Negotovosti GPS lociranja

• 𝑛 ≥ 4 enačb

• 𝐾𝑘=(𝑋𝑘 ,𝑌𝑘 , 𝑍𝑘)𝑇

• pozicijski vektor k-tega satelita

• 𝑐𝑡 = 𝑐 𝑑𝑡𝑘 − 𝑑𝑡• popravek meritev• c – hitrost svetlobe• 𝑑𝑡𝑘- offset ure satelita• dt – offset ure sprejemnika

• δ𝑘 – pseudo-razdalja• poračunana iz trajanja potovanja signala

(𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2 + ct = δ𝑘

Satelit v orbiti nad Zemljo

Definirajmo:

• 𝑅 = (𝑋, 𝑌, 𝑍)𝑇

• pozicijski vektor sprejemnika

• 𝑓(𝑅)= (𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2

• e=ct• olajšamo se pretvorb

• e vrača v enakih enotah kot 𝑓(𝑅)

• δ𝑘= 𝑓(𝑅) + e

(𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2 + ct = δ𝑘

5 krogel brez skupnega sekališčain Zemlja v modri

Analogno Newtnovi metodi iskanja ničel

• 𝑓(𝑅) lineariziramo po Taylorju

• z MNK* minimiziramo vektor napake

• Začetno oceno iterativno izboljšujemo• Navadno ni razpoložljivih podatkov za ocenitev

• Kot izhodišče izberemo Zemljino središče (0,0,0)𝑇

(𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2 + ct = δ𝑘

*Metoda najmanjših kvadratov

5 krogel brez skupnega sekališčain Zemlja v modri

Definirajmo:

• 𝑅𝑖𝑡𝑟+1 = 𝑅𝑖𝑡𝑟 + Δ𝑅

• 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟+1)= 𝑓 𝑅𝑖𝑡𝑟 + ∇ 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟) * Δ𝑅

•𝛿𝑓 𝑅𝑖𝑡𝑟

𝛿𝑥=−𝑋𝑘−𝑋𝑖𝑡𝑟

S𝑖𝑡𝑟𝑘 𝑅𝑖𝑡𝑟

• k oznacuje enacbo k-tega satelita

• S𝑖𝑡𝑟𝑘 (𝑅𝑖𝑡𝑟)= (𝑋

𝑘 − 𝑋𝑖𝑡𝑟)2+(𝑌𝑘 − 𝑌𝑖𝑡𝑟)

2+(𝑍𝑘 − 𝑍𝑖𝑡𝑟)2

(𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2 + ct = δ𝑘

Newtnova metoda iskanja ničel𝑆𝑖𝑡𝑟𝑘 + ∇ 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟) * Δ𝑅 + e = δ𝑖𝑡𝑟

𝑘

Konstruiramo matriko:

𝑀𝑖𝑡𝑟 =∇ 𝑓1 (𝑅𝑖𝑡𝑟) 1

∇ 𝑓2 (𝑅𝑖𝑡𝑟) 1… …

; b = δ1

δ2

∇ 𝑓𝑘 (𝑅𝑖𝑡𝑟) 1…δ𝑘

Newtnova metoda iskanja ničel

𝑆𝑖𝑡𝑟𝑘 + ∇ 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟) * Δ𝑅 + e =δ𝑘

𝑀𝑖𝑡𝑟Δ𝑅′ = b

• b !e C(M)• Iščemo 𝑝𝑟𝑜𝑗𝐶(𝑀) 𝑏

• 𝑀𝑖𝑡𝑟𝑇 (𝑀𝑖𝑡𝑟Δ𝑅′- b)=0• (𝑀𝑖𝑡𝑟Δ𝑅- b) ortogonalen C(M)

• Δ𝑅′=(𝑀𝑖𝑡𝑟𝑇 𝑀𝑖𝑡𝑟)

−1𝑀𝑖𝑡𝑟𝑇 b

Projekcija vektorja na podprostor

𝑆𝑖𝑡𝑟𝑘 + ∇ 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟) * Δ𝑅′ + e =δ𝑘

𝑀𝑖𝑡𝑟Δ𝑅′ = b

𝑅 = (4343409.085333, −124936.356557, 4653478.556897 )𝑇

Predvidena lokacija sprejemnika

𝑅 = (4343409.085333, −124936.356557, 4653478.556897 )𝑇

Predvidena lokacija sprejemnika

Definirajmo:

• 𝑁 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

• n= (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝑇

• 𝐾′𝑘=𝐾𝑘 + 𝑛

• δ′𝑘=δ𝑘 + 𝑑

• 𝑃𝑑𝑖 ; 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡 𝑛𝑎𝑝𝑎𝑘𝑒 𝑑, i-te enačbe

• 𝑃𝑛𝑖; 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡 𝑛𝑎𝑝𝑎𝑘𝑒 𝑛, i−te enačbe

• 𝑃𝑖=𝑃𝑑𝑖 *𝑃𝑛𝑖; 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡 i-te enačbe

O 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑖𝑡𝑜𝑣

Primerjava dejanskih in podanih podatkov

• Negotovost pseudo-razdalj je omejena z

• δ′𝑘 = {n = δ𝑘 − δ′𝑘≤ 10}

• Negotovost lokacije je omejena z• 𝐾′𝑘={d=|𝐾𝑘 − 𝐾′𝑘| ≤ 2};

• Obe množici imata pripadajoči P.D.*

• Vpeljemo pojem teže• Vrjetnost služi kot gostota

O 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑖𝑡𝑜𝑣

Primerjava dejanskih in podanih podatkov

*Probability distribution

Konstruiramo matriko teže

• 𝑇 =𝑃1 0 00 𝑃2 00 0 𝑃3

………

… … … …

• 𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 = 𝑇𝑀𝑖𝑡𝑟 ; l – index samplanja

• 𝑏𝑙= 𝑇𝑏 𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇

O 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑖𝑡𝑜𝑣

Probability distribution

Δ𝑅′=(𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇𝑀𝑖𝑡𝑟

𝑙 ) −1𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇b

X Y Z

4343416.04 -124942.801582 4653487.04

4343410.62 -124937.204251 4653471.130752

4343411.62 -124935.538150 4653485.582995

4343406.08 -124926.964588 4653469.087675

𝑆𝑒𝑡 𝑟𝑒š𝑖𝑡𝑒𝑣

Probability distribution

Δ𝑅′=(𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇𝑀𝑖𝑡𝑟

𝑙 ) −1𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇b

Subset rešitev

𝑆𝑒𝑡 𝑟𝑒š𝑖𝑡𝑒𝑣

Subset rešitev

𝑆𝑒𝑡 𝑟𝑒š𝑖𝑡𝑒𝑣

Subset rešitev

𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎

Začnemo s podmnožico, ki jo postopoma dopolnimo do polnosti doseženi v neskončnosti

Definirajmo:

• 𝑓(𝑥); funckija zaporednih razlik

• 𝑍; 𝑧𝑎č𝑒𝑡𝑛𝑎 𝑡𝑜č𝑘𝑎

Zaporedne razlike povprečja

𝐿 = 𝑍 + lim𝑛→∞

𝑖=0

𝑛

𝑓(𝑥)

𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎

Zaporedne razlike povprečja

𝐿≈𝑍 + lim𝑛→∞ 𝑎

𝑛

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝐿 = 𝑍 + lim𝑛→∞ 𝑎−1𝑛𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑖=1

𝑛 (𝐵 𝑖

𝑖!

𝑑𝑓𝑖−1

𝑑𝑥𝑖−1)𝑎

𝑛

𝐾𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑎 𝑓 𝑥 𝑖𝑛

𝑖=𝑎

𝑛

𝑓 𝑥 ↔ 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑛𝑜𝑠𝑡

𝐿 = 𝑍 + lim𝑛→∞

𝑖=0

𝑛

𝑓(𝑥)

𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎

lim𝑛→∞

𝑖=𝑎

𝑛1

𝑥𝑘=

1

(𝑘 − 1)(𝑎 − 1)+ lim𝑛→∞(𝑥𝑘

2+𝑘𝑥𝑘−1

12+𝑘(𝑘 − 1)𝑥𝑘−2

720+ ….)

𝑎

𝑛

lim𝑛→∞

𝑖=1

𝑛

𝑐𝑒−𝑎𝑖sin(𝑡𝑖) =𝑐𝑡

𝑎2 + 𝑡2+ lim𝑛→∞

𝑗=1

𝑛

(𝐵 𝑗

𝑗!𝐼𝑚((𝑡𝑖 − 𝑎)𝑗)

1

𝑛

lim𝑛→∞

𝑖=𝑎

𝑛

𝑐𝑒−𝑎𝑖 =𝑒𝑎

𝑒𝑎 − 1

𝑇𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑗𝑒 𝑛𝑒𝑘𝑎𝑗 𝑝𝑜𝑔𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑗𝑎𝑣𝑙𝑗𝑖𝑣𝑖ℎ 𝑣𝑟𝑠𝑡

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎 90% 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡𝑖

Za prvi približek poiščemo najmanjšo kroglo s središčem v stabilni točki, ki vsebuje 90% rešitev

Zaporedne razlike polmera krogle

X Y Z

4343408.94 -124936.91 4653478.50

Stabilna točka seta

K={R;|R−st| ≤ 18 }

𝐷𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑘𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎

Definirajmo:

• V={v=st-R};

• P={{𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2, 𝑣𝑖3};P⊂V&𝑣𝑖1 | ∗𝑣𝑖2 | ∗𝑣𝑖3};

• Poiščemo tiste 3 smeri, ki so najgosteje naseljene • dopustimo napako <ε

• *pseudo-ortogonalnost

• B(i)={𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2, 𝑣𝑖3}; • baza pri moči i

• napenja elipsoid Zaporedne razlike polmera krogle

𝐷𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑘𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎

v x y z |v|

v1 16.75 10.08 -14.44 24.30

v2 -10.99 -0.73 8.93 22.04

v3 -3.16 39.44 -0.73 14.69

v x Y z |v|

v1 -18.85 -18.81 -14.07 23.75

v2 -5.14 -5.10 5.47 22.81

v3 -13.22 -13.27 -5.12 15.19

v x y z |v|

v1 -12.19 -12.21 -19.76 24.03

v2 -5.17 -5.13 5.11 24.09

v3 16.83 16.87 -5.18 15.27

Definirajmo:

• D={24,22,15}• P; {B(i),B(j),D} ⇒ {{𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑗𝑙,D(𝑛𝑘)},…; 𝑛𝑡! = 𝑛𝑘}

• |𝑣𝑗𝑙|=|𝑣𝑗𝑘| = 𝐷(𝑛𝑘); <ε

Preslikava P je injektivna⇒ za opis seta skozi polnjenje potrebna le ena baza+ funkcija spremembe

Konstruiramo:• B‘ 𝑖 = {𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑙; 𝑙! = 𝑘}• ∇ B‘ 𝑖

𝐾𝑜𝑛č𝑛𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎

X komponenta ∇ B‘ 𝑖

𝐸′ ≈ B 𝑎 + lim𝑛→∞

𝑖=𝑎

𝑛

∇ B‘ 𝑖 ∗ Δ𝑅

Y komponenta ∇ B‘ 𝑖 Z komponenta ∇ B‘ 𝑖

𝑆𝑡𝑟𝑜ž𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎 90% 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡𝑖

Definiramo:

• E=𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑎 𝑛𝑎𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑧𝑜 𝐸′

K={R;|R−st| ≤ 18 }

𝐸′ ≈ B 𝑎 + lim𝑛→∞

𝑖=𝑎

𝑛

∇ B‘ 𝑖 ∗ Δ𝑅

S={𝐸∩K}

Set S