NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH

ROVNÍCS  DISTRIBUOVANÝM

ONESKORENÍM

Pavol Chocholatý

Uvažujme Cauchyho úlohu pre ODR

kde funkcia sa mení s narastajúcim časom .

Diferenciálne rovnice s oneskoreným argumentom sa líšia od ODR tým, že derivácia v ľubovoľnom čase závisí aj od riešenia v predchádzajúcich časoch.

0,),( ttxtfx

00 )( xtx

)(tx t

Časové oneskorenia vyskytujúce sa v mnohých modeloch aplikovanej matematiky vyžadujú uvedenú závislosť vyjadriť v podobe

,

kde oneskorený argument je buď konštanta - vtedy hovoríme o rovniciach

s konštantným oneskorením je funkciou času - vtedy hovoríme

o časovo-premennom oneskorení .

))(,...),(,( 1 ktxtxtfx ,0tt

0,)()( ttttx

kjr jj ,...,2,1,0,

)(, tt jj

Špeciálne,rovnicu

nazývame ODR s diskrétnym oneskorením

rovnicu

nazývame ODR s diskrétnym časovo-premenným oneskorením samozrejme s poznámkou, že táto funkcia je nekladná (v opačnom prípade by sme hovorili o ODR s predbiehajúcim argumentom)

0,,))(),(,( rtxtxtfx

))((),(,( ttxtxtfx

)(t

Známa je napr. logistická rovnica s oneskorením tvaru

tzv. Hutchinsonova rovnica, popisujúca pre kladné konštanty a a funkciu kde je záporné číslo , logistickú rovnicu s oneskorením .

Osciláciami riešení tejto rovnice sa zaoberá práca Gopalsamy , Zhang . Viaceré práce sú venované rôznym zovšeobecneniam tejto rovnice.

ttgK

tgxtxtrtx

)(,

))((1)()()(

r K ,)( ttg

ZG

Oneskorenie môže by tiež distribuované

Príkladom ODR a distribuovaným oneskorením je aj rovnica

známa ako Volterrova integro-diferenciálna rovnica.Štúdium ODR s distribuovaným oneskorením je

najčastejšie spojené so snahou získať nejaké oscilačné kritéria v spojitosti s periodickým riešením, napr. Tang , Gopalsamy, He, Xue, Wen .

)))(,,(),(,()(0

)( t

dsstxsttxtftx

t

dssxsttxtftx0

))(,,),(,()(

T WXHG

Berezansky, Braverman sa zaoberajú periodickou logistickou integro-diferenciálnou rovnicou

v snahe získať pozitívne riešenia.Z aplikačného pohľadu je vhodným príkladom

ODR s distribuovaným oneskorením systém, v ktorom sa navzájom ovplyvňujú populácie živočíšnych druhov, typu dravec – korisť, známy ako Lotka-Volterrov model, ktorý v prípade distribuovaného oneskorenia je v tvare

BB

0

)()()()()()(T

dsstNsHtbtatNtN

kde predstavuje množstvo koristi v danom čase a

množstvo dravcov, kladné parametre vyjadrujú vzájomnú interakciu a vývoj týchto druhov,

je funkciou reprezentujúcou rýchlosť rastu populácie koristi v závislosti od predchádzajúceho počtu dravcov a vyjadruje rýchlosť rastu populácie dravcov v závislosti od predchádzajúceho množstva koristi. Derivácie predstavujú prírastok danej populácie za jednotku času .

)())(()()( 1

0

21211 txdsstxtxkctx

)())(()()( 2

0

12122 txdsstxtxkctx

)(1 tx)(2 tx

21 ,, kkc

1

2

Spomeňme ešte, že aj model šírenia epidémie vírusu HIV v homogénne zmiešanej skupine pohlaví sa najčastejšie vyjadruje v tvare systému ODR a distribuovaným oneskorením...

Privítali sme, že sa v knihe Kim, Pimenov objavil nelineárny systém dvoch diferenciálnych rovníc s distribuovaným oneskorením so zadaným tvarom štartovacej funkcie, doplnený jeho exaktným riešením v snahe nájsť efektívnu numerickú metódu na riešenie úloh tohto typu:

PK

pre

vzhľadom na štartovacie funkcie

,

a začiatočný čas .

Exaktné riešenie má tvar :

0

22

21

12

22

22

21

210

11

)()(

)(2

)(2)(

2

1)(

)()(

)(2

)(2)(

2

1)(

txtx

txtxdsstxtx

txtx

txtxdsstxtx

1t

sss

sss

1sin1)(

1cos)1()(

2

1 0 s

10 t

tttx

tttx

sin)(

cos)(

2

1

Analýza – numerický prístup:začiatočná úloha pre ODR

voľba tvaru numerickej metódy • explicitná• implicitná• jednokroková• viackroková

voľba rádu zvolenej numerickej metódyvýpočet určitého integrálu s iracionálnym číslom ako

hranicou numerická kvadratúra

--- Newtonové – Cotesové vzorce• zatvorené• otvorené• voľba rádu Newtonových-Cotesových vzorcov• vplyv iracionálneho čísla v hranici integrálu na stanovenie uzlov

v kvadratúre

ODR s distribuovaným oneskorením koordinácia zvolených numerických metód

• z hľadiska ich rádov

• z hľadiska zvolených uzlov

• na riešenie sústavy dvoch rovníc realizácia výpočtov chybová analýza vo vybraných nie úplne totožných

uzloch porovnanie získaných riešení s exaktným riešením

Realizácia výpočtov

Interval riešenia:

Ekvidištantné delenie:

Použité numerické metódy na riešenie ODR s krokom :

Explicitná Eulerova metóda Implicitná Eulerova metódaHeunova metóda Adamsova-Moultonova metódaRungeho metóda Milneho metódaKuttova metóda Milneho-Simpsonova metóda

71,1 t

30000,3000,300,30h

h

Použité numerické metódy pri numerickej kvadratúre s krokom :Zložené Newtonové-Cotesové zatvorené vzorce pre

Lichobežníkové pravidlo,Simpsonové pravidlo,Triosminové pravidlo

Vysvetlenie: Vieme, že pri použití napr. Simpsonového pravidla počítame na danom podintervale s tromi približnými hodnotami riešenia. Keďže pracujeme s diskrétnymi hodnotami riešenia získanými použitými numerickými metódami na riešenie ODR s krokom , musí byť teda vzdialenosť koncových bodov podintervalu .

hn

3,2,1n

h

h2

Nasleduje ukážka riešenia vo vybraných uzlových

bodoch

získaná Milneho- Simpsonovu metódou 5.rádu s použitím Simpsonovho pravidla pri kroku .

Tabuľka

7,...,2,1,

3

231)(

j

jjT

3000h

uzol T(j) riešenie

exaktné x1

riešenie

približné x1

riešenie

exaktné x2

riešenie

približné x2

1 -0.93881224 -0.93882868 1.81924418 1.81923445

2 2.37949667 2.37914423 -4.61102368 -4.61175244

3 -3.82018110 -3.81898822 7.40280318 7.40510074

4 5.26086553 5.25835117 -10.19458268 -10.19927812

5 -6.70154995 -6.69723186 12.98662181 12.99428392

6 8.14223438 8.13562983 -15.77814168 -15.79011818

7 -9.58291881 -9.57354472 18.56992118 18.58678092

Cieľom práce boloaplikovať uvedené metódy v rôznych kombináciách so

snahou nájsť na základe najmenšej celkovej chyby riešenia v koncovom bode intervalu riešenia „najlepšiu voľbu“ numerického prístupu aj na riešenie úloh „podobného typu“

otestovať vplyv zvolenej numerickej metódy na riešenie Cauchyho úlohy pre ODR v okolí prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k jej diskrétnemu tvaru

pre vybrané metódy analyzovať ich chovanie v závislosti od zjemňovania kroku

Záver

Vplyv metód na kvalitu aproximácie riešenia:

1. Uvedené explicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami

dominancia rádu metódy numerickej kvadratúry nad rádom explicitnej metódy

so zvyšujúcim sa rádom explicitnej metódy pri danej kvadratúre kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej

všetky z uvedených explicitných metód v kombináciách s metódami kvadratúry vykazovali kvalitnejšiu aproximáciu riešenia pri zjemňujúcom sa kroku h

napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Kuttovej metódy, zloženého Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako dve desatiny v porovnaní s exaktným riešením

2. Uvedené implicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami

takmer rovnaký vplyv rádov oboch typov metód„nezávisle“ od rádu implicitnej metódy pri každej

z použitých kvadratúr je získaná kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej

3000h

potvrdil sa očakávaný vplyv závislosti kvality aproximácie od zjemňujúceho sa kroku

napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Milneho-Simpsonovej metódy 5.rádu , Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako tri stotiny v porovnaní s exaktným riešením

3. Keďže veľkosť kroku je iracionálne číslo, prostredníctvom ktorého sa generujú uzlové body , je potrebné pri porovnávaní získaných hodnôt riešenia pri rôznej voľbe dĺžky kroku brať do úvahy, že tieto uzly nie sú „úplne“ totožné.

h

3000h

h

h

Literatúra:

Berezansky,L.,Braverman,E.: Oscillation properties of a logistic equation with distributed delay. Nonlinear analysis:Real World Appl. 4 (2003), pp.1-19

Gopalsamy,K.,Zhang,B.: Oscillation and nonoscillation in a nonautonomous delay-logistic equation. Q.Appl.Math.XLVI (1988), pp.267-273

Gopalsamy,K.,He,X.Z.,Xue.Z,Wen,L.Z.: Global attractivity and oscillationin periodic logistic integrodifferential equation., Houston J.Math.17(1991), pp.157-177

Kim,A.V.,Pimenov,V.G.:Numerical methods for delay differential equations. Lecture notes series Number 44, Seoul National University,Seoul 151-742, Korea

Tang,X.H.: Oscillation of first order delay differential equations with distibuted delay. Mat.Anal.Appl.289(2004), pp.367-378

BB

ZG

WXHG

PK

T

Ďakujem za pozornosť