Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat ( bifurkáció ).
description
Transcript of Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat ( bifurkáció ).
Makai M: Neutrontranszport
1
Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció).Az elágazási pont az alábbi tulajdonságokkal bír. (Hopf, 1942)1. Tétel. Legyen G(,u) egy analitikus leképezése a redukált fázis-térnek és tegyük fel, hogy létezik egy ismert u() megoldása az alábbi egyenletnek:
uGut ,Tegyük fel továbbá, hogy u() instabillá válik, mert a Gu(,u) ope-rátor () sajátértéke nullává válik =0-nál Tegyük fel, hogy (0)=0 és ’(0)>0. Akkor létezik egy sima, nemtriviális megoldás (), u(), ami elágazik az u() megoldásból (0,u0)-nál.
Itt G(,u) egy nemlineáris operátor, benne a paraméter.Egy u(t) megoldás stabil, ha bármely >0-hoz létezik létezik>0 úgy, hogy
0)( utuesetén fennáll minden t-re:
0)0( uu
Makai M: Neutrontranszport
2
A mérés
Klasszikus rendszer: S-et kölcsönhatásba hozzuk egy B beren-dezéssel. Megvárjuk az egyensúly beállását, ebből meghatároz-zuk S kölcsönhatást leíró paraméterét. B-nek kontinuum sok állapota lehetséges. Nincs olyan kölcsönhatás, ahol a B berende-zés S egyedi részecskéivel hat kölcsön.
Követelmények:
•legyen kölcsönhatás S mérendő mennyiségéhez•B kevéssé változtassa meg S állapotát•az egyensúly elfogadható időn belül álljon be.Példa: hőmérsékletmérés
T1 S
Makai M: Neutrontranszport
3
A kölcsönhatások leírása
Extenzív és intenzív mennyiségek, az intenzív mennyiségek kiegyen-lítődnek.Az intenzív mennyiségek gradiensei áramot indítanak, pl.
cDJ
A gradiens azonban kereszteffektusokkal is jár: az anyagi állandókategy mátrix írja le:
i
ijij xMJ
a j.-extenzív mennyiség áramaaz i-ik extenzív mennyiséggradiense (Onsager)
Dufour-effektus (termodiffúzió), Peltier-effektus stb.
anyagi állandó
Makai M: Neutrontranszport
4
Kvantumos rendszer
Most a mérendő S rendszernek megszámlálhatóan sok lehetségesállapota van. B-nek viszont véges sok lehetséges állapota van.S lehet “tiszta állapotban” vagy “kevert állapotban”. Tiszta álla-potban S a mérendő fizikai mennyiség A operátrorának sajátálla-potában van:
kkk a A
Valamely k-ra és k S állapotfüggvénye. Ebben az állapotbanA mérésének eredménye ak lesz.Kevert állapotban S állapotfüggvénye legyen , ami kifejthető ak függvények szerint:
pppc
Makai M: Neutrontranszport
5
A mérés eredményeként valamelyik p-t kapjuk, a mért értéka p állapotban mérhető érték lesz. Állapotredukció.Yakir Aharonov (Univ. of South Carolina): Lehetséges kvantumos rendszeren mérést végezni anélkül, hogya szuperpozíciót a mérés lerombolná. Phys. Letters A, 301, p.130 (2002)Javaslata: weak measurement (kíméletes mérés)Aharonov elvégezte azt a mérést, amit Lucien Hardy írt le, mintgondolatkísérletet.A kísérletben egy elektron és egy pozitron(anti elektron) kölcsönhatását vizsgálják egy interferométerben.A kíméletes mérés eredménye: nagy hiba, sok mérés átlaga vi-szont pontos.
Makai M: Neutrontranszport
6
Tekintsük az alábbi kísérletet ld.ábra).
Makai M: Neutrontranszport
7
Mind az elektron, mind a pozitron egy féligáteresztőtükörre esik. A tükör a részecskét két állapot szuper-pozíciójába viszi. A részecskék ebben az állapotbanhaladnak egy-egy csatornán. Az interferométer az útvégén újra összehozza a két részecskét. Az ütközéseredménye attól függ, milyen állapotban vannak arészecskék. Ha a részecske zavartalanul utazik, akkora C detektorba jut, ha viszont kölcsönhatásba lépettmás részecskével vagy térrel, akkor a D detektorbajut. Ha az interferométer két csatornáját úgy képezzükki, hogy azok találkoznak, akkor a találkozás helyén szétsugárzódnak. Ritkán, de előfordulhat, hogy mind-két részecske a D detektorba jut, azaz, találkoztak, denem sugárzódtak szét. Vagyis, a kölcsönhatás úgy isvizsgálható, hogy mindkét részecske megmarad az eredeti állapotában. (2xD „jel” a mérés eredménye)
Makai M: Neutrontranszport
8
Liouville-tétel
Amennyiben a részecskeszám megmarad, a fázistérbeli sűrűségnem változhat:
0),(),(),( qqpfpqpfqpf qpt
A mozgásegyenletekből pedig tudjuk:
ii qipi HpqpHq );,(
Amennyiben at S rendszer termodinamikai egyensúlyban van,bármely lehetséges állapota egyenlően valószínű. (Posztulátum)Ezért csak olyan állapotokkal foglalkozunk, ahol a fluktuációkkicsik.
Makai M: Neutrontranszport
9
Milyen mennyiségeket lehet megfigyelni?
A mérésekben makroszkopikus mérőberendezés lép kölcsönhatásbaa vizsgált S rendszerrel. A mért jel (VÁLASZ) a következő alakú:
B
vdtrddtvrBf 33),,(
a berendezés térfogata
a berendezés paramétere
S-re jellemző eloszlás fv.
Példa: 1,neutrongázban: reakciógyakoriság, ott B=neutron hkrm2, fémben vezetőképesség mérés: B-külső térerő, a válasz: elektro-mos áram
Makai M: Neutrontranszport
10
Lineáris válasz
)()( 0 tBBtB
Itt B0 az egyensúlyi érték. Ha F nem túl erős(az elektromos példa esetén j=E)Általában:
)()( tFtB
t
BA dttFtttB ')'()'()(
válaszfüggvény
A mérés úgy történik, hogy egy makroszkopikus gerjesztés hat az Srendszerre és mérjük annak válaszát. A gerjesztés annyit jelent, hogy a Hamilton-operátor H0H0+AF(t) módon megváltozik. Példa: Ha F(t) elektromos tér, akkor A a csatolást biztosító dipól-momentum (S egyik paramétere). A változás hatására S-ben is változások mennek végbe. Figyeljük meg a B mennyiség változását:
Makai M: Neutrontranszport
11
A transzportelmélet tárgya:
fotonok transzportja (sugárvédelem, orvosi vizsgálatok,csillagá- szat)neutronok transzportja (reaktorfizika, plazmafizika, anyagszerke-zet vizsgálata neutronokkal)elektrontranszport (különleges mikroelektronika tervezése)anyagáramlás (folyadékok és gázok áramlása extrém körülmények között)
Az előadásban többnyire csak általános kérdéseket érintünk, egyesmódszereket viszont a neutrontranszport keretében dolgoztak ki(pl. aszimptotikus elmélet).
Makai M: Neutrontranszport
12
Boltzmann-féle transzportegyenlet
Legyen N molekula V térfogatban, a hőmérséklet legyen kellőenmagas, a sűrűség pedig kellően alacsony ahhoz, hogy a molekulá-kat lokális hullámcsomagként lehessen kezelni. Ennek feltétele,hogy a molekulák közötti távolsághoz képest a de Brogli-félehullámhossz legyen kicsi:
12
3/1
V
N
mkT
Ebben a közelítésben a molekulát klasszikus részecskének lehettekinteni, tehát lehet pontosan meghatározott helye és impulzusa.A molekulák között csak az ütközések révén van kcshatás, ennekhkrm-e adott (). A molekulákat egyformának tekintjük. Az edényfaláról csak rugalmas visszaverődés lehetséges. A gázt sűrűség-függvénnyel írjuk le. N>>1, az infinitezimális térfogat d3r~10-10 cm3.
Makai M: Neutrontranszport
13
A gáz leírására f(r,v,t)-t használjuk, a független változókat -térelemeinek nevezzük. Az (r és v) változókat egyenlő cellákra osztjuk, az integrált összeggel helyettesítjük. f normálását így választjuk:
Nvrddtvrf 33),,(
V
Nvdtvrf 3),,(
Ha a molekulák egyenletesen vannak elosztva V-ben, akkor
Feladat: meghatározni f(r,v,t)-t adott kcshatás esetén. Mivel t→esetén f(r,v,t) meghatározza S minden egyensúlyi paraméterét, akinetikus elmélet nem független a termodinamikai leírástól.Első lépésként vizsgáljuk meg, milyen egyenletből határozhatómeg az eloszlásfüggvény!
Makai M: Neutrontranszport
14
Kezdjük a kcshatás mentes esettel. Ekkor dt idő alatt:
vrddtvrfvdrddttdtm
Fvvdtrf 3333 ,,'',,
Az ütközések leírására bevezetjük a ütkt fütközési sebességet, amivel
ütktvrt tvrftvrfm
Fv ),,(),,(
kibeütkt RRf
0),,(
tfmt r vrF
v v
Makai M: Neutrontranszport
15
Az ütközési integrálok kiszámítása
v1
v2
v1’
v2’
)vv(;vv2
11221 uV + ugyanez a ‘ sebességekre is
V=V’ és |u|=|u’|. Továbbá, d3v1d3v2=d3v1’d3v2-ből következik:d3Vd3u=d3V’d3u’.
Makai M: Neutrontranszport
16
A reakciógyakoriság kiszámítása
A reakciógyakoriság |u|-tól függ, V-től nem. Legyen u=u|,ekkor az 1 sec alatt (,+d) térszögbe szóródott moleku-lák számát
dI )(Adja meg, itt I-az 1 cm2-en 1 sec alatt beeső molekulák száma,() a differenciális hkrm, mérhető mennyiség. Legyen
21212121 ,','',', vvvvvvvv
A hkrm rendelkezik az alábbi szimmetriákkal:
A v2-v1 és v2’-v1’vektorok által bezárt szög
a Időtükrözés:
21212121 '~,'~~,~',', vvvvvvvv b Térbeli forgatás:
2121 ',', vvvv
Makai M: Neutrontranszport
17
c Fordított ütközés: 21212121 ,|','',', vvvvvvvv
Az ütközési integrál kiszámításához az alábbi feltevésekkelélünk:•csak bináris ütközéseket veszünk figyelembe•az edény falának hatását elhagyjuk•feltesszük: a szórási folyamatra külső erők nem hatnak•a molekula sebessége nem függ a térbeli helyétől
Az utolsó feltevés rögzíti a molekuláris káoszt.Az r körüli d3r-ben található (v1,v1+d3v1) sebességű ésaz r körüli d3r-ben található (v2,v2+d3v2) sebességű molekula-párok száma
233
2133
1 ),,(),,( vrvrvrvr ddtfddtf
Makai M: Neutrontranszport
18
Határozzuk meg, a v1 sebességű molekulákra eső v2 sebességűmolekulák áramát:
dtddtftfRbe 23
1221 ''''),',(),',( vvvvrvr
A dt idő alatti ütközések száma:
2123
2 ),,( vvvvr dtfI
Az Rkid3v1 tagot ebből úgy kapjuk, hogy integrálunk v2-re ésmegszorozzuk f(r,v1,t)-vel:
dtddtfdtdI 2123
2 ),,( vvvvr
Az Rbed3v1 tagot analóg módon állíthatjuk elő:
dtddtftfRki 23
2121 ),,(),,( vvvvrvr
Makai M: Neutrontranszport
19
A c szimmetria miatt ’=, b miatt 2121 '' vvvv
A Liouville-tétel miatt az infinitezimális térfogatok azonosak.Ezért:
dtddffffdtf ütkt 23
212121 '')( vvv
Az ütközési integrál Rbe-Rki,ezért
dtddtftfRbe 23
2121 '),',(),',( vvvvrvr
),',(');,,( 1111 tfftff vrvr stb.
Makai M: Neutrontranszport
20
Ezzel a sűrűségfüggvényre vonatkozó Botzmann-egyenlet:
23
212121
11
''
1
vvv
Fv v
ddffff
fmrt