NALOGE IZ DINAMIKE

Martin Jesenko

Ljubljana, 2007

V preteklih letih se je izkazalo, da imajo s snovjo drugega semestra pri predmetu Tehniska mehanikana univerzitetnem studiju lesarstva studentje kar velike tezave. Zato sem zbral nekaj nalog iz di-namike za samostojno delo. Kjer je rezultat racunski, je podan v oklepaju. Naloge iz te zbirkeso resljive z znanjem, podanim na predavanjih in vajah. Delna izjema so le naloge 8-11 iz prvegapoglavja, a je pred njimi podan opis resevanja. Za boljsi obcutek, kaksne naloge so se v preteklihletih pojavljale na izpiti in kolokvijih, je pred temi znakec . Znakec pa oznacuje tezje naloge.(Snezinka ne pomeni, da boste pri njih ”zmrznili”, ampak da ohranite mirno kri, ce vam takih nalogne uspe resiti.)

Nalog iz te zbirke ne bomo resevali na vajah. Ce vam naloga ne gre od rok, se posvetujte s kolegi.Vsakemu, ki se mu bo na nekem koraku naloge zataknilo ali ce se mu rezultat razlikuje od tega vzbirki, bom z veseljem odgovoril. Ne zelim pa, da me sprasujete o nalogah, ki se jih sploh niste lotili,ali ste jim posvetili zgolj pet minut, in se nato odlocili, da je za vas pretezka.

Zelim vam veliko uspeha pri resevanju teh nalog.

Martin Jesenko

2

KINEMATIKAKINEMATIKA TOCKE

Premocrtno gibanje

(1) Telo se giblje premocrtno po predpisu x = t3 − 6t2 − 15t + 40, kjer je x merjen v metrih, caspa v sekundah.

(a) Skiciraj diagrame polozaja, hitrosti in pospeska v odvisnosti od casa.

(b) Kdaj je hitrost 0? (5 s)

(c) Kje je tedaj telo in koliksno pot je opravilo od zacetka opazovanja? (−60 m, 100 m vlevo)

(c) Koliksen je tedaj pospesek? (18 ms2

)

(d) Koliksno pot telo prepotuje od t = 4 s do t = 6 s? (18 m)

(2) Hitrost premocrtno gibajocega se telesa nam podaja enacba v = 20t2 − 100t + 105. (Cas je vs, hitrost pa v cm

s.)

(a) Skiciraj grafa hitrosti in pospeska za prvih 5 s gibanja.

(b) Koliksno pot opravi telo v tem casu? (161,7 cm)

(3) Telo se giblje premocrtno. Pri tem se njegova hitrost spreminja, kot je prikazano na spodnjemgrafu.

(a) Narisi diagram pospeska.

(b) Izracunaj polozaj telesa po 4 s, 7 s in 11 s.(10 m, 25 m, 29 m)

(c) Izracunaj pot, ki jo opravi v teh 11 s. (33,5m)

(4) Podan je diagram hitrosti premocrtno gibajocega se telesa.

(a) Narisi diagram pospeska.

(b) Izracunaj polozaj telesa po 8 s, 17 s, 25 s.(48 m, 8 m, −16 m)

(c) Izracunaj pot, ki jo opravi v 25 s. (131,2 m)

(5) Na sliki je diagram pospeska vlaka med dvema postajama.

(a) Izracunaj cas t4. (10 s)

(b) Koliksna je razdalja med postajama? (416m)

3

(6) Podan je diagram pospeska premocrtno gibajocega se telesa. Na zacetku opazovanja segiblje v levo s hitrostjo 9 dm

s.

(a) Izracunaj hitrost in polozaj telesa po 4 s, 5 s,7 s. (Hitrosti so 3 dm

s, 4,5 dm

s, 4,5 dm

s, polozaji

pa −12 dm, −8 dm, 1 dm.)

(b) Izracunaj pot, ki jo opravi v 7 s. (28 dm)

(7) Dvigalo se zacne dvigovati. V casu T na visini 40 m doseze maksimalno hitrost. Izracunaj

(a) cas T , (15,49 s)

(b) maksimalno hitrost, (4,65 ms)

(c) hitrost in polozaj dvigala ob casu T2. (4,07 m

s,

8,5 m)

Pri dosedanjih nalogah je bila podana odvisnost ene kinematicne spremenljivke (polozaj, hitrost,pospesek) od casa. Enacbo za drugi dve dobimo z odvajanjem ali integriranjem. Pogosto pa se v(realnih) primerih zgodi, da imamo le zvezo med kinematicnimi spremenljivkami. Tedaj postopamotakole: Ce je podana

• zveza med pospeskom in hitrostjo: a = f(v), kjer je f neka funkcija, recimo a = 2v2:

Tedaj zapisemo a = dvdt

in vstavimo v zgornjo enacbo. Ko enacbo nekoliko uredimo, dobimo

dvf(v)

= dt.

To enacbo integriramo, levo stran po v, desno pa po t. Tako dobimo enacbo za hitrost vodvisnosti od casa.

• zveza med hitrostjo in koordinato: v = f(x), kjer je f neka funkcija, denimo v = 5√

1− x2:

Podobno kot v prvem primeru v enacbo vstavimo v = dxdt

, jo uredimo in integriramo, ter takodobimo odvisnost koordinate od casa.

• zveza med pospeskom in koordinato: a = f(x), kjer je f funkcija, npr. a = −4x:

Tu uporabimo nastavek a = v dvdx

. Ko enacbo uredimo, dobimo

v dv = f(x) dx.

Levo stran integriramo po v, desno pa po x, in na ta nacin dobimo zvezo med hitrostjo inkoordinato, torej dobimo drugi primer.

4

Pri sledecih nalogah boste potrebovali naslednje nedolocene integrale (A, B sta poljubni pozitivnistevili): ∫

dx√A− x2

= arcsinx√A

+ C,∫x dx

A + Bx2=

1

2Bln(A + Bx2) + C,∫

dx

A + Bx2=

1√AB

arctg(√

BA

x) + C.

Pazite, da povsod pri kotnih oziroma inverznih kotnih funkcijah kot racunate v radianih.

(8) Telo, ki je pritrjeno na vzmet, izmaknemo iz ravnovesne lege. Zvezo med njegovim pospeskomin odmikom od ravnovesne lege podaja zveza a = −cx, kjer je c neka konstanta.

(a) Izracunaj konstanto c (z enoto), ce je hitrost tocke pri oddaljenosti 3 cm od izhodiscaenaka 5 cm

s, pri oddaljenosti 1 cm pa 7 cm

s. (3 1

s2)

(b) Koliksna sta hitrost in pospesek tocke v ravnovesni legi? (7,21 cms

, 0)

(9) Hitrost in pospesek premocrtno gibajocega se telesa povezuje enacba a = −ω√

4ω2`2 − v2, kjerje ` = 0,5 m, pri cemer je hitrost je v m

s, pospesek pa v m

s2. Ob zacetku opazovanja telo miruje

pri x = 1 m.

(a) Izracunaj ω, ce je ob casu t = 0,2 s polozaj0,4 m. (5,80 1

s)

(b) Zapisi enacbe za polozaj, hitrost in pospesekv odvisnosti od casa.

Taka zveza med hitrostjo in pospeskom velja zagibanje tocke T , ce se rocica AB okrog tocke Aenakomerno vrti s kotno hitrostjo ω in je ` dolzinaobeh rocic.

(10) Med koordinato in pospeskom premocrtnogibajocega se telesa velja zveza a = 2ω2x(x2

h2 + 1),pri cemer je ω = 4 1

sin h = 0,2 m. Ob zacetku

opazovanja ima telo koordinato 0 in hitrost 0,8ms. Izracunaj polozaj in hitrost telesa pa 0,25 s.

(0,311 m, 2,74 ms)

Tako se giblje tocka na skici, ki je vezana namirujoce vodoravno vodilo AB in na okrog tockeO enakomerno vrtece se vodilo. ω je kotna hitrostvrtenja rocice, h je pa visina med O in AB.

5

(11) Gorivo v modelu rakete zgori tako hitro, da smemo prepostaviti, da ima raketa ze natleh hitrost 120 m

s. Tekom leta nanjo poleg teznostnega pospeska deluje se zracni upor, ki je

sorazmeren kvadratu hitrosti, sorazmernostni koeficient pa je k = 0,0005 1m

. Pospesek je torejmed gibanjem navzgor enak a = −g − kv2. Ko raketa doseze najvisjo tocko, se odpre padalo,tako da pada proti zemlji s konstantno hitrostjo 4 m

s.

(a) Kako visoko pride raketa? Nasvet: v zvezi med pospeskom in hitrostjo zapisi pospesekkot a = v dv

dxin integriraj eno stran enacbe po v, drugo pa po x. (550 m)

(b) Cez koliko casa po izstrelitvi pade na tla? (147,7 s)

Splosno gibanje

(12) Gibanje tocke je podano s krajevnim vektorjem

r =

[2(cos t + t sin t)2(sin t− t cos t)

].

(a) Zapisi vektorja hitrosti in pospeska v odvisnosti od casa.

(b) Zapisi velikost hitrosti v odvisnosti od casa.

(c) Ali je kdaj vektor pospeska pravokoten na vektor hitrosti?

(13) Tocka se giblje po predpisu

x = 5 + 2 cos π2t,

y = −2 + 3 sin π2t.

(a) Doloci njeno lego in vektorja hitrosti in pospeska cez 1 s. (x = 5, y = 1, v = −3,14 i,a = −7,40 j)

(b) Koliksni sta velikosti vektorjev hitrosti in pospeska cez 1 s. (v = 3,14, a = 7,40)

(c) Kaj je tir gibanja?

Naslednja naloga je iz posevnega meta. Take naloge so v zbirkah zelo popularne, so pa povsemnerealisticne, saj zanemarjajo vpliv zracnega upora. Zato je v tej zbirki le ena taka. Pri njej bostepotrebovali znano enakost iz trigonometrije

1cos2 ϕ

= 1 + tg2 ϕ.

(14) Zogico vrzemo s hitrostjo 20 ms. Pod kaksnih kotom jo moramo vreci, da zadanemo cilj, ki je

10 m visje, in je od nas v vodoravni smeri oddaljen 20 m? (44,5 ali 72,1)

(15) Majhna kroglica zapusti cev, ki je glede na navpicnico pod kotom30, s hitrostjo 5 m

s. Nato je izpostavljena vetru, ki povzroca stalni

vodoravni pospesek 1 ms2

. Izracunaj visino, na kateri se nahaj cev,ce kroglica zadane tla tocno pod tocko, kjer je zapustila cev. (144,3m)

6

(16) Palici AB in BC sta v tocki B vrtljivopovezani. Krajisce A je pritrjeno, krajisceC pa se zacne gibati v desno enakomernopospeseno s pospeskom 0,8 m

s2iz narisanega

polozaja.

(a) Kolisni sta hitrost in koordinata x krajisca C ob casu t = 2 s. (3,2 m, 1,6 ms)

(b) Zapisi enacbo, ki povezuje koordinati tocke B s koordinato x krajisca C.

(c) Izracunaj lego in vektor hitrosti tocke B v casu t = 2 s. (Koordinati sta 1,6 m in 0,57 m,komponenti hitrosti pa vBx = 0,8 m

s, vBy = −2,23 m

s.)

(c) Izrazi koordinato x tocke T s koordinato x tocke C in koordinato y tocke T s koordinatoy tocke B (v poljubnem trenutku). Tocka T je na sredini palice BC.

(d) Iz teh dveh zvez izracunaj vektor hitrosti tocke T ob casu t = 2 s. (vTx = 1,2 ms, vTy =

−1,11 ms.)

(e) Doloci tir gibanja tocke T .

(17) Palica povezuje drsnik A, ki je vezan na vodilov vodoravni smeri, z drsnikom B, ki je vezan navodilo v navpicni smeri. Ob zacetku opazovanja sezacne drsnik B iz narisanega polozaja gibati navz-gor enakomerno pospeseno s pospeskom 2 dm

s2.

(a) Koliksni sta njegova hitrost in y-koordinatav casu t = 1 s. (vB = 2 dm

s, yB = −2 dm)

(b) Zapisi enacbo, ki povezuje y-koordinatodrsnika B in x-koordinato drsnika A.

(c) Koliksni sta hitrost in x-koordinata drsnikaA v casu t = 1 s. (vA = 0,873 dm

s, xA = 4,58

dm)

Na palici se nahaja tocka C, ki je na oddaljenosti 25

celotne dolzine palice od tocke B.

(c) Izrazi x-koordinato tocke C z x-koordinato tocke A in y-koordinato tocke C z y-koordinatotocke B (ob poljubnem trenutku).

(d) Iz teh dveh zvez izracunaj vektor hitrosti tocke C ob casu t = 1 s. (vC = 0,349 dms

i +1,2 dm

sj)

(e) Doloci tir gibanja tocke C.

(18) Drsnik je vezan na Arhimedovo spiralo z enacbo r = Aϕ, kjer je A = 2π

dm. Pritrjen je navrvico, katere drugo krajisce je v izhodiscu. Vrvico enakomerno navijamo, to pomeni, da senjena dolzina v enakih casovnih intervalih enako skrajsa, in sicer za 2 dm na sekundo. Obzacetku opazovanja je dolga 3 dm.

7

(a) Zapisi enacbo za r in ϕ v odvisnosti od casa.

(b) Izracunaj kotno hitrost in pospesek drsnika za cas t =1 s. (−3,14 rad

s, 0)

(c) Koliksni sta tedaj komponenti hitrosti in pospeskadrsnika v polarnih koordinatah. (vr = −2 dm

s, vϕ =

−3,14 dms

, ar = −9,87 dms2

, aϕ = 12,57 dms2

)

(c) Koliksni sta tedaj komponenti hitrosti in pospeskadrsnika v kartezicnih koordinatah. (Nasvet: koliksen jetakrat kot ϕ?) (vx = 3,14 dm

s, vy = −2 dm

s, ax = −12,57

dms2

, ay = −9,87 dms2

)

8

KINEMATIKA TOGEGA TELESA

(1) Gibek trak, ki je pritrjen na telo OA,se v danem trenutku giblje s hitrostjo 4ms

v narisani smeri. Koliksni sta tedajkotni hitrosti rocic AC in BC?

(2) Rocica AOB se vrti okoli tocke O vnasprotni smeri urinega kazalca s kotnohitrostjo 40 rad

s. Med njima ter med

kolesom B in podlago ne prihaja dospodrsavanja. Izracunaj kotno hitrostkoles A in B. (240 rad

s, −16 rad

s).

(3) Trikotna plosca se zacne gibati iz narisanega polozaja (ko je tocka C tocno nad tocko A).Tocka A se giblje enakomerno pospeseno s pospeskom 2 m

s2.

(a) V kaksnem polozaju je plosca, ko kaze vek-tor hitrosti tocke C v navpicni smeri? (ko jestranica BC vodoravna)

(b) Kdaj se to zgodi? (cez 0,428 s)

(c) Koliksna je tedaj kotna hitrost plosce? (1,976rads

)

(c) Koliksne so tedaj hitrosti tock A, B in C?(0,586 i, 0,494 j, −0,494 j v m

s)

(d) Izracunaj kotni pospesek plosce. (1,238 rads2

)

(e) Izracunaj pospeske tock A, B in C v tistemtrenutku. (2 i, −0,440 j, 1,952 i − 1,059 jv m

s2)

9

(4) Kolut se vrti tako, da se kot ϕ veca po predpisu ϕ = πt2. Obzacetku opazovanja je torej ϕ = 0. Za trenutek, ko je tocka Bprvic v najnizji legi, izracunaj

(a) hitrost in pospesek tocke A, (−0,162 j, 4,871 j)

(b) kotno hitrost in pospesek rocice AB. (−1,622 rads

,0,944 rad

s2)

(5) Palica AB se giblje po podlagi narisaneoblike. Ko je ϕ = 20, se tocka A gibljev desno s hitrostjo 2 m

sin pospeskom 1

ms2

. Izracunaj

(a) hitrost tocke B v tistem trenutku,(1,444 i − 3,144 j).

(b) pospesek tocke B v tistemtrenutku.

10

RELATIVNO GIBANJE

(1) Na rocico OA z dolzino 1,2 m je v tocki A pritrjen kolescek s polmerom 0,5 m, ki se (zaopazovalca na rocici) okoli tocke A enakomerno vrti v narisani smeri tako, da opravi pol obratana sekundo. Poleg tega se rocica OA vrti enakomerno s hitrostjo 2 obrata na sekundo okrogO.

(a) Doloci vektorja hitrosti in pospeska tocke na disku,ki je najbolj oddaljena od tocke O.

(b) Doloci vektorja hitrosti in pospeska iste tocke, koje rocica naslednjic v tem polozaju.

(Osi koordinatnega sistema obrnemo tako, da sta vektorja i in j v ravnini lista, prvi kazedesno, drugi pa navzgor, vektor k pa kaze ven iz lista. Tedaj je (a) v = 22,9 j in a = −312,9 iter (b) v = −7,85 i + 15,08 j in aP = −189,5 i− 123,4 j.)

(2) Na rocico AT z dolzino 1 m je v tocki T pravokotno pritrjen disk s polmerom 0,5 m, kise okoli tocke T enakomerno vrti v narisani smeri tako, da opravi 4 obrate na sekundo. Polegtega se rocica AT vrti enakomerno s hitrostjo 2 obrata na sekundo okrog A.

(a) Doloci vektorja hitrosti inpospeska tocke P .

(b) Kje na disku je ta tocka, ko jerocica v pravokotnem polozajuglede na zacetek opazovanja.

(c) Doloci vektorja njene hitrosti inpospeska v tem polozaju.

(Osi koordinatnega sistema obrnemo kot pri (1). Potem je (a) vP = −6,28 i+12,57 j+12,57 kin aP = −157,9 i−394,8 j, (b) ravno na drugi strani ter (c) vP = −12,57 i+6,28 j−12,57 kin aP = −394,8 i− 157,9 j.)

(3) Dvokraka rocica OAB se enakomerno vrti s kotno hitrostjo4 rad

sv narisani smeri, poleg tega pa se tocka O enakomerno

spusca s hitrostjo 1,2 ms. Na rocico je v tocki B pritrjen disk,

ki se v danem trenutku okoli tocke B vrti v narisani smeris kotno hitrostjo 5 rad

sin kotnim pojemkom 2 rad

s2. Izracunaj

vektorja hitrosti in pospeska tocke T v tem trenutku.

(Ce postavimo koordinatni sistem tako, da bazni vektor ikaze v smeri vektorja OA, vektor j v smeri AB, vektork pa navzgor, potem je vT = −2,1 i + 0,6 j − 1,2 k inaT = −2,2 i− 10,4 j − 2,5 k.)

11

(4) Cev narisane oblike se vrti enakomerno pospeseno s kotnimpospeskom 4 rad

s2. Po polkroznem delu cevi se (glede na cev) s

konstantno hitrostjo u = 2 ms

giblje kroglica. V trenutku, koje ϕ = 110, je kotna hitrost cevi 10 rad

s. Zapisi, kaksna sta

tedaj hitrost in pospesek kroglice.

(Ce kaze vektor i v levo, vektor j v smeri vektorja OA, vektork pa navzgor, potem je v = 1,342 i − 0,684 j + 1,879 k ina = 38,12 i− 37,59 j − 27,10 k.)

(5) Lomljena gred OABC se enakomerno vrtis kotno hitrostjo 10 rad

s. Po njej se giblje

drsnik, ki se v danem trenutku giblje vnarisani smeri s hitrostjo 2,5 m

sin po-

jemkom 1,2 ms2

(glede na gred). Doloci vek-torja hitrosti in pospeska drsnika.

(Ce kaze vektor i v smeri vektorja OA, vektorj pravokotno na OA v desno, vektor k panavzgor, potem je v = 1,5 i + 3 j − 0,4 k ina = −0,9 i− 5,2 j − 50 k.)

12

DINAMIKADINAMIKA TOCKE

(1) Kroglico z maso 0,5 kg spustimo iz tocke A. Podlaga, po kateri se giblje, je sestavljena izravnih delov AC in EG in kroznega loka CE.

(a) Izracunaj silo podlage na kroglico v tockah B, D in F . (4,25 N, 9,98 N in 4,91 N)

(b) Koliksna mora biti elasticna konstanta vzmeti, da se bo skrcila za 1 dm, ko vanjo priletikroglica. (1079 N

m)

(2) Vzmet A stisnemo, nanjo nastavimo masno tocko z maso 0,5 kg in vzmet spustimo. Elasticnakonstanta vzmeti je 500 N

m.

(a) Za koliko moramo stisniti vzmet,da bo tocka ravno se doseglatocko B. (0,22 m)

(b) S koliksno hitrostjo tedaj udariob tla v tocki C? (8,58 m

s)

(3) Drsnik z maso 10 kg je vezan na vodoravno vodilo. Nanj je pripeta vzmet z elasticno konstantoke = 125 N

m, ki neraztegnjena meri 2 dm. Pritrjena je v tocki A, ki je na visini h = 3 dm nad

tocko B. Drsnik postavimo v tocko C, ki je l = 4 dm levo od tocke B in spustimo. S koliksnohitrostjo pride drsnik v tocko B, ce

(a) S koliksno hitrostjo pride drsnik v tocko B, ce ni trenjamed drsnikom in vodilom.

(b) Ce je med drsnikom in vodilom trenje s koeficientom0,25, doloci, kako se sila trenja spreminja v odvisnostiod oddaljenosti od tocke C in za vsak polozaj zapisi 2.Newtonov zakon.

(4) Vzmet je pritrjena v tocki O in neraztegnjena meri 1 m, njenaelasticna konstanta pa je 500 N

m. Nanjo pritrdimo drsnik z

maso 5 kg, ki dotlej miruje v tocki A. Drsnik je vezan navodilo narisane oblike. Izracunaj njegovo hitrost v tockah Bin C. (10 m

sin 10,7 m

s)

13

(5) Na klanec z naklonskim kotom 40 postavimo klado z maso 10 kg. Koeficient trenja med kladoin podlago je 0,4. Preko skripca z vrvico nanjo pritrdimo utez.

(a) Koliksna najvec sme biti masa utezi, da se klada ne zacnegibati po klancu navzgor? (9,49 kg)

(b) Ce se klada na zacetku giblje s hitrostjo 2 ms

po klancu navz-dol, cez koliko casa se ustavi, ce je masa utezi 20 kg? (0,368 s)

(6) Vzmet je pritrjena v tocki A v cevi ABC in neraztegnjenameri 1,5 m, njena elasticna konstanta pa je 200 N

m. Vzmet

stisnemo, nanjo nastavimo kroglico z maso 0,5 kg, in jo spus-timo.

(a) Za koliko jo moramo stisniti, da bo kroglica ravno sedosegla tocko B? (0,44 m)

(b) Koliksna je tedaj hitrost kroglice v tocki C. (5,425 ms)

(7) Vzmet je pritrjena v tocki O in neraztegnjena meri1 m, njena elasticna konstanta pa je 100 N

m. Nanjo

pritrdimo drsnik z maso 10 kg in ga spustimo iztocke A. Drsnik je vezan na vodilo narisane oblike.Izracunaj njegovo hitrost v tockah B in C. (1,21 m

s

in 5,39 ms)

(8) Na neraztegnjeno vzmet pritrdimo klado z maso 9 kg, ki jopostavimo na klanec z naklonskim kotom 30 in jo spustimo.Koliksno pot opravi klada, preden se (prvic) ustavi in koliksnodelo v tem casu opravi sila trenja. Elasticna konstanta vzmetije 150 N

m, koeficient trenja med klado in podlago pa znasa 0,4.

(0,181 m, −5,53 J)

(9) Po ravnem vodilu, ki z vodoravnico oklepa kot 60, se breztrenja giblje drsnik z maso 2 kg. Pritrjen je na vzmet zelasticno konstanto 50 N

m, ki neraztegnjena meri 0,5 m. Drugi

konec vzmeti pritrdimo v tocki O. Koliksna mora biti hitrostdrsnika v tocki A, ki je na vodilu na isti visini kot O, da sebo drsnik ustavil v tocki B, ki je tocno pod tocko O. Razdaljamed A in B je 5 m. (13,5 m

s)

14

DINAMIKA TOGEGA TELESA

(1) Neuravnotezen kolut (tezisce ni v srediscu) s polmerom 2 m in maso 80 kg je nepremicnoclenkasto pritrjen v srediscu O. Okrog koluta je navita vrv, na kateri visi breme z maso 20 kg.Kolut postavimo tako, da je tezisce tocno desno od sredisca in ga spustimo. Izracunaj

(a) kotni pospesek koluta in pospesek bremena (skupaj ssmerema), (0,288 rad

s2, −0,575 m

s2j)

(b) reakcije v clenku O (0 in 978,7 N)

v tistem trenutku. Vztrajnostni polmer koluta okrog teziscaje 1,5 m, tezisce pa je od sredisca oddaljeno 0,4 m.

(2) Pravokotno plosco izmer 0,8 m × 0,6 m z maso 10 kg spustimo iz vodoravnega polozaja.Za polozaj, ko je tezisce plosce v najnizji tocki, izracunaj

(a) kotno hitrost plosce, (3,43 rads

)

(b) hitrost tezisca plosce, (−1,72 ms

i)

(c) hitrost tocke B. (velikost je 2,06 ms)

(3) Nezbalansiran kolut (tezisce je od sredisca oddaljeno 0,2 m) ima maso 10 kg, polmer 0,5 min vztrajnostni polmer 0,25 m. V trenutku, ko na vzvod AB pritisnemo s silo F = 500 N, sevrti v smeri urinega kazalca s kotno hitrostjo 5 rad

s, tezisce pa je levo od sredisca.

(a) Koliksen kotni pospesek se pojavi v kolutu?(336,2 rad

s2)

(b) Izracunaj reakcije v clenku O. (700 N in725,7 N)

(c) Doloci vektor pospeska tocke C na kolutu vtem trenutku. (−12,5 m

s2i + 1681 m

s2j)

Koeficient trenja med kolutom in vzvodom je 0,5.

(4) Kolut s polmerom 400 mm, z vztrajnostnim polmerom 200 mm in maso 20 kg je nepremicnoclenkasto pritrjen v srediscu O. Okrog koluta je v oddaljenosti 100 mm od sredisca navita vrv,na katero obesimo breme z maso 10 kg. Sistem spustimo.

(a) Kaksne reakcije se pojavijo v clenku O. (0 in 283,4 N)

(b) Izracunaj kotni pospesek koluta in pospesek utezi.(10,9 rad

s2, −1,09 m

s2j)

(c) Cez koliko casa je hitrost utezi 10 ms? (9,17 s)

(c) Kaksna sta tedaj vektorja hitrosti in pospeska tocke navrhu koluta (smer in velikost)? (−40 m

si, −4,36 m

s2i−

4000 ms2

j)

15

(5) Homogeno palico AB dolzine 1,5 m z maso 5 kg postavimo v navpicni polozaj. Pri temtlacimo vzmet z elasticno konstanto 5 N

mm, ki je zato skrcena za 100 mm. Palico spustimo.

Izracunaj

(a) kotno hitrost palice, (4,51 rads

)

(b) hitrost tezisca palice, (3,39 ms

j)

(c) hitrost tocke B (6,77 ms

j)

v trenutku, ko je palica v vodoravnem polozaju.

(6) Homogena palica z dolzino 0,8 m in maso 5 kg je nepremicno clenkasto pritrjena na enemkoncu O, drugi konec P pa drzimo tako, da palica z vodoravnico oklepa kot 20. Nato palicospustimo. Koliksni so v tistem trenutku

(a) reakcije v clenku O, (−11,8 N in 16,5 N)

(b) kotni pospesek palice, (17,3 rads2

)

(c) pospesek (velikost in smer) tocke P? (13,8 ms2

,to je tangencialni pospesek, ker je normalnipospesek enak 0)

(7) Breme z maso 300 kg dvigujemo z naslednjim mehanizmom. Boben s srediscem v A poga-njamo tako, da nam zagotavlja stalno silo 1,8 kN v vrvi, ki ga povezuje z bobnom s teziscemv O. Le-ta ima maso 150 kg in njegov vztrajnostni polmer okoli O je i = 450 mm. Ostalipodatki so narisani na sliki.

(a) Izracunaj pospesek bremena in kotnipospesek bobna O (pri obeh navedi smer).(1,03 m

s2j, 3,44 rad

s2)

(b) Izracunaj reakcije v podpori O. (−1273 N,5997 N)

16

(8) Palica z maso 27 kg in z dolzino 2 m je z enimkrajiscem vezana na vodorovno, z drugim pa nanavpicno vodilo. Na slednje je pritrjena se vzmetz elasticnim koeficientom k = 50 N

m. V narisanem

polozaju je neraztegnjena. Nato palico spustimo.Izracunaj hitrost krajisca A in kotno hitrost palica,ko krajisce A udari ob tla. (−1,94 m

sj, 2,24 rad

s)

(9) Homogena palica AB z maso 9 kg in dolzino 4 m je nepremicno clenkasto pritjena v tockiO, ki je od tezisca oddaljena 1 m. Nanjo je v tocki C, ki je od tezisca ravno tako oddaljena 1m, pritrjena vzmet z elasticno konstanto 200 N

m, ki neraztegnjena meri 1,5 m. Palico postavimo

v navpicen polozaj in jo spustimo.

(a) Izracunaj kotno hitrost palice v vodoravnem polozaju.(8,56 rad

s)

(b) Kaksni sta tedaj smer in velikost hitrosti tock A in B?(−8,56 m

sj, 25,7 m

sj)

Pomemben primer gibanja togega telesa je kotaljenje brez spodrsavanja. Ce je rob ali del roba togegatelesa krozni lok (nekaj moznih primerov na skici)

potem se sredisce kroznega loka O giblje premocrtno. Pri kinematiki smo izpeljali, da se premakneza toliko, kolikor je dolzina loka, po katerem se je v istem casu zakotalilo telo, torej

xO = rϕ.

Ce to dvakrat odvajamo, dobimo formuli

vO = rω,

aO = rα.

17

Paziti je treba na smer. Ce se giblje v desno, je kotna hitrost v smeri urinega kazalca in podobno.To so formule, ki veljajo za sredisce kroznega loka in ne za tezisce togega telesa, razen ce je tezisceravno v srediscu (npr. uravnotezen kolut, uravnotezen krozni obroc)! Za druge tocke togega telesapa izracunamo hitrost in pospesek po znanih formulah iz kinematike

vA = v0 + ω ×OA,

aA = a0 + ω × (ω ×OA) + α×OA.

Ce resujemo tako nalogo z energijami, potem vemo, da je delo normalne sile podlage in delo trenjaenako 0; obe sili namrec vseskozi delujeta v polu.

(10) Na uravnotezeno kolo z maso 10 kg in vztrajnostnim polmerom 80 mm je navita vrvica, kotje prikazano na skici. Vrvico napnemo, da je sila v njej F = 200 N. Izracunaj

(a) kotni pospesek kolesa, (16,1 ms2

i)

(b) pospesek sredisca kolesa (79,6 rads2

)

v tem trenutku. Koeficient trenja je 0,4. (Namig:Resuj podobno kot nalogo VIII.5 na vajah.)

(11) Na homogen valj s polmerom 0,3 m in maso 2 kg je v oddaljenosti 0,1 m od sredisca navitavrvica. Vlecemo jo tako, da je vseskozi napeta s silo 150 N. Trenje je zadostno, da se valj kotalibrez spodrsavanja. Izracunaj hitrost sredisca valja, potem ko iz mirovanja opravi 4 m poti.(23,1 m

si)

(12) Dva enaka homogena diska z maso 10 kg in polmerom 0,4 m povezuje drog dolzine 1 m zmaso 5 kg. V trenutku, ko je drog v najvisjem polozaju (kot je prikazano na skici), je kotnahitrost diskov 5 rad

sv smeri urinega kazalca. Izracunaj hitrost tezisca droga, ko diska opravita

pol obrata. Nasvet: Resuj z energijami za sistem teh treh teles kot pri nalogi IX.6 z vaj.(−1,84 m

si)

18

(13) Okvir polkrozne oblike ima polmer 0,5 m in maso 8 kg. V oddaljenosti 0,2 m od dotikaliscas tlemi na okvir pritisnemo s silo F = 100 N. Predpostavimo, da je trenje zadostno, da okvirne zdrsne.

(a) Koliksen kotni pospesek se pojavi v okvirju?(6,347 rad

s2)

(b) Vsaj koliko mora biti koeficient trenja, daokvir ne zdrsne? (0,112)

(Nasvet: Pri tej kar tezki nalogi je treba biti pozoren na nekaj stvari. Najprej, polozaj teziscaizracunamo s formulo za krozni lok (a = r sin α

α). Nadalje, ce je celotna masa na razdalji r

od neke tocke, je vztrajnostni moment okoli tiste tocke I = mr2. V tem primeru to velja zasredisce kroznega loka O. Vztrajnostni moment okrog tezisca se potem izracuna po Steiner-jevem pravilu; odsteti je torej treba m|OT |2. Potem se resuje podobno kot nalogo VIII.5)

19

NIHANJE

Nekaj nalog z izpitov vsebuje dimenzioniranje. Ce se pripravljate zgolj na cetrti kolokvij (in ne napisni izpit), lahko dimenzioniranje spustite in preberete dimenzije iz resitev. Potrebovali pa bostevztrajnostni moment prereza okoli nevtralne osi, zato je podan. Ce ga izpeljete sami, se toliko bolje.

(1) Jeklen listic dolzine 100 mm, sirine 9 mm in visine 1 mm konzolno vpnemo. Koliksna morabiti masa utezi, ki jo postavimo na konec listica, da bodo njegova lastna frekvenca 5 Hz, 7 Hz,9 Hz? Youngov modul za jeklo je 210 GPa. (0,48 kg, 0,24 kg, 0,15 kg)

(2) Plosca z maso 20 kg je podprta z dvema enakima vzmetema z elasticno konstanto 250 Nm

.

(a) Za koliko sta vzmeti skrceni v ravnovesju? (0,392 m)

Plosco dvignemo za 5 cm in jo spustimo.

(b) Zapisi 2. Newtonov zakon za situacijo, ko je plosca za xvisje od ravnovesne lege.

(c) Zakaj je gibanje plosce lastno neduseno nihanje?

(c) Izracunaj krozno frekvenco, frekvenco in obhodni cas tega nihanja. (5 1s, 0,796 1

s, 1,257 s)

(d) Zapisi enacbo odvisnosti koordinate x od casa.

(e) Kje je plosca po 3 s. (0,038 m pod ravnovesnim polozajem)

(3) Vozicek z maso m = 10 kg je pritrjen z dvema enakimavzmetema z elasticno konstanto k = 20 N

mna premicno

steno. Ob zacetku opazovanja stena miruje, vozicek pa je vravnovesju (vzmeti sta neraztegnjeni). Potem zacnemo stenopremikati po predpisu l = l0 sin Ωt, pri cemer je l0 = 0,1 m.

(a) Zapisi 2. Newtonov zakon za trenutek, ko je stena za l bolj desno, vozicek pa za x boljdesno kot na zacetku.

(b) Za katero vrsto nihanja gre?

(c) Koliksen je faktor kineticnega ojacanja, ce je Ω = 1 1s, 2 1

s, 3 1

s, 6 1

s? Kako se imenuje

pojav pri Ω = 2 1s? (4

3, ∞, −0,8, −0,125)

(c) Za Ω = 3 1s

zapisi enacbo odvisnosti koordinate x od casa.

(d) Kje je vozicek po 4 s? (0,162 m desno od zacetnega polozaja)

20

(4) Na prostolezec jeklen nosilec s T-prerezom in z dolzino 5 m polozimo utez z maso 510 kg.

(a) Doloci izmero a, da bo nosilec zdrzal upogibne napetosti. Dopustna normalna napetostje σdop = 140 MPa. (1,97 cm, vztrajnostni moment je I = 18, 17 a4)

(b) Izracunaj frekvenco lastnega nihanja nosilca pri najmanjsem dopustnem a. Youngovmodul za jeklo je 210 GPa. (3,44 Hz)

(5) Utez z maso m = 2 kg visi na vzmeti z elasticno konstanto k = 800 Nm

in dusilki s koeficientomdusenja c.

(a) Za koliko je vzmet raztegnjena v ravnovesju?

(b) Zapisi 2. Newtonov zakon za situacijo, ko je utez za xoddaljena od ravnovesne lege in ima hitrost v. S pomocjote enacbe izpelji znacilno enacbo lastnega dusenega ni-hanja.

(c) Za katero vrsto dusenja gre, ce je c = 50 Nsm

, 80 Nsm

,100 Ns

m? (sibko, kriticno, mocno)

(c) Pri koliksem c je dusenje kriticno? (80 Nsm

)

(6) Jeklen nosilec dolzine 4 m, katerega prerez je pravokotnik 9 cm × 8 cm, je konzolno vpet.Na njegov prosti konec je pritrjen elektromotor z maso 2,5 kg in kotno hitrostjo Ω, ki ima narotorju namesceno utez z maso 0,3 kg na oddaljenosti 3 cm.

(a) Izracunaj lastno krozno frekvenco nosilca. (120 1s)

(b) Zapisi 2. Newtonov zakon za elektromotor v navpicni smeri.

(c) Pri katerem Ω pride do resonance? (120 1s)

(c) Za Ω = 200 1s

zapisi enacbo gibanja elektromotorja (samo vsiljeni del).

21

(7) Na prost konec konzolno vpetega nosilca, ki ima dolzino l = 7 m in prerez skicirane oblike,postavimo utez z maso 150 kg.

(a) Doloci najmanjsi a, pri katerem nosilec zdrzi upogibne napetosti, ce je dopustna normalnanapetost σdop = 140 MPa. (2,6 cm, vztrajnostni moment je I = 8, 85 a4)

(b) Izracunaj frekvenco lastnega nihanja nosilca pri najmanjsem dopustnem a. Youngovmodul za jeklo je 210 GPa. (1,12 Hz)

22