Natation à faible nombre de Reynolds - ljll.math.upmc.fr · Natation à faible nombre de Reynolds...
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Natation à faible nombre de Reynolds
François Alouges1
Collaborations:A. DeSimone, A. Lefebvre-Lepot,
B. Merlet, L. Heltai, L. Giraldi
1CMAPEcole Polytechnique
Décembre 2012
F. Alouges
Qu’est ce que la natation?
Définition: Capacité à se déplacer dans ou sur l’eau avec desmouvements appropriés périodiques (une brassée), et sansforce extérieure
Problème de contrôle: Etant donné un corps déformable, est-ilpossible de trouver une loi de forces internes produisant unchangement de forme périodique (une brassée) et qui induiseun déplacement par réaction sur le fluide ?
F. Alouges
Motivation
...à la microtechnologie.
ESPCI (2005), Monash University (Australia 2008), SpintecCEA GrenobleConception de micro-robots nageurs : diagnostique,microchirurgie non invasive, dépôt de médicament, réparationd’ADN, etc.)
F. Alouges
Nombre de Reynolds Re = ρULν
Dans l’eau ρν ∼ 106m−2s.
Pour un dauphin, un homme, etc., nageant dans l’eau, ona L ∼ 1m,U ∼ 1m/s et
Re ∼ 106.
Bon modèle: Equations d’Euler[ρ(∂u∂t + (u · ∇)u
)+∇p = f ,
divu = 0
Pour une bactérie L ∼ 1µm,U ∼ 1µm/s et
Re ∼ 10−6.
Bon modèle: Equations de Stokes[−ν∆u +∇p = f ,divu = 0
F. Alouges
Nombre de Reynolds Re = ρULν
Dans l’eau ρν ∼ 106m−2s.
Pour un dauphin, un homme, etc., nageant dans l’eau, ona L ∼ 1m,U ∼ 1m/s et
Re ∼ 106.
Bon modèle: Equations d’Euler[ρ(∂u∂t + (u · ∇)u
)+∇p = f ,
divu = 0
Pour une bactérie L ∼ 1µm,U ∼ 1µm/s et
Re ∼ 10−6.
Bon modèle: Equations de Stokes[−ν∆u +∇p = f ,divu = 0
F. Alouges
Situations à faible nombre de Reynolds
Dans l’eau, des tailles et des vitesses faibles U,L 1 (ungrand nombre d’écoulements biologiques)A l’échelle humaine, des fluides très visqueux ν 1, (miel,silicone, etc.)Des vitesses extrêmement faibles U 1 et/ou desfluides extrêmement visqueux (ex: glaciers)
F. Alouges
Le théorème de la coquille Saint-Jacques
(Film: G. Blanchard, S. Calisti, S. Calvet, P. Fourment, C.Gluza, R. Leblanc, M. Quillas-Saavedra)
F. Alouges
Le théorème de la coquille Saint-Jacques
Obstruction:[Purcell]En régime de Stokes, un mouvement réciproque n’induit aucundéplacement global
F. Alouges
Modélisation
Etat = (forme, position)Forme=ξ = (ξ1, · · · , ξN) (un nombre fini de variables)Position= p(∈ R3 × SO(3))
Le nageur change de forme =⇒ ξ(t) et pousse le fluide.Celui-ci réagit en suivant les équations (de Stokes) et déplace(et tourne) le nageur.
Auto-propulsion
0 ∼ mγ = Ftot
= Fvisc + Fext
= Fvisc
La force totale et le couple total appliqués au fluide par le robotsont nuls.
F. Alouges
Modélisation
Etat = (forme, position)Forme=ξ = (ξ1, · · · , ξN) (un nombre fini de variables)Position= p(∈ R3 × SO(3))
Le nageur change de forme =⇒ ξ(t) et pousse le fluide.Celui-ci réagit en suivant les équations (de Stokes) et déplace(et tourne) le nageur.
Auto-propulsion
0 ∼ mγ = Ftot
= Fvisc + Fext
= Fvisc
La force totale et le couple total appliqués au fluide par le robotsont nuls.
F. Alouges
Le système différentiel
Or Fvisc =∫∂Ω f et
f = DN(ξ,p)v
(linéarité des équations de Stokes)
v(x) = Ap + Bξ
0 = Fvisc =
∫∂Ω
DNp,ξ
(Ap + Bξ
)dx0,
0 = Tvisc =
∫∂Ω
x0 × DNp,ξ
(Ap + Bξ
)dx0.
p = V (p, ξ)ξ .
F. Alouges
Le système différentiel
Or Fvisc =∫∂Ω f et
f = DN(ξ,p)v
(linéarité des équations de Stokes)
v(x) = Ap + Bξ
0 = Fvisc =
∫∂Ω
DNp,ξ
(Ap + Bξ
)dx0,
0 = Tvisc =
∫∂Ω
x0 × DNp,ξ
(Ap + Bξ
)dx0.
p = V (p, ξ)ξ .
F. Alouges
Le système différentiel
Or Fvisc =∫∂Ω f et
f = DN(ξ,p)v
(linéarité des équations de Stokes)
v(x) = Ap + Bξ
0 = Fvisc =
∫∂Ω
DNp,ξ
(Ap + Bξ
)dx0,
0 = Tvisc =
∫∂Ω
x0 × DNp,ξ
(Ap + Bξ
)dx0.
p = V (p, ξ)ξ .
F. Alouges
Le système différentiel
Or Fvisc =∫∂Ω f et
f = DN(ξ,p)v
(linéarité des équations de Stokes)
v(x) = Ap + Bξ
0 = Fvisc =
∫∂Ω
DNp,ξ
(Ap + Bξ
)dx0,
0 = Tvisc =
∫∂Ω
x0 × DNp,ξ
(Ap + Bξ
)dx0.
p = V (p, ξ)ξ .
F. Alouges
Résumé 1
Micro-natation⇒ Re ∼ 0Equations de Stokes (linéaires)Ecoulements réversibles (théorème de la coquilleSaint-Jacques)Linéarite + autopropulsion⇒ p = V (p, ξ)ξ
F. Alouges
Exemple: le nageur de Najafi et Golestanian (2001)
&%'$B1
&%'$B2
&%'$B3
- -
a
ξ1 ξ2
-x1 x2 x3
p
En changeant ξ1 et ξ2, les sphères imposent des forcesf1, f2, f3 au fluide avec f1 + f2 + f3 = 03 variables ξ1, ξ2,p et deux paramètres de contrôleLes vitesses (et donc les forces) sont linéaires en ξ1, ξ2, p
p = V1(ξ)ξ1 + V2(ξ)ξ2
F. Alouges
Exemple: le nageur de Najafi et Golestanian (2001)
&%'$B1
&%'$B2
&%'$B3
- -
a
ξ1 ξ2
-x1 x2 x3
p
En changeant ξ1 et ξ2, les sphères imposent des forcesf1, f2, f3 au fluide avec f1 + f2 + f3 = 03 variables ξ1, ξ2,p et deux paramètres de contrôleLes vitesses (et donc les forces) sont linéaires en ξ1, ξ2, p
p = V1(ξ)ξ1 + V2(ξ)ξ2
F. Alouges
Plans tangents
On peut réécrire le système sous la forme
ddt
ξ1ξ2p
= u1
10
V1(ξ)
+u2
01
V2(ξ)
= u1F1(ξ)+u2F2(ξ)
ProblèmePeut-on trouver ξ(t) périodique tel que p ne le soit pas?
Réponse: A-t-on dim(Lie(F1,F2)) = 3?Ici:
[F1,F2] =
00
∂ξ1V2 − ∂ξ2V1
F. Alouges
Plans tangents
On peut réécrire le système sous la forme
ddt
ξ1ξ2p
= u1
10
V1(ξ)
+u2
01
V2(ξ)
= u1F1(ξ)+u2F2(ξ)
ProblèmePeut-on trouver ξ(t) périodique tel que p ne le soit pas?
Réponse: A-t-on dim(Lie(F1,F2)) = 3?Ici:
[F1,F2] =
00
∂ξ1V2 − ∂ξ2V1
F. Alouges
Contraintes holonomiques
p = W (ξ1, ξ2) p = V1(ξ)ξ1 + V2(ξ)ξ2
équivalent si V = ∇ξW c’est-à-dire rotξV = 0
F. Alouges
Le théorème de la coquille Saint-Jacques
La coquille Saint-Jacques n’a qu’un degré de liberté ξ. Lesystème devient
ξ = α(t)p = V (ξ)ξ
et p =∫ ξ V (y)dy =: W (ξ)
Si ξ est périodique, p l’est aussi...La contrainte est toujours holonomique.
F. Alouges
Le théorème de la coquille Saint-Jacques
La coquille Saint-Jacques n’a qu’un degré de liberté ξ. Lesystème devient
ξ = α(t)p = V (ξ)ξ
et p =∫ ξ V (y)dy =: W (ξ)
Si ξ est périodique, p l’est aussi...La contrainte est toujours holonomique.
F. Alouges
Un théorème de contrôle
ThéorèmeLe système de 3-sphères de Najafi et Golestanian estglobalement contrôlable.
Depuis n’importe quel état (ξi ,pi), on peut atteindre n’importequel autre état (ξf ,pf ) avec une loi de force appropriée (fi(t))itelle que
∑i fi(t) = 0 (ou de façon équivalente avec des
fonctions αi(t)).
F. Alouges
Un théorème de contrôle
ThéorèmeLe système de 3-sphères de Najafi et Golestanian estglobalement contrôlable.
Depuis n’importe quel état (ξi ,pi), on peut atteindre n’importequel autre état (ξf ,pf ) avec une loi de force appropriée (fi(t))itelle que
∑i fi(t) = 0 (ou de façon équivalente avec des
fonctions αi(t)).
F. Alouges
D’autres sytèmes contrôlables:
B
y
z
q
r
l
x
p
s
e
x1
x2
x3
x4
r1,2
e1,4
3 contrôles (resp. 4), 3 crochets de Lie (resp. 6)Contrôlabilité avec un bord (thèse de L. Giraldi)
F. Alouges
Efficacité de la natation
Lighthill
Eff−1 =
1T
∫ T
0
∫∂Ω
f · v dσ dt(∆cT
)2
=
T∫ T
0f1(t)v1(t) + f2(t)v2(t) + f3(t)v3(t) dt
∆c2
But: Trouver les trajectoires joignant (ξi , c i) à (ξf , cf ) etmaximisant l’efficacité (∆c est fixé).
F. Alouges
Efficacité de la natation
Lighthill
Eff−1 =
1T
∫ T
0
∫∂Ω
f · v dσ dt(∆cT
)2
=
T∫ T
0f1(t)v1(t) + f2(t)v2(t) + f3(t)v3(t) dt
∆c2
But: Trouver les trajectoires joignant (ξi , c i) à (ξf , cf ) etmaximisant l’efficacité (∆c est fixé).
F. Alouges
Efficacité de la natation
Cinématique: Sur ∂Ω, vitesses et forces s’exprimentlinéairement en fonction de ξ et pp s’exprime lnéairement en fonction de ξ
Eff−1 = T∫ T
0
N∑i,j=1
gij(ξ(t))ξi(t)ξj(t) dt = T∫ T
0(Gξ, ξ) dt
G = (gij) définit une métrique sur l’espace tangent à (ξ, c)
Géodésiques optimales dans un espace sous-riemannienF. Alouges
Efficacité de la natation
Cinématique: Sur ∂Ω, vitesses et forces s’exprimentlinéairement en fonction de ξ et pp s’exprime lnéairement en fonction de ξ
Eff−1 = T∫ T
0
N∑i,j=1
gij(ξ(t))ξi(t)ξj(t) dt = T∫ T
0(Gξ, ξ) dt
G = (gij) définit une métrique sur l’espace tangent à (ξ, c)
Géodésiques optimales dans un espace sous-riemannienF. Alouges
Efficacité de la natation
Cinématique: Sur ∂Ω, vitesses et forces s’exprimentlinéairement en fonction de ξ et pp s’exprime lnéairement en fonction de ξ
Eff−1 = T∫ T
0
N∑i,j=1
gij(ξ(t))ξi(t)ξj(t) dt = T∫ T
0(Gξ, ξ) dt
G = (gij) définit une métrique sur l’espace tangent à (ξ, c)
Géodésiques optimales dans un espace sous-riemannienF. Alouges
Une méthode de tir
L’équation des géodésiques sous-riemanniennes est une EDOdu 2nd ordre
− ˙(G ˙ )γ +
12
((Gξ1 γ, γ)(Gξ2 γ, γ)
)+ λcurlV (γ)γ⊥ = 0. (1)
oùG = (gij), γ = (ξ1, ξ2)t
Gξ1 =∂G∂ξ1
,Gξ2 =∂G∂ξ2
F. Alouges
Le problème de la dimension infinie
Que se passe-t-il lorsque les formes sont décrites par unnombre infini de variable?
Contrôlabilité ? Cf. Tucsnak, LohéacCrochets de Lie ?Géodésiques optimales EDO -> EPDP ?Résolution numérique
F. Alouges