New Elementos de la Homolog´ıa Cl´asica Notas Te´oricas...

Elementos de la Homologıa Clasica

Notas Teoricas 2011-12

Version 12

Departamento de Geometrıa y Topologıa Universidad de Sevilla

Indice general

Capıtulo 1 Complejos simpliciales 111 Sımplices y complejos simpliciales finitos 112 Subdivisiones la subdivision baricentrica 313 La topologıa del poliedro |K| 514 Aplicaciones simpliciales Aproximacion simplicial 7

Capıtulo 2 Complejos abstractos 921 Complejos abstractos 9

Capıtulo 3 Rudimentos de Algebra Homologica 1231 Sucesiones exactas 1232 Complejos de cadenas y homologıa 13

Capıtulo 4 Homologıa simplicial 1641 Homologıa simplicial orientada 1642 Seudovariedades y orientacion 20

Capıtulo 5 La invariancia homotopica de la homologıa simplicial 2251 Homologıa simplicial y subdivisiones baricentricas 2252 Invariancia homotopica de la homologıa simplicial 2353 Homologıa local Algunos teoremas de invariancia 2454 Grado de aplicaciones entre seudovariedades 25

Capıtulo 6 Aplicaciones de la homologıa Teorema del punto fijo de Brouwery grado de aplicaciones entre esferas 27

61 Homologıa de las esferas El teorema del punto fijo de Brouwer 27

Capıtulo 7 Aplicaciones de la homologıa Teorema del punto fijo deLefschetz-Hopf y teorema de Borsuk-Ulam 29

71 Traza de un endomorfismo Teorema de Hopf 2972 Teorema de Lefschetz-Hopf y teorema de Borsuk-Ulam 30

Apendice A Repaso de Algebra Lineal 31A1 Definicion de Espacio Vectorial 31A2 Dependencia lineal sistemas generadores bases y finitud 31A3 Dimension 31A4 Coordenadas 32A5 Aplicaciones lineales 32A6 Referencias 33

Apendice B Repaso de Topologıa General 34

iii

INDICE GENERAL iv

Apendice C Teorıa de Homotopıa basica 38

Apendice D Aplicaciones simpliciales contiguas y homologıa 41

Apendice E Demostraciones deHomologıa local e invariancia 53 yGrado de aplicaciones entre seudovariedades 54 43

E1 Homologıa local Algunos teoremas de invarianciaDemostraciones de la seccion 53 43

E2 Grado de aplicaciones entre seudovariedadesDemostraciones de la seccion 54 46

Apendice F Traza de un endomorfismo Terorema de Hopf 47

Apendice G Grupos de matrices 49

Apendice H Nociones basicas de Algebra Conmutativa 52

Apendice I Homologıa simplicial con coeficientes en un anillo dip R 56

Apendice J La computabilidad de la homologıa simplicial 57

Bibliografıa 59

CAPıTULO 1

Complejos simpliciales

El lenguaje de la Topologıa General permite formular precisa y concisamentenumerosos problemas bajo un mismo punto de vista Sin embargo las solucionesa tales problemas en toda su generalidad son practicamente inalcanzables Estehecho era ya bien conocido por los primeros topologos quienes restringieron susestudios a espacios con estructuras adicionales que los hicieran mas manejablesEl ejemplo tıpico de tales espacios son los poliedros los cuales forman una clase losuficientemente restrictiva para evitar las anomalıas de la Topologıa General y losuficientemente general para contener a casi todos los espacios de interes

La caracterıstica principal que distingue a un poliedro P de un espacio topologi-co arbitrario es su triangulabilidad esto es P esta construidos a partir de puntossegmentos triangulos tetraedros etc que son pegados por sus caras Como con-secuencia de esta estructura combinatorial los casos patologicos de la una excesivageneralidad desaparecen de nuestro campo de trabajo El estudio topologico de lospoliedros forma una especialidad de la Topologıa conocida como Topologıa Combi-natorial o Poliedral A exponer los elementos de esta disciplina esta dedicado estecapıtulo

11 Sımplices y complejos simpliciales finitos

Los complejos simpliciales son estructuras combinatoriales que permiten la in-tervencion del Algebra en la Topologıa gracias a la definicion de la homologıasimplicial y los invariantes asociados a ella La nocion de complejo simplicial sedesarrollo gradualmente a partir de los estudios de polıgonos y poliedros tridi-mensionales que se remontan a los orıgenes de las Matematicas La definicion decomplejo simplicial que sigue es atribuida a JW Alexander (1888-1971)

Definicion 111 Dados AB sub Rn definimos el rsquojoinrsquo de A y B como el conjunto

AB = λa+ microba isin A b isin Bλ micro ge 0λ+ micro = 1

Ejercicio 112 Demuestra que AB =⋃aisinAbisinB[a b] donde [a b] es el segmento en

Rn que une los puntos a y b Si A = empty entonces AB = B Si A = a denotaremosAB = aB Notese que el segmento [a b] de mas arriba es ab

Definicion 113 a) Una coleccion de puntos a0 an sube Rm se dice afınmen-te independiente si los vectores a1 minus a0 an minus a0 son linealmente indepen-dientes

b) Si todo punto en aB disitnto de a se escribe de forma unica como λa+ microb conb isin Bλ micro ge 0λ + micro = 1 entonces se dice que aB es el cono de vertice a conbase B

1

11 SIMPLICES Y COMPLEJOS SIMPLICIALES FINITOS 2

Definicion 114 Dados n+1 puntos afınmente independientes en Rm llamaremosn-sımplice o sımplice de dimension n al conjunto convexo

σn = x isin Rmx =

nsum

i=0

λiai con

nsum

i=0

λi = 1 y λi ge 0

Los coeficientes λi son llamados las coordenadas baricentricas Llamaremos interior

de σ aσ = x isin σλi gt 0 Los puntos ai (0 le i le n) se llamaran vertices de

σ y se escribira σ = (a0 a1 an) Ası un 0-sımplice es un punto un 1-sımplicees un segmento un 2-sımplice es un triangulo un 3-sımplice es un tetraedro etcEn general un sımplice σ = (a0 a1 an) esta definido como el menor conjuntoconvexo ( envolvente convexa) que contiene a los vertices a0 an

Nota 115 (a) Dos n-sımplices σ = (a0 an) y τ = (b0 bn) son afınmenteisomorfos esto es existe una biyeccion f σn rarr τn con f(Σni=0λiai) = Σni=0λibiVer 1115 mas adelante

(b) Un n-sımplice σ = (a0 an) sube Rm se considera topologizado por latopologıa relativa de Rm Observese que esta coincide con la topologıa intrınsecade σ definida por la distancia d(Σni=0λiaiΣ

ni=0microiai) =

radicΣni=0(λi minus microi)

2(c) Si σ sube Rm es un n-sımplice su interior no coincide con el interior topologico

si n 6= m pues este ultimo es vacıo

Ejercicio 116 Si B = σ sub Rn es un q-sımplice y aσ es cono en Rn entoces aσes un (q + 1)-sımplice

Definicion 117 Sean R1 sube R2 sube las inclusiones canonicas Rn sube Rn+1 (n ge1) dadas por x 7rarr (x 0) Consideremos Rinfin =

⋃infinn=1 Rn y e0 = (1 0 0 ) ej =

(0

j

and1 0 ) la base canonica Se llama n-sımplice canonico ∆n a la envolvente

convexa de los puntos ei (0 le i le n)

Definicion 118 Sean σ y τ dos sımplices en Rm Se dira que τ es cara de σy lo denotaremos por τ le σ si los vertices de τ son vertices de σ Si τ 6= σ yτ le σ diremos que τ es una cara propia de σ y escribiremos entonces τ lt σ Si

τ le σ se dira queτ es una cara abierta de σ La union de caras propias de un

n-sımplice σ = (a0 an) se llamara borde de σ y lo denotaremos porbullσ Notese

quebullσ = x isin σ x =

sumni=0 λiai tal que λj = 0 para algun j y por tanto

σ = σminus

bullσ

Proposicion 119 (a) Todo sımplice σ es reunion disjunta de sus caras abiertas(b) Dos caras de σ o son disjuntas o se encuentran en una cara

Definicion 1110 Llamamos complejo simplicial finito a una coleccion finita Kde sımplices en algun Rm verificando

(i) Si σ1 σ2 isin K entonces σ1 cap σ2 = empty o σ1 cap σ2 es una cara comun de σ1 y σ2(ii) Si σ isin K y τ le σ entonces τ isin K

Un subcomplejo L sube K es un conjunto de sımplices de K que es un complejosimplicial La dimension de K es el numero maxdimσσ isin K

Se llama m-esqueleto de K y se denota Km o bien skm(K) al subcomplejo

Km = σ isin K dim(σ) le m

Diremos que K0 es el conjunto de vertices de K y los 1-sımplices seran llamadoslas aristas de K El conjunto de los puntos de los sımplices de K se le denomina

12 SUBDIVISIONES LA SUBDIVISION BARICENTRICA 3

poliedro subyacente a K y lo denotaremos por |K| es decir

|K| =⋃σ σ isin K sube Rm

Observacion Todo sımplice σ determina un complejo simplicial al considerarσ y todas sus caras En lo que sigue σ denotara indistintamente un sımplice o elcomplejo simplicial determinado por el

Definicion 1111 Llamaremos grafo a todo complejo simplicialK tal que dim(K) le1 Se dira que un grafo G es un arbol si es contractil

Observacion A menos que se indique lo contrario por ldquocomplejo simplicialrdquoseentendera ldquocomplejo simplicial finitordquo

Proposicion 1112 Sea K un complejo simplicial y x isin |K| Entonces x esta enel interior de un unico sımplice de K llamado sımplice soporte de x

Corolario 1113 Sean σ τ isin K conσ cap τ 6= empty Entonces σ le τ

Definicion 1114 Sean K1 y K2 complejos simpliciales y ϕ una aplicacion defi-nida entre los vertices de K1 y K2 Se dice que ϕ es aplicacion simplicial si dado unsımplice σ isin K1 con σ = (v0 vn) los vertices ϕ(v0) ϕ(vn) estan en un mismosımplice de K2

Al referirnos a una aplicacion simplicial ϕ entreK y L escribiremos ϕ K rarr LObservese que la composicion de aplicaciones simpliciales es siempre una aplicacionsimplicial

Definicion 1115 Un isomorfismo simplicial entre dos complejos simpliciales K1

y K2 es una biyeccion ϕ entre los vertices tal que (v0 vn) es un sımplice de K1

si y solo si (ϕ(v0) ϕ(vn)) es un sımplice de K2 Notese que la inversa de unisomorfismo simplicial tambien es isomorfismo simplicial

12 Subdivisiones la subdivision baricentrica

El desarrollo de la Topologıa Combinatorial necesito pasar de una triangulacionfijada de un poliedro a considerar el poliedro en si mismo como espacio topologicoPara ello fue esencial la nocion de subdivision En particular el ejemplo mas cono-cido de subdivison baricentrica fue introducido por H Poincare (1854-1912) es unode los muchos resultados innovadores debidos a Poincare que impulsaron el estudiode la Topologıa Algebraica

Definicion 121 Sean K y K prime complejos simpliciales Se dice que K prime es unasubdivision de K si se cumplen las siguientes condiciones

(i) |K| = |K prime|(ii) Si σprime isin K prime entonces existe un σ isin K tal que σprime sube σ

La condicion (ii) puede ser sustituida por la siguiente(iirsquo) Todo sımplice de K es union de sımplices de K prime En particular los vertices

de K son vertices de K primeDejamos como ejercicio la comprobacion de la equivalencia de la definicion anteriorcon (iirsquo) en lugar de (ii)

Prestaremos especial atencion al caso particular de subdivision llamada subdi-vision baricentrica y cuya construccion desarollamos como sigue


Proposicion 122 1 Dado x isin σ sea L(x σ) = αx isin α α lt σentonces xL(x σ) = τ xτ τ isin L(x σ) es subdivision de σ

2 Sea K un complejo simplicial y a isin |K| Sea L el complejo simplicialcuyos sımplices son aquellos σ isin K tales que a isin σ y aquellos en aL(a σ)si a isin σ Entonces L es subdivision de K obtenida por estrellamientodesde a isin |K|

Corolario 123 El complejo simplicial L obtenido al estrellar sucesivamente des-de annge0 sub |K| es subdivision de K

Definicion 124 Dado un n-sımplice σ llamamos el baricentro de σ al puntob(σ) =

sumni=0

1n+1ai donde (a0 an) = σ

Definicion 125 1 Dado un complejo simplicial K y los sımplices σ0 ltσ1 lt σn isin K es una simple comprobacion verificar que los pun-tos b(σ0) b(σn) son afınmente independientes y determinan ası unsımplice dentro de σn

2 La subdivision baricentrica de K sdK es el complejo simplicial formadopor los sımplices descritos mas arriba y cuyos vertices son baricentros b(σ)con σ isin K

= K = sdK

Figura 0

3 Ademas notese que si σ es de dimension n a cada sımplice de sdK con-tenido en σ se asocia biyectivamente a una permutacion de los vertices deσ

Corolario 126 Si annge0 son los baricentros de los sımplices de K ordenadospor su dimension de forma decreciente entonces el complejo simplicial L obtenidoal estrellar sucesivamente desde annge0 sub |K| L = sdK es la primera subdivisionbaricentrica de K

Nota 127 Para subdivisiones baricentricas reiteradas usamos la notacion

sdmK = sd(sdmminus1K) m ge 1

sd0K = K

13 LA TOPOLOGIA DEL POLIEDRO |K| 5

Figura 0 Segunda subdivision baricentrica de un 2-sımplice

Definicion 128 Se define el diametro de un sımplice como la mayor distanciaentre dos puntos del sımplice es decir dado un sımplice σ su diametro δ(σ) sera

δ(σ) = maxxminus yx y isin σ

donde es la norma euclıdea

Lema 129 Dado un n-sımplice σ de vertices vi (0 le i le n) se verifica

δ(σ) = maxvi minus vj 0 le i j le n

Definicion 1210 Se denomina medida de un complejo simplicial K al numerom(K) = supδ(σ) σ isin K

Proposicion 1211 Sea K un complejo simplicial de dimension r entonces

m(sdK) le rr+1m(K) por tanto m(sdnK) le

(rr+1

)nm(K)

13 La topologıa del poliedro |K|

En esta seccion se exponen los utiles basicos para expresar la topologıa de unpoliedro en terminos de la estructura simplicial proporcionada por una triangulaciondel mismo

Sobre el poliedro subyacente |K| a un complejo simplicial K en Rm puedenconsiderarse tanto la topologıa relativa de la topologıa euclıdea de Rm como latopologıa debil de los sımplices es decir la topologıa final asociada a las inclusionesiσ σ rarr |K| Teniendo en cuenta que los n-sımplices son subespacios compactos ypor tanto cerrados de Rm se sigue inmediatamente la siguiente

Proposicion 131 En |K| sube Rm la topologıa relativa de la topologıa euclıdea yla topologıa debil coinciden y hacen a |K| compacto

Corolario 132 Dado un complejo simplicial K se verifica(1) A sube |K| es abierto (cerrado) si y solo si A cap σ es abierto (cerrado) en σ

para todo σ isin K(2) f |K| minusrarr Y es continua si y solo si la restriccion f |σ a cada sımplice

σ isin K es continua


Corolario 133 Si L sube K es subcomplejo simplicial entonces |L| es cerrado en|K|

Nota 134 Observese que toda aplicacion simplicial ϕ K1 rarr K2 da lugar a unaaplicacion (que tambien denotamos por ϕ) ϕ |K1| rarr |K2| definida por extensionlineal Esto es si x =

sumni=0 λivi isin σ = (v0 vn) se define

ϕ(x) =sum

λiϕ(vi)

Notese que ϕ es continua ya que la restriccion ϕ|σ a cada σ isin K1 es lineal y |K1|esta dotada de la topologıa debil de todos los sımplices Ademas ϕ es homeomor-fismo si y solo si ϕ es un isomorfismo simplicial (ejercicio)

Definicion 135 Un espacio topologicoX se dice triangulable si existe un poliedro|K| y un homeomorfismo h |K| minusrarr X El par (Kh) es llamado una estructurasimplicial o triangulacion de X

Se define la dimension de X como la dimension de un complejo simplicial K talque (Kh) es una triangulacion de X Se probara mas adelante que la dimensionde X no depende de la triangulacion escogida (ver 536)

Definicion 136 Sea K un complejo simplicial y σ isin K un sımplice Se llamaestrella de σ en K al conjunto st(σK) = micro isin K σ le micro Sin embargo salvoque se indique lo contrario se denotara por st(σK) y se llamara estrella de σ alsubcomplejo

st(σK) = τ isin K existe ρ isin K con τ σ le ρ

Observese que |st(σK)| =⋃micro isin Kσ le micro

Si x isin |K| se define la estrella de x en K como el subcomplejo st(xK) de Kformado por todos los sımplices que contienen a x y todas sus caras Si σ isin K es el

unico sımplice de K con x isinσ (1112) se tiene st(xK) = st(σK) Por otra parte

se define la estrella abierta de σ como el conjuntost(σK) =

⋃σ le micro isin K

Claramentest(σK) sube |st(σK)| Mas aun la estrella abierta de x en K es el

conjuntost(xK) =

⋃x isin micro isin K

y se tiene la igualdadst(σK) =

st(xK) si x isin

σ

Definicion 137 El subcomplejo lk(σK) sube K definido por

lk(σK) = ρ isin st(σK)σ cap ρ = empty

se llama engarce de σ en K Analogamente se define el engarce de x isin |K| como elsubcomplejo

lk(xK) = ρ isin st(xK)x isin ρ

Se tiene la igualdad |lk(xK)| = |st(xK)| minusst(xK) para todo x isin |K|

Proposicion 138 Sea K un complejo simplicial y sean v0 vk vertices de KSon equivalentes

(a) v0 vk son vertices de un sımplice σ isin K

(b)

k⋂

i=0

st(viK) 6= empty

14 APLICACIONES SIMPLICIALES APROXIMACION SIMPLICIAL 7

(c)

k⋂

i=0

st(viK) 6= empty Aquı usamos la definicion de st(viK) como conjunto de

sımplices

Lema 139 Sea K un complejo simplicial Si σ micro isin K son dos sımplices const(σK) cap micro 6= empty entonces σ le micro

Proposicion 1310 Si K es un complejo simplicial y σ isin K la estrella abiertast(σK) es un abierto de |K| que contiene a

σ

14 Aplicaciones simpliciales Aproximacion simplicial

La nocion de aplicacion simplicial es debida a LEJ Brouwer (1881-1967) quientambien demostro por primer vez el teorema de aproximacion simplicial que muestracomo reemplazar aplicaciones continuas entre poliedros por aplicaciones simplicialesde manera conveniente Este teorema es crucial para poder aplicar la homologıasimplicial como veremos en 5

Definicion 141 SeanK1 yK2 complejos simpliciales y f |K1| rarr |K2| continuaUna aplicacion simplicial ϕ K1 rarr K2 se dice aproximacion simplicial de f si paratodo x isin |K1| ϕ(x) pertenece al sımplice soporte de f(x) isin K2 Equivalentementesi f(x) isin σ isin K2 entonces ϕ(x) isin σ

Nota 142 Si v isin |K1| y f(v) es un vertice de K2 entonces f(v) = ϕ(v) si ϕes aproximacion simplicial de f Por tanto toda aproximacion simplicial de unaaplicacion simplicial f coincide con f

Proposicion 143 Sean K1 y K2 complejos simpliciales y f |K1| rarr |K2| con-tinua tal que f ||L| es simplicial donde L sube K1 es subcomplejo Si ϕ |K1| rarr |K2|es una aproximacion simplicial de f entonces d(f ϕ) le m(K2) donde d(f ϕ) =supf(x)minus ϕ(x)x isin |K1|

Proposicion 144 Sean K1 y K2 dos complejos simpliciales y f |K1| rarr |K2|continua Sea ϕ una aplicacion entre los vertices de K1 y K2 Entonces ϕ esuna aproximacion simplicial de f si y solo si para todo vertice v isin K1 se tiene

f(st(vK1)) sube

st(ϕ(v)K2)

Corolario 145 Una aplicacion continua f |K1| rarr |K2| admite una aproxi-macion simplicial ϕ K1 rarr K2 si y solo si para cada vertice v isin K1 se verificast(vK1) sube f

minus1(st(wK2)) para algun vertice w isin K2

Proposicion 146 (Teorema de aproximacion simplicial) Sean K1 y K2

complejos simpliciales y f |K1| rarr |K2| continua Entonces existe una subdivisionbaricentrica sdnK1 y una aplicacion ϕ |sdnK1| rarr |K2| que es aproximacionsimplicial de f

Corolario 147 Sean K1 y K2 complejos simpliciales y f |K1| rarr |K2| continuaDado ε gt 0 existen subdivisiones baricentricas de K1 y K2 sd

nK1 y sdmK2 respec-tivamente y una aproximacion simplicial ϕ sdnK1 rarr sdmK2 tal que d(f ϕ) lt ε

Proposicion 148 (Teorema de aproximacion simplicial de pares) Seaf (|K| |K1|) rarr (|L| |L1|) una aplicacion continua con K1 sub K y L1 sub L sub-complejos Entonces existe una aproximacion simplicial de f ϕ (sdnK sdnK1)rarr(LL1)


Nota 149 Este ultimo resultado se generaliza a aplicaciones continuas entre(n+ 1)-tuplas

f (|K| |K1| |K2| |Kn|)rarr (|L| |L1| |L2| |Ln|)

donde Ki sube K y Li sube L son subcomplejos (0 le i le n)

CAPıTULO 2

Complejos abstractos

A pesar de la sencillez de su definicion original los complejos simpliciales tal ycomo fueron definidos en el Capıtulo 1 son excesivamente ldquorıgidosrdquopara ser manipu-lados con facilidad Pensemos por ejemplo en como representar de manera comodaun complejo simplicial que triangule el plano proyectivo Estos inconvenientes fue-ron rapidamente resueltos por los fundadores de la Topologıa Combinatorial con laintroduccion de los complejos abstractos Ası ya en 1923 dichos complejos habıansido estudiados sistematicamente por W Mayer (1887-1947)

21 Complejos abstractos

En esta seccion se introduce la nocion de complejo abstracto como la formaliza-cion de las propiedades del conjunto de vertices de un complejo simplicial Ademasse demuestra que todo complejo abstracto finito representa un complejo simplicialen algun espacio euclıdeo En las dos secciones que siguen veremos la utilidad de loscomplejos abstractos a la hora de obtener triangulaciones de espacios de pegamientoy espacios de orbitas

Definicion 211 Sea V un conjunto Un complejo abstracto A es una coleccionno vacıa de partes finitas de V verificando las siguientes condiciones

(i) A contiene todos los conjuntos unitarios de V (ii) Dado Σ isin A todo subconjunto de Σ pertenece a A

A los elementos de V se les llama vertices de A y a los elementos de A sımplicesde A Se llama dimension de A al numero (posiblemente infin)

dimA = supcard (Σ) Σ isin A minus 1

Ejemplos 212 (a) Sea K un complejo simplicial Entonces K tiene asociado elsiguiente complejo abstracto A(K)

- Los vertices de A(K) son los vertices de K- Los elementos de A(K) son los conjuntos de vertices de K situados en un

mismo sımplice(b) Sea U = UααisinΛ un recubrimiento de un espacio X Se define el siguiente

complejo abstracto N(U) asociado a U y llamado nervio del recubrimiento U Losvertices de N(U) son los elementos de U y una coleccion finita Uα1

Uαk es

un sımplice de N(U) si⋂kj=1 Uαj

6= empty Es inmediato comprobar que N(U) es un

complejo abstracto (ejercicio)

Definicion 213 Se llama isomorfismo entre dos complejos abstractos A1 y A2

a una biyeccion ϕ V1 rarr V2 entre los vertices de A1 y A2 tal que si a0 ak esun sımplice de A1 entonces ϕ(a0) ϕ(ak) es un sımplice de A2 y recıproca-mente Ası dos complejos simpliciales son simplicialmente isomorfos si y solo si suscomplejos abstractos asociados son isomorfos

9

21 COMPLEJOS ABSTRACTOS 10

Definicion 214 Una realizacion de un complejo abstracto A es un complejosimplicial K cuyo correspondiente complejo abstracto es isomorfo a A Ası losvertices de K pueden ser etiquetados de tal forma que un conjunto de vertices deK generan un n-sımplice de K si y solo si el correspondiente conjunto de verticesde A es un n-sımplice de A

Proposicion 215 Todo complejo abstracto finito A de dimension n admite unarealizacion K en R2n+1

Nota 216 Observese que todas las realizaciones geometricas de un mismo com-plejo abstracto son simplicialmente isomorfas

Ejemplos 217 Algunos ejemplos de complejos abstractos son los representadospor los siguientes diagramas

1 Triangulacion del cilindro

v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3

2 Triangulacion de la banda de Mobius

v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1

3 Triangulacion del toro

v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

4 Triangulacion del plano proyectivo


v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q

5 Triangulacion de la botella de Klein

v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3

Rudimentos de Algebra Homologica

El uso sistematico del Algebra en Topologıa fue impulsado por E Noether(1882-1935) quien influyo decisivamente en PS Alexandroff (1896-1982) y H Hopf(1894-1971) en cuyo libro se introduce por primera vez la homologıa a partir de uncomplejo de cadenas

En este capıtulo auxiliar se repasan las nociones basicas de Algebra Homologi-ca que necesitemos Trabajaremos con espacios vectoriales no necesariamente dedimension finita con coeficientes en un cuerpo F

31 Sucesiones exactas

Definicion 311 Un diagrama de homomorfismos entre F-espacios vectoriales dela forma

middot middot middot rarrMiminus1fiminus1

minusrarrMifiminusrarrMi+1 rarr middot middot middot

se dice sucesion exacta si Im(fiminus1) = ker(fi) para todo i isin Z

El siguiente lema es inmediato

Lema 312 Se verifica

(a) 0rarrM1f1rarrM2 es exacta si y solo si f1 es inyectiva

(b) M1f1rarrM2 rarr 0 es exacta si y solo si f1 es sobreyectiva

(c) 0 rarr M1f1rarr M2

f2rarr M3 rarr 0 es exacta si y solo si f1 es inyectiva f2 es

sobreyectiva y f2 induce un isomorfismo de Coker(f1) sobre M3

Definicion 313 Una sucesion exacta del tipo del apartado (c) del lema prece-dente se denomina sucesion exacta corta

Proposicion 314 Si 0 rarr V1 rarrf V2 rarrg V3 rarr 0 es una sucesion exacta cortaentre F-espacios vectoriales entonces V2

sim= V1 oplus V3

Proposicion 315 (Lema de los cinco) Sea el diagrama conmutativo

- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4

donde las filas son exactas ψ2 y ψ4 son isomorfismos ψ1 es sobreyectiva y ψ5

inyectiva Entonces ψ3 es isomorfismo

12

32 COMPLEJOS DE CADENAS Y HOMOLOGIA 13

Nota 316 Notese que para demostrar que ψ3 es inyectiva se usa que ψ1 es sobre-yectiva y que ψ2 y ψ4 son inyectivas y para la demostracion de la sobreyectividadde ψ3 se utiliza que ψ5 es inyectiva y que ψ4 y ψ2 son sobreyectivas

Corolario 317 Si en el diagrama anterior cada ψi i 6= 3 es un isomorfismoentonces ψ3 es tambien un isomorfismo

32 Complejos de cadenas y homologıa

Definicion 321 Un complejo de cadenas C es un diagrama del tipo

middot middot middot rarr Cn+1partn+1

minusrarr Cnpartnminusrarr Cnminus1 rarr middot middot middot (n isin Z)

donde cada Cn es un F-espacio vectorial y partnpartn+1 = 0 Los homomorfismos partn sedenominan operadores borde

Se denominan n-ciclos a los elementos x isin Zn(C) = ker partn y n-bordes a los ele-mentos de Bn(C) = Impartn+1 Notese queBn(C) sube Zn(C) Se define entonces el n-esi-mo F-espacio vectorial de homologıa de C como el cociente Hn(C) = Zn(C)Bn(C)La clase de homologıa de un ciclo z se denota por [z]

Definicion 322 Si C y Cprime son complejos de cadenas la suma directa C oplus Cprime esel complejo de cadenas definido por los operadores borde partn oplus part

primen Cn oplus C

primen rarr

Cnminus1 oplus Cprimenminus1

Definicion 323 Dados dos complejos de cadenas C1 = C1n part

1n y C2 = C2

n part2n

un homomorfismo de complejos de cadenas f C1 rarr C2 es una familia de homo-morfismos f = fn C1

n rarr C2n verificando que para cada n el diagrama

-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n

es conmutativo La conmutatividad del diagrama anterior implica en particularque fn(Zn(C1)) sube Zn(C2) y fn(Bn(C1)) sube Bn(C2) Por tanto f induce homomorfis-mos flowast Hn(C1)rarr Hn(C2) donde flowast([z]) = [fn(z)] A flowast se le llama homomorfismoinducido por f

Una simple comprobacion aplicando la definicion nos da

Proposicion 324 Se verifica (a) idlowast = Id y (b) (g f)lowast = glowast flowast

Definicion 325 Una sucesion de complejos 0 rarr C1 frarr C2 g

rarr C3 rarr 0 se dice

exacta cuando para todo entero n se verifica que la sucesion 0 rarr C1n

fnrarr C2

n

gnrarr

C3n rarr 0 es exacta

Proposicion 326 Dada una sucesion exacta como la de la definicion anterior

se tiene que la sucesion Hn(C1)flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C3) es exacta

Proposicion 327 Dada una sucesion exacta de complejos como en 325 existeun homomorfismo partlowast Hn(C3)rarr Hnminus1(C1) tal que la sucesion larga

middot middot middot rarr Hn(C1)

flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C

3)partlowastrarr Hnminus1(C

1)rarr middot middot middot


es exacta Esta sucesion es llamada sucesion exacta larga de homologıa

Definicion 328 Sea C = Cn partn un complejo de cadenas Sea para cada enteron Cprimen sube Cn un subespacio vectorial tal que partn(C

primen) sube Cprimenminus1 Entonces a la familia

Cprime = Cprimen partn|Cprime

n se le denomina subcomplejo de C

Definicion 329 Sea C un complejo de cadenas y C1 y C2 dos subcomplejos suyos

Consideramos la sucesion exacta 0rarr C1capC2 irarr C1oplusC2 j

rarr C donde in(x) = (xminusx)y jn(x y) = x + y Entonces de la sucesion anterior se obtiene la sucesion exactacorta de complejos

0rarr C1 cap C2 irarr C1 oplus C2 j

rarr Imj rarr 0

donde Imj es el subcomplejo de C formado por las imagenes Imjn y la sucesionexacta larga de homologıa asociada a esta ultima

middot middot middot rarr Hn(C1 cap C2)rarr Hn(C1 oplus C2)rarr Hn(Imj)

∆rarr Hnminus1(C

1 cap C2)rarr middot middot middot

se denomina sucesion de Mayer-Vietoris del triple (C C1 C2) Notese que Im(j) esel subcomplejo de C C1+C2 engendrado por C1 y C2 Ademas se tiene el isomorfismonatural Hn(C1)oplusHn(C2) sim= Hn(C1 oplus C2)

Definicion 3210 Un complejo de F-espacios vectoriales Cn partn se dice positivocuando Cn = 0 para todo entero n lt 0

Definicion 3211 Dado un complejo positivo C = Cn partn se denomina aumen-to de C a un homomorfismo sobreyectivo ε C0 rarr F de modo que ε part1 = 0

Notese que de esta manera si partn = partn para n ge 1 y part0 = ε entonces C =Cn partn donde Cn = Cn si n ge 0 Cminus1 = F y Cn = 0 si n lt minus1 es un complejo decadenas llamado el complejo aumentado de C

La homologıa Hn(C) = Hn(C) se denomina homologıa reducida de C Notese que

Hn(C) = Hn(C) cuando n ge 1 y Hminus1(C) = 0 Un homomorfismo entre complejos

aumentados es un homomorfismo de complejos de cadenas f C1n part

1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id

Nota 3212 (a) Dada la sucesion exacta corta de complejos de cadenas positivos

0 rarr C1 frarr C2 g

rarr C3 rarr 0 y aumentos ε1 y ε2 tales que ε2f0 = ε1 construimos la

sucesion exacta obvia 0rarr C1 frarr C2 g

rarr C3 rarr 0 La sucesion exacta larga asociada

middot middot middot rarr Hn(C1)rarr Hn(C2)rarr Hn(C

3)rarr Hnminus1(C1) middot middot middot

se denomina sucesion exacta larga de homologıa reducida(b) Dados dos subcomplejos C1 C2 sube C del complejo de cadenas positivo C y

un aumento ε C0 rarr F tal que ε|C10capC

20

es un aumento podemos considerar los

correspondientes complejos aumentados C C1 C2 y C1 cap C2 Entonces de la sucesionexacta


rarr C

se obtiene la sucesion exacta corta


rarr Imj rarr 0

que en el lugar minus1 es 0 rarr F rarr Foplus F rarr F rarr 0 con los homomorfismos obvios Seobtiene ası una sucesion exacta larga

middot middot middot rarr Hn(C1 cap C2)rarr Hn(C

1)oplus Hn(C2)rarr Hn(Imj)

∆rarr Hnminus1(C



denominada sucesion de Mayer-Vietoris reducida del triple (C C1 C2)

Definicion 3213 Dos homomorfismos de complejos de cadenas f g C1 rarr C2son homotopicos y se nota por f ≃ g cuando existe una familia de homomorfismoshn C1

n rarr C2n+1 llamada homotopıa de modo que fn minus gn = part2

n+1hn + hnminus1part1n

para todo n isin Z

middot middot middot C2n C2

nminus1 middot middot middot-C2n+1

- --

C1n C1

nminus1 middot middot middot- -middot middot middot -

part2n+1 part2

n

part1n

gn fn gnminus1 fnminus1

hn

hnminus1

Lema 3214 La relacion de ser homotopicos es una relacion de equivalencia

Lema 3215 Sean f g C2 rarr C3 k C3 rarr C4 y l C1 rarr C2 Entonces si f ≃ gse verifica que k f ≃ k g y f l ≃ g l

Corolario 3216 Sean f g C1 rarr C2 y k s C2 rarr C3 tales que f ≃ g y k ≃ sEntonces k f ≃ s g

Definicion 3217 El homomorfismo de complejos de cadenas f C1 rarr C2 sedice una equivalencia de homotopıa cuando existe g C2 rarr C1 con f g ≃ IdC2 yg f ≃ IdC1 En tal caso se dice que C1 y C2 son homotopicamente equivalentes yg una inversa homotopica de f

Proposicion 3218 Si f g C1 rarr C2 son homotopicas entonces flowast = glowast siendoflowast = glowast Hn(C1)rarr Hn(C2)

Corolario 3219 Si f C1 rarr C2 es una equivalencia de homotopıa entoncesflowast Hn(C1)rarr Hn(C2) es un isomorfismo para todo entero n

Proposicion 3220 Sea C un complejo con Hn(C) = 0 para todo n ge 0 EntoncesIdC ≃ 0 si y solo si Zn(C) es sumando directo de Cn para todo entero n

CAPıTULO 4

Homologıa simplicial

Aunque algunas ideas de la Topologıa Algebraica se remontan a L Euler (1707-1783) no es hasta que la aparicion de la homologıa simplicial que Topologıa Alge-braica adquiere entidad propia como parte de la Matematicas La homologıa sim-plicial tiene sus orıgenes en una serie de trabajos de Poincare durante el perıodo1895-1900 No obstante estos trabajos son mas un ldquoprograma de trabajordquoque unestudio riguroso por lo que se tardo unos veinte anos en formalizar completamentela homologıa simplicial

En este capıtulo damos un tratamiento sistematico de la homologıa simplicial anivel combinatorio que sera completado en el siguiente capıtulo al demostrarse quela homologıa es en realidad un invariante topologico del poliedro independiente dela triangulacion del mismo

41 Homologıa simplicial orientada

Esta seccion esta dedicada a la version orientada de la homologıa simplicial Elprincipio basico subyacente a esta aproximacion es la idea de asignar signos a laorientaciones lo que constituye una relacion muy rudimentaria entre la Geometrıay Algebra

Definicion 411 Sea K un complejo simplicial dado un sımplice σ = (v0 vk)se define la siguiente relacion de equivalencia ldquosimrdquosobre el conjunto de las ordena-ciones de los vertices de σ

(v0 vk) sim (vπ(0) vπ(k))

si π es una permutacion par de los ındices Es decir se puede pasar de un orden aotro mediante un numero par de trasposiciones Esta relacion es de equivalencia yda lugar a dos clases de equivalencia que llamaremos una orientacion de σ y unavez escogida σ se dice un sımplice orientado

Dado un q-sımplice σq isin K sean σq1 y σq2 las dos posibles orientaciones de σq

(q gt 0) Dado un anillo R sea Cq(K F) el cociente del F-espacio vectorial con basetodos los q-sımplices orientados de K por el subespacio generado por los elementosσq1 + σq2 A Cq(K F) se le llama el F-espacio vectorial de las q-cadenas simplicialesorientadas de K (q ge 0)

Nota 412 (a) Si σ = lowast es un 0-sımplice entonces solo hay una orientacionsobre σ y C0(K F) es el F-espacio vectorial engendrado por los vertices de K

(b) Definimos Cq(K F) = 0 si K = empty y Cq(K F) = 0 si q gt dim(K) o q lt 0(c) Observese que Cq(K F) es un F-espacio vectorial para el cual una base

se obtiene al escoger cada q-sımplice σ isin K con una orientacion e identificar elelemento minusσ de Cq(K F) con σ orientado con la orientacion opuesta

16

41 HOMOLOGIA SIMPLICIAL ORIENTADA 17

Notacion 413 Por [vπ(0) vπ(k)] se denotara el sımplice σ = (v0 vk) con laorientacion definida por la permutacion π

Dados un n-sımplice τ y un (nminus 1)-sımplice σ de un complejo simplicial K sellama orden de incidencia de σ en τ con coeficientes en F

[σ τ ] =

0isinF si τ 6leσ1isinF en caso contrario

Si σ y τ estan orientados se llama orden de incidencia orientado de σ en τ a

[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ

1isinF si τleσ y τ tiene la orientacion inducida por σminus1isinF si τleσ y τ no tiene la orientacion inducida por σ

Si σ esta orientado por el orden (v0 vn) se llama orientacion inducida por σ enτ a la orientacion (minus1)i(v0 vi vn) si vi es el vertice que falta en τ

Se llama F-coeficiente de incidencia (orientado) de τ en el complejo de sımpli-ces orientados K a OK(τ) =

sumσisinK [σ τ ] isin F (OK(τ) =

sumσisinK [σ τ ]or isin F

respectivamente)

Definicion 414 Definimos el q-esimo operador borde simplicial orientado alhomomorfismo

partq Cq(K F) minusrarr Cqminus1(K F)

como la extension lineal de la aplicacion

partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]

donde [p0 pi pq] indica el (q minus 1)-sımplice orientado obtenido al eliminar elvertice que ocupa el lugar i

Lema 415 La definicion de partq no depende de la permutacion que define [p0 pq]De hecho si σq1 y σq2 son las dos orientaciones de σq se tiene

partq(σq1 + σq2) = 0

Lema 416 Se verifica partqpartq+1 = 0

Definicion 417 El complejo de cadenas positivo Clowast(K F) = Cq(K F) partq esllamado el complejo de cadenas simpliciales orientadas de K con coeficientes en elcuerpo F La homologıa de este complejo se denota Hq(K F) y se llama el q-esimoF-espacio vectorial de homologıa orientada de K

Definicion 418 Dadas bases σσnisinK y ττnminus1isinK de Cn(K F) y Cnminus1(K F)respectivamente el operador borde partn se escribe entonces

partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ

En efecto con la notacion anterior si τ le σ esta orientado con la orientacioninducida de σ entonces [σ τ ]or = 1 y τ = (minus1)i(vo vi vn) En casocontrario [σ τ ]or = minus1 y τ = minus(minus1)i(vo vi vn) En otras palabras lamatriz representando partn tiene respecto a las bases elegidas la forma siguiente

[σ τ ]or

Esta matriz es la llamada la n-esima matriz de incidencia


Nota 419

a) Observese que part(σ) es la suma de los (n minus 1)-sımplices del borde de σ con susorientaciones inducidas

b) Por tanto si F es un cuerpo que contiene a Z sube F como subanillo (eg QRC)entonces la matriz de partn esta constituida por 0 y plusmn1 isin Z En particular su trazaes un numero entero

c) Si F = Z2 entonces [σ τ ]or = [σ τ ] y part(σ) =sum

τisinK [σ τ ]τ

Proposicion 4110 Si K 6= empty el complejo positivo Cq(K F) partq admite au-mento

Notacion 4111 Denotaremos por Hq a los F-espacios vectoriales de homologıaorientada reducida de K

Proposicion 4112 Sean K1K2 complejos simpliciales y ϕ K1 minusrarr K2 unaaplicacion simplicial Entonces ϕ induce un homomorfismo de complejos de cadenasC(ϕ) definido por la extension lineal de C(ϕ)[p0 pq] = [ϕ(p0) ϕ(pq)] si noaparecen vertices repetidos y C(ϕ)[p0 pq] = 0 en caso contrario

En particular si ϕ = Id entonces C(ϕ) = Id y si ψ K2 minusrarr K3 es otraaplicacion simplicial se tiene C(ψ ϕ) = C(ψ) C(ϕ)

Corolario 4113 Toda aplicacion simplicial ϕ K1 minusrarr K2 induce un homomor-fismo

ϕlowast Hq(K1 F) minusrarr Hq(K2 F)

tal que (ψ ϕ)lowast = ψlowast ϕlowast e Idlowast = Id

Notacion 4114 Con el fin de simplificar la notacion usaremos tambien ϕlowast comonotacion alternativa a C(ϕ) si no hay lugar a confusion

Proposicion 4115 Sea K un complejo simplicial Consideramos el complejocono L = v lowastK Entonces la homologıa orientada de L es Hq(L F) = 0 para todo

q 6= 0 y H0(L F) sim= F En el caso reducido Hq(L F) = 0 para todo q

Corolario 4116 La homologıa simplicial orientada reducida de todo sımplice esnula

Corolario 4117 Seabullσ el borde del n-sımplice σn Entonces Hnminus1(

bullσ F) sim= F

y nula en otro caso Ademas un generador en el caso no trivial es la clase de lacadena part(σ)

Definicion 4118 Sea K un complejo simplicial y L sube K un subcomplejo Enton-ces el complejo de cadenas Cq(L F) partprimeq donde partprimeq = partq|Cq(LF) es un subcomplejode Cq(K F) partq y se llama homologıa orientada relativa del par (KL) a la ho-mologıa del complejo de cadenas relativas

Clowast(KL F) = Cq(KL F) partq = Cq(K F)Cq(L F) partq

donde partq es el paso al cociente del operador borde partq

Proposicion 4119 Si L es un subcomplejo de K se tiene la sucesion exacta dehomologıa simplicial orientada de (KL)

minusrarr Hq(L F)ilowastminusrarr Hq(K F)

jlowastminusrarr Hq(KL F)

partlowastminusrarr Hqminus1(L F) minusrarr


Nota 4120 Si reemplazamos Cq(K) y Cq(L) por los complejos con aumento

Cq(K) y Cq(L) obtenemos que el complejo relativo con aumento coincide con elpropio complejo (ver 3212(a)) y tenemos ası la sucesion exacta de homologıa sim-plicial orientada reducida

minusrarr Hq(L F) minusrarr Hq(K F) minusrarr Hq(KL F) minusrarr Hqminus1(L F) minusrarr

La siguiente proposicion es una consecuencia inmediata de la exactitud de lasucesion del par y de 4117

Proposicion 4121 Si σ es un n-sımplice (n ge 1) se tiene

Hq(σbullσ F) sim= Hqminus1(

bullσ F) sim=

F si q = n0 en otro caso

Ademas un generador de Hq(σbullσ F) es el propio sımplice (orientado) σ

Proposicion 4122 Sea K un complejo simplicial K1 y K2 dos subcomplejos deK Entonces existe una sucesion exacta (sucesion de Mayer-Vietoris)

rarr Hq(K1capK2 F)ϕrarr Hq(K1 F)oplusHq(K2 F)

ψrarr Hq(K1cupK2 F)

∆rarr Hqminus1(K1capK2 F)rarr

donde ϕ(x) = (i1lowast(x)minusi2lowast

(x)) y ψ(x) = j1lowast(x) + j2lowast

(x) con jt Kt rarr K1 cupK2 eit K1 capK2 rarr Kt (t = 1 2) las correspondientes inclusiones

Nota 4123 (a) La sucesion exacta de 4122 tambien es valida para la homologıareducida de acuerdo con 3212(b)

b) Por el segundo teorema de isomorfıa tenemos para todo q el isomorfismo

iq Cq(K2 F)(Cq(K1 F) cap Cq(K2 F))sim=minusrarr

(Cq(K1 F) + Cq(K2 F))Cq(K1 F) = Cq(K1 cupK2 F)Cq(K1 F)

que induce isomorfismos (teorema de escision de la homologıa simplicial)

ilowast Hq(K2K1 capK2 F) sim= Hq(K1 cupK2K1 F)

Estos isomorfismos son llamados isomorfismos de escision Mas aun de acuerdocon la definicion de ∆ (ver 327) se tiene que ∆ es la composicion

Hq(K1 cupK2 F)jlowastrarr Hq(K1 cupK2K1 F)

ilowastlarrminussim=Hq(K2K1 capK2 F)

partlowastrarr Hqminus1(K1 capK2 F)

donde partlowast es el operador borde de la sucesion del par (K1K1 capK2)

A partir de aquı estamos en disposicion de calcular la homologıa de espaciosbien conocidos Comenzamos recordando que un colapso K ցց L es una sucesionde colapsos elementales K = K0 ց K1 ց Kn = L donde Ki colapsa ele-mentalmente a Ki+1 si existe un sımplice σi isin Ki y una cara τi lt σi tal queKi+1 = Ki minus σi τi Ver ejercicio para mas detalles

Proposicion 4124 Sea L sube K un subcomplejo al cual colapsa K Entonces Ky L tienen la misma homologıa (reducida)

La homologıa ha sido definida a partir de la orientacion rdquolocalldquo de un complejosimplicial Para una clase particular de poliedros (que incluye a todas las variedadestopologicas triangulables y en especial a todas las variedades diferenciables) veremosque la homologıa nos sirve para caracterizar la existencia de una orientacion globalde todo el poliedro

42 SEUDOVARIEDADES Y ORIENTACION 20

42 Seudovariedades y orientacion

En esta seccion se introduce el concepto de orientacion y se demuestra quepara las n-seudovariedades fuertes esta nocion esta caracterizada por la homologıaen dimension n

Definicion 421 Un poliedro |K| se dice que es una n-seudovariedad si

(1) Todo sımplice de K es cara de algun n-sımplice En particular dim K = n Y(2) Todo (nminus 1)-sımplice es cara de exactamente dos n-sımplices de K

Una n-seudovariedad |K| se dice n-seudovariedad fuerte si para todo par de n-sımplices σ micro isin K existe una sucesion σ1 σk de n-sımplices con σ1 = σ σk =micro y σi cap σi+1 es una (n minus 1)-cara comun para 1 le i le k minus 1 A tal sucesion se lellamara cadena Notese que toda n-seudovariedad fuerte es conexa Por extensiondiremos que una n-seudovariedad es fuerte si sus componentes conexas lo son

Ejemplos 422 (1) El borde de un n-sımplice considerado como complejo sim-plicial es una (nminus 1)-seudovariedad fuerte

(2) Toda 1-seudovariedad es 1-variedad (ejercicio(3) Un ejemplo de 2-seudovariedad que no es 2-variedad es una triangulacion del

ldquotoro estranguladordquo en la figura 3

Figura 0(4) La 2-seudovariedad

Figura 1

no es 2-seudovariedad fuerte

Proposicion 423 Sea |K| una n-seudovariedad fuerte y conexa entonces Hn(K Z2) sim=Z2

Ejemplo 424 Notese que la figura 4(1) muestra la necesidad de la condicion deseudovariedad fuerte sobre |K|


Definicion 425 Una n-seudovariedad |K| se dice orientada si los n-sımplice deK estan orientados de tal manera que para cada γnminus1 se tenga OK(γ) = 0 cuandoesto ocurre se dice que los n-sımplices estan orientados coherentemente

Si n = 0 consideramos |K| orientado cuando los puntos tienen asignados signosldquo+rdquo y signos ldquominusrdquo Una seudovariedad se dice orientable si existe alguna orientacionsobre ella En caso contrario se dice no orientable

Nota 426 Observese que decir que |K| esta orientada es poder encontrar sobrecada n-sımplice σ isin K una orientacion tal que en una de susu caras el otro sımplice(ya orientado) incidente a el en esa cara induce la orientacion opuesta a la de σ

Ejemplo 427 Una 2-seudovariedad no orientable es la triangulacion del planoproyectivo P2R

v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q

Nota 428 Si esta claro por el contexto suprimiremos a partir de ahora la notacionldquoorrdquo de los numero de incidencia orientada

Proposicion 429 Sea |K| una n-seudovariedad conexa fuerte entonces si |K|es orientable Hn(K R) = Z(K R) sim= R estando generado por la combinacion microK =sumσnisinK σ donde los σ estan orientados coherentemente sobre |K| Ademas si |K|

no es orientable Hn(K R) = 0

Nota 4210 Observese que el resultado anterior es valido para cualquier cuerpoF con Z sub F como subanillo

Definicion 4211 El ciclo microK es llamado el ciclo o clase fundamental de |K|

Ejemplo 4212 Si Hn(KR) sim= R y |K| es n-seudovariedad no implica que |K|sea orientable Por ejemplo la union por un vertice L = σ3 orK de la triangulacionK de P2R y σ3 es una 2-seudovariedad no orientable (pues K no lo es) y sinembargo H2(LR) sim= R

Definicion 4213 Si |K| es un n-poliedro orientado llamamos orientacion opues-ta a la de |K| a aquella obtenida al considerar cada n-sımplice con la orientacionopuesta a la dada y se denota por minus|K|

Proposicion 4214 Si |K| es una n-seudovariedad conexa fuerte orientable en-tonces |K| posee solo dos orientaciones

Ejemplo 4215 El resultado anterior no es cierto para cualquier seudovariedadEn efecto la seudovariedad dada en la figura 4(1) admite ocho orientaciones

CAPıTULO 5

La invariancia homotopica de la homologıa

simplicial

Hasta este momento hemos trabajado con la homologıa de un complejo sim-plicial K En este capıtulo presentamos el resultado crucial de la invariancia ho-motopica de la homologıa simplicial esto es la homologıa de K solo depende deltipo de homotopıa del poliedro subyacente |K| La primera demostracion de esteresultado es debida a Alexander en 1915 En la demostracion juega un papel esen-cial el operador algebraico inducido por la subdivision baricentrica y el teorema deaproximacion simplicial

51 Homologıa simplicial y subdivisiones baricentricas

Definicion 511 Sea Cn(K F) partn el complejo de cadenas simpliciales orienta-das del complejo K con coeficientes en R Se llama operador subdivision al homo-morfismo

sdlowastn Cn(K F)rarr Cn(sdK F)

dado por la extension lineal de

sdlowastn(σ) =

sum[σ σ] middot σ σn isin sdK σ sube σ

donde σ esta ordenado por un orden que da la orientacion y [σ σ] = 1 si el ordende aparicion de los vertices de σ en la definicion de σ da la orientacion de σ y minus1en caso contrario Es inmediato comprobar que la correspondencia sdlowastn

esta biendefinida es decir sdlowastn

no depende del orden escogido en σ y que si σ es σ con laorientacion opuesta se tiene sdlowastn

(σ) = minussdlowastn(σ)

Lema 512 La familia sdlowastnnge0 es un homomorfismo de complejos de cadenas

Lema 513 Sea f K rarr L un aplicacion simplicial y sea f sdK rarr sdL lamisma aplicacion entre subdivisiones baricentricas Entonces tenemos un diagramaconmutativo

Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast

donde flowast denota el correspondiente homomorfismo Cn(f)

Como consecuencia inmediata obtenemos

22

52 INVARIANCIA HOMOTOPICA DE LA HOMOLOGIA SIMPLICIAL 23

Proposicion 514 El operador subdivision induce para todo n ge 0 un homomor-fismo

sdlowast Hn(KR) minusrarr Hn(sdKR)

que tambien llamamos operador subdivision Si f K rarr L es una aplicacionsimplicial tenemos el diagrama conmutativo

Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast

Definicion 515 Llamamosm-esimo operador subdivision del complejo orientadoK a la composicion

sdmlowast = sdlowast sdlowast middot middot middot sdlowast Hn(K F)rarr Hn(sdmK F)

m veces

Nota 516 (a) El diagrama analogo a 514 para sdmlowast tambien es conmutativo(b) El operador sdlowast y mas generalmente sdmlowast puede ser extendido a homologıa

relativa de manera natural gracias a 513

Proposicion 517 Sea K un complejo simplicial finito El n-esimo operadorsubdivision es de hecho un isomorfismo

sdmlowast Hn(K F)sim=minusrarr Hn(sd

mK F)

Analogamente para el caso relativo

Nota 518 En realidad a nivel de complejos sdm Cq(K F) partq minusrarr Cq(sdmK F) partq

es de hecho una equivalencia de homotopıa Vease ejercicioA continuacion damos un homomorfismo de complejo de cadenas que define un

inverso a izquierda para sdmlowast y es por tanto un inverso homotopico de sdmq

Proposicion 519 Para cada n ge 1 existe una aplicacion simplicial λ sdnK rarrK que es aproximacion simplicial de la identidad Id |K| rarr |K| y tal que λlowastsd

nlowast =

IdHlowast(KF) Analogamente para un par simplicial (KL)

52 Invariancia homotopica de la homologıa simplicial

Ahora estamos en condiciones de probar que los F-espacios vectoriales de ho-mologıa simplicial son invariantes del tipo de homotopıa del poliedro Comenzamosasociando a toda aplicacion continua f |K| rarr |L| un homomorfismo

f Hq(K F)rarr Hq(L F)

como la composicion f = ϕsdnlowast donde ϕ sdnK rarr L es una aproximacion sim-plicial de f Para demostrar que f esta bien definido necesitamos los siguientesresultados Por abuso de notacion confundiremos y lowast

Proposicion 521 Sean K1 y K2 complejos simpliciales y f |K1| rarr |K2| con-tinua tal que f ||L| es simplicial donde L sube K1 es subcomplejo Si ϕ |K1| rarr |K2|es una aproximacion simplicial de f entonces f es homotopica a ϕ relativamente a|L|

53 HOMOLOGIA LOCAL ALGUNOS TEOREMAS DE INVARIANCIA 24

Definicion 522 Dos aplicaciones simpliciales ϕ ψ K rarr L se dicen contiguassi para cada sımplice σ isin K la union ϕ(σ) cup ψ(σ) esta en un sımplice de L Dosaplicaciones simpliciales ϕ y ψ se dicen que estan en la misma clase de contiguidadsi existe una sucesion aplicaciones simpliciales ϕ0 ϕn tales que ϕ = ϕ0 ψ = ϕny ϕi es contigua a ϕi+1 para todo i

Lema 523 Dos aproximaciones simpliciales ϕ ψ K rarr L de una misma aplica-cion continua f |K| rarr |L| son contiguas Mas aun si H f ≃ g es una homotopıaexisten aproximaciones simpliciales de f y g en la misma clase de contiguidad

Proposicion 524 Dos aplicaciones simpliciales ϕ ψ K rarr L en la mismaclase de contiguidad inducen homomorfismos entre complejos de cadenas ϕlowast ψlowast Clowast(K F)rarr Clowast(L F) homotopicos

Lema 525 El homomorfismo f no depende de la aproximacion ϕ utilizada ensu definicion

Proposicion 526 Se verifica id = id y (gf) = gf Ademas si f y g sonaplicaciones homotopicas entonces f = g

Corolario 527 (Invariancia homotopica de la homologıa simplicial) SiK y L son dos complejos simpliciales tales que |K| y |L| son del mismo tipo dehomotopıa entonces Hq(K F) y Hq(L F) son modulos isomorfos

En particular lo grupos de homologıa son invariantes topologicos del poliedro|K| y nos permite la siguiente definicion

Definicion 528 Sea X un espacio triangulable se llama n-esima homologıa deX con coeficientes en R al R-modulo Hn(X F) = Hn(K F) donde φ |K| rarr Xes una triangulacion de X De acuerdo con 527 el modulo Hn(X F) esta biendefinido salvo isomorfismo

53 Homologıa local Algunos teoremas de invariancia

Aun no hemos probado que la definicion de seudovariedad no dependa de latriangulacion escogida Una vez probada la invariancia homotopica de la homotopıasimplicial estamos en condiciones de probarlo como consecuencia de la invarianciatopologica de la llamada homologıa local

Definicion 531 Dado el poliedro X = |K| llamamos homologıa local de x isin Xa la homologıa del engarce lk(xK)

Aunque no es obvio a partir de la definicion probaremos que la homologıalocal es un invariante topologico del poliedro X Sin embargo no es un invariantehomotopico como muestra el siguiente ejemplo

Ejemplo 532 Sean K y L los complejos simpliciales correspondientes a un 2-sımplice y a un 1-sımplice respectivamente Los poliedros |K| y |L| tienen el mismotipo de homotopıa Pero si h |K| rarr |L| es una equivalencia de homotopıa y x isin|K| es un punto del interior del 2-sımplice entonces tenemos H1(lk(xK) R) sim= Rmientras que siempre H1(lk(h(x)L) R) = 0

La siguiente proposicion establece el resultado fundamental de esta seccion

54 GRADO DE APLICACIONES ENTRE SEUDOVARIEDADES 25

Proposicion 533 Sean K y L complejos simpliciales y sea f |K| rarr |L| unaaplicacion inyectiva cuya imagen f(|K|) tiene interior no vacıo en L Entonces paracada x isin |K| tal que f(x) esta en el interior de f(|K|) se tiene que los poliedros|lk(xK)| y |lk(f(x)L)| son del mismo tipo de homotopıa

En su demostracion utilizaremos el siguiente

Lema 534 SeaK un complejo simplicial en Rn Entonces para todo y isin |st(xK)|el segmento de extremos x e y esta contenido en |st(xK)| Ademas toda lineacomenzando en x corta a |lk(xK)| en exactamente un punto

Como consecuencia inmediata de 533 y de 527 se obtiene la invariancia to-pologica de la homologıa local Mas explıcitamente

Proposicion 535 Sea h |K| rarr |L| un homeomorfismo EntoncesHq(lk(xK) F) sim= Hq(lk(h(x)L) F) para todo q y todo x isin |K|

Varios teoremas de invariancia interesantes se derivan de la invariancia topologi-ca de la homologıa local Comenzamos con

Proposicion 536 Sea |K| un poliedro de dimension n y f |K| rarr |L| unhomeomorfismo Entonces |L| tambien tiene dimension n

Ahora probaremos la invariancia topologica de la definicion de seudovariedadExplıcitamente

Proposicion 537 Si f |K| rarr |L| es un homeomorfismo y K es una n-seudovariedad orientable conexa entonces L tambien lo esMas aun si K es seudo-variedad fuerte L tambien lo es

En la demostracion de 537 usamos los siguientes lemas

Lema 538 Sea |K| un poliedro y para todo entero positivo t ge 0 sea AtK laclausura del conjunto

BtK = x isin |K| Hnminus1(lk(xK) Z2) sim=

toplus

i=1

Z2

Entonces AtK es el espacio subyacente a un subcomplejo de K y si f |K| rarr |L| esun homeomorfismo f(AtK) = AtL

Tenemos la siguiente

Proposicion 539 Si K es un complejo simplicial tal que el poliedro subyacente|K| es una n-variedad entonces para todo x isin K |lk(xK)| tiene el tipo de homo-topıa de Snminus1 En particular toda n-variedad triangulable es n-seudovariedad

54 Grado de aplicaciones entre seudovariedades

A continuacion introducimos la nocion de grado para aplicacionesx entre seu-dovariedades fuertes de la misma dimension como caso particular las esferas

Sean |K| y |L| dos n-seudovariedades conexas fuertes y orientadas con clasesfundamentales microK y microL respectivamente Si f |K| rarr |L| es continua el homomor-fismo inducido

f⋆ Hn(K R) sim= Rrarr Hn(L R) sim= R


esta determinado por un entero esto es f⋆(microK) = grad(f)microL con grad(f) isin Z Enefecto en principio f⋆(microK) = λmicroL con λ isin R ya que microK y microL son generados Ahorabien para cualquier aproximacion simplicial de f ϕ sdnK rarr L se cumple

f⋆(microK) = ϕ⋆sdn⋆ (microK) = ϕ⋆(microsdm(K))

En efecto como sdm⋆ es un isomorfismo sdm⋆ (microK) es un generador de Hn(sdmK R)

y por definicion los coeficientes de los sımplices en sdm⋆ (microK) son todos plusmn1 portanto sdm⋆ (microK) = microsdmK es una clase fundamental de sdmK

Ademas por definicion ϕ⋆ el coeficiente de cada n-sımplice σ isin L en ϕ⋆(microsdm(K))es un numero entero por tanto λ = grad(f) isin Z es de hecho un numero enteroAl numero grad(f) isin Z le llamamos el grado de f

Proposicion 541 (a) El grado solo depende de la clase de homotopıa de f (b) grad(g f) = grad(g) middot grad(f)(c) grad(Id) = 1 y si f es una equivalencia de homotopıa grad(f) = plusmn1

Definicion 542 Sea ϕ K rarr L una aplicacion simplicial entre n-complejosorientados Dado σn isin L denotamos por λϕ+(σ) el numero de n-sımplices micro isin Ktales que ϕ(micro) = σ y ϕ microrarr σ conserva las orientaciones Igualmente λϕminus(σ) sera elnumero de n-sımplices ρ isin K con ϕ(ρ) = σ y ϕ ρ rarr σ invierte las orientacionesAl numero λϕ(σ) = λϕ+(σ) minus λϕminus(σ) se le llama el grado de ϕ en σ

Proposicion 543 Sean |K| y |L| n-seudovariedades fuertes conexas orientadasy f (|K| |partK|) rarr (|L| |partL|) continua Para toda aproximacion simplicial ϕ (sdmK sdmpartK)rarr (L partL) de f tenemos grad(f) = λϕ(σ) para cualquier σn isin L

CAPıTULO 6

Aplicaciones de la homologıa Teorema del punto

fijo de Brouwer y grado de aplicaciones entre

esferas

Este capıtulo reune varios resultados relacionados con la homologıa de las esfe-ras Uno de ellos es el celebre teorema de Brouwer que establece que toda aplicacioncontinua de la bola Bn en sı misma debe tener al menos un punto fijo Otra impor-tante aportacion de Brouwer es la nocion de grado de una aplicacion que data de1912 y cuya expresion homologica fue obtenida por Hopf en 1926 Aquı especializa-mos la nocion de grado al caso de aplicaciones entre esferas de la misma dimensiony probamos algunas de sus importantes consecuencias como el teorema fundamen-tal del Algebra o la imposibilidad de construir campos de vectores no nulos sobreesferas de dimension par

61 Homologıa de las esferas El teorema del punto fijo de Brouwer

Una de las aplicaciones clasicas de la homologıa es el teorema de existencia depuntos fijos para aplicaciones continuas f Bn rarr Bn o su equivalente el teorema dela no retraccion de Bn sobre Snminus1 (debido a K Borsuk (1905-1982)) El primer re-sultado fue probado por Brouwer en 1912 cuando aun no habıa sido completamentebien fundamentada la homologıa simplicial Actualmente estos teoremas son simplesconsecuencias del calculo de los grupos de homologıa de las esferas y del caracternatural de los mismos con respecto a las aplicaciones continuas Recordemos que lahomologıa de la esfera Sn venıa dada para n ge 1 por

Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117

Proposicion 611 (Teorema de la no retraccion) La (nminus 1)-esfera Snminus1 noes retracto de la n-bola Bn

Proposicion 612 Sea f Bn rarr Rn una aplicacion continua Entonces f(y) = 0para algun y isin Bn o f(z) = λz para algun z isin Snminus1 y λ gt 0

Corolario 613 Si g Bn rarr Rn es continua entonces g(y) = y para algun y isin Bn

o g(z) = microz para z isin Snminus1 y micro gt 1

Corolario 614 (Teorema del punto fijo de Brouwer) Toda aplicacion con-tinua f Bn rarr Bn tiene un punto fijo

A continuacion se especializara la nocion de grado definida en 54 al caso deesferas Comenzamos con la siguiente

27

61 HOM DE ESFERAS T DEL PUNTO FIJO DE BROWER 28

Definicion 615 Dada la aplicacion f Sn rarr Sn (n ge 1) se define el gradode f como el numero entero ldquograd(f)rdquotal que flowast Hn(Sn) rarr Hn(Sn) se escribeflowast(ε) = grad(f) middot ε donde ε es un generador Observese que si ϕ |K| rarr Sn es unatriangulacion de Sn bastara calcular el grado de una aproximacion simplicial deϕminus1 f ϕ |K| rarr |K|

Recordemos que el grado tiene las siguientes propiedades (ver 541)(1) grad(f g) = grad(f) middot grad(g)(2) Si f ≃ g entonces grad(f) = grad(g)(3) Se tiene grad(Id) = 1 Mas aun si f es una equivalencia de homotopıa

grad(f) = plusmn1

Proposicion 616 Si f Sn rarr Sn no es sobreyectiva entonces grad(f) = 0

Proposicion 617 Sea m isin Z y consideremos la aplicacion αm S1 rarr S1 dadapor α(z) = zm como numeros complejos Entonces grad(αm) = m

Corolario 618 (Teorema fundamental del Algebra) Todo polinomio com-plejo f(z) = anz

n + anminus1znminus1 + middot middot middot+ a0 de grado mayor o igual que uno tiene una

raız

Proposicion 619 Sea ri Sn rarr Sn (n ge 1) la reflexion respecto al planoxi = 0 es decir ri(x0 xn) = (x0 x1 minus xi xn) Entonces grad(ri) = minus1para 0 le i le n

Corolario 6110 La aplicacion antipodal α Sn rarr Sn definida por α(x0 xn) =(minusx0minusx1 minusxn) tiene grado (minus1)n+1

Proposicion 6111 Sea f Rn+1 rarr Rn+1 una aplicacion ortogonal Denotemostambien por f la restriccion a Sn Entonces f Sn rarr Sn tiene grado det(Af )donde Af es la matriz de f

Definicion 6112 Un campo de vectores tangentes a Sn es una aplicacion continuaa Sn rarr Rn+1 con a(x) ortogonal a x como vectores de Rn+1

Proposicion 6113 (a) Existen campos de vectores sobre S2n+1 que no se anulanen ningun punto

(b) Todo campo de vectores sobre S2n se anula en algun punto(c) Si a S2n+1 rarr R2n+2 es un campo de vectores no nulos entonces la aplica-

cion de Sn en sı misma que lleva x en a(x)a(x) es homotopica a la identidad

CAPıTULO 7


fijo de Lefschetz-Hopf y teorema de Borsuk-Ulam

Es obvio que una posible extension del teorema del punto fijo de Brouwer auna aplicacion de un poliedro arbitrario en sı mismo debe depender de la aplicacionen cuestion La expresion de este hecho es el conocido teorema de Lefschetz-Hopfen terminos del llamado numero de Lefschetz Originalmente Lefschetz demostro elteorema para aplicaciones entre variedades trianguladas ya que para definir el nume-ro de Lefschetz hacıa uso de la dualidad de Poincare La generalizacion a poliedrosarbitrarios pudo llevarse a cabo gracias al teorema de la traza de Hopf que permiteexpresar el numero de Lefschetz a nivel de cadenas Ademas el teorema de la trazapermite dar una demostracion sencilla del teorema de Borsuk-Ulam Este capıtuloexpone los resultados mencionados

71 Traza de un endomorfismo Teorema de Hopf

El contenido de esta seccion es puramente algebraico y esta enfocado a obteneruna demostracion del teorema de la traza de Hopf

En todo lo que sigue trabajaremos con F-espacios vectoriales finitos

Definicion 711 Sea f M rarrM un endomorfismo del F-espacio vectorial M Sea A(f) la matriz de f respecto a una base de M Se llama traza de f y se

denota por tr(f) a la traza de A(f) esto es la suma de los elementos de la diagonalNotese que tr(f) isin F

Lema 712 Dadas dos matrices cuadradas A y B se tiene tr(AB) = tr(BA)

Lema 713 El valor tr(f) no depende de la base tomada en M

Definicion 714 Sea fi Mi rarr Mi 0 le i le k una familia de endomorfismosde F-espacios vectoriales Entonces se define la traza de la familia fi tr(fi)como el elemento de F

tr(fi) =

ksum

i=0

(minus1)itr(fi) isin F

En particular si |K| es un poliedro para una aplicacion simplicial f K rarr Kpodemos hablar de la traza de las familias de endomorfismos flowastq Cq(K F) rarrCq(K F) a nivel de cadenas o flowastq Hq(K R)rarr Hq(K F) a nivel de homologıaEl principal resultado de esta seccion es el Teorema de Hopf (716) que afirma queambas trazas coinciden Para ello se necesita

Lema 715 Sea M un F-espacio vectorial M prime subeM un subespacio vectorial y ϕ M rarrM un endomorfismo con ϕ(M prime) subeM prime Entonces si ϕprime = ϕ|M prime y ϕ MM prime rarrMM prime es el endomorfismo inducido por ϕ se cumple tr(ϕ) = tr(ϕprime) + tr(ϕ)

29

72 TEOREMA DE LEFSCHETZ-HOPF Y TEOREMA DE BORSUK-ULAM 30

Estamos ya en condiciones de establecer y demostrar el Teorema de la traza deHopf que generaliza a

Proposicion 716 (Teorema de la traza de Hopf) Sea C = Cn partn uncomplejo de cadenas de F-espacio vectoriales finitos y tal que Cn = 0 si |n| ge n0Sea f = fn Cn rarr Cn un homomorfismo de complejo de cadenas y sea flowastn Hn(C)rarr Hn(C) la familia de endomorfismos inducidos por f Entonces se verificatr(fn) = tr(fnlowast)

72 Teorema de Lefschetz-Hopf y teorema de Borsuk-Ulam

En esta seccion se define el numero de Lefschetz y se demuestran los conocidosteoremas de Lefschetz-Hopf y Borsuk-Ulam Para ello se hace uso del teoremade la traza de Hopf probado en la seccion anterior y de la version simplicial dela homologıa de un poliedro Si F es un cuerpo tal que Z sube F como subanillo(por ejemplo F = QR) por el teorema de Hopf en 716 tenemos que trflowastq Hq(K F) rarr Hq(K F)) es un numero entero independiente de F Este numero esllamado numero de Lefschetz de la aplicacion f Se puede dar la siguiente definicion

Definicion 721 Sea |K| un poliedro y f K| rarr X una aplicacion continua Elnumero entero

L(f) = tr(fq Hq(X F)rarr Hq(X F))

se llama numero de Lefschetz de la aplicacion f

Proposicion 722 (a) Si f g |K| rarr |K| son aplicaciones homotopicas L(f) =L(g)

(b) Si c |K| rarr |K| es una aplicacion constante L(c) = 1(c) Si f = id entonces L(id) coincide con la caracterıstica de Euler-Poincare

de K X (K)

Proposicion 723 (Teorema de Lefschetz-Hopf) Sea |K| un poliedro y f |K| rarr |K| continua si L(f) 6= 0 entonces f tiene un punto fijo

El siguiente corolario generaliza el teorema del punto fijo de Brouwer en 614

Corolario 724 Sea X un espacio triangulable compacto y contractil Entoncestoda aplicacion continua f X rarr X posee un punto fijo

Otra importante consecuencia del teorema de la traza de Hopf es

Proposicion 725 (Teorema de Borsuk-Ulam) Sea f Sn rarr Sn una aplica-cion continua tal que f(minusx) = minusf(x) Es decir si α Sn rarr Sn es la aplicacionantipodal fα = αf Entonces L(f) es par

Corolario 726 Sea f Sn rarr Sm una aplicacion continua verificando f(minusx) =minusf(x) Entonces m ge n

Corolario 727 Sea f Sn rarr Rm continua con m le n Entonces existe x isin Sn

tal que f(x) = f(minusx)

APENDICE A

Repaso de Algebra Lineal

A1 Definicion de Espacio Vectorial

Un espacio vectorial V es un conjunto cuyos elementos llamaremos vectoresdotados de una operacion interna + V times V rarr V llamada suma y una operacionexterna middot K times V rarr V llamado producto escalar respecto a un conjunto Kllamado conjunto de escalares tal que

i) (V+) es grupo abelianoii) K es un cuerpoiii) El producto escalar y la suma de vectores verifican

a) (α+ β)v = αv = βvb) α(v + w) = αv + βwc) α(βv) = (αβ)vd) 1v = v

A2 Dependencia lineal sistemas generadores bases y finitud

Dados v1 vr sub V diremos que w depende linealmente de v1 vrsi existen α1 αr isin K tales que w =

sumri=1 αivi

Un conjunto S = v1 vr sub V se dice linealmente independiente olibre si ninguno de ellos depende linealmente de los demas

Equivalentemente la unica forma de obtener el vector nulo es mediantela combinacion lineal nula de escalaresUn conjunto S = v1 vr sub V se dira sistema generador de V si todovector v isin V depende linealmente de SUn espacio vectorial se dira de tipo finito si esta generado por un conjuntofinitoSi V es de tipo finito entonces un conjunto de vectores S sub V se dira basesi es sistema generador y es linealmente independienteSi V 6= 0 es un espacio vectorial de tipo finito entonces dado cualquiersistema finito de generadores G sub V existe una base B de V formadapor vectores de G

A3 Dimension

Si V es un espacio vectorial G = u1 un es un sistema generadory S = v1 vm es un conjunto linealmente independiente entoncesn le mSi V es un espacio vectorial de tipo finito entonces todas las bases de Vtienen el mismo numero de elementos Este numero se le llama dimensionde V

31

A5 APLICACIONES LINEALES 32

Si V es un espacio vectorial de tipo finito entonces todo sistema lineal-mente independiente puede completarse hasta obtener una baseSi V es un espacio vectorial de dimension finita y L una variedad lineal deV entonces L tambien tiene dimension finita y dimL le dimV Ademasla igualdad solo se da si L = V Si L1 L2 son variedades lineales de un espacio vectorial V entonces

L1 + L2 = v1 = v2v1 isin L1 v2 isin L2

es variedad lineal de V Es mas es la mas pequena conteniendo L1 cup L2 y se verifica que

dim(L1 + L2) = dim(L1) + dim(L2)minus dim(L1 cap L2)

Si L1 cap L2 = 0 entonces escribimos L1 + L2 como L1 oplus L2Si L es variedad lineal de V entonces v1 sim v2 si y solo si v2 minus v1 isin L esuna relacion de equivalencia sobre V

Es mas el espacio cociente V sim= VL es espacio vecctorial y laaplicacion cociente π V rarr VL es aplicacion lineal

Si ademas V es de dimension finita entoncesVL es de dimensionfinita y se verifica

dim(VL) = dim(V )minus dim(L)

A4 Coordenadas

Si V es un espacio vectorial con base B = u1 un entonces cualquierw isin V se escribe de forma unica como w = α1u1 + middot middot middot+αnun con αi isin K

Ası podemos indentificar w con la n-upla (α1 αr) que llamaremoscoordenadas de w con respecto a la base B De hecho V es isomorfo a KnSiBprimev1 vn es otra base de V entonces w isin V tiene dos coordenadasunas respecto a B y otras respecto a Bprime Es facil ver que el cambio decoordenadas viene expresado por una matriz ABprimeB isin Mntimesn(K)Sea V un espacio vectorial de dimension n y sea B una base de V Dadoun sistema Bprime de n vectores sea ABprimeB isin Mntimesn(K) la matriz cuyascolumnas contienen las coordenadas de los vectores de Bprime respecto a B

Entonces Bprime es una base si y solo si A es no singular

A5 Aplicaciones lineales

Una aplicacion lineal u homomorfismo f V rarr V prime entre espacios vecto-riales sobre el mismo cuepo K es una aplicacion que verifica f(αv+w) =αf(u) + f(w)

Esta induce dos subespacios vectoriales

kef = v isin Vf(v) = 0 sube V y Im f = f(v) v isin V sube V prime

Una aplicacion f V rarr V prime es inyectiva si y soolo si ker f = 0 essobreyectiva si y solo si Im f = V prime e isomorfismo si y solo si es inyectivay sobreyectivaLas aplicaciones lineales ker f rarr V y Im f rarr V prime inducidas por lasinclusiones son inyectivas y definen espacios vectoriales cocientes Vker fy coker f = V primeIm f

A6 REFERENCIAS 33

Es mas la aplicacion f V rarr V prime induce una aplicacion lineal f Vker f rarr Im f que es isomorfismo Ası tenemos el siguiente diagramaconmutativo

0rarr ker f rarr V V prime rarr coker f rarr 0ց ր

Vker f sim= Im f

que se conoce como sucesion kerminuscoker Notese que dim(V ) = dimker( f)+dim(Im f) y dim(V prime) = dim(Im f) + dim(coker f)

A6 Referencias

Todo esto mas y mejor explicado se puede encontrar enhttppersonalusesmenesesalgebra_lineal_08_09pdf

APENDICE B

Repaso de Topologıa General

Con este resumen haremos un repaso de todos los conceptos de Topologıa Ge-neral que necesitaremos en esta asignatura Las demostraciones de todos los enun-ciados se pueden encontrar en

Dugundji J ldquoTopologyrdquo Allyn and Bacon 1966Munkres JR ldquoTopology a first courserdquo Prentice-Hall 1975

B01 Una topologıa sobre un conjunto X es una familia T de subconjuntos de Xcerrada bajo la interseccion finita y la union arbitraria y cumpliendo empty isin T X isin T Se dice entonces que el par (X T ) es un espacio topologico (o simplemente espacio)A menudo suprimiremos T diciendo ldquoX es un espaciordquo A los elementos de T se lesllama conjuntos abiertos Si cualquier subconjunto de X es abierto entonces T es latopologıa discreta sobreX Un subconjunto F sub X es cerrado sii su complementarioX minus F es abierto Dado A sub X el interior de A en X intA es la union de todoslos subconjuntos de A que son abiertos en X la clausura de A en X A o clA es lainterseccion de todos los subconjuntos cerrados de X que contienen a A la fronterade A en X frA es A capX minusA El subconjunto A es denso sii A = X

Un entorno de x isin X [resp de A sub X ] es un conjunto N sub X de manera quepara algun abierto U de X se tiene x isin U sub N [resp A sub U sub N ]

Dado A sub X la familia U capA | U isin T es una topologıa sobre A denominadatopologıa inducida A sub X dotado de esta topologıa es un subespacio de X Unapareja de espacios (XA) consiste en un espacio X y un subespacio A

B02 Una aplicacion f X minusrarr Y entre espacios XY es continua sii siempreque U sea abierto en Y fminus1(U) es abierto en X Una aplicacion entre parejasf (XA) minusrarr (YB) es una aplicacion f X minusrarr Y tal que f(A) sub B Si (XA) esuna pareja de espacios denotaremos por A rarr X a la aplicacion inclusion a 7rarr a La

composicion de aplicaciones continuas Xfminusrarr Y

gminusrarr Z es tambien una aplicacion

continua If A sub X y f X minusrarr Y la aplicacion f |A A minusrarr Y es la composicion

A rarr Xfminusrarr Y llamada restriccion de f a A

Un homeomorfismo f X minusrarr Y es una aplicacion continua para la que existeuna inversa tambien continua esto es una aplicacion continua fminus1 Y minusrarr X talque fminus1 f = idX y f fminus1 = idY Una propiedad topologica es una propiedad quese conserva por homeomorfismos Si existe un homeomorfismo X minusrarr Y se diceque X e Y son homeomorfos De todo esto se deduce que un homeomorfismo es unaaplicacion continua biyectiva y abierta es decir que envıa subconjuntos abiertosde X en subconjuntos abiertos de Y y recıprocamente toda aplicacion con estaspropiedades es un homeomorfismo

Si f X minusrarr Y es una aplicacion continua y f(X) sub V sub Y hay una aplicacionX minusrarr V x 7rarr f(x) que se diferencia de f solo desde un punto de vista formal y quellamaremos correstriccion de f a V La aplicacion f X minusrarr Y es una inmersion

34

B REPASO DE TOPOLOGIA GENERAL 35

sii la correstriccion X minusrarr f(X) es un homeomorfismo en particular si A es unsubespacio de X A rarr X es una inmersion Una inmersion f X minusrarr Y es cerrada[resp abierta] sii f(X) es cerrado [resp abierto] en Y

B03 Sean X1 y X2 espacios Su producto X1 timesX2 es el conjunto de pares orde-nados (x1 x2) con xi isin Xi dotado de la topologıa producto es decir U sub X1 timesX2

es abierto sii para cada (x1 x2) isin U existen abiertos U1 sub X1 y U2 sub X2 ta-

les que (x1 x2) isin U1 times U2 sub U Tenemos las proyecciones X1p1larrminus X1 times X2

p2minusrarr

X2 (x1 x2)pi7rarr xi la topologıa producto es la menor topologıa que hace que las

proyecciones p1 y p2 sean continuas De manera similar se define cualquier productofinito

prodni=1Xi y usaremos la notacion Xn si cada Xi = X Tenemos el siguiente

criterio para comprobar la continuidad de una aplicacion que llegue a un producto f Z minusrarr

prodni=1Xi es continua sii la composicion con cada una de las proyeccio-

nes pj f Z minusrarr Xj es continua Las proyecciones pj ademas de ser continuasson aplicaciones sobreyectivas y abiertas El producto de aplicaciones continuasf1 times f2 X1 timesX2 minusrarr Y1 times Y2 es una aplicacion continua

B04 SeaX un espacio Y un conjunto y p X minusrarr Y una aplicacion sobreyectivaSe define la topologıa cociente sobre Y (con respecto a p) de la siguiente manera U es abierto en Y sii pminus1(U) es abierto en X Con frecuencia el conjunto Yvendra dado como el conjunto de clases de equivalencia con respecto a una ciertarelacion de equivalencia R sobre X y p(x) = [x] sera la clase de equivalencia dex isin X en este caso Y es el espacio cociente de X por la relacion R denotado porXR En general una aplicacion sobreyectiva p X minusrarr Y entre espacios es unaaplicacion cociente sii la topologıa que hay en Y es la topologıa cociente con respectoa p (ie U sub Y es abierto sii pminus1(U) es abierto en X) Toda aplicacion cocientees continua pero no siempre es abierta Un subconjunto A sub X se dice saturadocon respecto a p sii A = pminus1(p(A)) si A es saturado y abierto entonces p(A)es abierto en Y Disponemos del siguiente criterio para comprobar la continuidadde una aplicacion que salga de un espacio cociente dada la aplicacion cocientep X minusrarr XR una aplicacion f XR minusrarr Z es continua sii f = f p X minusrarr Zes continua Por otra parte dada una aplicacion f X minusrarr Z existe una aplicacionf XR minusrarr Z con f = f p sii f(x) = f(xprime) siempre que xRxprime Mas aun laaplicacion f anterior es unica y continua

Si A sub X y la relacion R viene dada por xRxprime hArr x xprime isin A o x = xprime tambiendenotaremos XR como XA Si A sub X es abierto [resp cerrado] la aplicacioncociente X minusrarr XA es abierta [resp cerrada] Si p X minusrarr Y es una aplicacioncociente y B sub Y es abierto o cerrado en Y entonces p| pminus1(B) minusrarr B es tambienuna aplicacion cociente

B05 Una nocion ıntimamente relacionada con la anterior es la de ldquotopologıadebilrdquo Sea X un conjunto y sea Aα | α isin A una familia de subconjuntos de Xtales que cada Aα tiene una topologıa Supongamos ademas (i) X =

⋃αAα (ii)

para todo α β isin A Aα y Aβ inducen ambos la misma topologıa sobre Aα cap Aβ y (iii) Aα cap Aβ es siempre cerrado [resp abierto] en ambos Aα y Aβ para todoα β isin A La topologıa debil sobre X asociada a Aα | α isin A es la familia U subX | U capAα es abierto en Aα forallα isin A Esta topologıa sobre X tiene las siguientespropiedades (a) F sub X es cerrado sii F capAα es cerrado en Aα para todo α isin A(b) la topologıa inducida sobre cada Aα es la que este poseıa originalmente (c) unaaplicacion f X minusrarr Z es continua sii para todo α la restriccion f |Aα Aα minusrarr Z


es continua (d) de la condicion (iii) anterior se deduce que cada Aα es cerrado[resp abierto] en X

B06 Dada una familia de espacios Xα | α isin A (no necesariamente disjuntos)su suma topologica denotada por

∐αisinAXα es el espacio cupXαtimesα | α isin A dota-

do de la menor topologıa que contiene a la familia U timesα | U es abierto en XαPara cada β isin A la inmersion iβ Xβ minusrarr

∐αisinAXα x 7rarr (x β) es a la vez

abierta y cerrada Cabe mencionar que la topologıa debil sobre X asociada aAα | α isin A descrita anteriormente no es mas que la topologıa cociente conrespecto a p

∐αisinAAα minusrarr X (a α) 7rarr a

B07 Una familia Aα | α isin A de subconjuntos de un espacio X se dice local-mente finita sii para cada x isin X existe un entorno N de x tal que N capAα = empty paratodos salvo una cantidad finita de ındices α isin A Si una aplicacion f X minusrarr Yes tal que f |Aα Aα minusrarr Y es continua para cada α isin A y (a) cada Aα es abiertoo (b) cada Aα es cerrado y la familia Aα | α isin A es localmente finita entonces fes continua

Un recubrimiento abierto de un espacioX consiste en una familia de subconjun-tos abiertos de X cuya union es X El espacio X es compacto sii todo recubrimientoabierto de X tiene un subrecubrimiento finito Si X es compacto y f X minusrarr Y escontınua y sobreyectiva entonces Y es compacto Productos y subespacios cerradosde espacios compactos son tambien compactos En Rn los subconjuntos compactosson todos aquellos subconjuntos cerrados y acotados Diremos que el espacio Xes localmente compacto sii todo punto x isin X posee un entorno compacto Rn eslocalmente compacto pero no compacto

B08 El espacio X es de Hausdorff sii todo par de puntos distintos x 6= y de Xposeen entornos disjuntos Todo subconjunto compacto de un espacio de Hausdorffes cerrado En particular los conjuntos unitarios son cerrados Si X es compactoe Y es un espacio de Hausdorff toda aplicacion continua y biyectiva X minusrarr Yes un homeomorfismo y toda aplicacion continua y sobreyectiva X minusrarr Y es unaaplicacion cociente Los productos sumas topologicas y subespacios de espacios deHausdorff son tambien de Hausdorff La recta real R es de Hausdorff de lo que sededuce que todo subconjunto de Rn es de Hausdorff En general un espacio cocientede un espacio de Hausdorff no es de Hausdorff ejemplo X = R xRy hArr x y isin Qo x = y

B09 Un camino en un espacio X es una aplicacion ω I minusrarr X su punto iniciales ω(0) y su punto final es ω(1) Dados x y isin X un camino en X de x a y es uncamino cuyos puntos inicial y final son x e y respectivamente Se dice que los puntosx y isin X estan en la misma componente conexa por caminos sii existe un caminoen X de x a y Esto da lugar a una relacion de equivalencia sobre X en la que cadaclase de equivalencia (con la topologıa inducida deX) es una componente conexa porcaminos de X El espacio X es conexo por caminos sii posee una unica componenteconexa por caminos El conjunto vacıo se considera no conexo por caminos ya queno posee componentes conexas por caminos El conjunto de componentes conexaspor caminos de un espacio X se denotara como π0(X)

Un espacio X es conexo sii siempre que X = U cup V con U y V abiertosdisjuntos de X se tiene bien U = empty o V = empty Si A sub X es un subespacio conexoentonces A tambien lo es Si X es conexo [por caminos] y f X minusrarr Y es continuay sobreyectiva entonces Y es conexo [por caminos] Una componente conexa de


X es un subespacio conexo maximal Las componentes conexas de un espacio sondisjuntas dos a dos y su union es el total El conjunto vacıo es conexo En R lossubconjuntos conexos son los intervalos

X es localmente conexo por caminos sii satisface cualquiera de las tres condicio-nes equivalentes (i) para cada x isin X y cada entorno U de x existe un entorno deV sub U de x que es conexo por caminos (ii) para cada x isin X y cada entorno U dex existe un entorno V de x contenido en una componente conexa por caminos de U (iii) las componentes conexas por caminos de todo abierto de X son tambien abier-tos de X Toda componente conexa por caminos de un espacio X esta contenida enuna componente conexa de X En un espacio (no vacıo) localmente conexo por ca-minos las componentes conexas y las componentes conexas por caminos coincidenEn particular esto ocurre para cualquier subconjunto abierto (no vacıo) de Rn

B010 Un espacio metrico es un par (X d) donde X es un conjunto y d X times X minusrarr R es una aplicacion (llamada metrica) cumpliendo (i) d(x y) ge 0y d(x y) = 0 sii x = y (ii) d(x y) = d(y x) y la desigualdad triangular (iii)d(x z) le d(x y) + d(y z) Dado x isin X y r gt 0 se define la bola abierta de centrox y radio r como el subconjunto B(x r) = y isin X | d(x y) lt r La bola cerradade centro x y radio r es el subconjunto B[x r] = y isin X | d(x y) le r El diametrode A sub X es diam(A) = supd(a aprime) | a aprime isin A La metrica d induce la siguientetopologıa Td sobre X U isin Td sii para todo punto x isin U existe un r gt 0 demanera que B(x r) sub U Cabe destacar el siguiente resultado (Lema de Lebesgue)dado cualquier recubrimiento abierto de un espacio metrico compacto (X d) existeǫ gt 0 tal que todo subconjunto A sub X con diam(A) lt ǫ esta contenido en algunabierto del recubrimiento Dos metricas que induzcan la misma topologıa sobre Xse dicen topologicamente equivalentes Un espacio topologico (X T ) es metrizablesii existe una metrica d sobre X tal que T = Td El producto numerable de espaciosmetrizables es metrizable

Una familia Uα de entornos de un punto x isin X es una base de entornos dex sii todo entorno de x contiene a alguno de los Uα El espacio X es 1o numerablesii existe una base numerable de entornos para cada punto x isin X Todo espaciometrizable es de Hausdorff y 1o numerable

APENDICE C

Teorıa de Homotopıa basica

Presentamos las definiciones y resultados mas basicos de la teorıa de homotopıa

Definicion C011 Dos aplicaciones continuas f g X rarr Y se dicen homotopicassi existe una aplicacion continua H X times I rarr Y llamada homotopıa tal queH(x 0) = f(x) y H(x 1) = g(x) para todo x isin X

X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)

Si ademas A sube X y para todo a isin A H(a t) = f(a) = g(a) se dice que f eshomotopica a g relativamente a A En el primer caso se escribe H f ≃ g y en elsegundo H f ≃ g rel A respectivamente

Mas generalmente dos aplicaciones f g (XA) rarr (YB) entre pares de es-pacios topologicos se dicen homotopicas si existe una homotopıa de pares H (X times I A times I) rarr (YB) entre f y g Recuerdese que na aplicacion entre pare-jas f (XA)rarr (YB) consiste en una aplicacion f X rarr Y tal que para A sube Xse tiene que f(A) sube B sube Y

Ejemplo C012 Dos aplicaciones continuas cualesquiera f g X rarr Rn siempreson homotopicas En efecto basta definir H(x t) = (1minus t)f(x) + tg(x) Ademas siA sube X verifica f |A = g|A entonces f y g son homotopicas relativamente a A

Proposicion C013 La relacion de ser homotopicas es una relacion de equiva-lencia entre las aplicaciones continuas de X a Y

Demostracion i) Dada la aplicacion f X rarr Y la homotopıa constanteH(x t) = f(x) muestra que f ≃ f

ii) Dadas dos aplicaciones f g X rarr Y si H X times I rarr Y es una homotopıaentre f y g la aplicacion H(x t) = H(x 1minus t) hace que g sea homotopica a f

iii) Supongamos F f ≃ g y G g ≃ h Entonces H X times I rarr Y dada porH(x t) = F (x 2t) si 0 le t le 1

2 y H(x t) = G(x 2t minus 1) si 12 le t le 1 define

una homotopıa H f ≃ h

38

C TEORIA DE HOMOTOPIA BASICA 39

Por [XY ] se denotara el conjunto cociente por la relacion de homotopıa de lasaplicaciones de X en Y

Corolario C014 Si f0 f1 X rarr Y y g0 g1 Y rarr Z son aplicaciones tales queF f0 ≃ f1 y G g0 ≃ g1 entonces g0f0 ≃ g1f1

Demostracion Sean H1 = g0F X times I rarr Z y H2 = G (f1 times IdI) Esfacil comprobar que H1 g0f0 ≃ g0f1 y H2 g0f1 ≃ g1f1 Aplicando la propiedadtransitiva de la relacion de homotopıa se deduce g0f0 ≃ g1f1

Los dos resultados anteriores son validos para homotopıas relativas a un conjun-to A y homotopıas entre pares En particular [XY ]A y [(XA) (YB)] denotaranlos respectivos conjuntos de clases de homotopıa

Definicion C015 Dos espacios X e Y se dicen homotopicamente equivalentes (oque tienen el mismo tipo de homotopıa) si existen aplicaciones continuas f X rarr Y g Y rarr X tales que fg ≃ IdY y gf ≃ IdX En tal caso se dice que f es unaequivalencia de homotopıa y g es una inversa homotopica de f Si X e Y sonhomotopicamente equivalentes se denotara por X ≃ Y

Proposicion C016 La relacion de ser homotopicamente equivalentes es unarelacion de equivalencia

Demostracion Claramente X ≃ X por medio de IdX Igualmente es obvioque X ≃ Y implica que Y ≃ X Queda comprobar que si X ≃ Y e Y ≃ Zentonces X ≃ Z Sean f X rarr Y y g Y rarr Z equivalencias de homotopıa coninversas f prime Y rarr X y gprime Z rarr Y respectivamente Entonces gf X rarr Z es unaequivalencia de homotopıa con inversa f primegprime pues aplicando C014 se obtiene

gff primegprime ≃ gIdY gprime = ggprime ≃ IdZ

y

f primegprimegf ≃ f primeIdY f = ff prime ≃ IdX

Nota C017 Es facil ver los homeomorfismos son equivalencias de homotopıasPor tanto la clasificacion de los espacios topologicos por tipos de homotopıa es masdebil que la clasificacion por tipos de homeomorfıa De hecho es estrictamente masdebil como se deduce del siguiente ejemplo Sean X = 0 e Y = [0 1] Entoncesla aplicacion constante c Y rarr X es una equivalencia de homotopıa con inversahomotopica la inclusion i X sube Y En efecto c i = IdX e i c ≃ IdY por mediode H(x t) = tx Sin embargo X e Y no son homeomorfos

A continuacion definimos una clase de equivalencias de homotopıa de graninteres

Definicion C018 Sea X un espacio topologico y A sube X un subespacio Se diceque A es un retracto deX si existe una aplicacion continua r X rarr A con ri = IdApara la inclusion i A sube X Se dice que A es un retracto de deformacion de X si ala retraccion anterior se le exige una homotopıa H i r ≃ IdX En particular r e ison equivalencias de homotopıa Finalmente si ademas la homotopıa H es relativaa A se dice que A es un retracto de deformacion fuerte de X


Ejemplo C019 Un ejemplo de retracto de deformacion fuerte es A = 0 yX = [0 1] Otro ejemplo es A = S1 y X = R2 minus 0 con r X rarr A dada porr(x) = x

x y H(x t) = (1minus t)x + t xx

Cuestion C020 Busca ejemplos de retractos que no son retractos de deformaciony retractos de deformacion que no son retractos de deformacion fuertes

Definicion C021 Un espacio topologico se dice contractil si es del mismo tipode homotopıa que el espacio puntual lowast

Ejemplo C022 Todo espacio convexo C es un espacio contractil por mediode la homotopıa H C times I rarr C H(x t) = (1 minus t)x + tx0 ya que esto pruebaque IdC ≃ cx0

= i c donde i lowast rarr X es la aplicacion obvia Observese quec i = Idlowast En particular los espacios euclıdeos Rn son todos contractiles

Proposicion C023 Para un espacio X las siguientes condiciones son equiva-lentes

(a) X es contractil(b) X tiene a cualquier punto x isin X como retracto de deformacion(c) Para todo espacio conexo por caminos Y el conjunto de clases de homo-

topıa [XY ] se reduce a un elemento

Cuestion C024 Demuestra C023

Nota C025 1 Dado un espacio topologico X recordamos que el cilindrosobre X es el espacio X times I con la topologıa producto donde I = [0 1]Se puede definir la siguiente relacion de equivalencia sobre X times I

(x t) sim (y t)lArrrArr

x = y 0 le t lt 1

o bient = 1

2 El espacio cociente asociado cX = XtimesI sim es el llamado cono topologicosobre X dotado con la correspondiente topologıa cociente inducida por laaplicacion π X times I rarr cX

3 Notese que en el caso de la n-esfera Sn el cono topologico cSn es homeo-morfo a Bn+1 para cierta h cSn rarr Bn+1 con h([x 0]) = x isin Sn subpartBn+1

Proposicion C026 Dada un aplicacion continua f Sn rarr Y esta es homotopi-ca a la constante si y solo si existe una extension continua de f a F Bn+1 rarr Y

Demostracion Si f es homotopica a la constante entonces existe H Sn timesI rarr Y con H(x 0) = f(x) y H(x 1) = cte Claramente H factoriza por cSn

Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE

como F = Gh como querıamos Claramente si tenemos F basta definir H = Fhπobteniendo la homotopıa requerida

APENDICE D

Aplicaciones simpliciales contiguas y homologıa

Recordemos que dos aplicaciones simpliciales ψ ϕ K rarr L se dicen contiguas sipara cada sımplice σ isin K la union ψ(σ)cupϕ(σ) esta contenida en un mismo sımplicede L Mas generalmente se dice que estan en la misma clase de contiguidad si existeuna sucesion ϕ = ϕ0 ϕn = ψ de aplicaciones simpliciales ϕi K rarr L tales queϕi y ϕi+1 son contiguas para todo i ge 0

Se tiene la siguiente propiedad

Proposicion D027 Si ϕ ψ (KK0) rarr (LL0) son aplicaciones en la mismaclase de contiguidad entonces los homomorfismos de complejos de cadenas ϕlowast ψlowast Clowast(KK0 F)rarr Clowast(LL0 F) son homotopicos

Demostracion De acuerdo con la propiedad transitiva de la relacion de ho-motopıa bastara suponer que ϕ y ψ son contiguas Suponiendo esto ultimo dadoσ = (v0 vn) isin K sea L(σ) sube L el subcomplejo formado por el sımplice cuyoconjunto de vertices es ϕ(v0) ϕ(vn) ψ(v0) ψ(vn) y sus caras Tenemoslas siguientes propiedades del complejo L(σ)

(1) L(σ) 6= empty y Hq(L(σ) F) = 0 si q ge 1 mientras que H0(L(σ) F) sim= F generadopor la clase de cualquier vertice v isin L(σ)

(2) Si ρ es cara de σ entonces L(ρ) sube L(σ) Mas aun si σ isin K0 entoncesL(σ) sube L0

(3) Los sımplices ϕ(σ) y ψ(σ) estan en L(σ) para todo σ isin KCon estos datos construiremos inductivamente una homotopıa hlowast = hq

Cq(KK0 F) rarr Cq+1(LL0 F) entre ϕlowast y ψlowast de la siguiente manera Dado unvertice v isin K los vertices ϕ(v) y ψ(v) representan el mismo generador deH0(L(v) F)y por tanto existe una cadena cv isin C1(L(v) F) tal que part1cv = ϕlowast(v)minusψlowast(v) Defini-mos h0(v) = cv isin C1(L F) Observese que si v isin K0 entonces cv isin C1(L0 F) y portanto la extension lineal de h0 define un homomorfismo h0 C0(K F) rarr C1(L F)tal que h0(v) isin C1(L(v) F) y h0(C0(K0 F) sube C1(L0 F) Ademas con hminus1 = 0tenenos

part1h0(v) + hminus1part0(v) = part1(cv) = ϕlowast(v)minus ψlowast(v)

Supongamos que hemos definido inductivamente para q le n minus 1 homomorfismoshq Cq(K F) rarr Cq+1(L F) tales que hq(σ) isin Cq(L(σ) F) hq(Cq(K0 F)) subeCq+1(L0 F) y

partq+1hq(σ) + hqminus1partq(σ) = ϕlowast(σ) minus ψlowast(σ) (1)

para todo q-sımplice σ isin K con q le nminus 1 Entonces para cada n-sımplice τ isin Ktomamos la cadena

zτ = ϕlowast(τ) minus ψlowast(τ) minus hnminus1(partnτ) isin Cn(L F)

41

D APLICACIONES SIMPLICIALES CONTIGUAS Y HOMOLOGIA 42

Observese que la hipotesis de induccion asegura que hq esta definido sobre partnτ Notese tambien que zτ isin Cn(L0 F) si τ isin K0 Se tiene que zτ es de hecho un n-ciclo en efecto de (1) con q = nminus 1 y la definicion de homomorfismo de complejosde cadenas se deduce

partn(zτ ) = partnϕlowast(τ)minus partn(hnminus1(partn(τ))) =

ϕlowastpartn(τ) minus ψlowastpartn(τ)minus ϕlowast(partn(τ)) + ψlowast(partn(τ)) + hnminus2partnminus1partn(τ) = 0

Ademas zτ isin Cn(L(τ) F) puesto que ϕlowast(τ) ψlowast(τ) isin Cn(L(τ) F) por la propiedad(3) y hnminus1(partnτ) isin Cnminus1(L(τ) F) de acuerdo con (2) y la hipotesis de induccionUsando ahora (1) encontramos una (n + 1)-cadena cτ isin Cn+1(L(τ) F) tal quepartn+1cτ = zτ Ahora podemos definir

hn Cn(K F)rarr Cn+1(L F)

como la extension lineal de hn(τ) = cτ Por definicion hn(cτ ) isin Cn+1(L(τ) F)ası que si τ isin K0 entonces cτ isin Cn+1(L(τ) F) sube Cn+1(L0 F) Finalmente se tiene

partn+1hn(τ) + hnminus1partn(τ) = partn+1cτ + hnminus1partn(τ) = zτ + hnminus1partn(τ) = ϕlowast(τ) minus ψlowast(τ)

De esta manera tenemos construida la homotopıa hlowast requerida

Corolario D028 Si ϕ ψ (KK0) rarr (LL0) son aplicaciones en la mismaclase de contiguidad entonces los homomorfismos inducidos en homologıa ϕlowast ψlowast Hq(KK0 F)rarr Hq(LL0 F) coinciden para todo q ge 0

APENDICE E

Demostraciones de

Homologıa local e invariancia 53 y

Grado de aplicaciones entre seudovariedades 54

E1 Homologıa local Algunos teoremas de invarianciaDemostraciones de la seccion 53

Para la demostracion de Prop 533 se utiliza el Lema 534

Demostracion de 534 Sea τ isin st(xK) un sımplice conteniendo a x e ycomo τ es convexo se sigue que el segmento de x a y esta en τ y por tanto en

|st(x k)| Ahora consideramos una lınea Γ comenzando en x Comost(xK) sube

|st(xK)| es un abierto existen en Γ cap |st(xK)| otros puntos ademas de x Porcompacidad de |st(xK)| existe un ultimo punto p isin Γ cap |st(xK)| Ademas si

p isinσ entonces x isin σ pues en otro caso podrıamos prolongar el segmento dentro de

σ ası pues p isin σ isin lk(xK) Veamos que p es el unico punto en Γcap|lk(xK)| Paraello bastara comprobar que Γcap |st(xK)| coincide con el segmento de extremos x yp Sea micro un sımplice en st(xK) conteniendo a x y al sımplice σ anterior Entoncespor convexidad todo el segmento de x a p esta en micro y el resultado sigue

Ahora la demostracion de la proposicion

Demostracion de 533 Hemos visto en 534 que todo punto y isin |st(x K)|puede escribirse de la forma y = (1 minus λ)x + λuy con uy isin |lk(xK)| Para cada0 lt t le 1 consideramos los conjuntos St = (1minusλ)x+λuu isin |lk(xK)|y 0 le λ le ty Lt = (1minus t)x+ tuu isin |lk(xK)| Observese que St es homeomorfo a |st(xK)|mientras que Lt es homeomorfo a |lk(xK)|

Como f(x) es un punto interior a f(|K|) existe un abierto U sube |L| tal que

f(x) isin U Por tanto fminus1(U capst(f(x)L)) es un abierto de K conteniendo a x y

existe ε1 gt 0 lo suficientemente pequeno para que Sε1 sube fminus1(U capst(f(x)L))

Aquı usamos que |st(xK)| es compacto dentro de algun espacio euclıdeoMas aun f(Sε1) es entorno de f(x) en |L| y de manera analoga existen numeros

positivos ε1 gt ε2 gt ε3 y 1 gt δ2 gt δ3 tales que

f(x) isin B3 = f(Sǫ3) sube Bprime3 = Sprimeδ3 sube B2 = f(Sε2) sube B

prime2 =

Sprimeδ2 sube B1 = f(Sε1) sube Bprime1 = |st(f(x)L)|

donde Sprimet denota el subconjunto de |st(f(x)L)| similar a StAhora bien |lk(xK)| es homeomorfo a B2 por medio de la aplicacion u 7rarr

f((1minusε2)x+ε2U) E igualmente |lk(f(x)L)| lo es con Bprime2 por w 7rarr f((1minusδ2)f(x)+δ2w) Ası pues bastara comprobar que B2 y Bprime2 son homotopicamente equivalentes

Para ello observamos que B2 esta situado en la clausura Bprime2 minusBprime3 mientras que Bprime2

43

E1 DEMOSTRACIONES DE 53 44

lo esta en B1 minusB2 Existen homeomorfismos naturales ϕ Bprime2 minusBprime3 rarr Bprime2 times [δ3 δ2]

y ψ B1 minusB2 rarr B2 times [ε2 ε1] Entonces se definen las aplicaciones g B2 rarr Bprime2 yh Bprime2 rarr B2 por medio de las formulas

g(f((1minus ε2)x+ ε2u)) = (1minus δ2)f(x) + δ2w

si

ϕ(f((1 minus ε2)x+ ε2u)) = (1minus λ)f(x) + λw δ3 le λ le δ2

y

h((1minus δ2)f(x) + δ2z) = f((1minus ε2)x+ ε2v))

si

ψ((1 minus δ2)f(x) + δ2z) = f((1minus λ)x+ λv) ε2 le λ le ε1

Con la notacion anterior se definen ahora dos homotopıas H B2 times I rarr B2 yG Bprime2 times I rarr Bprime2 como sigue Hacemos

H(f((1minus ε2)x+ ε2u) s) = f((1minus ε2)x+ ε2us)

donde us esta definido por la ecuacion ϕ(f((1 minus ts)x + tsus)) = (1 minus [s(δ2 minus λ) +λ])f(x) + [s(δ2 minus λ) + λ]w

Es inmediato comprobar que H es una homotopıa entre la identidad de Bprime2(para s = 0) y la composicion h g (para s = 1)

Por otro lado G esta definida por

G((1 minus δ2)f(x) + δ2z s) = (1 minus δ2)f(x) + δ2vs

donde vs esta definido por la ecuacion ψ((1 minus tprimes)f(x) + tprimesvs) = f((1 minus [λ minus s(λ minusε2)])x + [λ minus s(λ minus ε2)]v Se comprueba que las definiciones anteriores hacen queG sea una homotopıa entre la identidad de B2 (para s = 0) y la composicion g h(para s = 1) Esto termina la demostracion

Como consecuencia inmediata de 533 y de 527 se obtiene la invariancia to-pologica de la homologıa local Mas explıcitamente Prop 535 que repatimos acontinuacion

Proposicion E11 Sea h |K| rarr |L| un homeomorfismo EntoncesHq(lk(xK) F) sim= Hq(lk(h(x)L) F) para todo q y todo x isin |K|

Varios teoremas de invariancia interesantes se derivan de la invariancia topologi-ca de la homologıa local Por ejemplo la invariancia topologica de la dimension536

Demostracion de 536 Sea m = dimL En primer lugar m le n pues si

m gt n y σm es un m-sımplice en L para todo x isinσ se tiene lk(xL) =

bullσ y

Hmminus1(lk(xL) Z2) sim= Z2 Ahora 535 nos da la contradiccion

0 = Hmminus1(lk(fminus1(x)K) Z2) sim= Hmminus1(lk(xL) Z2) sim= Z2

pues dim lk(fminus1(x)K) le m minus 2 Ahora empezando con fminus1 probamos n le m ytenemos el resultado

Por un procedimiento analogo demostraremos que todo sımplice de L es carade algun n-sımplice En efecto si micro no contiene ningun n-sımplice en su estrella

|st(microL)| = |st(b(micro)L)| Sea p isin fminus1(st(b(micro)L)) algun punto en el interior de un

n-sımplice σ isin K Aquı usamos quest(b(micro)L) es un entorno abierto de b(micro) y


que todo sımplice en K esta contenido en algun n-sımplice Entonces st(f(p)L) subest(b(micro)L) y se llega a la contradiccion

0 = Hnminus1(lk(f(p)L) Z2) sim= Hnminus1(lk(pK) Z2) = Hnminus1(bullσ Z2) sim= Z2

pues dim st(f(p)L) le dim st(b(micro)L) le nminus 1

Tenemos tambien la invariancia topologica de la definicion de seudovariedadExplıcitamente Prop 537 para cuya demostracion usaremos el Lema 538

Demostracion de 538 La igualdad f(AtK) = AtL es una consecuencia in-

mediata de 535 Veamos que AtK es un poliedro En efecto si x isin BtK y x isinσ

entonces para todo y isinσ tenemos lk(xK) = lk(yK) y por tanto

σ sube BtK De

aquı se deduce σ sube AtK y por tanto AtK = |AtK | donde

AtK = τ isin K τ le σ yσ capBtK 6= empty

Demostracion de 537 Por 536 tenemos que todo sımplice de L es cara dealgun n-sımplice Veamos ahora que todo (nminus 1)-sımplice de L es cara de a lo masdos n-sımplices Para ello observamos que si τ isin K es un (nminus 1)-sımplice entonces

para todo x isinτ Hnminus1(lk(xK) Z2) sim= Z2 Luego

τ capBmK = empty si m ge 2 De aquı se

deduce queτ cap Amk = empty donde AmK es el conjunto definido en 538 y por tanto

AmK sube Knminus2 y ası dimAmK le nminus 2 si m ge 2 De acuerdo con 536 dimAmL le nminus 2

pues f(AmK) = AmL Por ser AmL el conjunto subyacente a un subcomplejo de L se

sigue queρ capAmL = empty si dimρ = nminus 1 Por tanto Hnminus1(lk(yL) Z2) sim= Z2 si y isin

ρ

y ası ρ solo puede estar en dos n-sımplices de LPasamos ahora a comprobar que el numero de componentes conexas fuertes de

|K| y |L| es el mismo Las componentes conexas fuertes K1 Km de K vienendadas por los complejos generados por las clases de la relacion de equivalencialdquosimrdquodada sobre los n-sımplices al definir σ1 sim σ2 si existe una cadena de n-sımplicesde σ1 a σ2 que se cortan en (n minus 1)-caras Entonces Ki puede ser consideradocomo subcomplejo de K al incluir en el las caras de los n-sımplices de Ki De estamanera cada Ki es una n-seudovariedad fuerte Por (a) y (b) sabemos que L estambien seudovariedad Tambien L esta descompuesta en seudovariedades fuertes|L1| |Lk| Probaremos que k = m y f(|Ki|) = |Li| (salvo orden) De hecho

probaremos que para todo n-sımplice micro isin Ki se tiene que micro f(micro) sube |Lj(i)| para

un unico j(i) Entonces f(micro) = f(micro) = f(

micro) sube |Lj(i)| por ser |Lj(i)| cerrado y

por tanto f(|Ki|) sube |Lj(i)| Analogamente fminus1(|Lj(i)|) debe estar contenido en

algun |Kiprime | Luego |Ki| = fminus1(f(|Ki|)) sube fminus1(|Lj(i)|) sube |Kiprime | y |Ki| = |Kiprime | conf(|Ki|) = |Lj(i)|

Supongamos por un momento f(micro) cap |Lk| 6= empty y f(

micro) cap |L| minus |Lk| 6= empty Como

micro es abierto existen n-sımplices σk isin Lk y σj isin Lj (j 6= k) con f(

micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap

σj 6= empty Sean x y isin

micro con f(x) isin

σk y f(y) isin

σj Entonces si tomamos el

segmento γ que une x con y enmicro tenemos que por conexion debe existir un z isin γ

con f(z) isin Lj cap Lk para algun j 6= k De acuerdo con 535

Hnminus1(lk(zK) Z2) sim= Hnminus1(lk(f(z)L) Z2) sim= Hnminus1(bullmicro Z2) sim= Z2 (1)


ası lk(f(z)Lj) y lk(f(z)Lk) son seudovariedades

Entonces Hnminus1(lk(f(z)Lj) Z2) 6= 0 y Hnminus1(lk(f(z)Lk) Z2) 6= 0 de acuerdo con429 Pero como A = lk(f(z)LkcupLj) = lk(f(z)Lk)cup lk(f(z)Lj) y dim(AcapLj capLk) le nminus 3 deducimos de la correspondiente sucesion de Mayer-Vietoris reducida

Hnminus1(lk(f(z)Lj) Z2)oplus Hnminus1(lk(f(z)Lk) Z2) sim= Hnminus1(lk(f(z)Lk cup Lj) Z2)

Si procedemos inductivamente obtenemos que Hnminus1(lk(f(z)L) Z2) tiene al menost generadores con t ge 2 el numero de componentes Lk con f(z) isin Lk Por tanto

llegamos a contradiccion con (1) Ası f(micro) cap |Lj | 6= empty implica f(

micro) sube |Lj |

Si ahora f(micro) cap |Lj| 6= empty y f(

ρ) cap |Ljprime | 6= empty con micron ρn isin Ki consideramos una

cadena de n-sımplices micro1 micros en Ki con micro1 = micro micros = ρ y microi cap microi+1 un (n minus 1)-sımplice Supongamos s = 2 Entonces εnminus1 = micro cap ρ cumple f(ε) sube |Lj| cap |Ljprime | Si

p isinε entonces Z2

sim= Hnminus1(lk(pK) Z2) pues ε solo es cara de micro y ρ Como antes

Hnminus1(lk(f(p)L) Z2) tiene al menos t generadores donde t ge 2 es el numero decomponentes Lk con f(z) isin Lk lo que da una nueva contradiccion Inductivamentese obtiene el resultado para todo s

Finalmente estudiamos la invariancia de la orientabilidad Supongamos que|K| es seudovariedad fuerte orientable Entonces Hn(K partK) sim= Z por 429 Deacuerdo con lo ya demostrado |L| es n-seudovariedad fuerte y f H(K) sim= H(L)es un isomorfismo por lo que |L| tambien es orientable Ahora si |K| tiene variascomponentes conexas fuertes se sigue que cada una de ellas es orientable y por tantotodas las componentes fuertes de |L| son orientables y ası |L| es orientable Conesto termina la demostracion

Ahora podemos demostrar Prop 539

Demostracion de 539 Sea X = |K| una variedad topologica trianguladaPara cada x isin X sea f U sim= ∆n un homeomorfismo de un entorno cerrado de x enX con un n-sımplice ∆n de forma que f(x) es el baricentro de ∆n Aplicando 533 a

fminus1n se tiene que |lk(xK)| tiene el tipo de homotopıa de |lk(x ∆n)| =bull

∆n sim= Snminus1en particular Hq(lk(xK) Z2) sim= Z2 y razonando como en la demostracion de 535se sigue que todo sımplice maximal ( que no es cara de otro) debe ser de dimensionn y todo (nminus 1)-sımplice esta exactamente en dos n-sımplices esto es |K| es unaseudovariedad

E2 Grado de aplicaciones entre seudovariedadesDemostraciones de la seccion 54

Demostracion de 541 Es consecuencia inmediata de 526

Demostracion de 543 Por definicion f(microk) = grad(f) middot microL y f(microK) =ϕlowastsd

mlowast (microK) = ϕlowast(microsdmK) Por tanto

grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ

donde los sımplices se consideran orientados con las orientaciones de sdmK y Lrespectivamente Por tanto grad(f) = λϕ(σ) para todo σn isin L

APENDICE F

Traza de un endomorfismo Terorema de Hopf



Definicion F01 Sea f M rarrM un endomorfismo del F-espacio vectorial M Sea A(f) la matriz de f respecto a una base de M Se llama traza de f y se


Lema F02 Dadas dos matrices cuadradas A y B se tiene tr(AB) = tr(BA)

Demostracion Sea A = (aij)1leijlen y B = (bks)1lekslen Entonces AB =(cis) y BA = (dkj) con cis =

sumnk=1 aikbks y dkj =

sumni=1 bkiaij Por tanto

tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)

Lema F03 El valor tr(f) no depende de la base tomada en M

Demostracion Sea Aprime(f) la matriz de f respecto a otra base de M Si B esla correspondiente matriz de cambio de base tenemos Aprime(f) = BA(f)Bminus1 Luegopor el lema anterior

tr(Aprime(f)) = tr(BA(f )Bminus1) = tr(Bminus1BA(f)) = tr(A(f))

Definicion F04 Sea fi Mi rarr Mi 0 le i le k una familia de endomorfismosde F-espacio vectorials Entonces se define la traza de la familia fi tr(fi) comoel elemento de R

tr(fi) =

ksum

i=0

(minus1)itr(fi) isin R


Lema F05 Sea M un F-espacio vectorial M prime subeM un subespacio vectorial y ϕ M rarrM un endomorfismo con ϕ(M prime) subeM prime Entonces si ϕprime = ϕ|M prime y ϕ MM prime rarrMM prime es el endomorfismo inducido por ϕ se cumple tr(ϕ) = tr(ϕprime) + tr(ϕ)

47

F TRAZA DE UN ENDOMORFISMO TEROREMA DE HOPF 48

Demostracion Sea aiilek una base de M prime y [b1] [bn] una base deMM prime Es facil comprobar que B = a1 ak b1 bn es una base de M y ademassi A(ϕprime) y A(ϕ) denotan las matrices de ϕprime y ϕ respecto a las bases anteriores en-tonces la matriz de ϕ respecto a B es

A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)

y por tanto tr(A(ϕ)) = tr(A(ϕprime)) + tr(A(ϕ))


Proposicion F06 (Teorema de la traza de Hopf) Sea C = Cn partn uncomplejo de cadenas de F-espacio vectoriales finitos y tal que Cn = 0 si |n| ge n0Sea f = fn Cn rarr Cn un homomorfismo de complejo de cadenas y sea flowastn Hn(C)rarr Hn(C) la familia de endomorfismos inducidos por f Entonces se verificatr(fn) = tr(fnlowast)

Demostracion Notese que Bn sube Zn sube Cn f(Bn) sube Bn y que f(Zn) sube ZnAsı tenemos la siguiente sucesion exacta corta por la cual fn factoriza

0rarr Zn rarr Cn rarr CnZn rarr 0

induciendo fn CnZn rarr CnZn Como partn induce un isomorfismo CnZn sim= Bnminus1

se tiene el siguiente diagrama conmutativo

CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1

Deducimos que tr(fn) = tr(fnminus1|Bnminus1) y por tanto tr(fn) = tr(fn|Zn

)+tr(fnminus1|Bnminus1)

Por otra parte de la sucesion exacta corta

0rarr Bn rarr Zn rarr Hn rarr 0

se deduce que tr(fn|Zn) = tr(Fn|Bn

) + tr(flowastn) Ası pues

trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==

sum(minus1)n[tr(fn|Zn) + tr(fnminus1|Bnminus1)] =

=sum

(minus1)n + tr(fn|Bn) + tr(flowastn + tr(fnminus1|Bnminus1)) = tr(flowastn)

lo que demostrarıa el teorema

APENDICE G

Grupos de matrices

Esta seccion auxiliar contiene varios resultados elementales sobre grupos de ma-trices que seran de interes en la teorıa del grado Recordemos que el conjuntoMn(R)

de matrices ntimes n puede ser identificado con el espacio euclıdeo Rn2

al considerarlas entradas como coordenadas y ası la funcion determinante det Mn(R)rarr R escontinua El conjunto abierto detminus1(R minus 0) es entonces grupo para la multipli-cacion de matrices llamado el grupo general lineal y denotado GL(nR) De hechoGL(nR) es un grupo topologico

Proposicion G07 GL(nR) es un grupo topologico

Demostracion La multiplicacion de matrices m GL(n R) times GL(n R) rarrGL(n R) lleva las matrices A = (aij) y B = (bij) en la matriz m(AB) = AB =(cij) con cij =

summk=1 aikbkj Como GL(n R) esta identificado con un subespacio de

Rn2

se sigue que cada cij es una aplicacion continua en aik y bkj Analogamente laaplicacion i GL(n R) rarr GL(n R) que lleva A = (aij) en su inversa Aminus1 = (aij)es continua pues aij = (1detA)detAji donde Aij es el menor de aij es continuaya que los determinantes son polinomios en aij

El conjunto O(n) de las matrices ortogonales (esto es aquellas matrices conAminus1 = At) forman el subgrupo ortogonal de GL(nR) que ademas es compacto Enefecto

Proposicion G08 El grupo O(n) es compacto

Demostracion Puesto que O(n) es un subespacio de Rn2

bastara comprobarque es cerrado y acotado Para ver que es cerrado se observa que para A = (aij) isinO(n) la condicion At = Aminus1 implica

sumnj=1 aijakj = δik por lo que O(n) es la

interseccion de los cerrados de Rn2

=Mn(R) fminus1ik (0) y fminus1

ii (0) (1 le i k le n) dondefik(A) =

sumnj=1 aijakj Para ver que es acotado se observa que

sumnj=1 aijaij = 1

por ser A ortogonal y por tanto para toda entrada aij se tiene |aij | le 1 Luego

O(n) sube [minus1 1]n2

sube Rn2

Respecto a la conexion de estos grupos tenemos los siguientes hechos La funciondet GL(nR) rarr R minus 0 nos dice que GL(nR) posee al menos dos conjuntosabiertos disjuntos GL+(nR) y GLminus(nR) segun que el determinante sea positivoo negativo respectivamente De hecho

Proposicion G09 GL+(nR) y GLminus(nR) son las componentes conexas deGL(nR) que ademas son homeomorfas entre si Analogamente las componentesde O(n) estan formadas por las matrices ortogonales de determinante 1 y minus1 res-pectivamente La componente SO(n) = A isin O(n) detA = 1 se llama el grupoespecial ortogonal

49

G GRUPOS DE MATRICES 50

La demostracion de esta proposicion sigue de los siguientes lemas

Lema G010 Dada una matriz cuadrada M = (aij) 1 le i j le n con detM 6= 0llamamos transformacion elemental a cualquiera de las dos siguientes operaciones(notese que detM es invariante por ellas)

(1) Multiplicar una columna por un escalar y sumarsela a otra(2) Multiplicar una columna por λ y otra por 1

λ

Entonces M se puede pasar por transformaciones elementales a una matriz diagonalde la forma

detM1

1

Demostracion Sean a1j y a1k dos elementos no nulos en la primera filaEntonces por una operacion del tipo (1) con minusa1k

aijconseguimos una matriz con el

lugar (1 k) nulo De esta manera conseguimos una matriz B = (bij) con b1k = 0salvo k = j1 para cierto j1 Ahora procedemos igual en cada fila de la matrizobteniendo C = (cij) cij 6= 0 solo si j = i (1 le i le n) con lo que medianteoperaciones del tipo (1) conseguimos la matriz diagonal

D =

d1

dn

con detD = detM

Ahora por trasformaciones del tipo (2) es facil obtener de D la matriz

Dprime =

detM1

1

Lema G011 Si A = (aij) B = (bij) (1 le i j le n) son dos matrices tales que sepasa de una a otra por una transformacion elemental existe una familia de matricesM(t) = (mij(t)) con mij(t) continua en 0 le t le 1 y M(0) = A y M(1) = B

Demostracion Si tenemos la transformacion del tipo (1) bij = aij+λaik(0 lei le n) con λ isin R se define mij(t) = aij + λtaik y msr(t) = asr si r 6= j Si latransformacion es del tipo (2) tenemos bij = λaij y bik = aik

λpara 0 le i le n y

λ 6= 0 Si λ gt 0 se define

msr(t) =

((1 minus λ) + tλ)aij si (s r) = (i j)((1 minus t) + t

λ)aik si (s r) = (i k)

asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =

((1minus t) + t|λ|)((cos πt)aij minus (senπt)aik) si (s r) = (i j)((1minus t) + t|λ|)((sen πt)aij + (cosπt)aik) si (s r) = (i k)asr en otro caso


Es claro que detM(t) 6= 0 si 0 le t le 1 En el ultimo caso tenemos

detM(t) = ((1 minus t) + t|λ|) detA middot

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 00 cosπt senπt

0 minus senπt cosπt 1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Lema G012 Dada la matriz cuadrada A con detA 6= 0 existe M(t) = (mij(t))tal que detM(t) 6= 0 para 0 le t le 1 M(0) = A y M(1) es la matriz

detA1

1

Ademas si detA = plusmn1 tendremos detM(t) = detA para todo 0 le t le 1 Mas aunsi A es ortogonal M(t) puede ser tomada ortogonal para todo t

Demostracion La primera parte sigue de G010 y G011 Para la segundaparte si M(t) = (mij(t)) entonces tomamos la matriz N(t) = (nij(t)) donde si

mj(t) denota el vector j-esimo columna se define nj(t) =vj(t)vj(t)

donde v1(t) =

m1(t) y vj(t) esta definido inductivamente como

vj(t) = mj(t)minusvjminus1(t)mj(t)

vj(t)2vjminus1(t)minus middot middot middot minus

v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)

Esto es para cada t N(t) es obtenida de M(t) por el proceso de ortonormalizacionde Gramm-Schmidt

La aplicacion GL(nR) times Rn rarr Rn que lleva (A x) en A(x) es continua puessus funciones coordenadas son polinomios y tenemos ası una accion de GL(nR)sobre Rn Mas aun si A es ortogonal y x isin Snminus1 entonces A(x) isin Snminus1 y la accionanterior induce una accion de O(n) sobre Snminus1 Observese ademas que el grupode isotropıa del vector (0 1) isin Snminus1 es el subgrupo de O(n) formado por lasmatrices (

A 00 1

)A isin O(n minus 1)

que obviamente puede ser identificado con O(nminus 1)

APENDICE H

Nociones basicas de Algebra Conmutativa

Este Apendice recoge las nociones elementales de la teorıa de modulos sobre unanillo Como referencias generales se pueden

N Jacobson rdquoBasic Algebrardquo vol I y II Freeman 1985 y 1989S Lang Algebrardquo Adisson-Wesley 1965B Hartley y TO Hawkes rdquoModules and Linear Algebrardquo Chapman andHall 1976

Convenio R denotara un anillo conmutativo con elemento unidad 1 (distintode cero) Por ejemplo R = ZCQR

Definicion H013 Un R-modulo es un par (Mmicro) donde (M+) es un grupoabeliano y micro RtimesM rarrM una aplicacion denotada micro(r x) = r middot x verificando lassiguientes propiedades

1 r middot (x+ y) = r middot x+ r middot y2 (r + rprime) middot x = r middot x+ rprime middot x3 (rrprime) middot x = r(rprime middot x)4 1 middot x = x

donde r rprime isin R x y isinM

Nota H014 a) De hecho de las condiciones de R-modulos se deduce que elgrupoM ha de ser abeliano En efecto por un lado (1+1)(x+y) = (1+1)x+(1+1)y = x+x+y+y Por otro lado (1+1)(x+y) = 1(x+y)+1(x+y) = x+y+x+yDe donde x+ x+ y + y = x+ y + x+ y y de aquı resulta x+ y = y + x

b) Tambien es una simple comprobacion la igualdad 0x = 0

Ejemplo H015 (a) M es un Zminusmodulo si y solo si es un grupo abelianoPor ejemplo M = ZZ2Zp

(b) Dado un anillo R un subconjunto I sube R se dice ideal de R cuando essubgrupo aditivo y dados a isin I y x isin R ax isin I Todo ideal I de R es unR-modulo el producto interno del anillo actua evidentemente de formalineal sobre I En particular el propio anillo R es un R-modulo

(c) Dado un cuerpo K (como R Z o Z2) un K-modulo es exactamente unK-espacio vectorial

(d) El conjunto M = f X rarr R continua es un R-modulo para todoespacio topologico (X T )

Definicion H016 Sean M y N dos R-modulos Se dice que una aplicacionf M rarr N es un homomorfismo de R-modulos cuando

(a) f(x+ y) = f(x) + f(y) para todo x y isinM (b) f(rx) = rf(x) para todo r isin R y para todo x isinM

52

H NOCIONES BASICAS DE ALGEBRA CONMUTATIVA 53

El conjunto HomR(MN) de los homomorfismos de R-modulos entre M y N esl mismo un R-modulo con las operaciones (f + g)(x) = f(x) + g(x) y (λf)(x) =λ(f(x)) para todo x isinM y λ isin R

Se llama R-modulo dual de M al R-modulo HomR(MR)

Definicion H017 Un submodulo M prime del R-modulo M es un subgrupo de Mcerrado respecto al producto externo de R sobre M

Ejemplo H018 Los submodulos de un anillo R considerado como R-modulo sonsus ideales

Definicion H019 Dado un submodulo M prime del R-modulo M se puede construirel modulo cociente MM prime que no es mas que el grupo abeliano MM prime = M donde m mprime si mminusmprime isinM prime dotado del producto exterior a middot [x] = [ax]

Proposicion H020 Sea f M rarr N un homomorfismo de R-modulos y M prime unsubmodulo de M Se verifica

(a) La proyeccion natural de M sobre MM prime es un homomorfismo de R-modu-los

(b) Existe una correspondencia biyectiva entre los submodulos de M que con-tienen a M prime y los submodulos de MM prime

(c) El nucleo de f ker(f) = x isinM f(x) = 0 es un submodulo de M (d) La imagen de f Im(f) = f(x)x isinM es un submodulo de N (e) El conucleo de f Coker(f) = NIm(f) es un R-modulo cociente de N (f) (Primer teorema de isomorfıa) La aplicacion f induce un isomorfismo

M ker(f) sim= Im(f) que lleva [x] en f(x)

Definicion H021 DadosM1 y M2 submodulos de M se define su sumaM1+M2

como el menor submodulo de M que contiene a su union (y que viene generado porlas combinaciones lineales finitas de los elementos de M1 y M2) asımismo se definesu interseccionM1capM2 como la interseccion conjuntista que resulta ser submodulo

Proposicion H022 Sean N sube M sube L R-modulos y M1 y M2 submodulos deM Se verifica

(i) (LN)(MN) sim= LM (ii) (M1 +M2)M1

sim= M2(M1 capM2)

Definicion H023 Dada una familia MjjisinJ de R-modulos su suma directaoplusjisinJMj es el conjunto de las J-uplas (xj)jisinJ donde a lo sumo un numero finitode las xj son no nulas

El conjunto oplusjisinJMj adquiere canonicamente estructura de R-modulo al definirlas operaciones suma y producto externo componente a componente Mas aun dadoj0 isin J se tiene definida la inyeccion canonica ij0 Mj0 rarr oplusjisinJMj que a cadax isinMj0 asigna la J-upla (xj) con xj = 0 si j isin J j0 y xj0 = x Es facil probarque estas aplicaciones son homomorfismos de modulos

Proposicion H024 (Propiedad universal de la suma directa) Sea MjjisinJ unafamilia de R-modulos Dado el R-modulo N para cada familia de homomorfismosde R-modulos fj Mj rarr N existe un unico homomorfismo f oplusjisinJMj rarr N demodo que f ij = fj para todo j isin J

Demostracion Es obvio que dada una J-upla (xj) la aplicacion f lleva (xj)en

sumjisinJ fj(xj) expresion que tiene sentido pues solo un numero finito de sumandos


son no nulos Es claro que la aplicacion f ası definida es un homomorfismo demodulos y verifica la condicion exigida La unicidad tambien es obvia

Definicion H025 Dado un conjunto B formamos el R-modulo oplusbisinBRb dondeRb = R para todo b isin B Este R-modulo denotado L(B) es el llamado R-modulolibre de base B Ası pues cada elemento del modulo anterior se representa por unasuma formal x =

sumbisinB λb middot b donde el coeficiente es no nulo solo en un numero

finito de posiciones b Es obvio que todo x puede ser expresado mediante una unicasuma formal del tipo anterior

Proposicion H026 (Propiedad universal de los modulos libres) Sea B un con-junto y ϕ B rarr M una aplicacion de B sobre un R-modulo M Entonces existeun unico homomorfismo de R-modulos ϕ L(B) rarr M haciendo conmutativo eldiagrama siguiente donde j(b0) es la B-upla (λb) con λb0 = 1 y λb = 0 si b 6= b0 Esmas cualquier otro R-modulo M(B) satisfaciendo esta propiedad universal respectoa B es isomorfo a LB

Demostracion Definimos la aplicacion ϕ del siguiente modo

ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB

λb middot ϕ(b) isinM

Es facil comprobar que la aplicacion ϕ es homomorfismo de modulos y ademasunica

Proposicion H027 Todo R-modulo es isomorfo a un cociente de un R-modulolibre

Demostracion Sea M un R-modulo y consideremos L(M) Dada Id M rarrM existe un unico homomorfismo ϕ L(M)rarrM haciendo conmutativo el diagra-ma siguiente

Ası ϕ es sobreyectiva y por tanto L(M) ker(ϕ) sim= M

Proposicion H028 Consideremos el diagrama de R-modulos y homomorfismosde R-modulos denotados en lınea continua

M3

M2M1

-

f

g

ρ

+

en el que M3 es un R-modulo libre y g sobreyectiva Entonces existe un homomor-fismo de modulos ρ de modo que se verifica la igualdad g ρ = f

Demostracion Sea B una base de M3 Por ser g sobreyectiva para todob isin B existe un xb isin M1 de modo que g(xb) = f(b) Definimos ρ M3 rarr M1

como la extension lineal de la aplicacion que lleva b a xb Es claro que se tieneg ρ = f


Definicion H029 Un dominio de integridad es un anillo R en el que xy = 0implica x = 0 o y = 0

Un ideal I se denomina principal si existe x isin I de modo que I = ax a isin RUn anillo se llama dominio de ideales principales (DIP) cuando R es un dominiode integridad y todo ideal de R es principal

Los resultados siguientes son validos para R-modulos en los que el anillo R esun DIP como Z Una demostracion de ellos puede encontrarse en Algebrardquode SLang

Proposicion H030 Todo submodulo de un R-modulo libre es libre

Proposicion H031 (Teorema de clasificacion de los modulos finitamentegenerados) Sea M un R-modulo finitamente generado es decir existen m1 mren M tal que todo m =

sumri=1 λimi aunque no de forma unica Entonces

M sim= oplusm1 Roplus (opluskj=1(R lt aj gt))

donde m y k son ciertos enteros no negativos y lt aj gt denota el submodulo de R(ie el ideal) engendrado por aj isin R Ademas estos valores son unicos El segundosumando coincide con la parte de la torsion de M denotada por TM (es decirTM = x isin M λx = 0 para algun λ isin R y el primer sumando se llama partelibre de M y se denota por LM A la dimension de LM se le llama el rango onumero de Betti de M y los elementos aj son llamados coeficentes de torsion deM

APENDICE I

Homologıa simplicial con coeficientes en un anillo

dip R

La Homologıa Simplicial con coeficientes en un cuerpo desarrollada en el Capıtu-lo 4 consiste en aplicar el algebra homologica desarrollada en el Capıtulo 3 al com-plejo de cadenas simpliciales orientadas con coeficientes en F asociada a un poliedrofinito |K| definido en 411 Este esquema puede ser generalizado para un anillo dipR cualquiera Para ello basta asignar a un poliedro finito |K| el llamado complejode R-cadenas simpliciales orientadas definido como sigue

Definicion I032 Sea K un complejo simplicial finito dado un sımplice σ =(v0 vk) se define la siguiente relacion de equivalencia ldquosimrdquosobre el conjunto delas ordenaciones de los vertices de σ




(q gt 0) Dado un anillo R sea Cq(KR) el cociente del R-modulo libre con basetodos los q-sımplices orientados de K por el submodulo generado por los elementosσq1+σq2 A Cq(KR) se le llama el R-modulo de las q-cadenas simpliciales orientadasde K (q ge 0)

Nota I033 (a) Si σ = lowast es un 0-sımplice entonces solo hay una orientacionsobre σ y C0(KR) es el R-modulo libre engendrado por los vertices de K

(b) Definimos Cq(KR) = 0 si K = empty y Cq(KR) = 0 si q gt dim(K) o q lt 0(c) Observese que Cq(KR) es un R-modulo libre para el cual una base se ob-

tiene al escoger cada q-sımplice σ isin K con una orientacion e identificar el elementominusσ de Cq(KR) con σ orientado con la orientacion opuesta

Ahora basta aplicar el algebra homologica en el Capıtulo 3 adaptado utilizandoel apendice H Todos los resultados citados en los Capıtulos 3 y 4 y sus consecuen-cias en los Capıtulos 56 y 7 son validos para una anillo dip R Tan solo lasdemostraciones de estos son ligeramente diferentes

56

APENDICE J

La computabilidad de la homologıa simplicial

Para que una tecnica de distinguibilidad en Topologıa Algebraica sea efectivaes necesario disponer de algun metodo para su calculo En el caso de la homologıasimplicial para determinar los F-espacios vectoriales de homologıa de un complejosimplicial K es necesario estudiar las matrices M(partn) asociadas a sus operadoresborde partn Cn(K F) rarr Cnminus1(K F) cuyos coeficientes estan en minus1 0 1 sube R Espor tanto de gran interes el poder reducir esas matrices a una forma lo mas simpleposible Tratamos aquı el problema en la generalidad de un anillo R Para ello serecurre al siguiente teorema cuya demostracion se puede encontrar en [Jac80] paraR = F y en [HH80] para el caso general Ver [Cai68] o [Ago76] para mas detalles

Proposicion J034 (Teorema de la forma normal) Toda matriz M con coe-ficientes en un DIP se puede reducir a una matriz en forma normal

D =

r1 0

rn0

0

0

mediante las siguientes transformaciones elementales de filas (o columnas) (i) in-tercambiar dos filas (columnas) entre sı (ii) multiplicar una fila (columna) por plusmn1(iii) reemplazar una fila (columna) por la suma de ella con un multiplo de otra

Mas aun J034 junto con H030 implican el siguiente refinamiento de H030para modulos libres finitamente generados

Proposicion J035 Sea R un DIP y sea M un R-modulo libre finitamentegenerado Si M prime subeM es un submodulo de M entonces existe una base e1 emde M y elementos λ1 λk (k le m) en R tales que λ1e1 λkek es base deM prime

Dejamos la demostracion como ejercicioEl otro hecho crucial en el calculo efectivo de la homologıa es la siguiente

proposicion donde TM y LM denotan la parte de torsion y libre del R-modulofinitamente generado M

Proposicion J036 Sea R un DIP y sea C = Cn partn un complejo de cadenasde R-modulos libres finitamente generados Entonces para cada n existen submodu-los Un VnWn sube Cn tales que Cn = Un oplus Vn oplusWn y partn(Vn oplusWn) = 0 Mas aunLHn(C)

sim= ZnWn y THn(C)sim= WnBn

57

J LA COMPUTABILIDAD DE LA HOMOLOGIA SIMPLICIAL 58

Con los dos resultados anteriores veamos el proceso de calculo efectivo de lahomologıa simplicial del complejo K a partir de las matrices M(partn) En primerlugar transformamos la matriz M(partn) en una matriz en forma normal

Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0

respecto a cierta base en1 enk(n) de Cn(K F) = Zn(K F) oplus Un = Wn oplus

Vn oplus Un Entonces no es difıcil comprobar que enm(n)+1 enk(n) es una base de

Zn(K F)enminus11 enminus1

m(n) es una base de Wnminus1 y rn1 enminus11 rnm(n)e

nminus1m(n) es una base

de Bnminus1(K F) El isomorfismo

Hn(K F) sim= LHn(KF) oplus THn(KF)sim= ZnWn oplusWnBn

nos dice que el rango de Hn(K F) es β(n) = k(n)minusm(n)minusm(n+1) mientras que laparte con torsion es isomorfa a la suma directa

oplusR lt rn+1

j gt con 1 le j le m(n+1)

y rn+1j 6= 1De esta manera los R-modulos de homologıa simplicial de un complejo finito

se obtienen inmediatamente a partir de las formas normales de las matrices M(partn)que quedan determinadas por los numeros β(n) ge 0 (numeros de Betti de K) y loselementos rn+1

j isin R obtenidos en la demostracion anterior (coeficientes de torsion

de K) Mas aun en el caso R = F es posible dar un algoritmo para el procesode normalizacion (ver la demostracion de J034 en [Jac80]) y existe por tanto unalgoritmo para determinar los grupos de homologıa simplicial de un complejo finito

Bibliografıa

[Ago76] Max K Agoston Algebraic topology a first course Marcel Dekker Inc New York 1976Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics No 32 J

[Cai68] Stewart Scott Cairns Introductory topology Revised printing The Ronald Press CoNew York 1968 J

[HH80] B Hartley and T O Hawkes Rings modules and linear algebra Chapman amp HallLondon 1980 A further course in algebra describing the structure of abelian groups andcanonical forms of matrices through the study of rings and modules A reprinting J

[Jac80] Nathan Jacobson Basic algebra I-II W H Freeman and Co San Francisco Calif19741980 J J

59

Capiacutetulo 1 Complejos simpliciales

11 Siacutemplices y complejos simpliciales finitos

12 Subdivisiones la subdivisioacuten bariceacutentrica

13 La topologiacutea del poliedro

14 Aplicaciones simpliciales Aproximacioacuten simplicial

Capiacutetulo 2 Complejos abstractos


Capiacutetulo 3 Rudimentos de Aacutelgebra Homoloacutegica


32 Complejos de cadenas y homologiacutea

Capiacutetulo 4 Homologiacutea simplicial

41 Homologiacutea simplicial orientada

42 Seudovariedades y orientacioacuten

Capiacutetulo 5 La invariancia homotoacutepica de la homologiacutea simplicial

51 Homologiacutea simplicial y subdivisiones bariceacutentricas

52 Invariancia homotoacutepica de la homologiacutea simplicial

53 Homologiacutea local Algunos teoremas de invariancia


Capiacutetulo 6 Aplicaciones de la homologiacutea

61 Homologiacutea de las esferas El teorema del punto fijo de Brouwer




Apeacutendice A Repaso de Aacutelgebra Lineal

A1 Definicioacuten de Espacio Vectorial


A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias

Apeacutendice B Repaso de Topologiacutea General

Apeacutendice C Teoriacutea de Homotopiacutea baacutesica

Apeacutendice D Aplicaciones simpliciales contiguas y homologiacutea

Apeacutendice E Demostraciones de Homologiacutea local e invariancia 53 y Grado de aplicaciones entre seudovariedades 54

E1 Homologiacutea local Algunos teoremas de invariancia Demostraciones de la seccioacuten 53

E2 Grado de aplicaciones entre seudovariedades Demostraciones de la seccioacuten 54

Apeacutendice F Traza de un endomorfismo Terorema de Hopf

Apeacutendice G Grupos de matrices

Apeacutendice H Nociones baacutesicas de Aacutelgebra Conmutativa

Apeacutendice I Homologiacutea simplicial

Apeacutendice J La computabilidad de la homologiacutea simplicial

Bibliografiacutea

Indice general

Capıtulo 1 Complejos simpliciales 111 Sımplices y complejos simpliciales finitos 112 Subdivisiones la subdivision baricentrica 313 La topologıa del poliedro |K| 514 Aplicaciones simpliciales Aproximacion simplicial 7

Capıtulo 2 Complejos abstractos 921 Complejos abstractos 9

Capıtulo 3 Rudimentos de Algebra Homologica 1231 Sucesiones exactas 1232 Complejos de cadenas y homologıa 13

Capıtulo 4 Homologıa simplicial 1641 Homologıa simplicial orientada 1642 Seudovariedades y orientacion 20

Capıtulo 5 La invariancia homotopica de la homologıa simplicial 2251 Homologıa simplicial y subdivisiones baricentricas 2252 Invariancia homotopica de la homologıa simplicial 2353 Homologıa local Algunos teoremas de invariancia 2454 Grado de aplicaciones entre seudovariedades 25

Capıtulo 6 Aplicaciones de la homologıa Teorema del punto fijo de Brouwery grado de aplicaciones entre esferas 27

61 Homologıa de las esferas El teorema del punto fijo de Brouwer 27

Capıtulo 7 Aplicaciones de la homologıa Teorema del punto fijo deLefschetz-Hopf y teorema de Borsuk-Ulam 29

71 Traza de un endomorfismo Teorema de Hopf 2972 Teorema de Lefschetz-Hopf y teorema de Borsuk-Ulam 30

Apendice A Repaso de Algebra Lineal 31A1 Definicion de Espacio Vectorial 31A2 Dependencia lineal sistemas generadores bases y finitud 31A3 Dimension 31A4 Coordenadas 32A5 Aplicaciones lineales 32A6 Referencias 33

Apendice B Repaso de Topologıa General 34

iii

INDICE GENERAL iv











Bibliografıa 59

CAPıTULO 1












1



σn = x isin Rmx =

nsum

i=0

λiai con

nsum

i=0

λi = 1 y λi ge 0






ni=0microiai) =






⋃infinn=1 Rn y e0 = (1 0 0 ) ej =

(0

j








σ = σminus

bullσ

































sumni=0




= K = sdK

Figura 0





sd0K = K











(rr+1

)nm(K)












ϕ(x) =sum

λiϕ(vi)












conjuntost(xK) =



st(xK) si x isin

σ








(b)

k⋂

i=0

st(viK) 6= empty


(c)

k⋂

i=0


sımplices



σ







f(st(vK1)) sube

st(ϕ(v)K2)












CAPıTULO 2













Uαk es






9







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

INDICE GENERAL iv











Bibliografıa 59

CAPıTULO 1












1



σn = x isin Rmx =

nsum

i=0

λiai con

nsum

i=0

λi = 1 y λi ge 0






ni=0microiai) =






⋃infinn=1 Rn y e0 = (1 0 0 ) ej =

(0

j








σ = σminus

bullσ

































sumni=0




= K = sdK

Figura 0





sd0K = K











(rr+1

)nm(K)












ϕ(x) =sum

λiϕ(vi)












conjuntost(xK) =



st(xK) si x isin

σ








(b)

k⋂

i=0

st(viK) 6= empty


(c)

k⋂

i=0


sımplices



σ







f(st(vK1)) sube

st(ϕ(v)K2)












CAPıTULO 2













Uαk es






9







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

CAPıTULO 1












1



σn = x isin Rmx =

nsum

i=0

λiai con

nsum

i=0

λi = 1 y λi ge 0






ni=0microiai) =






⋃infinn=1 Rn y e0 = (1 0 0 ) ej =

(0

j








σ = σminus

bullσ

































sumni=0




= K = sdK

Figura 0





sd0K = K











(rr+1

)nm(K)












ϕ(x) =sum

λiϕ(vi)












conjuntost(xK) =



st(xK) si x isin

σ








(b)

k⋂

i=0

st(viK) 6= empty


(c)

k⋂

i=0


sımplices



σ







f(st(vK1)) sube

st(ϕ(v)K2)












CAPıTULO 2













Uαk es






9







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea



σn = x isin Rmx =

nsum

i=0

λiai con

nsum

i=0

λi = 1 y λi ge 0






ni=0microiai) =






⋃infinn=1 Rn y e0 = (1 0 0 ) ej =

(0

j








σ = σminus

bullσ

































sumni=0




= K = sdK

Figura 0





sd0K = K











(rr+1

)nm(K)












ϕ(x) =sum

λiϕ(vi)












conjuntost(xK) =



st(xK) si x isin

σ








(b)

k⋂

i=0

st(viK) 6= empty


(c)

k⋂

i=0


sımplices



σ







f(st(vK1)) sube

st(ϕ(v)K2)












CAPıTULO 2













Uαk es






9







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea


























sumni=0




= K = sdK

Figura 0





sd0K = K











(rr+1

)nm(K)












ϕ(x) =sum

λiϕ(vi)












conjuntost(xK) =



st(xK) si x isin

σ








(b)

k⋂

i=0

st(viK) 6= empty


(c)

k⋂

i=0


sımplices



σ







f(st(vK1)) sube

st(ϕ(v)K2)












CAPıTULO 2













Uαk es






9







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea











(rr+1

)nm(K)












ϕ(x) =sum

λiϕ(vi)












conjuntost(xK) =



st(xK) si x isin

σ








(b)

k⋂

i=0

st(viK) 6= empty


(c)

k⋂

i=0


sımplices



σ







f(st(vK1)) sube

st(ϕ(v)K2)












CAPıTULO 2













Uαk es






9







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea





ϕ(x) =sum

λiϕ(vi)












conjuntost(xK) =



st(xK) si x isin

σ








(b)

k⋂

i=0

st(viK) 6= empty


(c)

k⋂

i=0


sımplices



σ







f(st(vK1)) sube

st(ϕ(v)K2)












CAPıTULO 2













Uαk es






9







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea


(c)

k⋂

i=0


sımplices



σ







f(st(vK1)) sube

st(ϕ(v)K2)












CAPıTULO 2













Uαk es






9







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea





CAPıTULO 2













Uαk es






9







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea







v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3


v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1


v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8



v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea


v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q


v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

CAPıTULO 3


















sim= V1 oplus V3


- - - -

- - - -

N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4



12











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea











primen Cn oplus C

primen rarr



1n y C2 = C2

n part2n



-

-

C2n C2

nminus1

C1n C1

nminus1

fn fnminus1

part1n

part2n







fnrarr C2

n

gnrarr







flowastrarr Hn(C2)

glowastrarr Hn(C













rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea











rarr Imj rarr 0



∆rarr Hnminus1(C









1n rarr C

2n part

2n

con fminus1 = Id










20




rarr C



rarr Imj rarr 0




∆rarr Hnminus1(C







para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea






para todo n isin Z



- --

C1n C1


part2n+1 part2

n

part1n


hn

hnminus1








CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

CAPıTULO 4














16




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea




[σ τ ] =



[σ τ ]or =

0 si τ 6leσ






respectivamente)




partq[p0 pq] =

qsum

i=0

(minus1)i[p0 pi pq]







partn(σ) =sum

τisinK

[σ τ ]orτ


[σ τ ]or



Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea


Nota 419




τisinK [σ τ ]τ













bullσ F) sim= F
















bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea








bullσ F) sim=


































Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea











Figura 1









v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea






v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q










CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

CAPıTULO 5


simplicial






sdlowastn(σ) =








Cn(K F) Cn(L F)

Cn(sdK F) Cn(sdL F)

-

-

sdlowast sdlowast

flowast

flowast



22





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea





Hn(K F)

Hn(L F)

Hn(sdK F)

Hn(sdL F)

-

-

flowast flowast

sdlowast

sdlowast



m veces





mK F)






nlowast =



































toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea





























toplus

i=1

Z2

















CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea










CAPıTULO 6



esferas




Hq(Sn) =

0 q 6= nZ q = n

ver 4117







27




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea




grad(f) = plusmn1





raız








CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

CAPıTULO 7












tr(fi) =

ksum

i=0




29











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

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∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea











de K X (K)









APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

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1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

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∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

APENDICE A








sumri=1 αivi



A3 Dimension


31










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

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Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

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con detD = detM


Dprime =

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1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

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∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea










A4 Coordenadas









A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

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Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

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micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

A6 REFERENCIAS 33



Vker f sim= Im f


A6 Referencias


APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

APENDICE B














34






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



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(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

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trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

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∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea






p2minusrarr










⋃αAα (ii)




















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

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G

w

ww

ww

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Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

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micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea



















APENDICE C




X times If

g

HY

x0 times I

H(x0 times I)










38










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea










y


















x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea














x = y 0 le t lt 1

o bient = 1





Sn times IH

π

Y

cSn

h

G

w

ww

ww

ww

ww

Bn+1

F

EE


APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

APENDICE D















41











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea











APENDICE E

Demostraciones de


















prime2 =





43





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea





si


y


si














bullσ y















σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea









σ sube BtK De










ρ











micro) cap

σk 6= empty y

f(micro) cap


micro con f(x) isin

σk y f(y) isin











micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea







micro) sube |Lj |
















grad(f) middotsum

σnisinL

σ =sum

micronisinsdmK

ϕ(micro) =sum

σnisinL

λϕ(σ) middot σ


APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

APENDICE F










tr(AB) =nsum

i=1

nsum

k=1

aikbki =nsum

k=1

nsum

i=1

bkiaik = tr(BA)





tr(fi) =

ksum

i=0




47



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea



A(ϕ) =

(A(ϕprime) C

0 A(ϕ)

)








CnZnsim=

partn

fn

Bnminus1

fnminus1|Bnminus1

CnZn

sim=

partn

Bnminus1







trfn =sum

(minus1)ntr(fn) ==


=sum



APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

APENDICE G

Grupos de matrices







Rn2











sumnj=1 aijaij = 1



sube Rn2



49





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea





λ


detM1

1




D =

d1

dn

con detD = detM


Dprime =

detM1

1





msr(t) =



asr en otro caso

Si λ lt 0

msr(t) =





∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea




∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


detA1

1




donde v1(t) =




v1(t)mj(t)

v1(t)2v1(t)



A 00 1



APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

APENDICE H
















52
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea
















sim= M2(M1 capM2)













ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea








ϕ(sum

bisinB

λb middot b) =sum

bisinB







M3

M2M1

-

f

g

ρ

+













APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea










APENDICE I


dip R











56

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea

APENDICE J




D =

r1 0

rn0

0

0








57



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






Bibliografıa





59



























A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












Bibliografiacutea



Dn =

rn1 0

rnm(n)

0 0









oplusR lt rn+1






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A3 Dimensioacuten

A4 Coordenadas


A6 Referencias












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A4 Coordenadas


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New Elementos de la Homolog´ıa Cl´asica Notas Te´oricas...

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