Neodređeni integral

Definicija: Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu (a,b) . Funkcija F (x) naziva se primitivna funkcija

date fu k ije a i tervalu a, ukoliko važi

, '( ) ( )x a b F x f x

Primer: Primitivna funkcija funkcije f( x )=2x , koja je definisana za x R je funkcija F1( x)= x2 , zato što

je 2' 2x R x x . Ali I funkcije F2 (x)=x

2+3 I F3(x)=x

2-5 su primitivne funkcije funkcije f( x) .

Dakle, pri itiv a fu k ija ije jed oz ač o određe a, tj. ako je F(x) primitivna za f(x) onda je i svaka f-ja

F x +C C je ko sta ta takođe pri itiv a fu k ija f-je f(x).

Skup svih primitivnih f-ja fu k ije f aziva se eodređe i i tegral fu k ije f i o eležava sa: f (x)dx

Tablica integrala:

1. Izraču ati i tegrale:

3 3 1 2

3 2

1 1 1

3 1 2 2

dxx dx x C x C C

x x

2 2 2 11 1 1

5 5 5 ln2 1

x dx x dx dx dx x dx x Cx x

31

5 ln3

x x x C

2.

2 2

2 1

2 2 2 2

2 1 2 1 12 2ln

x x x xdx dx dx dx dx dx x dx x x x C

x x x x x

3.

1 1 1 1 4 2 1 7 15 151 1

8 2 4 8 8 8 8 82 41 8

7 151

8

x x x dx x x x dx x dx x dx x dx x C x C

4.

2

2

1ln

xx xx x e

dx dx e dx x e Cx x

5.

1 1

2 22 1

sin 2 sin 2 cos1 ln

12

xx x a

x a dx x dx xdx a dx x x Cax

4 cosln

xa

x x Ca

6.

2 2

2

2 2 2

sin 1 cos 1

cos cos cos

x xtg xdx dx dx dx dx tgx x C

x x x

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Parcijalna integracija

Formula parcijalne integracije glasi:

udv uv vdu

Primer1: ln xdx

ln / '

1

/

:

1ln ln ln ln

x u

dx dux

dx dv

dx dv

x v c

onda je po formuli

xdx x x x dx x x dx x x x cx

Primer2:

x x x x x

xe dx xe e dx xe e c

Primer3:

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Priprema za kontrolni zadatak:

1.

dx

x

xxxx3 22

2

2 1132 22

3 22

1 7 73 5 5

2 26 6 62 2 2

2 2

1 1 1 2 1 122 2

3 11 1 5 2 71 1

2 6

x x x xdx dx dx x dx xdx x dx

x x x

x dx xdx x dx x x x x x x c

dxx

ee

xx

2sin

1 .

2 2

sin sin

xx x x xe dx

e dx e dx e e ctgx cx x

2. dx

xx ln23

1

: 3 2ln

1 1 12

2

:

1

1 1 12 ln ln 3 2ln2 2 2

smena x t

dx dt dx dtx x

onda je

dtdt

t xt t

3. ∫ 𝑑𝑥√9−4𝑥2

2

2

1

9 21

3

2:

3

2 3

3 2

1 1 3 1 3 1 2arcsin arcsin

3 2 3 2 2 31

dx

x

xsmena t

dx dt dx dt

xdt t c c

t

4.