalan izraz za susceptibilnostproizvoljnog reda, premda ¢e onda svako χ(i), i = 1, 2, . . . , zadovoljavati jedna£inu (5.89).Takoe, treba imati u vidu da ¢e sada χ zavisiti od frekvence upadnog talasa, ²to namsugeri²e da je sredina disperzivna.

Sa jedne strane, potrebno je na¢i elektri£nu polarizaciju sistema sa dva nivoa kojiinteraguje sa elektromagnetnim poljem lasera. U situaciji kada je ovakav atom izloºendejstvu spolja²njih polja, kvantno stanje nije poznato, i neophodno je iskoristiti stati-sti£ki formalizam matrice gustine. Izra£unajmo, najpre, o£ekivanu vrednost operatoraelektri£nog dipolnog prelaza po formuli (5.28):

〈M〉 = Tr(ρM)

=∑n

(ρM)nn

=∑m,n

ρnmMmn, (5.90)

pri £emu je iskori²¢ena relacija zatvorenosti. Za sistem sa dva nivoa, pri £emu znamo jo²i da je M11 = M22 = 0, ova o£ekivana vrednost postaje

〈M〉 = ρ12M21 + ρ21M12 = M21(ρ21 + ρ12). (5.91)

Pri dobijanju gornjeg izraza, pretpostavili smo, radi jednostavnosti, da su svi matri£nielementi elektri£nog dipolnog prelaza realne veli£ine, ²to implicira da je M12 = M∗

12 =

jemo, imamo ρmn = ρmn, odakle jednostavno £itamo izraz za matricu gustine u starom bazisu:

ρ = U† ˆρU .


M21. Takoe, istu pretpostavku ¢emo na£initi i za amplitudu elektri£nog polja lasera,E∗0 = E0, odakle sledi da je i Rabijeva frekvenca realna veli£ina, Ω∗ = Ω, odnosno|Ω|2 = Ω2. Elektri£na polarizacija sistema ¢e onda biti jednaka

~P(t) = σ〈M〉 = σM21(ρ21 + ρ12) = σM21(e−iωtρ21 + eiωtρ12), (5.92)

gde je sa σ ozna£ena gustina elektronskih stanja. U gornji izraz ubacili smo i relacije izdonjeg reda izraza (5.88), odakle se vidi na koji na£in elektri£na polarizacija sistema zavisiod vremena. Logi£no, odgovor sredine ¢e imati isto pona²anje (oscilovanje) sa vremenomkao i upadno elektri£no polje lasera.

Sa druge strane, elektri£na polarizacija je u nelinearnoj sredini data preko (5.89).Zamenom (5.34) u ovaj izraz, podse¢aju¢i se da smo odabrali da amplituda polja buderealna, imamo

~P(t) =1

2ε0εrχ

(E0e

−iωt + E∗0eiωt)

=1

2ε0εrE0

(χ(ω)e−iωt + χ(−ω)eiωt

), (5.93)

gde smo sada eksplicitno iskazali zavisnost susceptibilnosti od frekvence upadnog laserskogzra£enja, i odvojili delove koji odgovaraju pozitivnim, odnosno negativnim frekvencama.Izjedna£imo, kona£no, (5.92) i (5.93). Dobi¢emo slede¢i izraz:

σM21(e−iωtρ21 + eiωtρ12) =

1

2ε0εrE0

(χ(ω)e−iωt + χ(−ω)eiωt

). (5.94)

Ograni£imo se samo na pozitivne frekvence, i izjedna£imo £lanove uz e−iωt u gornjemizrazu. Rezultat je:

σM21ρ21 =1

2ε0εrE0χ(ω). (5.95)

Zadrºimo se, na kratko, na operatoru elektri£nog dipolnog prelaza. Lasersko polje dosada nismo detaljno razmatrali, ali nam je, za dalji ra£un, potrebno da preciziramo njegovupolarizaciju. Neka zbog toga, radi pogodnosti, elektri£no polje lasera bude polarizovanou pravcu z-ose ranije odabranog kordinatnog sistema (koji je uveden jo² u Glavi 4). Tadamoºemo pisati

M21 · E0 = 〈2|M|1〉 · E0 = −e〈2|r|1〉 · E0 = −e〈2|(xex + yey + zez)|1〉 · E0ez

= −e〈2|z|1〉E0 = M21E0, (5.96)

gde smo saM21 = −e〈2|z|1〉 ozna£ili z-komponentu operatora elektri£nog dipolnog prelazasa osnovnog na prvo pobueno stanje, koja ¢e jedina i gurisati u na²im kasnijim izrazima.Zbog toga, jedna£inu (5.95) moºemo prepisati u skalarnoj formi na slede¢i na£in:

σM21ρ21 =1

2ε0εrE0χ(ω), (5.97)

²to, re²avanjem po χ(ω), daje

χ(ω) =2σM21

ε0εrE0

ρ21. (5.98)


Ukoliko izraz (5.85) unesemo u (5.98), dobijamo eksplicitniji izraz

χ(ω) =2σM21

ε0εrE0

Ω (∆ + iΓ)

4Ω2 + ∆2 + Γ2. (5.99)

Vidimo da susceptibilnost izraºena na ovaj na£in nije pogodna za kori²¢enje, budu¢i da seja£ina elektri£nog polja, koja guri²e u izrazu za Rabijevu frekvenciju, nalazi u imeniocugornje jedna£ine. Kako bismo ovo izbegli i do²li u situaciju da χ(ω) razvijemo u stepenired po ja£inama polja, razvijmo, najpre, imenilac izraza (5.99) u red po Ω u okolini nule.Rezultat ¢e biti

1

4Ω2 + ∆2 + Γ2=

1

∆2 + Γ2+

1

1!0 · Ω− 1

2!

8

(∆2 + Γ2)2· Ω2 + · · · , (5.100)

i primetimo da drugi £lan u razvoju i²£ezava. Dobijeni razvoj sada moºemo uvrstiti u(5.99), ²to nas dovodi do

χ(ω) =2σM21

ε0εrE0

Ω (∆ + iΓ)

∆2 + Γ2− 8σM21

ε0εrE0

Ω3 (∆ + iΓ)

(∆2 + Γ2)2

=σ|M21|2

ε0εr~(∆ + iΓ)

∆2 + Γ2− σ|M21|4|E0|2

ε0εr~3(∆ + iΓ)

(∆2 + Γ2)2

= χ(1)(ω) + χ(3)(ω), (5.101)

pri £emu smo koristili izraze (5.59) i (5.96). Dobijen rezultat daje nam izraze za linearnui nelinearnu susceptibilnost tre¢eg reda. Susceptibilnost drugog reda je, kako smo videli,jednaka nuli.

Sada moºemo pre¢i na odreivanje koecijenata apsorpcije. Iskoristimo relaciju (5.20)za linearni i nelinearni koecijent ponaosob. Ako u razvoju koji smo upravo dobili zadr-ºimo samo £lanove do tre¢eg reda po E0, apsorpciju moºemo opisati ukupnim koecijentomapsorpcije

α(ω, I) = α(1)(ω) + α(3)(ω, I), (5.102)

gde je linearni koecijent apsorpcije

α(1)(ω) =ω√εrc

Imχ(1)(ω) = ω1

ε0c√εr~|M21|2σΓ

∆2 + Γ2, (5.103)

a nelinerni koecijent apsorpcije tre¢eg reda

α(3)(ω, I) =ω√εrc

Imχ(3)(ω) = −ω 1

ε0c√εr~3|E0|2|M21|4σΓ

(∆2 + Γ2)2

= −ω 1

(ε0c)2 εr~3

2I|M21|4σΓ

(∆2 + Γ2)2. (5.104)

Prilikom sreivanja gornjeg izraza, uveli smo intenzitet upadne laserske svetlosti

I = vw =c

nr

1

2ε0εr|E0|2 =

1

2ε0c√εr|E0|2, (5.105)


gde je w gustina energije elektromagnetnog polja talasa. Iz formule (5.104) vidimo da ¢enelinearni, a samim tim i ukupni koecijent apsorpcije zavisiti od intenziteta lasera.

Zapi²imo, na kraju, koecijente apsorpcije u formi koja ¢e nam biti najprikladnija zadalje ra£unanje. Izrazimo eksplicitno zavisnost od ω vra¢aju¢i se na izraze za razde²enost(5.58) i Rabijevu frekvenciju (5.59), podse¢aju¢i se da je E21 = ~ω21. Tada izrazi zakoecijente apsorpcije postaju

α(1)(ω) = ~ω1

ε0c√εr

|M21|2σΓ

(E21 − ~ω)2 + (~Γ)2(5.106)

i

α(3)(ω, I) = −~ω 1

(ε0c)2√εrnr

2I|M21|4σΓ

((E21 − ~ω)2 + (~Γ)2)2. (5.107)

Prilikom dobijanja poslednjeg izraza, eksplicitno su odvojeni relativna dielektri£na kon-stanta sredine i njen indeks prelamanja. Iako su, prema teoriji, ove dve veli£ine povezanepreko relacije nr =

√εr, treba imati na umu da je εr stati£ka konstanta. Drugim re£ima,

denisana je za sredinu koja nije izloºena dejstvu vremenski promenljivih polja. Kakobismo uneli ovu nestati£nost u gornju formulu, praksa je da se uzmu razli£ite vrednostiza√εr i nr pri ra£unanju apsorpcionih koecijenata. Te prakse ¢emo se i u ovom radu

pridrºavati.

Glava 6

Numeri£ka procedura

Nakon ²to smo se upoznali sa svim teorijskim postavkama neophodnim za razume-vanje problema sa kojim se suo£avamo, kao i osnovama numeri£kog metoda koji ¢emokoristiti, ostaje da kona£no primenimo metod Lagranºeve mreºe na re²avanje redinge-rove jedna£ine elektrona u kvantnoj ta£ki u elektromagnetnom polju, u aproksimacijiefektivne mase. U ovoj Glavi ¢emo upravo dati detaljniji uvid u na£in na koji pomenutujedna£inu re²avamo. Takoe, nakon ²to naemo njena re²enja svojstvene talasne funkcijei korespondentne svojstvene energije elektrona, isti metod ¢emo primeniti na ra£unanjematri£nog elementa elektri£nog dipolnog prelaza izmeu dva konkretna energijska stanja,koji guri²e u izrazu za koecijente apsorpcije, a £ije nam je poznavanje od nalnoginteresa.

6.1 Odreivanje energija i talasnih funkcija elektrona

Vratimo se na redingerovu jedna£inu (4.31) sa hamiltonijanom datim izrazom (4.32).Od interesa nam je nalaºenje svojstvenih vrednosti energije elektrona E, kao i svojstvenihtalasnih funkcija ψ(r, θ, ϕ). Kao ²to smo na nekoliko mesta ve¢ sugerisali, ovaj poduhvatje analiti£ki prakti£no nemogu¢e odraditi, te se £esto pristupa raznim, manje ili vi²epodesnim, numeri£kim metodima. Na ovom mestu, re²avanje redingerove jedna£inesprove²¢emo uz pomo¢ metoda Lagranºevih mreºa, koji je detaljno prou£en u Glavi 3.

6.1.1 Zadavanje oblika talasne funkcije

Na samom po£etku, talasnu funkciju koja zadovoljava jedna£inu (4.31) traºi¢emo uobliku:

ψ(r, θ, ϕ) =N∑j=1

L∑l2=|m|

cjl2fj

( rR

)Yl2m (θ, ϕ) , (6.1)

pri £emu je N broj £vorova Lagranºeve mreºe, L red najvi²eg sfernog harmonika, a cjl2 je-dan od koecijenata razvoja koje treba odrediti. Iz gornjeg izraza se vidi da se, pogodnomsmenom

x =r

R, (6.2)

59

60 GLAVA 6. NUMERIKA PROCEDURA

interval radijalne koordinate sa r ∈ [0, R] moºe normirati na x ∈ [0, 1], kako bi u razvojutalasne funkcije mogle da guri²u LagranºLeºandrove funkcije fj(x). Na kraju, istaknimoosobine sfernih harmonika koje su nam od interesa u daljem radu. Pre svega, relacijaortonormiranosti glasi∫

Y ∗l1m1(θ, ϕ)Yl2m2 (θ, ϕ) sin θ dθ dϕ = δl1l2δm1m2 , (6.3)

ili, u Dirakovoj notaciji (Ylm(θ, ϕ) ≡ |l m〉, Y ∗lm(θ, ϕ) ≡ 〈l m|),

〈l1m1|l2m2〉 = δl1l2δm1m2 , (6.4)

koju ¢emo u daljem tekstu, radi jednostavnosti, gotovo isklju£ivo koristiti. Takoe, odzna£aja ¢e biti i £injenica da sferni harmonici predstavljaju svojstvene funkcije kako ope-ratora L2, tako i Lz. Konkretno, imamo

L2|l m〉 = l(l + 1)|l m〉, (6.5)

odnosno 1

Lz|l m〉 = m|l m〉, (6.6)

gde, sasvim uop²te, orbitalni kvantni broj l moºe biti nula ili pozitivan ceo broj, dokmagnetni kvantni broj m moºe uzimati vrednosti 0,±1,±2, · · · ± l. Ukoliko obratimopaºnju na oblik talasne funkcije (6.1), vidimo da l moºe da uzima vrednosti samo doneke gornje granice L. Ovo presecanje beskona£nog reda je neophodno kako bismomogli numeri£ki da re²imo svojstveni problem hamiltonijana. Naravno, ²to je L ve¢e,utoliko ¢e i re²enja svojstvenog problema biti bliºa stvarnim, ²to ¢e se, pak, odraziti nakoli£inu resursa i vremena koje ra£unar treba da utro²i za re²avanje glomaznog sistemajedna£ina. Sa druge strane, zbog osne simetrije2 koju na² sistem poseduje (elektri£no imagnetno polje usmereni duº z-ose koordinatnog sistema, koja, samim tim, predstavljaosu simetrije), vrednost magnetnog kvantnog broja m se u sistemu o£uvava. Zbog oveosobine, magnetni kvantni broj ¢emo zvati dobar kvantni broj. U na²im ra£unicama ¢e,stoga, on predstavljati jedan od ulaznih parametara.

Uvr²tanjem razvoja (6.1) u redingerovu jedna£inu (4.31), zatim mnoºenjem dobije-nog izraza sa fi(r/R)Yl1m(θ, ϕ) dr sin θ dθ dϕ i integracijom po prostornim koordinatama,dobijamo

N∑j=1

L∑l2=|m|

〈i l1m|H|j l2m〉 = E

N∑j=1

L∑l2=|m|

cjl2〈i l1m|j l2m〉, (6.7)

pri £emu smo iskoristili Dirakov zapis i za LagranºLeºandrove funkcije (3.5), i usvojili daje fi(r)Ylm(θ, ϕ) = |i l m〉. Znaju¢i da je 〈i l1m|j l2m〉 = 〈i|j〉〈l1m|l2m〉, zatim kori²¢e-njem relacija ortonormiranosti (3.6) i (6.4), osobina Kronekerove delte, kao i uvoenjem

1Naravno, treba imati na umu da dobijeni rezultati vaºe u atomskim jedinicama. U SI jedinicama ¢ese pojaviti redukovana Plankova konstanta koja je gore izostavljena: L2|l m〉 = l(l + 1)~2|l m〉, odnosnoLz|l m〉 = m~|l m〉.

2Ova simetrija je posledica toga ²to operator Lz komutira sa hamiltonijanom sistema,[H, Lz

]= 0,

²to £ini m dobrim kvantnim brojem. Sa druge strane, budu¢i da je[H, L2

]6= 0, kvantni broj l nije dobar

kvantni broj.

6.1. ODREÐIVANJE ENERGIJA I TALASNIH FUNKCIJA ELEKTRONA 61

oznake Hijl1l2 = 〈i l1m|H|j l2m〉 za matri£ni element hamiltonijana u ranije odabranombazisu, dobijamo jedna£inu

N∑j=1

L∑l2=|m|

cjl2Hijl1l2 = Ecil1 , i = 1, N, l1 = |m|, L. (6.8)

Vidimo da se redingerova jedna£ina svodi na tenzorsku jedna£inu, pri £emu bara-tamo sa tenzorima drugog i £etvrtog reda.3 Da bi se jedna£ina (6.8) mogla numeri£kire²iti, neophodno je sprovesti proceduru njenog svoenja na obi£nu matri£nu jedna£inu,o £emu ¢e vi²e biti re£i kasnije. Na ovom mestu, vaºno je ista¢i da se dalje re²avanjeproblema svodi na re²avanje jedna£ine (6.8), pri £emu se matri£ni element hamiltonijanarazlikuje od problema do problema, u zavisnosti od toga sa kojim sve poljima elektroninteraguje. Na dalje ¢emo pokazati kako se, za slu£aj elektrona u kvantnoj ta£ki sa ne£i-sto¢om pod dejstvom elektri£nog i/ili magnetnog polja, redingerova diferencijalna jedna-£ina moºe svesti na sistem obi£nih algebarskih jedna£ina (dodu²e, naravno, za svojstveni

problem).

6.1.2 Nalaºenje matri£nog elementa hamiltonijana za elektron uelektromagnetnom polju

U slu£aju da nas interesuju svojstvena stanja i svojstvene energije elektrona koji se,pored konniraju¢eg i Kulonovog potencijala vodonikovog jezgra, nalazi pod uticajemkonstantnog magnetnog polja, matri£ni element hamiltonijana moºemo izra£unati kori²-¢enjem izraza (4.32):

Hijl1l2 =

⟨il1m

∣∣∣∣(−1

2

∂2

∂r2+

1

2r2L2 +

1

2BLz +

1


r

)∣∣∣∣ jl2m⟩= −1

2

⟨i

∣∣∣∣ d2

dr2

∣∣∣∣ j⟩ 〈l1m|l2m〉+1

2

⟨i

∣∣∣∣ 1

r2

∣∣∣∣ j⟩⟨l1m ∣∣∣L2∣∣∣ l2m⟩

+1

2B〈i|j〉

⟨l1m

∣∣∣Lz∣∣∣ l2m⟩+1

8B2⟨i∣∣r2∣∣ j⟩ ⟨l1m ∣∣sin2 θ

∣∣ l2m⟩+ F 〈i|r|j〉〈l1m| cos θ|l2m〉 −

⟨i

∣∣∣∣1r∣∣∣∣ j⟩ 〈l1m|l2m〉, (6.9)

pri £emu smo u prvom £lanu desne strane izvr²ili zamenu parcijalnog izvoda totalnim, sobzirom na to da on deluje na LagranºLeºandrovu funkciju koja zavisi samo od jednepromenljive radijalne komponente r. Iskoristimo sada smenu (6.2), imaju¢i u vidu izraze

3Ovde termin tenzor treba shvatiti uslovno, kao skra¢eni naziv za veli£inu koja se karakteri²e odgova-raju¢im brojem indeksa, a ne u smislu standardne denicije tenzora na osnovu zakona transformacije.


(6.5) i (6.6), kao i relacije ortonormiranosti (3.6) i (6.4). Rezultat je

Hijl1l2 = − 1

2R2

⟨i

∣∣∣∣ d2

dx2

∣∣∣∣ j⟩ δl1l2 +1

2R2

⟨i

∣∣∣∣ 1

x2

∣∣∣∣ j⟩ l2 (l2 + 1) δl1l2

+1

2RBmδijδl1l2 +

1

8B2R2

⟨i∣∣x2∣∣ j⟩ ⟨l1m ∣∣sin2 θ

∣∣ l2m⟩+ FR〈i|x|j〉〈l1m| cos θ|l2m〉 −

1

R

⟨i

∣∣∣∣1x∣∣∣∣ j⟩ δl1l2 . (6.10)

Zadrºimo se na kratko na £etvrtom £lanu desne strane, i obratimo paºnju na £lan kojizavisi od sin2 θ. Najpre moºemo uo£iti da je

Y20 (θ, ϕ) =

√5

16π

(3 cos2 θ − 1

). (6.11)

Ukoliko ovaj izraz zapi²emo eksplicitno po sin2 θ, koriste¢i poznat trigonometrijski iden-titet, dobijamo

sin2 θ =2

3− 4

3

√π

5Y20(θ, ϕ). (6.12)

Zamenjuju¢i (6.12) u (6.10), dolazimo do izraza u kome se javlja £lan tipa

〈l1m1 |Yl m(θ, ϕ)| l2m2〉 = (−1)m1

√(2l1 + 1)(2l + 1)(2l2 + 1)

4π×

×(

l1 l l2−m1 m m2

)(l1 l l20 0 0

). (6.13)

Poslednja dva £lana u zagradama desne strane gornje jedna£ine ne¢emo eksplicitno ra-zvijati. Samo ¢emo napomenuti da svaki od ova dva £lana predstavlja skra¢enu formuzapisa u kom guri²u Kleb²Gordanovi (ClebschGordan) koecijenti, i naziva se Vig-

nerov (Wigner) 3j simbol.4 U konkretnom slu£aju, preostaje jedino da stavimo l = 2 i

4Vignerov 3j simbol predstavlja numeri£ki koecijent koji je dat izrazom(j1 j2 jm1 m2 m

)=

(−1)j1−j2−m√2j + 1

〈j1 j2m1m2|j1 j2 j−m〉,

gde je 〈j1 j2m1m2|j1 j2 j−m〉 Kleb²Gordonov koecijent, koecijent u razvoju talasne funkcije sistemakoji se odlikuje kvantnim brojem ukupnog orbitalnog momenta j i magnetnim kvantnim brojem m, ikoji je nastao sprezanjem kvantnih brojeva j1 i j2 pojedina£nih £estica (£iji su magnetni kvantni brojevim1 i m2, respektivno) [42]. Istaknimo na ovom mestu da ¢e 3j simbol biti razli£it od nule ukoliko jezadovoljena relacija trougla

|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2,

kao i izrazm1 +m2 +m = 0.

Takoe, da 3j simbol u kome je m1 = m2 = m = 0 ne bi bio jednak nuli, j1 + j2 + j mora biti paranbroj [44]. Ove relacije izmeu kvantnih brojeva dovode do selekcionih pravila koja speci£ni prelazimoraju zadovoljavati.

6.1. ODREÐIVANJE ENERGIJA I TALASNIH FUNKCIJA ELEKTRONA 63

m = 0. Situacija je analogna kod petog £lana desne strane. Prepoznajmo da se, prekosfernog harmonika

Y10(θ, ϕ) =

√3

4πcos θ, (6.14)

moºe izraziti cos θ na slede¢i na£in:

cos θ =

√4π

3Y10(θ, ϕ), (6.15)

²to je izraz koji zamenjujemo u (6.10). Vidimo da ¢e se i ovde pojaviti £lan u kome guri²e3j simbol, uz tu razliku ²to u izraz (6.13) treba staviti l = 1 i m = 0.

Na posletku, kako bi se dobio kona£an izraz koji se moºe koristiti u numeri£kim izra-£unavanjima, potrebno je osvrnuti se na £lanove koji zavise od radijalne komponente r,odnosno normirane koordinate x. Za konkretan izbor LagranºLeºandrovih funkcija sedobija

T ′ij ≡⟨i

∣∣∣∣ d2

dx2

∣∣∣∣ j⟩ =

(−1)i+j

1√xi(1− xi)xj(1− xj)

xi + xj − 2xixj(xi − xj)2

, i 6= j,

1

3xi(1− xi)

(N(N + 1) +

1

xi(1− xi)

), i = j,

(6.16)

gde smo, naprosto, sjedinili ve¢ dobijene rezultate iskazane izrazima (3.63) i (3.65), a £itavprvi £lan desne strane,

Tij = − 1

2R2T ′ijδl1l2 , (6.17)

naziva¢emo kineti£ki £lan.5 Prilikom zapisivanja jedna£ine (6.16) imali smo, kao i ranije,u vidu da xi, i = 1, N , predstavljaju nule pomerenih Leºandrovih polinoma.

Vidimo da ¢e, kod primene metoda Lagranºevih mreºa, jedini £lan koji zavisi odizbora Lagranºevih funkcija biti kineti£ki £lan. Kod ostalih £lanova, do izraºaja dolazisamo osobina (3.15), karakteristi£na za sve Lagranºeve funkcije. Primenom te osobine, ipisanjem kineti£kog £lana u op²tem obliku (6.17), kona£no dobijamo

Hijl1l2 = −T ′ij2R2

δl1l2 +l2 (l2 + 1)

2R2x2iδijδl1l2 +

Bm

2Rδijδl1l2 +

1

12B2R2x2i δijδl1l2

− (−1)m1

12B2R2x2i δij

√(2l1 + 1)(2l2 + 1)

(l1 2 l2−m 0 m

)(l1 2 l20 0 0

)+ (−1)mFRxiδij

√(2l1 + 1)(2l2 + 1)

(l1 1 l2−m 0 m

)(l1 1 l20 0 0

)− 1

Rxiδijδl1l2 , (6.18)

5Naziv kineti£ki £lan nije u potpunosti opravdan, budu¢i da komponenta hamiltonijana koja odgovarakineti£koj energiji sadrºi i drugi £lan u izrazu (4.32). Mi ¢emo, meutim, koristiti ovaj termin samo zaprvi £lan datog izraza, imaju¢i u vidu speci£nu osobinu metoda Lagranºevih mreºa da se, za razli£iteoblike Lagranºevih funkcija, jedino njegov funkcionalni oblik menja.


pri £emu, naravno, imamo u vidu izraz (6.16). Dobijeni izraz predstavlja polaznu osnovuza pisanje numeri£kog programa koji ima zadatak da re²i svojstveni problem hamiltoni-jana, odnosno nae energije i talasne funkcije svojstvenih stanja elektrona £ije kretanjerazmatramo. Na kraju ¢emo samo napomenuti da se, ukoliko je od interesa razmatra-nje pona²anja sistema u £isto magnetnom, odnosno £isto elektri£nom polju, gornji izrazjednostavno moºe upotrebiti ukoliko se stavi F = 0, odnosno B = 0, respektivno.

6.1.3 Svoenje svojstvenog problema hamiltonijana elektrona naobi£nu matri£nu jedna£inu

Vratimo se sada na jedna£inu (6.8). Budu¢i da matri£ni element Hijl1l2 zavisi od £etiriindeksa, jasno je da ga ne moºemo reprezentovati obi£nom dvodimenzionom matricom,a numeri£ki metod koji koristimo se zasniva upravo na re²avanju svojstvenog problemaovakve matrice. Zbog toga je neophodno uvesti odgovaraju¢e indekse koji ¢e zavisitiod starih, sa ciljem da se jedna£ina (6.8) pojednostavi kako bi njome moglo dalje da seoperi²e.

Ovakav pristup re²avanju problema se naziva preozna£avanje indeksa. Osnovna idejaovog pristupa je da se koecijenti cil1 , koji predstavljaju elemente matrice dimenzije N ×(L− |m|+ 1), poreaju u niz po nekom unapred odreenom pravilu, formiraju¢i matricukolonu. Ovakav niz se moºe formirati ukoliko se, na primer, za svaki element tog nizauzme po jedan koecijent cil1 na slede¢i na£in:

ψ(i−1)(L−|m|+1)+l1−|m|+1 = cil1 , i = 1, N, l1 = |m|, L. (6.19)

Ovo odgovara uvoenju novog indeksa

u = (i− 1)(L− |m|+ 1) + l1 − |m|+ 1. (6.20)

Drugim re£ima, uvoenje smene na ovakav na£in podrazumeva reanje najpre svih koe-cijenata cil1 sa najmanjim i (i = 0) prema rastu¢em l1. Nakon toga, prema rastu¢em l1se reaju svi koecijenti sa i = 1 i tako redom. Na taj na£in, dobija se matrica kolonaod N(L − |m| + 1) elemenata, a pri tom se postiºe i da novi indeks uzima vrednostiu = 1, N(L− |m|+ 1). Primenom iste smene na indekse j i l2,

v = (j − 1)(L− |m|+ 1) + l2 − |m|+ 1, (6.21)

pri £emu je, naravno, j = 1, N i l2 = |m|, L, odnosno v = 1, N(L− |m|+ 1), matri£nielement hamiltonijana se transformi²e u obi£nu kvadratnu matricu dimenzije N(L−|m|+1)×N(L− |m|+ 1), nakon £ega jedna£ina (6.8) postaje

N(L−|m|+1)∑v=1

Huvψv = Eψu, u = 1, N(L− |m|+ 1). (6.22)

Ovako dobijena jedna£ina predstavlja dobro poznati svojstveni problem jedne (kvadrat-ne) matrice, koji ra£unar moºe na jednostavan na£in re²iti. Svojstvene vrednosti ovakve

6.2. RAUNANJE KOEFICIJENATA APSORPCIJE 65

matrice predstavljaju energije elektrona u kvantnoj ta£ki pod dejstvom spolja²njeg elek-tri£nog i/ili magnetnog polja, dok je dobijanje svojstvenih talasnih funkcija ne²to kompli-kovaniji proces. Svojstveni vektori, naime, predstavljaju niz koecijenata koji na odreenina£in ulaze u talasnu funkciju elektrona. Da bismo ih na korektan na£in tamo i ubacili,neophodno je da ponovo izvr²imo preozna£avanje indeksa, ovog puta u suprotnom smeru.Time se dobijaju energije i stanja elektrona, bez re²avanja komplikovanih diferencijalnihjedna£ina, proºetog raznim pote²ko¢ama i gre²kama koje numeri£ko re²avanje neminovnosadrºi kada su diferencijalne jedna£ine u pitanju.

6.2 Ra£unanje koecijenata apsorpcije

Koecijente apsorpcije odreujemo uz pomo¢ formula (5.106) i (5.107), koje, radipreglednosti, ovde prepisujemo:

α(1)(ω) = ~ω1

ε0c√εr

|M21|2σΓ

(E21 − ~ω)2 + (~Γ)2(6.23)

i

α(3)(ω, I) = −~ω 1

(ε0c)2√εrnr

2I|M21|4σΓ

((E21 − ~ω)2 + (~Γ)2)2. (6.24)

U gornjim izrazima guri²e energija osnovnog i prvog pobuenog stanja, koju nalazimore²avanjem svojstvenog problema hamiltonijana, kao i z-komponenta matri£nog elementadipolnog prelaza M21 sa osnovnog na prvo pobueno stanje (u skladu sa jedna£inom(5.96) i pretpostavkom da je elektri£no polje lasera polarizovano u pravcu z-ose). Premdaje on ne²to komplikovaniji za odreivanje, u daljem teksu ¢e mu biti posve¢ena ne²to ve¢apaºnja. Podsetimo se da je ova veli£ina data formulom

M21 = −e〈2|z|1〉 = −e〈2|r cos θ|1〉, (6.25)

gde je |1〉 po£etno, |2〉 krajnje stanje, i gde smo ponovo pre²li na sferne koordinate.Ostavljaju¢i Dirakovu notaciju na neko vreme, zapi²imo matri£ni element dipolnog prelazaeksplicitno, stavljaju¢i ponovo e = 1 kako bismo nastavili rad u efektivnim atomskimjedinicama:

M21 =

∫Ψ∗2(r, θ, ϕ) r cos θΨ∗1(r, θ, ϕ)r2 sin θ dr dθ dϕ

=

∫ψ∗2(r, θ, ϕ) r cos θ ψ∗1(r, θ, ϕ) sin θ dr dθ dϕ. (6.26)

Prilikom dobijanja ovog izraza, ponovo je iskori²¢ena smena (4.30).Zapi²imo sada eksplicitno talasnu funkciju koja opisuje po£etno stanje elektrona:

ψ1(r, θ, ϕ) =N∑j=1

L∑l2=|m|

c(1)jl2fj

( rR

)Yl2m (θ, ϕ) . (6.27)


Kao ²to vidimo, to je samo ne²to izmenjena talasna funkcija (6.1), u kojoj gornji indekskoecijenta c

(1)jl2

sugeri²e da on pripada prvoj svojstvenoj funkciji. Takoe, za krajnjestanje elektrona imamo:

ψ2(r, θ, ϕ) =N∑i=1

L∑l1=|m|

c(2)il1fi

( rR

)Yl1m (θ, ϕ) . (6.28)

Zamenom (6.27) i (6.28) u (6.26), uz povratak na Dirakovu notaciju i kori²¢enje (6.2),dobijamo

M21 = RN∑i=1

N∑j=1

L∑l1=|m|

L∑l2=|m|

c(2)il1c(1)jl2〈i|x|j〉〈l1m| cos θ|l2m〉

= RN∑i=1

N∑j=1

L∑l1=|m|

L∑l2=|m|

c(2)il1c(1)jl2xiδij

√4π

3〈l1m|Y10(θ, ϕ)|l2m〉, (6.29)

pri £emu smo ponovo iskoristili (3.15), kao i (6.15). S obzirom na to da smo u prethodnomodeljku £lan koji sadrºi cos θ ve¢ na²li, preostaje nam jedino da napi²emo kona£an oblikmatri£nog elementa dipolnog prelaza:

M21 = (−1)m√

2

3R∑i,j,l1,l2

c(2)il1c(1)jl2xiδij

√(2l1 + 1)(2l2 + 1)×

×(

l1 1 l2−m 0 m

)(l1 1 l20 0 0

), (6.30)

koji posle treba uvrstiti u (6.23) i (6.24). Sve ostale veli£ine su poznate i zavise ²to odosobina kristala, ²to od karakteristika upadne laserske svetlosti. Sprovoenjem dalje pro-cedure, dobijamo zavisnosti apsorpcionih koecijenata od frekvencije (odnosno energije)upadne svetlosti, na osnovu kojih moºemo dati odgovaraju¢e sudove o interakciji lasera ikristala.

Glava 7

Rezultati i diskusija

Preimo sada na izra£unavanje energija i talasnih funkcija elektrona ne£isto¢e u kvant-noj ta£ki u elektri£nom i magnetnom polju. Ove veli£ine, kao i matri£ni elementi elek-tri£nog dipolnog prelaza, ra£unati su pomo¢u metoda Lagranºeve mreºe za N = 40 iL = 12, pri £emu je za magnetni kvantni broj uzeto m = 0. Od dobijenih nivoa, izdvojilismo dva najniºa, i posmatrali prelaze isklju£ivo sa osnovnog na prvo pobueno stanje.Spektroskopskim re£nikom, od interesa nam je bio prelaz 1s0 → 2p0.

U ovom radu, prou£avali smo opti£ke karakteristike GaAs sferne kvantne ta£ke saslede¢im parametrima [45, 46]: m∗e = 0.067me, εr = 13.18, nr = 3.15 i σ = 5 · 1022 m−3.Zamenom ovih vrednosti u (4.214.25), uz podse¢anje da je ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, c =3 ·108 m/s, odnosno ~ = 1.05 ·10−34 J s, dobijene su slede¢e vrednosti za efektivne atomskejedinice: a∗0 ∼= 10.4 nm, E∗ ∼= 10.5 meV, kao i F ∗ ∼= 1.0 · 106 V/m, B∗ ∼= 6.1 T, odnosnoM∗ ∼= 1.7 · 10−27 C m.

Parametri koje smo varirali su radijus kvantne ta£ke R, ja£ine elektri£nog i magnetnogpolja F i B, vreme relaksacije τ (koje je naravno povezano sa Γ preko relacije (5.71)), iintenzitet upadnog laserskog zra£enja I. Linearni, nelinearni i ukupni koecijent apsorp-cije dobili smo primenom relacija (5.1025.104), u funkciji od energije upadnog fotonalaserskog zra£enja, ~ω. U ovoj Glavi ¢emo najpre dati teorijsku analizu relacija (5.103)i (5.104), i ispitati pona²anje koecijenata apsorpcije pri promeni gore navedenih para-metara. Nakon toga, pre¢i ¢emo na predstavljanje rezultata ovog rada, analiziraju¢i ih iuporeuju¢i sa teorijski predvienim pona²anjem.

7.1 Analiti£ki izrazi za poloºaje i vrednosti maksimuma

i minimuma koecijenata apsorpcije

Od velikog interesa u daljem radu bi¢e nam pona²anje maksimuma koecijenata ap-sorpcije sa promenom ºeljenih parametara. Kako bismo dali generalan sud o ovom pona-²anju, posmatrajmo kao nezavisnu promenljivu energiju fotona ~ω umesto frekvencije ω,i uvedimo pogodne smene:

~ω = x,σ

~ε0c√εr

= α,2

ε0cnr= β, ~Γ = γ, I = y, |M21| = µ, E21 = ε. (7.1)

67

68 GLAVA 7. REZULTATI I DISKUSIJA

Tada ¢e izraz (5.103) biti dat kao

α(1)(x) = αxµ2γ

(ε− x)2 + γ2, (7.2)

a izraz (5.104) imati oblik

α(3)(x, y) = −αβx µ4γy

((ε− x)2 + γ2)2. (7.3)

Posvetimo se, za po£etak, linearnom koecijentu apsorpcije. Poloºaj njegovog maksi-

muma1 odreuje se tako ²to najpre naemo prvi izvod α(1)(x) po x:

∂α(1)(x)

∂x= αµ2γ

∂

∂x

(x

(ε− x)2 + γ2

)= αµ2γ

(ε− x)2 + γ2 + 2x(ε− x)

((ε− x)2 + γ2)2

= αµ2γ(ε− x)(ε− x+ 2x) + γ2

((ε− x)2 + γ2)2= αµ2γ

ε2 − x2 + γ2

((ε− x)2 + γ2)2, (7.4)

a potom ga izjedna£imo sa nulom, nakon £ega dobijamo (budu¢i da je izraz u imeniocuuvek pozitivan)

ε2 − x2max + γ2 = 0. (7.5)

Re²avanjem gornjeg izraza po xmax, a imaju¢i u vidu da je xmax = ~ωmax > 0, od dvamogu¢a re²enja ostaje jedno sa zi£kim smislom, i to

xmax =√ε2 + γ2. (7.6)

Ukoliko ºelimo da naemo vrednost linearnog koecijenta apsorpcije u ta£ki u kojoj imamaksimum, iskoristi¢emo jednostavno (7.2) i (7.6), nakon £ega dobijamo

α(1)max = α(1)(xmax) = αxmax

µ2γ

(ε− xmax)2 + γ2= αµ2γ

√ε2 + γ2

(ε−√ε2 + γ2)2 + γ2

= αµ2γ

√ε2 + γ2

ε2 − 2ε√ε2 + γ2 + ε2 + γ2 + γ2

=1

2αµ2γ

√ε2 + γ2

ε2 + γ2 − ε√ε2 + γ2

=1

2αµ2γ

1√ε2 + γ2 − ε

=1

2αµ2γ

1√ε2 + γ2 − ε

√ε2 + γ2 + ε√ε2 + γ2 + ε

=1

2αµ2γ

√ε2 + γ2 + ε

ε2 + γ2 − ε2=αµ2

2γ

(ε+

√ε2 + γ2

). (7.7)

Postupak traºenja minimuma izraza (7.3) analogan je onom sprovedenom za maksi-mum linearnog koecijenta. Stoga ¢emo navesti samo kona£an izraz za prvi izvod α(3)(x, y)po x:

∂α(3)(x, y)

∂x= −αβγµ4y

(ε− x)(ε+ 3x) + γ2

((ε− x)2 + γ2)3. (7.8)

1Moºe se pokazati (traºenjem drugih izvoda), mada mi to na ovom mestu ne¢emo raditi, da funkcija(7.2) ima maksimum, a (7.3) minimum. Ovo ¢e se jasno videti sa graka koje budemo ne²to kasnijenaveli.

7.1. ANALITIKI IZRAZI ZA POLOAJE I VREDNOSTI MAKSIMUMA. . . 69

Izjedna£avanjem gornjeg izraza sa nulom, uz £injenicu da je imenilac gornjeg izraza uvekpozitivan, dobijamo kvadratnu jedna£inu

−(ε− xmin)(ε+ 3xmin)− γ2 = 3x2min − 2εx− (ε2 + γ2) = 0, (7.9)

a njenim re²avanjem, i izostavljanjem re²enja sa minusom kao zi£ki neprihvatljivog, sledida je

xmin =2ε+

√4ε2 + 4 · 3(ε2 + γ2)

6=

2ε+√

4ε2 + 12ε2 + 12γ2

6

=2ε+

√16ε2 + 12γ2

6=

1

3

(ε+

√4ε2 + 3γ2

). (7.10)

Kona£no, zamenom (7.10) u (7.3), dobijamo i vrednost nelinearnog koecijenta tre¢egreda u ta£ki u kojoj ima minimum,

α(3)min = α(3)(xmin) = −27

16αβµ4γy

ε+√

4ε2 + 3γ2(ε(

2ε−√

4ε2 + 3γ2)

+ 3γ2)2 . (7.11)

Vra¢aju¢i se na stare promenljive, koriste¢i relacije (7.1), za energiju upadnog fotonakoja odgovara maksimumu linearnog koecijenta apsorpcije imamo, na osnovu (7.6),

~ωmax =

√E2

21 + (~Γ)2, (7.12)

dok je vrednost maksimuma u toj ta£ki data izrazom dobijenim iz (7.2):

α(1)max =

|M21|2σε0c√εr~2Γ

(E21 +

√E2

21 + (~Γ)2). (7.13)

Ispitajmo sada pona²anje ovih koecijenata pri promeni parametara kvantne ta£ke i pri-menjenog laserskog polja. Na po£etku, zapazimo da poloºaj maksimuma ne¢e zavisiti niod intenziteta upadnog zra£enja, niti od matri£nog elementa dipolnog prelaza. Sa poras-

tom energije prelaza, meutim, poloºaj maksimuma ¢e se pomeriti ka vi²im energijama.Ovo pomeranje ¢emo, po analogiji sa spektroskopskim pojmovima, zbog toga zvati plavipomak. Ukoliko se, pak, pove¢ava vreme relaksacije τ , na osnovu relacije (5.71) zaklju£u-jemo da ¢e brzina relaksacije Γ da opada, ²to implicira da se maksimum pomera ka niºimenergijama crveni pomak (iste termine koristi¢emo i za pomeranje poloºaja minimumanelinearnog koecijenta apsorpcije). Vrednost α(1)

max takoe ne zavisi od intenziteta I (²toje, podsetimo se, odlika linearne sredine), ali zavisi od M21 po kvadratnoj zavisnosti dakle, maksimum ¢e da ja£a kako se matri£ni element dipolnog prelaza pove¢ava. Poredtoga, sa pove¢anjem E21, dolazi takoe i do porasta vrednosti α(1)

max, a ona raste i kada τraste, odnosno Γ opada. Ovo pona²anje linearnog koecijenta u zavisnosti od E21 (izra-ºenog preko ε) i Γ (izraºenog preko γ) prikazano je (do na konstantu) na Slici 7.1 (a), uobliku funkcije

f(ε, γ) =ε+

√ε2 + γ2

γ. (7.14)


Slika 7.1: (a) Grak funkcije f(ε, γ) koja guri²e u izrazu za α(1)max. (b) Grak funkcije g(ε, γ)

koja guri²e u izrazu za α(3)min.

to se ti£e nelinearnog koecijenta apsorpcije tre¢eg reda, povratak na stare promen-ljive preko (7.1) i kori²¢enje (7.3) i (7.10) daje

~ωmin =1

3

(E21 +

√4E2

21 + 3 (~Γ)2), (7.15)

za energiju fotona koja odgovara minimumu, i

α(3)min = − 27I|M21|4σΓ

8 (ε0c)2√εrnr

E21 +√

4E221 + 3 (~Γ)2(

E21

(2E21 −

√4E2

21 + 3 (~Γ)2)

+ 3 (~Γ)2)2 , (7.16)

za vrednost tog minimuma nelinearnog koecijenta apsorpcije. Vidimo da ¢e poloºajminimuma ponovo biti nezavistan od M21 i I, kao i da ¢e se, sa porastom E21 odnosnoτ , ponovo opaºati plavi, odnosno crveni pomak, respektivno. Za razliku od linearnogkoecijenta, α(3)

min sada zavisi i od intenziteta lasera, i to linearno, kao i od £etvrtogstepena M21. Ova £injenica ¢e nam biti kasnije od zna£aja kada budemo varirali I.Zbog toga ²to α(1)

max ne zavisi od I, a α(3)min linearno opada sa intenzitetom (zato ²to je

negativna veli£ina), u nekom trenutku ¢e u ukupnom koecijentu apsorpcije po£eti dadominira nelinearni £lan, zbog £ega ¢e i veli£ina α(ω, I) postati negativna. Ovo svojstvoje od izuzetnog zna£aja za kasnije primene kvantnih ta£aka u optoelektronici (²to je ve¢diskutovano u Glavi 2). Sa druge strane, vrednost maksimuma nelinearnog koecijentatre¢eg reda ispoljava ne²to sloºeniju zavisnost od E21 i τ (odnosno Γ), oblika

g(ε, γ) = γε+

√4ε2 + 3γ2(

ε(

2ε−√

4ε2 + 3γ2)

+ 3γ2)2 , (7.17)

koja je gra£ki prikazana na Slici 7.1 (b). Zaklju£ujemo da α(3)min opada (odnosno raste

njena apsolutna vrednost) kako rastu E21, odnosno τ . Primenom metoda Lagranºevemreºe, nakon re²avanja svojstvenog problema hamiltonijana elektrona ne£isto¢e, moºemo

7.2. OPTIKE KARAKTERISTIKE SFERNE KVANTNE TAKE. . . 71

na¢i zavisnost E21 i M21 od radijusa kvantne ta£ke, primenjenog magnetnog i elektri£nogpolja, i na osnovu toga zaklju£iti kako se koecijenti apsorpcije menjaju sa promenom R,B i F .

7.2 Opti£ke karakteristike sferne kvantne ta£ke u elek-

tromagnetnom polju

Kako bismo lak²e uo£ili pona²anje ekstremuma koecijenata apsorpcije sa promenomR, B i F , najpre ¢emo posmatrati slu£aj kada je uklju£eno samo spolja²nje magnetnopolje, odnosno kada je F = 0. Nakon toga, uve²¢emo i elektri£no polje u igru, i detalj-nije prou£iti njegov uticaj na koecijente apsorpcije. Dobijene rezultate poveza¢emo saonima dobijenim u prethodnom poglavlju. Napomenimo, na kraju, da su dobijene vred-nosti koecijenata apsorpcije, kao i energije fotona upadnog laserskog zra£enja, date uSI jedinicama, dok su ostale veli£ine, radi jednostacnijeg zapisa, ostavljene u efektivnimatomskim jedinicama. Prelaz iz jednih u druge jedinice mogu¢e je ostvariti u ma komtrenutku kori²¢enjem relacija sa po£etka ove Glave.

7.2.1 Magnetno polje

Na Slici 7.2 data je zavisnost energije prelaza, kao i matri£nog elementa dipolnogprelaza od primenjenog magnetnog polja (za ja£inu elektri£nog polja je ovde uzeto F = 0),za nekoliko vrednosti R [47]. Na levom graku, primetan je porast E21 sa B za kvantne

Slika 7.2: Sa leva na desno: energija prelaza, kao i matri£ni element elektri£nog dipolnog prelazau zavisnosti od B, za razli£ite vrednosti R, i za F = 0 [47].

ta£ke ve¢eg radijusa. tavi²e, vidi se da, za veliko R, E21 konvergira vrednosti koju biimao slobodan atom vodonika, i ta konvergencija je utoliko brºa ukoliko je primenjenomagnetno polje ja£e. S obzirom na to da (za veliko R) energija prelaza raste sa porastomB, a koriste¢i zaklju£ke dobijene iz prethodnog odeljka, vidimo da se, pri ovim uslovima,


maksimum (minimum) linearnog (nelinearnog) koecijenta apsorpcije pomera ka vi²imenergijama. Pored toga, vrednost linearnog (nelinearnog) koecijenta apsorpcije u ta£ki ukojoj ima maksimum (minimum) se pove¢ava (smanjuje) sa porastom ja£ine magnetnogpolja. Za kvantne ta£ke malih radijusa (konkretno, za R = 2 a∗), pona²anje E21 sa Bje upravo suprotno kriva prikazana na levom graku monotono opada, ²to nas navodina zaklju£ak da se, za kvantne ta£ke malih dimenzija, maksimum (minimum) linearnog(nelinearnog) koecijenta pomera ka niºim energijama, umesto ka vi²im, a vrednost α(1)

max

(α(3)min) opada (raste). Vidimo, meutim, da je ova promena jako mala u odnosu ta£ke

ve¢ih radijusa.

Slika 7.3: Zavisnost linearnog, nelinearnog i ukupnog koecijenta apsorpcije od energije upadnogfotona, za razli£ite vrednosti R i B, i za F = 0 [47].

Ako se koncentri²emo na pona²anje energije prelaza u zavisnosti od R, moºemo zaklju-£iti da ona opada sa porastom radijusa kvantne ta£ke. tavi²e, za jako male kvantne ta£ke,ova energija ima jako velike vrednosti. Znaju¢i ovo, zaklju£ujemo (opet uz pomo¢ ranijedobijenih analiti£kih izraza) da ekstremumi koecijenata apsorpcije trpe crveni pomak sapove¢anjem R, a da se vrednosti maksimuma (minimuma) smanjuju (pove¢avaju). to


se desnog graka ti£e, vidimo da je zavisnost veli£ina koje se na njemu pojavljuju ne²tosloºenija, tj. nije mogu¢e dati jedinstven zaklju£ak o pona²anju ekstremuma koecijenataapsorpcije sa promenom R i B. Zbog toga je jedino mogu¢e analizirati svaki konkretanraspored parametara zasebno.

Prodiskutujmo sada rezultate ra£unanja koecijenata apsorpcije van elektri£nog polja,ali za razli£ite vrednosti B, odnosno R (Slika 7.3). Prikazani rezultati dobijeni su za vred-nosti I = 5 MW/m2 i τ = 1.4 ps. Za malo R, prime¢uje se crveni pomak sa pove¢anjemB, a za veliko R plavi pomak, ba² kao ²to smo predvideli u analiti£kom delu diskusije.Sli£no pona²anje ovih koecijenata je ve¢ dobijeno pri razmatranju kvantnih ta£aka sa£i-njenih od drugih poluprovodni£kih materijala [20]. Takoe, vidimo da, sa porastom ja£inemagnetnog polja, maksimumi (minimumi) α(1)

max (α(3)min) rastu (opadaju) za velike radijuse

kvantne ta£ke (R = 10 a∗ i R = 20 a∗), dok se suprotno pona²anje prime¢uje za R = 2 a∗.Slu£aj R = 6 a∗ nam ukazuje na to da se u dobijanju ukupnog koecijenta apsorpcijetakmi£i nekoliko efekata, tako da se α(1)

max skoro ne menja, ali α(3)min opada, pa ukupni

koecijent apsorpcije raste sa porastom B, kao i kod kvantnih ta£aka ve¢eg radijusa [47].

Slika 7.4: Zavisnost linearnog, nelinearnog i ukupnog koecijenta apsorpcije od energije upadnogfotona, za razli£ite vrednosti R i B, i za F = 0.


Na Slici 7.4 je ponovo data zavisnost α(1), α(3) i α od ~ω za razli£ite vrednosti B i R, alisa akcentom na pona²anje koecijenata sa promenom R. Tako vidimo da se sa porastomR javlja crveni pomak, i da vrednosti maksimuma (minimuma) linearnog (nelinearnog)koecijenta opadaju (rastu). Imaju¢i u vidu raniju diskusiju, lako zaklju£ujemo da sudobijeni rezultati u skladu sa predvianjima. Sa Slike vidimo i to da su, kako B raste,vrednosti koecijenata apsorpcije za veliko R sve vi²e bliºi jedni drugima, konvergiraju¢ika vrednostima za slobodni atom vodonika (R→∞).

7.2.2 Elektri£no i magnetno polje

Uvedimo sada u razmatranje i elektri£no polje, i prou£imo kako se veli£ine od interesamenjaju u tom slu£aju. Na po£etku, prikaºimo zavisnosti E21 i M21 od B, kao ²to smoimali u prethodnom odeljku, ali kako za razli£ito R, tako sada i za razli£ito F (Slika7.5). Sa levog graka vidimo da se E21 sa porastom B pona²a na isti na£in kao i kadje F = 0, sa dodatnom osobinom da se, sa porastom ja£ine elektri£nog polja, energijeprelaza smanjuju za veliko R, a rastu za malo R (konkretno, pomenuto pona²anje uo£enoje za R = 2 a∗. Ovo zna£i da ¢e (za veliko R), sa pove¢anjem ja£ine elektri£nog polja, do¢ido pomeranja maksimuma (minimuma) linearnog (nelinearnog) koecijenta apsorpcije kaniºim energijama, kao i smanjenja (pove¢anja) vrednosti ovog koecijenta u maksimumu(minimumu). Zapazimo, za sada, da je ovo pona²anje uo£ljivo samo za dovoljno slaba

elektri£na polja i dovoljno male kvantne ta£ke. Na desnom graku, moºemo zapaziti da,za malo R i malo F , sve vrednosti M21 pri pove¢anju ja£ine magnetnog polja ispoljavajumonotono pona²anje. Konkretno, za R = 2 a∗, M21 raste (mada je taj porast jako blag),a za R = 6 a∗ opada sa pove¢anjem R.

Slika 7.5: Sa leva na desno: energija prelaza, kao i matri£ni element elektri£nog dipolnog prelazau zavisnosti od B, za razli£ite vrednosti R i F .

Na oba graka, za velike radijuse kvantne ta£ke i velike ja£ine primenjenog elektri£-nog polja F , primetno je speci£no pona²anje E21 i M21 sa porastom magnetnog polja.Obja²njenje ovog fenomena leºi u £injenici da potencijalna energija2 elektrona u kvantnoj

2U izrazu za potencijalnu energiju guri²e tzv. centrifugalna barijera, interakcija elektri£nog dipola


ta£ki za velike vrednosti F ima minimum. Ukoliko se ovaj minimum nae u blizini centrakvantne ta£ke, onda ¢e i verovatno¢a nalaºenja elektrona u stanju 2p (sa l = 1) biti velikau toj oblasti. Kako je poznato da je oblak verovatno¢e nalaºenja elektrona u stanju 1s(l = 0) uvek lokalizovan oko centra kvantne ta£ke, mogu¢e je da, za velike vrednosti F ,preklapanje 1s i 2p nivoa bude znatno ve¢e nego u slu£aju malih polja. Ovo implicira da¢e i matri£ni element elektri£nog dipolnog prelaza zna£ajno porasti, ²to se i opaºa na de-snom graku za F = 0.1F ∗ i R = 10 a∗, odnosno R = 20 a∗. Iz sli£nih razloga, energijskinivoi postaju bliºi jedni drugima, a energije prelaza manje, ²to se opaºa na levom graku,za iste vrednosti F i R kao gore.

Slika 7.6: Linearni, nelinearni i ukupni koecijent apsorpcije u funkciji energije upadnog fotona,za razli£ite vrednosti F , kao i za po dve razli£ite vrednosti R i B.

Na Slici 7.6 prikazana je zavisnost koecijenata apsorpcije od ~ω u slu£aju kada je, uzmagnetno, kvantna ta£ka izloºena dejstvu spolja²njeg elektri£nog polja. Parametri kojisu kori²¢eni pri dobijanju ovih rezultata su I = 10 MW/m2 i τ = 1.4 ps. Sva £etiri grakasugeri²u da su analiti£ki izrazi ispravno predvideli pona²anje maksimuma koecijenataapsorpcije sa promenom F . Konkretno, moºemo zapaziti da, sa porastom F , maksimum

sa elektri£nim poljem, kao i Kulonov £lan. Interakciju sa magnetnim poljem smo, radi jednostavnosti,izostavili, razmatraju¢i slu£aj sa B = 0.


(minimum) α(1) (α(3)) trpi crveni pomak, a vrednost ovog maksimuma (minimuma) opada(raste). Ovo pona²anje je jedino naru²eno za velike vrednosti F i R, ²to se najbolje moºevideti na donjem desnom graku za F = 0.1F ∗. Ovo je posledica atipi£nog pona²anjaE21 i M21 za ove vrednosti parametara, ²to se moºe videti na Slici 7.5, i o £emu je ve¢bilo re£i.

Slika 7.7: Zavisnost ukupnog koecijenta apsorpcije od energije upadnog fotona, za razli£ito Bi F , kao i za dve razli£ite vrednosti R.

Slika 7.7 ilustruje pona²anje ukupnog koecijenta apsorpcije sa promenom ~ω, B iF , za dve razli£ite vrednosti R. Za razliku od situacije kada se B pove¢ava, pomeraju¢iekstremume ka vi²im energijama i pove¢avaju¢i (smanjuju¢i) α(1)

max (α(3)min), ²to se na ukupni

koecijent apsorpcije ogleda tako ²to se opaºa plavi pomak i porast maksimuma (za uzetevrednosti I i τ), pona²anje sa pove¢anjem elektri£nog polja je upravo suprotno crvenipomak i opadanje maksimuma ukupnog koecijenta. Primetimo, na kraju, uporeuju¢iova dva graka, i da kvantna ta£ka manjeg radijusa ima izraºenije cepanje maksimumaukupnog koecijenta apsorpcije na dva odvojena maksimuma. Ova pojava karakteristi£naje za situacije kada nelinearni koecijent apsorpcije tre¢eg reda postane zna£ajan, i, zbogtoga ²to je negativan, izrazito smanji vrednost ukupnog koecijenta na mestu gde ima(negativni) pik.

Razmotrimo, na kraju ovog odeljka, situaciju sli£nu prethodnoj, sa tom razlikom ²tose magnetno polje drºi ksnim, a menjaju F i R (Slika 7.8). Za kvantne ta£ke ve¢eg radi-jusa, maksimumi (minimumi) linearnog (nelinearnog) koecijenta apsorpcije su pomerenika niºim energijama, a njihove vrednosti u maksimumu (minimumu) opadaju. Ovo jeponovo u skladu sa teorijskom diskusijom sprovedenom na po£etku ove Glave. Ovakvimpona²anjem se odlikuje i ukupni koecijent apsorpcije, ²to se vidi na Slici. Takoe, onse pona²a na gore opisan na£in i sa promenom ja£ine primenjenog elektri£nog polja, po-novo u skladu sa analiti£kim izrazima za poloºaje i vrednosti ekstremuma koecijenataapsorpcije.

7.3. UTICAJ INTENZITETA UPADNOG LASERSKOG ZRAENJA. . . 77

Slika 7.8: Zavisnost ukupnog koecijenta apsorpcije od energije upadnog fotona, za razli£ito Ri F , kao i za dve razli£ite vrednosti B.

7.3 Uticaj intenziteta upadnog laserskog zra£enja i vre-

mena relaksacije na koecijente apsorpcije

U dosada²njem istraºiva£kom delu rada, razmatrano je pona²anje koecijenata apsorp-cije sa promenom R, B i F , pri £emu su intenzitet upadnog laserskog zraºenja i vremerelaksacije drºani konstantnim. Sada ¢emo prou£iti na koji na£in se menja ukupni koe-cijent apsorpcije ukoliko ove dve veli£ine mogu da se menjaju. Najpre ¢emo ksirati τ avarirati I, a nakon toga odraditi suprotno i prodiskutovati dobijene rezultate.

7.3.1 Variranje intenziteta upadnog laserskog zra£enja

Preimo sada na diskusiju koja se ti£e pona²anja koecijenata apsorpcije sa intenzi-tetom upadnog laserskog zraºenja. Podsetimo se od I zavisi samo nelinearni koecijentapsorpcije. Linearni se, dakle, ne¢e menjati sa promenom I, pa ¢emo zbog toga uticaj Ina nelinearni koecijent posmatrati kroz pona²anje ukupnog koecijenta apsorpcije. Nekaje vreme relaksacije ponovo τ = 1.4 ps, i neka je, za po£etak, F = 0. Na Slici 7.9 prika-zana je zavisnost ukupnog koecijenta apsorpcije od ~ω, za razli£ite vrednosti I, ja£inemagnetnog polja i radijusa kvantne ta£ke. Prime¢ujemo da se, sa pove¢anjem intenzitetaupadnog zra£enja, maksimum koecijenta apsorpcije smanjuje, i pri nekoj vrednosti Idolazi do cepanja maksimuma na dva dela. Ovo cepanje posledica je toga ²to nelinearnikoecijent apsorpcije, koji jedini zavisi od I (i linearno opada sa njegovim pove¢anjem zbog toga ²to je negativan), u nekom trenutku postaje dominantan, stvaraju¢i cepa-nje kroz pojavu minimuma izmeu dva maksimuma, £ija vrednost, daljim pove¢anjem I,moºe postati negativna. Sa pove¢anjem ja£ine magnetnog polja ponovo opaºamo plavipomak i smanjenje vrednosti maksimuma ukupnog koecijenta apsorpcije. Ovaj efekat jeizraºeniji za kvantne ta£ke ve¢ih dimenzija.

Sprovedimo analogno razmatranje za slu£aj kada je radijus kvantne ta£ke ksiran, a


Slika 7.9: Ukupni koecijent apsorpcije kao funkcija energije upadnog fotona, za razli£ite vred-nosti I, dve vrednosti B i dve vrednosti R.

menjaju se i magnetno i elektri£no polje (Slika 7.10). Vidimo da se, sa pove¢anjem I,ukupni koecijent apsorpcije ponovo smanjuje, da bi potom do²lo do cepanja njegovogmaksimuma i pojave minimuma £ija vrednost sve vi²e opada. Sa druge strane, pove-¢avanje elektri£nog polja smanjuje vrednost maksimuma ukupnog koecijenta, £ine¢i dacepanje nastupi pri manjim vrednostima I, a za iste vrednosti I bude primetnije od slu-£aja kada je elektri£no polje slabije. Uporeivanjem ova dva graka, moºe se videti dapove¢anje magnetnog polja, pored toga ²to pomera i podiºe maksimume na ve¢ disku-tovan na£in, usporava cepanje maksimuma sa pove¢anjem intenziteta zra£enja, ²to jeposebno primetno za slu£aj F = 0.1F ∗ i I = 15 MW/m2.

Slika 7.10: Ukupni koecijent apsorpcije kao funkcija energije upadnog fotona, za razli£itevrednosti I, po dve vrednosti B i F , i za ksno R.

7.3. UTICAJ INTENZITETA UPADNOG LASERSKOG ZRAENJA. . . 79

7.3.2 Variranje vremena relaksacije

U Glavi 5 spomenuli smo da su relaksacioni procesi u atomu prevashodno odreeniinterakcijom elektrona sa fononima kristalne re²etke, a koja jako zavisi od temperature.Stoga vreme relaksacije moºe uzimati vrednosti iz velikog opsega. Ovo je razlog zbogkoga ¢emo na ovom mestu prou£iti pona²anje koecijenata apsorpcije sa promenom τ . Zaintenzitet upadnog laserskog zra£enja uze¢emo vrednost I = 10 MW/m2. Zbog toga ²tosmo ve¢ detaljno prou£ili na koji na£in ja£ine poljâ uti£u na koecijente apsorpcije, i kakobi smo se koncentrisali samo na uticaj τ , razmatrajmo slu£aj kada je B = 0 i F = 0, zadve razli£ite vrednosti radijusa kvantne ta£ke.

Slika 7.11: Zavisnost ukupnog koecijenta apsorpcije od energije upadnog fotona, za razli£itoτ i dve razli£ite vrednosti R.

Dobijeni rezultati dati su na Slici 7.11. Zapaºamo da, za male vrednosti τ , ukupnikoecijent apsorpcije ima male i pozitivne vrednosti dakle, linearni £lan je dominantan.Maksimum ovog koecijenta i dalje postoji, ali je vrlo blag. Tek sa pove¢anjem vremenarelaksacije, dolazi do pove¢anja ukupnog koecijenta apsorpcije, a samim tim i maksi-mum postaje izraºeniji. Za sve ovo vreme, ovaj maksimum se polako pomera ka niºimenergijama, ²to je u skladu sa analiti£kim izrazima, gde poloºaj maksimuma opada kako τraste. Za neku vrednost τ , meutim, α prestaje da raste, nelinearni koecijent apsorpcijepo£inje da dominira, i ukupni koecijent polako opada.

injenica da koecijent apsorpcije najpre raste, a potom opada kako se τ pove¢ava, po-sledica je dva suprotstavljena efekta pove¢anja α(1)

max i smanjenja α(3)min. Za mala vremena

relaksacije, linearni £lan je dominantan, ²to prouzrokuje pove¢anje ukupnog koecijentaapsorpcije, dok se, sa pove¢anjem τ , udeo nelinearnog koecijenta u ukupnom pove¢ava,stvaraju¢i najpre cepanje maksimuma ukupnog koecijenta apsorpcije, nakon £ega ovajkoecijent postaje negativan. Detaljnija analiza mogu¢a je ukoliko bi se na²li poloºaji ek-stremuma ukupnog koecijenta apsorpcije, kao i njegove vrednosti u ovim ekstremumima.Ra£unica koju je u tom slu£aju potrebno sprovesti je, meutim, glomazna i zametna, ikao takva nije od posebnog zna£aja u diskusiji dobijenih rezultata.

Spomenimo, na kraju, uticaj radijusa kvantne ta£ke na promenu α sa τ . Vidimo da


pove¢anje R usporava dominaciju nelinearnog koecijenta apsorpcije najve¢a mogu¢avrednost maksimuma α nastupa pri ve' cem τ za ve¢e R. Takoe, ukupni koecijentapsorpcije brºe postaje negativan kako τ raste za slu£aj kvantne ta£ke manjih dimenzija.

Glava 8

Zaklju£ak

Poluprovodni£ke heterostrukture predstavljaju objekte koji ve¢ sada imaju ²iroku pri-menu u nauci i tehnologiji, a njihov zna£aj u tom polju i dalje raste. Kvantne ta£ke su, kaojedan od najzna£ajnijih predstavnika ovih heterostruktura, na²le svoje mesto u brojnimgranama nauke, posebno nanoelektronici, ali i u biomedicini, kao i u nekim egzoti£nimoblastima u povoju, za koje se tek o£ekuje da se prikaºu u punom svetlu na nau£noj itehnolo²koj pozornici. Zbog svega ovoga, jasno je zbog £ega prou£avanje kvantnih ta-£aka, kako sa eksperimentalnog, tako i sa teorijskog aspekta, predstavlja vaºan korak unastavku nau£no-tehnolo²kog napretka £ove£anstva.

Ovaj rad bio je posve¢en prou£avanju nelinearnih opti£kih karakteristika sferne kvantneta£ke, na koju je primenjeno stacionarno elektri£no, kao i magnetno polje. Posmatrana jekvantna ta£ka sa vodoni£nom ne£isto¢om u njenom centru, i pona²anje elektrona ne£isto¢eu kvantnoj ta£ki u aproksimaciji efektivne mase. Dobijene energije i talasne funkcije elek-trona posluºile su nam da odredimo energije prelaza i matri£ne elemente dipolnog prelaza,a na osnovu njih i linearni, nelinearni koecijent apsorpcije tre¢eg reda, kao i ukupni koe-cijent apsorpcije. Ra£unska procedura sprovedena je uz pomo¢ metoda Lagranºeve mreºe,i na kraju diskutovani rezultati u zavisnosti od veli£ine kvantne ta£ke, ja£ine primenje-nog elektri£nog, odnosno magnetnog polja, kao i intenziteta upadnog laserskog zraºenja ivremena relaksacije.

Kao rezultat, prime¢eno je da pove¢anje radijusa kvantne ta£ke stvara crveni pomakkoecijenata apsorpcije, i smanjuje vrednost linearnog koecijenta apsorpcije u maksi-mumu, dok vrednost minimuma nelinearnog koecijenta opada, pokazuju¢i uvek suprotnopona²anje od linearnog. Sa druge strane, pri porastu B opaºa se plavi pomak i pove¢anjevrednosti α(1)

max, a suprotno pona²anje ponovo crveni pomak, uo£eno je kada elektri£nopolje raste. Takoe, zavisnost nelinearnog koecijenta apsorpcije od I prouzrokuje sma-njenje ukupnog koecijenta apsorpcije sa porastom intenziteta zra£enja, nakon £ega dolazido cepanja maksimuma i pojave minimuma, £ija vrednost polako postaje negativna. Nakraju, prime¢eno je da je zavisnost koecijenata apsorpcije od vremena relaksacije takoenezanemarljiva. Konkretno, uo£en je porast maksimuma ukupnog koecijenta apsorpcijesa pove¢anjem τ do neke vrednosti, da bi se njenim daljim pove¢anjem on krenuo da sma-njuje, i na kraju postao negativan, iskazuju¢i dominantan uticaj nelinearnog koecijentaapsorpcije.

Istraºivanje kvantnih ta£aka opisanih u ovom radu ima ogroman potencijal, i moºe da

81

82 GLAVA 8. ZAKLJUAK

se pro²iri na kvantne ta£ke druga£ijih karakteristika. Tako je, na primer, konniraju¢ipotencijal kvantne ta£ke mogu¢e modelovati kona£no dubokom potencijalnom jamom ilinekom drugom funkcionalnom zavisno²¢u. Pored toga, interesantno je videti kako semenjaju opti£ka svojstva kvantne ta£ke ukoliko se vodoni£na ne£isto¢a pomeri iz njenogcentra. Takoe, model postavljen u ovom radu omogu¢ava da se na sli£an na£in tretiraju ineke druge opti£ke karakteristike kvantne ta£ke, kao ²to je, na primer, indeks prelamanja.I na kraju, navedimo jo² i to da prou£avanje kvantne ta£ke kao sistema sa vi²e od dva nivoamoºe dovesti do niza novih i interesantnih fenomema, koji bi imali zna£ajne implikacije naoblasti kvantne i nelinearne optike. Kao takvi, ovi fenomeni predstavljaju osnovu budu¢ihistraºivanja na ovom polju.

Literatura

[1] W.D. Heiss (ed.), Quantum Dots: A Doorway to Nanoscale Physics (Springer, BerlinHeidelberg, 2005)

[2] D. Bimberg, M. Grundmann, N.N. Ledentsov, Quantum Dot Heterostructures (Wiley,Chichester, 1990)

[3] T. kere¬, Quantum nanostructures: theoretical analysis and modeling (DiplomaThesis, Czech Technical University in Prague, Faculty of Nuclear Sciences and Physi-cal Engineering, Prague, 2008)

[4] M.A. Nielsen, I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10thedn. (Cambridge University Press, Cambridge, 2010)

[5] D. Loss, D.P. DiVincenzo, Quantum computation with quantum dots, Phys. Rev. A57(1), 120 (1998)

[6] L. Jacak, P. Hawrylak, A. Wojs (eds.), Quantum Dots (SpringerVerlag, Berlin Hei-delberg, 1998)

[7] R.W. Boyd, Nonlinear Optics, 3rd edn. (Academic Press, New York, 2007)

[8] G. de Souza, A. Bruno-Alfonso, Finite-dierence calculation of donor energy levels

in a spherical quantum dot subject to a magnetic eld, Phys. E 66, 128 (2015)

[9] U. Yesilgul, F. Ungan, S. Sakiroglu, C. Duque, M. Mora-Ramos, E. Kasapoglu,H. Sari, I. Sokmen, The eect of magnetic eld on the impurity binding energy of

shallow donor impurities in a Ga1−xInxNyAs1−y/GaAs quantum well, NanoscaleRes. Lett. 7(1), 586 (2012)

[10] H.E. Ghazi, A. Jorio, I. Zorkani, Theoretical investigation of Stark eect on shallow

donor binding energy in InGaN spherical QDQW, Phys. B: Condens. Matter 422(0),47 (2013)

[11] A. Gusev, L.L.Hai, S. Vinitsky, O. Chuluunbaatar, V. Derbov, A. Klombotskaya,Analytical and numerical calculations of spectral and optical characteristics of sphe-

roidal quantum dots, Phys. Atomic Nucl. 76(8), 1 (2013)

[12] M. Krak, Y. Altinok, S. Ylmaz, The eects of the hydrostatic pressure and tempe-

rature on binding energy and optical properties of a donor impurity in a spherical

quantum dot under external electric eld, J. Lumin. 136(0), 415 (2013)

83

84 LITERATURA

[13] A.Özmen. B. Çakr, Y. Yakar, Calculation of oscillator strength and the eects of elec-tric eld on energy states, static and dynamic polarizabilities of the conned hydrogen

atom, Opt. Commun. 311(0), 222 (2013)

[14] E. Sadeghi, Electric eld and impurity eects on optical property of a three-

dimensional quantum dot: A combinational potential scheme, Superlattices Micro-struct. 50, 331 (2011)

[15] G. Cantele, D. Nino, G. Iadonisi, Conned states in ellipsoidal quantum dots, J. Phys.Condens. Matter 12, 9019 (2000)

[16] S.S. Li, J.B. Xia, Electronic states of a hydrogenic donor impurity in semiconductor

nano-structures, Phys. Let. A 366, 120 (2007)

[17] L. Lu, W. Xie, Impurity and exciton eects on the nonlinear optical properties of

a disc-like quantum dot under a magnetic eld, Superlattices Microstruct. 50, 40(2011)

[18] O. Aytekin, S. Turgut, V. Üsto§lu Ünal, M.T. E. Ak³ahin, Nonlinear optical proper-ties of a WoodsSaxon quantum dot under an electric eld, Phys. E 54, 257 (2013)

[19] L. Lu, W. Xie, H. Hassanabadi, The eects of intense laser on nonlinear properties

of shallow donor impurities in quantum dots with the WoodsSaxon potential, J.Luminescence 131, 2538 (2011)

[20] M. Krak, S. Ylmaz, M. Gençalsan, Eects of the magnetic eld on the linear and

nonlinear optical absorption coecients and the refractive index changes in a sphe-

rical quantum dot, J. Nanoelectron. Optoe. 5(3), 391 (2010)

[21] B. Çakr, Y. Yakar, A. Özmen, M.O. Sezer, M. hahin, Linear and nonlinear optical

absorption coecients and binding energy of a spherical quantum dot, SuperlatticesMicrostruct. 47(4), 556 (2010)

[22] J.S. Huang, B. Li, Dipole-allowed optical absorption in a parabolic quantum dot with

two electrons, Phys. Lett. A 372(23), 4323 (2008)

[23] Y. Yakar, B. Çakr, A. Özmen, Calculation of linear and nonlinear optical absorption

coecients of a spherical quantum dot with parabolic potential, Opt. Commun. 283,1795 (2010)

[24] V.I. Boichuk, I.V. Bilynskyi, R.Y. Leshko, L.M. Turyanska, The eect of the polari-zation charges on the optical properties of a spherical quantum dot with an o-central

hydrogenic impurity, Phys. E 44, 476 (2011)

[25] J.L. Zhu, X. Chen, Spectrum and binding of an o-center donor in a spherical quan-

tum dot, Phys. Rev. B 50, 4497 (1994)

[26] V.I. Boichuk, I.V. Bilynskyi, R.Y. Leshko, L.M. Turyanska, Optical properties of aspherical quantum dot with two ions of hydrogenic impurity, Phys. E 54, 281 (2013)

LITERATURA 85

[27] V. Pavlovi¢, Elektromagnetno indukovana transparentnost u konniranom atomu vo-

donika (Master rad, Univerzitet u Ni²u, Prirodnomatemati£ki fakultet, Ni², 2012)

[28] U. Woggon, Optical Properties of Semiconductor Quantum Dots (SpringerVerlag,Berlin Heidelberg, 1997)

[29] H.J. Fan, P. Werner, M. Zacharias, Semiconductor Nanowires: From Self-

Organization to Patterned Growth, Small 2(6), 700 (2006)

[30] J.L. Martins, N. Troullier, Pseudopotential plane-wave calculations for ZnS, Phys.Rev. B 43(3), 2213 (1991)

[31] D.M. Eigler, E.K. Schweizer, Positioning single atoms with a scanning tunnelling

microscope, Nature 334, 524 (1990)

[32] R. Hanson, L.P. Kouwenhoven, J.R. Petta, S. Tarucha, L.M.K. Vandersypen, Spinsin few-electron quantum dots, Rev. Mod. Phys. 79, 1217 (2007)

[33] D. Baye, P.H. Heenen, Generalised meshes for quantum mechanical problems, J. Phys.A: Math. Gen. 19(11), 2041 (1986)

[34] D. Baye, Lagrange-mesh method for quantum-mechanical problems, Phys. Stat. Sol.(B) 243(5), 1095 (2006)

[35] D. Baye, K.D. Sen, Conned hydrogen atom by the Lagrange-mesh method: energies,

mean radii, and dynamic polarizabilities, Phys. Rev. 78(2), 026701 (2008)

[36] V. Szalay, Discrete variable representations of dierential operators, J. Chem. Phys.99(3), 1978 (1993)

[37] V.V. Mitin, D.I. Sementsov, N.Z. Vagidov, Quantum Mechanics for Nanostructures

(Cambridge University Press, New York, 2010)

[38] J.D. Patterson, B.C. Bailey, Solid-State Physics Introduction to the Theory

(SpringerVerlag, Berlin Heidelberg, 2007)

[39] J. Faist, Optical Properties of Semiconductors (Lecture Notes, ETH Zurich, Zurich,2008)

[40] B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Fundamentals of Photonics (John Wiley & Sons, Inc.,New York, 1991)

[41] B. Mili¢, Kurs klasi£ne teorijske zike II deo Meksvelova elektrodinamika (Univer-zitet u beogradu, Beogradu, 1996)

[42] B.H. Bransden, C.J. Joachain, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd edn. (Long-man Scientic & Technical, London, 1989)

[43] J. Weiner, P.T. Ho, LightMatter Interaction Volume 1 Fundamentals and Appli-

cations (John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003)

86 LITERATURA

[44] M. Weissbluth, Atoms and molecules (Academic Press, New York, 1978)

[45] S. Adachi, GaAs, AlAs, and AlxGa1−xAs: Material parameters for use in research

and device applications, J. Appl. Phys. 58, R1 (1985)

[46] N.V. Lien, N.M. Trinh, Electric eld eects on the binding energy of hydrogen impu-

rities in quantum dots with parabolic connements, J. Phys.: Condens. Matter 13,2563 (2001)

[47] L. Stevanovi¢, N. Filipovi¢, V. Pavlovi¢, Optical properties of spherical quantum dot

with on-center hydrogen impurity in magnetic eld, Photonica 2015, Belgrade, Bookof Abstracts, p. 67 (2015)

NF MasterRad Ver015

Documents

Transcript of NF MasterRad Ver015