New Lógica proposicional: Equivalência, regras de dedução · 2019. 4. 15. · Regras de...
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Lógicaproposicional:Equivalência,regrasdededução
Agenda
● Exercício da aula passada ○ Representação de Conhecimento com Lógica Proposicional
● Regras de Inferência ● Regras de equivalência ● Exercícios
Observações sobre representação
● PàQ, P |-- Q ● PàQ, P Q
Regras de equivalência
Dizemos que uma fórmula α
é semanticamente equivalente a fórmula β,
denotado α ≡ β,
se e somente se α ↔ β for uma tautologia.
Regras de equivalência
Sentenças que apresentam o mesmo valor verdade em todos os cenários/interpretações
Regras de equivalência As propriedades comutativas e associativas da conjunção e da disjunção significam que em uma proposição envolvendo só conjunções ou disjunções podemos dispensar o uso de parênteses.
● E01 α ∧ α ≡ α (Idempotência da conjunção). ● E02 α ∨ α ≡ α (Idempotência da disjunção). ● E03 α ∧ β ≡ β ∧ α (Comutativa da conjunção). ● E04 α ∨ β ≡ β ∨ α (Comutativa da disjunção).
Regras de equivalência Exemplos: P ^P ( A gente vive falando isso….)
Regras de equivalência A dupla implicação também possui propriedades comutativa e associativa.
● E13 α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α)
Joao é considerado advogado só se tiver a carteira da OAB.
Regras de equivalência A implicação NÃO é comutativa (vide a propriedade contrapositiva)
● α → β NÃO é equivalente a β → α
Regras de equivalência A implicação NÃO é associativa (vide propriedade da implicação)
● (α → β) → γ NÃO é equivalente a α → (β → γ)
● Se dirigir embriagado perdesse a carteira então o mundo ficaria seguro.
● Se dirigir embriagado então perder a carteira deixará o mundo mais seguro
Todos não necessariamente os bebados
As leis de De Morgan descrevem como a negação é distribuída sobre a conjunção e sobre a disjunção
● ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β (DeMorgan da conjunção).
● ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β (DeMorgan da disjunção).
Regras de equivalência
● α, β |-- α (Simplificação)
● α |-- α ∨ β (Adição)
● α, α → β |-- β (Modus ponens-à Base da inferência lógica)
● ¬β,α → β |-- ¬α (Modus Tollensà prova por indireção)
● α → β,β → γ |-- α → γ (Silogismo hipotético)
Equivalências Notáveis
Axiomas (tautologias)
A01 P |- P Axioma da identidade.
A02 (α → (β ∧ ¬β)) |- ¬α Axioma da não-contradição.
(¬(β ∧ ¬β)) |- True Axioma da não-contradição
A03 (α → β) ∧ (¬α → β) |- β Axioma do terceiro excluído.
Axiomas adicionais (sempre verdadeiros)
A04 (α → (β → α)) |-- True (tautologia)
A05 ((α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))) |-- True (tautologia)
A06 ((¬β → ¬α) → ((¬β → α) → β)) |-- True (tautologia)
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Resumo do raciocínio
Exercicios