Newton, Leibniz e o Cáclulo

8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cáclulo

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CMCCCentro de Matemática, Computação e Cognição

Evolução dos Conceitos Matemáticos

Newton, Leibniz e o CálculoA natureza das funções

Kayo Douglas da SilvaBacharelado em Ciência & Tecnologia

11094512

Luciano Henrique Lacerda AraújoBacharelado em Ciência & Tecnologia

11050314

OrientaçãoProf. Dr. Cl´ audio F. André

Santo André - SP 3o quadrimestre de 2015

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Sumário1. Conteúdo 3

2. Objetivo 3

3. Duração 3

4. Introdução 3

5. Funções 4

6. Demonstrações 7

(a) O problema do 00 7

(b) O problema do e−x2

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7. Exerćıcios Propostos e Resoluções 16

8. Bibliografia 18

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1. Conteúdo(a) Funções Cont́ınuas

(b) Funções Diferenciáveis

(c) O problema do 00

(d) O problema do e−x2

2. Objetivo(a) Observar os conceitos de limite e continuidade para de-

scobrir a curva da composição de funções;

(b) Resolver, através de limite, o problema do 00;

(c) Compreender o problema do e−x2

3. Duração40 minutos

4. IntroduçãoA disputa entre o alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646– 1716) e o Britânico Isaac Newton (1643 – 1727) pela rev-

olução do cálculo é conhecida. Os dois matemáticos foramfundamentais no desenvolvimento do cálculo diferencial eintegral, sendo que esta coincidência em seus estudos trouxeconsigo a oposição entre suas ideias tanto no campo damatemática quanto no da f́ısica e da filosofia. Leibniz estu-dava as propriedades matemáticas de curvas e quantidades

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a elas relacionadas, dando a estas o nome “Função”, en-

quanto Newton Publicava seu artigo sobre quantidades in-finitesimais. A Newton devemos o Binômio, a Identidade eo Método que levam seu nome. Grande parte desse trabalhocontribuiu para o desenvolvimento das áreas de Probabil-idade, Análise e álgebra. É também necessário dizer queo calculo infinitesimal foi crucial para estudos em f́ısica,também são dele 3 leis da mecânica sendo a segunda a queacolhe melhor este princı́pio:

F = ddt( p) =

ddt(m · v) = dmdt · v + dvdt · m = m · dvdt = m · a

Obs: Utilizamos a simplificação acima para massa con-stante (dm/dt = 0).A contribuição de Leibniz para o cálculo está principal-mente no desenvolvimento do conceito de integral, além daregra do produto:

ddx(f (x) · g(x)) = ddxf (x) · g(x) + ddxg(x) · f (x)Que culmina na integração por partes

(f · g) = f · g + f · g = f · g + g · f → f · g = (f · g) − g · f

Devido à semelhança entre os estudos dos dois matemáticos,houve uma grande disputa acadêmica no começo do século

XVIII que trouxe grande desenvolvimento ao que se chamouCálculo Diferencial. Nomes como L’hôpital, Euler, Bernoullie LaGrange são alguns dos que se beneficiaram com ele.

5. FunçõesÉ importante aprender a tratar de funções para que se possa

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observar e identificar a composição destas funções. Alguns

exemplos serão mostrados para que se possa entender oconceito de composição.

(a) exemplo 1

ex e cos(x)Identifique qual das funções em vermelho representa:

i. h1(x) = ecos(x)

ii. h2(x) = cos(ex

)iii. h3(x) = e

x · cos(x)

(b) exemplo 2ln(x) e x2

Identifique qual das funções em vermelho representa:

i. h1(x) = ln(x2)

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ii. h2(x) = ln(x)2

iii. h3(x) = ln(x) · x2

(c) exemplo 3√ x e cos(x)

Identifique qual das funções em vermelho representa:

i. h1(x) =

cos(x)

ii. h2(x) = cos(√

x)

iii. h3(x) = √ x · cos(x)(d) exemplo 4

tgh(x) e 1xIdentifique qual das funções em vermelho representa:

i. h1(x) = tgh(1x)

ii. h2(x) = 1tgh(x)

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iii. h3(x) = tgh(x)

x

6. DemonstraçõesSão propostos três problemas para que se entenda a im-portância e a limitação do cálculo. O valor de 00 e a integralde e−x

2

.

(a) O problema do 00

No princı́pio do uso da potenciação – que data de antesdo século III a.C. - como função de um número, os

matemáticos estavam apenas preocupados com expoentesnaturais e maiores que zero. A partir do que se con-hecia, pode-se inferir as seguintes propriedades:

i. xn · xm = xn+mii. x

n

xm = xn−m

Com o tempo, passou a ser necessário trabalhar com asfunções inversas das potencias, as ráızes. Precisava-se,

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por exemplo, medir o lado de um quadrado de área x.A notação da raiz é a seguinte:

n√

x = y => yn = x

É correto dizer que, ao calcularmos o inverso de umafunção exponencial, estamos trabalhando com o inversodo expoente:

f (x) = xn => f −1(x) = x1

n = n√

x

Dessa forma, podemos encontrar o valor de x elevado aqualquer número racional e até aproximar soluções ir-racionais. Percebeu-se, então, que faltava a exploraçãodo expoente nulo. A seguinte construção nos leva adeterminar o valor de x0:

xn = xn−1 · x => xn−1 = xnxComo por exemplo:

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x2 = x3

x e x = x2

x

Logo:

x0 = xx

Dessa forma, podemos ver que:

limx→0

x0 = limx→0

x

x = lim

x→01 = 1

Isso pode ser verificado no gráfico abaixo:

Mas também há outras três formas de analisar esseproblema. A segunda forma é analisando a funçãog(x) = 0x. Observe a construção a seguir:

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0 · a = 0, ∀a ∈ R

0n = 0 · 0n−1

0n = 0, ∀n > 0

Portanto a função g(x) é igual a 0 em todo o seudomı́nio (x ∈ R | x > 0), mas a função é descontı́nua

em x=0. Portanto, só podemos verificar o limite peladireita:

limx→0+

0x = limx→0+

0

A terceira tentativa de analisar esse valor é pela funçãoh(x) = xx, mas esta construção também apresentaproblemas quando tratamos de seu limite, pois esta

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função também possui descontinuidade em 0, porémo valor do limite pela direita é igual a 1:

(Usando que 1a = 1, ∀a ∈ R)

limx→0+

xx = limx→0+

ex·ln(x) = limx→0+

(ex)ln(x) = limx→0+

1 = 1

O gráfico abaixo mostra essa descontinuidade:

O problema deste método é o fato de a função h(x) =xx possuir desenvolvimento em séries de funções emtodos os pontos (ou seja, ser anaĺıtica) com exceção de0. Para sanar essa necessidade, tomemos uma funçãonão-anaĺıtica em todos os pontos e tenha limite iguala zero quando x a zero tende, como é o caso da funçãof (x) = e−1/x, e uma função g(x) = x e definirmos a

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composição p(x) = f (x)g(x). O cálculo do limite nos dáum resultado diferente dos outros explorados:

limx→0+

(e−1

x )x

= 1e1 ≈ 0.368 A partir das quatro con-

struções observadas, podemos observar que, ao tentar

calcular o valor de 00, podemos descobrir valores alta-

mente discrepantes, desta forma se torna praticamenteimposśıvel determinar uma única solução para o prob-

lema.

(b) O problema do e−x2

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Na maioria dos livros e cursos básicos dados nas uni-versidades, de cálculo, são apresentados os conceitosde antiderivada e integral, bem como suas regras, elogo são trabalhadas as técnicas de integração, que bus-cam encontrar uma maneira de expressar as primitivasdas funções integradas, sem que apareça o śımbolo deintegração

. É notável com que, com o passar dos

anos e o desenvolvimento da computação, é cada vez

mais desnecessário o tempo gasto para se aplicar astécnicas de integração manualmente, haja vista que hásoftwares que levam segundos para calcular integraismais complexas, além disto, tais técnicas não são úteisem todos os casos. No processo de evolução do cálculo,os matemáticos foram se deparando com funções cu-

jas antiderivadas não podem ser expressas em termos

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de funções elementares, integrais onde são inúteis astécnicas de integração mais comuns; um caso muitoconhecido é o da função e−x

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. Podemos definir como oconjunto das funções elementares:

i. Funções polinomiais;

ii. Funções racionais;

iii. Funções algébricas;

iv. Funções exponenciais, particularmente f (x) = ex;v. Funções logarı́tmicas, particularmente f (x) = ln(x);

vi. Funções trigonométricas (inclusive inversas e hiperbólicas);

vii. Todas as funções que por um número finito de eta-pas possam ser constrúıdas com as funções ante-riores por meio de operações de soma, produto ecomposição de funções.

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Sendo a função e−x2

contı́nua e diferenciável, poder-se-ia esperar que sua primitiva pudesse ser expressa emtermo das funções elementares supracitadas, porém, foiprovado que isto é imposśıvel.

Joseph Liouville (Saint-Omer, Pas-de-Calais, 24 de marçode 1809 — Paris, 8 de setembro de 1882) estudou funçõesque apresentavam este problema e desenvolveu o Teo-rema de Liouville (demonstração pode ser encontradano livro The integration of functions of a single vari-

able de G. H. Hardy) que prova que certas integrais defunções elementares não podem ser expressas em ter-mos elementares; como por exemplo, as funções f (x) =

ex

x , f (x) = ln(x) · ex e f (x) = sen(x)x , e também, a jácitada f (x) = e−x

2

. Esta última, muito importante emmuitas áreas, como por exemplo a da probabilidade eestat́ıstica, onde ganha o nome de função de Gauss. Afunção f (x) = e−x

2

pode ter sua integral resolvida em

termos elementares quando tem como limites de inte-gração −∞e +∞. Sendo e−x2 dx = √ π e também tersua antiderivada expressa em termo de funções não-elementares: a função erf (x) = 2√

x

x0 e

−t2dt é denomi-

nada função erro, e podemos então definir

e−x2

dx =12

√ π · erf (x) + c.

-x 2.png

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7. Exerćıcios propostos e resoluções(a) Cálcule os limites a seguir:

i. limx→0

sin9xx

Resoluç˜ ao: Substitúımos 9x por y, logo x = y9 ex → 0 implica y → 0

Dessa forma, limx→0sin9x

x = limy→09sin y

y = 9 limy→0sin y

y

Utilizando o limite fundamental limx→0

sinxx = 1, temos

que

9 limy→0

sin yy

= 9 · 1 = 9

ii. limx

→3π

2

(1 + cos x)1

cosx

Resoluç˜ ao: Substituı́mos 1cosx por y, logo cos x =1y e x → 3π2 implica y → ∞

Dessa forma, limx→3π

2

(1 + cos x)1

cosx = limy→∞

(1 + 1y)y

=

e

iii. limx→2

sin5x−25x−2

Resoluç˜ ao: Substituı́mos x − 2 por y, logo x =y + 2 e x → 2 implica y → 0

Dessa forma, limx→2

sin5x−25x−2 = limy→0

5y+2−25y = limy→0

5y·52−25y =

limy→0

25·(5y−1)y = 25 ln 5 ≈ 40, 236

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(b) Resolva as seguintes integrais:

i.

t · cos t

Resoluç˜ ao: Resolvemos a integração por partes: t · cos t = [t · sin t] − 1 · sin t = t sin t − cos t

ii.

et · cos t

Resoluç˜ ao: Resolvemos a integração por partes:

et

· cos t = [et

· sin t] + et

· sin tAssim:

et · cos t = [et · sin t] − [et · cos t] − et · cos t

E dessa forma:

2 · et · cos t = et · (sin t − cos t)

Portanto:

et · cos t = et·(sin t−cos t)

2

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8. Bibliografia[1] FILHO, D. C. D. M. Professor, qual a primitiva de e

x

x ?.

In: FILHO, D. C. D. M. Matemática Universitária.Campina Grande-PB: Departamento de Matemática e Es-tat́ıstica, 2001.

[2] RAMPANELLI, D. O Teorema de Liouville sobreIntegrais Elementares. Rio de Janeiro. 2009.

[3] SODRÉ, U. Sercomtel - Matemática Essencial. PortalSercomtel, 2004.Disponivel em: ¡http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calcu Acesso em: 05 nov. 2015.

[4] BY MTH. By Math: Definite Integral. Newton - Leibnizformula. By Math, 2012.Disponivel em: ¡http://www.bymath.com/studyguide/ana/sec/ana11.htm ¿.

Acesso em: 20 Outubro 2015.

[5] E-CÁLCULO. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Portal E-Cálculo, 2007.Disponivel em: ¡http://ecalculo.if.usp.br/historia/leibniz.htm ¿.Acesso em: 22 Outubro 2015.

[6] HISTORY CHANNEL. Isaac Newton. Seu History,2012.Disponivel em: ¡http://www.seuhistory.com/node/159791 ¿.Acesso em: 27 Outubro 2015.

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