Организация внешнеторговых операций Export Import Operations
narod.rulesar.narod.ru/Learn/vishk/TFKPlek.pdf1.1. Множество комплексных...
Transcript of narod.rulesar.narod.ru/Learn/vishk/TFKPlek.pdf1.1. Множество комплексных...
Теория функции комплексногопеременного. Курс лекций.
Гурина Т.А.
Глава 1
Введение в комплексный анализ
1.1 Множество комплексных чиселN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.N – множество натуральных чисел;Z – множество целых чисел;Q – множество рациональных чисел;R – множество действительных чисел;C – множество комплексных чисел.
Пример. Решим уравнение x2 − 2x+ 5 = 0x12 = 1±
√−4;√
−1 = i /∈ R;x1 = 1− 2i,x2 = 1 + 2i;
Определение 1 (Комплексное число). Говорят, что пара (комплекс)z = (x, y), x, y ∈ R является комплексным числом и пишут: x = Re z; y =Im z, если выполняются следующие условия:
1. z1 = z2, (x1, y1) = (x2, y2) ⇔ x1 = x2, y1 = y2;
2. z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2);
3. z1·z2 = (x1, y1)·(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1);
Замечание. z = (x, 0) = x – чисто действительное число; (0, y) – чистомнимое число;(0, 1) = i – мнимая единица. i2 = (0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) =(−1, 0) = −1.
2
1.1. Множество комплексных чисел 3
Теорема 1 (Свойства операций над комплексными числами).Пусть z = (x, y), z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2), z3 = (x3, y3) ∈ C. Тогдасправедливы следующие свойства:
I Свойства сложения:
1. z1 + z2 = z2 + z1 – свойство коммутативности;
2. z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – свойство ассоциативности;
3. ∃! e : z + e = z. e = (0, 0) - существование и единственностьнейтрального элемента по сложению
4. ∃! z−1 : z+z−1 = e - существование и единственность обратногоэлемента по сложению
II Свойства умножения:
1. z1·z2 = z2·z1 – свойство коммутативности;
2. z1·(z2·z3) = (z1·z2)·z3 – свойство ассоциативности;
3. ∃! e : z·e = z. e = (1, 0) - существование и единственностьнейтрального элемента по умноженио;
4. ∃! z−1 : z·z−1 = e.
z−1 =
(x
x2 + y2,−y
x2 + y2
)- существование и единственность обратного элемента поумноженио;
III Свойство дистрибутивности:(z1 + z2)·z3 = z1z3 + z2z3
Доказательство. I.1 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 +y1) = z2 + z1. Коммутативность сложения комплексных чисел следует изкоммутативности сложения действительных чисел.I.3 (x, y) + (0, 0) = (x, y), т.е. e = (0, 0) = 0 - нейтральный элемент посложению.Докажем единственность нейтрального элемента. Пусть ∃e 6= e : z + e =z ⇒ e+ z + e = z + e = z + e = z ⇒ e = e.
Замечание. Множество, обладающее свойствами I и II, называется алгебраическимполем. Множества R и Q являются алгебраическими полями; множестваN и Z алгебраическими полями не являются.
4 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Замечание. 1. Наличие обратных элементов по сложению и умножениоозначает наличие операций вычитания и деления.2. На множестве C отсутствует отношение порядка, т.е. запись видаz1 > z2 не имеет смыла.
Определение 2 (Алгебраическая форма записи комплексногочисла). z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)·(y, 0). Равенство вида
z = x+ iy
называется алгебраической формой записи комплексного числа z.
Замечание. В алгебраической форме свойства Определения 1 весьмаочевидны :z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);z1z2 = (x1 + iy1)·(x2 + iy2) = x1x2 + iy1x2 + ix1y2 + i2y1y2 = (x1x2− y1y2) ++ i(x1y2 + y1x2);
Определение 3 (Модуль и аргумент комплексного числа). Комплексноечисло можно графически представить в виде вектора, у которого перваякоордината равна действительной части комплексного числа, а вторая -мнимой (см. рисунок).Модуль комплексного числа, |z| = r =
√x2 + y2, - длина вектора.
Аргумент: ϕ = arg z, ϕ ∈ (−π, π]
-
6
y
x
z = (x, y)
Re z
Im z
0sinϕ = y/r; cosϕ = x/r;Arg z = arg z + 2πn, n ∈ Z.
Определение 4 (Тригонометрическая форма записи комплексногочисла). z = x+ iy = r cosϕ+ i r sinϕ = r(cosϕ+ i sinϕ)
z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z)
1.1. Множество комплексных чисел 5
Определение 5 (Показательная форма записи комплексного числа).Согласно формуле Эйлера: eiϕ = cosϕ+ i sinϕ, ϕ ∈ R;z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z) = r eiϕ
z = r eiϕ, z = |z|ei Arg ϕ
Алгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоватьсяпри их сложении и вычитании, а тригонометрической и показательной -при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.
Теорема 2 (Свойства операций над комплексными числами втригонометрической форме). Пусть z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1), z2 =r2(cosϕ2 + i sinϕ2), z = r(cosϕ + i sinϕ). Тогда справедливы следующиесоотношения:
1. z1 z2 = (r1 r2)(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2))
2.z1
z2
=r1r2
(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2))
3. zn = (rn)(cos(nϕ) + i sin(nϕ))
4. n√z = n
√r(cos
ϕ+ 2πk
n+ i sin(ϕ1 − ϕ2))
Доказательство. Доказательство провести самостоятельно с использованиемэлементарных формул тригонометрии.
Теорема 3 (Свойства операций над комплексными числами впоказательной форме). Пусть z = r eiϕ, z1 = r1 e
iϕ1, z2 = r2 eiϕ2 -
комплексные числа. Тогда справедливы следующие соотношения:
1. z1 z2 = (r1 r2)ei(ϕ1+ϕ2)
2.z1
z2
=r1r2ei(ϕ1−ϕ2)
3. zn = rn ei n ϕ
4. n√z = n
√ze
iϕ+2πkn , k = 0, 1, ..., (n− 1)
Доказательство. Утверждения теоремы 3 являются перефомулировкойсоответствующих утверждений теоремы 2 в показательной форме.
6 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Определение 6 (Комплексное сопряжение). Говорят, что число zявляется комплексно-сопрояженным числу z ∈ C, если Re z = Re z, аIm z = − Im z.z = x+ iy, z = x− iy;z = r(z = cosϕ+ i sinϕ, z = cosϕ− i sinϕ);z = r ei ϕ, z = r ei ϕ.
Теорема 4 (Свойства комплексного сопряжения). Пусть z1, z2, z– комплексные числа.
1. (z1 + z2) = z1 + z2
2. (z1 · z2) = z1 · z2
3. (zn) = (z)n
4.(z1
z2
)=z1
z2
5. z · z = |z|2
6. (z) = z
Доказательство. Доказывается непосредственно на основании свойствалгебраической, тригонометрической и показательной форм записи комплексногочисла.
Теорема 5 (Свойства модулю комплексного числа). Пусть z1, z2, z– комплексные числа.
1. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|;
2. |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|;
3. |z1 · z2| = |z1| · |z2|;
4.∣∣∣∣z1
z2
∣∣∣∣ =|z1||z2|
;
5. |z| = |z|;
6. |zn| = |z|n.
Теорема 6 (Свойства аргумента комплексного числа). Пусть z1, z2, z– комплексные числа.
1.1. Множество комплексных чисел 7
1. arg(z1 · z2) = arg z1 + arg z2;
2. arg
(z1
z2
)= arg z1 − arg z2;
3. arg(zn) = n · arg(z);
4. arg n√z =
arg z + 2πk
n, k = 0, . . . , (n− 1).
8 Глава 1. Введение в комплексный анализ
1.2 Топология множества C
Определение 1 (Комплексная плоскость). Геометрически удобнопредставлять комплексные числа в виде векторов.(x, 0) – вещественная ось;(0, y) – мнимая ось;(x, 0) ∩ (0, y) = (0, 0) = 0.
-
6
y
x
z = (x, y)
Re z
Im z
0
C ↔ R2, C ↔ V – пространство геометрических векторов.
Сумме (разности) комплексных чисел z1 и z2 соответствует сумма (разность)соответствующих векторов. Произведению комплексных чисел соответствуетвектор, лежащий под углом ϕ1+ϕ2 к вещественной оси, с длиной, равнойпроизведению модулей перемножаемых комплексных чисел. Частномусоответствует вектор, лежащий под углом ϕ1−ϕ2 к вещественной оси, сдлиной, равной частному модулей. Комплексному сопряжению соответствуетвектор, симметричный z относительно вещественной оси.
1.2. Топология множества C 9
Определение 2 (Метрика на множестве C). Пусть z1, z2 ∈ C.Функция d(z1, z2) := |z1−z2| =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 называется метрикой.
Замечание. Метрика обладает следующими свойствами:
1. d(z1, z2) = 0 ⇔ z1 = z2;
2. d(z1, z2) = d(z2, z1);
3. d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z2, z3) – неравенство треугольника.
Определение 3 (Окрестность в C). Пусть c ∈ C, ε ∈ R, ε > 0. ε-окрестностью точки c называется множествоUε(c) := z ∈ C | d(z, c) < ε.UM(∞) := z ∈ C | d(z, 0) > M.
10 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Замечание. Uε(c) и UM(∞) - открытые множества.
Определение 4 (Предел комплексной последовательности). Пустьзадана последовательность zn ⊂ C. c = lim
n→∞zn :⇔ ∀Uε(c)∃ N :
∀ n > N zn ∈ Uε(c)
Замечание (Свойства пределов комплексных последовательностей).
1. z′n → c′, z′′n → c′′ ⇒
z′n + z′′n → c′ + c′′,
z′n · z′′n → c′ · c′′,z′nz′′n
→ c′
c′′, c′′ 6= 0.
2. zn = xn + iyn, c = a+ ib.zn → c⇒ xn → a, yn → b.
3. zn = rneiϕn , c = |c|ei arg c,
zn → c⇒ rn → |c|.
4. rn → c, ϕn → arg c⇒ zn → c
Определение 5 (Бесконечно удаленная точка).lim
n→∞zn = ∞ :⇔ ∀UM(∞)∃N : ∀n > N zn ∈ UM(∞).
Замечание. Бесконечно удаленная точка - это внешность сколь угоднобольшого круга на комплексной плоскости. Или бесконечно удаленнаяточка - это объединение всех точек окружности бесконечно большогорадиуса.
Определение 6 (Бесконечно удаленная точка).lim
n→∞zn = ∞ :⇔ ∀UM(∞)∃N : ∀n > N zn ∈ UM(∞).
Определение 7 (Расширенная комплексная плоскость). МножествоC = C ∪ ∞ называется расширенной комплексной плоскостью.
Замечание. Склеивая точки окружности сколь угодно большого радиусаили добавляя точку бесконечность к множеству конечных комплексныхчисел, мы приходим к пониманию множества комплексных чисел каксферы.
1.2. Топология множества C 11
Определение 8 (Стереографическая проекция. Сфера Римана).
Как было сказано выше, склеим всеточки окружности бесконечно большогорадиуса. Полученная сфера называетсясферой Римана. Чтобы получитьстереографическую проекцию какой-либо точки z комплексной плоскости,необходимо
провести прямую, соединяющую точки z и N . Точка пересечения прямойи сферы и будет искомой проекцией.
Определение 9 (Открытое и замкнутое множества в C, границамножества). Говорят, что множество Ω ∈ C является открытым, еслилюбая точка, принадлежащая множеству Ω, входит в него вместе со своейокрестностью.
∀c ∈ Ω ⇒ U(c) ∈ Ω.Говорят, что точка c ∈ Γ является граничной, если любая окрестностьU(c) содержит как точки, принадлежащие Ω, так и не принадлежащиеΩ.
Замыканием открытого множества Ω - Ω назовем объединение этогомножства с границей:Ω = Ω
⋃Γ.
Замечание. Множество C открыто, множество C - замкнуто.
Определение 10 (Связное и несвязное множества). Множество Ωназывается связным, если любые две его точки можно соединить кривой,принадлежащей этому множеству. Если существуют точки, которые нельзясоединить кривой, целиком лежащей в Ω, множество Ω называется несвязным.
12 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Замечание. Множество Ω называется областью, если оно одновременноявляется открытым и связным.
Определение 11 (Односвязное и многосвязное множества). МножесвоΩ называется односвязным, если любую замкнутую кривую, принадлежащуюмножеству Ω можно непрерывным преобразованием стянуть в точку,также принадлежащую множеству Ω. В противном случае множествоназывается неодносвязным или многосвязным ("множество с дырками").
1.3. Функции комплексного переменного 13
1.3 Функции комплексного переменногоОпределение 1 (Комплексная функция действительного переменного).Пусть (t1, t2) ∈ R, кривая Γ ∈ C. g(t) - комплексная функция действительногопеременного t :⇔ g(t) : (t1, t2) → Γ.
Замечание.
1. Функция g(t) может быть представлена в виде g(t) = g1(t) + ig2(t).
2. g(t) ∈ C(t0), t0 ∈ (t1, t2) ⇔ g1(t), g2(t) ∈ C(t0);g(t) ∈ D(t0) ⇔ g1(t), g2(t) ∈ D(t0), причем g′(t0) = g′1(t0) + ig′2(t0).
Также справедливо, t→ t0, или ∆t = t− t0 → 0, g(t)− g(t0) = g′(t0)∆t++ o(∆t).Точки на касательной к кривой Γ в точке c = g(t0): l(t) = c+ g′(t0)∆t.Определение 2 (Комплексная функция комплексного переменного).Пусть Z,W ∈ C, z = x+ iy ∈ Z, w = u+ iv ∈ W .
14 Глава 1. Введение в комплексный анализ
f(z) - комплексная функция комплексного переменного :⇔ ∃f : Z → W ,f : z 7→ w,w = f(z).При этом f : (x, y) 7→ (u, v);u = u(x, y),v = v(x, y);
R2 → R
Вещественное представление комплексной функции комплексного переменногоимеет вид: f(z) = u(x, y) + iv(x, y).
Определение 3 (Предел функции комплексного переменного).Пусть f : Z → W , c ∈ Z, p ∈ W .limz→c
f(z) = p :⇔ ∀Uε(p)∃Uδ(c) : ∀z ∈ Uδ(c) f(z) ∈ Uε(p).
Определение 4 (Непрерывность функции комплексного переменного).Пусть f : Z → W, c ∈ Z, f(c) ∈ W . Говорят, что функция f непрерывна вточке c и пишут: f ∈ C(c), если ∃ lim
Z3z→cf(z) = f(c).
Теорема 1 (Критерий непрерывности функции комплексногопеременного). Пусть дана функция f : Z → W, c = a + ib ∈ Z,f(z) = u(x, y) + iv(x, y), f(c) = u(a, b) + iv(a, b).Чтобы функция f была непрерывна в точке c, необходимо и достаточно,чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в точке (a, b), т.е.чтобы u(x, y), v(x, y) ∈ C(a, b).
Доказательство. Докажем необходимость.∀Uε
(u(a, b)
)∃Uδ(a, b) : ∀ (x, y) ∈ Uδ(a, b)u(x, y) ∈ Uε
(u(a, b)
), т.е. u(x, y) ∈
C(a, b).Аналогично доказывается, что v(x, y) ∈ C(a, b).
1.3. Функции комплексного переменного 15
Докажем достаточность.
∀Uε√
2
(f(c)
)∃Uδ(c)
(δ = min(δ1, δ2)
): ∀z ∈ Uδ(c) f(z) ∈ Uε
√2
(f(c)
)⇒ f ∈
C(c).
Определение 5 (Комплексная дифференцируемость функциикомплексного переменного). f : Z → W, c ∈ Z,∆z ∈ Z;
f ∈ DC(c) :⇔ ∃ lim∆z→0
f(c+ ∆z)− f(c)
∆z= f ′(c).
Определение 6 (Комплексная дифференцируемость функциикомплексного переменного).f ∈ DC(c) :⇔ f(c+ ∆z)− f(c) = C∆z + o(∆z), ∆z → 0.c, ∆z ∈ Z; f(c), f(c+ ∆z), c∆z, o(∆z) ∈ W ;C : Z → W, C(λ1∆z1 + λ2∆z2) = λ1C∆z1 + λ2C∆z2, C = A + iB, ∆z =∆x+ i∆y.o(∆z) : Z → W, o(∆z) = o1(
√∆x2 + ∆y2) + io2(
√∆x2 + ∆y2);
∆x,∆x→ 0.
16 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Замечание. Определения 6 и 5 эквивалентны, но определение 6 являетсяболее удобным для доказательства.
Определение 7 (Вещественное дифференцирование функции комплексногопеременного).f(z) = u(x, y) + iv(x, y);c = a+ ib;f ∈ DR(c) :⇔ u(x, y), v(x, y) ∈ D(a, b).
Замечание. В отличие от комплексной функции действительного переменного,дифференцируемости действительной и мнимой частей недостаточно длякомплексной дифференцируемости функции комплексного переменного.
Теорема 2 (Критерий комплексной дифференцируемоси функциикомплексного переменного (Коши-Риман)). Пусть задана функциякомплексного переменного:f : Z → W, f(z) = u(x, y) + iv(x, y);c = a+ ib ∈ Z;f ∈ DC(c) ⇔
1. f ∈ DR(c);
2. В точке (a, b) выполняются условия Коши-Римана:∂u
∂x=∂v
∂y,∂u
∂y= −∂v
∂x,
Доказательство. Докажем, что из комплексной дифференцируемостиФКП следует выполнение условий (1) и (2).f(c+ ∆z) = f(c) = C∆z + o(∆z), ∆z → 0.f(c+ ∆z) = u(a+ ∆x, b+ ∆y) + iv(a+ ∆x, b+ ∆y).∆z = ∆x+ ∆y, C = A+ iB,f(c) = u(a, b) + iv(a, b);u(a+ ∆x, b+ ∆y) + iv(a+ ∆x, b+ ∆y)− u(a, b)− iv(a, b) = (A+ iB)(∆x++ i∆y) + o1(
√∆x2 + ∆y2) + o2(
√∆x2 + ∆y2),
u(a+ ∆x, b+ ∆y)− u(a, b) = A∆x−B∆y + o1(√
∆x2 + ∆y2),
1.3. Функции комплексного переменного 17
v(a+ ∆x, b+ ∆y)− v(a, b) = B∆x+ A∆y + o2(√
∆x2 + ∆y2).Таким образом, v(x, y), v(x, y) ∈ D(a, b).∂u
∂x= A,
∂u
∂y= −B, ∂v
∂x= B,
∂u
∂y= A ⇒ f(t) ∈ DR(c).
∂u
∂x=∂v
∂y,∂u
∂y= −∂v
∂x,
т. е. условия Коши-Римана выполнены.Теперь докажем обратное: из условий (1) и (2) следует комплекснаядифференцируемость ФКП.u(x, y), v(x, y) ∈ DR(c).
u(a+ ∆x, b+ ∆y)− u(a, b) =∂u
∂x∆x+
∂u
∂y∆y + o1(
√∆x2 + ∆y2)
v(a+ ∆x, b+ ∆y)− v(a, b) =∂v
∂x∆x+
∂v
∂y∆y + o2(
√∆x2 + ∆y2)
⇒
⇒ f(c+ ∆z)− f(c) =
(∂u
∂x+ i
∂v
∂x
)∆x+
(∂v
∂x+ i
∂v
∂y
)∆y + o(∆z);
f(c+ ∆z)− f(c) =
(∂u
∂x− i
∂u
∂y
)∆x+
(∂u
∂x− i
∂u
∂y
)∆y + o(∆z);
f(c+ ∆z)− f(c) =
(∂u
∂x− i
∂u
∂y
)︸ ︷︷ ︸
C
(∆x+ i∆y)︸ ︷︷ ︸∆z
+o(∆z) = C∆z + o(∆z) ⇒
⇒ f ∈ DC(c).
f ′(c) = C =∂u
∂x− i
∂u
∂y=∂v
∂y+ i
∂v
∂x.
Теорема 3 (Свойства комплексно-дифференцируемой функциикомплексного переменного). Для комплексно-дифференцируемых функцийкомплексного переменного справедливы следующие свойства:
1. f(z), g(z) ∈ DC(c) ⇒ f(z)±g(z), f(z) ·g(z), f(z)
g(z)∈ DC(c), причем
(f ± g)′(c) = f ′(c)± g′(c);
(f · g)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c);(f
g
)(c) =
f ′(c)g(c)− f(c)g′(c)
g2(c), g(c) 6= 0.
2. f ∈ DC(c), g ∈ DC(f(c)
)⇒ g
(f(z)
)∈ DC(c), причем(
g(f))′
(c) = g′(f(c)
)· f ′(c).
3. Если f ∈ DC(c), f ′(c) 6= 0, ∃ f−1 : U(f(c)
) C−→ U(c) ⇒ f−1 ∈DC(f(c)
), причем
18 Глава 1. Введение в комплексный анализ
(f−1)′(f(c)
)=
1
f ′(c)=
1
f ′(f−1(f(c)
)) .Доказательство. Свойства 1-3 доказываются на основе определения 6
Замечание (Отображение кривых и производных). γ : (t1, t2) → Γ,f : Γ → fΓ, γ(t0) = c ∈ Γ, f ′(c) 6= 0, γ ∈ D(t0).
γ(t)︸︷︷︸z
= γ(t0)︸ ︷︷ ︸z0
+ γ′(t0)∆t+ o(∆t)︸ ︷︷ ︸∆z
, ∆t→ 0;
f(z) = f(c) + f ′(c) ·(γ′(t0)∆t+ o(∆t)
)+ o(γ′(t0)∆t+ o(∆t)
)⇒
f(γ(t)
)= f(c) + f ′(c) · γ′(t0)∆t︸ ︷︷ ︸(
f(γ))′
(t0)
+o(∆t).
(f(γ)
)′(t0) = f ′(c) · γ′(t0)
Теорема 4 (Геометрический смысл модуля и аргумента производной).Пусть задана функция f : Z → W, f ∈ DC(c), f ′(c) 6= 0. Тогда
1.∣∣f ′(c)∣∣ - коэффициент локального растяжения плоскости под действиемf .
2. arg(f ′(c)
)- угол локального поворота плоскости под действием f .
Замечание. Теорема 4 утверждает, что при действии отображения f ,имеющего ненулевую производную, комплексная плоскость локально поворачиваетсяи растягивается.
1.3. Функции комплексного переменного 19
Доказательство. Рассмотрим кривую Γ.γ : (t1, t2) → Γ, γ(t0) = c
f ′(c) =
(f(γ)
)′(t0)
γ′(t0),
∣∣f ′(c)∣∣ =
∣∣∣(f(γ))′
(t0)∣∣∣∆t∣∣γ′(t0)∣∣∆t ⇒
∣∣f ′(c)∣∣ =
∣∣∣∆f(γ(t))∣∣∣∣∣∆γ(t)∣∣ - коэффициент локального
растяжения.arg f ′(c) = arg
(f(γ)
)′(t0)−arg γ′(t0) ⇒ arg f ′(c) - угол локального поворота.
Теорема 5 (Свойство сохранения углов между кривыми).f : Z → W, f ∈ DC(z0), f
′(c) 6= 0;Γ1, Γ2 ⊂ Z; c = Γ1
⋂Γ2; α = Γ∧1 Γ2 ⇒ fΓ∧1 fΓ2 = α.
Доказательство. α - угол между касательными к Γ1 и Γ2. Под действиемf касательные к кривым Γ1 и Γ2 перейдут в касательные к кривым fΓ1 иfΓ2, которые повернутся на один и тот же угол arg f ′(c). Следовательно,угол между касательными сохранится.
Определение 8 (Аналитическая ФКП).f : Z → W, c ∈ Z.Говорят, что ФКП f(z) - аналитическая в точке c
(f ∈ O(c)
), если ∃U(c) :
f ∈ DC(U(c)
).
Замечание. Аналитические функции называют также голоморфными.В действительном анализе аналитическими называются функции, ряд
20 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Тейлора которых сходится к самой функции. Далее буде доказано, чтоопределение 8 для комплексных функций эквивалентно действительномуопределению.Предварительно мы докажем, что функция комплексного переменного,дифференцируемая в точке один раз, дифференцируема в этой точкесколько угодно раз
(f ∈ DC(c) ⇒ f ∈ DC∞(c)
).
Определение 9 (Гармонические функции действительных переменных).
Φ(x, y) : Ω → R, Ω ⊂ R2;Φ(x, y) - гармоническая в Ω :⇔ ∀(x, y) ∈ Ω Φ(x, y) ∈ D2(x, y) и удовлетворяетуравнению Лапласа:
∂2Φ
∂x2+∂2Φ
∂y2= 0.
Теорема 6 (Гармоничность вещественного представления аналитическойфункции). f : Z → W, f ∈ O(z), f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ⇒ u(x, y), v(x, y)- гармонические в Z ⊂ R2.
Доказательство. f ∈ DC(c) ⇒ f ∈ DC2(z), f ∈ C2(z) ⇒ u(x, y), v(x, y) ∈
C2(z).
∂u
∂x=∂v
∂y⇒ ∂2u
∂x2=
∂2v
∂x∂y
∂u
∂y= −∂v
∂x⇒ ∂2u
∂y2= − ∂2v
∂x∂y
⇒
∂2Φ
∂x2+∂2Φ
∂y2= 0.⇒ u(x, y) - гармоническая в z.
Аналогично доказывается гармоничность функции v(x, y).
1.4. Основные элементарные функции и их свойства 21
1.4 Основные элементарные функции и ихсвойства
1.4.1 Линейная функция
w = az + b, где a, b = const ∈ C.Линейная функция обратима: z =
1
aw − b
a, a 6= 0; ∞ 7→ ∞; C ↔ C.
Утверждение 1. Линейная функция является последовательностьюрастяжения, поворота и сдвига.
Доказательство. Растяжение: w1 = |a|z;поворот: w2 = w1e
i arg a, (a = |a|ei arg a);сдвиг: w = w3 = w2 + b.
Утверждение 2. Линейное отображение обладает круговым свойством(окружность переходит в окружность, прямая - в прямую).
Доказательство. z − z0 = Reit, t ∈ [0, 2π];
z =1
aw − b
a, z0 =
w0
a− b
a
1
aw − 1
aw0 = Reit, w − w0 = |a|Rei(t+arg a) - точки
окружности.z − z0 = teiϕ, t ∈ R+;1
aw − 1
aw0 = teiϕ
w − w0 = t|a|ei(ϕ+arg a) - прямая.
Утверждение 3. Линейное отображение является преобразованиемподобия.
Доказательство. Очевидно.
1.4.2 Обратная функция
w =1
z; 0 7→ ∞; ∞ 7→ 0, z =
1
w; C → C
Утверждение 1. Обратное отображение является последовательностьюинверсии и отражения.
Доказательство. w1 =1
z; w2 = w1;
w1 - симметричное отражение относительно единичной окружности.
22 Глава 1. Введение в комплексный анализ
|z| · |w1| = |z| 1
|z|= 1; argw1 = arg z
Утверждение 2 (Круговое свойство). Окружности и прямые,проходящие через точку z = 0, переходтят в прямые, а точки, непроходящие через z = 0, переходят в окружности.
Доказательство.A(x2 + y2) +Bx+ Cy +D = 0;
x2 + y2 = zz, x =z + z
2, y =
z + z
2i⇒
Azz +
(B
2+C
2i
)z +
(B
2− C
2i
)z +D = 0;
z =1
w, z =
1
w, тогда
A1
ww+
(B
2+C
2i
)1
w+
(B
2− C
2i
)1
w+D = 0,
Dww +
(B
2− C
2i
)w +
(B
2+C
2i
)w + A = 0.
Утверждение 3 (Сохранение симметричных точек). Пустьz1 и z2 - симметричные точки.|z1| · |z2| = R2,
1
|w1|· 1
|w2|= R2
1.4. Основные элементарные функции и их свойства 23
1.4.3 Дробно-линейная функция
w =az + b
cz + d;
ad 6= cb; z =b− dw
cw − a; −d
c7→ ∞; ∞ 7→ a
c.
Утверждение 1. Дробно-линейная функция является последовательностьюлинейной, обратной и линейной функций.
Доказательство.
w =c(az + b)
c(cz + d)=a(cz + d) + bc− ad
c(cz + d)=a
c+
bc− ad
c(cz + d);
w1 = cz + d, w2 =1
w1
, w3 =bc− ad
cw2 +
a
c.
Утверждение 2. Для дробно-линейной функции характерны круговоесвойство и свойство сохранения симметрии точек (см. выше)
Утверждение 3 (Отображение 3-х точек).∀z1, z2, z3 ∈ C и ∀w1, w2, w3 ∈ C∃! w = f(z) =
az + b
cz + d, w(zj) = wj, j = 1, 2, 3.
Доказательство.f1 : z1 7→ 0, z2 7→ 1, z3 7→ ∞,
f1(z) =z − z1
z − z3
· z2 − z3
z2 − z1
;
f2 : w1 7→ 0, w2 7→ 1, w3 7→ ∞,
f2(w) =w − w1
w − w3
· w2 − w3
w2 − w1
.
24 Глава 1. Введение в комплексный анализ
f(z) = f−12
(f1(z)
)⇔ f1(z) = f2(w)
w − w1
w − w3
· w2 − w3
w2 − w1
=z − z1
z − z3
· z2 − z3
z2 − z1
;
Единственность доказывается от противного.
Замечание. Формула трех точек работает и в случае бесконечно удаленныхточек, при этом отношения, содержащие бесконечно удаленную точку вчислителе и знаменателе, заменяются единицей.
Пример. Написать дробно-линейную функцию, отображающую единичныйкруг на верхнюю полуплоскость.
Z = |z| < 1, W = Imw > 0.
z1 = 0 7→ w1 = i;z2 = 1 7→ w2 = 0;z3 = ∞ 7→ w3 = −i;w − i
w + i· 0 + i
0− i=
z − 0
z −∞· 1−∞
1− 0;
−w − i
w + i= z;
1.4. Основные элементарные функции и их свойства 25
−w − i
w + i= z;
w − i = −z(w + i), w + wz = i− iz;
w =−iz + i
z + i.
1.4.4 Степенная функция и радикал
w = zn, n ∈ Z+.
z = n√w.
w = z2, z = sqrtw
Замечание (Поверхность Римана).
Пример (Функция Жуковского).
w =1
2
(z +
1
z
)=z2 + 1
2z;
w − 1
w + 1=
(z − 1
z + 1
)2
;
z = reiϕ,1
z=
1
re−iϕ;
w =1
2
(reiϕ +
1
re−iϕ
)=
1
2r(cosϕ+ i sinϕ) +
1
2r(cosϕ− i sinϕ);
26 Глава 1. Введение в комплексный анализ
w = u+ iv;
u =1
2
(r +
1
r
)cosϕ,
v =1
2
(r − 1
r
)sinϕ;
1.4.5 Экспонента и логарифм
Определение 1.ez := lim
n→∞
(1 +
z
n
)n
Утверждение 1. ez = ex (cos y + i sin y)
Доказательство. Найдём |ez| −?∣∣∣∣(1 +z
n
)n∣∣∣∣ =
∣∣∣∣1 +x+ iy
n
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ (1 +x
n
)+ i
y
n
∣∣∣∣n =
((1 +
x
n
)2
+(yn
)2)n/2
=
=
(1 +
2x
n+x2 + y2
n2
)n/2
, при n → ∞
это эквивалентно(1 +
2x
n
)n/2
→ ex, при n→∞.
Таким образом, |ez| = ex.
Найдём arg(ez)−?
arg(1− z
n
)n
= n arg((
1 +x
n
)+ i
y
n
)= n arctg
(y
n+(1 + x
n
)) ∼∼ n
y
n= y, при n → ∞
1.4. Основные элементарные функции и их свойства 27
Таким образом, arg ez = y. Следовательно, ez = ex (cos y + i sin y)
Утверждение 2. ez1+z2 = ez1 · ez2
Доказательство.
ez1 · ez2 = ex1 (cos y1 + i sin y1) · ex2 (cos y2 + i sin y2) =
= ex1ex2 (cos (y1 + y2) + i sin (y1 + y2)) = ez1+z2
Утверждение 3. ez – периодическая функция. Период T = 2πi
Доказательство.
ez+T = ez, eT = 1, T = T1 + iT2
eT (cosT2 + i sinT2) = e0 (cos 2π + i sin 2π)
T1 = 0, T2 = 2πk, T = i 2πk, T = i 2πk
Утверждение 4. eiz = cos z + i sin z — Формула Эйлера.
Доказательскво позже.
Утверждение 5.
z = x+ i 0 ⇒ w = ez = ex(cos 0 + i sin 0) = ex
z = x+ i 2π ⇒ w = ez = ex(cos 2π + i sin 2π) = ex
Определение 2. Натуральный комплексный логарифм,обратный z = ew, обозначается w = ln z.
28 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Утверждение 1. Из того, что argw 6= 0 следует что0 < Im z < 2π
Утверждение 2. ln(z1 · z2) = ln z1 + ln z2
Доказательство.
z1 · z2 = eln(z1·z2), z1 = eln z1 , z2 = eln z2 , eln z1 · eln z2 = eln z1+ln z2 = z1 · z2
Утверждение 3. ln z = ln |z|+ i arg z
Доказательство.
z = |z|ei arg z, ln z = ln |z|+ ln ei arg z = ln |z|+ i arg z
Замечание. Многозначный логарифм
Ln z = ln z + iArg z = ln |z|+ i arg z + i πk, k = 0,±1,±2, ...
1.4.6 Тригонометрические функции и обратные к нимei z = cos z + i sin z, e−i z = cos z − i sin z,
cos z :=ei z + e−i z
2, sin z :=
ei z − e−i z
2 i.
Утверждение 1. cos z является композицией линейной функции,экспоненты, функции Жуковского.
Доказательство. w1 = i z, w2 = ew1 , w3 = 12
(w2 + 1
w2
)
1.4. Основные элементарные функции и их свойства 29
Утверждение 2.
tg z :=sin z
cos z; T = π
Определение 1. Арккосинус z – функция обратная к z = cosw обозначаетсяw = arccos z
Утверждение 1. arccos z = −i ln(z +
√z2 − 1
).
Доказательство.
z = ei w+e−i w
2
∣∣∣× 2 ei w
e2 i w − 2 z ei w + 1 = 0 ln(z +
√z2 − 1
)= i w,
ei w = z +√z2 − 1, w = −i ln
(z +
√z2 − 1
).
Замечание. Многозначный арккосинус
Arccos z := −iLn(z +
√z2 − 1
)Упражнение. Дать утверждения для arcsin z, arctg z.
30 Глава 1. Введение в комплексный анализ
1.4.7 Гиперболические функции и обратные к ним
ch z :=ez + e−z
2,
sh z :=ez − e−z
2 i,
T = 2πi
th z :=sh z
ch z, T = πi
Замечание. w = arcch z обратна к z = chw
z = ew+e−w
2, w = ln
(z +
√z2 − 1
),
e2w − 2zew + 1 = 0, arcch z = ln(z +
√z2 − 1
),
ew = z +√z2 − 1, Arcch z = Ln
(z +
√z2 − 1
).
Упражнение. Вывести arcsh z, arcth z.Упражнение. Рассмотреть отображение комплексной плоскости функцией
ch z.
1.5 Комплексное интегрированиеОпределение 1 (Интеграл комплексной функции действительногопеременного).
g : [t1, t2] 7→ Γ ⊂ C, g(t) := g1(t)+i g2(t), g(t) ∈ C (Γ ) , g1,2 : [t1, t2] 7→ R∫Γ
g(t) dt :=
t2∫t1
g1(t) dt+ i
t2∫t1
g2(t) dt
Определение 2 (Интеграл комплексной функции комплексногопеременного).
f : Γ → C, Γ ⊂ C, γ(t) : [t1, t2]′ 7→ Γ, γ(t) ∈ C1 [t1, t2]∫
Γ
f(z) dz :=
∫Γ
f(γ(t)
)γ′(t) dt
Определение 2’ (Интеграл комплексной функции комплексногопеременного).
∫Γ
f(z) dz := limµ→0
k−1∑j=0
f (ξj) ∆zj,
∆zj = zj+1 − zj, µ = max |∆zj|
1.5. Комплексное интегрирование 31
Замечание. Определнние 2 и Определение 2’ эквивалентны. Этоможно доказать, перейдя к интегральной сумме в определенном интегралепо t.
Теорема 1 (Независимость интеграла от задания кривой).
γ1 : [t1, t2]C1
7−→ Γ
γ2 : [s1, s2]C1
7−→ Γγ1(t) = γ2(s) = z
Следовательно,∫Γ
f(γ1(t)
)γ′1(t) dt =
∫Γ
f(γ2(s)
)γ′2(s) ds
Доказательство. Рассмотрим отображение h : [t1, t2]C1
7−→ [s1, s2]s = h(t), t = h−1(s), h(t1) = s1, h(t2) = s2,
Тогда γ2(s) = γ2(t) = γ1
(h−1(s)
), γ′2(s) = γ′1
(h−1(s)
)·(h−1(s)
)′= γ′1(t)
1
h′(t),
ds = d h(t) = h′(t) dt
s2∫s1
f(γ2(s)
)γ′2(s) ds =
t2∫t1
f(γ1(t)
)γ′1(t)
1
h′(t)h′(t) dt
Теорема 2 (Свойство линейности).
∀λ1, λ2 ∈ C∫Γ
(λ1f1(z) + λ2f2(z)
)dz = λ1
∫Γ
f1(z) dz + λ2
∫Γ
f2(z) dz
Доказывается исходя из Определения 2 и свойства линейного определённогоинтеграла.
Теорема 3 (Аддитивность).
f : Γ −→ C,∫Γ
f(z) dz =
∫Γ1
f(z) dz +
∫Γ2
f(z) dz,
z0 – начальная точка Γ, Γ1,zm – начальная точка Γ2
32 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Доказательство.
k−1∑j=0
f(ξj)∆zj =m−1∑j=0
f(ξj)∆zj +k−1∑j=m
f(ξj)∆zj, µ = max |∆zj| → 0
∫Γ
f(z) dz =
∫Γ1
f(z) dz +
∫Γ2
f(z) dz
1.5. Комплексное интегрирование 33
Теорема 4 (Зависимость комплексного интеграла от ориентациикривой).
∫Γ−
f(z) dz = −∫
Γ+
f(z) dz
Доказательство.
0∑j=k−1
f(ξj)∆∼zj = −
k−1∑j=0
f(ξj)∆zj ∆∼zj = zj − zj+1 = −∆zj, При µ→ 0
Теорема 5 (Вещественное представление комплексного чесла).
f(z) = U(x, y) + i V (x, y),∫Γ
f(z) dz =
∫Γ
U(x, y) dx− V (x, y) dy + i
∫Γ
V (x, y) dx+ U(x, y) dy
Доказательство.
∆zj = ∆xj + i∆yj, ξj = xj + i yj, µ→ 0, ∆xj → 0, ∆yj → 0
k−1∑j=0
f(ξj)∆zj =k−1∑j=0
(U(xj, yj) + i V (xj, yj)
)(∆xj + i∆yj) =
=k−1∑j=0
U(xj, yj)∆xj + i V (xj, yj)∆yj
Теорема 6 (существования комплексного интеграла).(достаточное условие)
f(z) = U(x, y) + i V (x, y), f ∈ C(Γ ) ⇒ ∃∫Γ
f(z) dz
34 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Доказательство.
f ∈ C(Γ ) ⇒ U(x, y), V (x, y) ∈ C(Γ ) ⇒
⇒ ∃∫Γ
U dx− V dy + i
∫Γ
V dx+ U dy =
∫Γ
f(z) dz ⇒ ∃∫Γ
f(z) dz
Теорема 7 (Оценка комплексного интеграла).∣∣∣∣∣∣∫Γ
f(z) dz
∣∣∣∣∣∣ < supz∈Γ
|f(z)| · LΓ
Доказательство.∣∣∣∣∣∣∫Γ
f(z) dz
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ limµ→0
k−1∑j=0
f(ξj)∆zj
∣∣∣∣∣∣ 6 limµ→0
k−1∑j=0
|f(ξj)| · |∆zj|
limµ→0
(sup
06j6k−1|f(ξj)| ·
k−1∑j=0
|∆zj|
)6 sup
z∈Γ|f(z)| lim
µ→0
k−1∑j=0
|∆zj| =
= supz∈Γ
|f(z)| · LΓ
Определение 3 (Первообразная комплексной функции комплексногопеременного). F (z) : Z → W – первообразная функции f(z) : Z → Wна Z :⇔ ∀z ∈ Z F ′(z) = f(z).
Глава 2
Основные свойствааналитических функций
2.1 Формула Ньютона-Лейбница
Определение 1 (Первообразная ФКП). Смотри (пар. 1.5 на стр. 34)
Теорема 1 (Ньютона-Лейбница).
f : Z → W, Γ ∈ Z, f ∈ DC(Z) ≡ O(Z),F (z) – первообразная f(z) на Z
Тогдаzk∫
z0
f(z) dz = F (z)∣∣∣zk
z0
Доказательство.
f(z) = U(x, y) + i V (x, y),z0 = x0 + i y0
zk = xk + i yk
zk∫z0
f(z) dz =
(xk, yk)∫(x0, y0)
U(x, y) dx − V (x, y) dy +
(xk, yk)∫(x0, y0)
V (x, y) dx + U(x, y) dy $
U(x, y) dx− V (x, y) dy = dU1(x, y)V (x, y) dx+ U(x, y) dy = dU2(x, y)
т.к.
35
36 Глава 2. Основные свойства аналитических функций
∂V
∂y=∂U
∂x;∂U
∂y= −
∂V
∂x⇒
∂U
∂y=∂(−V )
∂x− условия полного дифференциала.
$
(xk, yk)∫(x0, y0)
dU1(x, y) + i
(xk, yk)∫(x0, y0)
dU2(x, y) = U1(x, y)+iU2(x, y)∣∣∣(xk, yk)
(x0, y0)= U(z)
∣∣∣zk
z0
Докажем, что U(z) = U1(x, y) + iU2(x, y) – первообразная f(z).
U′(z) =∂U1
∂x− i
∂U1
∂y= U(x, y) − i (−V (x, y)) = U(x, y) + i V (x, y) = f(z) ⇒
⇒ U(z) = F (z) − первообразная
2.2 Основная теорема Коши
Определение 1 (Простой и составной контур на комплекснойплоскости). Γ – простой контур :⇔ Γ – связное множество, замкнутаякривая без самопересечений.γ(t) : [t1, t2] 7→ Γ, γ(t1) = γ(t2), ∀t3, t4 ∈ (t1, t2), γ(t3) 6= γ(t4)
Γ – положительно ориентированный контур :⇔ при обходе областиZ по границе Γ , область остается слева (против часовой стрелки).
Γ – составной контур :⇔ Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪· · · ∪ Γm – объединение простых контуровΓ1, Γ2, ..., Γm; Γ – не является связныммножеством и ограничивает многосвязноемножество Z.Внешний контур ориентирован противчасовой стрелки. Внутренний контурориентирован по часовой стрелке.
Теорема 1 (Основная теорема Коши для простого контура).f : Z → W, Γ− граница Z, простой контур
f ∈ O(Z) ⇒∮
Γ+
f(z) dz = 0
Доказательство. f(z) = U(x, y) + i V (x, y).
2.3. Интегральная формула Коши 37
U(x, y) dx− V (x, y) dy = dU1(x, y), т.к.∂U
∂y= −
∂V
∂x
V (x, y) dx+ U(x, y) dy = dU2(x, y), т.к.∂V
∂y=∂U
∂x∮Γ
f(z) dz =
∮Γ
U dx− V dy+i
∮Γ
V dx + U dy =
∮Γ
dU1+i dU2 = 0+i 0 = 0
Теорема 2 (Основная теорема Коши для составного контура).Γ− составной положительно определенный контур.
f ∈ O(Z) ⇒∮
Γ+
f(z) dz = 0
Доказательство. Γ = Γ1 ∪ Γ2, AB ∪ Γ1 ∪ BA ∪ Γ2− простой контур.∮AB∪Γ1∪BA∪Γ2
f(z) dz = 0 ⇒∫
AB
f(z) dz +
+
∮Γ1+
f(z) dz +
∫BA
f(z) dz +
∮Γ2−
f(z) dz = 0,∫AB
f(z) dz = −∫
BA
f(z) dz,
∮+
f(z) dz +
∮−
f(z) dz = 0 ⇒∮
Γ+
f(z) dz = 0
2.3 Интегральная формула Коши
Пусть f : Z → W, Γ− граница Z, является простым или составнымположительно ориентированным контуром f ∈ O(Z) ⇒ c ∈ Z,
Тогда f(c) =1
2πi
∮Γ+
f(z)
z − cdz
38 Глава 2. Основные свойства аналитических функций
Теорема 1 (Интегральная формула Коши).
f ∈ O(Z) ⇒ ∀c ∈ Z,
f(c) =1
2πi
∮Γ+
f(z)
z − cdz
Доказательство.
f(z)
z − c∈ O
(Z\Uρ(c)
)⇒
∮Γ∪γρ+
f(z)
z − cdz = 0 ⇒
∮Γ+
f(z)
z − cdz+
∮γρ+
f(z)
z − cdz =
=
∮γρ+
f(z)− f(c) + f(c)
z − cdz =
∮γρ+
f(z)− f(c)
z − cdz + f(c)
∮γρ+
dz
z − c;
∮γρ+
dz
z − c=
∣∣∣∣∣∣z − c = ρ ei t
dz = ρ i ei tdtt ∈ [0, 2π]
∣∣∣∣∣∣ =
2π∫0
ρ i ei t
ρ ei tdt = i
2π∫0
dt = i · 2π = 2πi.
∣∣∣∣∣∣∮p
f(z)− f(c)
z − cdz
∣∣∣∣∣∣ 6 supz∈jp
∣∣∣∣∣f(z)− f(c)
z − c
∣∣∣∣∣ 2πρ 6 M · 2πρ→ 0,
∣∣∣∣∣f(z)− f(c)
z − c
∣∣∣∣∣→ ∣∣∣f ′(c)∣∣∣, ρ→ 0 ( или z → c) ⇒
∣∣∣∣∣f(z)− f(c)
z − c
∣∣∣∣∣ 6 H−
ограничено, т.к. имеет предел∣∣∣f ′(c)∣∣∣⇒ ∮
Γ+
f(z)
z − cdz = 0+f(c)·2πi.
2.4 Комплексные функциональные рядыОпределение 1 (Комплексый функциональный ряд).
f1(z), f2(z), . . . , fn(z), . . . , : z → C; f1(z)+f2(z)+· · ·+fn(z)+· · · =∞∑
n=1
fn(z)
2.4. Комплексные функциональные ряды 39
fn(z)−общий член ряда. Sn(z) =n∑
k=1
fk(z)−конечная сумма первых nчленов последовательности,т.е. частичная сумма ряда.
Определение 2 (Поточечная равномерная сходимость
функционального ряда).∞∑
n=1
fn(z) – сходится поточечно на Z : ⇔
∀z ∈ Z ∃ limn→∞
Sn(z) = S(z), (или ∀z ∈ Z ∃ limn→∞
Sn(z)− S(z) = 0),где S(z) – сумма (функционального) ряда.
∞∑n=1
fn(z) – сходится равномерно на Z : ⇔ limn→∞
sup(Sn(z)− S(z)
)= 0
Замечание. Из равномерной сходимости следует поточечная, обратное –неверно.
Теорема 1 (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса).∞∑
n=1
fn(z), fn(z) : z → C, ∀z ∈ Z∣∣fn(z)
∣∣ 6 an
∞∑n=1
an – сходится ⇒∞∑
n=1
fn(z) – сходится равномерно на Z.(∑
an –
числовой ряд с неотрицательными членами, называется мажорирующимрядом).
Определение 3 (Комплексный степенной ряд по целым степеням).
Пусть an, c = const, an, c ∈ C∣∣∣ an − коэф. степенного ряда
c − центр степенного ряда∞∑
n=0
an(z − c)n — степенной ряд по неотрицательным степеням.
−1∑n=−∞
an(z − c)n =∞∑
m=1
am
(z − c)m— степенной ряд по
отрицательным степеням.∞∑
n=−∞an(z − c)n =
∞∑n=0
an(z − c)n +−1∑
n=−∞
an
(z − c)n— степенной ряд по
целым степеням.
Теорема 2 (Абеля).∞∑
n=0
an(z−c)n — степенной ряд по неотрицательным
степеням, сходящийся при z = z0, следовательно:
1.∞∑
n=0
an(z− c)n — сходится абсолютно и поточечно при∣∣z− c∣∣ < ρ,
где ρ =∣∣z0 − c
∣∣2.
∞∑n=0
an(z − c)n — сходится равномерно при∣∣z − c
∣∣ 6 ρ1 < ρ
40 Глава 2. Основные свойства аналитических функций
Замечание. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга поточечнойсходимости.
Доказательство. 2)∞∑
n=0
an(z0−c)n — сходится. Тогда limn→∞
an(z0−c)n = 0,
следовательно последовательностьan(z0 − c)n
— ограничена,
т.е. ∃M > 0 т.ч.∣∣an(z0 − c)n
∣∣ =∣∣an
∣∣ρn 6 M , где ρ = |z0 − c|
Общий член степенного ряда∣∣an(z − c)n
∣∣ =∣∣an
∣∣(z − c)n
ρn,
Т.к. |z − c| 6 ρ1 < ρ, то|z − c|ρ
6 q < 1, q =ρ1
ρ∣∣an(z0 − c)n∣∣ 6
∣∣an
∣∣qnρn 6 Mqn — быстро убывающая геом. прогрессия.∞∑
n=0
Mqn — сходящийся мажорирующий ряд. =⇒ по признаку Вейерштрасса:∑an(z − c)n — равномерно сходящийся ряд, при |z − c| 6 ρ1 < ρ
1)∑an(z− c)n — равномерно сходящийся, ∀ρ1 → ρ⇒
∑an(z− c)n —
сходится поточечно, при |z − c| < ρ и абсолютно.
Теорема 3 (Коши-Адамара).∞∑
n=0
an(z − c)n — степенной ряд с
неотрицательными степенями. Следовательно, ∃R ∈ R+ :
1. |z − c| < R — ряд сходится поточечно и абсолютно.
2. |z − c| > R — ряд расходится.
3. |z − c| 6 ρ1 < R — ряд сходится равномерно.
Доказательство. 1) Применим признак Коши
q = limn→∞
n
√∣∣an(z − c)n∣∣ = |z − c| lim
n→∞n√|an| < 1 ⇒
⇒ |z − c| <1
limn→∞
n√|an|
= R. Отсюда R = limn→∞
1n√|an|
3) По теореме Абеля равномерная сходимость при |z − c| 6 ρ1 < R
Замечание. 1. R = limn→∞
|an|an+1
2. При |z−c| = R ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
2.4. Комплексные функциональные ряды 41
Замечание. Теорема 2 и Теорема 3 могут быть сформулированы и
доказаны для степенных рядов по отрицательным степеням∞∑
n=1
a−n
(z − c)n.
∃ r = limn→∞
n√|a−n| = lim
n→∞
a−(n+1)
a−n
, ряд
сходится абсолютно поточечно при |z−c| >r и равномерно, при |z − c| > ρ2 > r
Если∞∑
n=−∞an(z − c)n – по целым степеням
n, и r < R, т.е. абсолютно поточечносходится, то r < |z − c| < R – кольцосходимости, а равномерная сходимость –при r < ρ2 6 |z − c| 6 ρ1 < R внутрикольца сходимости.
Теорема 4 (О пределе суммы функционального ряда).
Пусть∞∑
n=1
fn(z) – равномерно сходится на Z. Тогда ∀z ∈ Z :
limz→c
∞∑n=1
fn(z) =∞∑
n=1
limz→c
fn(z), limz→c
S(z) =∞∑
n=1
limz→c
fn(z)
Теорема 5 (О непрерывности суммы функционального ряда).
Пусть∞∑
n=1
fn(z) – равномерно сходится на Z, ∀n fn(z) ∈ C(z). Тогда:
S(z) =∞∑
n=1
fn(z) ∈ C(z)
Теорема 6 (О почленном интегрировании функционального ряда).
Пусть∞∑
n=1
fn(z) – равномерно сходится на Z, Γ ⊂ Z, fn(z) ∈ C(Γ ). Тогда:∫Γ
∞∑n=1
fn(z) dz =∞∑
n=1
∫Γ
fn(z) dz,
∫Γ
S(z) dz =∞∑
n=1
∫Γ
fn(z) dz
Теорема 7 (О почленном дифференцировании степенного ряда).
Пусть дан ряд∞∑
n=0
an(z − c)n, Радиус сходимости R. Тогда:
S(z) ∈ DC(|z − c| 6 ρ < R
), S ′(z) =
∞∑n=0
n an(z − c)n−1,
т.е.
(∞∑
n=0
an(z − c)n
)′
=∞∑
n=0
(an(z − c)n
)′
42 Глава 2. Основные свойства аналитических функций
Доказательство.
∞∑n=0
an(z − c)n – равномерно сходится на |z − c| 6 ρ < R,
R = limn→∞
1n√|an|
, |z + ∆z − c| 6 ρ < R
S ′(z) = lim∆z→0
∆S
∆z= lim
∆z→0
∞∑n=0
an(z + ∆z − c)n −∞∑
n=0
an(z − c)n
∆z=
= lim∆z→0
∞∑n=0
an
(z + ∆z − c)n − (z − c)n
∆z=
=∞∑
n=0
an lim∆z→0
(z + ∆z − c)n − (z − c)n
∆z=
∞∑n=0
an
((z − c)n
)′=
=∞∑
n=0
an n (z − c)n−1 =m=n−1
∞∑m=0
am+1(m+ 1)(z − c)m,
R = limm→∞
1m√
(m+ 1)|am+1|= lim
m→∞
1n√|an|
= R.
2.5 Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана
Теорема 1 (Тейлора).
f ∈ O(UR(c)
)⇒ ∀z ∈ UR(c),
f(z) =∞∑
n=0
an(z − c)n,
an =1
2πi
∮Γ+
f(z)
(z − c)n+1dz
2.5. Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана 43
Доказательство.
Γρ = |z − c| = ρ < R, f(z) ∈ O(Uρ(c)
).
По интегральной формуле Коши ∀z ∈ Uρ(c) f(z) =1
2πi
∮Γρ+
f(ξ)
ξ − zdξ ⇒
∣∣∣∣∣z − c
ξ − c
∣∣∣∣∣ = |q| < 1,1
ξ − z=
1
(ξ − c)− (z − c)=
1
ξ − c·
1
1− z−cξ−c
=
1
ξ − c
∞∑n=0
(z − c
ξ − c
)n
=∞∑
n=0
(z − c)n
(ξ − c)n+1—
ряд по отрицательным степеням (ξ−c) по теореме Коши-Адамара равномерносходится, при |z−c| > r1 > r = |z−c|, r = lim
n→∞n√|a−n| = lim
n→∞n√|z − c|n =
= |z − c| и, следовательно, может быть почленно проинтегрирован.Замечание. Теоремы, аналогичные 4, 5, 6, 7 верны для рядов по отрицательнымстепеням.
⇒ f(z) =1
2πi
∮Γρ+
f(ξ)
ξ − zdξ =
1
2πi
∮Γρ+
f(ξ)∞∑
n=0
(z − c)n
(ξ − c)n+1dξ =
=∞∑
n=0
1
2πi
∮Γρ+
f(ξ)
(ξ − c)n+1dξ
︸ ︷︷ ︸
an
(z − c)n =∞∑
n=0
an(z − c)n
Следствие 1 (Неравенство Коши).
f ∈ O(UR(c)
), ∀z ∈ Γρ |f(z)| 6 M ⇒ |an| 6
M
ρn
Доказательство.
|an| =
∣∣∣∣∣∣∣1
2πi
∮Γρ+
f(z)
(z − c)n+1dz
∣∣∣∣∣∣∣ 61
2πisupz∈Γρ
∣∣∣∣∣ f(z)
(z − c)n+1
∣∣∣∣∣ 2πρ =
=1
2π·M
ρn+1· 2πρ =
M
ρn
44 Глава 2. Основные свойства аналитических функций
Следствие 2 (Теорема Лиувилля).
f ∈ O(C). Если∣∣f(z)
∣∣ 6 M, то f(z) = const.
Доказательство. ∀ρ → ∞ |an| 6M
ρn⇒ ∀n > 0, |an| = 0, an = 0 ⇒
⇒ f(z) =∞∑
n=0
an(z − c)n = a0 = const.
Теорема 2 (Теорема единственности разложения в ряд Тейлора).
f ∈ O(UR(c)
)⇒ ∃!f(z) =
∞∑n=0
an(z − c)n
Доказательство. Степенной ряд почленно дифференцируем внутри кругаравномерной сходимости |z − c| 6 ρ < R,
f(z) =∞∑
n=0
an(z − c)n, f(c) = an
f ′(z) =∞∑
n=0
n an(z − c)n−1, f ′(c) = 1 · a1,
f ′′(z) =∞∑
n=0
n(n− 1)an(z − c)n−2, f ′′(c) = 2 · 1 · a2,
· · · · · ·f (k)(z) =
∞∑n=0
n(n− 1) · · · (n− k + 1)(z − c)n−kan,
f (k)(c) = k(k − 1) · · · 2 · 1 · ak.
⇓∃! an =
fn(c)
n!
Следствие 1. f ∈ DC(UR(c)
)⇒ f ∈ DC∞(UR(c)
)Следствие 2 (Интеграл типа Коши).
fn(c) =n!
2πi
∮Γ+
f(ξ)
(ξ − c)n+1dξ
Доказательство.
an =fn(c)
n!=
1
2πi
∮Γ+
f(z)
(z − c)n+1dz ⇒ fn(c) =
n!
2πi
∮Γ+
f(z)
(z − c)n+1dz
2.5. Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана 45
Теорема 3 (Лорана). f ∈ O(K), K = r < |z − c| < R ⇒ ∀z ∈ K
f(z) =∞∑
n=−∞
an(z − c)n =∞∑
n=0
an(z − c)n
︸ ︷︷ ︸правильная часть
ряда Лорана
+∞∑
n=1
a−n
(z − c)n︸ ︷︷ ︸главная частьряда Лорана
an =1
2πi
∮Γ+
f(z)
(z − c)n+1dz
Доказательство.
Γρ = Γρ1 + Γρ2 , f ∈ O(Kρ
)⇒ ∀z ∈ Kρ,
f(z) =1
2πi
∮Γρ+
f(ξ)
ξ − zdξ.
Kρ = r < ρ2 6 |z − c| 6 ρ1 < R
Для ξ ∈ Γρ1 ,∣∣∣z − c
ξ − c
∣∣∣ = |q| < 1,1
ξ − z=
1
ξ − c
∞∑n=0
(z − c
ξ − c
)n
=∞∑
n=0
(z − c)n
(ξ − c)n+1,
Для ξ ∈ Γρ2 ,∣∣∣ξ − c
z − c
∣∣∣ = |q| < 1,1
ξ − z=
1
(ξ − c)− (z − c)=
− 1
z − c·
1
1− ξ−cz−c
=
=− 1
z − c
∞∑n=0
(ξ − c
z − c
)n
= −∞∑
n=0
(ξ − c)n
(z − c)n+1=
m=n+1−
∞∑m=1
(ξ − c)m−1
(z − c)m
46 Глава 2. Основные свойства аналитических функций
f(z) =1
2πi
∮Γρ1+
+
∮Γρ2−
=1
2πi
∮Γρ1+
f(ξ)∞∑
n=0
(z − c)n
(ξ − c)n+1dξ −
−∮
Γρ2−
f(ξ)∞∑
m=1
(ξ − c)m−1
(z − c)mdξ
=∞∑
n=0
1
2πi
∮Γρ1+
f(ξ)
(ξ − c)n+1dξ
(z−c)n+
+−1∑
n=−∞n=−m
1
2πi
∮Γρ2+
f(ξ)
(ξ − c)n+1dξ
(z − c)n =∞∑
n=−∞
an(z − c)n,
an =1
2πi
∮Γρ+
f(ξ)
(ξ − c)n+1dξ
2.6 Нули и изолированные особые точкианалитических функций
Определение 1 (Нуль ФКП). f : Z → W, c ∈ Z,
• c — нуль функции f(z) :⇔ f(c) = 0, f(z) 6≡ 0
• c— изолированный нуль f(z) :⇔ f(c) = 0, ∃ U(c) : ∀z ∈ U(c) f(z) 6= 0
• f ∈ O(U(c)
), c — нуль порядка k функции f(z) :⇔
f(c) = f ′(c) = · · · = f (k−1)(c) = 0, f (k)(c) 6= 0. Друими словами,порядок нуля – это порядок первой ненулевой производной в точке c.
Теорема 1 (О строении аналитической функциив окрестности нуля). Пусть f ∈ O
(U(c)
), с – нуль порядка k f(z).
Тогда ∃!ϕ(z) ∈ O(U(c)
), ϕ(c) 6= 0, ∀z ∈ U(c) f(z) = (z − c)kϕ(z).
Доказательство. f(z) = a0 +a1(z− c)+a2(z− c)2 + · · ·+ak(z− c)k + · · · .Т.к. f(c) = f ′(c) = · · · = f (k−1)(c) = 0, то a0, a1, . . . , ak−1 = 0
Т.к. f (k)(c) 6= 0, то ak 6= 0 и f(z) = (z − c)k(ak + ak+1(z − c) + · · ·︸ ︷︷ ︸ϕ(z)
)
ϕ(z) = ak + ak+1(z − c) + · · · — ряд Тейлора другой аналитическойфункции, и ϕ(c) = ak 6= 0 Т.е. f(z) = (z − c)kϕ(z)
2.6. Нули и изолированные особые точки аналитических функций 47
Пусть ∃k1 6= k, ϕ1(z) = ϕ(z) и f(z) = (z−c)k1ϕ1(z), (z−c)k1ϕ1(z) == (z − c)kϕ(z), ϕ(z) = (z − c)k1−kϕ1(z), ϕ(c) 6= 0, но ϕ1(c) 6= 0 ⇒⇒ k1 − k = 0 или k1 = k. Отсюда, ϕ(z) = ϕ1(z)
Замечание. Нули аналитических функций могут быть только изолиро-ванными, либо накапливаться на границе аналитичности.
Определение 2 (Изолированная особая точка ФКП).
Пусть ∃ f(z) : Z → W, f ∈ O(U(c)
), U(c) ∈ Z, c – изолированная
особая точка f(z) :⇔ f 6∈ O(c)
Классификация изолированных особых точек (ИОТ)limz→c
f(z) ∃, 6= ∞ ∃, = ∞ @
Тип ИОТ c – устранимая ИОТ c – ИОТ типа c – СОТ (Сущ.полюс Особая Точка )
Теорема 2 (Необходимое и достаточное условие устранимой ИОТ).с – устранимая ИОТ f(z) ⇔ ряд Лорана f(z) в окрестности U(c) несодержит главной части.
Доказательство. ∃ limz→c
f(z) 6= ∞⇔ ∃Uρ(c) : |f(z)| 6 M, |an| 6M
ρn,
При n < 0 |an| 6 M · ρ|n|, ρ→ 0 ⇒ an = 0
При n > 0 |an| 6= 0, f(z) =∞∑
n=0
an(z − c)n, 0 < |z − c| < ρ
Теорема 3 (Необходимое и достаточное условие полюса).
c – ИОТ типа полюс f(z) ⇔ c – устранимая ИОТ; g(z) =1
f(z), lim
z→cg(z)= 0
Доказательство. ∃ limz→c
f(z) = ∞ ⇔ ∃ limz→c
1
f(z)= 0
Определение 3 (Порядок полюса). c – ИОТ типа полюс функции
f(z) порядка k :⇔ c – нуль порядка k функции g(z) =
1/f(z), при z 6= c
0, при z = c
Т.о. доопределяем функцию в нуле.
Теорема 4 (Необходимое и достаточное условие полюса порядка k).c – полюс порядка k f(z) ⇔ ряд Лорана функции f(z) в окрестностиU(c) имеет главную часть с членами до (−k)-го порядка включительно.
48 Глава 2. Основные свойства аналитических функций
Доказательство. (⇒) c – нуль порядка k ф-ии g(z) =
1/f(z), z 6= c
0, z = c
g(z) ∈ O(U(c)
), g(z) = b0+b1(z−c)+b2(z−c)2+· · ·+bk(z−c)k+· · · .
b0 = b1 = · · · = bk−1 = 0, bk 6= 0g(z) = (z − c)kϕ(z), ϕ(c) 6= 0, ϕ(z) = bk + bk+1(z − c) + · · · .
f(z) =1
(z − c)k·
1
ϕ(z)=
1
(z − c)k
∞∑n=0
ak+n(z − c)n =
=a−k
(z − c)k+
a−k+1
(z − c)k−1︸ ︷︷ ︸главная часть
+ · · ·+ a0 + · · · .
(⇐) f(z) =a−k
(z − c)k+
a−k+1
(z − c)k−1+ · · ·+ a0 + a1(z − c) + · · · =
=1
(z − c)k
∞∑n=0
a−k+n(z − c)k,1
f(z)= (z − c)kϕ(z),
ϕ(z) =1
∞∑n=0
a−k+n(z − c)n
, ϕ(c) =1
a−k
6= 0, a−k 6= 0.
c – нуль порядка k функции g(z), следовательно c – полюс порядка kфункции f(z).
Теорема 5 (Необходимое и достаточное условие существенноИОТ). c – существенно ИОТ ⇔ ряд Лорана f(z) в U(c) содержитбесконечное число членов в главной части.
Доказательство. Доказывается в обе стороны от противного, используятеоремы 3, 4.
2.7 Вычеты ФКП
Определение 1 (Вычет функции). f : Z → W, c ∈ Z – ИОТ,
f(z) ∈ f ∈ O(U(c)
), Res
z=cf(z) :=
1
2πi
∮Γ+
f(z) dz,
где Γ – любой контур, охватывающий точку c, Γ ⊂ U(c)
Замечание.
1. Определение 1 не имеет смысла, если c не явл. ИОТ, Res f(z) = 0
2.7. Вычеты ФКП 49
2.∮
Γ+
=∫
ADB
−∫
AEB
, 2πi =∮
Γ+
dzz−c
Вычет – нормированная разность
интегралов по кривым, обходящим особую точку с разных сторон.
3. an =1
2πi
∮Γ+
f(z)
(z − c)n+1dz – коэффициент ряда Лорана в U(c).
n = −1, a−1 =1
2πi
∮Γ+
f(z)
1dz ⇒ Res
z=cf(z) = a−1
Теорема 1 (Вычисление вычитов). c – ИОТ функции f(z)
1. c – устранимая ИОТ f(z) ⇒ Resz=c
f(z) = 0.
2. c – простой полюс f(z) (k = 1) ⇒ Resz=c
f(z) = limz→c
[f(z)(z − c)
].
3. c – простой полюс f(z) =ϕ(z)
ψ(z), где ϕ(c) 6= 0, ψ(c) = 0 ⇒
⇒ Resz=c
f(z) = Resz=c
ϕ(z)
ψ(z)=ϕ(z)
ψ′(z).
4. c – полюс порядка k f(z) ⇒
⇒ Resz=c
f(z) =1
(k − 1)!limz→c
dk−1
dzk−1
[f(z)(z − c)k
].
5. c – существенная ИОТ f(z) ⇒ Resz=c
f(z) = a−1.
Доказательство. 5. очевидно (смотри замечание к 1)
1. c – УОТ f(z) ⇒ ряд Лорана не содержит главной части ⇒⇒ a−1 = 0 ⇒ Res
z=cf(z) = 0
4.,2. c – полюс порядка k ⇒ ряд Лорана содержит в главной частичлены до (−k) включительно.
f(z) =a−k
(z − c)k+
a−k+1
(z − c)k−1+ · · ·+
a−1
(z − c)+ a0 + a1(z − c) + · · · .
f(z)(z− c)k = a−k +a−k+1(z− c)+ · · ·+a1(z− c)k−1 +a0(z− c)k + · · · .dk−1
dzk−1
(f(z)(z − c)k
)= a−1(k − 1)! + a0(z − c)
k!
1!+ a1(z − c)2
(k + 1)!
1! · 2!
limz→c
dk−1
dzk−1
(f(z)(z − c)k
)= a−1(k − 1)! ⇒
⇒ a−1 =1
(k − 1)!limz→c
dk−1
dzk−1
(f(z)(z − c)k
)
50 Глава 2. Основные свойства аналитических функций
3. f(z) =ϕ(z)
ψ(z), ψ(c) = 0, ϕ(c) 6= 0
2 ⇒ Resz=c
ϕ(z)
ψ(z)= lim
z→c
(ϕ(z)
ψ(z)(z − c)
)= lim
z→c
ϕ(z)(ψ(z)− ψ(c)
(z − c)
) =ϕ(z)
ψ′(c)
Теорема 2 (Основная теорема о вычитах).
f ∈ O(Z \ c1, c2, . . . , cm
).(
Т.е. c1, c2, . . . , cm – ИОТ f(z)).
Γ – граница Z положительноориентированная. Следовательно,∮
Γ+
f(z) dz = 2πim∑
j=1
Resz=cj
f(z)
Доказательство. f ∈ O(Z\
m⋃j=1
U(cj)), Γ∪Γ1∪Γ2∪· · ·∪Γm – положительно
ориентированный составной контур. Следовательно,∮
Γ∪Γ1∪···∪Γm
f(z) dz = 0 ⇒
⇒∮
Γ+
f(z) dz +
∮Γ1−
f(z) dz +
∮Γ2−
f(z) dz + · · ·+∮
Γm−
f(z) dz = 0
∮Γ+
f(z) dz = 2πi
1
2πi
∮Γ1+
f(z) dz +1
2πi
∮Γ2+
f(z) dz + · · ·+ 1
2πi
∮Γm+
f(z) dz
⇒
⇒∮
Γ+
f(z) dz = 2πi
(Resz=c1
f(z) + Resz=c2
f(z) + · · ·+ Resz=cm
f(z)
)Замечание. f(z) может иметь ещё особые точки 6⊂ Z. Их вычеты невходят в сумму правой части формулы.
2.8 Вычеты в бесконечно удалённых особыхточках
Определение 1 (Изолированная бесконечно удалённая точка).f : C → C c = ∞ – изолированная бесконечно удалённая точка :⇔f(z) ∈ O
(U(∞)
) (т.е. ∃M > 0 : ∀z M < |z| <∞, f ∈ O(z)
).
2.8. Вычеты в б.у. особых точках 51
Замечание. Очевидно, что c = ∞ – ИОТ функции f(z) ⇔ c = 0 – ИОТфункции f
(1z
)Классификация бесконечно ИОТ
limz→c
f(z) ∃, 6= ∞ ∃, = ∞ @
Тип ИОТ c = ∞ – УОТ c = ∞ – полюс c = ∞ – СОТ
c = ∞ – полюс порядка k функции f(z) ⇔ c = 0 – полюс порядка k f(
1z
).
Теорема 1 (Необходимое и достаточное условие бесконечнойУОТ, полюса порядка k, и бесконечной СОТ).
1. c = ∞ – УОТ функции f(z) ⇔ ряд Лорана f(z) по степеням z несодержит положительных степеней.
2. c = ∞ – полюс порядка k функции f(z) ⇔ ряд Лорана f(z) постепеням z содержит положительные степени (до k-ой включительно).
3. c = ∞ – СОТ функции f(z) ⇔ ряд Лорана f(z) по степеням zсодержит бесконечное число членов с положительными степенями.
Доказательство.
1. c = 0 – УОТ функции f(
1z
)⇔ f
(1z
)= b0 + b1z + b2z
2 + · · · ⇔
⇔ f(z) = b0 + b11
z+ b2
1
z2+ · · · = a0 +
a−1
z+a−2
z2+ · · · .
2. c = 0 – полюс k-го порядка функции f(
1z
)⇔
⇔ f(
1z
)=b−k
zk+b−k+1
zk−1+ · · ·+
b−1
z+ b0 + b1z + · · · ⇔
⇔ f(z) = akzk + ak−1z
k−1 + · · ·+ a1z + a0 +a−1
z+ · · · .
3. Аналогично.
Определение 2 (Вычет в бесконечности). c = ∞ – ИОТ f(z)
Resz→∞
f(z) :=1
2πi
∮Γ−
f(z) dz
52 Глава 2. Основные свойства аналитических функций
Замечание.
1. Функция f(z) являетсяаналитической в c = ∞,если ∃ lim
z→∞f(z) 6= ∞
(c = ∞ – УОТ)
2. Resz=∞
f(z) = −a−1 – коэф-фициент при степени (−1) вразложении f(z) по степеням z.
Теорема 2 (Полная теорема о вычетах). Пусть f(z) : C → C,c1, c2, . . . , cm,∞ - изолированные особые точки функции f(z). Тогда
m∑j=1
Resz=cj
f(z) + Resz=∞
f(z) = 0.
Доказательство. ΓM - граница окрестности UM(0).По теореме 2 §2.7
1
2πi
∮Γ+
M
f(z)dz
︸ ︷︷ ︸− Res
z=∞f(z)
=m∑
j=1
Resz=cj
f(z) ⇒m∑
j=1
Resz=cj
f(z) + Resz=∞
f(z) = 0.
2.8. Вычеты в б.у. особых точках 53
Пример. Вычислить интеграл:∮|z−1|=1
dz
z3 − 1= 2πiRes
z=1f(z);
f(z) =1
z3 − 1;
z1 = 1;
z2,3 = −1
2± i
√3
2;
limz→1
1
z3 − 1= ∞⇒ z = 1 - полюс;
1
f(z)= z3 − 1 = (z − 1) (z2 + z + 1)︸ ︷︷ ︸
ϕ(z)
;
k = 1, z = 1 - полюс 1-го порядка;
Resz=1
= limz→1
1
(z − 1)(z2 + z + 1)· (z − 1) =
1
3.
Пример. Вычислить интеграл:
∮|z|=2
dz
z3 − 1= 2πi
(Resz=1
f(z) + Resz=− 1
2+i√
32
f(z) + Resz=− 1
2−i√
32
f(z)
);
Рассморим точку z = ∞.
limz→0
f
(1
z
)= lim
z→0
11z3 − 1
= 0.
z = 0 - устранимая особая точка.∮|z|=2
dz
z3 − 1= −2πiRes
z=∞f(z) = 0.
Глава 3
Преобразование Лапласа и егоприложения
3.1 Преобразование Лапласа и его обращение
Определение 1 (Функция-оригинал). Пусть f : R → C - комплекснаяфункция действительного переменного, удовлетворяющая условиям:
1. f(t) на R кусочно-непрерывна, за исключением, быть может, конечногоили счетного числа точек разрыва первого рода;
2. ∀t < 0 f(t) = 0;
3. |f(t)| ≤Mest; M,S ≥ 0; inf s = s0 - показатель роста f(t).
f(t) называется функцией-оригиналом.
Пример (Функция Хевисайда).
η(t) =
0, t < 0,
1, t > 0;
t = 0 - точка разрыва первого рода (устранимая).f(0−) = 0 6= f(0+) = 1.|η(t)| ≤ 1 = 1 · e0t, M = 1, s0 = 0.
54
3.1. Преобразование Лапласа и его обращение 55
Пример.
f(t) =1
t− 3· η(t) =
0, t < 0
1t−3, t > 0
f(3−) = −∞, f(3+) = +∞, t = 3 - точка разрыва второго рода ⇒ f(t)не является оригиналом по пункту 1.
Пример. f(t) = et.f(t) > 0 при t < 0 ⇒ f(t) не является оригиналом по пункту 2.f(t) = et · η(t) является оригиналом.|et · η(t)| ≤ et = 1 · e1·t, M = 1, s0 = 1.
Пример. f(t) = et2 · η(t).|f(t) = et2 · η(t)| ≤ et2 ⇒ f(t) - не является оригиналом по пункту 3.
56 Глава 3. Преобразование Лапласа и его приложения
Замечание. Функции et · η(t), cos t · η(t), sh t · η(t), tn · η(t) являютсяоригиналами. Также оригиналами являются их производные и интегралы.Для простоты записи η(t) опускается, но подразумевается.
Определение 2 (Преобразование Лапласа). Пусть f(t) - функция-оригинал. Комплекснозначная функция F (p) : C → C комплексногопеременного p = s + iσ называется преобразованием Лапласа функцииf(t), если
F (p) =
+∞∫0
f(t)e−ptdt.
Интеграл в правой части равенства - интеграл Лапласа. Соответствиемежду f(t) и F (p) обозначается следующим образом: f(t) : F (p). f(t) -оригинал, F (p) - изображение оригинала f(t).
Теорема 1 (Существование преобразования Лапласа). ∀f(t) с показателемроста s0 преобразование Лапласа F (p) существует приRe p = s > s0.
Доказательство. Докажем сходимость несобственного интеграла:∣∣∣∣∣∣+∞∫0
f(t)e−ptdt
∣∣∣∣∣∣ ≤+∞∫0
∣∣f(t)e−pt∣∣ dt;
∣∣f(t)e−(s+iσ)t∣∣ = |f(t)|
∣∣f(t)e−st · e−iσt∣∣ ≤Mes0t·e−st = Me(s0−s)t, тогда∣∣∣∣∣∣
+∞∫0
f(t)e−ptdt
∣∣∣∣∣∣ ≤M
+∞∫0
f(t)e(s0−s)tdt =M
s0 − se(s0−s)t
∣∣∣∣+∞0
=M
s0 − s.
Интеграл равномерно сходится при Re p > s0.
Замечание. Можно доказать, что F (p) не только существует, но и аналитичнапри Re p > s0.
3.2. Основные свойства преобразования Лапласа 57
Пример.
η(t) =
0, t < 0,
1, t > 0;
s0 = 0;
F (p) =
+∞∫0
1 · e−ptdt = −1
pe−pt
∣∣∣∣+∞0
= −1
p
(lim
t→+∞e−pt − 1
)=
1
p;
1 :1
p
Замечание. Преобразование Лапласа обратимо, т.е. F (p) : f(t).
Теорема 2 (Обращение преобразования Лапласа). Если F (p) :C → C является изображением оригинала функции f(t), то в любойточке непрерывности справедливо равенство:
f(t) =1
2πi
a+i∞∫a−i∞
f(p)eptdp,
где интеграл берется по [a− ib, a+ ib] при a > s0, b→∞.
3.2 Основные свойства преобразования ЛапласаПусть f(t), f1(t), f2(t) - функции-оригиналы и f(t) : F (p), f1(t) :F1(p), f2(t) : F2(p).
Теорема 1 (Свойство линейности). Преобразование Лапласа линейнойкомбинации функций является соответствующей линейной комбинациейизображений, т.е. ∀λ1, λ2 ∈ C
λ1f1 + λ2f2 : λ1F1(p) + λ2F2(p).
58 Глава 3. Преобразование Лапласа и его приложения
Доказательство. λ1f1+λ2f2 - оригинал; соответствие следует из линейностиинтеграла Лапласа.
Теорема 2 (Свойство подобия). ∀α > 0
f(αt) :1
αF( pα
).
Доказательство.
f(αt) :
+∞∫0
f(αt)e−ptdt =
∣∣∣∣∣∣τ = αtτ1 = 0, τ2 = ∞dt = 1
αdτ
∣∣∣∣∣∣ =1
α
+∞∫0
f(τ)e−pα
τdτ =1
αF( pα
).
Теорема 3 (Дифференцирование оригинала). Если f ′(t) - оригинал⇒ f ′(t) : pF (p)−f(0+), f (n)(t) - оригинал⇒ f (n)(t) : pnF (p)−pn−1f(0+)−. . .−f (n+1)(0+). Дифференцированию оригинала соответствует домножениеизображения на p.
Доказательство.
f ′(t) :
+∞∫0
f ′(t)e−ptdt =
∣∣∣∣∣∣∣∣u = e−pt
dv = f ′(t)dtdu = −pe−ptdtv = f(t)
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= f(t)e−pt∣∣∞0
+ p
+∞∫0
f(t)e−ptdt
︸ ︷︷ ︸F(p)
= pF (p)− f(0+);
Аналогичноf ′′(t) : p2F (p)− pf(0+)− f ′(0+);...f (n)(t) : pnF (p)− pn−1f(0+)− . . .− fn−1(0+);
Теорема 4 (Интегрирование оригинала). Если f(t) - оригинал иf(t) : F (p), то
t∫0
f(τ)dτ :F (p)
p.
3.2. Основные свойства преобразования Лапласа 59
Доказательство.t∫
0
f(τ)dτ = g(t) - оригинал. Пусть g(t) : G(p). Но g′(t) = f(t) и по
теореме 3 g′(t) : pG(p)− g(0+) = pG(p), но f(t) : F (p)
⇒ pG(p) = F (p) ⇒ G(p) =F (p)
p
Теорема 5 (Дифференцирование изображений).F (p) : f(t) ⇒ f ′(t) : −tf(t), . . . , F (n)(p) : (−1)ntnf(t).
Доказательство. Если
F (p) =
+∞∫0
f(t)e−ptdt
равномерно сходится на Re p > s0, то его можно почленно дифференцировать:
F ′(p) =
+∞∫0
f(t)e−ptdt
′
p
=
+∞∫0
(f(t)e−pt
)′pdt =
+∞∫0
f(t)(−t)e−ptdt : −tf(t).
Аналогично теорема доказывается для производных более высокого порядка.
Теорема 6 (Интегрирование изображения).
F (p) : f(t) ⇒∞∫
p
F (p)dp :f(t)
t.
Интеграл берется по пути, лежащем в Re p > s0
Доказательство.
∞∫p
F (p)dp =
∞∫p
∞∫0
f(t)e−ptdt
dp =
∞∫0
f(t)dt
∞∫p
e−ptdt =
∞∫0
f(t)·(
1
−te−pt
)∞p
dt =
=
∞∫0
f(t)
te−ptdt :
f(t)
t.
60 Глава 3. Преобразование Лапласа и его приложения
Теорема 7 (Теорема запаздывания).f(t) : F (p), ∀τ > 0, тогда f(t− τ) - оригинал и f(t− τ) : e−pτF (p).
Доказательство.
f(t−τ) :
∞∫τ
f(t−τ)e−ptdt =
∣∣∣∣∣∣∣∣θ = t− τt = θ + τdt = dθθ1 = 0, θ2 = ∞
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∞∫0
f(θ)e−p(θ+τ)dθ =
= e−pτ
∞∫0
f(θ)e−pθdθ = e−pτF (p).
Теорема 8 (Теорема смещения).F (p) : f(t), ∀λ ∈ C F (p− λ) : eλtf(t).
Доказательство.
eλtf(t) :
∞∫0
eλtf(t)e−ptdt =
∞∫0
f(t)e−(p−λ)tdt = F (p− λ).