Nakamura 1 20

JORGE NAKAMURA MUROY

NUEVA EDICION

JORGE NAKAMURA MUROY

Ingeniero Mecánico - Electricista.

Master of Science en Ingenieria Mecánica.

Profesor Principal de la Facultad

de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

de la Universidad Nacional de Ingeniería.

Jefe del Departamento de Energía

y Mecánica.

ARTE Y DIAGRAMACIÓN: Jesús Carrasco H. DIBUJOS: Maria Esther Mestanza C.

REVISIÓN FINAL: Eduardo Sato N. - Jorge D. Nakamura G.

INTRODUCCIÓN

GEOMETRIA DESCRIPTIVA: Es la ciencia del trazado, que tiene por finalidad llegar a la representación exacta y perfecta de los objetos y solucionar los problemas que pudieran presentarse en el espacio.

La solución de los problemas son realizados por medio de métodos netamente gráficos, basándose en análisis previos realizados sobre figuras simples tales como el punto, la recta y el plano, hasta llegar a las formas complejas como son los prismas, las pirámides, los cilindros, los conos, etc.

El término "Geometría Descriptiva" significa la presentación o descripción gráfica de los objetos, realizada llevando las tres dimensiones del espacio sobre tan solo dos, que son las dimensiones con que cuenta el papel o la lámina sobre la cual se hacen los trazados. Esto se logra mediante el empleo de los planos de proyección, que no son más que planos que ocupan diferentes posiciones en el espacio, sobre los cuales se proyecta el objeto y luego son girados hasta encontrarse todos sobre un mismo plano. Es asi como se consigue la reducción de lo tridimensional al plano' bidimensional, sin perder precisión en las construcciones.

Se observará que la importancia del curso radica en el hecho de que permite a quien la práctica, adquirir y desarrollar habilidades relativas a la visualización de los objetos mediante proyecciones, haciendo trabajar su imaginación, sin la cual sería imposible la resolución de problemas.

La ciencia de la Geometría Descriptiva tiene sus orígenes en Francia. Fue creada por GASPARD MONGE de la Escuela Militar de MEZIERES, cuando realizaba algunos proyectos para la aplicación militar.

Al perfeccionar su método, escribe una obra conteniendo toda su teoría la cual es publicada en 1795; pero es tomada inmediatamente por el gobierno y declarada "SECRETO MILITAR DE GRAN VALOR" por espacio de casi 30 años.

CLAUDE CROZET, discípulo de Monge, es el encargado de difundir la materia en los Estados Unidos de Norteamérica haciéndolo en la Academia Militar en 1816, y publica el primer tratado en idioma inglés (1821).

A comienzos del siglo, como consecuencia de los adelantos alcanzados, nace una tendencia que trata de simplificar y dar un sentido práctico al método tradicional del monge, es así coman tenemos a DEAN EMERITUS ADAM V. MILLAR, profesor de la Universidad WISCONSIN, quien aplica por primera vez su propia metodología durante sus clase del verano de 1908.

Más tarde, las bases de esta nueva tendencia fueron fijadas por MILLAR yMACLlN en la obra escrita en 1913 y por MARQUARDT en 1919.

A conjunto. de las modificaciones efectuadas se le conoce con "MÉTODO DIRECTO", terminoloqia que por primera vez es empleado por GEORGE J.

/

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

CAPITULO I: CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASICAS

1.1

1.2

Trazar rectas paralelas a una recta dada…………………………………..

Trazar rectas perpendiculares a una recta dada………………………….. 1

21.3 Trazar la mediatriz de un segmento de recta……………………………... 2

1.4 Trazar una recta paralela a otra, a una distancia dada…………………... 2

1.5 Trazar la bisectriz de un ángulo……………………………………………. 3

1.6 Bisectriz de un ángulo con vértice desconocido…………………………...

3

1.7 Trazar por un punto dado una recta concurrente con otras dos………… 3

1.8 Trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados……………… 4

1.9 Hallar una circunferencia que pase por un punto y sea tangente

a dos rectas dadas…………………………………………………………….

: 4

1.10 Trazar una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente

a una circunferencia dada…………………………………………………….

5

1.11 Trazar rectas tangentes a dos circunferencias dadas……………………. 5

1.12 Dividir un segmento en partes iguales………………………………………

6

1.13 Dividir un segmento en proporción dada……………………………………

6

1.14 Traslado de un ángulo……………………………………………………….. 7

1.15 Lugar Geométrico de todos los puntos que equidistan

una recta y un punto………………………………………………………… 7

1.16 Lugar Geométrico de todos los puntos que determinan un ángulo

Dado con los extremos de un segmento……………………………………

7

1.17 Lugar Geométrico de todos los puntos que determinan un ángulo

De 90° con los extremos de un segmento…………………………………. 8

CAPITULO II: PROYECCIONES2.1 Proyección de un punto 9

2.2 Tipos de proyección 10

2.3. Planos principales de proyección 12

2.4 Proyecciones en el primer y tercer cuadrante 13

2.5 Proyecciones y depurado de un punto 14

2.6 Ubicación de un punto por coordenadas 15

2.7 Posiciones relativas de dos puntos entre sí 17

PROBLEMAS RESUELTOS : 19

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 24

2.8 Vistas principales de un sólido o 27

PROBLEMAS RESUELTOS 29

\11

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS : 43

CAPITULO III: LA RECTA3.1 Proyecciones de una recta 65

3.2 Puntos contenidos en una recta 66

3.3 Posiciones particulares de una recta 67

3.4 Rectas que se cortan 70

3.5 Rectas que se cruzan 70

3.6 Visibilidad de rectas que se cruzan .71

3.7 Verdadera magnitud de una recta 72

3.8 Vista de punta de una recta 73

3.9 Orientación y pendiente de una recta 74

3.10 Rectas paralelas l 75

3.11 Rectas perpendiculares

PROBLEMAS RESUELTOS

75

77PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS , 104

CAPITULO IV: EL PLANO4.1 Determinación de un plano 107

4.2 Rectas contenidas en un plano 108

4.3 Puntos contenidos en un plano 1094.4 Posiciones particulares del plano 109

4.5 Vista de canto de un plano 1114.6 Verdadera magnitud de un plano 1124.7 Orientación y pendiente de un plano 1134.8 Proyecciones de un círculo 114


PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 131. CAPITULO V: RECTAS y PLANOS PARALELISMO y

PERPENDICULARIDAD

PARALELISMO:5.1 Principios fundamentales 135

5.2 Por un punto trazar un plano paralelo a otro plano dado 1365.3 Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas 1365.4 Por una recta trazar un plano paralelo a otra recta dada 1315.5 Determinar si una recta es paralela a un plano 137

PERPENDICULARIDAD:5.6 Principios fundamentales 1385.7 Por un punto Trazar una recta perpendicular a un plano 138

5.8 Por un punto trazar un plano perpendicular a una recta 140

5.9 Trazar u n p l a n o q u e c o n t e n g a a u n a r e c t a y s e a Perpendicular a un plano dado 140

VIII

8.1 Definiciones : 223

8.2 Angula entre dos rectas que se cruzan 224

8.3 Angula entre una recta y un plano 225

8.4 Angulo entre dos planos 228



CAPITULO IX: GIROS9.1 Giro de un punto 253

, 9.2 Verdadera magnitud de una recta mediante giros 254

9.3 Vista de punta de una recta., 255

9.4 Vista de canto de un plano 256

9.5 Verdadera magnitud de un plano mediante giros 256

9.6 Determinación de un ángulo diedro entre dos planos 258

9.7 Determinación del ángulo entre una recta y un plano 259

5.10 Por un punto trazar un plano perpendicular a dos planos dados 141



CAPITULO VI: INTERSECCIONES6.1 Intersección de una recta con un plano. Método de la vista

de canto 1676.2 Intersección de una recta con un plano. Método del plano

Cortante 1686.3 Intersección de planos. Método de la vista de canto 1696.4 Intersección de planos. Método de la intersección de una

Recta con un plano 1706.5 Intersección de planos. Método del plano cortante 171

PROBLEMAS RESUELTOS 172PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 184

CAPITULO VII: DISTANCIAS7.1 Distancia de un punto a una recta 189

7.2 Menor distancia entre dos rectas 191

7.3 Distancia de un punto aun plano 193

7.4 Menor distancia con pendiente dada entre dos rectas que

se cruzan 194

7.5 Menor distancia horizontal entre dos rectas que se cruzan 1947.6 Menor distancia con ángulo determinado con el plano frontal. 195

7.7 Menor distancia frontal entre dos rectas que se cruzan 196

7.8 Distancia paralela a una dirección dada entre dos rectas que

Se cruzan 197



CAPITULO VIII: ANGULOS



CAPITULO X: INTERSECCIÓN DE RECTAS CON POLIEDROS

Y SUPERFICIES

10.1 Definición 281

10.2 Puntos contenidos en las caras de un poliedro 282

10.3 Intersección de una recta con un prisma 282

10.4 Intersección de una recta con una pirámide 283

10.5 Superficies. Cono, cilindro, esfera 283

10.6 Puntos contenidos en la superficie de un cono 284

10.7 Intersección de una recta con un cono 284

10.8 Puntos contenidos en la superficie de un cilindro 285

. 10.9 Intersección de una recta con un cilindro 285

10.10 Puntos contenidos en la superficie de una esfera 286

10.11

Intersección de una recta con una esfera 286



CAPITULO XI: PLANOS TANGENTES A SUPERFICIESPLANOS TANGENTES A CONOS:

11.1 Plano tangente a un cono por un punto contenido en su

superficie 301

11.2 Plano tangente a un cono por un punto exterior 30211.3 Plano tangente a un cono, paralelo a una recta dada 303

PLANOS TANGENTES A CILINDROS:

11.4 Plano tangente a un cilindro por un punto de su superficie 30411.5 Plano tangente a un cilindro por un punto exterior 30411.6 Plano tangente a un cilindro paralelo a una recta dada ' 305

PLANOS TANGENTES A ESFERAS:11.7 Plano tangente a una esfera por un punto de su superficie 306

11.8 Plano tangente a una esfera por una recta dada 30611.9 Por un punto trazar un plano tangente a dos esferas 30711.10 Trazar un plano tangente a dos conos de revolución con vértice

común 309

11.11 Por una recta trazar un plano que haga un ángulo dado con el

plano horizontal o con el frontal. 313

11.12 Por una recta trazar un plano que haga un ángulo dado conun plano cualquiera 314

11.13 Desde un punto trazar una recta que forme ángulos dados con

dos pianos 315

11.14 Trazar una recta que conecte a otras dos haciendo ángulos

dados con ellos 319

11.15 Por un punto trazar un plano que haga ángulos dados con

otros dos pIanos

320

x

12.1 Sección plana de un prisma 349

12.2 Sección plana de una pirámide 350

12.3 Sección plana de un cilindro 351

12.4 Secciones planas de un cono circular recto 352

12.5 Trazar una recta tangente a una sección cónica 353

12.6 Determinación del tipo de curva que será la sección cónica 353

12.7 Determinación de las asíntotas de la hipérbola 354

12.8 Sección plana de la esfera , 355



CAPITUL.O XIII: INTERSECCIÓN DE SÓLIDOS

13.1 Tipos de intersecciones · 369

13.2 Métodos para determinar intersecciones de sólidos 371

13.3 Intersección de dos prismas 371

13.4 Intersección de un prisma con una pirámide 373

13.5 Intersección de pirámides 374

13.6 Intersección de un cono con un prisma 375

13.7 Intersecciones de cilindros 377

13.8 Intersección de un cilindro con un cono 379

13.9 Intersección de dos conos 383

13.10 Intersección de dos esferas · ·386



PROBLEMAS RESUELTOS : 322


CAPITULO XII INTERSECCIÓN DE PLANOS CON

POLIEDROS Y SUPERFICIES

CAPITULO XIV: DESARROLLOS

14.1 Definición 401

H.2 Desarrollo de un prisma 402

14.3 Desarrollo de una pirámide recta 403

14.4 Desarrollo de una pirámide oblicua 404

14.5 Desarrollo de un tronco de pirámide 405

14.6 Desarrollo de un cilindro recto 406

14.7 Desarrollo de un cilindro oblícuo 407

14.8 Desarrollo de un cono circular recto 408

14.9 Desarrollo de un tronco de cono recto 409

14.10 Desarrollo de un cono oblicuo 410

14.11 Desarrollo de un tronco de cono oblícuo 412

14.12 Desarrollo de una pieza de reducción cónica 413

PIEZAS DE TRANSICIÓN:14.13 Definición 414

XI

CAPITULO I

CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASlCAS

El desarrollo de problemas de Geometría Descriptiva, requiere de cierta práctica en el uso de los artículos de dibujo como son las escuadras, el compás, la regla “T”, etc. y además demanda del conocimiento de algunos procedimientos básicos para la construcción de figuras geométricas.

El objeto de este capítulo previo, es proporcionar algunos conocimientos básicos en la técnica del trazado, los cuales serán impartidos a través de los casos que se desarrollan a continuación.

1.1 TRAZAR RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA:

Posicionar las escuadras de tal modo que uno de los lados de la escuadra deslizante coincida con la recta dada.Teniendo como guía la escuadra fija; mover la escuadra deslizante tal como se muestra en la figura, obteniéndose de este modo las paralelas deseadas.

PAGINA 1

1.2 TRAZAR RECTAS PERPENDICU-LARES A UNA RECTA DADA:

Posicionar las escuadras de tal modo que la hipotenusa de una de ellas coincida con la recta dada MN.Manteniendo firme la escuadra fija, apoyar sobre ésta el otro cateto de la escuadra móvil, tal como se muestra en la figura.La nueva posición de la hipotenusa determina las perpendiculares buscadas.

1.3 TRAZAR LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO DE RECTA: Definición: Mediatriz es la recta perpendicular a un segmento dado que pasa porsu punto medio.Sea AB el segmento cuya mediatriz se desea determinar.Con centro en A, trazar un arco de circunferencia con un radio cualquiera “r” y hacer [o mismo tomando como centro el extremo B, empleando el mismo radio. .

La mediatriz buscada es la recta que pasa por los dos puntos

de intersección.

1.4 TRAZAR UNA RECTA PARALELAA OTRA, A UNA DISTANCIA DADA:

Sea XY la recta dada y "a" la distancia a la cual se desea trazar una paralela.Trazar en primer lugar una perpendicular.a XY y sobre ella medir la distancia “a”, determinándose de este modo el punto l. La recta paralela a XY que pasa por el punto I es Ia que se busca.


1.5 TRAZAR LA BISECTRIZ DE UN ANGULO:

Sea ABC el ángulo cuya bisectriz se desea determinar.

Mediante un compás, trazar un arco con un radio cualquiera, el cual corta a los lados AB y BC en los puntos X e Y.

Con centro en X y luego en Y y con un mismo radio “r” se trazan los arcos que se cortan en Z.

Uniendo el vértice del ángulo con el punto Z se determina la bisectriz deseada.

1.6 BISECTRIZ DE UN ANGULO CON VERTICE DESCONOCIDO:

Las rectas MN y XY son los lados de un ángulo cuyo vértice está fuera de los límites del dibujo. Se nos pide hallar la bisectriz.Como primer paso y aplicando el procedimiento ya conocido, se trazan rectas paralelas a MN y XY, a una distancia "d" cualquiera.La bisectriz del ángulo determinado en el paso anterior es la bisectriz buscada.

1.7 TRAZAR POR UN PUNTO DADO UNA RECTA CONCURRENTE CON OTRAS DOS:Las rectas AS y CD son dos rectas que se intersectan. Se desea trazar por el punto P una recta que pase por la intersección de las dos anteriores, (rectas congruentes).Ubicar dos puntos cualesquiera (X e Y)sobre las rectas dadas.Trazar una paralela cualquiera (1-2) al segmento XY.Desde 1 trazar una paralela a XP y por 2 una paralela a YP, definiéndose de este modo el punto 3. Uniendo P con 3 se tiene la recta buscada.

PAGINA 3

1.8 TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR TRES PUNTOS DADOS:

Sean X, Y, Z los, puntos dados. Trazar las mediatrices de los segmentos XY e YZ.La intersección "O" de estas mediatrices es el centro de la circunferencia buscada, siendo el radio la distancia. OX, OY ú OZ.Nota: La mediatriz de XZ debe pasar también por "O”

1.9 HALLAR UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR UN PUNTO' Y SEATANGENTE A DOS RECTAS DADAS:

Datos: Rectas AB y MN Y un punto x.Prolongar las rectas AB y MN hasta determinar la intersección l.Hallar la bisectriz del ángulo cuyo vértice es l. (Todas las circunferencias tangentes a ABy MN tendrán sus centros sobre esta bisectriz).Trazar una circunferencia cualquiera con centro en "O" y tangente a AB y MN.Unir el vértice I con el punto X y determinar la intersección l con la circunferencia de centro O.Trazando una recta que pase por X y sea paralela a O1, se halla el centro O' de la circunferencia buscada, cuyo radio será r2.


1.10 TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR DOS PUNTOS y SEA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA DADA:Se conocen los puntos A y B y la circunferencia con centro en O.Se traza en primer término las mediatriz del segmento AB (todas las circunferencias que pasan por A y B tienen sus centros en esta mediatriz).Construir una circunferencia cualquiera con centro en P, que pasa por A y B y corta a la circunferencia dada en los puntos 1 y 2. La recta 1-2 se corta con AB en el punto l.Desde I se traza una tangente a la circunferencia de centro O, siendo T el punto de tangencia.Se une O con T hasta cortar a la mediatriz antes trazada y se determina el punto Q que es el centro de la circunferencia buscada.

o

1.11 TRAZAR RECTAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS:

Se dan las circunferencias de centros O y O’ y radios r y r' respectivamente, a los cuales se quiere trazar rectas tangentes.

TANGENTES EXTERNAS: Con centro en O trazar una circunferencia cuyo radio es igual a la diferencia r-r'.Desde O' se trazan tangentes O'T y O'S, a esta última circunferencia. Las rectas tangentes buscadas serán paralelas a estas dos tangentes O'T y O'S.

PAGINA 5

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

TANGENTES INTERNAS: Rea- lizar una construcción similar a la anterior pero trazando una cir- ' cunferencia con radio igual a la suma r+r'.

1.12 DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES:Dividir el segmento MN en 7 partes iguales.Trazar por el extremo M, un segmento cualquiera (haciendo un ángulo cuaI- quiera) y marcar sobre él 7 puntos separados entre sí una distancia cono- cida (por ejemplo 1 cm.).Unir el punto 7 con el extremo N.Por cada uno de los 6 puntos restantes trazar paralelas a 7 -N.Las intersecciones de estas paralelas con el segmento MN determinan las divisiones buscadas.

1.13 DIVIDIR UN SEGMENTO EN UNA PROPORCION DADA:

Hallar un punto X sobre el segmento AB de tal modo que AX/XB = 2/7.De acuerdo al procedimiento ya ex-plicado, dividir el segmento AB en 9 partes iguales y de este modo quedará identificado el punto buscado.

CAPITULO 1: CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASICAS

1.14 TRASLADO DE UN ANGULO:Con vértice en O y teniendo como lado el segmento OP, construir un ángulo igual al ángulo indicado en la parte inferior.Sobre el ángulo dado, trazar el arco de radio r1 y hacer lo mismo tomando como centro O. 'Luego, tomar el arco de radio r2 y trasladarlo como se muestra en el gráfico.La intersección de los dos amos nos permite construir el ángulo.

,1.15 LUGAR GEOMETRICO DE TODOS LOS PUNTOS QUE EQUIDISTAN DE

UNA R ECTA UN PUNTO:Sea XY la recta dada y O el punto conocido.Trazar una recta P1 paralela a XY, a una distancia "a'.Con centro en “O” y radio "a" trazar un arco que corta a P1, en los puntos 1 y 2. Estos dos puntos equidistan de XY y de "O", es decir, pertenecen al lugar geométrico buscado.Repetir el procedimiento trazando la paralela P2

y se hallarán dos puntos más. Uniendo todos los puntos determinados mediante este procedimiento, se hallará el lugar, geométrico que resulta ser una parábola cuyo foco es "O".

1.16 LUGAR GEOMETRICO DE TODOS LOS PUNTOS QUE DETERMINAN UN ANGULO DADO CON LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO:

Según el segmento. Se busca el lugar geométrico de todos los puntos, tal como P, que determinan un ángulo “α” con los extremosXY.Trazar en primer lugar una recta L que determine el angulo “α” con la recta XY.Por Y trazar una perpendicular a la recta L. .La interseccíón de esta perpendicular con la mediatriz XY, determina el punto “O”El lugar geométrico buscado es la círcunferenciaCon centro en “O” y que pasa por los extremos de XY. Este lugar geométrico es conocido como ARCO CAPAZ. Todos los puntos tales como P'y P’’ pertenecientes a esta circunferencia, cumplen con la condición exigida.

L

GEOMETR.IA DESCRIPTIVA

1.17 LUGAR GEOMETRICO DE TODOS LOS PUNTOS QUE DETERMINAN, UN ANGULO DE 90° CON LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO.

Este es un caso particular del arco capaz, en que el ángulo dado es 90°A pesar de tratarse de un simple caso particular del problema anterior, es importante familiarizarse con esta construcción geométrica por la frecuencia con que se le usa en la resolución de problemas de Geométria Descriptiva.Sea AB el segmento dado. Si se toma el punto medio de este segmento y se traza una circunferencia con centro en este punto y con un radio igual a AB/2, se tendrá el lugar geométrico buscado.En efecto, si desde un punto cualquiera de esta circunferencia, tal como P, se trazan rectas que lo unan con los extremos A y B, éstas rectas determinan entre sí un ángulo de 90°. Esta condición se cumplirá con todos los puntos de la circunferencia trazada.

\.

Figura 2.17

, .

1'.

CAPITULO II

PROYECCIONES

2.1 PROYECCION DE UN PUNTO:

Imaginemos un punto en el espacio y un plano cualquiera, tal como se muestra en la figura

2.1.

_-

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Si un observador se ubica delante del punto A, la línea de visión que une su ojo con el punto A, impactará sobre el plano P, determinando sobre él un punto A’. (Figura 2.2 (a)) Al punto A’ se le conoce corno proyección del punto A sobre el plano P.Esta misma definición es válida Si el plano de proyección se encuentra entre el observador y el punto a proyectar (Figura 2.2 (b)) .

B

l" " *

•

2.2 TIPOS DE PROYECCION:

Las proyecciones pueden clasificarse en:

- Proyección Cónica.

- Proyección Cilíndrica.

- Proyección Ortogonal.

PROYECCION CONICA:

Es la que se obtiene cuando el observador se encuentra a una distancia finita del plano de proyección.En este caso, las líneas de visión o rayos proyectantes se originan en un punto (ojo del observador) denominado foco y son divergentes. (Figura 2.3).El tamaño de la proyección dependerá de las distancias relativas entre el foco, el objeto y el plano de proyección.Los dibujos denominados en PERSPECTIVA, corresponden a este tipo de proyección.

CAPITULO II: PROYECCIONES

En la figura 2.4 se muestra una proyección en perspectiva. Observar que las partes más cercanas del escritorio tienen un tamaño mayor.

. .

PROYECCION CILlNDRICA:

Es aquella que se obtiene suponiendo que el

observador se halla en el infinito, de tal modo que

todas las lineas de visión o rayos proyectantes

resultan paralelos entre si.

Un ejemplo de una proyección cilíndrica se

muestra en la figura 2.5. .

GEOMETRIA OESCAIPJI\IA

PROYECCION ORTOGONAL:Corresponde al caso particular de la proyección cilíndrica, en el que las líneas de visión o rayos proyectantes son perpendiculares al plano de proyección. (Figura 2.6)

Este es el tipo de proyección empleado' en GEOMETRIA DESCRIPTIVA así como en el dibujo técnico.

En adelante todas las proyecciones usadas en este texto serán ORTOGONALES.

2.3 PLANOS PRINCIPALES DE PROYECCION:

El plano de proyección visto en el párrafo anterior puede tener diferentes posiciones, de acuerdo a la dirección en que se encuentra el observador con respecto al objeto.Existen tres posiciones claramente definidas que se conocen como los Planos Principales de Proyección, el primero es el PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN, que es el que se utilizará para determinar la proyección cuando el observador esté “encima” del objeto. El segundo es el PLANO FRONTAL DE PROYECCION, que se empleará cuando el observador esté “al frente” del objeto y finalmente el PLANO DE PERFIL, que es un plano perpendicular a los dos anteriores y dará la proyección del objeto cuando el observador este ubicado a “un lado” de aquel. Como se verá estos tres planos son perpendiculares entre si y su ubicación relativa la podemos observar en la figura 2.7 (a). En la figura 2.7 (b) se observan las proyecciones de un triángulo sobre los tres planos de proyección.Existen casos en que son necesarios otros planos de proyección además de los tres principales debido a que éstos podrían estar proporcionando una visión no muy favorable del objeto, en tales casos se emplean las llamadas vistas auxiliares que serán estudiadas más adelante.

2.4 PROYECCIONES EN EL PRIMER Y TERCER CUADRANTE:Los planos principales de proyección explicados en el acápite anterior, pueden ubicarse entre el observador y el objeto o también detrás del objeto.Así, tan solo variando la posición de los planos principales de proyección, se tendrían diferentes casos con proyecciones que podrían deferir una de otrasTal es el caso de las dos proyecciones que se muestran en las figuras 2 8 (a) y 2.8 (b), las cuales se diferencian únicamente en la posición de los planos de proyección con respecto al observador y al objeto. De las muchas posibilidades que pueden presentarse, los dos casos mostrados son los más usuales.De la figura 2.8 (a) corresponde a la denominada PROYECCION EN EL PRIMER CUADRANTE O PROYECCION DIN (DEUTSCHE INDUSTRIE NORMEN), en la cual los planos de proyección están situados detrás del objeto. Este método de proyección es empleado en los países europeos.

La figura 2.8 (b) corresponde a una PROYECCION EN El TERCER

CUADRANTE O PROYECCION ASA (AMERICAN STANDARD ASOCIATION), en la que los planos de proyección están entre el observador y el objeto. Este método de proyección es empleado en los Estados Unidos de Norteamérica y puede verse en los planos y diagramas de este origen.

Observar que en las proyecciones DIN y ASA, además de la diferencia en la posición de los planos de proyección, pueden existir diferencias en las vistas obtenidas, como es el caso de las vistas en los planos de perfil “P” de la figuras 2.8 (a) y 2.8 (b).

2.5 PROYECCIONES Y DEPURADO DE UN PUNTO:

Trazar las proyecciones H, F Y P de un objeto, tal como se ha hecho con el triángulo de la figura 2.7 (b), resulta sumamente complejo.

Esta complejidad se debe fundamentalmente a que los planos H, F Y P y el objeto a proyectar constituyen un conjunto tridimensional que tratamos de graficar sobre las dos dimensiones que tiene nuestro papel de dibujo.

Para facilitar el trazado de las proyecciones y no tener que hacerlo en la posición tridimensional de los planos de proyección, se recurre a lo que se denomina el DEPURADO. .se toma en primer lugar, el caso de un PUNTO en el espacio, cuyas proyecciones

AH, AF AP sobre los planos horizontal, frontal y de perfil se muestran en la figura 2.9 (a).Seguidamente, imaginemos que los planos horizontal y de perfil son girados en la forma que se observa en la figura 2.9 (b), hasta que su posición coincida con la del plano frontal F.En esta forma se habrá conseguido que los tres planos descansen sobre una misma superficie conformando una figura bidimensional, fácilmente graficable sobre el papel.Lo que se ha conseguido con este procedimiento es el denominado DEPURADO DEL PUNTO A, como se muestra en la figura 2.10.A la distancia del punto “A” al plano horizontal, se le denomina COTA y las distancias de este punto a los planos frontal y de perfil se las conoce como ALEJAMIENTO y APARTAMIENTO respectivamente.La articulación o bisagra existente entre los planos horizontal y frontal, se conoce como LINEA DE TIERRA.

2.6 UBICACION DE UN PUNTO POR COORDENADAS:Es posible determinar las proyec- cienes horizontal y frontal de un punto en el depurado, empleando un sistema de coordenadas, de tal forma que dándose tres números se ubican las proyecciones men- cionadas. Por ejemplo, si se tiene un punto X (a, b, c), las proyeccionesXH y XF sé determinarán según seindica en la figura 2.11. En la 'figura2.12 de la página siguiente se muestran las proyecciones de los puntos A (2, 4,10) y B (5, 5, 12) y del segmento M (4, 2,10) N (8, 5, 8).

2.7 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PUNTOS ENTRE SI:

Mediante las proyecciones ortogonales de dos puntos sobre los planos principales de proyección, es posible determinar cual de los puntos está delante o detrás con respecto al otro, así como cual está arriba o abajo y también a la derecha o a la izquierda.

Tomar como ejemplo, los puntos A y B de la figura 2.13. La vista en el espacio de las proyecciones de estos dos puntos se muestra en la figura (a) y en la fig ura (b) se tiene el depurado correspondiente. Tomando primeramente la vista horizontal y debido a que en ella estamos mirando desde arriba, podemos establecer que el punto A está delante del punto B, es decir, más cerca del plano frontal de proyección y además podemos observar que el punto B esta a la derecha del punto A. Es importante notar que mediante la vista horizontal es imposible establecer cual de los dos puntos está arriba y cual abajo.En cambio en la vista frontal se observa, claramente, que A está encima de B y también, al igual que en la vista horizontal, vemos que B se encuentra a la derecha de A. Aquí también se observará que mediante la vista frontal no se puede establecer qué punto está delante o detrás.Mediante este ejemplo, se observa que con las proyecciones ortogonales se puede establecer la ubicación relativa de dos puntos entre sí.

APLICACION A LAS VISIBILIDADES:En el trazado de las proyecciones de un sólido es muy importante indicar las líneas que son visibles y aquellas que son invisibles u ocultas.Las líneas visibles, de acuerdo con las normas del Dibujo Técnico, se trazan con líneas continuas o líneas llenas y las líneas invisibles se trazan con líneas punteadas o discontinuas.En la figura 2.14 se muestran dos cubos. Si se observan las aristas correspondientes en estos dos cubos, se verá que ocupan exactamente la misma posición y lo único que se ha modificado son las visibilidades, En la figura (a) el punto C se considera visible y G invisible, en cambio en la figura (b), G' es visible y C' invisible.

Con este ejemplo podemos darnos cuenta de lo importante que es indicar

correctamente las visibilidades, ya que como se observa, una modificación de ellas cambia totalmente la visualización del sólido en el espacio.

Como otro ejemplo tenemos las tuberías que se muestran en la figura 2.15. En ellas el extremo visible, es decir, el más cercano al observador, se indica convencionalmente con una elipse. Aquí en estas dos tuberías lo único que se ha modificado es 'el extremo visible, pero este simple cambio hace que la idea que se tenga de posición de la tubería en el espacio, sea completamente diferente.

En los planos de proyección, las visibilidades serán las siguientes:VISTA

HORIZONTAL: Visibles los puntos que estén arriba.

VISTA

FRONTAL:Invisibles los puntos que estén abajo. Visibles los puntos que.estén delante.

Invisibles los puntos que estén detrás.VISTA DE PERFIL: Visibles los puntos que estén a la derechaInvisibles los puntos que estén a la izquierda.

PROBLEMAS RESUELTOS:Problema 1.-Determinar las posiciones relativas de los puntos A y B de tos depurados

mostrados.

Soluciones:a) En la vista horizontal se determina que A está delante de B. En la vista frontal

se observa que B está encima de A. Finalmente tanto en la vista horizontal como en la frontal vemos que B está a la derecha de A.

b) delante de A (Determinado en la vista de perfil).B a la derecha de A (En la vista frontal).A encima de B (En la vista frontal o de perfil).

Problema 2Determinar las visibilidades en los extremos de las tuberías mostradas.

Nakamura 1 20

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