N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10...

196
Unct[ tuqFL(KcN 1c [Neco(L1c L N4GG dt6us{L

Transcript of N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10...

Page 1: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

Unct[ tuqFL(KcN 1c [Neco(L1c L

N4GG dt6us{L

Page 2: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

12.......... ..............nt11D,nlDton nttttp .2

127 DrIDD nh l'uuttn .tz

134.............. ................Drunn )tlu:txil .I3

r50.............Dr))rtn ur)ttutrx ,EtrDDir )ttuyHn !u nrnuntN)l DtulEtu .14

160 .....Drlylli, DnttN Dy ErrllD)rx Dnlu .15

188 ,..............nlXIlO11 hDrtlnl :tlDDl

.d6;l

Page 3: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

1 it'10

NIfD

.Dr)lr ' t ' t l l , -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 it ltDnt nlf ' ] nltyf i l ln!l

:EDlrlID-rN ,U ntr'ttrDl nillln

. q+c <b+c l l l t \ rn - rx) ) tpu a<b l l ' t ' tun-rN

. a-c <b-c l l t tun - rx) ) rp ta a<b l l 'nun-rN

ab-4 : - r ac<bc r t x c>o o l t a<b DNL L

obc c

a < c t l N b < c

u : r a<b EN

ox a<b DH

< u)nil j l t 'r l lr- lNf < iTlnn l lt] ' lu-tN lrbt 1t)11 trN Dtll)) ltnt n)N Dt)r) : itt ln

( a<xj , : t r r ) l ' ] ] ' o - )N r ) 1 , ) r un r r l n ) ) r pu q <x<b lD r run - ' xl x<b

2< x <3

. x - l

Zxz -3x+3

r+1

1 )urn: Jl;11\Dil-tN nN'' l ln!

(x -2\G - 4\, . < U ' N

x(r -1)

:111rl!

nDnill x =2 ,4 nlll i7)] DSN' nl]u il)lDi] : "DryUpil nunD"t llt] 'tun-rN IlN '' l ' lnt) 'H

rp)rn t)x nlrri7) .Dttlunil t)! t)r t)N ntlt1:) lnD) . .x = 0.1 ntrtiT)t DrN) nllu

(x -2)(x - 4\. # 1 ] \ } i l ) u . l ) n ' D P l . I ] ] D n n . I n N ) : : . o l : t t u E ' y u P s - ) u r t l o n i t r y

x(x - l )

Nrn ntl\rnn j))1 , olND nl]u ]H lup ltun lU nr>ry rlrX rt:y nnri a)NUn

0<x< l r x 23x54

x

)( x+0. i ' ) r )uru

Page 4: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

)lnN ll) ,D5N ntnt lnN cl)NttD ttD) tntp Ntfil) Ur DIDUpit npl1D: l,rr,pt -rH .'lln5t tl) ,f,

(x - l ) (x -3 )

x+1

3+

. - 1<x<1 lN x>3 n rnn : t unn t : h

3 r)unr : r rnonl r<1 rx x>! t r i . l

2 x -1

( nr)'nn!n nlyup l't 'iln)nn ) D)lnl\rDn nutinln l)tt l < x <2 nn Z < x-

x - l1

. l < x < i t r ; laL

trtytlDtl lltlluf-tN

n + hytlEnir" -r ' l) l funily$DDn" nnHnnt Nlpt ^lab -t

= nr't$9N sl1pr1). L

. q.b > 0 pl)r)p X) UrrOOn r)U ,U ',n9n,rNrlir

2 trl'ln

a+b r----

, 2tlab .ErytlDD llt 'na-tN 6li/flD a.b>0 )>J t> n)tit ,N

I

r+ :>2 x>0 ) r ) r t n ) t i ' t ' fx

Nln lnu\rt lntrf, rltln n'! 40 lptn rry: trr)l)nn )tnu orpytnn llrtlu-rN nltyf, n)tn /)

. D'! l0 Ytl ,Y: t lf, l i l

:l]ln!

^ x ' -4x+3> 0 rN -- -

> 0 ):p: ,trruru! Drf,t\rrn. r+1

+- l

, a-2Jab+b>0 :p i lttP\rirrttr trt\D'r) prt *r-Ja lt '1un-)NnN 'NL

1r)t rnrnt llrNr trt'i7nn ilf lrrlrla-rN . (J;- ..,fr )t = O lrrrlr)i.r-'N 11)1rp ):p: 1x:D

n + A. a .b>g h>

T1JA ' rpn)rn

a = 6 DN ?.lr trN l'pl'rut llln trryllnn ltrnl -rN ') tl'l: ilrxurn fllnlD :it'llril

1 i,+_ tT I x+-1)'D), ^f ) ^ f x.: F)r : -l r )r, r:rfunn yttDnn Ntn -it 'l

2 \ xx2

Page 5: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

I

1 1 1 '+ -. x=l N,,t -r=j trN p.. l l DN trr)pnr ip,t '1);. . t .x+:>2 -u y: l) tx:nr ^J-2{xx l

a *b = 20 Nt'r 2a +2b = 40 rrx . b -1 a -a itrnn )u ntrtyn ')lN lno) ',

trtur) j), . ' ']ub]Nr:il ytlEnn nx t:) rt)fD nt rrurr . S = ab -J nrrra '1:)nn nuu

i t r t tu! ' l ! ' r i ' r t r)yt lnn lr t l t \ r- 'N. S<100 lNln . JS =Job r+=?=rO

. a = b = i 0 l : ) t a = 6 D N p l E N

3 )ttu

: r) Ill]i]

n + h + r + r l( trtrgon 4 lft: trryrrDn irr)rlr-tN ) a,b,c.d > 0 h, 2l,labcd 'N

!

/ F t a A h n r t t i t ! F t r t v t h h r i l t t r t i - t $ ' ,

' t - t - h ; ' -

\ e , r v , J r r , r . v E ) ! ! ' l n n l ' l t ] ] ' t u ' r N ) A - b , C > o J I J : 2 i l A b C ' l

: l l lr|!

c+d a+hit)l - > .J cd Ell - > | ab -u n.rf,lyl Unntr;.l) ,)t) 'N") ',

a+b c+da+b+c+d )

r )Jnn * ia rllrrfi'l )) I) DrlD) .

L,Jou *iia

22

)l 'rfun )rytnD n'llnD

a+b c+dt-l '---i

2 2 > !aD+ lca> l ' [ ob rd : t r r ) ro )

l ) ) ' r a,b;c,M

a+b+c(*) * = -=- ,fDD) :DTlpil !)yDf uDnU) l.l),t11ri.]-)N Ilf,Dtnt 'f

J

Dr''llDDn )u rrt:un yyrnn n rno o * b *'* trf rlurfi'l

l ) t t a+b+c=31l [ - t ) y ] l ) ( * ) l r txr rn

A

a+b+c+M>t[obrM

A+

'nl) i' 't 'r , Mo >-abcM iN)n. M >tlabcl[ .rN 3M+M >{rbrr[

A+

. ) - h L . -

+ > i,labc € It[ > :,labc N"r , L{3 > abc.{

r=l a D + ! c a - l - ;: > I i ah 'i cd 1x:nt .,,tcd t tlab tr'rlDnil

d+b+c+d

Page 6: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

l lDb ,)t t) ( IruDnDn il 'yi:l lpNn n'rtyl ruD) ) n))'ln) lnt) , t))1 151t't :D)rn

: DDI' |DDll t l ) ' lD-tN Dt)PnE n>2',yav

x, + x . + ' . ' - r - - -T*) 0 fUn: | -:--:----::-Z

V.r'lX2 " "Jrnn

Xt = Xz - " '- xn DN Pl' l trN l\)t lUt

. x l + J r + . . . + X n 2 f l t t N J i ' , t . " " ' x n = 1

4 )tltn

: r) f l) l i ] E)yllDD Jltl l \tJ'tN nltYf,

. . h f

a.b .c>0 ) : l 7+ :+ :>3 'N

bca

tr)J {, rr, " ' ,x, } 0 nxu n:tn ' l

: l1lr|D

^ Lu u L - ^- + - + - > J l ) 7 ' lU L U

.r ' , + r" +." +.r4 +"Y2 +" '+ x , ) n i ) ) l - - - : -

']!'ln lttlllrilrN] xl , xr," . , x,

G b c-+ -+ - r , -b g a>) l ! . r . .=1 ,N

3 - \b

c a

t'l

(arbr+ a2bz+ " 'd ,bn\ t <(o l * o

: ( nnrro;

/ \l n \

lFa,b, I\ L / " l\ j = l /

5 )rl'ln

1. . ' *o i , ) (a i * b l * " 'nb: ) : 'u r i , 1urru ' 'N n) r i l

I )ur lnto nttlt i 'rfir l 'rttt\Di1-tN nN Dl\D'l) l\r!N

' ( , \ / n \

<lt a: l l tbi It L l I t t t L 4 t l

\ r = t . / \ i = t /

: l ]1f l f

. m )ur'liv ))t p,pin llrN I(4, +mb,\' > 0 llttuil-,xl ?llf,n)I

( DDNn i'l'111, lN )tlr ttnn trtllf)l Dl)D )

i n \ / n \ / , - \

i f ol l*[ T 2na,b,l* i F m'u) l>o )rPr ]:trru 1p)v;1 rrnxi L , ' t ' I l u I l - l\ i = t , / \ r = l / \ r = l . /

:'p]r-rrrNi'r lltll\rn''N nN Dltrl, ,ru toi =C ,ia,bi = B ,t| = U inu: DN; - l

>6t. ' . 'x,=dI=1

nu))rnrt?D).r n 'or:r m ):) rntnt lDlNf trttpnn nI l)tl l\D-tN . Am' +ZmB + C > 0

Page 7: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

lN 82

) lPl :)r >,(r , + mb,) ' = 0 uN p'11 DN l tr t tu) ' i5 ' ln

i l t t t t r i l - rND 1l1l : i11!r i ti

a, a. a-- l = - j -= . , . = - - - ! ! -= -m Nt ' lh h h un

las inx+6cosx l<:l'l1D!

1>)r (as inx+bcos. t ) t < (ot +b ' ) (s in"+cos ' * ) ) rp t : t t r tp l lJ l ru ' 'Nn

i as inx+bcosx l< (a sin x +bcosx)' < (a' + b')

7 tpin

rytu n ))? rl ( n'' lnN l't]t rN ) nruDrDn ntlpt'r)'tNn n'lylnNf n)til

l i I ^1- I - + . . , . + - < ) - - , N

I "2 "n "n

a>o b , ( t+a ) '> -1+n 'c t+n(n : \ ) a2 ' :/

:?'!ln!

1 1l l ) t - =2-1 |zVt n=l t t l ) , : IpUDItDi l ntyP)l) tNn n. l tyf l l t l l \ rn-tN nN n' l l ) 'N

-u nr): N"f ,' lnurl tyTp n = k tlty n)'l)) ntpu;] r) nr)) .n)t)) n)yun ;tuxrn :)u:

I n=k+l . , 'ny ir : ,r))n)yui l r) n') ,r)r 1*1*.. .*1 sz-L7 '2"k 'k

pr:pnD ') n')rnt i,)!DD ny). 1*** *1*--l--= sz-+*+.' 1 ' 2 ' k ' 1k + 1) ' k (k +l)-

I11 1 I11N -- + -:-=

k ( , t+1 ) ' k+ l k (k+ l ) ' &+ l

(28)' - 4AC < 0 :D!HD nt\, tN n:up r)ur

2 r , \ / , \<i t o? l-l Fa: i

t L l t t t L - ) t l

\ i = t / r . j = l /

S AC x"r

( n \

lFa.b. Il L t t ' l\ i = t /

a r + t n b r = a 1 + n f l b . = " ' - A n l m b , = 0 ' f U

6 ttlin

.plpnD x h, r) 'r)ti? J'rlltlr-'N n'lt1lt n)ina 2 + b 2

+b '

Page 8: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

frrirry;1 '!t ll)'l , -1< 0 ):p: lrruron nntn! ) ' lnNr -(k +I) ' + k < -k(k +l)

.ryfD n ):) n:t:t ntlui'l nrunnnil nryitttlrxn )u

r: nrxr) nup x) .n'rnx Tn: )rlun nN nr)r) ny)I l l

k' (k - I ) .k k -1 k

ItDl) ny) .

, t l lU n

)

. k>2 b, +.+-l n' , , k>2 h,k ' k - l k

111: ; ( : - : : ) l l t k=2 ,3 ,4 , . . . , n i ' ' t t i ' t l ' t t t ' t u - rN f f , t l )2 ' ,12

111- - - ( -a l ^ a) t J

1 l i---:- ( ---1 ' 34

111

n- n- ! n1 1 1

- +'.'+ " < I - a trpr ,trrt1r'n\t'tNil 5r nH nt) nt "ltntu )inN2 'n "n

11 t l; t ; ; * ' . ' * -; < 2 -:- : ):p: t t lDnn nN trr9tNn r)u)1 ' 2 "n "n

1 1 1

- #:; + ' . .+ :; .2 't) )l)n l l tNl ytl) ))nllnu j l ' l lu-rNE :! '10;l1- 2 " n '-n lup nrnr )Hur, qrNt trt)Dn ,trr'tllnn T'tNrtrD )un) uturr: trH H't

:J'lu'tt) ,U tr]))ln nnDl) ]t)t: il)yu;] nN nr)t:t, r:l) 'f,

(a+b)3 = ot +3a2b+3ab2 +b3 - ' r (a+h)2 = a ' +2ah +b1 y ' r ' r r )

(a+b) ' -goon-o6o +C)a ' - tb t +" .+ gton- t6k + ' . .+ Cla ' - 'b ' r ) : l l rx :

. Ck = ;;;n! ; , ; ' ' tut:n nN it3gD C: l , l 'Di l .rp:u n )r)k t ( n - k ) l

l ) r ) 0 !=1 , 1 !=1 , 2 l=2 , . ' . , n !=1 .2 .3 . ' . ' n - u f ) t r ' t )

Cl=t ,C,1 =n,C1 * tz l -n (n- l ),

) t ( n _ Z ) l 2

(1+a) ' nN t r r ) r f t nn l l (1+a) ' > - l+n-a+n(n : l ) a2 r1 n r11 ;1 ! r11z

l rx f t r r r f lnnn ) ) nH u 'Err r DN. (1+ a)^ = l+na+n(n:7\ o ' + . . .+a ' ) rp : r)

n

Page 9: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

( t+a) ' > l+n 'a+n(n: l ) a2 -u ) :p : , t r t ln N ' ln Dt ' r f tN nut)u! uu l tnrL

( ! trrtl 'Pn tril tt)ur:tu tr)"lftNn )ru:! nru )

:x 19DDD u)ntn 1l )ru lptDf DtllrDnuD rbNty)tlt.I llf\rn: nlf1 nlnl1ill

. lrl 1n'o: u)nrn 111nol

:otntp fly )u npl)n

.ntu,N''rn x -n )uliln''ln nttunlx,l n)tnfn lnDD x .llDnn u)ntnn lln

( x . x>0l - t l=-t- t1=t , lz l=7 )vf i . i ' l=1_r, ' ; . ; D,

. x = o trH i?'lr oH jxi= o -r x )r) jxl> o

. x )>) - lr l='< lr l

. { ,4>0) , - -4<x1A 1t r l tu l i l ' rx ) ) rpu lx l< ' t l l t l l l r i '1 ' 'N

. ( ,4>0) , x3-A tN x>A 'D ' t t t ' r ' l | ! r - )N : t t r ) ) rPru l " l> ,4 l l t l r \ rn ' tx

b+o lgl=lgltbt lbl

, laul=lal.1ul

( u)tunn ir'll\)rx ) , l"l- lal sla -nl , la+ rl < lal+ lal. xr- l x, Jt: iTnrnn nN nttunlNt)i ' l n))nfninon lx,

-x. l

R>0 , a-R<x<R+a btorn l l t tun ' 'x ! ) rpur lx -o l .R l l t '11\ lJ i ' l - 'N

. R-D luiT a nrntn nrtp:n ipn'lDu x nnli7tn fr tr:r qorx lnoll ix-al<R l:)t

" R Dt''t"l nby:t a irt)'lnu iDtfD" xrpt ntn clotnb

g )urn

la + bls lal + lal u)tvrnn Jr'r'rtD'N n)tn 'N

lr- i l+ ls-xl>z x ) :)r n) ' r i l ' r

:lllM

nx nr) nr un)u ''rnn . -lbl < b < lbl tril -lol = o <lol -u i'!'If,'rvr unnu) 'N

la+blslal+lai lxrnr -(lal*lbl)< a+b <(l"l*lai) ::pr, otlrrrtu-'Nn'ru)

Page 10: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

T=

==

:. :: :l i

E€:i-

EEE€=e

t i

I

:i

iieIIt :t:t.Iitt

t{'

t

:?

I

) :p:r lx- : l+ls -xl > l t :c-3)+ (s - x) l=2 tY)tunn ItlJ\D,Nl lrtltllr) 'f

| ^ l t - l -. l ' -31+ls-x l>2

g )ttrn

r'|)t)ltDil-tN nN "lln!

l4l. z ,Nl x+31

l x t -51>4 ' rt l

:111fl5

r - ' l I ' l

-1 a !--_52 )p:n ,1r,rrru -rx) )rpg l4l = Z lt ' l lun-tn 'Nr '+3 i .x+31

x <-7 ' rN x> -3 € -* - ]

=o € ! : ) <zx+3 x+3

\x< -3 tN x ) -1

af

i Y + ' \€ "" '>0

x+3

x < -7 rN * > -1 Ntn ']ln)nil il)3

x'-5 < -r l rN .x' -5>4 D,lrt i ' r t -tN rtu) )t i :ur l t ' -sl> + l1) ' l ' t \rn- 'N ' l

' l l

. r < -3 rN x>3 € x t>g € x ' - 5>4

-1 -<x< l € x t<1 € x ' - 5<1

-1<.r< l rN x<-3 lN x>3 Ntn nt l lD i ' l n l l \ rn i l 1) )

i r ' - t l 1l x+3 | 13

) tN l r -11. !| | 10

10 )tl ln

trNU nlln 'N

l 3n+ l 3 l Il - " '

^ - - l < ^ r 1 p r y f u n - l n > 1 0 0 t r N u n ) l i l ' li2n+3 21 50

13n+ l 31 1l ' " ' ^ - - l < -

t r t t p n ) o r ) t t t i r t l o n n ' f l y l l f ) , ) ) n ) l n ' l

l2n+3 21 1000

or)rtl ?r!DD n Dty 111! t) n)'ln -tnu)l luP )lltn llDD € -l]np) '1

i ^ . . lt 5 n + I J l

. l__ _ l < € E)r i7ntlZn+3 2 l

Page 11: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

.r=1 {' ' l l ' l7lD l7nlnU x nlTliTln

']DlN r$ni.l nr.,luDtNr) n)rn]tr. ( !10

, 9 11l l 7 ' r - < x < - €

t) ' ! ! , 2. *+ 3 <.L!

)r )ur clorx rnrn lr-tl. *

Dlr'r.]] X = 1 ,U nfrf,D N,,t )

: l l t l l !

rNlnn ,N

7

- - F t i t t r

i 0

I x z_ l;; -D filll! x = I -n pnln)t DON, nn!) nrn -- rlg)fn x = I nttptt OXUl0 x+3

" t - 1

it: yl)) l) ' lp' l " rtD ln)t" n)nur X) - t)Uttn )U ltyn rfN , n)NDU lN n)rn)x+3

nnrNn)) l i r )u ' rH nr) fDnr*- r ) i l ) )u i l - : . " - ] . ! N, r * ! o , , looon13 r+3 13 13

-+. r - f . l € l r - i l . | : ,mD) l l rNr10 10 | r iO

r - , 21nD]] l ! ]Ht . lx + l l < -

t012r

19 21€

10 10' t n

I U

l ' ' - t l l r ' -1)(:r+1)t - t : r - -

l x+31 | r+3

1 U

l 0 t0 7 1 . , , i 9- < - ):p: 1x:nt i.r + 3l > :-39 130

- t3

- - r . - - r . 10

i0

']lUn], nlllyf, 'l)UnnUil illnln J)ilnt :;'t'1)rit

.i']:)Di] nH p\)71 )t17P11

3n 3 3n+l:- =: )lu!f;''t ]n) .l]yf, 'ln)nu,'

:---= r111r3;1 6r!,11) n rl"ly ..l,lly 'l2n 2

' 2n+3

a 6i i 4 + l.ju? ' 'r n';' l ' : ., ::---:- -E irntDn n>lA0 1lllttl ,lr1p;.'lx.,l)"1)h

2 2n+s

714n 1000

. ' ^ lr n + ] J l I

2n+3 21 1000

l l ' - l l . lx+11|-_--;-----:__\I lx+31

t r t l . l

n)rDn nN ) t : ) nx ) rp ix - 1 l ' l r+ i l

I r l

l n+ r l

j 3n+1 3 l i 1-l < - : - -D JuiT ilrnt iTnlni'l n > 100 tuN)l, N)n n)yui.ll 2n +3 21 50 50

l - tn+l 3 l l t l t 7 7 1| : _ - - r : _ : - | = | - - | = - < - <l 2n+3 2 l l 4n+61 4n+6 4n 4 .100 50

i l 'r ' t ' l \Di' l-rN Dil i7ltr '1751

( I -o.,ro 11000 2

-n tnn p) .

,3n+ l- ) -2n+3

n>1750 -u )

ltt i7n'rDil )

Page 12: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

10

tr':ui, n ').ry ''t'ny trr D"i7n' l]{-+1.* 'N:nnu t:n, i.ru,ynt :illun n.ryi.ll2n+3 21 1000

71 71, - lnlt EiiTDl -- ( _-::: lIltUn-'N nN t).tn! ,) 1TSO -D in,l,,4 n + 6 1 0 0 0

- ' ' " - - 4 n

- 1 0 0 0

' ' r ' v " r ! / " r

,llt'llun-tN trttPnr t:nn )nnp ,,lll4N.lil r)r:ui1 n -i1 ,, nx xlrn) nu,.n itn,,n x! )rlrn: lx. "it)lf) ilrnn n)yuit l)DD )niru r)rD n Drrplr,, nlNtn) N)N

)lu nrir n 'yfu .r!Dn DNu .rrr rNln . ,, + -r, rN)D SzFt J- . , urr) ,.r

1t 4n

nuN]n r!,rDir n nN NND) * l#-;1.,

D,,pr, ,rN

746

iDDDnb tr)rDi.l llyn',

nlTiil

. x )y n)ry r:rxu rnrr: )rrln n)un tlonn xrn x )u n)un lrln

[r] lD'Df \rnrlrr: o)run .1rln lrnru)

[ : + ]= 3 , [7 ]=7 ]4 .4 f= -+ i vn1

x- l< [x ]sx x ) : ) r :n rN . r )nv rpx !

t r "pn' n>N ):ru! p, .+ -n)r . r rnrr o)ruHrn t=f+l+l uonn4s L+s )

l3n+1 3 ll * - ; l < t l l ' r l l U ) n ' r N| ) n + \ ) l

1

t = L l:y )un) . 6 tooni'l )ru r:ryr rr)n N )u r>ryu :) uru :irtln

l t l 7l / = l - - l+1=1748+t=1749 p)r *=1749.25 ! : i : :L4t ) 4s

t'l )rttn

lt;,*3-./l tl.+ D"i7n' u,)r.r) i,ron n ').,!y lrrpu n)rn ,NI t7S

7- 'vDnn IIDDnE

7nN l\rn) k ) --- rN)t'li''l nN DrrP)\)

4L-

)u u)un 'l'tyi'l nryill! rnt: t: uu)

lV!=3 *{"-tl.u o'grrl p'!DD n r>r1l r11yre n:rn .rnu): roon e > 0 'i.,r),r

)./,.J

Page 13: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

:ll"ln5

a,b>o. , J;-Jb=ff i .u),r,r) (J;-Ji)(J;.Jb)=o-u i.,r., . ,uD,N

l - t ; ; _^l ' l l_ l@, +3)- (n, - t ) l + 4 4l - !

- . =

I ^ ln '+3+ ' ln ' - l l t l n '+3+r ln ' - l Jn2 +3 t t

( n>30r ) n)vnr n=3ar 'n)nnu vr ) rN)D . n>300 ) : i : : r ! .L ur r )tx 75

|fFA-J7-tl.+ E',i7n,

i:)r n ,1 -.,,, r1r t = i1l* t rDDr n, ! hi .E L t ) t

/l.a-<an

n>Nirrrt'*:- rt' -ri . r D,,i?n'

Page 14: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

l2

2 i219

nll'ID ,nlnlDn nl$fi7

p M y1:7 '',ooo oilo trH $ry)pl ntyntn irnlDn nxriTr ilPn N) E urrlon ntllp

.En r r :p )v '9 t yJn DDnn"Hrp :M - ) . x<M g r rp rD xeE ) : ) ru

sup(x) 1no:r E )u ntptlron Nrpt (p:rp Nlnt n't,nt ) rnrr: iupn )ry)n oon)

p K yt:p rlDD trttp trN (t ltn) nun)n ilbrun nNtil) nptt N, E nnlun ntlti?

.En r r :p )u ' y ' r )nDpn i ' l " x rp rK - i . x2K s r iTnn xeE 2>5v

inf(x) inorr E )r, EtDr!)rxil Nt?) (trlp Htnt i' ' llrnt ) rnrrl hr:n yr)n oon):CE

Xr;l: E-) ']t 'u, trlDulnu nl7Dl . E-) 1t121 nl)n: X) Otnrltonu tb trtU :i 'nrn

, E nrt :p) ' l t fu EJn' !) tHn DN,nDt ' t l !1N1. max(x) 1nO:t E )u l tnrUirnn t)xeE

. min(;r) 1no:r E )t) DlD:rrbn r) xrp:

DN i;'l 't DH;''lDron E iltup .nDrun nrtrP n',0, lrJDlD tr)t ntyD)n ilnton nlllpt

. l* l< U plpnD x e E b:)ru 'p M rfrrn i luD D)r?

nlDtlril nDlto?N

.DlDtltD ur )ry)n llnton D)r\rDD trtttoD nyt:p 9:)

r )n.tnn'lpnt) .n1Nt;l trr1!DD ntyttp )u trtnr)rnirl trtDtD)Dn ,D'tDl!trN;'r ,tr'tl l. l l lDn nN Rln

: l l ' lh!

.]n}r luPil n)yn)n EDnn N\n s tl sup(x) = 5 : s -l nttu ElnJ.J..Dn 'N

E n:t:P: l)h E -! Trs trrDtllDn .rnl'f )lun ,;rt" trDnn Ntil z r: inf(x) = 2

.Erntltn ItN E-: lr)r E -) lt)\D 1)'N tr'lllt!)tNn npt nnlr, , rnax(x) = J :ElDrD?D ut

B={xeRt 'Tll;i:r ={". *i x=?+(.-r) ' , n. r '},t

*ti:.-tr

Page 15: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

l aI J

:a:

=:.:

nnNnitt )tpt n =1^2,3,4,5 Dr)tyn nN x = 1+ (-1)' l l l ,n l f)r l trNn

(Ernllrol)rlrDropn ur E nyr:p:u nrHr! n,op x) lNtD . .r =1,2.-1.1. -1' 3 'z ' 5)

.ulx) :rrp ;I;1r i )u 'plrn '^TNn ,1'r)" ntnr n .]uN) . max(x) =sup(x) = 2n xeE xeE

)>) t> rtrr . -i -, trrltiTn x t)-ly ):pl) n"nt-rN,t pr)rtt n Dty rr:l 1:)

rit t) nr:rn) :xul .nun)n E nrt:irn nN trDln -l l)rJ J;, -1 plp5n x e Etr)Dr!))N;'l ;: nlr)uf nr)) .ln]'t )trln nunln DDni] N't , ilvlfpi'l )r, tr]Dr!)rNir

.tlrDx rn): rttn )f n')t) . inf(x) = m ) -l : -1 -n )r.lr E irrt:pn )ur:et

D t N m R " t ) x < m - u l 1 : E - ) 1 t g ; ' t ' r n N x n 1 n l r t r t r p r ) n N . l l 1 : n u )

)n r) t) l t1 l =+(-7) ' <m l l ) t , tun-rN nR 11n!) . ( nunln E nx norn

n

2)n > :- ): rrry D)ri7nt jnnNil i)t,lt\D-rN l))r : -l < m )tpr otr)tr rN

7+m n.n'l 'nD -nun)n E nx notn llrft m 1r)t ; < n2 (tr)))lt- . 'N ) ntN n t)]y ]]f,y

( E -) 1t'pl ' l))N D'tDrD)tNit ) trtDrlD IrN nttliTt r) .t1.tf . in!(x) = -1 nt:rO)

.rnru): ' fpn r lDD Hrn b ruJN) .n={*t

. A )u trrntltun

z )rlrn

In-1 ) i \ l ' \ r ' r

, )n

Nln'tNN i 'r)ynrn nnlon A tl n)ln

:11111!

nnrDn A -u ' r :1x :n u- ! .AA=6 i>5t b . rz - l< [u .n ]<n.n .ur , r . . r lnn

'r A)mtrrD-r l rDi ' ' rNln M -u nr ' r \ r lnrr : .sup(x)=b -un') l ) .b rrr-) !n)yn)n

1r. fl ) :----:- t\rN) Dr)i7nr lp]ltD-rN : M < b -: l,pllun-tH nN 11n!) . M <b

b - h [ n

.nlnD -n)yn)n A nrrrp;lnN trDln u)N M l)tr M <b-!. l t nl

srr iTrrr3 ,:1, -Ty:nn

sup(x) = b -v t)n)ln opto)xeA

l l r ' " 1. . _ L" ' , ' rA - -

Page 16: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

T4

g )rlrn

A . / ,ft = /, J, +. . .l ;ttlf i, tfrD . r\rnD llDD a > 1 ,it,/

.nunrD] nJynJn itD]Dn A -ur n:rn ,x

inf(x) -'r sup(x) Nln ':reA teA

:l l ' I f l !

)u ')n'D>nn rf,'Nir Nrn </; l)rr ali , Ji

irrrn)n ilnlon A ilh ^[i ,t r]r1r n J>J t> t1.1l . sup(x) = {a

. !, ) 0 'ruxr </i =l + y, jnol .p nu) . inf(x) = I -u n,),p ny): € l

a=(1+ y , ) ' > l+n. y , *4T! yr , >7+r . y , ) :p : 1H:nL

. - r - a - I , a -1 '1< ' la =1* ! , < l+: - : lN)D . y , < i : J) r ! t , ( t r l tpn pt ! : , t 7 t l ) tn nx. t )

a - l a - l

m - l n r e o

. A nx nun)D trprn urN m llh 4li a* fN,trtri7n, ninNn lrrrlr-rN trN r))

. inf(.r)=l : i l )pDD

il'lTtil

)r: nx E )u nrr:uvn nllp) N''ril) x0 nrp), .trrrlrnn trr.rlon )ur nptl N) nruiT E ,nn

. xo -D n:tun x e E nnN i.!ltp: nrno) xryn) 1nr: xo !u nrr:o

. E -) nlu ntf,nt x) nrrluyn nliTll, 1! nru :irryir

4 )rrtn

: E )u nnfulitil n,nti;) ): nx xsn

g= {xe f i l 2<x<5 } ,H

o={'l*=<li

l i lD)t A

. l tr-)y

= {r

=.1 x =?+(-r) ' , n. v} , l

={..,*l .r=1*l , n,keloi ,,L I N K )

Page 17: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

:ll'ln!

x= '2 t r ) l p l ) t .E ) rann fu rnn t l iT )Nrn 2<x<5 n6 r r i 7D . lux x n i l p : ) : 'N

n:rur E -) n)rt\rn nnN nr)p) nrnt) ur n)u nlr:o ):: r: E )u nrr:uynn nlrD) Nri.)

x =2 -D

: -1 )u rnu): ilfr:D'tnf,t . t -r -1 : fi]lf,tJlil nt.T]i?) rnu pl ur tt ityt:p)'1rnu9 ) i u r l o ' l xnn ( tnu r ) d>0 t \ rN ) ) - l - 6 < . r< -1+d l t r l l un - rN

E -) n)rrun ilTlir) 'lt nttfol xtln) lnrt lrnnu n'),t) . xn = -l -) :rloD

: Jo = -l -n n:1\, ' l l nll?)l

)-1- d <: + (- l )" < -1 + d j ' r )ntr i ' ' r - )N nx rul) p)!Dn ' l ) t ru,

h

? , ). - c t< - <5 r x - l - 6< : -1< -1+d ) : i : :D r r ) r r - rN n r ) t y 1 t ) ,

) ). ro = -1 5u nr' :or nNtD: :+ (- l)" nl i l )n rN ))tr-tNt n > ! nH

rrry ']) nu)'n:) u' ) .E )ru *:rurnn nrr,i n,n 4 = 1 oru nrlrn) .inu no.,rur.,*,

( t pn:) ilDl ) . E bu rlr:nrn nltfutn n.r'ni7t 1n n)x )) ntxit il\rp N> . ( tr')),lr /?

II'^TNn l'l']i7" i'Pit) ; tf,Di] ,

,lNn trr)lTl,, ,lri'D k 'llp] ylfiT i.,lri.,t) n )u lrln .I\rN) ')

K

E nrr:p)ra nrft: ll )),. I nltp)t'^TND n'nt'ri7'n

.rnu): )yfu tlDE Ntn n t\DN)

. E )u nt'tfuli'ln n'rrpt Nril

. l r run rnp x nrnl) u, I -6 <x. !+a

1):7: , k >; tN)nil nN plpDil k

0

1

. E )u firrurilnlrp) Nrn ' -ur t)nltn

ta, , 0

l l

'nn . r=-+- ntTtD) i ' r i : ) r ocx)7 l

N Ki'tl

t

;

1

,%

:rDnD n'llruln nlllpl c|]DJrl.{ 11r

r) nr)D't Drton /?0 -: )unl:n:t

d -n:r:o )::ru nr:tn) ulp tru)no fio

11 1. ln lN l tn! : l x=-*; l t rnHn l t t ] l lD-rNf, ] r t t . ( - -n ni lu, l )E nyr: i : )

l7o K n()

liyt nyl inf,r trH . t t * 'N:nn nN ):p:o

N"t ,t');'t ;'tfrlDf nNlDlt, * = I*! r']r]J,*n o K

Page 18: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

l 6

: d -nfrto 5::U nr:tn) Ur . ro = 0 :lltD't) nt'lfuyi'l nitp: nnrriTlD n)).1) ny)

. c

\nrl) l i / t i p'pDi1 ;y:uN rn::. E -) n)luit nrtp: xtrn) ) l : -d <x < 6o

-11^11d6-d< :+ -<d l ) t ' r -+ r< - * - : -=d ' tH . f t>y ' y ' o l t n>N -u. nk nk 22

nDSlDtrH ntl'rD

Nl i i l o , ,a. t t . . . :4n : . . . Dt ' ] !DD nl l l iT t . An tvDD l tDD n r t lD ' ' l !DD )>) oXn:

. to,l IDD)I n'!to)'R i'r"r'ru

nlyrnNr lN i''l ' 'rron 5v ,Jit irrn n-ryt \rl!n llrx: )): '1r:: rr:rn) )int ntirD

nl'TDn nxt nnry) , u]]!n lilNf, nt'Trln a, =2n-I ntltrn )uln). ( nrD'1'ti?] 1 ntrO: )):

nr ryD) r : nrxrn) nu7 x l .nr tu t ) l : n l ) r lnNf nt r ) tn ( n21) , b ,* t=bn*2 , br=I

.Drrltt-)Nn D)' 'pDDn )>n n::rtnn l l i ' ID i lntH t: lttn D)'lpni' l 'r)\Df

')rfrJ n ):)u p K lr:p .l!Dn tr'')? ox ( nun)n ) nlynln nnlon nxrpl {o,\ i..lirD

. ( a ,> K) a, < K 'Pt rPrD

.ilDton ilrro H'ti?) nun)nr n)yn)n nnron nrto!

n > \ , i l r * l = , or=Ji

r n s n J n t. r i l J r v r r l s n J

5 'u'ln

t - i F t \ r h t \ \i f f t v t l ' ) t t J l t l

1+n3+ t ' t

1) -<a -< I' ) "

:l'l1l'l!

1+n ( j+n \_Z z-1, l l 'rf 1)5t a, =;-l-* - \- ' / - = l -

- 'N' ' 3+n 3+n 3+n

' , -r51rytD k luy at <2 -u nt)) . n=I l 'Dy in'r)) ntyui l pt 'r o,=tl l <2

JT."".^ l f i =2, d2=,lz*Jl .Jz+z =J4 -2,,

a, <2 rrrD n ):) t: ntunnDi ntti?'r'T)rNf ntl'r:

or <2 lrtl'rurn-rN )ru uurHn rru) +2 '1rn) . ao,t 12 r) nr)'t)'t

J>J l>l . oo*r 12 lxro , . [* +2 .J2*2 : ut)\? N'Jlr ny)l

ak+2<2+7 t

. o ,12 t y lu n

Page 19: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

1 4t t

( dr+t 1 o, ) on*t

( ao,, 3 a,) ,

) d n

Qr*I

ryru n ):) nx utrn ( nrlrr ) n)u nxrpr {a"} ;'nrD

2 d, ))rtu n ):) ux ( ntrr ) nbrl nxrp, {o,} nrru

6 rpln

.\rnn nTry tani 'l nf'ln

T+n' l a, =::- 'N

5 + n

:J'l1rl!

n>I ,a ,n t=WA ,or=J i

. 2 1dn*t = 1 --:- )1-i- = an Pr\ (tn

r + ( r ? + r ) J + n

\nvr) n = k llfy nllt: i ' 'r)yun 'l n\) . a1 > Ql

: n=k* I . ] . l f , ) ,n ) ] ) l

n y ) , 2 + a u * r > 2 + a o l l p l , + 2 e u r l e t

.;r)ry nrron 1)ri ak*2 > ak-t N'r j,. "^

, jz a 5lp:r urru H,rr:

7 ttltn

(, r) 'o, =lr*;

) nlrolr n)'rn)

.i'tDtDnl i'lhy nr111911111 ntrDil t) r)tr..t

:1111'l!

fr rYylrDD rxnn ,{1

[t -;J ru'fn .ntr]r ir' 'lrDn l) EryttnD ll'nJ-'N nryrDxf, nt)'rl

7 ,y r+r [ r *1 ] u t1, :41.1 1+- l . \ n l -n+2=l+ 1

r ) t r t r ' " lopnn+l lu r runrNrr\J l . n ) n+7 n+ l n+ l

[ ' . * ) '= ( ' . * ) ' ' 1 : ) r r l 'nn) l i ' l , l ) t rN

I

1 +: * 1 .t nln. n# nt nrttur lf Dr't!!Dn )> un prt nx ivttu) 1!tn nryy1p11 j'p'tl)-)N 'iNn

l +n (3+n) -2 , 2= - = - = I

- - ! \

3+n 3+n 3+n

r---=p\ a. = ,12+ ..12 > ,.12 = ar ':

i l )yui ' ] r l nrf l l ' l akor) G* H"I

)r, o'l)Nn r:u) t:n) nN E)n'lN)

Page 20: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

18

T.F

:ii

i:

:

. unn Drr), o, =(, .:)' i,,..'.rDn N,r [t

. ;)'

. (t " #)'-' ):pr

:DtlllbD l'rr)'ru-rN: lrDnu) :tu n)ynln nDlDn nl.rDnu nrflirg r1:^

.rnnirrrr rr.rrnx -. .** mtr ' ieDD n+100 )u rruniHrr pt, lDD rNnb ,"rqo/f l+f i . l t__V\ n) \ looj

' 'u ' :n

l ( t \ ' / t l r o o, * roo / l 1+- I . l 1 - ^ - l <

V\ n) ( 100,

( . r ) ' f 99 ) 'ool l+ - i ' l __ i <1\ i r , / [ 100 /

l ( r \ ' / t l r o o' r 'n) ;11 , . '1111 l+- | l l -_^= I <t . r lnbV\ n ) i ' l oo l

' d "

[r *1J" > 1 -u .r)rr ')r, . ,ro . l ' , *1j" .1too)'oo *.) -t1 q.r\ n )

- ' v " r \ n . ) t99J

= t ' t r ) r i 7 ) lN :D

. 'P )u n ,> , L<( t . * ) ' . , n ) r

.nDrDnr unn n)ry o, =[, .:) ' nl.,Dn )).r]nrn nDro]

e )urn

.nD,rDnr unn n)ry o, = tr* + +. . . + I nrlDn ,) n)ri.r" 1 .2 2 .3 n . (n+ l )

: l l l l1!

.unn nhy nl.rDn ') .lt.tf, i:!r a-,, = -l- * 1

n * I1 .2 2 .3 n . {n+1) (n+ t ) (n+2)

1111l nlnl n]D] . ;-;--:- = I -:- ntilr: UDn\D: ntyn)n ntD)Dn nrli) rt:

k . (k+1) k k+ l

: Nril f lrnr o, = #,* **

- ;; *

trr)Dn nN nrur) )rr

(r i ) ( t 1) ( t t ) r !__1_l__t_ I . lo" =[ i- t) .( . ; - l ) . { ' ; -aJ+ +[,1 n+t) n+l

.i''rnron ;lr'rDl rnr)) , L < o, .l 1:)r

Page 21: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

i 9

9 tatn

.n)yn)nnnrcn tn)a a,=****** ..+ nrron')n)'ri l" Vl ,12 ./3 ,ln:Tl'lll!

11111111O, = - * - - - * - ;+ . . . +_F > - - -+ - -F+. . . + -F - n . := J f ,

Vl 42 V3 'ln 'ln ,ln ,ln ,ln

a, ) k orhrl irrlon n rfly "llfyu nDt)t f > 0 Inu)f rf,ln ilDD tnr

tDrr) , o,>Ji>fr l r r nn n>k2 ) : r r : !prrprD Jir t r ' r l r r i ' r - 'N

-n)yn)b ilDtDn i'r:rn ;'r'rrDi'r

;I11TDf nllllrpn nltl}lntU nlt'li'll llDD ny) ltll:

lt't:Pir lrl9nn Hrn d luN) , an*t - Q, = d ,y)v n ):) ox nr:)fun itlTo Nlp) 4, nrro)

on = 4+@-l)d nnDuit rr-)y itni nrltf\rn ntru )u r)t:n urxn .nrrpn lu

S " = O , + A 1 + . . . * A - =(a r+ a , )n

-) nrru DD\uNtn En:w n Etlol

n Q - - t

q *0 , s= q ' y :Dn ) : ) aH(n f : : n lN )nnuDf iD i l tTD n1W o_ n tTDton

a, = otQ'-t : nr-)ir Etlm) nlroit El)Dt t))il tf)Nlt .ill'run ,u iltrit xrP: q -)

a, (q' -l\. q * l , S " = a l + a 2 + . . . + a , = - ; i J

, 1 ' +22 + . . .+n ' =n(n+l j (Zn+l )

:filtlDlll:\D J]'ltlnl llDtr 't'ty nlnl

, , n , r , n ( n + l )I I + Z + J + . . . + n =

2

13 +23+33 + . . . +n , - ( n ( r+ t ) ) '=[ 2 J

Page 22: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

20

3 i21!

nrru )ru )r:l

il'lllil

l>Jv 1> 1*1 ry)D 15p13 6rtp e > 0 )t) tx {a, } n'lrolN nl'ro )ur )r:r xrp: L tlonn

=Z lnp: r L) r : r )nDl)nn i ' l l rD i l l l r - rnNt nrntpDl . Io , -L i . , t r r ' i7nt n>N

an -+ L 'lN

: r:rltrNlp)rN .tfDil

rl0r 'rrf,y)l E''"rty n)'ryn n::: . I - € 1 a, < L + e -) )rpru la, - Ll< s '!{)ril

. ) , = L - t - l ! = L + A D r O D t ) t r r ) , l p n t r r t g r r r t \ , ) . , l t f , y ) . ! = L r i ? ! , l p

( l l 'y nNl ).y = L ' ' l l lJ' i l nll lDl 2a n:ntrp x'-n trl) n)t: irnn nUtrr n9:pnn

n'l'ron )u orrlxn )l ( n> N ) trr)Dn trlpnD )nn ox L )r::) nur:nn {a,} nrrDil

orrprD la, - Ll< e rx:nn trN L -) nor:nn ilt'rDn nt-lnx trr)rDr .;'r!lyii'r 'ltnf trrxtD)

.ort:rN lvr rlto tltrn ur nytyl, ?tnDu :) nru .'trrro prlDn" n r)t) llf}:

€ )ur 1ln r\rx) Dru nru:n! Nt 6 > 0 ):) it)) ntnr lo, - Ll < 6' -tD ilurl'rit :iltlrir

. e -n )u 1)l -: tt)n N )u lryn ,)): 'irl: .srtpnn) 'l,lrnt lf'Iit t)lty''l) lDiT irtitt

. 'tNE tlp" N )u l'lynu pl51> 1rrl unm '^tNn lup" r n'ltnl

1,*o,

Page 23: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

2l

t )a'rn

r . 3n2 +2n+ llllTl --;- = 3 t) n)li]l l -+€ nt + n+l

:l11lt!

t rDi2Tl tR' ] l l r lD 'p( e - r ' l tn i l )Ntytu l lDEl1nl ) ln t ) t )nt ) l i l tu t .1 i lU)) e>0 rn: :

: )xnuc1lx: lur :nnNuu!) i l ' 'nn. lm_3l. 'E ' 'pn'(n>N)N-nor) tun

'N)ni'r D"pn,u urrr) ur nr :)ur nvyn) . lln'-:zntt -ll=l :'-2 l= ,'*2I n " +n+ l I l n ' +n+ l l n ' +n+ l

n+2 n+2n 3 n+27#1.;=;t

s Dlul: 1:bt ):rron l l l lrDrx ti l l ' lN, ;ff i .u

n+2. - -4" t r l t l8

n" +n+ l

f : l 3 3. N= l : l * t r n r : 1 l l ) , f l ) 1 DN i r t ' t ppo r rpn r i -<e l l r l t u ln - r x

L r lEn

l3n '+2n+l ̂ l 3| , . -31< e EI Drtpnr p)t - < 6' Ertpnr n> N ): rt :yl n '+n+ l I n

3 n+2, - 1€ ilntlri'r-tN nN 1lln5 --t----: < 6 ll')t1,;1-)|t nx rtnl) trli7D) :i!]Dl

n n " +n+ l

n+2r -J---l4 s lDi7!il t:nn )nnp'tntrl izrTTDnl ppil" N -il nN lt!{ylt x) r)rH i:)tn ' +n+ l

tntx xrvn) 1nu 5)::rp nrxrn) H)x rnrr: luPn N -n nH xryn) nurt'r IrN )r:rn nr.ltn: 1x.t Jv 'nY )lt

2 )nrn

. -1<q<1 r t :D l imq '=$ ' : n )1n

:ll'ltl!

toglq l '< loge € lu l ' . t lzpnl t^-01.u unn.rnu)rs>0 rnr

n t ;log,ui trH pl DN D"pn' ilr lll)\r-'N . nloglql < log s lHrDloelql

r , - l. , l f =if f i l - t rn:: .( ,r tur togl{ l i r : , ' -rcq<l -u:}uru)' I tos.lot I

L - I ' I J

. loeai:)r nt6;a D"irn' n>N il:y

3-<€ EN\! ) ' ] l '11/,

. la'-ol. "

Page 24: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

22

3 )qln

" lim hrA.r*-J7*r )= o 'r n1r)nn n'rryr nrlnn + o \ I

: l l l l l !

:b:p:t A,B >{ h, Ji -JE = ++ nlnr: unnu)r rnut) 6 > 0 rn:r.l A +.,18

jv;{zoor-i;;l=1ffiffij=

"=l#]-',

2000 2000 2000.Jn' +200i + ' ln' +1 Jn' +1 tl

2000t n l t . n

2000rr,t..l.r: nyl

11

Dr tpn ) n>N ) : r r : y

4 )r:tn

,ri7)1

! 'rnryp ""n, ygffi )r::n nH unr

: l) ' thD

a

I=1 ) rpn) i ' t rnu ln))nt rN; ' l l i7 i ' l rnnD:n)xr , : rnn)xur : . L= i xrn) t : rnurun:)nurpx)3

? nt)l)l l)rNu nl)yu E) tf nrJrut nr>tn) inrt trR;.IttrllN trth ''lf,'rnu nNt)

. . . 1 n * l _ 1 L _ - . l 2 n + l . l t 111t11\,n-)H

'|)7t - < _; )1pl , l-_- U < - ult1:t 6n =:= )unl rn::Jn+2 10

' l 3n+2 I t 0

- u t 0

! n'rrru - rlru 15D H'ri,, n -u nr]r)r! ll)r:f, nNil , n . -2 DN prl DN D)rp'rt

, . 2n+ l 2. l lm- = - :i])l))i '] ntyUn nN nt)tn) nDI ny)n + e J n l ) 3

l ) . - r - 1 l l 1l - "

^ - - l - ' <a . tnu) :a>0

l3n+2 3 l 3n+2

tr" i?n' n>N )>rr:)rr , N=[-:al . tL J S J

l -2e

. )"tlD I

3e

2n+7 2 l- - l < 63n+2 3 l

Page 25: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

5 ,rlln

.nD)fnD il)rN 4,. =2n+1 nTlon r) n)ti]-

:llltll

.e=l rnf,r.rnur) yniT r lDD L rux: l im(2n+l)=; r1 ;1)r)sr1;r11

t,,vn zn +.1- L rlpr1;1 sr)11r p'!Dn "

,r 'Jl;, . ft2, +t) - rl < i \r,r-rl

, 2n<L -u, y: 'n ?N)D . 2n+7- L<1 orur) ) : r :nrr)) :n) : rn ' ) r i : ) rf

!t:ln nrrrn:'iN , n r)''ry )u utD'IDDD tlf,y pr Drrpnr ;'lf rn)n . ,.i rnt!:/.

)V ' r rD) 'N- l !DD. ' l ,py rnt ) : , n>. \ i r r r ; pr rpr f l ) ) r 'n i4 ,* I la6 'Ntnn

.nDDnn n}N d,, =2n* I nrton :i ' l)pDn .;' l ' ltnD - n r)1!

. "nlTtnn tJDil"\!) tnr) ltnt nD))rn nlrN i'lt'IDn tuNl :itl)rfl

i'l'11)n

K > 0 yup rlolr )r) un ( rlrolx lr:r) npl:nn ) .o -) no:rnn {a, } ilt'ron

l1gro, = co trlut) ilt i'npDl . o,,, K .Dlpnr n > y'/ ):!ur ''t: N r!:u'liDD Drli?

K < 0 'ni7 llDD ):9 ux ( rllo)rx )r:r) nor>nD ) -co -) no::nn {a, } nrrDn

lgo, =-* tr'ilrlt iil iltpDt . a,, 1 K :trilpnr n> N ):)u1:N ryf,D llon tr)rp

:r:rDrNlDlrN l:Dn

co - ! not :no {o, } n ' run . rnru)r 'non K > 0 ' l \ l rx) , ! = K, ! i7 ! lx t \ r ' t } ty)

)' = K tUlrn )yn trrplDt nt.rDn rrfrp ): ( n> N ),'Drrl1 prlDpu n r)t! lfy Df.i

{a"} nrron .tnu}r uon K <0'r\}Nf, , l = K ri7!1N' 'rur trt}: t : irntr l l tNf

trtpln) nllg;t rrf,rp lf ( n > N ; ,Dr)1.1t i7)!Dn" n tfiy ftt), tr$ -co -) nD)fRD

n>2K €

ht/r trh

n- > ^ l!] l lJ2

2n2 + n+ l->Kn+3

:n- +n+ I / . t1- nn+3 4n 2

tr"pnr n2l'tr t)) rfx ,

. ! =K r t ' l r ) nnnn

e 2tnn

. . 2n '+n+ llll1l- = co -1, i]]])i'ln n]ryl nllnn + n n + 3

:ll'ltl!

. 'r irutl K>0 rn:t

;ar=[Zf ]+t iDDl

Page 26: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

24

.Irnrt lnp )r:r n) ulr

ullrD

rlN nDl)nn illTD DN

a1

? ) tu 1 rs o ,=1+( -1) "v,

6 )tltn

ilrrct yrlD i7D)

; l t l I l t

. Lt = 1 -) "trr:lll?" n]lDil tlf,tN 'TNn Dtrill"l Dttlll n t)ly -l'Ey

Lz = -l -, 'trtf,llp" i]']1tr;l tlLtN '^TNn trt)fu"'l tr)t1l-tR n rl']), ']ll!

1

Hlnt nlfrtDnp nnN ,)t rtg g; = I o1rta: ntttlDt l.2 -1 L, ntrlp)it nN qriT: DN3

)u tlto tlon pr ;};1) 111 nrrrronD nnN ))) ylnD :hf)n nrr)n l)'n lrln .trr' ltrN llD)'N

.nllDn r']frN

' n]),xl nrtryo rp prrxrN ptt))

I ' rN I *o , .=A ' 1534=B

- lDn ' ) )

i im fa" tb - )= .4 !B 'Nr - - t "

l im (4 , ' b , )= A .B ' ln-+a

/ - \ . tB*O l im l " ' l = " ' :

' - ' [4,J B

rnH ))) iuH)r )r1]? rlDD N]n k ruxr ) nnrD k -) u trt)r)r trrrH\l): nr))ln :nrln

(hu mr nt]'rDnD('Pr:rron uoun ) nttDn ur)ru ulun

i\o, =

l4r" = L -i a, sb, s c, n )r)u 1r {o,\ ,{U,} , {r,} ntr:o ur)u nl)rnl

bmb. = L tfN,-'€ '

r:llnn) .troo1 "r)rg n )))" Dtun trnt nrr:o )ru n'lD))nn )y orulunn ))i i1\ryn, :nttit

"urltDxlil Dntrxil )u rgto rgpn) ttln ut! nt'ton rt:rN ))) " nul)) nut.r'rn nN

utun

l im(c, 'b , \=0 r tn nn1Dn b, n ' r ro t hma, =0 t rNn 1 6 n + @

lrluD

lm i6=1 .a>A yupr lDn , ) , l im{6=1 'N

-d,"-

Page 27: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

7 )r)]n:nlrl:tn nN :un

d'+5' 'r y^U|fi ,Nn+q Jn ' + |

/

l inf - , - +*-n -+, . .+, ' ) , ), - * \ n ' * 1 n '+2 n t +100 )

, , * ( n n n \l lml -;---- *_.--*.. ,+---1 | , . tn * . \ n ' * 1 n t+2

' n r+n )

( triml +*++..+:l ,_' * ' \ . Vn + l , ln+2 Jn+n )

nr:t)Hr,nnun) 1nr: n! nr r)u: ;:)r co _! urlxrm i.l)fDnt il'Dn:?llhI

n -+ a luNf ,N

7 n 2 + 4 n + )I i m - ' - - " ' ' - - t : *

- I _ l t t j t

n i€ Jn . l _1 , r+E

f t i \

n'13+:*4 l\ , n n i ), l _ I )i 7 - l )+ , J\ . n - )

:DlU1) .nrlt::n )ro

. 5 -) qli'[, n:]Dnr 3 -, lxl) nllDnu nrNrt nui? N) n2 -r Drny)r] ,..]nN

, . 3n t +4n+2 3l$ -;;=: lN)n

nrlurnn 1:!t z', 'lUtf,nn htr nnt: 5' rur:n )u lrtr rro ,tHn E,t]ri" n ,)1y llfy ,f,

"'yr:'I)Dil ullrn" nttyf, nltrt)ilil rN nrl.p . 1;,o ifiap = S ,) Hr;.r

s <S'+s, <s.\l i € #: U .-.V?lF, l imvs '=5 ) :p t r a>0 ynpr lDD b , l imJ i= l :u lun t t lDnu)ny l

n+q

. I imU2'+5' = 5,+€ 1r)r 1im5' \E = 5

0 -) lNil, D)rf,tnni'lD'rnN )) )) nlNrb ilrrp Nt.E)1f,rnn ro0 prrr: r2 D,rr)ro;.r .lrnf ,t

,ro.1" :n'r)trn gu nru)x: u,nnt ) . tt _+ a ru*l __/r_ = _1_ -' 6 !urn)n '+ t n+*

[m[+!+ ,n .+, -*;4=l=0+0+,,jg=0 ]:i:r "nrhrrn sr:o) nrru nr:o )u"*\ n' *l rf +2 n +100 ) ;-:':'-

Page 28: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

DtltlnEn 15DD r) "n'thuit Et)D) illl, trDD )U trf)il" u!un: rrnn\rnt ):t: x) Eylil ,.,

, n71'rtn Nli'l --;--- luNl ,t!t'lf]nD n ut trtttttDir 'ltnt . n try tnr ntnunr ytfiT l))Nn '+7

rnrr: hun rf)nD: Drr:rnDil )) nx qr)51 ox lrrl) .o)rrn luiTn Nln -:- -r n)r>an - +n

:fDirr p1lon fN lnl't l\)pn l:lnnt Dr.,Etnni.t ?: nx cI)11 txt )ur Dl)Dn

nnnnnt7 -t-;- < --t--: * --;-: *.., * --;- 1 1 -7-

n '+n , f + l n -+2 n -+n n + l. )

-uj hP|y,i lDn uotrn,lh ! -+t tr)t ! ' - -t tNn - +n n - +7

, , *1 . n n n ); j ' i [ ; ' + t

*7+2+" '+ , i * n )= '

)t]' ntlpn i:!t rltD:rN N'lil Dt"rflnDn 'lluD 1x ulx) Dt)nD Dr.,lftnDiln rnH !: :ntyn

( 1 -) nl,n, tr:on r:)ry lrltn: ) . .o -) r)rlx rx DlNn i)1\Di.1 rEOn) rrurnb

A<B ' r x l ima = ,4n u o '

lty ) trtttrn trri?En )nn 'tN

(+*-L* . o---1:l'n.-'l- =4 ,;.r\Vn+ l , i n+2 ' /n+n ) Jn+n JZ

pllaD

, m bn = B Dtl dn 1bn ty:,D n ):) ax 'N

A<B t r ) r l tma,= t r , l imb,=B cx ' f ,n-+o " n+€

. o ,1b, ( t r t ) l r l Pt iDD n t ) '1 ,

8 )rtrngt6t t iTD i l lTon ) l f , , rbr ) l t r rDDl t i?Dn)nn '> n l i . i . I>0 i

IXI ,=L l ln) ,N

rso.=o ,,N l*L;i=J J':]:-,,:11'11'l!

. la , - t l . t n>N ) : ! rupNry :u- roDnt r "p , rx e=* rnrN

r J l. n>.V ) r ) 0< i .o^ p) r Z- : . a ,<L+! 1r , l lun-rx) ) ) iTrDl l rnnnl . r ' l \ r - 'N2"2"2

usrrnn rl,D l!rN: np:r) nlyunt -io,i S a, Sla,l :u)nrD lr) )u n,r:r)nr unnu: ,l

.'Ptl't)oit

Page 29: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

In .a l.tnru): ':pn r\rDn 'lqon a ruxl lim t ' = a

n+a n

r " l

. .'rnu)) r:n'n r\rDn riDD a 'nJNl lim r .l 9 l = o t) nrn 'Jn+@

L tT )

:n1n!

na -l <[na]s na p, , x -7. [rJ = "

x )>) :tr)u Jr, )u nt:t>n: unn?r) 'N

t fn 'a ]' lrrl'upn ulunn , a--

( r),)ru a -l ntil:r): nrxu) ir)runu pr-l: ) . h*f"' ol

= o -\D yl)nt@ n

r t. l r? .a I

a -l not)nn n"lrDnr, ))n)tn . r)N)'p!t -rN llDD Nln a -r, nrl! :IlEtl

)::u r:n:rn nuyn) l:)r nrn)u utrlDn o- [n'o] r:un )n nr)nnr n)lnnt't

.El)H)t)t ' ' l trrt5pn Xtfn) 1nr: a t)N)tttt-tft - ltgn h, n:ttO

[ , ' l f r ' ]. l imn ' lg l=0 1ru) . l l l=o p) r ga!a l r ,1onutpnn)nn ' f ,

z + { t n ) L n ) n

9 bt:ln

Ig(o,., -a,)=0 'xtnn n6111"irn {4,} nrron trN : i ' l )}rJi" l nN f lnlN n)ln

g rtIU

r) n)l i1 'N

.nD::nD ntlDn rIN

:111fi!

. [mrfr = € r) rlD)]nD n))N lnroil . o. = Ji ilr'rDr i)un)

.i''ll'rf,r nt)R n:):un 'i:) 'x ttm(J-n + I - J;i= itgfr;g = o 'ru rrn

t u): tnD rtD) nrc::nn) Nril n:11)n nD))nD lt't'rou trtlnlx lrxt rt) Dtu

Page 30: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

28

4 Pl!(TDnil) il]rD )rp )r:l

I )rlln:il]])) rnt: ]H nil): ntlDn DNn y:p nt)xunn nnx )::

m(4)=0 rx jg (o" )=o ' rH l im(an.b^)=0 nx ,N

. n>N 1>5 a ,>100 -u ' pN . ' u ru r l un t r l ' i : ' rN l im (c " )= i 00 oN , f ,

. n>N ) t ) a , >99 ' upNr i r t u r rDn t r t rp ' rN l im [a , , )=100 t rH , r

lg(" , .4)= * rH n ' l 'n n-nD N' i r bn-r 'O*,n, =.o DN,.T

.ilDtDn 4z trl{ p.'11 trN nDllnh 4,, il.fiOi.t 't

:l]"t'l!

lg ( " " '4) : runt r rD) ' ' i , rx l im(b, ) - r hm(a, ) n ,n , ,prH,R

nt)r:rn DrD)ri? Hh lim(c".b") }un trtrpu l)nr:nl)r i l)rN nl)ru;1ll lnil lnDl

' 'nuu . \ . t f . on= 1+1*l) ' . b,= 1-(- l ) ' !un) rnr . }*(b,) . , '

I tE@,)

. I tg (o , '4 )=o 1>) t a , .bn=12 - ( *1 ) t '= i - l =0 lN n lDr )nD I l 'N n l r ron

c, < 100 lN 100 -! nu::nn nlrtrn . e, =100 - 1 )un) rn:: .n1)1 ;.,r:r1 ir)ypir ,fv,

.N ) : )

' . - . ' 1 1la , -1001 < i - ra 1:N r l :u r lDn ! r ) i? ' rN. s =- ) ran) , rn$.n) l ) : n)yu; . r ' l1 , , t

2 2

. n>N l t l 99<a , € 99 .5<a "<100 .5 p r l ) . n>N > ,

rin [a'l=-* rx l ' ( r )

n-*f dn ) }gi.AJ=* tN a, *0 n r>5; Igfu,)=0 px 'n

Ir \lg l l l=o rH l im(a, )=oo t r t t ' i

, a r ) x * e ' "

I= _ - l

1 'n 'Fg(o,

'b^)=o 1N,n'f t 'n nrro D, a, = n -+ co )uln) .illl): n)rx ilnyui.l ,.t

Page 31: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

/ r \srrp x) fr:ll i ] tn o -) nor:nn ilr'r'n . qn -(-1)' )rpn) rnl .nlr)) ir)rN n)yun ,i.r' * t \ .4n

) n

,l

( -a -J lN co -) nu))FD nJrN JN ;prcn ,n): -1- ntTg;l )ah

l rs, ) | -1, p tyluNEttp tIN.tnut) UUn e>0 .t[rN), M =I . ln]).n:t)) i . ,nyun,la . t

, ,*(r) ^ l r . l ^ l. lm l - i=O e l - -01 . " € -6 '<0<- : -<e p ) r .n>N j> j,nn\o,) lo, I a,

l)nt nNl nnly! .nnton Ntn lN rD))nD nlro trNl, rDtNn D!'\rn grp .n)l)) x) ntyun ,l

I

.nD))nD x) 1H lnron o, = 1+ (-1)' )vln) ,np::nn H) 3 ;.,tplDn n.1tonrt1n

2 rrt]n:nl. l l t tnrt ]N n:t)) nlyun ENn y:p nr)Hunn nnx )::

It j :(4) -t

}rg(o, ) o'n"a rx l in(a, +b, ) E,'p ux ,x

1g(4 , ) - r l im(a , ) o 'n "p tn jg (o , -b , ) n : r l im(a+b )o ,n ,pox

, :

.srp x) ]tg (",

, b,, ) ru )r:: 1rp 6 nrro)r lim (a" ) = I DH ,)

/ , \

ml yl=l ' tx L*o -) t im(a,)= L DH "r' * ' \ 6, ) n+*

lnfu,)= -t rx iim(a") = I tr liin(a, )' = L' DH 'ir

. j * {6=0 rN 'y ru n h2 an>0 - r jg(n, )=0 nx , r

.nn lon ; r l . roN, i t 4 , , rx l im(n .an)= l nN, t

:l]ll1!

1rnD))nn N) 4 = i * (-l)' -r o, = 1+ (-l)' ntr.rpn6 nnx ): )run) .p:: x) ,x

l l n

. o-) nrrur D,,p lr!J(o^+b,) .lN

nlrTD;.r n)Hun.,Nrn r!) . ) , , =l G,-u,) -r 4 = ! lo,*u,) tDDr. ir)) , l

trtri? i'rnrr lllNt . lig (*" + ),, ) = [m a, )ruil o'ir 1:) .nrct:nn y, -j x,

. Iim(x, - )', ) = lim6, )run, + c \ "

' t t /

Page 32: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

F

30

( t \l i ry l - ' ( - l ) ' l=0 tH,no)rnD xt 4 =(- l ) ' i l r lDn1n_+a

\ /l )

( _ \ r' Igl + l=*=t rrr. ' l lg(o".,)=I' " \ q , ) L n ' 6

. jt*(q )' = lgt

= f ix notrnn x)

/ l \l i-i - l= O )urn) .1r:: x5n - ^ \ n

)

or rx l im(4)= Z uN . t t ) l 'T

a, = (-l)' )un) .ir:: x) ,n

, . - f - , ' l I r r . / \ ^ ll i l lVo,= l ry i / t= l 1x l im(o, l=0 tN c ,=a nx )un) .1p)x) ' rn + € ' n + o I f l n + q ' " n

l im (a , )= tm l t ' o '

=0 l r ) rD + A n 1 @ n

lim (n.4, ) = I 'TN , lim(a,) = lim !-!t

.p>t 'r4 + c t n + * \ " t n - @ n

.nD'rDlt nDl)nD nt'rD ))]

nltlil

n1T9" NtiT) -oc -) no)lnn lN oo -) np::nn rx tnu): runn toon) n'))nDn nrrc)."fn'ln'1:tn: )tu) nDt:nnil

Dtlrll

.:n''ln lt'tnt ht: DriT nr),tul)tD nrru )r) ,x

.)'1il \Dr nbtont nr),tu,l)ln nrtu ):) ,:

-co -) tH oo -) np::nn ;tDtDn Nbt nrttuD:n nt.lD )) ,t

3 )rrln

E, O, =iz :i''l)tD) ))) nllyf n''l1l'lD A, ;'tl'fD

.)]lrn nN Hln'l nD)tnn i'l]]Dn ') n)'tn

: l l ] f iO

.nDl)ttD nlloil 1r) .nntont il)ty y1t119111D i''t.lluit r) un)ln ( 6 tr)lnt 5 )rtin ) 2 i7t!l

irt l))n\D: !r::) rr:!: .(on,r)t =2*o, € a,*t = O;" . f1g(o,)= f lnDl

. L=-t rN r=2 ) :prr I j =2+L r)r ) jg(o; , , )=1t1x(z+o,) ) .p:r

. L = 2 ur:ro) . L = -l -u, lln' x: p)r rE rrr-br nunln ;.lnron ntro;.I. ' / 1 )trN i?r' i7rn FS(o;-,)

= [*(2+o") lrrtru) (o,.,) ' =2+ an pnru,D r]yt3ir ; :) u,r,

lt n'lTD.nDttnD n)rNu 4 = (-1)" n110f )runl1:r:n: .nD))nE A, il.rTonu r*ao r,tt'

I tg (4 )= I lnor t rN.4* r = ( -1 ) '4 , 4 =- l :n ; 'D : ) ) )n r ) , !DNrurn) t r r ln ' :

; L=*L p)r l imb,*, =lg(- t ) a, ) :pr ,h:r ! r l ) r : : l (urrpx!xrnupn:)r) :n)

I n''r)nD - [.= 0 t:):' i:t

Page 33: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

3 l

4 )rtln

. . rnub,unn a>0 . ruN), xn+t=+(- , . : l , \=o \ , jno \ x r )

( nunln i ' lnlDn ir ' 'r ' Ioit N"t ) x.>-J; n>2 ilfy ') n)ti ' l 'N

.nli lr nilDit n>-2 "l lfy r) n)tn 'f

.)tun nx Nlnt nD))rD {.r, } ') n)ti1 ')

: l t l I |!

- \ 1 r r * r * r . r - l f " ) -

i - _ T :nz t \ r y i rT r , . r , 7 r= t ' [ r " - n ) -d t ' ; = ro . t r ' y ] ' r nn l r ' t l r r - 'N f , unnu t ,N

' x,,> J; ' tr t t i?n)

:):p: lrro) , xl > a 11r) 4 >./6 : 'N cpypl tUDnUt 'f,

=tr ( ,.* " l =!( r,*Cl= ,,r \ x , ) r \ x " )

l't)lluf h:l) rtrr: . lim(x, )= 7, IDD) .no))nn 1r)t nntunt n'tlut)tn il'l'rDn ')h * 6 t "

. L=Ji e L2 =a r*)n . L=t[r . ; ) b:p:r x,* = : ( - ,* ; )

( L < 0 - u l t n r x ) )

nD))nD '1pp pD)g1lr1 DrllDn )v {x,} nrro ,]7r 'rH a = 2 )un) ox :f) En,

. ,lZ r)plry'1-rp upn)

5 rtlrn

6+ a"orn r=a ,

3+za . , a1 = ) : l l f l )

1 r n r - ) ! nun lnnn run i l t ' r on N ' t ) a_>3 t yJv n ) : ) r : n : rn ' x

.n111t n''l'TDi'l tf nflil 'f

.)r:rn nN runlnol)nn il' ' lrDnu n)ti"l ')

: l l111!

. at = 5 >3 tr n)l)r nr)run r = f itly :rtrDDfirlit ntrpn:rxi'l nlrtnNr nr)'r)

a .+6 3+6 9a-o r + t = a r ' # ) a n ' ; - - - - - ; 2

- - a = 3 : a r . r t 3 ' u n t ) ' l l ' t o r ) 3 - u n t ) )

. J . C l n + 5 , / . A r + 3 l 0 n + A n

a ' - ? nJr r l h \ r \ nhrs - / J t J w L t / J / t J / l

Page 34: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

)z

an + 6 <2a, +3 :mn) )tpu lnnxn lrt'r'nt -tN E)'rlnl , *4 .t -u ny) nrlrl2a ,+3

:n'r]'lr il'l'lDil rl nr)tn! bD nyr .D]ti7n IryDf t)n)]n ']f) htn rNtnn lN , a, ) 3 ix:nr

.n.rrJr n..r.rD;.r tl,,t , on*t = o, !l!, < a,.l = onJ + Z A n

lDDt .nD)tnn lr)t s tr>9y nun)n nD'rDnl r't'rtt nt'rDn '))r:r) rrtyn lim (a- ) = Zn + a \ " /

( L>3 ' ) ) L - : nvnv :6+L

. L = L ' f f i > i P J a n * l) + L ] J

6+ a "=o - . - ? ] ) \ l u f" 3+2a ,

. L=3 ) r p : r

6 }';'1n

( . l ) "- l t + - l i l l t o ; ' l i 1 t l n l\ n )

:1l l f l !

.nullnn ilr'run Jt7 .nnttrnr n)t! nrtrut:tD rt nllo r) un)l:' 'l 7,')'lnt 2 i7'r!j/ . \ n

2.71 -, J''ryl nlt'rD e 'l\DR) fimff +-l I =e :'i]'lng) )1n: iliron )ru )tunn* \ t ? )

.))Nilryl-rN 'l!on N]n e -v ( ! i ' lDltD! x) nn>tnn ) nr>rn) 1n':

.nD)ltn i.rltDnu n:'ln . 4"

, . ( . 1 ) ' I. l l m l l - - | = -

, + 6 \ n ) e

1

7 )rltn

r) n)li']

: l l l l l ![' -r]'\ n , t

/ , \ nI n - l l= l - | =\ r 1 )

/ \ n

{n itr-1J

In-r+t] ' [ ,n _]_l '- ' /r* i l\n - l l I t z - l l \ n - l l

r i- [r-1)" =l=1 ir)r, * \ n ) e . I e

p!l'D

, . ( o r + a ) + . . . t ^ \um1 ---1---1" l= Z 'rN lim(a,)= 1 trH 'Nn - + € \ n )

n + * '

Ig<lotor.." a, = L lN tvfu n ))5 a, > 0 clotr: ux 'a

. L = n -U illi7n: trr lll) ;llilt uluDn :EE,

Page 35: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

J J

' Iy ;do = t )tN liman*t = L,*- Q,

u$rD

-l r)rfu n5)) a,, >0 ox

I tttln

r) n)ln 'Hx+s

1 _t . I , l ,

i lm -. {r? I )' lt)n nN fun ,f,n+q / ]

l im.,ln =1 :l] ']frNil Uiubn rl) t:)rn + t

1r ! ' " = l imu* l= l r r x .4nt- o, n+q n

:ll'1llD

lnD) 'R

1 -E , lIry - ilnl = l* t/; trrlrl) ,:n l e n n + e \ n "

= ri* [r .1J" =

" ,) en*J = (rz + l) l. , L =( :-\'n + @ \ n ) d , ( n + 7 ) ' * ' n n [ n + l l

1lim(a, =:- p)r,,€

illlri1

.D))yfu D''r!DD )u unn nlr1l nrrc {rtu} 'nn1 'nu)1, nrru {a,} ,nn

ntio-nn) o* . z 4n !u nrrpnn ,, lN ,, on lv lrp)n ilJTD ,,xapl {o,,^ } nrro:

. " an 2v :plnn )tun" NtpJ L -) rtx , L )tr:) nD))nn Nrnt Dr.,lt)H ElDlrN tJ,

:irllD-nr 1151rp 1:h {r" } = i+i ,fN rro = 3f -t ou =1 oH lrantI J E ) n

IY J K

ptufl

.)t:r rnrH) no::nn io,- ) nrrD'nn ): rrn ,)ru) f,nli'r lr\nf nur:nn {a"} i.nlo trN

.nDl)nn x) {a,} nriDif iN'rnn rp)n 5r:rn.1n1',\lrr {a,} nrro) EN,1r{!!EE

Drl:'N qrD)rN u' L )u n:r:u )>: oN {q } nr.ron 5p rp)n )r:r xrn L upn :'r !)?pp

,lg

.. (" r) 'r rm i I + - |tr--+a

\ n .)

9o.r- trnl o,=ff IDD)

t t36

.{a,} nlron )u

Page 36: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

34

9 ,rlln

1- - ct, = 7.+

(-1)' itl 'IDil )ut trttiTrni'l nl)li ln ): nx xrn

:ll'111!

nDl)nbn i'111D ,17) Dttlll tH n t)'1,'t't]y . 1 -! nOl:nnn nllo hP) D)t)ll n t)'ly ']]:y

. Lz=-l .1 I"= 1 6rr; : )n nr)t : t t l t t iTtn: l r r nt lD)u r tr :1r) t - l - )

i l ) ur r l nD))nD x) nrrun . t {o,} nlron )u nr i f rH l io)rn rur -1 rn t !u n:rrp ) : : )

.tn;q rp)n )utn rnrr

oruutrtt-uy)t: ulun.nD))nn ni1D-nn xrytn) Jnr) Ertf)N.11D),N n) urrl nnlDn nrtu )tn ,H

nlNllDir ntro-nn xrytn) lnt) Dr'' lf,rR llD))N n) utu i' lDtDn rn): nrto ))D ':

. -oo -) tx co -b

.nD))nb nrrg-nn nrnn xryrn! lnr: l))r ilDrDr on =l.,t.f+l ilr.rDi.rn \2 )

.k ->oo - l ' ny o , , = ! *s in (a f r )= ; | -0 ) : ; : : r n=2k )un) rn l"r 2k 2k

: t -) ntxttrn nurn n.rrD-nn lTpt , n = 4k + 1 rnrl DN ,nNr nnr!5

1 ( ^ . a ) 1 f tn = 4k -1 lry nDrl tDlNr .' ' t r

4k+ l \ . Z ) 4k+1 ?

I'hD i))1 trt)P)n ntltlt lnlt ItN nrro)ur ntHr) nuP xt . -1 -) no*ttrn nrro-nn lrp:

. 0, -1,1 .Er?)n ntr l t) nurr)u r:): ' i :

:3h1i1 J3lD) gDph nt)t:l r)tr lDr nr:o) . a, =(-I)','l? nnlDn x) nrro: ny) J)lln)

il'l.tD'nn )liz) trrrttt-'N n rf,''ly'ltfy'l co -) nlHtun ntro-nn ):p: uttltt n tl'1y -1tft

. -co -) nlHluil

uiluD EDP

n)xun tx:n

10 rrl1n

-) npr:nnn i.,tTo-fln up rr nrro)u lrr' . {a,} n)ry nr::urtrn nt.rD illml

( ligo"

=2002 nt ) - zooz 'J nol)nD n)t: nrron ') n)lil

: lnn!

,rlr.r!D. ( t!rD)rx lN t!,lo ) 1n.ril l i lnt hil ;r; pr 1:h il)ry nr1111111D ir.ilDn

u) .)ru rnrx) np::nD nlrp-nn ): tH :nrn lltnt np)rnD n'!lo DN\D lDlNil

zwz -> nD))nD iliroll llt'l 2oo2 -) nu::nnn n't'Tp-nn nD)it

Page 37: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

+ e ?nN TID : '?t:llDil UoVDf in)l;]l 'UDnU) ,:

35

lt ,rrtn

- Fgt, =oo , oo -)notrnnn ErrlrDD DT1ODD)U nfrU r, titJl ,N

( t \ t" lt iml t+r \ | = , ' ) n l t i l'-" \. Lr,l )

. ( . t ) "Irgl t . i )

-e ' ) n)1;1 , f

lt*", =€ , -m -) ntrl)nnn DlpDn DrttpD !u nrru r, ,i.ut ,l

.. (. r)". l im l 1+- l =e Dn) tn

' r '+@\ xn )

:l'l'lJ'l!

1,2,3,'...,t7,... i l 't 'Toir )ur nto-nn rntt l:)t trly:u Dr.'tgol3 n:tlD [x"] ntrDn 'N

. ( . 11 l+ l / r \ "rnrx)no:rnn l i+- i l n)u i l . rrD-nn p\ e -!nu::nn lr*: i n., tron( lr ,J/ t ,- , , )

.)r:ra

[,*a'1" s(t*.L'l'"'-'[ +/ l. Lr,])

. n -)oo',)ry,*[, .#rJ' '" ' =[,-;) ' , ,r \r.ryn . n -+6 ., . ,r , ,

I*[' *+)" =' ]:)r

[ t -*) ' ' )D)y*rrx . l imy,=m rn igx,=-@ ErN . y =-y, IDD) ,)

ar 1:)t [r-1)' )u nrro-nn nrnn ( , t )tr;t, ( n ) )u nrro-nn nrnn

[t m,J n.,-,on . I -) noxrur

rx iigg:; = co trNlD '?rlr)Dn u!\rn nlur ( ln)rir l nrrrn! nrup n) . L -rnDl)nn

[t-l l ' =[t-l l " =r-f--1=e trru.,) ny] [,-a]" -l( x , / \ v , )

[ ,_; ) ' i t , t ' , ) e

Administrator
Pen
Page 38: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

36

tlN nDl)nD nl'ID Ntn b, = On*, * a, ''t

.nu::nn {a,} nrlon ltx

oo -) rx L rutnn uon) nD:)nD 1:)r nhtt

co -l no::nn b, lN:n'r oo -) no:rnn

12 )rr.ln

:i'l))tDi'l nlt'n5n lN nlli'l

n71y i1llD Nrn i4nl DN '! ' l

i im (4 , - -a - )=0 nH ' f ,n + @

.nD))nD nl'ID 4,r D)

ilrrpnu n)r)u: nrr: .

l]n) r) n'l'nD nNil

{a,

6r*l

:l'l'1ll!

)i illrcn .il)'Dl ilryuil 'N

Dl )tN , a -2 nDl)nD

.noi)nD b, nrronur

az" = log(logQn)) 'lN . dn = log(logn) )un5 rn:: .nlr): N) irlyui't 'f

logn logn

nr lun i r ) r a, =log( logn)-+.o ' :u ' r rn. azn-a,=logf l9g2' l -+o

lN)nl\ rogn )

.n l1)) n l tH

"rnrN l!'txf" co -) nlxtuu ntTo 1lnf,, ur n)1)) i'l)rx n))runu n))1il) rl) :!1p

nbty onrrilln irtlp)t! y]rt) .Jup nln) cn -'t a2, Et"lflNit ltl PnrnnlJ ntuf,t'tlln

log1000 = 3,1o91C000 = 4,1og100000 - 5 , . . . )unt . rn tx lo tx :

. co _) t1t .!nl, .rry ,, .1lrru log(log n) p)

( nrlTp nlgl)nilt tt rD ?lnp3? ) pslrtl

p N rlru 1!DD Ettp e > 0 J>5 trN p-r) trH ntrr)nn nlTDn .'nu)) nlro {a,} 'nn

la, - aol< e prpnD n,k >.V ):)u

L lt:tn lnn lulD r)) pp Dttl),l, .ntlD )lrt nrc:)nil) i7tlonl tn'r)n tn)n tntu :f trr\D :.M

r l l lp 'N)nDN: ' ! ! r i r ) . r tJ lprNtnnr) ]n) ru lN la , -L i . . , r lnDl i l tD l iTDl 1r ) t nr ron)u

.r\D'ri, lxtn nlrlnnf plp x) )t:rnp nt:rnl n11 grnry! l)t'r no:)nn iutN nrlon tlp pttpnn x)

- ( loe2n\' l N , 4 : , - O , = l o g l ; - | i ) )

\ rog 7t .l

13 tp'ln

: r) )l}lp ll.'llrr.]p nt)rynRf n)]il

l i l i.nD) )nn O- =-= i - : t - ; * . . . * - ; i ' l l " IDn 'N

" 7 L 2 ' 3 ' n '

. oo -)nD:)nn o, =f * l*+... ,* l n' ' , ron 'r123 n

Page 39: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

, ,111lA_ - A,l = ---= * --------------i *... * --=' I ' 4 r

( f t + l ) ' ( t t + z ) " n '

2tp^ p.>r r* #.#=h-i

'n'rirf r"u-'Nr\rnn\r)

r ,11111111la _ - Q, | = ---= * ----------;- + . . . + - < - - - + - - . . . + - _ _' " ^ r

( f+ t ) ' ( t c+Z) ' n ' k k+ l k+ l n - l n

l ^ r ,111.k . t \n i l l rnu ) :s>0 - rn l . l a , -ao l< i - ; . k l : ) r

la , -aolct D) 'pn ' n,k> N )r) r rx , ,^ , t=f l lo f ]nD) . t r r ! ) :p:t € t 6

.nottnn 1:)r rurp prrurtp nprrpt! nr'rcn :El)t)

l l i I i I i l i IG: ,= : * :+ -+ . , . + -+ -+ . . . + - , a ,= l * : * ; * . . . + - ' ll 23nn+7?n l23n

I - - r r I I 1 1 It 1 : I n l ) EN . l a . - - a - l = - -1 - -+

2 t ' " n t n+ l n+2 2n 2n 2

'

1:?t n)D n)tlul)lD iltlDit ,))ur tln.ntrt:nn x) n'llon p)t ulppr x) ttuti: l,tttur.tiril )iN

=

=

=

=

=:=i=-

.=

:-:::

.::-::

,ia

::

:.-

\ T

:l'lllt!

t x n> f t - un r ) ) 'N

, 6 -) nlxtu a_ 1)rrr,fntn lf,tn: )tt nl ur

Page 40: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

38

5 PlE

iltvfrn! )ru )t:l

irtlTllln tuln

A -)'inr9;1 x ):) nnrynnu n)rrrn xn B -) A -n f n)tp:tlit .ntyllp rnu B -t A nrriln

nH''lpl B nst:7t i'ttlirllon 9ur n'nrnn Dtnn nx'ipl A nstrp;r . B -) Trp;1 y lrnrt'rnx tf,tf,,

y = f (x) lnp) nt nipnt.nrtplt!;'l )u nrron

.irryiT)rlir )m ty:u irlT)it Etnn Nlp) Drrp y = f lx) tuiTn lt rnrr: )trrn A urnn)

t )n:n:i']t!P)]!i'l )tu 1ry10-' nlTlnn trrnn Nln

( x - l ) ( r -3 )' , y=4x i+2 ' l y :

:1l1fl!

2<x12 + 4 - x2>A 'N

.ttDDD x )r) nintn nrliT)lli'l 'j

x *1 ,3 ' )

.n)ur llon ltrNu) rlDDn x )>) nllrtD nltiTllli-t 'T

. xy lr\Dtnf (x,,f(x)) nfirii)n ): )uelurx'rnf ), = f(x) ilttp)l!bruq-rrn

T M > 0 runn llon trr)? on D ornn: ilntDn n$i;) y = "f (x) i'ljp)'to

. l f f* i l<u xeD !:)r:r

r)u irfl9 nyty'rit 'ltn: Nt'D n)ra clrrn rtx D utnn: nnlDn y = "f (x) DH :!lp

!= -M - t !=M Dr rp l lN t r r - lu r t

1)'= ---J-J "t y =

r - | .xJx -1

3xV =---- x '+4

2 rp]n:lll '!P)l5i'r )u ntntn n:tn

' f , / =3s inx+2 'N

4 - x 2

Page 41: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

l) '5) ,

- :ll.,tn!

.x h, 13sinx+21<5 1:) r 13sinx+2ls l :s inx l* l2 l<3.1+2=5 ,N

n)u lnttl )n:n 1tn ': ntxt) nrup x) . -2 < x ( 2 Utnnr n.1.t)1n iltrp),tlr.l ,l

. Jq -x2 <2 ph x=0 ruy ! :pn r

- - L - x 2 + 4 - r - a r Ii ))r ->v4x- =21*l : trr}, t l l lDi l) l1u,- 'Nf uDnr;t ,)

/-

x ):) l++i=+ ):;r:l x '+41 4

p -) ErlDgr;1 X, ) Xi

nl')'tultlD n'tr$D,t!

):) on D nrnn: 1 n'l ) ,unn n)ry nNriT: y = -f (x)

.( "f (xr)>"f(r,) I f (x)> f (x,) :tr"i?n'

)r) oH D trrnnt ( nrrrr ), UED n?trr rNtiT) y = _f (x)

. t f (x) s,f(x,) I ,f (x) < f (x,) :E"i7n'

p -) pr1ilr9;1 Xz ) Xt

a );lrn

:ilfi]Tti] trlnnt n):]ul)'tn y = f (x) )t nllil

I ' l .1x2 +4 - 4

. i / " j *2>{x1r+2 € x j+Z>* , t+2 e , t r r * f rN . x2 >x r -un ' r ) ,N

.unn nr''t'tt nrlp:ltil ph 1up il))Dn ,n)t, x lpHl ,)

ntlplln rrH D onn: nt:rr y = g(x) , D utnn: n)rlr

. D ornn: nhy

1nlllt 8(x) = --:- trx D -) ?rlli1 x )r) Ulnn n:rur n)ry/ (x)

y=f(x)=tn;! ; , r v=f(x)=trfF+2'N

:lll!!

c )ttrn

:'j'l!il lN I)1n

y = f(x) trN ,N

y = "f (x) - s(x)

y= f (x ) EN, r

. D nrnn:

A

Page 42: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

r:-: 40

l r+x 'v = f ( x l = 1'

l-t-r'

:l'l'lfl!

-g(x)>-g(x,) p)t S@)<g(q) Dll f(xr)> -f(xr) ' tN. r? >.rr n'5 'N

.n:'r)r n:lun 1:h -f (xr) - g(xr) > -f (xr)- S(x, ) ):p: 1x>n

. ;>0: x ):) tann n)ty nrvil:tll l)llt:t: .n)l)i n)tx n)yui't 'f

. x<0

)un) rn:: .n"nl nl)N n):pnnu nryiTlon irril n'li7nf

s(r,) > g(x') 'jH

. D srnnr

s )nrrr. E trlnnt ni'r)tD z = g(y) -u nr)) . D nrnnr ntr)lD l,= -f (x) 'n nr))

rnrn) ) l : , E t g;rp)n nyup Nln ,,= f (.x) )u nununn Dtnnu nnlnf

:IrlNrir n]:pun nN l]!i]'tN n)rn . z = g(f(x)) nDllD iTypJ)!

.tJDn nlllt z = g(-f (x)) ol ttx 1DDD nTl]' z = g(y) -r uDD n'nr' .l = /(x) ox 'x

.\Dnn n11 z = g(f (x)) rrx n|y z = g(y) -,1 \rnn nll' .y = f (x) DN ,:

:llfrD

g( f (xr ) )>g( / ( " , ) ) e f (xr )<f (xr ) e ,x , )x t n ' ) : . i r ) l ln) 'N i ' r :yu; 'N

.rpnn nhy z = g(f (x)) ter''

g("f(rr))< g("f(x,)) e f (xr) < f (xr) € , xz) xt n':r .n:n) il)lrcil 'r

ntlllt Tn-Tn iltIifil!

A- :nr lyrn-rnNrn -y=" f {x) . f :A-+B Bnrr :p)Ai l r l tpn nryp:u f rnn

. d -) srlnsrii xt)xz 5)) 4 = x, nl)it: rrtl /(x,) = .f (n) tp)nil trN

. f (xr)* f (x) nl)nl "ll'tt .q t.r2 'Nlnil :ilhPu n'1111lN

lrrypl! )r x) 1n, ntflr'rn-tn Nrn unn ntr'tt tH unn nlty iltyp)lg )) :inlir

.nt"l]llN n)t! ntn) ntrtn nt)'ly tn-Tn

o )tnn

1. x>1 yuT l nDl ) , :n -Tn ; l - f (x )=r+a i l t v i21 l ln t )n ) l i1 'N

x

( -t ll ' " ' x )0l l + x -. y -g \x )= i . li - - - i . . x<0L l +n -

r : ) r r r tN . x r= -1 - l r r = l

f (x)> 0 -u urrr: trN n)l)) n'itn

n'r'11i7) )nu)

i ' l)90n:! ' lS

Page 43: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

4 l

1- ? t t

tO yuPl nDly rn'fi t")n iltlP)llil ENir 'l

:lllll!

. xt=xz nl)ilfl, n'l.tnt v, , -f (x)= .f (x) -u n)r) 'N

1

xrxr(xr -x7)=(x,-xr) € xrx|+xr=xlxr+x, € x ' +: =xz+|' \ - x2

x f i 2+1 -u t ) : p : x>1 )up )u r t l u x , , r , - u r : ! n . ( x , - x r ) ( x rx r -1 )=0 l : ) t

. xr = xz nr:n:1:)t

I-r .x, = I t'ny )t D) .n))'ty tn-'In nltN ntliT)loil 'l' 2f (xr) = .f (xt) \ s - r u - ' )

/ J I / J * 1 - L

\ * x2 -'\tl nlln)

xeAanp yeB ) : l oxB !g

tY nryilllo

A -E xrn y = f (x) n'yp)letD rnx: . / :,4 -+ B titn

(A - r r r pnu r yeB ) : ) x " t I . y= f ( x ) ' t r ' p

^ r---=. xo = i l lo-z

7 trtln

: )Y x'n /:R -+ R. uxn;:tr:

!= l+x2 ' J Y=x3+2 'N

:t]1ll!

-u il''lf . ./o = xo3 +2 -u'l) x0 Dttitu nlN'ln) ur .tnra)) /o lnf: 'N

-1 = i + xo2 .1, '1t r0 6rp N) lo = -1 lty ,uDt .by n:rx ntliTtlln 'f

illt5n iltlitll!

mN Jry DrNnil, B -) ?rp;1y )u 1rl )r) ruoH B )U nr:rr ln'ln / : A -+ B nH

nll l i ' l i ' l i l t iTl lgit Nu) /- ' "8-+,4

ntvir:D) .y=f(x) 'up A -)Trp;lxltnt l

. y= f ( x ) DNPr r t rN -F - t ( y )=x :E r ) rD ) . y= f ( x ) ' l

f (f-tOl) = ! , .i-t (/(*))= x :o'.'lrDi7;1 prrrriTfiD n'lp'il ;.1'li7),tD,t n)t!iln n'!p)t! lfy

a |a.tn

y = f ( x ) = 1 3 + 2 , f : R + R n t v i T ) l l t i l ) l l n i l i l t l P ) l l N l n ' N

y=. f (x )=x2,1={ r l r>0} rux : / :A-+ A nryp) t ! )n ) lon i l i l ' vP l l ! Nvn ' r

Page 44: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

II

42

rll ln!

x= f-t(y)= 1, ly -2

. * = f-t(yi=.,F i))'t ( ! prr: ) A )yt nrlr!'In-rn ntlP)tln A trlnnf 'l

u) 1r)l- R turn )l )y nr:ry ln-ln i't)tN 1' = f (x) = xz -ru :5 oru :ilp

.nr nriTnf ;'l)r!il irtliT)ro rn:n) 1nt:

.ipt?lle rull]r

l* f(x\-r f t 'nnrr:n

l f t *>-L l .u t ' r ) 0 . l t - "01.6 'Hrn i lu ' 'p t>0 p 'p a)0 r ,

. L-e <.f(x) <L+t ' ) )rpu l f t r l - I l<a 'x:nn : t l '1c 'Hlul 'N i :Di ' !

. ! = L + t - \ y = L - e : x , i t t r t ) O t ) t : p n t r t ' t u t t ) U ) l t : y : x J ' ' U t l t y t t : t y D f

nlnp) lnr) DN )'1n trr'rurn t)\D lttlD i'lylt.tif iin: nt;'1t y = f (x) iltvP)lli'l )u lrln

; ' t ) l y t n l n t " l , ' ^ t H D l p p " g > 0 o r t n t f l ) N ' ' l l r x ) . - 6 . + x o ( x c x o + d y u i t i ' l ' l l n n

n :n)y . !=L tu r>" t r r l rp '1 ' t i1 , != f (x ) n tvp) l l i ' l l tuy -n t :1y 1>) t luP lNn; ' l ) i l )

. ( d -n tr-)y y:Pr n)'ru ) "TND il)uP" nf,tlpf x0 n1li71n nx ltpn) gt ,;1t f,ln) ytln)

. t > 0 )uriryn nN nnxnilf lrupil) ur r > 0 )tu'lryn nN Dt)'uiTntt )t: ))r 1rr:

( 'llty ilNt) . x * x01x xo -) lxll, x -t, l) Dtu

ro - ' d xo xo+6

j-

I

Page 45: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

-

43

h11/(x' -oo 1H lim /(x) = co )r:ln nrrn.r-+r0 j_+ro

0. l r - *o l .U 'N)n i lup d>0 ,p ( M<0 ) M>0 runnroon l lb

t ' fG)<M) f (x )>M r1 l r

! = M rurn l>)r ,lNt! ,ul" M rtn:) inr: ,rnu):\1 > 0 nnnr: l\|Nl :llpNlglry

,upil ' l]nD nl]'tpt lnf), ' l lrrn )yn xynr nrtir)]!n cllr\ 116 )y .x -n rry )yn "fl nfl:f,, Nyn:

'iND n)D?" ;t:tfD: r0 ntiiT)n nx qrpn) Ur ,i1f tlr. yrrir) nr: . -5 + xo 1 x < xo + 6

ilDNnnt itup;'tt p1t , |v{ > 0 )u 'l'lyn nN or).1:nu ):> ,f1 1r.r: . ( d -l 'rr-)t l:p: n)ilt )

. t>0 ) ' u rYnnH

. iim /(x) = -@ -) nnrr rr.rslp3rp.nDn nn' jrlr) :irrtri.l.r-)-t0

:Il'l.lllil ']iDD llY i'lli'll

, l imf(-r) = L brun nrunr -+!c

( xo (0 ) r t >g p rp e )0 f i ,

, lim f (xr= m )r:rn nrrrn

- f ( x )>M ' 1111 ( x<x6 ) x ) ro rN )nnu . l ) ( xo (0 ) xo>0 1 , , p M>A h ,

,!g /(x) = -.o IXf(x) = -*, h:rn nrrrn

f ( x )<M ' 1111 ( x< re ) x ) xo 'N :nnu .p ( r c (0 ) xo>0 an iT McA , ,

9 "linr> .r:t: )t:r )u ilt.T)i.lir ntytnNt nltn

,, y^27! =2 ,2 lrrye*+l)=7 ,pr * 2 J ; - l r + 3 \

:llu

l {Zr*1) -71=2l r -31<e \ r ' ' r r ) r rnu)r e >0 lnr : ,N

,[ql(') = r| ^ , , - l

u (x) - Ll< t 111p (r ( 16 ) x ) xo tN)nnlu 'if,

iim /(x) = co

? v + ?1 . t ^ t J

[fil-;-- =:+1 yz 1 l

lx -31<9 p)l 1 2

- tU= i6 lp6 )U )>) n r:nrtn ,Et)rD).

. l (zr+i)-71< e

6 = tr rn:) Trsep\, )rl lN)n2

tru ' 0<fx-: l<d 'Ntni ' 'n l )

Page 46: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

44

rlyt ' lN, lnN ' l!oD trt ltntt ' tu!N ) 6, =

Ilx -2i< i -u nr:l . ( z -) nr:rrp nlnnr r l 0

lzx + e -rl ,ru,:n nN uur! no:r nr, . ff

. * .fr lrrrrrcr'.rx) )rpu n'x:nl3x-1

x -r npn iln)riln )u nrr)):r nln! n)rN l*-Zl.* -, nt:rurNrn i.lnrilirlr:) rru )' 10

. ( rr iln)n nr:nb rnrn 1:br z -) lHrro

l2x+6 . l l lx+6-6x+21 l -ax+81 ̂ lx-2|t - - - r a t - t = l - t = - - t - l

l3x- i l l 3x-1 l l3x-1 | l3x-11'tN 2 -) :l' ' li7 x'ttDNflD't)1: rfrprNlt)rN lllNf . i'lt)Dn )u nt:nran .Pryn) not:

tt i t t 9..r. ] tNtnnn : ' t t ' ty rprl ln nl lyn nuly) . s -) :r 'r ; : 3x-1'r\r)f ,n' r0 l0

nr i lt\r- 'N 1r)t t:trn 3x -l 'rutfn . ! .z*-t .11 jN)D'r ! .z* .910 10 10 l0

I10

X

-t, r)Dt lDrN: nrt:.tnu): e > 0 rnil ,)

nlllp)nlJ n:n )y iuiT nrunt uun rrnr)

110:--: { -

l3x - tl 47pt fr.iE'-tl.#

.rrtput

4lI3l =4.]x-2 J-=<4.1x-21.1q =4.6-zl rN)nl3 r -11

' ' l3x- l l ' '47 47 '

.0.1r -rl"# .',rn> p'i7h, n,,, j|1" -21., url:nrn:)u:

lr-zl. * -r;lnrnr tr))r): Jfrn) p1r pr)lprsrn ):. d, =!? .rnr) p'rpn i)'' | 110"40

. a=min(4,4) :DrtD). d, -t 4 -DDint)tn;'r; ltnt "tnrnNil" d -n 1:)r

, l r-r l< !

Page 47: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

I t

lr-rl 'ru'rn nN\r:) nru , l'ffil

'lo,:l n)rloD n)lvn Nrsn) nu::

. ( d -n nx ):il) rt: "cl'ro! Et'rnl\t)" l)N

7 ' ' ' ' 17 1 ' r l l n . 1 .5 r . 15 I 3-< lJx* r l f

Z Z <T F> \ -<x<- l ' l n ) , l l l l l

! . r ' .2 : : i r , 1. r .1 -o , | : I . r ry n)ryn nN runr lNr, l4 4 2 2 l2 ( : '+ l ) l

a1

l im - =0

: + < I - ; y

9 11, lN

10 10

19 2110 10

' = *[*' tm)'o''' ': u, = m itn]) prspp 1'1

€ i"-q.* ' )n ')Dr n' : )

-+. r - r . - ] i l> , ,p \ r nr l r1N,10 10

-21 l 9-<_x<__

' . ' l 5x+1 L . , 17 14 17 ,l "- i l l t ; .r l l . j"-t l ; i r=; l ' - t l .uyr) rx)n

6r=3 nnl! ;Trsepp)r 0<lx-r l<E ):p:r f l " - t1.u

urrrrnr:)u:

. a = min(4,4) ='r"[;,#) or:,p)

to )rrtn

:rf ]fh ntl)ilit ntryf, nlln

, , p * J - x ,= - . o , ) l im x *1 .= * ,N

'* : ( r -2) ' ' - ' (x- l ) "

:llln!

. lr - 1l .l -, ')nr l!rx: nr:l ,!;rrr)) I,I > A rntl ,NI | 10

. 19 | . , 217 : i 7 t . -< l x+ l l< - iN tD l

t : ) t 79 . |

, rM \ n r l )' 10 (x -1)'

t0 10

Page 48: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

46

M <a -ur :) oru I (x -2\' . 9

rlu nll- t0M

tffil r''rrD) 6, = tffi r.,n:);7rsp11 p''

1:)r x -) -co rN 1.lr + "l l*)n

l*1. " uJrrr,r rnub a > 0 rn, ,r

. r . - t - l N , , f , 1a - t - , l r ) : rp l ) , r r , 1+x<0 -unr :n ) ) : r :t t

, t -T*=0 n)t l* i . t

r r ' r ) ' r (ro 'N)nn ' rN, r0=-r-1 IDD)t

rr )utnnttf,Df nl']T)tD;'l f (x) , g(x) , /r(x) nrrr;::D vrr)ru .it)ritn : '?rfl)Dnu uluD n))n

:trtti7nD x ):) rt n:r:p llnfu nr))t ( irnlp xo ntrp:b r)tx uro ) xo n.nir)n

i t lg ( t )=r D) ' rN ! r11r / (x)= l ig h(x)=1 tDr) r t rN . f (x)sg(x) <h(x)r+.b r+rb r4:n

r i lh) l i ]

nN l l t ) r 0 .1 " - *o l . d rN l rnu? d>g s r iT lDn , l rn ) . r t t . t i r u ) l a>0 rn t )

4 >0 6117 1))1 lEff" i=igA{";=, -u t tn) . L-e < g(x) < L+s ir ' , r1uir- 'N

l r 4 r0 Et 'p , i ln t r i ! ' t x l . L -e < f (x )<Z+a i l r 0< lx*xo l<4,Ntnnu .1)

r tx d=min(4 ,4) rn : : ox . I -e <h(x)<L+e r l r 0 .1" - "o l<4,xrnnu

.J 'vn L-s <g(x)<L+e ph L- t <" f ( r )<S(r )< h(x)<L+t )zp t

l - x -9 I-:----::i 1 -' -'----'-'-- Llnl(* -2)' l0 {x - 2)'

f q -o ' l ' - 2 l t

| _roM 1)) ( !

6= " ( t

*[r '

,H (ff"l'g(x)) = 0 ttt .x0 n'np)n nr'rDr lrnrun g(x) -r

lim:--r0

tim f (x)J-+ro

. (r)I . s rn l - |

\ r /

tz lrttn

= 0 ox :nlli 't 'N

= 0 rf, n)ln 'l

Page 49: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

:I.t.'tn!

lS$)l< U -v 1> M > 0 prrp 1:h r0 ffili7:ir nt'fDf, nnton g(x) ,N

, 0<l/(x)s(r)l< u .ltfx)l prrprD r nr':Dr p). lr-rol <d, n:rro:

. ]q/t" l 's(1)=0-u y:r: y'r 'r)Dir ulunn n)r 1im0 =0, Jg Ulf(x)l=0 . ix

t tSt t t t [+)=o -nr , ] r : n)xun )u 'x t1,ysrp pt r , x*0 ) tJ l r i "1 l=r , r

tr )nu.li-("f(.tig(r)) = oo rn )r) g(r) > 1 -r lim /1r) = co EINID r:)r nrrrnn ntyln*t n)tir ,Nr * { , ' - - !+ .h

ptlDn il:':D nprrp :il)!un nN llln lN n)t;] . L > a -U ylt'] lEf {*t = t llr) ,f,

( xo -5 ' ) tNuto) . l r ; 'nr :Dr '?) 'unx )* f (x)>g -u .p r0 )un:up

:ll'1!11n . l | -U<lr- . r01<d ) : )u '1> d >0 E)rpunr) tnt . i ) ty . , t i . lvJt) l r f >0 in i l ,N

0. l r -oo l . , ) : ) rup d>0 u"p p) r i im. f (x )=m - rD j ln t . f (x )g (x )> M

.J, \ tn . f (x)SG)> . f (x) .1> M 1tt . f (x)> M

^ i l ^ - lO.l t - ro l .6 rx)nnt)J : d>0 Drp r fN ,6 =a :vn l tn i l .n l l ) )n) ) run , l

. , f (x)>0 N,,r , 0<z- 4.f t l . t+!,*ro, l t t l - r1.f . . r .r . . r , ,3Jr

( n:rir rxrn ) uounl imf(x^\=L 'prp)r l (xn+xo ) , xo-JnDr)nDn r , n:ro):) i7. , r lEN l im/("r)=zn + u - ' " n u " - u

- - ' n : g - : r + &

x" -+ xo -1 xn -, x0 -1, .p {r;}

-r {"" } nir.,D ,nu nrn,,p trN :iuizprj

. r0 ilniT)t)rupx 11r; nryp:rs) 'rx lim/(x,)*ltmf(x',) ut

14 tUln

pDp N) r) n)l i l

:llll'l!

rIlll'ID tnU lnD

/ . \I l ' |

. lrmslnl - |:--+0

\ X /

nnxZ;rn +'! JjrtT

Page 50: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

- _ _ - - - - - - - - - - - * c

48

6 > 0 ):) ox .r0 ;lltp)t( rNn\r :yn )r:l ) rpr 1ro L )r:l t21t y =.f(x) nryi?:ut

l f f * l -L l . t rn r r ( 0 . ro -x<6 ) 0<x-xo (d rx lnnup d->0 D"p

( l im f (x )=L ) l im f (x )= t : |DD) r

u!1rD

trrrl'rt rn nr)t:rn Drntrp DN i7l DN x0 i.l.t,ti7)t L lr:l \), y = /(x) nrs;::u)

. L -) orrrrl tri.r,)ret frni,f(x) -r hq /(x)

:!:p: r:u ryn . limsirf + I = ttg.tol 2nn) =0 . o -) nD))nD nrrrDil 'nuD\ x , /

n+@

. t r"p'r) 'N l insin[1] l . , , ,n 1:)r l imsin|,+]= u^r^( zrr*1)=r: + u

\ r / ' + @

\ * , ) n t @

\ 2 )

itrOnffi

. !1i/(;) )u)i.,r D,,p ,,rx , /(x) ={::.. ' ]::l

n,yp)rlir n:,,n) ,R

. $ / (x)

)11;1srpr lp , x+A >f i f (g={ , i l ' y i7) t lnn ln) , llxll l

r, = (-1)'

il''Dn il)'r')r ,rpp6 x ):) n.rrrrn n y = f (x) ilrlir)rDn ill,rn) ,)t1

. I,g3l'(x) = O tr) 'tN Sg,f tx, ) = O trN

. |E,f{*,; = O 'tN r, =

+ ur lirq /(x) = 0 511;1 srp DR ,rn

:l'l'Ill0

lul"f(r)='IF(o-r ')=3 , ,S f$)=J$(t+x)=3 .n:r:r i 'nyun ,N

' $'f{t) =:

1:)r lim f (x) = [m jL = -ir+0- x-+0- -Jr

: it)pDD .nt) nt Drlll, trD't'rt rn nr)t:r p)t

Y

, lim f(x) = lim a = 1 .n:t:: ;1ys ;11yun '3r+u r-+u x

.pnp N) lrry,f(x) )run

Page 51: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

x 'rry "f (x) = 1 -r rlxtrrvr x rrtr .f (x) = x )vnr r,rD .n*: i*H n)),un ,)

nD)N:Pyt nn,ti2J rlloJrx lD) xo = 0 )ur n:r:u )lt rix . "

= I 111 .r)p1py1-rg1

, l-f $)- 0l :

|>bt f (x) =l n')p1'v.1-rp nr.,lp)f .p')p'y1rN nnriT) .rrD:,Nr

.plp x) S/fxl )run ltro)

.El iTnr rn 0<fr-Of cd nxur.p d>0 6rrp 6>0 5:Sul tnt .n! l ) r i l )yun , .1

1n) lu:3r ,, = #

fltrDn r.nrx trr)nt p,!oD n ,r.1t, ..l,rfy . l.tt*t* 0l < e

, ! ! f (x,1=o € l f {r , )-01." p)r 0<l.r_0lcd n:r :on

A<p-a l<6 'N :nnu 1 r e>0

tc )rttn? tPlD tN nDN

prrp d > 0 )r) oH pl DH |,g1-f $) = t ,N

lf (x)- Ll< e lr'r)0. i " - o l .d 'N)nnu' pd>0 p ' rp e>0 ) r )ou i7 i1 t rN lg_ f { r )= t , r

- lrro- t l<toe .rr)0 < !x -a [<6 'x ln ; r e>0 J>5vp d > 0 prrp trN ilr oN ,\y;-f {*) = t ,}

. l f { r l - r j< roe rrr

:ll'lfi!.nrlntnn iltllnil try ilnliJi.t .ipl, ,N

tf'ltn 'l!DD Nli't 6' trt ttN tnu)r toun Ntit I > 0 .t n'n . e' = 106 l'Dt .nDN ,f.)r:rn )ra nr)xntron nrrrn) nuyn) n)rpu ;r:yun l:)r rnu):

' ! 'rr!i'r x)r d 'n nH r! nrNnn) rxr a > 0 rrn:) u,')rnn.li7rD ,)

t7 tp.ln.rtNlltt-rN x rtly f (x) = _x, -r ,)x:rryr x .,p:y

f (x) =x, .r,1))

t lim/(x) tt:lit Dlp ,) nltn

:ll'll1!1t) t3 ;1rv17111n )u 1un nN irr!! nuyn) 1nr: x) nxt n'n!r x )lb :u,n nr',tD i.rrrp:lrn

'51tlp1pv1rN nfili7l qF:tNl nrr)t{r)rll nnrp) l,rD)rN xttn) 1nr: nrrN)lr}r nri:: ):

Page 52: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

50

l:ttn nltrN:1tt'l-tH nnlir)l nltnltll nmir: Jlf trpnn r)1ruizrp ltilDi:prp t), ilrn t)rN(nllP) 'tl]lDn" nnn ,tr ) nrrprrpn nttr:rg 'nu, Ettxl.'l

;x = 0 nllPl: )tU UnU nlyun )rpt 1X:n .T:rt ErttrulN)Utl]l Dr)rprrg nn n)Hi, Ur:t:t N t n n r t N r ) N l l r t l x E N . l n t t l 6 > 0 t r $ , d = 0 - \ r n r D : r N t r r ) l )

'runn rH r)g'1ry1-r6 Htn x trN . d < J" lrry E"pn' i/fri-ol= lx, -ol. "

pr17 r1p 6: - I )un) rn:.t

f(x\€ 2<" ' -<4 €x'

f f r \= c 0 ' l H , 2 x < t ' " ' < 4 x

f

:llll]!

.nNt) iiltP:)t ItN ,N

l,rtrl . l -,l - - - i - - J l < ll x - I

trttlltn x )lly

p'p r>0 )r r,it),: trlt 'ol plr dS"/e rty t,np tr"i:n' lff"l_Ol=l_", _0i."

fg , f (x)=O x ' r , l / (x) -01." rx 0<l r -Ol<a oxrn l r d>0

r hu nrup:p) px nlor: nllp) lbrl r: ( r npl ; ntrn) fi:l :il.t!ri,r

16_241n

(nn}p nNt) iTtp:jlt n.Irn:) J|]Rtn ntuitln n,q nprrpDir /(x) ntrp:D! nnn: ln

f(x\ f(x\i '33;=z Dn lTlf=3

,N

/ r \.p r rp l ) ,n t i ry / l - | ) runr , l im/ (x )=Q,r

'*o - \,r/ r".m

.nllitl lNl )tu n) ItN 'lN ruDD x ):) n.r.rnn f (x) 'l

:DrrPnt x)xo )r)up ro >0

'lull N)D , Lxz </(x) < 4x2

. . f f t \l im" '= :o

1)r ! ) , l im2Xr+q .r ,*

Page 53: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

51

/ r \I i4 / l a l ) run. l im/(x)=S . ! r r , r . r r. r+u

\ l / r - )6

, I ) 0l'.il)

,x<0

.nl]P) rlHl )t:r n) itx'lN 'Unn x ):) :utn nt1lp lr ilt;7t!!

Ir/(') = Ji

l1

l* t[,+l= Iim(l) = I , [,p /[+.)=,lgp "r = 0 D)nrNr .E"p ,''Nt - ^u

\ I / r +0 :+0 ' \X ,

.t)11lryl+11 x i'n)l .f (x) = -1 -r r)x:rry.t x .l.r:y f (x) = I nrlp:rl rnlr

Page 54: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

i52

6 irl!nllrxl ,nlhfl f,lutn

il'lTlil

/(x) nryp:r!)rl iDN), xo -) lxru x lDN) -n -i rx oo ) lN rlrnD .uon) n!Nl, /(.x) ux

. xo -: :ntil 'lfrDf )'n: ulr

nr)tl )p nizrcnnnx

: rrN ftg/(x)

= 4 , I,gg(x) = It srplp trN

lim(/1x) t g(x)) = lim.f(x) t lim g(x) = I.t Ir + d . "

' t r n a r ) d

lim ("f (-t) ' g(x) ) = lim ./(x) ' lim g(x) = I" ' L2xta x+a t4a

u- €-1 ,rr+r Vx -1

u- h( l* t )

= i:+0 X

l im stnx = I

:-+0 X

. . J**a-2l lm- , lr-+0 X

nnnrrlrnrlr}

l im( i+ r )1 = er + 0 \ /

i }Dln

rnlhfln nN fun

t : - 4lim .-- 'N' -2 x" -3x+2

00

:I]E

)lDnD fliln H) r]prf ):p: 1:)r 0.) pr5p114 il:lnnl n:rnn x + 2 rrDN) 'H

. . (x -2 \k+2 \ , . x+2 4. l imt-- : i ' : - ' l ' - l im

-- - =-= 4 bfpt ,onrt l ) pt t ro nnxr -+2 (x -2Xx-1) :+2 y - ! 1

Page 55: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

53

lnvtr gfi - JD = ffi

:rrriTD )r: nnurr: unnulr

,7** 4 -z;*n x ;;o r. (Jia +2)

0< / r<1

, . 1 - r tx+a )y 13

l53(.tr.4"-.tr;)

=hm--*-=1i*-=:]---=1: +o ; . ( Jx+ 4 +2 \ ' - o { ; +4 +2 4

lsDyil r']nN

8 _ ,1+1

, . Vx- l , . f - ll im-:F-=l im , j ) :p:r x-+1 , t) l rux: . x=t4 iny;ttuDnu) ')'*t {/" - 1 t--+t lr - I

an -bn =(a-b)(a'-r *on-26+an-3b2 +.. ,+bn-r) ty l iTD )o) nnDrl f unnurl n!r)

, . { 6 - t , . 1 4 - l . . ( t - l \ f t 3 + r 2 + r + l ) - . t 3 + t 2 + t + l 4iim_-- = lilll-- = llll1-------- - - = iim-- - _' * t {x - l r -+ t t r -7 r - r ( t - I }G, + r+ i ) i ;T f + t+ l 3

z )q.tn

:n]r]iln nN fun

tim {(t + x)r - x} } 'r fim (Jx\ 4x - v;' - 4" ) ,Nx - r c ( ' ' J r - " \ ' I

-

, . i00x2 +100000x . . 3x5 -4 r +x+6l1IIl----_ ,.t

iilD___ ,tr + € X ' + 2 X + l r + @ 2 X , + 3

:lllllD

, . (x '+4x) - (x2 -4x \ . . 8x: i : m - - i r - r - -

*-*V.xt +4x+rfx ' -4x '* '_f h, !* / . ,_t I. r l r l r + -. [1 , !^ ,)A.

:)rpt , r -> co 'lrN) - -+ 0 -uJ nl:.tyt lDlDrrDl x -f, trx

o. {o +r)t -'*} ='* ilt.:l 'L\ x/

o-)qN'rD x l - r , [ r*1]- . t+1\ x ) x

. ,u*{A +r)} -r '} = o

_,1.pbr

, , { t* l-r}="u- '

,)

0<k<1 -u : !o ru( f t -1<0 r : )

-1) ytt) '?rfl)Dn ulunn 1:)t

Page 56: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

54

l))t lnlt l nlt i lDn n'l ' l t lq

co -t nlNlu x- niTtnil

3xt -4x ' +x+6

€. - )1D;10

''llllD N) t'lu)l 1;'ll@

. limr+€

100-12 +100000x;; x3 +2x+1

100x2 +100000xx3 +2x +1

, ( .4 ,1 6 )X - l J - - + - 1 + . | .

=6o, \ f x - -x - l= '

r t e - s f r - : 1 I z* l - , 5 1

\ r - lZxs +3

: C O -) tnrr: i.,llrnDil nlltf ntlHlun n]i7mil nN i]))Dll il)]Dl Nt!]) '1

lim =01:)t co -)t lxttt l i l :)nil l too') lxttt l i ' l l lni l x-)o"l\Dxl

. . i - x2r,lp'f,;'l .lim--- - =lim

x + @ 2 X + J r + €

F***=-* or>r! .z+1-+2. -oo -)clHrru

" [ i - t) '1u' ] i1 n) l

g(ffi7-1f:*)

r*(sin.,6Ti-'i"'-F)

hi:: x -) -co 111y 1:rl) , Itl = -" l))l x --1 -co '19 l'ln)

, ' (rc0+loooool roo+looooo=5g- .;-- r t

=rrE-T: r. ":rj' j;F;t.;) "tt'*F.i)

,'f 1-t) '|,1-'l\{ ,,/ =116-\r---L

"[r* i) i-- z+1

\ x l x

-1 -).1Hrvr 4-rx-

g )nu

:nlrllln nN llJn

t r-7- \l im lVx-+. r+x l ' x

r + + \ |

. . 3x+s inxlirn

- 'lr + a ) y + 4 + C O S x

. - l

JX-___

l r l ' " / t+1- t"Y x

Page 57: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

( r '+x ' ) - ( r ' -2x2)=3f

. (a - n)(a2 + ab + b2) = at - bt i'lnol)r ,Enu) 'l

H(#*7-4P-;4 =,*h='

( i ' ; * l - r ; -2x '1 )=7,n - , r1 ,

[ .(v" '+-x-J +

(^ s inr)I i ! F - |l J ' | ^

, \ , " l . - i ' ' ) :P :Pr l ) ' r ->co( " ,

4 , cos.r I 2I L ' f - - r = -

|\ r x )

: rlDrtil nx ):pl x' npmn nN il)lnl Dtlrll\Dn llrn Htluu )'lnN

-u ntxr) ntlT x! x -l EllDlil t'lnNl '

"l (d4)'.ift;ill-'J.l il'-i i I[ r "

^ / y \ \ y r ) )

ni7mil nN il)fnf Dtlrll\Dn llr|n Htluu )'lnN

3x

1 ls inx l 1

x l x l x

3x+s inx =2x+4+cosx

sin x.llty - +, uL

( . s inx )x l J +. \ r /_ , r( ̂ 4 . cosx ' \

l l I L - + - |, a l ! | ,

I

\ r x )

cos.r, !- -+ U l)71

l,i" J' * -,in Jil = ir*$**'+tl, lcosal< t , lsinal< lal l l l nrltD''N: uDnul

x '+x ' ) ( r ' -zx ' )

^ i cosxUSI -

l x

[m(sinJi+1-sin.lx )= 0 -u 'Yrrt:Dn plunn i7t:l:-lo \ |

Page 58: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

56

l i . 3 " - t h " , . 'x+0 tan.f '

, . l - cosxllfiI-----;-:+0 X'

4 ttlln

:nlh$;1nR frrn

.. sin 7x'l lun-;1- '\r+0 SU1 JX

cosa.x -cos px ,tx2

r IN 2

= l l t ! ) t rH1+x

4xx -) co 'lrrx:

ft -+ 4

.. slnJr

x-+a E-x

lim:-r0

:llu

r;_st7.r =n^Y 7_*=i tsn =1.,!=1 ,Ni1t sin3.r '*o ou'13.r

- 3 ig-}

3'1 3

r + 0 t x - + 7 T 1 1 t ) N ) ' t = i T - x f t l l ' :

66!1nr =lgg(P=l13f =tx-+'t '/T - X

u*3r-sinx =L,q{ip=rq+}t} =3-t =z; - +o t an r , - " - f f

- ; ; d r * i * f i

, . lo(1-sinx) , ,'*._--;- A

r+{J 5X

HtH)" = 1*[{l4l' = *['. *)/ . i l

=(1+f)' +e p)r x -+ oo ruHr I + 0

s )arn

:nlrlllil nN lun

Hm(l+3x)i ,r *f+]" 'Hx _ > 0 .

. r - + o \ l * I , /

$sL#=|*49=Is; [ry)' =l']

:llltD

l r ) \Yl*=tm{l t*- I i

'N' - - [ \ L+x ) )

LY

/ e \ ft L l

l1+- l\. l+x )

r ' l - l t * 'l ( ? \ , I

um{l 1+. : - | |r + @ l \ L + x ) |

t - )

= e4 l)t'l

Page 59: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

I'T. (t + 3x)+ = =e -

In(1-sinx) . . ln(1-sinx) -s inx i. iim-.- = rllll------' r -+0

3X ' t +0 -S ln I X J

x - + 0 l t b { l / - + 0 t l N , - s i n r = / f t } )

, . l n ( t - s inx ) , ,_ - l n ( l+ r ) _ ,. 11mJ = lim:-i------1 = I l)h

:+0 Sin X r+0 t

. . ln ( t -s inx) -s inx I I ^ . . L - ,. l i m t

: '

;o -sinx x 3 3

ln f l -s inx) 1. ll6--J---------J = -: Elllg)

'r-+0 3X 3

5 ttrln

inlt ttl;;t trruil rlonn Nlil N l\rN) [a]= lf :1r)l) )' a 'n D)uil pn nH [c] -l lnu)

t '* {(t+ rx)*} '

1a>0 iuN) , tuq: [ * ]:+0 ;

( N 3a uttPni l

:nltlf,ln nN fun

l x 'a1' f [ m t I ' N

x+@ X

:l]lfl!

( x>0 p )1 r -+co - \ t r tD 'u ) , o -L .VA=o l ) t1 x 'a - l ' [ t ' o ] Sx 'a 'Rxx

lx .a lItg?

= o -rD 't)'D !t)) 'yt111p;1 ulunD

t -[m ]'[*]= 0 ph [*]= O, o "t Etl'l'l' x t)ry rtrv x > 0 'tUN) :D)tI x) )trrn l:: + 0 ' J - -

. [m ]= - t ph -1<x 'a<00 ' ) ' ! r 5pp "E t : ] l i ' l r <0 r ] l y

. um!. lar l= f im!. ( - r )=o ) :p: p)x + 0 - ;

L I x + 0 - ; g

nlltl1n lutD

t rN r0 - ln! ' r" l y=f(x) 'u lDNl.xo l tur lDt lDDil f t lof nlTt lD y=f(x) tnn

. l / t t l - , f ( to ) l<" rx lx - *o l .d EHu? d>0 D) 'P 8>0 ) r )

Page 60: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

58

. ,tg /(x) = .f (xr) DN .r0 .f nltvl y = .f (x) ,nlrnx ur)rn:

nlgrttn nx nor) ):tt p) , Ax -+ 0 trN p'll EN -r -+ x0 rtx Ar = x - Jo IDD) DN

, l ' I . / \

I*(/ (-ro + ar) - J lxo))=u :'fl .ro 'l

:IllTD illtDNf fllDtl gltt! lDr llllttlil )lDlD)

lt*r, ="0 ), xo -5 noNllril {*,} nr:o )t) DN ir.n pN x0 -t ir!r}.I y= J-$)

no'yr /(x) DN ,nlrnN Dr)'Dr . H "f

(r, ) = /(lg1 x,,) = -f (xr) :rN)!lfi tr"i7n'

.itrsp)llil )u urntrtun 1m) Atun Dy Et)rir)', tntn fH x^ -f

7 baln

. x )>) i19tr1 y = sin x r) n)tit 'N

. ( tTn \. l lms in l

x + € \ 2 n + l )

:]TIU

DNU' l l 526g t 'p e >0 ) : ) t rn t tn ) ' l t t t . rnu )>e>0 tn l r rnu) :xo tn$ 'N

. l s inx -s inxo l <s rH l x - ro l .d

lsinx-sinxol = lrrtn+..o, "t* i =, i=&l.r = l '- ',1L l l / - l

. 6=e r rn t !p rEs l raph f s inx -s inxo l ce , " *

l " - ro l< r u , r r l t rN

.rlrnn x ):l noryt n)]ptllil 1:)r rau): xo nrtiTtt illryi y = sin x D un)ln

( , r n ) . ( , . En ). umstnl - l= srnl 1i lr17- l= sinl = I :Dl)Di ' t )u nrorlr: uDnu) ' ln-+@ \ 2n + 1/ 1, '- 2n +l ) Z

EN ro -l OHDUD) ItDtD n!t!l nxlpt xo )u ()xnun) IrDrn n1'p1nn y = f (x)

t j ig .f(x)= f(xr) ) , l in] f(x)= f(xo):+ro r+ro

PIIDE

.xo -f )xnun E:l ItDtD n!r 't Nrn trN ptt trN x0 -f nlryl y = f (x)

Page 61: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

59

l r ;

. fG)=1'l0

,x*0, r=0

: . X = 0

s trnnnltp:r nrtptrrn )u nroryr prr:

( ,l : - - ' t . x +0

/ (x)=l lx l ,NIU .x=0

i sln JrJ-l*lm

:l't'tl.lD

.o - : rNnun i l ! ' y rNt y= f (x ) p r t t iq / (x )= l im x =_ l * f (O)= l ,N:-+0* l-+0- -;g

. 0- l 1,prp i l l ry.r / = f (x) pr t l im/(x)= l iq{=l =, fe) =l+0' :+0+ ;g

. 0 -f i]lrtl N) i.Dti7)tiil :El)D)

i ' r ' vPr l ln l )h l im 7(x ) = l iq l 2* =oo, l iq - fG) = i i rn 2+ = 0 = / (0 ) ,1r+0*" ' '

:+0 , , - -A . r \ " , /

x :A : -

? 0 -t n!ry'] nrliT:t5i] m .1ul3t! )u orlry lrN lu}r.

. m=3 u t ' l l ) Dh

. 0 -: i'r!ry't xb

9 trlin

, x *Ariln

, - r=0

:ll1I|!

,. sin3xIl]ll- = Jr-r0 X

f(x) =

.ro .: nttrll nIli2l)9n rnu DH ..ro

xo -rnr'yi( g(xo) *o l , f{.r!g\x)

illTlil

)l: norvr Nril EN p'n trN rupn tlr irlrn a < x<b rlr' yuiT:nr.nr'n y = -f(x). b -: )xnun noryil a -f irnrE nlrltt nrnrt! i.ll,li7l

ptvn

)u nnrpn ntt: nnl:tn f (x), g(x) nt,)nn

, _f (x)t g(x) , -f (x).g(r) , nt'ti7:l!il Er rN

D!9D

. (c,d) yuiTt DrNID) nru trDryn rux) (a,b) wptnrtrn /(x) ,nn

xo -:nrtsr /(x) nx . /(xo) =lo -V n'):. (c,d) yuprnfl)ln z=g(y) , irn

.xo -ti l lrt. l z=g(f(x)) nf).t,tni. l i .t)t i l ,t l i t,fN /0 -f i l lrt. l g(f) -l

.ngryt ilrtp)'t! Hril ntlrtt ntrlptl! )u nrrrn :nnnx trrrrl:l

Page 62: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

60

10 ttr'ln

:n'r)yun nN J]Dn lN n)li'l

.rt nliT:t nllty't ,f(x), S(x) tr) rrx x0 -f, i l!r! 'r f (t)+ g(x) nx 'N

f(x),SG) tr: ' fH x0 -: nto'lt "f(x)-S@) utr/(x)+g(x) un ,r

. xo inli?): ntlty]

. xo -f iloryl n)tx f (x)+g(x) tx r0 -t i.l!rr.lnrrx g(x) -l .r0 -f norrr /(x) ux ')

. xo -r n!'!r il:'N f (x), g(.r) tx .x0 -r no'ylru'x g(x) ,t x0 -: nl'yr /(x) uH ,1

. tim f (a,)= f (L) rtn x )l) n'trlD f (x) -t ltma, = 1 trN 'iln+6 n)a

:l]1ll!

f - t+x .x<o [ t+x ,x<og(x) = I - l / (x) = i rnr .n)1)) nJrN n:yun ,N

l1+ ; r ,x20 l - l+x ,x )0

.n!tv'r itvpil9 xrn /(x) + g(.x) = /v lnr)o lN , 0 -: nrlrt'l DrN n)rri?)'tlil 'nu

I I. /(.r) = ; '{ /(xl

- g(x)} -r s(x) = ; 'Utr) + s(x)} lDp) .n)r)) i ' r)yu;r ' l

tn, nrrr',r'rlnn rN) 1n)ru utron ,rrr'r^-, ntorr'., n'rrJi?:r'il rnu lrn:n rr)

. ro-t nl! ' rr f(x),9(x) u l : tr f(x) =s(x)-r(x) -r f(x) =s(x)+r(x)

g(x) = s(x)*"f(;r) 'rx .n!'r.'l s(x) = f (x)+ g(.r) nrrp:unu n)r)u: n)lt .i,r:r)) ilrypn ')

.nltnD 1tn:)'rt:rr: no)jt n)in

1r)t x ,>, f (x) 'g(x) = 0 'tx ,x ):) f(x) = 0 )un) ox .n)l): n)tn i'l)ytri1 '1

.n!'!'r f (x).s$) ilryp:)ln

I ^" [o 'x(o. o, = - ntlp trll l l J G) = 1- - tn:) .n)1)) n)tN n)yDn 'il

" n 11 , r>0

Ion=) +0 ' ru , r rn . l im f (a , )= l im( l ) = l l>J t f (a , )= / ( * )=1 ' rH

n n+a n-&

l im" f (a , ) =1* f (L )=0 l : ) t , " f (L )= f (0 )=0 . i ima,=0= L p) t

=

Page 63: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

6 l

il5rr]-rN nnlir: ltrDn?t)D ntOrtt-rN .1

iE /(x) tr)'Pu, n't) .( nnty -ro -f rtlx ur! ) x0 )u nnrton ilf)lof nrrlln /(x) 'nn

bm f (x) + "f (x) -u lN .{0 -f nll)ltl N) ntlP:tln DN npt)e nlltvl'tx nrtpt xrp: xo')r'+&

lllDNl llDn n15tl1-tN .2

nlp) Ntp) xo -l .{nD!)t io -r t)tN pt! ) r0 )u nnrton ilftful nrutn /(.t) tiln

lim f (x) = t , -r lim "f (x) = ! orn'rr-rn ntlt:t Dtnttp EH jllanl ;lDD nt!)!t-txr+& J-)ro

. 1 "+L , lN

( nnDry n'r!'JlrN ) t)lt )lDD n15rs1-rN .3

nlp: Nrp) xo-) .( nnry r0 -l ')'rx url ) xo )ul nntton ilttfot n'rrltn /(:r) 'i'tn

.plp x! tN tlto)rN lim /(r) rN lim /(,r*) trN tu ttoD nt!'ti-txr+\ ir+.ro

r )tltn

: 0 -t ll'llrt-t-rx )tu lro P11:

/ ( ; )= Inx 'Nx

, f (0 )=10 - r x<0 r t : v f ( x )=3+x2 , x>0 r r : v / ( x )=3+x ' l

:l]'tn!

f (0) = i= l imth" . , ' r r , t rN . 0- f n i r ln Nt n ' t i r : t ln . l i * * in t = l ,N

r+0 X x+0 X

, l tPt)p nlltt ' lr4 Ut ntXP:tl) . 0 -f n!tl1 i l tyP)l! hp)

. l iq , f (x )=3* / (0)=10 i r r r l im(3+x2)=3 -1 t im(3+x)=3 ' t: - 0 " '

r J \ / ' r - o - \ ' / r + o - '

):p: lirq/(r) = 3 = f (0) rnr:l il'lpnln )u nrtpnil ilirri'ln nN ntut EN

.ilPrlO n1!tll-)N lrt iltlPll!, . &: i1!tt'l nryi2l1!

r(x) ={;'"**,- + A

, ]v - f l

12 r|:in? 0 -f nlrtl i'ptiTlllil lNil i7'tT1

t ll rl - - - - : - .X *0

/ ' ( . x ) = { t - " l i ' nt ' ' -l 0 r : - 0t - ) . '

:!:

Page 64: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

62

J4; -2,X (0

f(x)=

. ' lT nTlp)f nlrtl n)!7)1!n N't , r = 0 -: nryrttln )u

t3 )rttn. ' )N)t ' l ' r 'N.rN x rr : l / ( : r) =2-x - t , )N)rr tr x l t t1r f (x)=x lnn

? n!r!.! nrtp)ton nlltin trrNf,

: l l l I1!

.xo') nlN]rDl -f(x)=' r lg r)5q11ry1 Hln] xo -)1xr,x DN,l irrt) .r0 .rnf l

. 2 - ro - f n l x t , t f ( x )=2 -x ' rH r )p11 ry1 - rpN 'n t x0 - ) l x r ruxux

n15)r1 PtU) Ur 1:rl) . xo = I l)t,' 2- xo = 7o DN p.] tr)rp IE /rrl )run 1:)| ^ . ^ . - - l.U(x) - / (1) l = l . f (x) -11. r \Dr l ' r ) l rnu)r e>0 rn:1. ro =1 nr rp: :pr

H1' xDH. d=s rn7) p ,5p13pl r l / ( - r ) - l l= lx- l | . " rx r )n : r r r rx oH

.6 = e rn$ r ' r l ' r l rol- l l=i(2-x)-t l=i t-xice ):pr, ,)s1'yr-)N r lDD

I

4J

2 '

x

, J = 0 t ' I

I+- , x>0

++x

r . - 1

f (x) =:--: ')x'

:l l1I19

. i ' t U N - l i l D n n l ! ' t l - t N U r x = 0 n . r r p r : 1 : ) r 1 i * - \ = t , l i m I

, = 0 , Nr*0- 1+ 2i , -0. 1 1 21

x = 0 nrri:rr i)rr ( 5 p]!r 14 )r)]n ilH.r) )Nnu rrDl irpr ryn )r:r I,H 1r il,!p),r!) 'f,

.rtu ilDl3 n]!rt] _ ,N \r,

. n t r p r ) n ' r ! r r . , r r N u r r x - 0 n : : p : : i : ) t 6 r n * i = _ * , l i m t l t = _ _ , )-o- .l ' ' s+a* 1g:

u* GT-t = lu!-r+--= rim, -==1r+o_ x . -ox( j4+x+t ) ta . ( . f ,+ r+z)_+

n:rr)nrru nrn )r:rnr 711 p,rp x=0 nrrpr: i :h f in(2-+*l_)=0*.!= 1r + o ' \ 4 + x ) 4 4

.tr0 =1 nllpJl i7t n!r!t il)!ir)15;1 :Et)yo)

Page 65: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

__rci

63

14 trr.lnl - . .. x ))t nrryl U (.r)l tr) 'tN x )r) nlrrr /(x) onu n)til ,N

s(x)=max{/(r),g(x)} n'si7:r!n trr rrx x! l)nl! , 'vr g(x) -t f(x) lxunf,r ir,r

. x )l) noryr

:I]Eu t g s'p\D nr:tn) rrrv .rnur)r a > 0 rn:: .rnu): r0 n.np): nr!,rr n,)l) ,N

l l f f ' l l- l ft ' , l l l< r rN lx-xoi< a trNu .r)

. VfO- fQJl <6 rN ir-ql < d nxp t) d > 0 tr"p 1:h x b:) no,yr /(x)-\) nn)

' ::ir: jjaj - lf li = lo - Ul u)rurnn lr,rllr.,N: rlDnu: DN

. l"r_xolcd rux: l l/(rl i_lftr,l i l .11-tr)_ f(r)|.,

a ):pr )Hnu rlrxr a > 6 tr!{ tr)nrN,r . max {a,bl =* {". n +la ̂ ul} -\r n,)r) ,r

b ttit*xnu cllnr a < 6 lfy . !(o +b +, r r\ 7 ,2 , l " *b l )= t (o -b+a-b )=o t )u ' t t tNr l

. a,b ):b 1r:: i 'rrun 1:!r 1(" * n +la - t l)= *(o -b - a+ b) = fi 1,nr qrx:r2 \ I t l

2 \ - -

s(x) = max {./{"r),s(")} = } lf fr>+ g(r) +lf fi-,s{.r)l} urur) ):, nrr

, nr!l!"r l^ftrl - Sf"ll -t f (x)+ s(x) 1:)r x ):) nrs,yr g(x) -r /(x)

. x ):) n!,rr max {f G),g("r.)} nruo)

ts )rt:nx )> l f ( x )=O r t x r )N : l l r x ) : ) / ( x )=Q - r x ) : ) n l , r r / ( x )ENun) )n ,N

.tuDD x 5>5 f(x)=Q N'1, r);q11ry1 -rs

r1p , r!p1,v1 xl>r f (x)= g(x) -r x ):) nu,vr g(x) -t _f (x) ENu n)ln ,r

. ' IDDDx)>5 f (x)=g(x)

_ rllllt5

ID)lnnn trtt)H:lttt trttlDn lu nul)r ilt.rD .r, -u nr:)l .tnu): r)p1py1.rp .r0 in1 ,N

. l im, f (x , )= l im(O)=0 l t t t f (x , )=0 -u i rn r . l imx , =xo H, , t , . ro _ )

Page 66: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

64

. /(xo)=0 ):pl 1xrnr, l ia/(x,) =.f(x) 1:)r x)>) noryr ,f(x) , , :uryn

, ')N)l 'r l xl>5 a -) nrrurr x ):) noryr s(x) -u.l l t : . s(x) =.f (x)-g(x) IDD) ,r

tunnxl> l f (x \=g(x) rn l ) ) , runnx ! : ) s(x)=0 l : rEg

Page 67: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

' =e=1 'I

2t

65

7 i71!

nllryt np$nl! )u ilntur nuDn

(Ury:n fl!) DSUD

xoe(a ,b ) i l T t i 7 )nn ' i r l r n / (a ) . f (b )<0 ox . a l xSb wp tn l , y r . / ( x ) ' nn

. . l (xo) = o -t, ' l )

.nt)tltp rnnn ntplr nrfln nrlp:lon rnx ilvilr rrx /(c) .-f (b) < 0 trN :rfr,urnprrx r:Dn

tlrn ntiT:l x -ir 'ly )yn xynr y = f (x) ilryp)llit )u r1r:n rrx nyi:t EN.o ly,tu uluni.l

lnln lltn1t i111i7)lt, ? .r0 € (a,b) nnx n'rti:: nrnl) urtN , x -n rry) nnnD NrDt qt)n

. x -i'l 1t! nN

( l):rnn oqr:n ny ) poun

f(b) - , f (a) y> t r l ) r fnn. r :p)Nrn ] ,0 EH. a<x<b yupt i l ! ry i . f (x) ,nn

n)" \ rn r0 n 'np) nD" iTt rx t / (b)<," -s<f (o) rn) / (a)<h<, f (b) N" f

. ,f(xo) = yo -u) 1) s < x <b yup)

!:1rl nbu :nx'lry)'rnx ltyp nttly n!)yt n)!p)1! :Dtrrnt rrrtrrntplnit tf,Dil

.trnrlrf ErNID:1, llill)fil t).ly

uruuur )ru uEgn.'tf nn'lDn a 3 x <b rtro yup: itltt] nrriD,t! ,N

nxt n)u tnl: )t'nn llyn nN lup: n):pn a 1x 16 tpp yupt nsry.t ntliTll! 'f

f r Ix e La,D I )))1, 'p xl , 12 nTrli?) tnu, yDiTt nlDrriT Ht ) .ilru .]npt lppn .ltyn

. f(xr) < f(x) < f(xr) .slprrD

:illilDD

.rrrD yup trr'lti 'ln n)u or::yn ): rrx a < x <b 11)D )rufr: nlrtt nrtp:to y = /(x) ux

Page 68: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

-1*===:!

F

::

66

Drup

.rrDn(nI] 'prN)ithrN)n)fx a<x<b yui?tn)t ' ]}) ln- 'Tn' l i ' tgrl l i ] 'ypt 'r!}t ' ' i l /(x) DN

UIIDD

lpruro) Dnrt-'rn nr)rrr n) ur nypn nlliT)t tN a ( x ( 6 rrro lrrpt nt)tut)tn /(x) trN

: (trnlrc) tr'nrr-'rn nr)ru nl u' xo nrD'tt nlp: )>:t lim- /(x) -t lq "f(r)

lim /(.r) -r tim "f(x)r + h r r6

*=gf.y.ul f ( r ) 1no:. a1x <D rucluir : i ' r ! 'e l IDDD(f i r r r r )n)ry . f (x) nn

m < ),< fuI yvpt n'nlltrn x = ",f-'(y) n1!n nrvir)t! nn')i7 'r* . M = rqaX./(x) -l

x€lo,b I

. pDD ( nll]t) ntl!'t n5' ''l )t n)jplr9't a 1 x 3b lffi) Dt'n;ttt nDtyu)

l ttrln

.'rnn nlnt ntnl) 'ot .rt + 2sin r = 5 itxluE) rf nftn 'N

.TnN ll'ln! ntnl) ur e' + x) = 4 nxttun) r) nflil 'l

. r : ' t f - tNly fp ' l !DDNl i ' l n luN), xn+an_rx ' - ' + . . .+af i+a0=0 nxt tun i tn : ' tn) ' )

.ln& tuED ltrnl nrnl) u) nxl)un) rf n)rn

:l'l1l|!

t r l l ( I Pn ) ) n l t 1 l l n ) v i 7 ) l ! . , f ( x )= J ' +2s in r -5 r t y n t lP )1g ' l n r ) 'H

( x ) r ) -1<s in r<1 ) , f t2 )=8-2s in (2 ) -5=3-2s in (2 ) >0 , " f (0 )= -5

tnl)), f(xr)=0 -\r 'p x0e (0,2) i l t l iTtnDtrp trrttf ir ' l ' truqDDtr) p)r

- 0 <x <2 yrrjTt rnx prnl nrnr) ur x3 +2sinl-5 = 0 nxrrran)

; t ) t iz) ion. , f (3)>0 -r / (0)<0 f)nln ' l )nrup n) . f (x)=e' +x ' -4 lnur ' f ,

. f (xJ = 0 -ur .p xo e (0,3) ilTi7) nnlp trl:rf,n 'ny ulllD '!, p)t 'uDD x )>) nlyr

. (0,3) yop:inn prnl ntnl! v, e' + x' -4=0 nxrrun) :!j)rp?

,Sz(x)=l im.r ' (1+?+ 5+.. .o3) . p(x)=rn + en-txn-t +. . .+ e{+a0 lDu ' }

''rf'rn r4lrt - |$ r(r) = * p) . xn -> .o -1 r -+ oo 'l\rN) t .) clxrro ErrlllDf rlgr:n

d=xt+ l nx rmr ) )un f ruEx) . r>4 5 t l p (x )>O -p 'p x ,>0 nr rp rpprp lg

Page 69: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

__.-"-4=

67

x, -+-co pt t r l , * - r * n -uf )D 'u l . - l imp(x)=- .o , i ln l l l l lNf t p(a)>O lx l

r rn : ) ) run) lu tx) . x1xz l>1 p(x)<0 'u lP x , <0 npt tp l : ) l ' ( x - ) -oo l t )Nl

.)unD x ):) nlvr 1lh nrruln)N iltlP:l! n'n utl)tl '( p(p) <0 lNl p = ;' - 1 nN

. . p(x') = 0 -\D'i) r0 nn)'i: D")':n lu ulun '!) l)t'l p(a)'p(P) <0

z )urn

. 11, x. , xr lnrl)r nlrt;:l rut)u ilt yuPl rn:: ' [4, b] !ui71 x )r) nlrvr /(x) 'nn

. ,f(xo) =W -\, Jr x0 efa,bl n'r\p] nlr"? ') nrln

:l)'1n!

m=min{f (xr) , . f (xr) , . f ( t r ) } , M =ma.x{/(x,) , f (xr) ' , f ( t r ) } IDD)

:) : i : r t r :n: . mS f (xr)<M , nS f@.)sM , m< - f (xt)3tr f ) lN

f (x, \ + / (x, ) + . f (x.) - ,m3" ' " ' '=- < tV € 3m< f (x,)+ - f (xr)+ ' f (xt)s3tr ' f

j

m -JM ltf trt'ltli ' l))ly rl'1r'r rtr)) nlt'n p)'t [a,b] wA: x )>) ngtvl /(r)

f ( x , \+ f ( x , )+ f ( x . ) L.m iM l , : x yn : run f f . . l r y i 1nHo l ) : ; l ) n ] ' , | nx ' n t J1 ! ] l

. .f(xo) - /(x,) + /(rrr ) + /(x:) .u Jr x0 ela,bl n1i7) nn',i7 N"r

J .

. .f (xo)= xo ox /(x) )u "n:p nllP:" Nri?) 'r0 nrtir:) :il'l'Dil

, f (xo) = f (2)=4-2=2=xo rJ ro =2 nru nr lpr u ' f (x)=4-x nrv i r :u) )un)

I )tlrn

r r'r r n,Nvnr nlu nr:r'',t r ' I yupl n!r!'t J'@) tnn

. [o,b] vuill D'Nlnl n)ur Et)lyi1 )ru nt::t ta.Dl ll)p

( nlu nlli2: lDt N"l ) - [a,b] yu17l rnN ltrnl ntno) pr /(x) = x nxttun) )l n)'tn

tr))nun n)u trrrrn . [+,i] rl)D yuPl nl'rtlDn f (x) = J x n)iP1M )run) 1:trn: :nrvn

1

lr.tn! ut Nt , nfp n1lp) yuiTt ut ,'!ir il)yuil 'll . [],t] yupl trtNvD: ir]r t ') I j)f

'xo =1 rnttu ntxr) nuP x)' [+'t l yu?] RvD) ; ' l t l l ln!! 'J; =r nxtrln)

Page 70: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

rll ln!

g(x)= f (x)-x po:. / (x)*x=0 :? i l r rptu nrrx: / (x)=x nNl 'n Dn nNElu,r)

. a <- f (a) <b l>\ fa,bl yupr lu tr)Nrn) ,f gu ur>ryn 'lN , g(a) = f (a')- a

.i.rnrrnDil nnflnnl nfuil nltpl nN i)Ntn rrn g(a) = 0 DN g(a) = f (a)- a>0 1)tt)

) : ; : : 1 : ) t a < f (b ) <b pnr , g (b) = f (b ) -b - tp l :n ) ny) . g (a)> 0 - t r nD: , i r DN

. g(b) <0 -u n ' ) r l ) ) .prnln nN l lnrn - g(b)=0 DN . g(b)= f (b:)-b<0''otirt l 1nl,vr /(x) ,>l la,bf -: ir! 'r 'r g(r) ; l 'yploir .s@)'g(b)<0 ):i:r

f (x) = xo x',r , g(xo) = 0 -r, 'F ro e [a,b] n.np: nnrtp trr')rti.r .lt1l ulun

4 )tlrn

.sn!1pv1 trr)'rt plt 1x n):pn i'urp)rli l l, n'lrr [a,b] l)o yuirr n!]vi /("x) 'nn

.n}rlli7 n'tli7:]!n tl nlln

:llL!

. f(x.,)+ "f (xr) -u'l) x? -'l xt yuPf trtn)tP tlN.ityl:P i't)?N nltiT)llnur n)r)ulnr:t

. ,f(xt) 1lo I .f (xt) 'tD'l) ./o r)11v1'rp'r!en lnr: . f &) < .f (xr) -ut )un) n'tt

-f (xr) -i f (xr) l 'f Dtllyil 5t )tV2 nl,tn /(r) ntliT:1ln trt')tl;"t lry ulun'l )y

n):pn ,.r)$p)r!i'r Tr . ,f(xo) = "/o

-urp x0 ela,bl n'Trp: nn)rp N"f . .Io nH E) ur!f,l

1r)t nrtl r5)1;1nn;1 nlrnp n)rN iltp)llnu ilntnil :ir)i7DD ! nlnD -gr)11ryl tr)li), i7''r't 'lN

.nylliT nttiT)l!n

s )?]n

nryiTt1! "f(x) t: n:rn . lim f(x) = L 51rr;1 pli7u nr):l x ) a yupf norlr /(x) rnn

. x) a YuiTl nDlDn

:l'l'll1!

l7qx1- t l< t t r t t iTnt x>xo ! : ) t xoza - \D 'pI0 nrrp l nnt tp t fN.6=1 . rn f , l

ilt. [o,rn] r r ro l tup: / (x) - rp l rn). x)xo h, L- l<, f (x) <L+l ,ntnlNnxl

K < f (x) 3 M -v l: K -r lv[ sr6rp N't .nr yup] nnron irtriTlrln Drulntll )tu ulun u)

. K'=min{/-Lr} , M'=max{r +\M\ tDDr . xela,xof >>l

.iln'tDn il)t?:l!il pr:| x > a ,, K' < .f (x) < M' 'l ]'nl

Page 71: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

69

6 rarn:l"l!il ]N n)]il

. x=0 - tneryl / ( ; ) r rN runn x )>l 0<f(x)<sin2.r DN ,N

.tunn 'lr!, ): n)r;:n f (x) =./I.sin r n'ti7)ton ,f

.(r,b) !up) urlnp illf'N )>u nrro {x,} 'ilnl il!'r1 f :(a,b)-+ R 'iln ,)

. /(ro) = 0 -v p (a,b) -) n)"un .r0 il.t,li7) nDliT rrn lim/(x,) = 0 DNn-+6

:llll lg

ul luDnl r l t l imsin2. r=0 . / (0)=0 1r) r 0<, f (0)<s in20 .n : r : r i1)yun ,Rx-+0

. 0 -: i1!)I1 i.'lrJpt.iln Nt , lim-f(.r) = 0 trlr!, ytl) yrf,T)Dn

. n+co ' i l r ;N) o -gnlxrur *,=Zrn+* nt.rDil . tnu): /0rnr).n)r) l ; .r)yun , lz

xn sprrprs vr) lu)n Fy Jrr, + sn(2zn+ t) = 11vv1j2o" a i. I = oo l))

. n-+co ' t ' t l l r co -) nlxttt t x)=2nn-l n1ron,nnt.r l ! , tgl . f (x,)> yo -rr. i lL

x, n;1rr ; : 1)h t n"{Znn- is in(2nn- i ) = l iyJ2nn-+.(- l ) = --{o, , )u r ln

tlprlru iTro) tr")'f;'l Jry ult Dn 1t>t f (x))</0 < f $,) ot:;o) . f (r:)<]o -u.ll

.runD'11y5> *>Vn f(x) x"t, /(xo)=./o -u-l) ro i. l ] l i7)

l inr / (x,)=Q ." , =1 -r (O,t) !up: / (x) =x ' lvnj ln i l .n l ) )n) 'Nn:run ,)n + q - " ' , ' n \ ' , r

. o-) nrrtr nrtp)tlit nt ilrlp) llN (0,1) :rupr tx

z trnn

M>0 D"p'rN xe [O,t ] )>5 f(x)*0 -r [O,t ] r t rDyuir :n! , r r / ( r ) t rN:nrn

. xe[o,r] 5* l f{*) l>u -u. i)

:l'l1h!

f(x)*0,prnr.[o,tJ -rn! 'yr l f}>l or p)r [O,t] ruoluprnlr.r /(x)

1l n):pn lffrll ilryp)'r! D.rurr.r'r plun rg).nr yui?r lf @l> 0 ph x e [o,t] h,

. xe[o,t] >r>lf@)l>u -vr M >0 D)' i ;x' ,r, [0,1] r)DyuiTr rnr)) luiTir

Page 72: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

70

I trlln

, .r € [0,1] ):) 0 s /(x) < 1 -r [0,t] rno lup: nlrrr /(x) 'nn

[O, t] !Dp) 7rs;1 lttn! llr) .v + /(r) = | nxttun) ') n))n

:ll!fl!

, g (0 )= , f (0 ) -1<0 . [ o , r l ] t up rn ! ' r ' ' r r t ; 1 ' t p r5 .g (x ) =x+ f ( x ) ' 1 l ue )

l nn iu ) x+ f ( x )=1 nx l t t r n ) ' tN S ( i )=0 t x g (0 )=0 nx . g (1 )= l - ( i )>0

xoe [O . t ] ! r ' p t r r ' : ' r i ' t J ' r yu run 'D t . g (1 )>0 - t g (0 )<0 - \ r ) n ' : r . [ 0 ,1 ] w f :

. xo+ / ( . t o )= l H" t , g ( ro )=0 -uJ r

g )rrJn

. r e [O,t] ):) 0 < /(x) < 1 -r [o,t] rue yui?f, n5'r'1 -/(r) 'nn

. [O,t] ]up) yp;1 Jlrn! ut 2rtx) - l + r nnttr ln) r: nltn

:!l'lI|!

, g(0) -2r to1-1>0 . [O, i ] vupt ; ' r5 ' ] . r l t ; r ' tP) l ! . g(x) =1r( t ) -1- r ln t r )

rN g(0)=0 nx . t xe [0 , t ] h , 0s f (x )<1 'y rn :n ' l ) ) g (1) -z to) -2<0

. ( x=1 t xx=0 ) I t n ! ' o t g ( x )=2 r$ ) - l - - r=0 nx t t un ) t x S ( l )=0

xo e (0,1) n'I1i7l nD)titu, yllJ trt':tln Jry uluDD tx g(1) > 0 -1 8(0) < 0 cx

.l\nril lrui?: lltn! 1tlr 2tG\ - I + r nxtlln) l:)r g(x.) = 0 -u ll

illtu il'rtnf n-lgtr]

trtti?ut Rtllit)'jtry tXt a > 0 n)tnn D)1n1f, .r0 nl1p)f, /(x) ntptto ?u ntyl1il nt'ltilf,

E) l 6 - r ) ) : ' t ' r ' r : r r )n d-n . l / t r ) - , f ( ro) l .e rH lx- ro l .d oxut : d>0

.'9t'Il nrtnr" d .ttnl) ptloD tN nrutN nilJf ntnun ittjp)toit xo )u nfrfpf trN. x0 illliT)l

nt ntirnl .lND ntritD nlll ntnun iltlp:lln n?u n:t:o:I, pnt , q nrnN nllPl lnl) l\rN)

rfnn it'n EN.it)nur x) e -n EN D) nlnur d -n )ra lryn N"t, "l\rp n'!rlt" nrnr d .n )u 1!n

uryuiTt 1x .1)r:) DrNnD ilrn Ntnt "lnvf lupit d -n nx trtlntf llln,nttiTl )u ;otollonf

t l)u) "ilu" i'piltu) d unrn xtln) 1nt uxa n)xun n)xut: 1:)t nllP: qtoltx

r)gr:r:tx d > 0 ttn:) tnrt a > 0 tttta trtnt:n nllu n'rtnf nlltyln nr.tli'1l

:lhtrJ]\D x0 i't't]pl ):f tunrn DtHnni't

Page 73: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

_--:=::_

71

trttp 6 > 0 )r) DN ,nf y\?in itlu irltpt irtret /(x) .otnn lup: nrrttn /(.r) tnn

. l f f t l - f@1l<e r ru lx - r '1 .6 tNlnn,vu i r )or : r tun x ,x ' ) r )ur1r d>0

.n)r)l ir:rN'119iln lllDl n:i7DDn .n!tv] Ntil lN nllu il'ltllf n!t$ /(t) ENU l]'lf,

nlliTr )u nrrro rnu nrDttpl, ntxrn) irttuD ,nl1u nltnt itlttt n:tx /(x) -u nr:til) rt:l

. e) lHru rrrH lf {*,)- /(r,)l tR n + co lun) lo - rll -+ 0 -u 1: x, -r x,

rtpti: )u ulun

.nilu itrrnf, t: i lotJ.l a I x <D rt:p irui?f nitll ntyiT)t!

to )tlrn

.rurn )l )y nttu n'Itnf ;tltJt .f(x) = sin "t t) nfln 'N

.turn !: )y nlryt n:rx f (x) = x' t) n)lil ' l

I

. (O,t) nlnl i ' l yuiTt nt ' t \D n'Itnt nS)vr ;1ls ;f(1)=a t) n)ln').x

I

(o.oot,t) ntnl i1 yuiTr nl lu i l 'Ttnf, nltr l f (x)=' ' ) n)ln "I.x

:111119

I x -x ' x+x ' l l ^x -x ' l , . ,l s inx -s inx ' l= l2 r in - -= - .cos - l s12^ - ' l . l = l . r - r ' l . t nub s > 0 in r 'Nl , l ) ) l l ) l ' l

I

. 6 =t rtn:) p:5pp 1>)r lsinx-sinr' l<s ):p: lx- r ' | |." -tr rnrr) trf{

.n]lu it 'rrnf i]lrj l i lr)p)]!n 1:)t ( x -: rt)n x)t ) e -: 7r trln d -il

. n-)co r,r , l r , -o ' l=1J".1--, ' -61-0,rx . * , ' =Ji , x,=^{;- t .rnr: ' l

. o -) clnru'',,n l/{r,)

- f(r, ')l rr>t i/{r,)-/(", ')l =i1r+l)-nl =i,ru rvn

.rurn )> )y ntll nlrnf i1lrtt nrrx /(x) = x2 :D-Epn

.n-+co'r f ,) , l r ,*r , ' l=l !- l l -o ,rx. y, '==! , , ,=! "rnD'rl " " l l n 2n l " 2n " n

;r!'yl ir)'N /(") = +

il 'rp)rln rr:r l/i*,) - f (r,')l=ln-2nl= n -+ n ')r, rrD

. (0,1) -f, ir'r'ru ilrrn:

Page 74: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

72

"#,"''#. : r,n) . lt'o-r")l=li-il=l#l .rnu)r e>0 rn' '1

i#l<tou.lx-x' l t>o). {.rou € '..r ' '1 1:br

a=* r rn ib ; : ,5e6,pDH .1. " - r ' l . f l hpr , 106 . lx -x ' !<e unr : EN10" r r10o r

. Jc -r rr)n rtrx d -u un:rnt

(o.oot,t) nlnin yupr nnlD i'rr"l: n!)yl -f(.r) = 1 :il)i?pnx

rn ir)t nzt> -f (x)= l n,r;rrlon nr)il\Dn e) nrrrpnnu ))r : rfrprNlulrN'ltDr'lx

tnrtr nirnnn nl)nunil (0.001,1) yupt,nNT nnry). ')pr:r:rx d xryn) nrrrorlH

ntvn)r 0.001 <.r<1 uup) ntrp:r lD nrr)n :rnrn) 1nu .0.001 inlptir nfrfuf Nri l

;'lrrpr!;l 1:)r nrrrpln rx'o ):) trl trrxn' nrn d -u rir:.rn = 0.001 nrlp) 1uy d -n nx

. (0.001.1) yuiTr nn\D i'rln: nlrl

:tn)r ilDt'rD! nrrrr (0.001,1) W;l: iil ' ltD it'r)nt nt!ry''l n'':tn) n'liUDN \Dt nuyn):it'tlil

)ur plurn'!). [0.0001,1] )un) nr::.(0.001,1) wpn nx ),:na r:e yui, nr::b )rr:

nlDf nlrvr nryp)rlir 1:u) .nrru nrrnf, rf, nlryr lr)r nri'r yupr ;19,y1 7 (y1 = -l ilurpx

. (0.001,1) yui,r u' l l t l [o,ooot,l] )u,p)n l lui: !r: nrrro

Page 75: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

I J

8 i21!

nln]il ttDln

il1.rlil

h ,n,t ( nsp nrrp: N, ) yui7i1 )vJ nrnr)! i'r1ri7) r0 riln .Et'rDD yuirr nrrrD y = f (x) 'nn

nunuil Ly = f (xo + h)- f (xJ -t inD: .!up) pay .Tnls ro + & rrr:p Gn i'!).run t!D,l

illrtr / = f (x) fl)ti7:l!i't\, tnx: . xo+h -l xo -nil)nuD x u)nlnNn.luNl ilryi7)15n )u

f , ( xo ) i n run t r . ) }1n to r ) tun ' t , *L tW: ( ' 51D) ) tunn l lP t rNJc0nT1P] ]h+g h

. '.r0 il'rlptf, / bu n'rntn" r! xrp)l {yn -r rbrax

:ntnt )u flptllNDil ul'ptit

-B(.rro + h, f (xo + ft)) -r A(xo, f g)) nnrprnu .l = f (x) n'vi;)lrn qu )u 1no:

: x -i] lrt !u rt]'nn l]lD try ah nr,tlt .,1!1ti.l AB tnrn il.'tl trlyJ]

A r:y) nlpnn B nlp:nr irylriT nrNu: A nrp:n. jrrtl n:urj A_El inrnn & -+ 0 rux:

'1'rr ullir 'l)t tr"? on . /(xo + &) - /('ro ) = tal,'i, -) nrru ,{B rn,nn )u yp,unh

nltu x0 n'I'ri7)l ntltJn. PttpDil llrt t, Htp) , tand rh:ln yrcrUn )y: A n1\i7)n

Page 76: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

74

lim

. . f (x "+ f t ) - f (x^ \. l i rnr Y-g ' '7 r \"0/ =

" f ' (x)=lana l \ rN), tana -Ji+0 h

:lll]ir J3'rD1 nlt))n ltolD 'lrnn) lUlN .nnttP N' nll)tn y -n rrtl )r:Pn P'unn ruN:

. . f (x "+h \ - f (x^ \tmn:-# gttl l DN fnli ' l l t lnt nll}t nDttP .r0 i lIt i?tt\D'tDN)h + Q , h

. ( -co 'tN co tN r!19 ) tnln lf'tDf

/$nub nlml itEtb iJlll

f ( x+h\ - f rx l= f'(X,,\ , fim -' \-]0 ' ".' -/ r\'rc,' = f(.x-) : ( trrr1D ) trriTll-tn nt)t:f)" - ' " ' n - s

..1:0 i'rl lp)t / )u )HnuD nTl)n] l,Drn nlr;)n i]nHnnl N''tp:

f (xo+h)-.f (x)

uiuF

inlnt)l ,tt il'nir)l )xnunt IID)D nt'rn) n) u' EN i7'r1 !N x0 -f nltt: ufr ,1) -./(x) ntrp:ug

.lr) il n])u

1 ,'rfn

.rnur) ill 'ti7l -y0 ruxr /'(xo) :un - / = f (x)=x2 'N

ro = 0 -t nnr)p ntu;'t trNit .tilurr) i'lltiTt x0 rutr: l''(xo) :un . y = f 1x1= \[i 'f

? r1 = 0 -: nnrp ntrnn trNil .rntrt) lnt ir) r0'rux: / ' ( .ro) :un . y =.f(x) = l ,r l '1

? , f ' ( 0 ) nn ' ' p t rb {n y -JQ)= {xs rn (+ ) ' r *0 ' 1

lo .x=o

,r*f (xo + h) - f_(xi = 6-

(ro + lr)' - rilr+0 h h+0 h

:11'111t

. . l xnh+ h '= ltJll--a;- = 2xo 'H

h+u k

h, lx ' I = 2x t : ) t\ , ,.tUnE x

. . f f t^+h)- f(x^\ ,. 1En-J;lrH:--j---y------:--- - lrrt-!---:----------- --:-

h+o h i+0

: ) :P : xo=Q t l l ) .xoro -u'N)nr t's!!lfib=# r)h

Page 77: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

+.

n -+@ "r]t) DDN) n5X]U']tDN, r.

0 _l nD"P

nlTD )UD) ln]) . &: nlt): I'N n'vir)]9) "t

t)v) DR l),

_=,_

I J

RDtiT lt nr',;rr,.nDt'? il)'N n1D)n xo =0 n'rtprr p)t U+ST-Sfei= =*h+0 h n'+o lJpz

( Ntil ttpy: t1n3 n1t , y -n 1)t Nlil prgrp;1 ) . a 'J nllp Ntill fn1il FlD: nlnl

) :p : ro<0 ' ' r r y , i im l t t+41- 'o ' = l imxo t f - - ro -1 xo>0 i ) r ) , ' rh-+o h h+o h

ix. +ft1-lr. l , . -.ro -h-(-x^) ,. o -rnitDir plp ptr:b 1Nu: . fSff

=f*--.f_;-=-,

*slgj# =r.h)ruln,rc:nrnlrn*i.rhun . mlt# =mry

i l))N n.1pi.,r lH I'(0) = -1 , I '(0) = 1 n,tD"p,rDt)) , ,o*,lO*11-l0l - -th-+a- h

/ (0+ft)- / (0) - x" 's in( ; ) -0

=sin2nn=a i t?t h = xh x n

/(0 + ir) - /(0) = sn(ynn ++) =l ):p: , h = x',= a+ n.r.rD rnr) ny)h \ 4 , " Z n n + \

lflnf lrnrn nrrlr nf ltn E) ) , rnrrJb nrru ItN nnptn) 0 illPttlD itlirpDi'l nylll lN)13

nrji2nsn )U qrr nx'r ). O nltir): )XnVn nrtr: n) PXU n':tn) lnt) ntll'l lllNl . ( ! lnlil

1= -

2nn

1= -'

Zttn

Page 78: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

76

2 )tltn

.ro -f i'l!ry] Nri'l tfN x0 -f, nrtt /(x) trNu n)tn

:l11ll!

-U nlNfnt ptlDn x0 -f il!t$1 n)!i2:'t5itp n1N'tn,l'I)f

Fq("f(*, + h\ -/(t')) = 0 llttu) )t;rra nt ilttu

rN (sLf(t)))' = g'(f (x))f'(x)

I )tlrn

:)u nttt:n nN inllitn ntryt:un

- f (x)=sinr 'N

( e -) nttu unrut)n )u oro:n I , f (x\ = lnx ':

fg(ft", + h) - f (xo)) = rnrc*#M' 7 =1tnf Go + h)-- f (x) um fr rN

5, ,vD\ i ry t9 : ry . [mf t= . f , (x ) .0=01r} txo- f ,n1 ' t ln ' !p ) l !nu}1n)h+0 h h+0

. nl l t l ] f i l l l ) l ' ]11tl l :D)D)

itlru rtr)

:lN x irTlp)l n)1'f) n't'JP:D p /(x),9(x) Df{

( n'r'rr)tir sr:o) nrru orro )u n.rl)n I (/(") + f (x))' = .f'(x)+ g'(x)

(f t*l.s(x))' = f'(x)g(x)+ f (x)g'(x) , (f (*)-,f(r))' = f'(x)-g'(x)

g(x)+0, f fAl l ' - / ' (x)s(x)-/(x)g'(x)o\ . - ) ' - ' [g (x) ) ts (x ) ) '

(Cf $))' =Cf'(x) , (C*,f(.r))' =.f'(x) rH ylrp rlon xrn C ox

nl?'rrF nrypl-ro )u nrnrp!ull

. (c,d) lupl DtxJD: n)u pr:ryil lrx) (a,b) rupr nttlD y = f (x) 'iln

y- r i 'n t f t g(y) - t . r mtp: rn ' ru / (x) un. (c ,d) yuptnf l ln z=g(y) 'nn

:n'tu't\Dit 5;1 srrpnDl x nrtpll nt)tr z = S("f(x)) nf,)ilDn ilryi7tlln rtH

dz dz dy= - , -

dr dy d,

Page 79: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

77

s in (x+ f t ) -s inx , .Zs i= !1n:!-2sinr*Lcos&fi- coso#" ,. sin fwvJ ' ) =F+#tos ry=1 'cosx=CoSx,N

l im- : - - t ' j ' = l lm

h

2v- '

V = -----' 2x '+ l

't Y =s'J]x'

h+0 i

,-* in(x * h)-! n'= Iqh/. = l iq+h(1+*) = lsn(r**)*

= rimrn{(i *+)*}*'.X*----T-= n*o h h+0"

: i lN l l n i l r lN ) :p t lH rn ' ( t+1 ) i -+e 1> \ ! -+0 o r ' f t -+0 ' ruN)

. (ro") '=l N"r , l imln{{r*+)*}t =tr* =1

tN ! '=-2x-2 +6x-3 -15x{

c )nrn

: i ]]t l l ,)))l \D\R'U Jln nlt l iTll! i l nN ]\t l

' l y=x3lnx ' f ,= t# 'H

- \ 4'1 y = sin2 Jr 'il 1' = (2"r- + 'x + 3i '1

:l!!'!

2x2 -3x+'p, , y=- 3 J =2x-" -3x- l +5'r-3 'N

x

. , -2 ,6 15. l ' - l l' x ' x ' x

. ^ 1

! ' =3x ' l t t x+ ' r 3 ' : =3 " l n ' x+ l ' ' f

3x ' (2x2 + i ) - x3 '4x 2xa +3x2l = < = , - - - - - -" (2x2 + l ) " l2x '+ l )

! ' = 4 . (zx ' +* +: ) ' ' (ax + 1)

/ '=Zs in rcosx=sin2x

y' = (cos x ' ) ' 2x

=l( t ( t* ' ' ) - rn( l+x ' ) ) ' r5\ \ / \

. l ( 2x + t ' )t -

5 [1+x ' 3+x^ )

:l'l'lll!

,1

'i'l

Page 80: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

78

mrpn ilIrizrlr )u nlr))

txu,D'rpl l p'r! f ' r) 'Nr . a < x 1b )ruptnDtytn-tnt i ' l ' ln ntrp)lt y = f(x) 'nn

yuptrN) f(a)<y<"f(b) yup:nlty-r 'r tnryi?1ll n=g(.y) i l ) l l i lnrt iTlunn)ri)

dx I . . It ?=* t x 8 ' ( y )= - ; ; - - : ' r x / ' ( x )+0 1u t : : ux '1 / (b )<y< f (a )dv i J ' tx)

/ , \ ' 1I f-'(y)) = -;- : 1r )):n nH ururr) ):r: rrx g(y) = f'(y) lEDr oN

i \x):u5lrDil tu nDnlNrlil ttllttn

. prtrn pttyit A(*o, :.o) ilttir)t . y = f (x) i.l)!p)t!n )ra clrln rxtnn '.nryl

l t t t :)pryp;1ltf ,ntt ' l l i rN)lt dy ' l trNl @na -) nttu / '(xo) nlt)n . lo= fGJ i ln)

p)t y = f (x) )u qu) ilnf .r = g(y) n)l!iln n'ti7rlDn )u clrrn . x -n 'r'r )u rfrrnn

)ru rf,pnn lt')il ir:, prunn rf n'nt;'r xln 0 rruH: tan / -) nrru g'(yo\ n'rrt)il

g,(lo) = tan F= tan(f - o\ = catd = *= #

-u nrx.r) nurT x). y -il r'r

/ ' (xo);e 0 -u )N)nr

s )trtn

. lr' | = e' t) n)ril x =ln y Ntn ! = e' -) n:tlnn iltti7)tln\D nrttyn )) lnnon: 'n

' - l, I 1 t \ 1 i l

y ' = { v x } = t u n . r - y ' H r i l ! = i l x - ) n : l l n n n r y i 7 t l l n u n ' r f t } r i ] ) } 1 n n o n : ' :\ /

-r, il'tfl)n ,y lnnpnl ..r = tan y -) nrtlnn ntyP:lln Ntn .y = arctan x yl'rt) ')

. ), = arctan x )u nrn:n nN fun (tuny)' = -+cos- x

Page 81: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

79

. . t 1 1

: l l l t ' t

lt') =;+ = i = l = e' :f)lrNn D!\rnil )r.lnnon: ,N

( tny) t

, '=( { ; ) '= l= I I

(y') 3u.-= ffi

:nD'r1JllNl 'l

1 ^

_cos ' /_ cos 'y 1 I= = - 'I .a

---:- = ------- = - lI cos ' y+s in , y l + tan2y l +x2

^(arctan.r)'

x = 2 Jv nE,,rDD n:ftlt * = .f-t (y) nrnn nryp)l! n)y:r nrrD

z(x) = f-' (271x1-+x1 irurn i.r,ri7tl!.1,r)) . -f,(Z) =tZ,

I= - -l , |

(tan l,)

I=cos2 t

e )rlrn

Y=f(x) 'nn

"f(2)=8 :fri)

z'(2) = : turl

:ll'll'l!

nx rrrr) ))u nvr . f(z) =(zf(r-ax) pr'ub rtpv z = fa (2f@)-4r) rr,lrri l

f ,(z). z,(x) = (Zf ,(.*)_ 4) :nrra.run )):r u,tD)u .?)n nlnpn lt,).tun

:):p: 1:)r 2f (z)-4.2=g -) nw 2f(x)-4x ,ru,r i . r x=2 ' : !rpr)n,u:: J l r i l \Dn ' ]1 f i 1 z =2 . t x=2 : r l : . z (2 )= f - t ( 2 fe )_4 .2 )= /_ r (g )=2

, f,(2). z,(Z)=(2f,(Z)_4) ::p:r f,(z). z,(x) = (Z.i,1xy_+)

. z'(2y=1 l:)r 12.2,(2)=(2.12-4) lrrr):nrrrp:n)x ntrtp))! )u ntrtr:n n)D]lr] Hfil .nD!r:

Page 82: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

80

nl,

I fa.tn

'l\DN) Y'= lun

x*0 ' f = ln lx l 'N

/(x) rrunr , ! =tnl/(x)l 'r

v va. 0

x 1

x' mx'-t

J;1I

ffiTx

1- -

a a'Lna

e gt

lnr 1I

;

LgoxI

xlna

sln.r cos x

cos r - sln.ls

tanx I 1I .*T

cotx I 1l - - _

I sint x

arctan t II

n7arcsm r

f(x)+0 -l l t l ) l)

Page 83: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

8t

:n]n!

r r r I r l/= ln lx l= - ln ( -x ) , x<0 ' l l f y . .y '= - J ) ' ! ) . y= ln lx l= lnx ) : i r : x>0 r t :y 'N

x*0 r>, (hl'l i =i :Dr)D)

v '= | ' f ' ( x \ - " f ' ( x )" f (x)"" f (x)

, | , r \ I. y '=

- ' ( - l ;= : 1 r ) t- xx

):p:'x ry)ron ty lnnDnr 'f

ntnnn)D irltn

t , | . , , r \ ' f ' ( x \( ln [ (x) l j =

f@) ' r rq / (x)*0 - r xnrp)r nTr : / (x) DN

.tnrulr runE tlDD m 'r r > 0 ruNf , x' = e'b' lr)t att"u =6 :lr)t)

8 ttlrn

:l\lN) Y'= flrn

'1 '= 'r t 'nt 'H

. runn m ' ' l lDNl !=x'

' f ,

a > A l u N ) Y = 4 r ' 7

(x+i) . +.r ' * ' '1

:lltll!

:!:P: 1:)t .)' = .Tdn' = gsin r lnr 'N

, r - rsin' trnr .(cosxinx+ | 's inr) = r#' [ .or"pr"".ry]I x )

lny=sinr.lnx e Iny=1n"sinx € ! = x'h':nrhN'' l i11rt irxf 'rn ):p) !:r:

Y ' . / . \ I: fN)Dl r=sosr. lnx+(sinx).- : ) :p l t pt t lun )u nr l rxn t lu nN ny: l l l ) )

yx

y' =.xs ' [ .or" to "

* ' io t

)" \ r )

y '=e^h ' .L=x^ ,L=rn . r ' - i i ) ) l !=x^ =e 'h ' , f

(*^) =^r"' '\rDn ', t)) :tr)D)

Page 84: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

82

! ' = e'bo . ln a = a' . lna i r l t | = a' = e'ho ' )

.r. =(("+r)'*r*')' =(e'r('*rr *rcos'rn')' 7sx14x+17 [Ut*rl**). ,q

*m'lrnr . [-r*'I'. T)

= 1x + ry (n{x + t) +-I-] + **: [-.*'.T)

9 ,rrtt!

:''11!il lR h)1i'l

' r x g ' ( a )+0 - r f ( a )=g (a )=0 , r=c - t n l ' t t t r f ( x ) ,SG) DN 'N

6rn 'f(x) - "f '(a\

,-o g(x) g,@)

l imn'{.f(+)-/(0)} =.f '(0) 'rH x=0 ': n1u /(x) DH 'r

.L=f , (0;) : ' * l ' *n. \ f (* ) - f (q l=L DN ' r

. -f'(0) = 0 'rx x !>) l/tx)l( sin2 x trN 'r

jrn x )r) nrtrr -/(x) -t ( ntnt it)tp)rti''r x"t ) ./(-r) = "f(x) x ):) ux 'i'r

.nrrr irrrpni b{tir ./'(x) u

:lllnD

: ' l ) r l f r nnN D 'n , t ) . x ->a luN) h -+A t t x . / t =x -a IDD: .n l l ) l n l l un 'N

" f (x ) , ' - f (x ) - f (a) , ' - . f (a+ h\ - f (a)i t tTr- = i l i r l -= i lm.- - - -=i-" g(x) '-' g(r) - Sta) n-0 g(a + h) - g(a)

.f (.a+ h)- f (a)

/'(o) = lrt$f (h)- f (a)1: ) , r=0 n lp r l

f '(a)= -limh-+0 g(a + h) - g(.a) g'(s)

rrun: ft -+ 0 ,rx . ft = -L lEDt .iut)l nt)rui.r ,fn

nlu /(x) 'u iln) . n -r 6

.. /(+) - f(0)f '(ol= t$-:, - or l:) ' i

. .f'(o) = lggn.{rt*l-l(o)} H"r

.r)1'1ry1rp x .nt}r f (x) =1 -t r):tryr x 111! .f(x) = 0 )Utr) rnrl .n)l)l n)tx nl)uil ')

"f (0) = 0, /(*) = O rr'\D'rln .nli7t c]xl ntttl x) ol p)t nllP: lN: illtll ;l)tn ll nryP)'t!

. l im n'{ ff+i - f (0)} = lim n'0 = 0 r:)rd + €

( " ' n ' n + @

Page 85: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

83

/ (0)=0 lxtnr 0_.1/(0) lcsin20=0 ) :nruxr .n) t : ) n lyui l

-unrxr) nurir x) , s.lf&) - "f (0)l=ltrn>-al=lIgL lsin'll- t h l l h l- l h l=l f t i

.,f,(0)=0N,r,rmrc#9_-o rr)r nty'=m[#)',=i 0= 0DNll "lt)t) .nD)t n)trN .f'(x) = 4xt lN , nrlt f (x) = xo )urn) .n:r:: n)?N n)Irui.t ,il

"f'(x) 'v n!,) nr)u .ru'n ): )t nurr-rx su) rrN g(-x) = g(r) p'1rnD x rtl--f'(*x) = f'(x) 5titt , .f (-x) = f (x) ir)r.ruil nN rlur trN DrDlNl .n,nr - ,N nrlirr! N,n

.nt)il-rN /'(x) H,'r

to )rl.tn

0) tun ,N

irttiTt'rlit a,b 7v or:r, t)rn ttl! . f . ttf|r r.!. l t . t . -

? n'tT)t ntryl

f (x )=(x- t ) ( . r -2X ' - : ) . . . ( ' -q ) ruNl

, . , \ f r t .s in(* )** ,x(x )= l \ ' /lm+b ,x )0

f'(1

<0

:llllt!

t"l/f ' l l = h l(' - rX' - z)(r- :). . (, - e)l = h l, - tl + h lx - zl*... + ln lx _ ei,n

: ph 4+=--l-*+* .,*-! ):p: nrrrn rrnxf ( x ) x - l x -2 ' x -9

: i 'nxir i ' r ' rnNr , f ,(x)=(x-r)(x -2)..,"-n,(4*-!* .*)

" f ' (10)=e!(*+**" ' i )

.'rr ifi]i7rr nlTfil nrlrrr plr:) rxur p)r x = 0 .! r)rx uro x )>) nrrg il,rp),r!ir ,f

. b=0 e. t rm . f (x)=J$(*+D)=b, l im . f (x)=JS(r 's in]+")=o:)xnunt IrDrn n)ru)n nN ny) lunr . b = 0 ux &f ir5rrl nriln il,rp)rrn N,,l

. a=t e I (0)= yry#=o , ,1(0)=t im h2sinI .+h-T - ,

h+0" h } -_+o- h - - r

. a =1,b =A ilty &t n.rtll nlnlr i1r!p)t!it :tr)Dt

Page 86: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

ry--a

84

irlllil

ilr nrpnt rDN) .nlrrl n'lpro Ntil /'(.x) n''rnrlrl nrrn /(x) ux /(x) e Cr lno)-

Jltg4rtl nltn iltli7)llillD

tt )arn

[x ' 's in] .x * 0. tyfulDDnNl i l m 1uN) , r ( : r )=lo

. r=o : i l ' lP) l5 i ] i l ) ]D)

\ '

? &f il!rt.,l i1lir)t5n m )p prl1y t)rX t,tl! fp

? &: nlrlt pli71!it m )rU g;;1y 1)rX .tlty ,f

^ 1(0n f , ) t o f f ( x )eC ' N '1 ) ? o - l n ! ) v l n " t l r : n r y l n t lP ) l ! i ' ! m )u rD t ) - i y l r )N l l f , y ' l

: l11ll!

.D) tD m ) : )o- : i1 ! 'v1 / (x) l l l ) ,o tonDt) tont xo ' -+0 r : l i rqx ' 's in l=0 'N

. . f (0+h) - f (0) , . h 's in | -n/ (Ul = l lm-

- = l lm------j:-: = l imft"-t 'Sin* 'fh + 0 h h + 0 h h - + o

. 7n )2 u r r r )p r 1 r ) r m- l>O nHprs *p ) t : t i t

. / ' (0)=0 4 onlt i?)tnnr!?ntt)t i l m22 Dty ' ' l ' r fy :g19l

: x # 0 n]l]P)] ntli,l ln nN l'lft) ' l

f ' (.x) = mx^-tsin| + x' ' (cos]) (-i) = psm-7 sin+- x"-' '(cos|)

DN o -f it!''!''r nrnn ntf ))i1 . rn > 2 rt:)t /'(0) = 0 -u tr')nt) l)H trIlpn cltyDn

,nNrnD' l ) , ) . x+0 111y o ' )c1x lv mx^- l s in ] r1pr1 ;1 . fE / ' (x )= / ' (0 )=0

m>3 \n' lr) l) t l m-2> 0 ox pr D!N).lN't\D x'- ' ' (cos]) "o,:n

12 ttlln

:trDh. .r ,:) nrrn /(x) 'i 'ln

, r^ f (x+h)- f (x-h) ,N

h+0 h

u^f $+h)-zf (x)+ f (x-h) , rh-+0 h

Page 87: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

€- ; . : ,

85

f (x+h)- f (x-h)h-+0 h

f tx>- f O-n) )tu:. l imh+0

f (x ) - f (x-h)

:ll1l19

=y^ f (x+h) - f ( x )

* ^ f ( x ) - f ( x -h ) ,N

h-+o h h+o h

f (x+h)-f(x) =.f'(x) l)tt x):) nrtr /(x)

: ):p:t k = -h f,ttl

lim

timi-r0

limh+0

,r^f (x + h) . f (x - h) = 2f, (x) :tr,r),D)

h+0 h

, ,_ . f (x+h)-2f (x)+ f (x-h) , ,_ f (x+h)- , f (x)+ . f (x-h) - f (x)l l h - ' ' ' ' ' - ' ' - l r m ' ' _ -

l+0 h i-+0 J

, , ^ , . f (x+h) - f (x ) , , ,_ f (x -h) - f (x )- lrs:___j____j-____:_j___:_ I ltff - -

h-+o h [+o h

= f,(x)* tiq&ry = .f, (x)-.f,(x) = o,t+U -k

( k = -h D'r'rpn ItyDt tn) lN) urvn )

,f (*) )u )xrrrionnx )u rr:run nn Ax -r tx ft .: 1no: . x nllptt n'prr / = "f (x) rnn

df(*)=f'(x)Lr lnDt\x nllp:t y=f(x) )u)xrstunnHlp: f '(x)Lt n)l:n)

. dy = /'(.r)Ax rx

4fu=f ' (x)Lx=f ' (x)dx p)r / ' (x)=l n dx=Lx rrx / (x)=x rn:)DN

av. f ' ( r)=fr n ' \ , dy=f ' (x)dx pr l)

I. d(e') = e'& , d(lnx) = - dx , d(sin r) = cos xdr )un)

.r

. n lTDll nlnt

.y(0)= - f (x) -vn')) , i ) in l . r ( ' ) =( / t ' - t ) {x)) ' , : , r lp l r ln l l rx:r , y '=( f ' (x)y ' r ,u:

/ (s) =120 , y{a) =!20x , ! '=60x,2 , ! '=2ax3 , ! '=Sxa r tN }=x5 trN t t }D,

, . J r ( ' l =0 , n ) 6 ) : ) r

Page 88: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

F--FI

*I*t5T

: '

:=

;I

:;I

86

. / ' =cos x , ! ' =-s inx, .y ' = -cosx, -y(o) =s in. r r fH y=sinx t rN,nnl l l l tNf

- . (ti" ")t"

= sin (x + f ) tnra): rv:u r? "llfy\') nrltn! ln':t

(f <*lt g(*))(') = f 7x1b) t g(t)(') 'rN E)nve n n11'f) f (x) , s@) trN

. , t . " , , - ,(*) (/t"l'g("))(')'= i ciTt'*l(t)'g(t)(t) :P':r", lur nnut:: tunnu: n)l:nn rt:v,t=0

n t n !(_-' = - llDN)'

k t ' ( n - k \ l

13 )rlln

, . t l o o )

( t t ' t ' ' - - ' ,N : lun

1"t . r io r)tto' ' l

:Il:!.!

rxun ): )) tr':lulNt trrlltx ))r, p.l hp: (*) ntnrltv, rrr: . g(.r) = r , -f (x) = e' IDD) ,N

(t '" )"oo' = e' (x+ 1oo) l l)r oox) u't tu

n rn ' l r ) : p : l : ) r k>3 " ,u1 ,g ( * )1 . r )=0 -u l r ' r f g (x )=x ' , f ( x )=s inx IDD) ' r

: ( k = 0.1,2 ruy ) trr)r\rNr Ett'lfrnn nut)u pr

(xr 's inr) t 'o ' = c$ (s in *)"0 ' ' x ' +clo(sinx)( ' ) '2x+clo(sinx)( ' ) '2 =

= sin (x * S)r' + 20sin(x+ +)zr+90sin(x + +) =-x1 sinx + 20.rcosx+90sin x

tq )nrn

f s in (x ' )

f (x)=j- i ,x+o 'nlr

L0 , r=0

. x )>l f'(x) run 'N

f'(0) lun 'l

:ll'lj.l!

cos(x ' ) :x ' - s in(r ' )

x'nrrriln nru: /'(0) run). f '(x)= ) :p : x *0 t l t ) 'H

f, (0) 4g^q*fl =',,S:Tp = fg#fr = 1. 0 = 0 :n.1n,i1 rn

Page 89: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

87

cos( l ,3) l r r ' -s in(n ' ) ̂

f "(o)= hn/(h)-f ' (o) =r^T-" =J \-/ -n-o

h h+o h

( - 'o (1, ) )= t im l 3cos | , f t ' ) - t t ' ' , ' l =3 - l=Z

r ro [ \ / h ' )

Page 90: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

l

*=g

:i

=a

88

9 i21!trRtrtlgnil nrunil )u uryrDril trtuouttr-f

irD']t polDD

Ntit DHl .r0 -l nrtn /(x) oH . ro € (a,b) ';1v11 (a,b) nrnl )upr ntr)lD /(r) 'nn

. f '(xJ = 0 'tH yupt ( rnrr: lupn tN ) rnrrl )rtrn n:ry nN t ;1ltp)t n):;:n

ll'rl pDlrE

tr)D'f 'l'ry !: nnx oyl nrno) n)rpn /'(") 'rx [a,D] ruo yui'rf, nlr) /(x) nx

. f:(b) -, fl(o) r):

)tr uqpn

tx /(a) = -f (b) ,.JDl)t DN . (a,b) nln! )upt nrrur [o,bJ ltro llupl nl'yr /(x) ,nn

, f'(c) =0 't, 1> (a'b) !up) nrrrrun c il'tlP: nD)'P

t )tlrn

itrnn ntnl) v, f (x) = 0 nxttunn )u nt:ttnl r:u ): ltlu n)tn . x 5>5 nrttl ./(x) tnn 'N

f'(x)= 0 nxttran)'rnn

:LH

p)t )tr plun )u ntut't'til )t nN nnttiTD n'tP)ltn . f (xr) = 0 't /(x,) = 0 -u n)))

f '(x)=O nxrlpn) rnr)), f ' (c)=O -u'p ( (xlx,) rx ) (4,*r) lup: c nrl ir : nn'" i7

.)':n puiTr l'rln! u'

z ln:n

.TnNprn! i7un \ t r t m>0 iuxf , x5+mx*n=0 nxt t ran)t)nl l i l:lIE!

'lg/(x) = -co Dl] !g"f(t;

= * -t i1!'y'1n'vP:'r!'nrr /(x) =.r'+ mx+n IDD)

1: c Er)p Dr:r t i1 ' l tyul tDDtl) . / (xz)>0 -t , f (x. ,)<0 -u?.r ' r2 ptprt lT 1l) t

Page 91: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

:==-'_=--=. _€.=€+- a

89

r )u lDD). tnNnlnoDln l ) ur l r i l l , r l rnrun)r )urny) n ' : ) . \<c<x) - t f (c)=Q -u

nrrpnlnr : )nuEun:unnun))n. f (a)=f (F)=O x, ' t , P - i d - rn)unu,r ' rn !n

.F - t r r - l r tnNIn: xo - t f ' (x )=0.u l l . r0 n l lp)nplp)r luounro) . x j>J i l t r t t tn l r t l

. t r i u l run )n r rno : - f ' ( x ) *O i : ) t x h , f ' ( x )=Sxa+m>A o ) rx

.ltnt) tnn il' ' ln! ur rt nxrrunb:il)irDb

3 )rru

nxttun) ttx 4 upn l l ' rn! \), frco +bx3 +cx2 +dx=0 nxlun)Ex:nri 'r

. (0,t,) rru;l: NID) nt lltnll x0 tf)tn l)tn5 v' 4m3 +3bx2 +Zcx+d =0

:11111!

ntxr)nupx) . x b)nrrnt i1!ry' ' t i 'rr lp)l lrntr. -f(x)=axa +bx3 +cxz +& lDol

. ./(0)=/(x,)=0 pr) .r=0 lDt) l)tn! \r, (no +bxi +cx2 + dx=0 lxrrrunlru

nxttun) nlnlx nxr , /'(xo) = Q -u'p r0 ot'p (0,x,) uuit: : )rr ulurn: \,nnu:

. (0,t, ) lu;:: x0 'lltn l1'1n! uf 4ax3 +3bx2 +Zcx + ri = A

4 ttru

. a<b , ( x -o ) ' . ( " - b ) ' +a=b nx l \ r r n i l i l ) r n )

(a,b) w; : r prn! u , ' 5(x- a)o ' ( " -b) ' +7 (x -o) ' . ( * -b) ' = 0 nxrr rpn) ' r n) rn

:ll'lfi!

:r1Dl)t) x !:) nrrru n!'y1tr i l 'yi7:r! . f(x)=(r-o)t.(r -b)? +a-b IDD:

, f ' ( rJ=0 - rap (a ,b ) 1 lup t .x0 n1 i7 )nnr '? , ) r ru lun tsJ . f (a )= f (b )=a-b

(a ,b) - t xo t l rn !u ' 5 (x -c )0 . ( r -b ) '+7(x -o) ' . ( r -b )u =0 nxnun) , rn r ) :

s )arnrnrrn !:) \r, f(x)=10 nxrrrpn),: nlrn . x J>J f'(x)+O -r x):) nlrr /(r) ritn

.]nN llrn!

:ll lnl

nu]ln!il t:u lnDt .'InN lltntn 'lnrr u,r f {x) = 10 nxrrpnb}, nt:)r g(x) = ,f(x) -10 inv:

g ( x u ) = 0 , n n n l l t N l g ( x l ) = / ( x , ) - 1 0 = 0 ' r N . . r , - t 4 . l

Page 92: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

90

(", , r r ) lup: x0 ni lp)nnrtprnulunr l ) l r ) r x ) t )nrrnrnlrsr g(x) nrrp:ron

. x J>5 g'(x)= f '(x)* 0 u)rn . g'(xo) = 0 -ru lr ( (xr,x,) rx )

.tnn nln! rntn ):l v, f (x) = 10 nnttrnn) :nlpDe

o )tlu

h, f '(x)S$)+ f(x)g'(x) qorr:r x b>)nrrrtr g(x) -t /(x) trNunlrn

. g(x) = 0 nntrun) lJing Erp "f(r) = 0 nNltunil )ra nunnl rru ): jtt rrN

:l'11!l!

. g (x ) *0 (x , , r r ) wprun) r lu :n r : r . / ( x , )= / (x , )=0 ' t I ( x , -un ' ) :

e|t) = p(.t)) = 0 lol)tt (x, ,x, ) rru;r: nr'tn n!)r1 ,p(i = 4 nltplrlir 'tHg(x)

.e ' (xJ=0 -rD1: (4,x,)yup: xo i t . r ' t i7:nnrrp )rruEranro) l r )

.)tr urun) nrrno: x):) g'(x\= f '(x)sb)- d@)s'@) *, u)txs(x)

.n:t:: x) nnrn g(x) * 0 (l ,xr) r,up:ra i'tn)ili ' 'r :i1!ppll

. g(r) = 0 nxttun) llrn! trt)i7 f (x) = 0 nxttunn )u nt:trnl r:u ): itt N't

z )arn

(."0,/(ro)) 'nn .n')r)r'rn-tn il'lp:t! N'n f'(x) -v n'1't r )t) nltr y = f (x) 'itn

.pr\rDit trut lr itTtiTl .l,l.t ErtrfyD . y = "f (x) ilrlp)lln.1u )fi 'nu)l nrri::

. p'up) ( nnnD tH ) tyD t)rr xln: y = f (x) nryir:lln )ur qun ,nrrn

:l'l1I1!

nNlturn. ("0,/(ro))-n nllun n!Dt: lrllD nttp: lrt ptuDtl ntviT)'ttit 1rr)ra n)r)u: nr::

v, f (x) = f (x)+ /'(xo)(x -xo) nxttun) p). y = f (x) + f' (x)(x-xo) nrn i,)Dnn

. S@) =.f(x)-"f(xo)-/ '(xo)(x-xo) IDD) . q lDr: nrn! xonrtp:) clot::

np:rp )tr ulrun tl) ph x )t) norrrt ntttt g(.r) iltli7)tln . g(xo) = g(r,) = 0 )fN

g ' ( x )= f ' ( x ) - f ' ( x r )o ) r x . ( x t l c <x0 r f t ) xo ( c<4 - t g ' ( c )=0 -u l t c i l t t i T l

N'n f'(x) ,t c = xo lru nfl .f'(c)=,f'(xo) pu), g'(c) = .f'(c)- f'(xJ = 0 N't

Page 93: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

_-_-_--ei+=-:: _.

:

9 l

.ntrno - ,_ r, a c l xo rN ) ro 1c 1 xt .tD t)hti7 )tr ultunn rtu TtD .nrl'ty Tn-Tn ilttp:l!

pruDt ( nnnD tN ) ,yD trt) NtD) y = f (x) ilrtptrlil )ra liln : :IlEgD

8 tpln

.trrru nli)rn9 r)rr'rnrrn 2>l vt xto + No +2x1 -18 =0 nxttran) t) n)ri'l

:Illh!

\ < Jcz < x3 trn]N lDDl.n):rln! ( "rn'p 1H ) nut)u ut 1r i]N]llDD)u nr::

- f ( x r )= - f ( x )=0 . x ) r )n l r v r tn r t l t n t tP ) l ! t n t r . / ( x )=x t ' + xo +2x ' -18 i no :

,upf ,nRl I i l lx t . - f ' (c )=0 - rup ( r , , " r ) lu ; : : c n lp :1 '1prp) t ru lun: l ) i : ) t

. l t ,dl lup: / ' (x)nltnn n)vi?)t l t f l tr) l l :n:. f ' (d) = 0 -ut l : d nl lp: nn)' i? ("r,"r)

-\D1) d, i'lltp) nb)tpu, y:r: )rt ulunn plt f'(c)= f'(d)-t n!'t"n i'lrtl: i'pypl! tllu 'nll

. f ' ( a ) *0 x " t , x l > | f ' ( x )=90x8 +12x? +4>0 ' r u ' r rD . f ' ( a )=A ' r c< a<d

ur ),1n nxttun) 1:)t n:tr: rn)2;'1vp;1 nt)!'rn! ('lnl) lN; nur)u ur nryirrto)ur nn)nil :iltDDE

.tr))'llD R-l)nn! r:ru tnln ):)

( r)xrynEryn lr:un: rlrnnn tryn urun ) trr:) urun

ltnt c nrp) nn'i7 rrx. (a,b) nrn! yui?r ilr'ur [a,b] llrD llupt lle)rl -y = f (x) )nn

f (b\ - f (a \. f ' (c)=ry | { I i -u1r (a ,b) n1n!Ryui? i l

D - A

:btub, ']uD]xt:n ut'lln

. f ( b \ - f ( a \ , l tl > J l , # - )n t t u (b , f ( b ) )e (a , f ( a ) )n l 1 . | 7 ) i 1 . l . ' l 11 ] t ) , n1n , 'Dny15 ' \ '

b -a

.rnrn) ,r\tn (c,/(c)) i'lli?tn 'nt pnep;t, 1> c e (a,b) nliT) nDrriru ]rlu plunn

Page 94: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

92

t r i u 5 t ) : t t r c = J o * 0 h - V . t t 0 < 9 < l U u n D r r i T t t N o = x o , b = x o * h l n D ) D N

-ilrr, nnDD"x'r;:l lt i lnor:, . f(xo + h)- -f(x) = -f'(x, + 0h).h :l),nrr, uDuD

9 trltn

. (o ,b ) wprnU:p / ( x ) r fN c<x<D )>5 f ' ( x )=0 ox tun )1n 'N

i ) f \ r r lnnn ' l , / ( . r r )=g(x)+Const . r rx a<x<b l> l f ' (x )=g ' (x) t rN , f

. yllP']!DD N]n nltsir:]5i rnu

. : l l1!1!

.nurp / p l t x,h f i f (x+h)- f (x)--} ) rp: , r : l )nnpl ln 'N

. (o,b) yup) nt:ru x ,x + h -u lH) ltntit :i lt l i l

,p ( ; " )=C 1>7t a<x<b 1 t7 r / (x )=O ' rH. p ( r )=" f (x ) -s (x ) JnDr ' r

. f ( x ) -g (x )=C N" r

tt Zlrn

. g(x) = arcsin + -l / (x) = arctanx nl't?)ten ntt 'tn)'NV l+x '

. x Jt l arctanx=arcsin* rrnln. x l t i . f ' (x)=g'(x) , rprr :r /1+ x '

. x>0 ) : ' r t : y a rc tan"* * r tun f=o : r ) l t ) l i t ' fx2

:1]lh!

t x l

,f(x) = g(x) + C p:r I arcsin -+.| = J- = (arctan r)' -u, iTnr) ilup N) 'NI J t+ i ) 1+x ' \ /

. x = 0 )un) rn:: . rnu)r .r nlnxn lrrrru) :tyn) irrgpn C )u 'nn nx lun) nr

. arctanx=arcsin* N"t C=0 iN)D! arctanO=arcsin0+C ):p:r/1+ x'

- . I | ( 1 ) ip)t / '(x)=-:-+--:--.1 -+ l=0 . .f(x)=4rctgrlx+arctanl IDD) '),l+x: ' i+ i I x , )

' ' \ ' - ) x

, x>0 trtnnnn rnu): tEon :ry: C )ru 1Un nN tun) nt. x>0 l>5 f(x)=(

:p) 'r arctanl+*.taol =4+E- =!=C ):p:t x=1 )tun)i442

x>0 ) : r t ry arctan ,+*"t t r ,L=!xZ

Page 95: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

93

IntlP-)]gn r < 0 Elnnt . illry] ntrN : ilrli7)lln ; = 0 nltp)tu t, trrt, !!fD

r

x= -l )un) :rvr oH . /'(x) =0 r) ylrp, ill'ru, t'nD f(x)=arctan.r+arrturrlx

. arctan(-l) + arcun(- l) = -L = C ):p:L

Tr l narctanx+arctanl - - ' : - ' t x>0 ): rt :y arctanx+arctan-=- :trI)D)

x2x2

. x<0 b r t : y

ullrE

(nrrrr)nhynnrur) tn / =f(x) ' rx (a,D) yuiTt ( . / ' (x)<0 ) / ' ( .x)>0 Dx 'H

. (a,b) ru;z:

ruDD ( ntrrr ) n)ry nryp:toi'l nliDn )u nnnon nfr:Dt,t r0 nltiT): n.rt: /(x) nx ,t

.( f '(xJ < o) / '(ro) > 0 'tN

r ntrfDf rtN xo )r, nD'lDD ilfr3u: nltvl /'(r) -r /'(xo) * 0 trN :illpn iltDoll

. r = g("y) n)nn nr\p)l! tf itfrtof ;15 pr ph nDly ln-tn y = f (x) ilrtp)tln

('nu),ulun) l)):n ) ryrir utun

g'(x)*0 -r (a,&) nrn!yuptnri 'nr [a,D] ruoyuprnt! 't.,r /(r),g(r) n:'nn

-u p (a,6) Rtnln yup) n))tlr ir c nlpt nn"p ttn .x e(a,b) J*

f (b)- f (a) - f'(c)s@)- s@) s'(c).'nu) ulun ruti, piunD b:pr g(x) = x frt) EN:!fE

rz_la:n:t) h)li'l

. b>a>0 5> l na ' - t (b -a )<bn -a '<nb '11b-a ) 'N

.b>a>o h , b -o . " l+b .b - ' , f ,l+b l+a l+a

.x*0 J>J e ' >1+x ' )

Page 96: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

94

:ll'ln!

yup: ' t ) ' ' r ) ru iunir ' 'nr tDrrD'u.x t : )nr t l l t l ry i t i l ) !p) t ! . f (x)=x' ' lnr) ,N

bn'I > rn-t , on-t -u r1.r: . o <c <b .1\rN) ry = nc'-t ,fa,bj rl)Db-a

na"-t (b- a) < bn - a' < nb*t (b - a) 1l) nn nan-) <ry < nb'-t l)rlb - o

, fa,bl111-< -< - ) r p r j f r )D . a

I+b 1+c 1+a

)uir: 't:u) ulun illr:y tr)u'l)l ,/(x) = ln(1+ x) '1r'lll 'f,

1

:):pt b - a -l trrllNn )rl:tul rtnN , :'+ <1+b

b -a

ln{l+ b) - ln(1 + a)

b -a

l+c

' 1

i))r1+a

. b>a>o b r r : y b -o

. t l+b .b -oI+b l+a \+a

r ^ ' l

[ 0 , x ] l up l ' t : r r )u lunDtu i : t . f l x )=e ' rnu . x<0 l t { x>0 : t r r t pnDr } t ) r l l l ' r

e ' - 1 e t - e o' r 1u n i l - ' >1

€ .O<c<. r ) ) =e '>1 . . x>0 tuN))c x -0

. x<0 ruxr [x,0] )up: ' r : r r )ur \ rDD'rr t r ' ' r rny: . x>0 J>J e ' >1+x

1-e '< - . r lN lD . l * " ' . 1 e x<c<0 ' ) * !=e '<1 ) : i : t- x 0 -x

. x 7>5 e ' > l+x t : ) r e0 =1+0 x=0 l : y . . r<0 ) : ) e '> l+x rN

t3 rrru

x>o 5>2 f '(x)>g'(x) - 'r f(a)=g(a) :1n: . x 5>J nn'u /(r),g(x) i l : ' i ln

. x>a 5>> f(x) >g(r) : f lr l i r

:llr'ln'!

p'(x)= f ' (x)-g ' (x)> 0 - t p@)= f (a)-8(a)=0 .p(x)= f (x)-g(r) rnu

o(x\-ofu\' r y=9 ,@)>0 . [a ,xJ ru ; l rp (x ) t . t : y ' t t t l )uDuDE1\ l )T .x>db ,x 'a

. x>aJ>J , f (x )>g(x ) H ' tp (x )>o ) :p :

Page 97: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

--==_-:':+===_.

95

14 )prn

. ' r>0 ) : ) l n ( l+ r )> I : f i l t nl +x

' :l!1t1!

- f (0 )=g(0)=0.g( .x )= ; I , - f (x )= ln ( l+x) lnu l :DTr iT i ' r ) rnnn lunxyrn :u ' !n \ r :l + x

. x > 0 )>b f ' (x) > g,(x) 7:) r g ' (x) = -+, _f , (x)=+, i ) rD,( l+x ) ' l+ - r

ln(l+.r) > x

N,,t , .r > 0 )* .f (x)> g(x) .\D ntppnn lx)n1+x

ls )arn

.'Trnr) .rnN ?)1n! u' x - ]sin.r = 3 nxrrun) ,) n)rn2

:ll'!n!

. x J>J i l . r r r r l n i ' ! i nr t iT) r ! , ,nr . / (x)=x- ls in . r -3 rn) )z

u iuDn . f ( 5 )=5 - * s i n5 -3=2 - l s i nx>0 - r / ( 0 )<0 -u rn rH r ) nu ; : u )2 2 J \ ' /

i ' ' lN l l \ )n> t ) t Jn) tn rn t ! ) , fG)=A -u . i : 0<x<5 !u i7 t , . r0 s r rpu1 l fu Er , ) , f ,n l t1 l

. x J>2 nSty ntyp:tla l:)t .f '(x) =l - 1ro, x ) 0 :;ptrn' nr)l) n)r) ..rnN lpnl nrnl) u2L

. J0 nllir)l pl f (x) = 0 x"t n))t)r'rn-Tn il;!p)l!n ll)!)

t6 bntn

.nvtry fQ) rrN a>0 7>l,r x.y, ,>, lff*>-f|)l<lr-l,l '-" trN:h),ri.r

:?1]fl!

: ) :p: 1xrn. x. f t \ , l f?*D- f @l<l("* h)_r l ' . "

( a>0 r ) ) h " ->0

f (x) = Const.

. ,r lrrN) . o. l /(x+/i)-/(-r)1. lr i 'I h l - ' " '

tr)

N'1

h-+0

t x h , / ' ( r )=0 € 0</ ' (x )<0 ph

Page 98: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

'-:i

96

17 ta.ln#tV f(x) -u 'pc>0 E')prrn / ' (0)>0 - , rx j>) t r r rnton:rn/(x) DN:rr) , r i r

T 1.L-c,c l tuP:

:ll'lfi!

a."=; ' rn l l )

. / ' (0)=a lno! .n ! ' ! r f , (x) 1>5tDr)Dy!nru / (x)

I r r ' , t A

11'G)-ol .T x"r , f / ' (x)- , f ' (O) l<e rH lx-0 i .d DN\r .p d->0 t r , , i7

. l" l . A rru ./ '(x) > 0 -u ,t) DN unr;r . 0.4. f,( i .* 1:rr)J J

r I. [ - r , r j - rn )u / (x ) t : ) r . f ' ( x )>O xe [ -c ,c ] b r ) , rx . r=* . . rn f , l2

18 rtrln

: )rN x)2 l>> lf 'tx)1.* -r [2,.o) rru;::nrrn /(x) DN:n]li l

. lg(rrz")-"f('))= orlllr|5

: ( x ) 2 ruxr ) [x,Zx] wp: /(x) rr:y ,rnl) ulurn Dl\rr:

l f tz* ) - f t i l_ r . , r^ , r - 1 I , . , . _znz1_ , f (2x) - - f (x ) ?i - l = l l ' l c ) lI x |

' ' ' ' r c lnc r lnx

' - ' - ' - 2x -x

- r

. o<l f {zxr- l (x)1.* r 'nr i r . ( x lnx>o 1: ) r r>2 -u: }nru)

. FXUfz*)-,f(r))= 0 : ):p:t ?):l)Dn ulubr u,nnu1 )r:r) 1:yr

rg larnipvir)llnu l: c yt:ir 'tooo p'pu n)]il ..r ):) nsryr nJluHl nTl: n)r: -f(x) ,nn

. [-t,t] yuiTrnrl,t 'n')tul)rD g(x)= f(x)+Ce"

:t'llllg

--f(x)e-' nrriT),rrir . C <-f(x)e-, ):;ll g,(x)<0 rrrrrtr .g,(x) = f,(x)+Ce,.lntrt luiTn n)ly nN r: n):pn D]plrlrll uoUn rl) 1>)r [-f 1] ruon yppt n!,]1

Page 99: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

97

[ - t , t ] - : - g ' ( x )<0 t * t Ccn -u 1r c nN nll) rnr) . , =

ffit-/ttlt-'1 lnD)

[-f,i] ),pirl \rnn n"rrl g(x) = f (x)+Ce' l:9r

:l'l'll1!

)>) unn ntry .f '(x) € f'(x)>0

, : ) g ' (x)= f ' (x+1)- / ' (x )>0

H"t, g(x) > g(x-l) 'u !1r) jxln

zo )a.tn

f (x+1)-,f(x) > f (x)-,f(.t-1) rtx x )>) f '(x) > 0 ux :n:tn

2t )nrn

ntlu nlrDt nl'yr /(x) rrn x )rf li't")lS f -\, p K > 0 rlon 6rtp DN :ft)li1

l .Ftr l - f? ' ) l .e rH ix-t ' l 'd

.x 5>7:llE

pnt l ' ' l t d>0 g lpgnr ) tn ) ' 'P ry . tn 'o ) : e>0 ln f , :

.g(r)= f (x+1)-/(x) 1'r)r .x

.n)u g(x) iltlptlln 1ll) . ( n)tv ,f'(r)

. f (x +1)- " f (x) > f (x) - , f (x-1)

. b"\Dn l/t"l -,f(x')l . e rrr: lr - t'l.- 6 'mnnu ):7:

. x' lN x -: tt)n t:rx d

. 0<x<1 . : n r t l t 0<xS l ! , uP l i l l t l l

, [0, r] ]up: 'nu) uluDl llDrlllr: . 0 < x < 1

:):pl 1x:n , g(0) = 0 ult g'(c) s 0 o)tx '

I

6 =L rl1l :Dl)tD)K

)ur 1ynu :) Erul:!l)!

.ce(x,x,)ruxr | ry|=lr ' t ' l=r . [x,x ' ] }u i l : , t t r rbu! \Dntr ] t ,1:

. l r-r ' l . f >=vr. K'1" -* '1., \r t l1r nv). l / t" i- l ( t) l< K' lx-x' l prr)

zz )urn

, f ( 1 )=1 , , f (0 )=0 : l l l l ] . 0< r<1 - : n t t r l t 0<xS l - f n ! ' J . . ! " f ( x ) ' nn

/ ( x )=x ' ' r n r l n . 0<x<1 5> l f ' ( x )33x2 D l l

:llE

g(x) -v rrr: . g(x) = f (x)- r' tnll

f i t g ' (x )= f ' ( x ) -3x2 <0 ' l ) rD)

o<c<x . , rn, 4)-p=g' (c)x -0

Page 100: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

I98

, [x, i ] luprr : l !Dlupl 'uDnunpt. O<r<i ) : l g(r)S0 n,1 , 44*g

) :p :1n :n , g (1 )=0 ou g ' (c ' )S6 u5rn . xcc '<1 . rn , g ( l ) -g (x )

=g ' (c ' )l - x

. . f ( x )= r rN ' \ ,g ( . r )=0 r run f r .0<x<1 t r t g (x )>0 p l r *9=O

:n)xu) .lDr) it'tnl n)nl

g(x)<0 x ' t , g(x)Sg(0)=g rru r>0 rxrnn l r ) r g ' (x)= _f ' (x)-3x2 <0

ttrprx 'n): r:tn p- g(c) < 0 n1t)r c e (0,1) rlpn DrriT rr n!r)u: nr:1 .0 < x <l b>j

0=g(1 )<g(c )<0 ) )

. f ( x \=x t N t , g (x )=0 : i l l 7oE

nnpnro inu: nrrrrtnn ntryptu )p n:tr

x )u lry):) aH . a <t S p rop: ntl 'rr nt'ypll! rnu .r=x(r),y=y(r) n:rnnt 'runl! l! 'txf, r )u ntyir:nr I nl' lrt)D ntNltuDn rnuu'lDH) fH, I l ln)t rRN.ity D)N1D

. r 1un15n nllyf

1=$a1 DruDl ! lo tx t x b ranryp t t l : y n t tn rn x= t3 - l , l= t2 n rx r ru rnn )un)

. y = {tF+ 1)' i:)r

x bu ntvPlt l l ynt ' lr t lD ptN 0 S t S2r luNl. r=cost,. l=sinr ntNllrrDil nxr nnry)

nuyn)) :pr 0 4t<2r } lup: i l )n t D t h lT ' tyn l r ln) . x '+y ' =cos2r+s in2t=1 ' )

.nrlp:r5 nlrnD DrN y -, x Pt firn 'rupn yllriJr x' + y' = I )rynn )u nnriln )t nn

nx :un) )ru , nnton ir:tfuf nrtp:l! nJlnln r = x(r) ,y = y(t) nlN'nunill n'rrnfd),

dx

r**o),clt

dv+t _ U t

,.t ,h :;lllDDn ll'ltlLaxfr2l |nrn

JtDroD nt?fDt r )u nryp)l!) y rtuDtt lltNl ntlt)D nlxfn nlNirlDnitur rrmilf

!=b2,x=t3 ,N .,nrx) #,ft="n

! = l - t z , x=e t ' l

Page 101: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

99

:nrtuD'l! illltt nllllD y'(x) n:tuH'lil nltDil ny) ,

:lllip

dv+4t4- : - = ! : - = - = - t : . t

^ 7dx fr 3t- Jt

1 r 2x= t - . ? = - - ;3t'

dv -2t, i

' - - l - -1 - rdx e'

. d2v d(v' \ + -+ 43 -a; .+ = lnlf lOtX: 1:)t&2 & # 3 t2 g t4"

44 = d(y') =t = -2e-' +2te-' = -e-2t +zte-2,

dxz dx * e'

nDlnD nt]tt ntlltDn ntrDtts )u ntrr)

?u nnrrun nfr:Dt DN.y -) x n:nunn rr ErrDn rup nrNnn F(x,y) = 0 nnrrrann

/ nrriln nxllv)Dnu iDNt , / )u rrnrr tnn'lly DtHnD x )u ltt l)9 , xo nllp)n

dv* nx :un5 1nr: ly') ny) itxr) . ( ll.nln'ilrx: tt) ) nnrnD ilrllr r )u n'yp:tuffi

. nl)fl rHfn i1tli7)'r9il'r ntyi7)t! illntD DID1N nNt]\rDi'l\D nrl)i']1

24 taln

. xo + y' + y =3 n'ry nlrrtn Xx) il'tpltl;l arn, 4 f\Dn'Ndx

. dy(I)

fun,r b,ti1 ilNlrunn n* 1p'pD (t,t) nrTrn ') ?t.rf ,f' d x

:l'l'1ll!

:trrllNit ' lu nN l]tD1 xa + (y(x))t * ylt; = 3 :' j) i lN\llDDi1 nN tr]rgl) 'N

,. \ 4x3 2. -) ' { .x) =-=+1- tN)n +x3 +5(l(x))*. ,y '(x)+y'(x)=f ll + ) y

a . 1 3 )y ' (1 )= - ' - : -= - : . xo +y t +y =3 nx t tu . ln i lnn lp r rpD nr iT ) i1 ' f

l + 5 . 1 0 3

25 trrln

nllp)l! ') n)tn , I) tn) . y(x) nrlplr ;lrn)E e' - e-' - y - x = 1 nxtunn D n)ln

u v.

-'' :un . x l>J nirf)r unn nbry rr

ac

Page 102: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

Ff.

f 100

:nln!

. y i r lnuDn)ururp :DN] i l r i l )nurD i ' . d ' -e -v -y - |=x : 'p i . lN l l l l l l i l nNEn - t )

. y :n , ev +e-v =ev ++>2 JN .x '=ev +e1 -1 : x (y ) )un r r r :nnNfu rn le'

I. y r > , x ' = e t + e - t - 1 > 0 1 : ) . ( a > 0 b , a + : > 2 : n t i l t t l N ) u u n n u i l )

a

y("r) nrun ilryptr! n) u' 'ltr!, , y ,), iltrt)t trDD n)u x(y) ilryiTltn ,p DN

Q- = 1. rN)D . n.rrr)r n)r], n)lrul)rD& tr e) '+e-) -7

Page 103: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

101

10 Pl!

1517 ruoun ,)uut!

}13/ (x)=0 nx.nnly a - ) r ) rxu ' r ! . r =a )v nr t fDrnt ln , /

, ,-- f (x) . i . f ' (x\Um: Dl t ltt iT tlp ff i " r) - ( tOtD)tX tN tt ' tD ) )t lfn Urt71,-u glr) ,-o g'(X)

.r - srn.rlInJ---T-J+\., X-

l r o \, . I r L !I t r n l - - - |

^ t Ir+u \ .ts Sn /.X )

f (x) ,: f '(x)

. littl r \"/ = rim 4:z ':i1tt i]| trr'ltu nt)tf)il r:ut' r " g ( f ) ' -o g ' (X \

.r:):5xnu'ryD lN t:): ir;r 1yD x -+ a ..t\tx) tr) n)D) n'lNlr) it)yuit : itt)il

l ims(x):0 tr)r

r )arn

:nl)lln nN lun

^ t l

limt - t 'N

r--+0 X

lnx , \IllTl -:- ^;c+i 1'r - |

lim g(t) = 0 ntt tim /(.r) = 0 oH -x ) a r:y nn'n -f (x) ,g(r) n:rnn .z.l--+€ t+@

nr)t:rn ,rl ri.o /9] Er tr"i? ,rx lim [9 ( relu)rx rN '!ro ) )r:rn nrrpr'*. g(r) '--'- g'(x)

. ^-f (x) _.*,f ' (x) :nf, ' r D,,*r,

'* g(x) .'*o

g'(X)

.r -+ -@ lUNf i'l:l)J n'lNrt) ill!9il :!ll!

$/(x) EN.i lnl, a -) r)txur!.r =a JrD nf,trotnrrrn /(x),g(x) i l t ' i ln -3

(tg]D)tNlNtl lolhunplpr{ -oo -)rx) o -}nr:ra l img(r)-r ( -a - i tN) cD -)ni lu

,,- "f (x) ,. -f'(x) f (x't .. f'(x). lrm:---:--: - 11111 i-r--: :nft ill UrttU nt)tU;1 rlgr1 1i114_:_1 tr) trrri7 r1p lim:1--:--:,- 'g(x) '-o g'(x) '- ' ff i

SG) "' G g'(*)

( x -+ a Dri2nl ) . x -+ --co ]N r -+ co DN n].lf) nlN[r) ir)ypir :IJ2L

J

.f(x),g(r) n:rnn.t

Page 104: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

142

. . x -s in . r I . . l - cosr . . s inx IS-;-

=;. N"r l*-;p-

= lt$ O"

= e

: )ut!t) )):: trtlv uDnrr)

, . lnx , .+ , .11fT7;=1S;=':* 2*,

=i

. . ( t z ) , . (s in2x-2x\ , . ( zcos2x-2 )i i m r - - - r = i i i T l r r = I i l l l r - r =:-+of .r sin2x ) x-+0 \ xsin2x ) r+0lsin2x +2xcos2x )

. . ( -4sin2x \= l l m r . - - l = 0'*o \ 4cos 2x - 4sn2x )

. . ( I 1 \i iml

- - - I ' t l imx. lnx ' r

' - t ( X - l I n x / r + { j '

I ll'll1!

. . . t r 'o . . loxe . . 9ox8 . . 10!l i l n - - hm- - l lm- = . . . = l tm- - U 'Nr+o gx r+{ et J-+€ g' x+* gx

tim hx = 1irr,i = g ,r

r-)€ X .r-+o l

EnDty t) iltit llD'Di1 )ru ntynunn ) . 0 .(-.o) noi.ln trlD N! rrurf rnr lim x .ln x ')

)utn) ))>: unnun) nr . ( -o -) lNllu tllDn! D!H, trpnD ltrrxtil 'tvrnf trrturf, rlD lN)

+co -) nt)Dn , -co -) rlNll, il)'tbn nr) lim r'ln x = Um * :'p t)l'rni'r nN Dllullc-r0* :-+0* !

fin lnt = lim -i- = lim (-x) = 0 :)uror) )u )):: unnuil, ,)'nlt x - 0 - - 4 r + 0 * \ 't+u r :,

. . ( t t ) , . [m"-x+l ) , . l - t . . t -xllmi - l= hml -:---=:- l- lrm---r.- - lun- - '.r: - + t \ x -1 l n r / ' - t [ ( x -1 ) l nx )

x -+ t l nx+ f r+ r y f u1+x -1

op)t i lrDiln rurn rrrN nrlntil ntn tu lr:ln .

U

:l]lno

, , e ' - l , . e 'l l l n - = l l m _ = l , N:+0 X .r-+0 ]

. . x -s inx . . 1 -cosxI f f i -----=...". ' - = I l f i l ------ ' l.r-+0 Xt r->0 3X"

2 rrrln:nltu:n nN )un

. . ln x . . x lohm- , f lun- 'Hr+6 X x+o gr

= l i r -1

= - l. r+ l |11y+1+ l 2

Page 105: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

103

3 trr]n:n)hl i l nN:un

, . ( 3+ r \ " / r \ f r *I U n l - l , r

[ m l ,

| , , r i _ _ r - . r' - ' (2+r/ ' , -+0"\x/ , tg"o

' f I tSr"

,N

rrl 1r)t n!rl.! e.

, . lnx IiT;=ls;=r

:lt.tI|!. a > a , eb = gbtno nnDl): uDnul nr)rr:nn ):r

ntviT)iDnu nttrlrt unnul ny: . limx* = lime*r, = fi_rS ,N

,. lntr' fS;T 'rlrn nN rur) pr5pv3 lTu* )rrn nx :un)

' lTt* =et =e ;Dl)rD)

' .8"* =eo =1 p)r l l l f = l imi=o ) r : rnnn :vrn l r : - r . , hrr - + 4 X ' , - i . " - 1

v l r ) A i t J r r \ J I l / n J . [ m - r ' = i g " = ' ]

JS (-r in xin"r) )run nx ru,n) ny),t1? f ] .J" = .Jjgl "s,:br-r

= l im r_sin:rn:,)\ r / . r + 0 * ; ; i "

^

,lg (-rin xln x) = JIT (-" lo

") [T) :p rrlrN orur: 1: ora)

):pr 1:h $ff =t l) rD), l imx.ln.r=0 D r)n)rn,)3)r).rnf,

. ,,llT (- ri" x ln x) = 0

. Iiql flJ''"' = e(' = l :pr)p),_0. ( x /

igt"* )runnxrun: h[i#)"=,*,,,"u,1

rutn x) .u'f lirf yr). 5x -+ co . t* - o 1:)r , r -) lxru fir ,rurfnz+x

unnurn) )rr:r ] im5r1rr 3*" =lim5 lt(t4 ln(2+x)--

2+x -H'"i ' ---l- tr l\D'l l . oo'0 rtonn

l im5. in (3+x) - ln (2+x) . . _ =L' -z *:q!=lgs +=i*--l{--- :)urr:):t '-* (3 + x)(2+ x1

Ig(#)" =,*""*+,, = e5 :nrppE

Page 106: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

E'-i

: r04

- 4,r)tn.)u'lr) Jv JJ> ni)ryE*r )r:rn nx :un) 1nr: x: 1x ti6l€str ).t::it !,,i7 ,) n)tnx-+o J; - cos.r

:ll1tl!

sinx,cosx nlyp)uir . .r -n nn urnr) pr . 6- f +2sinx =liro rq*.,*)

r -+o la_cosx ; ; y (3_?)

:)rp: F)r )r -) a r.n) 15 - o , .ott

- 0 1r)r nrnronJ X

n:n )u )tun :)uuri Jv lJ>nrpt )r:rn nN tun) ilD' nyl . h* (1 * ^f") = 1' -* (3-s) 3

tunnun) nlruox IrN l))t ( rcrD:rll x]t roru x]) or:p rpp lim 1=+ 2gorI

: il.,n)1fl:+a J+sinx

.)urlr) ))t:! r11i7Di'r )r:rn )u tr''i?-tN nrf;l: y:u x) nnr)Jn n:n )rp )r:rn nrrp.rx':r, Dru

s )rtrnx > M ))J e' > xto -v 1> M > A ,uDD lrDD pr,p :h)li1

:l'l'tt]!

M >0 'unn 19Dnt r t )p ' fH 6=1 )un) rn : r . qm{=o ) ) r ) r .p )n ,N 3 ) . , ) rn :x)a e '

* l or : hP t t

n . t : j r r r ) l s i 1 ' rN ) ra rp r r r * runn t r . x> M h , -1 . { . r - r . l ,

e'

. x> M i ) i e r >x to

c )arn? r -) co 'turNl

r' lN 2' .x2 : co -) tnt, .,ti.tp nl1llu irrJp)!! tt,bt

:?l1I]!

= sbtna nn'r:ir nr,r nln* 'r'** trin nN trlrr., m# :)run nx prru

:)tu hun nx run) rNu) ny) . li* 2" 't' ,' e'k2 'r2tu'

. r-+o .tr' =

lt*t;m- =

i*,'"'*th:-:rn:

m?F = 0 -ru E'yr)' r:N . k(rfn 2+2tnx-rtnx) = k"(to Z**=lo")

lt*t(t" z*+g-lnx)= -oe Nt ,.tr -) co .ilDN) -o -) lN),r, !,rl)rpl rrur:n l:)r

: Q -

Page 107: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

105

) . t . x 2 . " x l n ? . r 2 l n rl51qN'nD r' -u n')ln nrt fi*f =

i53:7*- =

l*r"'.thr-;hr - g ?)tl

. 2, .x? luN,! @ -) r ; rn

. z )arn. . fb+h\-2f (a\+ f tu-h\l im r

\ - ' " / - - r - \ ' ' ' r \ ' " ' : f u f l . x=4 i l ' l l i 7 l nn l t f ,D f D t tnygn l r l t / ( J ) , i l nh-+0 h"

:l1111t

r)urlr) )u )):: unnut . h -+ 0 rurx: o -t lN1\D n)tDn lltt ntrtr /(r) n'tp:t!n

, ,_ - . f (a + h ) -2 f (a )+ f (a - h ) , , ._ . f ' (a+ h) - f ' (a - h )r l l t l - - u u t - -h-+o h2 h-+o 2h

=r -f ' -(a+h)+ f ' (a-h)h + o )

t = J " ( . a )

. . f ( a+h \ -2 f ( a \+ f ( a -h \x 4 # ) l } i 1 1 , J ) i t : i 1 ! 1 ) ) i 1 : ' N J 1 ! n i l l 1 1 ' ) f , i . l : y u n : f ' E ' ur r+u h-

il)yi7)t!n nN ltnt) ?r)nn rtX .nDnp ilttN x = a n.tli?)f n)tl\,i,l ntnti.! nNt nllD)l trnp

lN x = 0 artp:: iltt)u ntt)) ItN 'rt ntlP))l) r: nrttn) t1rlN . ,f (x) = I ':' t* + 't *:

lO .x=0j

, , . f (0+h) -2 f (0 )+ f (0 -h) 1 . ..D"Pl t$f f i ) lun

ulg!

.nDt) .r0 nrtpt) r)ln u:l nrr;:: )r: Du irlr)l ro )u nnrron ilfrtDf itllji /(.r) ,nn

. f'(xr) = Z lt'trun tr"pnnl x0 -r n'l'l) /(.r) rx lq /'{r) = f t l:l;i srrp DN

( xo -1nrtly'Tn nl))) Dnt: Ntn il:]rnil lNl ) ]Ttt-Tn )t:l rr:y l'r)) lNrr) rrltDnn :!lI!

9!UE

( nrnrrp lil] ntrEt ) nit:ril )u nuryrrx n)Ttp) rrH a < x S b }rupi'l ,)l nttD /(x) trN

. ( rlpry ) Du rlDn Tnn ln

s )}rn

,x*0!:1 fi

, .x=0

( tl a

, l o t -

,f(x) = j "t0l v\

.nlrn nryp)'15i1 li'll n]l]i?tn l>t f'(x) fun .

Page 108: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

ary

:IIE.!

$/'{r) -r lim/'(1) :ran: . t=! :'yr ny) . x+A .lny (r tl =3r,

. o -) n'lu ),r';ru )ursr) )): nryynx: nr:rn) )i:r -l{p.3r J = |iB+-

; r -+0*; ' t4 e l '

. o -) nttut )xnrrrnt pnrn )tr ptp Nt . fi^ 4u i = lim 4 =0 , nnn lorH:,0- X' t )a e l

106

. o -) nrrur xrnr /'(0) nrp:- or ppliTU nliTun pD) lN)n

rtbnu rrc) nrlit:to )u ntnrlutlrE

: . re [a,b] ! : ) r rx . a<xo<b - rannrr [a ,b] yu i? l t r 'ny! n nr ' t ) - f (x) 'nn

f ( x )= f ( x , , \+ f ' l x r ) ( x - r ' , * , f " ( xo ) ( ' ' f \ ' ) ( v \

l ! Z l . r - r o ) t + . . . + + ( r - xo ) ' + r , ( x )

$Hrl)pnnNun,, xrTt 4(r) nrrplD) . l i*, t ,(t), , =6 . luN)

,_o ( r_ro)"

oluD

[xo,xo +]] ypiT: nllyr -f'(x),.f'(x),...,-f(')(t) nlrrn n n5vt f (x] )iln

. , f t" '(r)n)!rD ntf): nn'p (xo,xo +h)nrnln yppllu nrr)r , ( f*o-h,xo]lup: rx ;

'rD 'll ( (r,.ro) rx I (to,t) ntnsil !up) nyun c nrtpt nD'"P )tN

f ( x \= f ( x^ )+ f ' ( xJ ( x - r ^ ' , * ' f " ( xo ) , ' ' r f " " ( x ' \

t ! Z l . r - ro) '+. . .+ i f l (x-xo)n +&(x)

. ,, ,nu) )u nnxun,, xrir: R"(x) nrrp:u) . &(x) = #,r

- ro)n-' iuNr

lillrirn rtu) /(x) )u nlnu ):p: xo = 0 nrnxn nmtlf I'J) DN

,f(x) = /(0) * {P' * l"(0) "

*. * t';lo' .r' + R,, (x)

ft'Dtil nnDD

.f (x) ;lt!r7r're )u r'ttiln nnuu ):p: , &(x) n'rnun nN nrlt) irr)7n ntrrrlt tux)

: E!)trDn n'.b

f( x\ = /(0) +,f'(0) x +,f"(0) r z *... * f"' (0) r^

i ! 2 l n l

Page 109: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

107

l't'ttizl itNDun n)lyit

'rN (0,r) vupr lf'"."t )l< u -ra p M '.rup6 s,p trN

g )rnn

: l)Nr! !U nnxu ny lil)Pn rtu) ntx:n npliTl]5it nN nn!

.f(x) = cosx 't f (x) = sinx 'f,

f (x) = e' 'R

:l'l'111!

. f (o ' (o )=1 , / (0 )= l l t v t . k=0,1 ,2 , . . . ) ;5 f (k ) (x )=e ' p l t f (x )=s ' 'N

e'= l*** * . . . . .4 +r , (x) :Nr i . rR,rn, !n r r ) l1 ! 2 ! n!

, f (0)=0 t : ) r k=A,1,2. . ' . .nr , f t * ' ( r )=r infr .+) p] ' r ' ) , - f (x)=sinx ' f ,

: *1 Jr)titDt nlrl, tlI-)N rrDD nltnn ,nn, no,u, .oonf nlr, tl'n rrDn ntrtr:n ):t

sinx= r-{.{-*- . .(-r)o-, j++/i ,( .r) : ) : ;r :3! s! 7t (zk- t ) t " '

r ronnt t t r tn) : r , f (0)= | , f 'o ' ( * )=cos[x . { ] , . f (x ' )=cosr ,nn l ' r l l rp f , ' )\ z)""r):pt . tl luttto) nru tlrt rron nnn)il nHt nnry).olH) nrtu rlrr-rx

cosx = t-*-+-4- . .+(-t)* -{ +rrr*,(x)2t 4 t 6 ! tzk) t

z

ln(l+ x) = x -+.+ *-'"

+ (-1)*-' |

* rrt*> , i,D',r i!l*1

arctan x = x -+ -+-...+(-i)o-' *+ rrr(x)3 5 (2k -r)l

( t + x) ' = I + mx * *(ry^: l )

f * . . . * m(m - l ) ' '

; (m' k + 1) xt + 4 (x)

2 l k tE\:tfn nnut:) n)):n nnrron nlrnf ntlnn'tt nnot: .tnu): r\rnD ttDD Ntn r?, 't\rN)

'_ - . x . r ' 1Vl+x = l+;--- .r-rr(x) : SzVl m = I lu), )un).olylu tr t 'Nl l , Et)rryn luy

L J /

+=1-x+ x ' - x '+rr(x) : x3 nylrn)T)rnrntbi ' ' r )un))rpl m=-l l r ) ,1+x

Page 110: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

-

108

to )urn

. f (x) = sin2 x :itrlptlli.l nN xt n;lm) U l)Hr! nrtNu uy nr)pn lu) nnl

:ll1l1D

)u rurr:upn nrnrlr nD \rDnul . sin2 x = *(t - cos 2x) -u, nrlyt \DDn\r)

L

, =2x : ,y r , .o , u = l - t * t uu u t21 4i A+-+6(r/)

: cosr/ i 'r 'YP:)oil

s in2. r=1( t+cos2x) - - ! ( rzr f - (2*)o +{2r)u - (2r ) ' *^ ) : h i r :2 ' , 2 [ 2 4 ! 6 ! g ! ' )

. ) , Z txo 2 tx6 Z 'xgs ln-x=x- - -T*

"

- o

*o p) ]

t t )nrn

. 0Sx<1 ' r rux: 10-5 p\ rn e ' f ,un 'N

.10-i ty n)rln Ppr: rG run'N.PlD ty' lnnonr'f ,

:?11115

e' = l**** . . ' .++ &(x) : '?nr) n ' lxr , t ry ] ; r r )pn r lp) e ' nN nn!) 'Nl ! 2 l n !

: rr.r'pil nner: unnur . &(x) = f)".t'!:) ,n*t - -L -rn+r ruN)(n+1) ! (n+ l ) !

unnun)51: 0<x<l yupr . l& l<10- ' u) r 'n) e* = l*** * - ' - r+1! 2 t n t

l r ' l '. l . - - - r ' * t la-- 1 - 1:) t xn*r <1 -) e ' <et <3 -u nlry l

l (n+ l ) ! l (n+1) !

1r = 7 'rr:p p;rprD r)rx rll'run-'Nu rr:unn nryvDNr Pn:) );r.

(,. rI < 10-' u'r''r'r)

e ' x |+ l+* . . . * : i l r i l r r r ) iTnnnor :1 : ) . rz>8 . , , ,1ysr rpnDr1! 2t 8!

J i =eor=t*0J * 0 . {+ . . .+ Of t - t .O+A,r1 ! 2 t 8 !

Page 111: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

-:=:*:%;:

109

12 rptn

' 0<x<0.r ' ruNl s in ** , - t - r ' r rpr nt)brDp,nn*Du;r)rrr :vrno

:ll'|rl!

' Ro (x) = {P

r' rrrN) , sin x = - - ++

Ro (x) yp,)

sin'5)1c; , l I . o. 15--t-" l. Sf

:Ntn n')ntDi7Di1 nx))un )ru . Ro nN :l.l,pf t)n)til

cos . r ! t -L2

tg )rtrn

:llrpr nNr)un ro = 0 nfrfDf DrNrnln x )u nr:ty t)rx rt:y

i l0-r )y n)rlr n:rH

rl l ln!

ror Jcos(o ' (c ; . I _ l * r l r 1ln, l=l#xof<l-- i' J'

| 4! I- l24l- looo ' v' ' ' '

2

H = im ^,0,3e3 b:;:r 1*:n

- J {x) = xe' nrtp'lit nx ,t:r:) r,,}Nru utr ;.rt);:n .,rrrffi

. 10-3 )y n)ryn pr;r: 0.1.e0.r nx :un ,:

:l'1111!

- f(u) Q)= fr r :) . f 'u) (*) = e' (k + x)g57 le)Nf,,r , J- ' f t ) =e'(r +r), - f(x)=.rer,N

*r ' =4*{* { * { * . . . * t ' * p ri '

I | ' T.- T-

- G:Tf

- "' Tlln)li'l nx ):p: ptl)

ln" frll =le' (n +7 + c)' x"'-f . f ztn + zl' o. rlf; (n+t) ! l l (n+l ) ! I

' l&trll rrx 11y1 ,,

nnur t i : ) r n)3 ' f , , D 'pnn p, l r rn , ,N . l2@+4'a. r l - I

l- ('"tlX l'roo 1'rlr nt)

. 0.1e0r=|*$--T Rr , re, " i .+.* i l ,nn,1,i7n

Page 112: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

%1

110

15 trlu

f (x) = J2+, it)yp)tln )ur rt)nu rru) nrnrE: D')nlNtn trr.trrx nurrlur urur ,N

. .ro - 2 nlpl) :t:on

1

f (x)=:L iltp)'tln )u rt)lu rrp) nrnrlf Dr)l\Dxtit DrttrN nyltN Dt\rl 'f,' J + x

. Xr, = -2 nltirf) :r:On

:11111!

: ) rp : r r=* : ' y : . / (x ) =Jr+x=14*1x2=2.U[161 Drur ] ,N

(e)trrn nN' l ) . *=+ rpx: (1+r) ' )ur rulrruu nrn' l f \Dnn\r) . 2$+t

( t r \ ( t r \2Jt+t =2 ' l t+=r- i r ' * r r l=z ' l t+ l ( " -z) - -=fx-2)r +r , I\ 2 8 ' /

\ 8 ' ' , 120 " )

t=x*2 run: , . f (x)=-1- =- l -=11+r)- r , r3+x 1+(x+2) 1+ t

r ):p:r m = -l rux: (1+ r)' lrl ntnrl: :r, unnul

I

: - -=1- t+ t2 - t3 +4 =1- (x+2)+(x+2) ' - ( x+2)3 + - r ,l+ r

te )arn

. x>0 l>J x-+.h( l+x)<x ' ) pr tpnrru)nrnr ln tyynNtn) tnL

: l lTl!

ln( l+x)=x+4(x) : In( l+x) )u yt l nln' i r unnu) . f(x)=ln( l+x) lnD:

. tn ( l+x)<x p) r .0 <c<x ' l \?Hf , R,=d|p |=- - r ' l ' ' - .02 ! 2 ! . ( l+ c ) '

R, = f " r ( . ,c )* ' = - , r2{ ' aot0 ruN), ln( l+x) =- r - **&(x) ' ru r rn- 3 ! 3 ! . (1+c) ' 2

. *- l< h(t+r) -u )r) lN)D2

t 2r>0 l t i x -+< ln ( l+x)<x :p l ) r t )

2

Page 113: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

l i l

- 17 trrtn. f (q = /'(0) = 0 :iln: . .r €.R !:) nlryr n)')u nrfl: n)l: /(x) ,nn ,N

.xeR 5>J x2- f (x )>_0 ) )n ) tn .xeR 1* f , ( x )< l ,p rn )

. xeR )>> l " f ' { r ) l< t -u l tn : t , xeR ) : )nEryrnrur )unrn :n) l : / (x ) ,nn , r

. x e ̂ R >t> lf (x)-p(r)l= l+l -rr p p(x) uu,)u E"i7 ') n)lnl o l

f (0) =0,. f ' (0)=1 -u l tn) , l ) rnr .xe R )r) nEryr n ' ) lu nrfr) f iVt f (x) ,nn,r

. xeRJ ly , IG t> l+ r , )n l tn .xeR )> l f , ( x )>0 t r ) l

;ilitj5

*,=#*2 rr2rx) , f (x)= f (0)+lflr+n,(x) :t.n!pn lu) nnr: ,x

: ) :p:1:) . xeR 5>5 . f ' (x)<l orr , . / (0) = f , (0)=0 -urpn:

x ' -71x1>0 e f (x)=, f (0)+ f ! ! ) -+.R,(x)<0+0*1 ' " 'i !

' - - r \ - - l - ' - 2 l

. f (x) = -f (0) + f ';(:)

** ,f i(0) ,, + & (x) :lirrpD .rru) nr!) ,l1 ! 2 lr ' (0) f ' (0\ 1'rx . p(r) = ,f(0) *

#r * t )i' r, lno)

I o,,,u(')l=ltP''l=lfl,'r\,,Yn

g'(x)= .f '(rSs'"" +(/ '(x))' 'rr(x) , g'(r)= .f '(x1sr€, rrx. g(x) -erG) lnDt ,l

. xeR 5* g ' ( x )>0 - t ,g ' (0 )=1 ,g (0 )=1 -u ry t r ) lp )n

srtxl -S(O)+#x+R,(x) : l l)pn rru) g(x) - eI(x) nN nyl nn!)1 !

, r r r \ -g(0)+E-, f r+4(x)) l+.r p) .4 =t ' j : , f>0 rux:

xeR

. f (x)- p(x) = 4(x)

, lx 'h, lf G)- p(')l < l-i6

rg )nrnI

v _

s ln . r - x+ - -ttg=t-A : )tun nN run

Page 114: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

E€-fl

i::

:

r12

:llf!!

. r' .rtsin x = y -:- 1- + re (x) :ltNr! flr1Nu Dt, liltpD ilp) sin x ilryi)llln nN nn!)

3! 5 !

:)r:r:rr ilNr)n :'r) nr) m9 = 0 -u yr) rxrn H9 = o rrx)

. x t x ts inx-x+- ;+ru(x) 1 I= [65J-"" = ' - : -S--:+0 X' .r+0 X' 120 120

le zarn

' f (x)=e" n'!P)' l ln nH pt)pn rtu) nno 'N

. .ft't)(O) fun 'N ''l'YD tY JDnDnl 'a

:ll"l115

,r . x' x' x' x'oe ' =L+ -+ -+ -

11 21 3 ! +'. .+

7; + rr :lwt b' )u rur.l:uon ,u nln'5n n''rtyl 'N

l ' lt)i7D ttp) nrnrl: r) DryrTlt'r)N r)lD'r!D Nril )")ir nrnr5f, ttt )u utirnn ':1

6 l

. rrrzi10)=fi,rrra, {f =l 1,,u,ro p:r /l1l(0) Nr' x,, lrunrpnn

Page 115: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

113

11 P15

ilrxi7llo nlrrrn

illTlit

'nriln ( trrnt:rn ) orntpn ur tr inlprlD'rnN: . x0 )u nnrton ilftrur nrurn /(x) rnn

.nrr:u)J"rDil r >>S t f(x)>_f(xJ I , f(x)<f(xr)-u.l).r0 )ur n:r lo56li2DN

( DttrloDpx nntil rN ) jlrtp nnril N1p) trl'rt:rD rN llDtopD nntp:)

D!I'D

. /'("0) = 0 ttN illtp 'n nrqr:: n) u'r r0 -f it'l)ul Jr' nlp)n n:rof ni'uln /(x) ux

il't]li]

xo nr tp: )N' ' l iT l tN . f ' (x)=0 nN.. r0 ' : f i l ' t ) l x0 n l l i r ) i tn f tDln l l ) ln / (x) r ;5

. "nnIIlDD il'n?!"

il'ltril

p*pfiD ox '1:vp) iltrun iltlpt" l*rp) 'lr n'rrp:) . x0 nllp)i'l n]rot n.llnn /(x) r;15

:DtNlflil tlP)D lnH

/(x) )rrr n,lJt)tuD ;tlp: Ntit xo 'N

. ro -f ilr 'n n)rx /(x) 'f

I )rnn

. f {x) = 9{7 -2x3 2vnl'1:r)}uplr nnlp)n )r n* xtn 'x

.J G) = 9Vx' -Zx' 1v psrir) nrrrunn nflti7)n ): nN xln ,:

(nnr t i7 i l }N ' l ' l fD i l x=0 in l i? ) : ) . x f0 , / ' ( . r )=6 .

1I

E

:11'll1!

- 6x2 'N

nr'l)ltluD nl]iD \Dr nryP)lt) 1))'r , x = 1 )rp:t 6.w-6x2 =0 utrr :

. . I = l : I I I N

Nl '1n nr:trn i1tJi7tllit itt x = 0 nlp:r x = 1 nnx nrt)ltyuD nlp) 1rr irryi;)t!) 'l

. x = 0 .r,r =l rrt.1r21 n111p)'nu ur f(x) =gl,lxz -2x3 i.'ryir)t!) l:) .;1rrt)

Page 116: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

tt4

ro -rD !)))t ( ilDt, xo -) r)tH uti )

x : -A ( r ( ro r r :u / ' ( x )<0

xo-d ( r ( ro r r : l / ' ( x )>0

x )r) unn n)ry

. .r )>) unn

. . r

.x 5>J ithy n)!pl'l!n p)t x = 0 :flhx illil: i71 o -) i.ll,n ,r

( lwrpl aroon ryrn ) uopn

xo-6 <x<xo+d n:r fof nr t l / ( r ) ) i ln

.1urp) ilTpn ilt'tp! N'il

E l r r o ( x ( xo *d l : y f ' ( x )>O rN 'N

.trcrpn Elnr)rD "f (x) -, ur x0 ;tliTtf )tN

trll xo ( x ( ro *d l:y f'(x) <0 trN 'f,

.tntirn DlrrDpD f (x) -, u' x0 n.npt: rtN

( ntnrlnr)yl aropn rn:n ) ulun

. (o,b) nln! yupt nlu /(x) ' i ln

. (a .b) -t urnn nlu /(x) rrx r e (a,6) l>) f'(x) > 0 DH ,N

. (o,b) -r unn nrr' /(r) 'rx x e (a,6) l>) f '(x) <0 DN ,l

xe(a,b) 5>l f ' (x) )0 rtx urnn n)ryr (o,b) ntn! yuiTt nln /(r) EN ,N

.(o,b) 5p rp)n yup lxt tnl i l r l l txt ulx) ntru i .urN ntn:nl

x e (a,b) 5>l f'(x) ( 0 rtn \rtrn nt''1't (o ,b) nln! ,ui1 n1n /(x) trN 'l

.(o,b) 19 rpln yep lxr rntnt ?!:Nf, olH) nrru n)rN ntrln,r

2 r'r'ln

)/ = arctan r t) n)tn 'N

n)D y - x" r) n)]i] 'l

:ll111!

,1>)> / '= -= )0 'N-

l+x "

x l>J y '=3xz >0 ' f

. x=1

f'(x) = 6'

3 )n'tn

. f (x) = 9tr1x, - 2x3 ntrp:un )u ltyriTn nntp) Hrn

:ll:!!-l x = 0 :11!rp) nfilun nfitp) tnu ur nryir:u)ur l)tNl 1 )utn:

l ^T-6x' nrrnn )u lnrun nN ltprut Drltonit rrr )) F.rN lno)v.r

Page 117: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

r15

( r l t J i lN ' t ) . x>1 r x x<0 1 t : y n l ' ' n t r 0<x<1 r t : pn ) t yn ty i r : un 1 : )

.x = 1 -f DlprDirnn nlplt x = 0 -: DtDr)rDn n.1p) lrr ntSi::p)U lrtu lry?p) i7rlDD rNtnD

. . / * ( t )=Z , f ^n (O)=0

( t]lrDt DrgDD rNln I U'UD

.ro -t prrpp! il'rtt)l ro illrp)il nfuo: ntrltn "f(x) ,nn

. )D'rptl trlrJrDi?n u'' x0 nrliTtt .'rR /"(.r0) < 0 0)l "f'(x)

= 0 trN 'N

. rEli7D ErDrttn ur r0 i111i'r): rrx /"(ro) > 0 nlt f '(x) = 0 EN ',3

! =xe '

. y ' ( - 1 )=s - t>0 y ' =e ' ( x+2 ) . r o= - l € y '

.rnlPD trln'r)rn \rt

4 tarn

)u irrrpn rfilir) NlD

:l'1111!

-0 , l ' =e ' ( x+1)

.ro = -1 nttP:: 1:tl)

( nrtp) Duun rxtn ) ulun

.-ro -f trlnp! n ilttnl x0 il't1i7ln nf):o: n'l'tltn "f(r) rnn

r l l t - r N ' l ! D D N r n n r x . / ' ( x o ) = . f ' ( x J = . . . = 1 , ' - " ( " 0 ) = 0 , / ( ' ) ( x o ) * 0 - \ ) n r l )

. rDl i rr t t r tnDpl l t rr x0 - : t rx /(")(rb)<0 -t r l l r ' ' t !DDN]i l r?trN .x0 - t j l t rprNrrH

. tDli7D DlntttD iDt x0 -f )lN /(' '(x0) > 0 -t r)il l iDD Ntn r? trN

s )au

: tUHt xo = 0 n]tp)t ilsrp /(x) nrrpl.lc) ur trNn ''ltt?n

f (x) = 2 cos x + r: 'lt

f ( 'x)=2e'-x2 -2x ' l

:111115

. / " (0)=0 , f ' (x )=-Zcasx+2 . / ' (0)=0 , - f ' ( r )=-2s inx*2x 'N

p) r / (o) (0)=2>0, , f (o) ( r )=2cosx . - f " (0)=0, . f * (x )=2s inx

Page 118: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

€sfl-"=;

:116

.rp,lpD It.rDt)rD \Dr Io = 0 ilT1p):

, . f ' (x )=2e ' . - f ' (0)=0 , f ' (x )=2e ' -2 . / ' (0)=0 , . f ' (x )=2e ' -2x-2 'z. ( r:rr-rH i.rDn Rlt))il ) ilrtp IrN l:)r f'(0)+0

.ruo yuit: ory)ntn orntur urnrytr

tr]ntDpD'rtDn \Dr nryp:D) D'1u\r'1'''r,r urun ro) .lo,bl ilD yupt nl,yr /(x) rnn

nlrlPtn ):: nryP:un )u lrvn nx :urn) ur DnrN xryn) r'l: .-lrro yuiTt uru)ntnn Dt6)lnl

x = a fl]llpr n)tpl'lln Dly nN pt::) elorrrr (o,b) nlnon lrDi7n llnt irrrT) nrtrun:r

trlnrtrrsi'l Nln -rnp: lupn llyn] u)ntnn trtD)Di?nn Hln lnlrf, hun y )u 1ln . x = b -1

"f (x) )tu u)ntnn

€ )nrn

. o<. r<1 ,> , L t * t+(1*x)5 <1 ' )n ) rn16

:l]1ll!

, t - l nrru /(x) )u p)ntnn Drnvoirnnu nr:tn) i7rlon. f (x)=x5 +(1-r)5 IDD)1

. -f '(x) = Sxo - 5(1 - x)a :rt]]rDn n'nlpln nN Nvn: . - + nrru u)nrnn trtnr)rDn'l

l o

t lp)n rnn D, rn lDpDn i r ) r / ( l )=1 , / (0 )=1 . f ( i |= *

. *= , r ru / ' ( x )=0

I

hpnnt - - , nnuu)ntnnElnr : rn i l , x= l -1 Jr=0 nspnnl r lp : t ) rpnnt t - )n t tur16

.0<x<1 l t l i < r t+ ( l - x )5<1 p rs )16

T rrltn

11. -<x Se )lupr y =lnx+l )u uru)ntnn DlptltDn nNl Dtptl irDn nN Rln

ex

:ll,]rt!

. y(e)= l+: , y(+)=-1+ e, y( l )= l . x= l € ! ' =0 . y ' =L-+' xx '

I

X = - il'I]p)f)

!=rr,e

b, l< t , r+ !< l+ ] phx

Page 119: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

- _--=:€:- : -.::

117

nlillri, nplirllsl nlltEi, ntryi,]lt:nTt)n

\,x., r), ux (a,D) IrpiTt n.nnp nnriT) y = f(x) . (o,b) puirt ir!'y.r y = f{x) )iln

. 0 < r < I ):) f (*r+(1-r)xr) stf (x,)+(l-t)f (xr) tr))i7nD (a,b) wVl ntr')\ri,r

: [lJtDDlNttil D l)DUDil

/ = 0 ruxl ,nnNft . x2 -t rr nlTliT:n Irf rrpn n1ynJ x = lxt+ (1 - f)x, it1ti?ln

yuprnNtD)n t r ' ) r f n r rp : ) :p :0<r<1 r r :y r x ,nx ) :7 : /= l t ,Ey . x , nx ) :p :

, B ;ntp:n |v y -n ' t ' tyr l r nN nun)u t l r t : lDDn -f(*r+0-r)r :) l ) t . q (x(r" nlnl i t

. 'rntDir )y nxyn:u A ntrprn )u y -n l)y:e 1tn pon tf (x,)+(I-t)f (x,) nxr nnry)tnu'111 r:tyn tnu): ( lntnn by trr ) :nrn) nnnn lrnn Ntn) ntini, itttBtm )ru eyrrn ,rnr):

. (.x,,/("r.,)) -r (r,,/(",)) nl1rp)n

:i]'l1lil

\ ,x, ,), nn (a,b) yup: i l .n)rp nNrp) irr l iT)\ ln .(o,b) yup: n!,t1 y = f (r) , in

0<r<1' ,>, f(rx.,+(r-r)x2) >rf(x,)+(i- r) f(xr) s:rpn' (a,b) witSnrr"un( l'D) nnnn IrDn N!D) "lnt'ln tryln )

nN'li?) n'!l}ri7 i'pxi7)l!'t "ilpE rolt nltap fl4$p:1!' nrnyo) nNli7) i]]]Ep n'tp:l! :fig'hDn ull il'lrDi?"

ntrtnil nrrlil:u )u nrtt:n. C > 0 ):) nlnp u C. f (x) nrtp)lln ,rn nrrnp /(x) DN ,H

.il.t,tDir irrlptl! xrn n,n,tnp n)rlptl! )ul ot:o ,:

! ittlnp nt)n: n) nnrnyl nttlp)t! rnra )u ;r)t:n :ntyn

.n.rlnp g(/(r)) 'ni. l i tni? u=_f(x) -rnhyrnrrnp g(a) trN ,^

.irrllp S(f @) 'rN nrlyp u = f (x) -r n)ryr irrrriT g(il) trN ,1

.nr lyp g(/(x)) ' fNi1lrnp u=f(x) - rnt l ' rnr t ry g(a) on , i . r

.yupn'Int r)nrupnn n)ry nN !:p) n)r:r n:'x (a,b) l,uin nl.rnil /(r) nrs;::u ,r

Page 120: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

=.,=

:;:

118

urua

f'(x) 2 0 ox i'rr EN ( ;lrlyp ) ililnp f @) .(a,b) wVz tr"bye nlu /(:c) ,nn

. xe(a,b) t r , ( / ' ( . r )<o)D!Un

n'!pr'r!ir )ru 1un trN i;'n trN ( n'tyi7 ) nrrnp /(x) tx .(o,b\ yuiTt n.rlfr /(x) 'nn

.tnur)r PtuD) ( nnn6 ) )Yn t)t: x'n:

nlTln

t- = f(x) lru )rnro nliTt NriTl (xo,,f(ro)) n'rrp:) .(o,b) yupt n!)yl -f(x) 'nn

.i]'lUtP tlt il lln'l n]]nP ntyP)lln .r; tt,lnN 13D trN

P9IDD

- f ' (x r )=0r rN. r0 . f t r 'Dy i i . l t ' t )n )y i? l . r i i . ' ' y= f {x )5v ) rn r ln . t t i r :Nr ' (xo , , f (xo) ) EN

'llr llynt ntnrD n!r)nn ilttlrn nttt)nt -f'(x) = 0 oH .ptlDD x) 1x :nr:n rptrl rirt :il'rli'l

.)rnu nrrp: Nrn (xo,.f(xo)) rtx r0 nirp)n

s )urn:Fr']tEi7 rlilnnt )tnrl nntP: xyn

!=xa , l l , = iF , 3 y=xe - ' 'N

:l'l'1ll!

x=2 € ! ' =0 , ! ' =e - ' ( x -2 ) 'N

xo=2 ) ru1 'p r r rnn l l np i l r l p : reR a>5 . x>2 117y ! ' >A l x<2 r r : ! yo<0

.)lnr! ur tt nrlprr N"t,.tr. =2 5v )nnu ryn nlli7t

l))l nn'p N) n,lron rtntil r = 0 ilttpll.D!Nn ;'l)ltrl)Dn n1T))i'1 , ),' =-1L 't9.Vx

, i l r n i , n ryp l l n l ) h y '>0 x>0 1uy ? ) l n ' gu r r i n rp l ronn lpn )u r

.lrnrs nrrir: xtn (0,0) :fl)i7DD .nlli7 n'spl,t!i.l 1:)r y" < 0 x < 0 lt)t

I 'N tn t l np t rnnn t sp lunp ) t x ! : ) y ">0 ' lN ! ' =0 ro=0 i , ! ' =12x2

' t

.)rnro nmpt n)

g rrru

M = max(f (a), f (b)) lnDr . lo,bl 'r)rD lluilr n'nDp / = f (x) 'nn

.xe[a .b ] l * f (x )sM ' )n) ' tn

Page 121: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

_=€+=i

i

:n1n!x= t .a+(1- / ) .b -v l r 0<r< l D"p . ; rN . lo ,b l ! rup)pB;1 rnu) : x rn : t

f ( x ) = . / - ( t .a+( t - r ) .b )s t . " f (a )+ ( t - r )

. f (b )< t . M+( t_ r ) . M = M D,

. x ela,bf b>l f (x) < M ,) ,rln)ln ,:nr):

ro )nrn. x Jzi n,:rrnt E,rnp! nrrn /(x) ,nn

. x Jtl ("f'(r))' s f (x).-f,(x) trN p.r,rtrN inlnp ln/(x) ,) nlrn

:ll'1I,|t

: ilr'Uir n''r'n nN run) . (t" /("t))" > o Dn i?.' trN n.rnp rn./(x) n,rprsn

rt9

rE"Pn' BN i711 oH (ln./("))" >0 p,

. x J* (f,(*))'s-f(x)..f,(x)

. (h,rr"))' = 'f'(x)' {(x'l -.\'f'(l)}'-(f t,)l '

1)ro) , .f ' (x) . f (x)- (.f '(") )' > O

Zaq_l2b = 0 ! :p: ,1,"( l )= g

a =3t ,b =2 I t i t in . - l = s -b

rr )?rnt (t, -t) -: )tnro n.r)p) lrr y = nt - bxr nryilp) a.6 !p ar:ry r?rp rr:11

:ll'1ll!

UJ ' t " t ' l J y ' =2Ax3a- l2bx2 , / ,=5m4 _4bx3

i!r y = Axs -bx4 )ro 1.un br nnyn: (f,_t) irli7);l

.nrta:to )u nrurulnpnn]D)H l]u.tu5ErDt{

f (x) -v nt : ' (TrDtD) xo <x<ro+d ; xo )unr i r r - rnn:rruf n* 'n y=f(x) ,nnNril r = x0 "rt,'vr rn*: rf* -o -) rn co ') nrrru 1im. /(x) DH . x0 -f nrr:lb nrr*

)xnu *n npl\rtnt*'nx rnrn! lnr) ir,,l' r!,r*:. xa.r ! = f (x) )u nrr:x'urulDrD*

. .ro )ut!lD:'N iltnt !trrll-Tnn nt)t:rn tlun lnN ntnElu !{ln nrl:N nutulntx) rN)nl :ir.rDrl

Page 122: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

r20

12-tDil: ( tttt n'rrn: ) nryil:tln )u nlt)lN n\utulDDH Nln

. t im " ' - - .o ,r-rl- f - 1

)t:t t:)rrp )xnru rrn . lim 2-* =.or+0-

l imx ln . r= l im ln t = l im i=

r+0' -*o' (+) r+0- :J

, ) '= x lnx ' l ^- r Xy = 2 ' ' , f y = - ' , N

- 1A - ) .

:ll'1fi!

, . rlim ---- = o .xn = 1 -f nt'tllD N, i'ltypJl!;'l 'Hr + l * X - 1

.nrl)H ;lululDrDN r =1 rurn l l)t

r . ^ - 1

, l im 2-; = 0 . xo = 0 -: nlutn N) ntlP:1!;1 'fr+u

.nr l lp nUtUlntDN x=0 l)) t r l tgtrN

]g. (-t) = o , r0 = 0 -: nr:ltn xt n'iil:tln ')

.nfir]D Nt nryPr!;'r )xnur rvn .r!lD rrlt lrTfrp

.nt)lN nulutDxoN JtN xo = 0 nrtPl: :Dl)'o)

( ntotun ) nD)r nutulnry4

Ig(ff"l -@x+b))=O EH +co llt ')t n'))) nurDln'rrH HriT) / = &1c+b ru',

= Iim ( f (x\ - m\ , a= 5r /(x) :nltrrtn fr\Dtn r)-)), run' lntr b -t an'nr?Dn nNr + t " / r + , . X

.nrr)) nUtUlDrDN ,rH rfN r!\D))N tN trDit N) ),5n nlrtf,lil r)UJD lnN nm!, trN :iltyil

. -co l'tlr)I nululD)DN tr)']fl)D i]Dll j!]Nl

y = S ntpllx i'lululnrDN rtiTl trN rlro 6 gliTr a = 0 EH ::) trrt,

l3 )t)ln

: ( lDt trH ) nltlP)l!n 'll])t nlt))l nlpluDnvgN Nylt

2x2+x- l'f, 1' = _--:-:-- 'N" lx l+ I! =3x+ lnx '1 ! = e ' +2x ' l y =b ' *2*

x

( x -+co '> lx l=r )

:ll'fD

: l-co ll]')f ilululnrDNil trltP Pl1il n)tnn 'N

. . f ( x ) . .2x2+x- l . .2x2+x-1. ct - ltm- = lifil---;-;--r- = iUIl-..--- = -

. i+€ . I r * * x ( l x l+ l ) r+6 x '+x

( ) ' 2 + ' - t ) f - r - l \. b=t i3-U(')-ox)=Hl f f i -2*l=l iml

^ ^ l=- lI lx l+ l .J ' * - \ x+l )

nululnrlnir pl17 j:rlr ny) . +oo lrt)t nyltun nulplntlN Ntit y =2x -1 lu)il l))l

Page 123: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

=1

121

; p)r lrl= -1 ):p: x -) -oo lllN) : -€ l11t):

) :prnnrr rD)Nr, a=r imf(x) =]* 2t+t= l= l im 2x2+x- l - - ,' r+{ x r*: r{ lr l+ I, r.* -x' + x

( ) - z - - - 1 ) f - - - r \=,riq("rrD - *)=,[g[.ffi + zx )=,'lglff.,l

='

. -co tllr)f nyllan itulutnlDx ! = -2x + 1 l:h

fi-(,rr"l*ax) = lim hx =0 , a= 1i1n '/(x) = lir"f ry*2'l= 2 ',r+o'" r+@ X r+q X t**f . tr , )

n!Px1111 . r ;Q i t r ! , n ' lT) ln i t r l iT l l fn . +co l l l ) f nutu iDnoN !=2x 1: ! r

. -cD ll'trl: ilptulDrDN

f(v\ ( o ' \. +€ l l t t) t irutultt tpN I 'N lth l im ' ' t" ' = l iml -+2l= * ')

x ) z Y r + € l v '4 \ o . /

i ru ru rn , ro$ !=2 p) r b= l im e '=L d= l im J ' (x ) = l i ^ ( t ' +Z l=2x 4 4 X r + € \ X

)

. -co l l,p)l nlPtlN

l im( . / ( . r ) -ax )= I im( lnx ) =m, a= 1 ; rn ' / ( x ) = um[Et *3 )=3 , . lr + c \ " r - * \ / '

J - ) @ X ; * ; \ X )

. nytlrD nutplnruN ItN j:)r tr,l? utx D orpnn

14 )t)ln

. !, =A rrb{ )rnr! y = f (x)n,lir:,) U, xo #: il:

.)DlpD D1pr)rp itp tr it1lp:: 'tN )tnr! y = f (x') nryptu} ut Jo ntlp:t DN ')

Ir ll1til: IrNl /'(x0) = 0 -t D*nyD ;.I't'n .y = f (x) nrlp:tlil x0 nr,ti?tl trH 'l

.)tnt! l}r tt n]'ti7)l rtN ?,t!ri7

l im l/(x)l=.o ,tN tr = xor + : o l " ' ' l

ll;n ttx +co l]'lt)l y = f (x\

),= ac + b nutulnrDNil trt

nr))N nutplDrDN nryptl!) lDr ro nrir): trR '1

ttp 5tPllN ilulplDrlx Ntil / = b rrrri't Ex ,i1

i111i2) .lxf t )!) l))N y = -f (x) nrrp:Dn lu

:llll1!

r=0 nrrp:r. n*0 rrry yo=+ + ,r* y=if,t nx )un).nr.r i7rrn)yun,N- 9 Vxx<0 rtt ! , ir irnp nryp)t in i :)t y" >0 r>0 lt l)r.5plp nyx ntt lrr i t ntu)n

. )rnu rrr x = 0 nrrp:: 1:) .nrrlp nrtp)un 1r)r yn < 0

Page 124: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

r22

( 1r'r nx.l). 1, = l*, _al ;trvpt)on )u 1u: !un! 1:rrn: .n,tpll, iltyun ,:

. ( rnliTn DtDr)rn LDr x = _2 nllp)l E) ).rp1;7n Dln):,D \rr i.pyp:tg) x = 2 i.lTlp_)tx= 2 ntrpt: 1:b -nr*p ; 'rrsp,'t!n -2 < x <2 1,ry) nlr ' i , nrtir:ru x > 2 ' l :y,r) rnl.rln)$ E) ur ( _r = _2 -: E)r )

. 1 (.a1= 0 -r x * 0 ,:rr _/(r) = xo cos(f) )un! rrr' .n'pl) n)yu'r ,)Ixn =

,;n'tp:: )ran) .n')r)ra )N n'f,,r'n /("r) nrv;::,rsn o -! tr,rr.,ri, , ,)ry ,':,

l" l. d n:r:o ):: .nr)r)u i l,I i7)1!n u, _ I, trn = brr.;

rtlTtp)tt nrf.t,n n.ryiDtln

ntliT)rln nt nt?ti7)t nrf,lrn ilryi71)on Jnt nl]tp) o:)trt prrtJl t7 )f,.]}r.il:}, xrsn) lnrt.lttrp 'PN x = 0 nlp:: ,) .,M:

tt, . f (0)= 0 _r nr)r)i:r: r lr)1 JlgNi t jDE ri i i i jn nN fpn): ir ] ' t) i ' ] i l t !) x= 0 -t nrrr:n nN f,un) . x * 0 :nv f,(x)=4x3cos(j)_xr sin(|)

( h3 -+ 0 -r oron cos(]) r: ) .f,(0) 1* /(oJ lD */fOl

= ri* rtn.or(*)

_ .,+0 h - f f i - - ; -=,

. . r *0 r ru / " (x) =t2x2cos( f )_6xs in( ] )+cos( | )

.f' {01 = lxil\tv= 6n, afr' cos(*) ta' sin(*) - o _ oh

- v

vzVt f '(x) !u n:nro l:h olx) ,1xrra I 2x2 cos (j) _ 6-r sin (i) rrurfn x _+ 0 .rupl

' r l rv ' rNf nnrv), cos(])=l>0 ) :pr x =* rr ! . cos( i ) r rur f , i r r - )y

*6<x<6 n : r :o ) l l ) :p : n_+co r r rN) . cos ( ] )=_ l<0 ) tV tx

n n)yP,'git ,::::;,. x )rg nut llun.,t tToD ntrn: n) uru nnn) ?lyrp nrp: n) utr )tnro nrrp:

Page 125: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

123

. l im 2* =0 , i i ry- 21 =q .!=2! bun)rnu.n' i i rrDi,r)yun ,.r- r->0-

' r+0"

x t)ly ll:p r1 kl/(tll*

* 'lN nt))N ilululntoN ut x = 0 n'rtptlu lllf , l) DN

Itt ll+ 0 o -) orlrpt pllr)sr

clrulrNf l)rin n)irltNn nplulDruNn nN ltnnt ,D) y = "f (x) )u 1un .n'ti?Ill n)yun 'n

I

. x * 0 )r) nrrrtnn -f (x) =l' sin x )un) rnll .nlll':x

(x2 -+.o -r nnrpn sinx r) ) a = l im f U) =ti* shj = or+a x r+@ x-

[ 1 \

.n ' i?!1n nulDsntoN J. =Q rurn l l l t b =l im(, f (x)-ax)=1S[;rr r )=O

I

x = 2rn nrlp: lltr)tNr of nrru -f (x) = -.sin x -u :) nru

.nilri;) clro)rxr nrrp)rgn cl'r) nlq 1nn) nh)r nylrron noloooti ,irDll ilrNt:!l!!

npl'lt' ntryn: nrrlitDr DU)D

.ill l)nn Elnn 'N

.nl)): nluluintNl nl))N ntutulDrDN 'f

.;.11r1r7;ir)p )ntnnt ntriT nlllit: ,t

. n"rlyP/illtni? ntvpl'lon tri'if trrDlnn nNtJn ,)tnr! nt'rlir) '1

.trrtrti1 trr'itnrnn nlll i?t ' i1

.irrtiT)tin )U 1U ElUU1lryt 1'1;1 grgrlpit )y lnnpn: 'J

rs )atn/ ) ^ \

v = | x- - 3le^ nt l iT) lgi l nN 11i7n- \ t '

:lI[!!

.npftN nrulusnrDN ItN prr x ):) nrrrtD ilrtp)tDil

f ( x \ . . ( r ' - 3 ) r 'l l l t) l ny!]l9n i lp' lutDtlN ItN l l) l lrmi

' j = Im ' - =:oi-t@ x r.* x

( )urrr) )): nrry: ) a =,* 'f(x) = hm (t' -

l) = or-+{ x r-+* y,g-x

Page 126: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

e. - -a

t24

-oo ll'r'lf n'pllN ilDlDlD:lN y = Q lth b =,\E(/("1- *) = ,,1e$3

= o

. xz= l , x r= -J € ! '=0 . y ,= ( * , +2x-31e ,

.n)ry nryp:ron n)H D)Dlnnt 1r)r .r < -3 'tN x > 1 rr:y y' > 0

.DInD)Dre' (1,-2e) nlpt t l : ) .nr : lnrypl lnnfntr , rnnt i : ) r -3<x<l . r r : ! y,<0

.ErDyoiTD ru, (_3,6e-i) nrilr

.14=-Z*J i , 13=-2 - r tE € .V '=0 .yo=(x r+4x- l ) " '

.nlDir n'!i7))Dn n)x oryup: 1:)r r < -2 -16 rN r > -Z+ J5 rr:p y" > 0

nlr lnnn'" :un n ' r f : ) i l ,1)rn). n lyp nrrplr ln p5t -2-. .5. x<-Z+J5 rr : ! y"<0

.)tnrt ur t)* nrrtp:: 1>)t xo -t J3 nt11?tn .llt tfyn: ntn)tr

: Nli] c11)i1 . -),= -3 ill,rp)t J, -n t)yl x = +JT ntliT)l Jr -n rrt n)n,rn n)tpr,r!i.r

( l]lt ilR''l )

t5 ttfln

:rlNti] nr)xurn )y nry 15 )rr'lnt y = (rt -3)r' i'l'ti?t't!i] rr9 ;11rphil )y.lnnpn:

TnN rux) ,nl)'r'rnl r)t pl"n ur (xt -3)r' = r?r nnll\Dnl m )v prlr! r)rH ilt! '6

Z tltJtl tnpit1 rlpn Diltl

t x J>J prrprD (x' -3\e'> n lunlrir-.,H m )u pr:ry ))rN i,rfy ,f,

, (b '4)d rx (at -3) r " :1nt ' r l 'n t r " ' ru ' fn ' )uDnlx . -1< o<b<1 i ln : ' r

Page 127: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t25

*=,€,:

3:l

:i

j

:llr4!

(xt -:)e' = m -J 1:)t x -n .lt) trr)rfpnn trrt\ar ru ilnlun n.lnnn ! = m nNltunil ,N

tr, lr)9) ! = m lutn DH i71l EN t)r)u rnxnt tltn Ellp lnN lufu ,nl))ih! DID i2lrr: ut

'Tttr x Tr)r'u, rrr nnx nrrp:) iuNf , nlriTr rnur iTrnt 1, =(xt -3)t' irrlprln lrl

. -3 < m < A -\, ,llt Tln iltyp:tln ltfn .rlbV x .t!y,U, Un nrr)llri.t nrrp:)tI t ^ \

t r t t iTnt ( t - -JJe '>m l l t ' l t ton- tx1r) t y=-2e Nlnnrypl ! ; . l lUru)ntnnDtnr) rnn , :

. m<-2e trN r ?z:.

, " f (a)>f (b) r tx - l <a<b<1 on ] : ) rn ' r ' r 'p i r r l i l ron -1 <x<l yupf , r

| ' ^ . \ n l r ) ^ \ A. \a ' * 5 )e" > \b-

- r )e" n- 'DrN nNr

l7 tnlR

II lx)= Inx-r- nt]p)t!n RN Ti7n 'H

? x > 0 )r) E'Dnr xln x +l > mx ittrun-'N m ruDr! )u rrrtt tbrn lfp ,l

:l]1lllE

. . ( . i \ - r l l r + l ^l iml lnx+- l= l im - - - - ' - ' : =0 : f i r ) )N i tu ' lu l l l rpN p ln: . x>0 Rl i l n t t )n i t t r tnn,N

r + 0 " \ X ) r + 0 ' X

.nr))N ilu]ulDrDN i't 't 't i. ' l|1 x=0 .,rtrril l)t,r l imxlnx=0 rf

, . f (x) , . (n , l \. 4= i l r t := l i f f i l - * - ; l=0 :n r ) ) : nu t lDDN ugn l

reo .f r+o \ ._T X" )

/ r \.nr)rl nutulnlon IrN :il lpDD .p'p N) b i:)r l irnl hx+: i = co. b = lim(/(x)_tr)r + e \ X ) r - r \ " "

1 10<x <1 ' t t : yn t r t t r x>1 1 :y n ) . t y i pyp ) t s i t . x = l € ) , , =0 y , = l -+

xx

.r61i?n Dtn,)rn !,, (1.1) nli?)t llrl

. . ) _xx>2 i t t yn l y iT t 0<x<2 r t r yn . l tDp ; . r t l p ) l ! i . l . x=2 € ! , =0 . y ,= " - , -

x'

( tlry ilNl ) .)rnrl t)) .tr = 2 nftirt:r

Page 128: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t26

tr'')!1) Dt)'tPtltl: l)t]

' m< \

1hx+l > m l l t l l la i l rx) ) tpu x lnx+l> mx l l l l lun' tn

X

,r1 prrpp i1x + L, * lltl lun'tN m <l '111y t) 111f

Page 129: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t27

12 p1'

trttpp rnrf, ):rutrn

il1.tlil)>l F'(x)= -f (x) DN D')DD wpz f (x) )u,nnnp nr!p))r',xrp: F(x) nryi::rl)

.)ltJi7) 1tt19x x )U lfy

. it.illilI t , t '

JJ Glm lnu]l "ErrEn rn):n )rlurrnn" Nrir .f (x) lv nrD'ni?ir nrryp)rii.r ): )u lorHb.tnub lr:p c rurn: f-f G)a, = F(x) + c rrx rnu): i.rnrriT n,'yi7)n x,n ,F(x) nx

: -lD \ttD]llNl y]]l n"t]rnn ltnnF | . . l

, Jf 'G)dx = .f (x)+C (Jff.r ldx) = f (x)? ,

J(/ t.r.t t g(r)) ffi = J J (.r)dr + JSt;lar.rrl;: A )>) lt. 761a, = e. [.f txtdx

:DttlrD Dr)ltulrN

n+-r 1* lx'dx=fi*, , !a*=x*C , laar=c, Io'*=**, , Ir '*=e''+C , i+=hixl+C

| 3 -= ' I

Jcos rx tan .x+C , Jcosxdx=s inx+C , j s i nxdx=-cosx+C

, !#=arcsinr+c , I#=arctanx+C , J# =-ctsxtc

[tS) d,,= h l,f(x)l + c" I \x)

t )arn.ilnni2 n.):p)]! irN ( o)rDn .nyn ) y = [r] nrrp:u) r) nil;l

:111r|!

nllttlnx nnli7) ur .}l = [x] nrrp:ub . F'(x) =

[x] -u p F(x) nn)ri7 D n)r]v.r: nr:r

P't ut F'(t) ntn:il nryir:tglu Ery.nr t)N ))r, TyD . ( n)ra llpD Rtit .r .,llrN)) lllrxl )lDD

! nltnD - . r)u )toD n)lryl-rN

Page 130: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

128

( nntrp n'lP:l! g1t;2) 7t9pp tNtn ) ulun

.ilnni7 nt!i7tl! n) ur rx nlrt'l /(x) DN

2>')u

:trrttlD)tNil nN f\rn

. ?

c cos.rdx , (2x '+31-f - ' : l ! . - - -=ad r 'NJ lO+s inx r x '

r dt r e'dxl - ' - f l - ' jJ \ + e r J L + e '

:111fi1

' {2x '+- ; } - r4xa * l2 l }2a, r= ( or*9*e. . , [ =2x2 +r2 ln lx l+2r1+g ,NJT* '=J- ' , J \ x /

- . , r -z

, lI!),6"r= hl/1x;l+c nnol:r unnur ph ilr)nn bu nrrr: Nril n)rnir ,r' f(x)

f#+ = h(to+sinx)+c' l u + s l n x

. ltQa-=hl/tr)l+c nnor)f,unnu) r'ru) 'r' J$ )

#= I;t4= I#=-h(1+e-')+c "I

I#=n(l +e')+C

Jsin'x& '1

Jsin 5xcos xdr 'r

s Zarnr ?tlul:Nn nN f,\Dn

r2x +3 -'f F--A

'Nr , r + l

F ,'1 Jsm- xaf i1

. ) v t 7

l-i--:4x' - T - + l

r d:tI .' sll1 .lr

frp= Jq*al * = {r.*F, = 2x +inlx+l1+c

f# = [#f. J*/., = h (,' + 1) + arctan.x + c

Jsin 5rcosxdx = if(rtn

6x+ sin 4xpx =-I*r6, - |cosax+c

,;

:il'fle

'N

Page 131: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

129

I,' ' xtu = IYY*= I[1 - *. o,z,)a* = ;-Y * "

. cos' r - 1+ cos2x

nnrf, trrrrnnun cost x )u )uu:rNn fturn) ,nDT'r J!rN:2

I* j * = J sin r. (l - cos" fu =Jsrn xd - J sin r cos' x& = - c'ost * 99f * c

I dx = l & _;s in j+cos ' ; *_ 1 ;s in i *+! fTt l r *=J s in r J 2s in icos i r 2s in icos i 2 r cos i 2J s in*

= -lnlcos;l+hlsin+l+c = hltanil+c

Dt?!n rO) nrX'UU:rx

J/'tr)str)&= f (x')str)-fftr) g'(x)&+c 'rR, nl!'rl f'(*),g'(x) nlnn

!e. sinxfu '1

+ tp.tt]

:trrrl)u)tNil nH :un

[t"* ,)

Io' ' * 'a

!x' ln x& 'N

:ll'lD!

I r' tn *= I(+i -tn x&= {-. In r - j +. W = +.t', x - i ! f ar= +' k' x - }' t + c'x

P P r , t ' f .

!e ' 'x&=J(t ' ) 'x&=e' 'x- le ' '1&=e'x-e ' +C'r

! t "*=Jtr) ' . lnxtu= xlnt- l t 'p= r lnr -x+C ' )

t = It sinxdr=J("')' sinx&=e'sin t-lr' ccsxdr :ltl lo) 'r

f . r - . f .

le' cosx& = e' cosr +J e'sin xfu :vibn rc) :un: J e' cos x& )ttvt'Nil nN

. I =e' s inr-1-e'cosr )rp:t ' t t1:rn J ' l t ] lur1' l t i lN!]n :49t

1

. I =*r ' (s inx-cosx)+C St i t tL

ilfJir nltyt ntyllprtt{

n:tr: n)y:t unn ( nl'n' 'lN ) n)ry r = p(t) -u n':J) (o,b) rop, no'rr l(x) 'nn

I f O>a* =[ f (r<rl\p'g1at rN, d <aO<h -vr, (q,fr) vuprnn'r,

p nr-hrt t = g-t (x) n)rlir ipvp;p xtvp) Jntru iln\tf1 x = A(t) fu nl'llulllD :?1!i1

. .r t1l7rr1 n:nun) rtinl

Page 132: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

€:::;

130

t fut -r Ji *{i

r dxt -J t* Jt+x

rtans xdxt ,' cos- .r

s )nrn:trtrllu:rNir nN fun

f r -1 .lx 'e- dx 'N

J

:ll'lll!

:ll1ll!

r1p /=g(x) t rNut in f ty t lN) t )uDnun ) d t=3x2e"dx r tn , /=e" t ) ! ) 'N

F ^ , I n I 1 '

lx 'e ' dx =, ldt=:+ C =; t ' +C 1>5 .( dt = g ' (x)dx Rrn t ru )Nrt)ror l i r. J J

c ransxdx r r , t 6 tm fx If ____ ;_= l t ' i l =_=C '=_=C ' € d t=_ .__ fu e /= tan l l ! ! ) ' fJ cos ' . r J 6 6 cos 'x

: jN)1 l , dx=tdt € 2dx=2tdt € l+2x=t2 € .J14y=1 f )e) ' l

I - f : =l*=l l t ! :Jav= [( t-*)dt=/- ln(r+r) +C=r1+J l+2x t7+ t J 1+r r '

= 2J; - 3tF + 6Vi * 6ln(t/i + 1) + c

6 ttrln

- | ^ ,:]r?Nr .I =

!"f (x)dx )trulrxn nN l\Dn

f (x )=e# f (x)=.I;..fr 'l f (x)=Jl l 'N

=.tT+2;-tn(i + Ji + zx ) + c

r & r6 t5d t - r t 3d t

hF;G : J;#=6Jff i € dx=6rsdt 'rN,( r>0 ; , x=r6 I ' r) '1

tr:r --]-- nrNur t2 -t +l ):pt t+l -f 13 nrl)nn nx p)nru ,rnx

6ly=o( i - r+ l - f I , =Zt3 -3t2 +6r-6rn(r+ l )+C=r1+r r \ t+ l )

) rp:r e"dx=2tdt € e ' - l=t2 € t=l le ' - l : r r ) 'N

.2 s.

I =2I#= Z I(t -#Y, =Zt -2arctant *C =z'[d -r -2arctanJi-t *C

. Ztdtcl)c = ---:

l + t "

&=Z( t - \a t € y=( r - l ) ' € l+ . ,G=1 r 'y ) ' r

Page 133: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

131

r =zl7 -\.ltat =yi -1ti +c =+(r.f)i -f (r* Ji)} *c

nlr)rf l l1n5nt)ru:rx . I =2le'.tdt . &=2tcit € x=t2 € Ji=t l 'yr /:

I =2(Jir& -e&\+C ltVt .,t4 )r5n: 6,7fn ro! i l ,r.uu),N

( urnt::)tr P(x),Qg) ruxt ) :!t nrrllm nrryarn !u orluurrxQ$)

7 ?rlln

:)'r:u:lNil nH :ufl

r&a&J ra.zr-ro

'r J--; -

'N

:ll.!ri

EtDr.r)t prrrp ---1- 11pn )u n))nil | , e -= [

& ,*(x - l ) ( .x -Z) rx ' -5r+6 J(*_1Xx_2)

=A B(x_l)(x_Z) ,_i*A

:Dn))tD! on:ra 9u trl)o: lfrril nN t'en) prt 1:)t pllprl)

lrtrrr l4$ trx. l= A(x-1)+B(x-Z) r f:)ra yf,D lllnNn jr'IrD .E?y.r:PB-r A rrax:

. A=7 - t B= - l nnxnn : l tV t x=2 - t r= l n l

I'ilrt hPrt l= A(x-l)+B(x-2i prrran :r.lriN -1111n: rr nrpon! r,:n) inrr. A=1 ' t B= -1 lmn r -A -zB= l r , z ' t A+B=0 p ) r 1 = (A+B)x+ ( -A -zB )

i --g - =l & -- l+=lnlr-zl- lnlx-r l+c :pr),of' ( . r - lXx -2 ) J x -2 J r - i ^ "1* - l

(r+t)2 +9 :? r]lJ']i1 nN !'r9'1r ph urnrrr) pllnn rlrn xt +2x +L0 trr)r51!i1 ,f

t :L-=l &= =!l e l ,- , \J x, +zx+to

- J (r+U' +9 =tJ

("ilt; = -arc'tan('*)*c :f))

:trrt'uJtNn ffi

S?x';zx-z* ,) ltl -]i*t* ,7 ; (sx++)a' ,Nr x - - x r ( x_ l ) , . r J ( r_ l ) ( x+2 )

Page 134: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

132

:llln!

sx+'4= A(x+z)+B(r-l) € ffi =fi*ft ,"

: )uu)rnn nx:urnb ) :u ny: . A=3,8=2 ) :p t t x =-Z - t x= l f , t t l

' [ , ( t ' ,#4. =31 L+{4= 3lnlx-t l+2lnlx +zl+c' ( r - l ) ( x+2) J r - l r x+2

:Etr91r9! Eplfu nut)url p'rlnD ]:lril rt Drnt)D ))N ltt't

5xz -7x+3= Ax+B(x-1)r+C(r-l)2 l lol l .

A=1 ,8 =2 ,C =3 lZpy x = -7 - t r = 1

(x - l)' Dlun nN )DD n:)D;t ':

5 x t - 7 r + 3 A B C--- = ------.:-+-+-(x - l ) ' . . t ( r - l ) ' r - l r

, x = 0 )un) ltrnxn l'l)'l'llr:, ItJl

x - I

9 t)lln

.pDp)n tr'1fu? il1!

Ssf" -l-y+t*= - I

; * ztnlx-rl+3lnlxl+C n5I ( r - l ) ' . x x - l | |

rnrvD: il)D1, tr'D)Nn ')u t'!)', '1nN , ':' -,?i-4

= A n

u - *+ Dtult ')-

x ( r+ l ) ( r -1) x x+1 x-1

nN nrn l l ' l rrf rry) . 2x2 *2x-2= A(x-1)(r+1)+Bx(r- l)+Cx(x+1) ):p:

: t r l t r l l p t l A=2 ,8=1 ,C= '7 l : p l t x=0 , x=1 , x= -1 t rD l r i 1

F#% = rl+* I#- *= zrnlxl +h lx +rl - h lr -rl +c

( r '+ t ) ' ( r+ t )

:111t1!

r - l Ax+B Cx+D E:_ - - - -

- - - -3 T- - ; -T- : ; ; - ; : ; ; : ' l i

( x '+ t ) ' ( r+1) (x '+ t ) ' x - +1 x+1

r- l = ( l r+B)(r+1)+(Cx+D)(x2 +l f ix+1)+E(x'? +1)2 ] :pr

A=1,8.= 0,C =!,n = -tr,E= -]- trp, D'f lu'n )1nH' 2 '2 '2

Page 135: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

__--,.:=g_r=:i

f

133

10 ttr]n

" 0=1 -lD nn)tnn/ irn)

;rrnlruyN n1!) rrruyNn nN runr nyl. I = fitn *\' '** rtN , 1= JA ioo,

, r= f f in") ; . 1 ar=rn.r . I - t r " . , [ - . ! - ' l ' *=r- [ t , " , tu, . 'grp)n)Jw hx l nx i [ l nx l I x ( l nx ) ,

0= l r ) l : n ) l n , l l t rH I= I+ I H t , I = l+ [ 3 - 1 r ! rJ x lnx

! nNtlun RN H3n

Page 136: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

134

13 inrtrttunn )tlutrxn

orunn )uu:rxn nttln

:Nlit JttNt a < x< b yui:n )rp T n;:r)n rrrD. a 1x1b rtroyuptn.' l t i lb .f(r) rnn

. i =1 ,2 r . . . r f f t t gN f Ax , =4 - x ,_ r iDo l ] 4=xo ( x r l xz

:El])Di'r RN lry))) c, e [xr-r,x,] nrril: )nl'F'tu lltNf 1nf,) fx,_r,x,] orW;:nn rnx )::

r , 1 . , \ , + - .f4.rj pupl / (.r) )u lD'] D])D " H']i7) nrn or>p) . o = LJ (c,)M,

t= l

n

. ci n)l]p);'l ntrnr:) niTlrnn;lrx: rr)n o =lf {c,)Ar, oDunu r) uru:!1X!r= l

. 1()= mar<(Ar1,Axr,...,Ar, ) iDD:

ci nr lp:)unrn:2>l t ) , (T)<6 ylprrpDi ' tTnpr)n)r)up d>0 unp s>0 r) t t rN

nJ f (x) !u artunn )ttu:rxn Ntn i -u 'tnn)l ,I = .li{n^ o 'lDD) 'rN lo

- Il< t srpiD)(T \-+0

b

xrp: /(x1 n,rplr!)l lf OVr -t lntN ll!D) ulp E)nrN nrn )run nx .Io,nl yu!?t jD'la

6 -? -:^

. l f (xldx =lim ) , f (c,)Lx, :tr)prJ " t + 0 4 'A t = l

." lo,bf )lupr iDtr 15) nr!r1'11111t51"

9llrD

ilD]Dn [til\, Nril [a,b] wp:1nrr rl? pr)r11lelp nriln /(x) ilrrp)l!ilr, rn'l)n rNrn

. [a,b] rrui::

ifr?il

rnu)> npr)n t 'nnt [a,b] W;r: nnron /(x) 'nn

ily', = sup f(x), ffii= inf ,,f(r) lno)re[r,-, ,... ]

re[rr-r 'rr I

n

f(7) = Z*,M, :Jrrnnir Dr)Dnr S1f; = ZtU,At, :nrl )u I')yil trlrDn 'rr))

c t=xo<q < xz1 ' . . 1x r -b

r= l

Page 137: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

_re+....

t l

. t :

i 35

utub

e>0 J>IEHn')'f,r:u)'N ipnn /(r) 'rx. [a,b] yuiTr nnrcnr nrrltn /(x) tnn

. lsfrl-l(n|." -u 1r r irirr)n nn'p

( nrtr:rmtrx) lnn r*rn ) ulun

EH i7'n nx [a,6J -: lnrt rs) yr)r11e]'N nryp)'r!;r trx . [a,D] lu;:: nrrltn /1x) riln

:trrttlil trrN)nil t:u nN n,yrPE Nrn

.[o,b7 -r i lnlon f (x) .t

a.- suD f(x\- inf f(x\ rrrNr fimt atfu- =0 .z' , .P, i . , l " ;c l ' ' - ' ' '1" ' t 'o 4

r barnhf ,

l k td r=k(b-a) r tx a<x<b | t : , . f (x ' )=k uprunf , r i ' r 'N;

prr) j1ry1 .r D' '1, t r : t t / (x)=0 :Nt i . r l ! )Nf a <xlb yuptnt]) tn - f(x) 'nn , :

ilrsiTltln 'rl nl;t , ( nhrtn nrliTJt! ) .D)rrlt)t"trN .x ,)ty 1tf)' "f(x)

= I -t

.1nrr ro) pr);11111;p ;11'r;.1

' :Il'll1!

ilI

c , € [ r ,_ l , r , l -u n ' ] l t aSx< b ]u rn rp ] ) n iT t )n a=xa < I < x , < . ' . "Kxn= & rnn ' ! t

+ - n n: : i r r ph o =l f (c,)At, =I t l r , =fr IAx, = k(b-a') ' rR, r ;1py1 tr ; ' ) ' tn l r i?)

t=l i=l t=i

b h

. frat=lirql kM, - k(b-a) .u)|

;-o L=,

,i1D'r'I lDtxf . ct = 0 fNt nrt)r)rtr Irnru 'l) cj ntrtp:n nx T npr)n )r: rtn:) ))'u frnn 'f

i:)t olp l:'X .lim^o prl) . o = 1 lpt 1y)1pypp c, nlTlPJ rtnr) T nptln ):: ):t:) . (T)+0

.1Drt r!) nr)r11p1r11 n)rN nryir)l9il

pleq

.1nl rl) pr)r11;plp tlrD yuiTf ;'ltrJl ;''llri7)'r! 'N

.tru nr)rfi:p)rN yupf nltly'r-'N ntltiT) bu rtro uon n)y:t itulDn iltll?)lt 'l

.lt nr)t:t)o:rx luD yuiTf nDlp.ttln i'ptil:i! 'l

Page 138: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

136

nr?rtf ir .urrN f(x)tg(x) nl 'yiT)tenDr ' tN [a,b]-tnp)r11lplp .f(x),SG) trN ,N

b b b

. I(tA>ts('))rto = lf {tld't lsl)dx :tr"i2nDr trr')

.prrpfiEl EunDr::lutrx c.f(x) or trx [o,&]

.:nr]rtr)ut'n ,f(x) trN ,r,

h b

1 rnu): y'ni7 'uob c lrn) ) , [c. f (x)dx = " lf G)a*

J J

x e[a,bf >r> lf t ll2 M -v 1) M> 0 uon o*p, [o,ni-r nr)r:uu:,n ,,r, on

.lo,bJ,: nr)r:uu:'n + D) 'rNf (x)

pr)r:11plp /(y) 'rH [a ,tf , lt ,bf ., pr)r1.1lplp Jr(a) i1']pllenr a < c <b ou

' ! la>a* ='[ft. '{,* *'1-r{rl*,p,,pnnr [a,]] yu;71

. J,rtr)ar = o , ff t*)at = - lf {ia" 'iNa h o

'rx x e [a,b] ,>, f (x) < g(x) -r fa,bl -z

fa,bl -tn,)r:1pllq /(x) ox

n1rlr111elrp f (x),sG) trN

b b

lroy* < [sl)axb

lJ'Gla* >0 rx xela,bl 2>5 f(fl>a -r la,b\ -t1r)r11;e1rp /(x) ox ,lJ "

' L ' J - . r \ / -

t . , _ Jo

lrrH:orx)ilr 'rrrir)'N f(x)-t xefa,bf ,>, f(x)>O .r la,bf -znl'rr /(r) DH,n

bP

lf (x)& > 0 'rN 'nrilr;

l b I r

lJfOWl< Jlft"l@ -t uuntb,ruulx l,r(")l olrx la,bl -tprlrl'11131,p /(x)ox 'ul a I a

.pr;rrD 'rx r . [o,b] h, K < -f (x) < M -t [a,b]

9!pn

-l nr)r:rlu:tH "f(x)

nx

b

[ t t>*sM.(b-a)K' (b - a ) <

Page 139: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

_ret

z

===:

137

( DrpttNn ytlppil Try i uslDp

b

I rr*t&-

, ^ = -f lc) -ta p [a,b] !ui:) pp;1 c llDD D"7 'tN [a,b]

't' nl'vr /(x) axo -a

' z )arnrp)n :ruir ):: nr)rluu:'x /(x) DH : ''11!it tN nft;t ,lo,bl vui:: nr.lnn /(.r) 'iln ,N

. lo,bl -1 5r)r111pyx ,f(x) ttn a < a < p <b ''n R) , 1", fl lt)D

xe[o,t] 521 f(x)>0 -r [O,t] rrup:;nrr nr]r:uulx / ax :.fr! i1 lN nltir ' l

. x e [0. i] )r) /(:r) = s 'fN 'lrr*r*=

o Drr;

ur x e [0,1j ):] /(x) > 0 -r [O,t] -: nryr /(x) DN 'r

. [O,t] rupn )r: ]nrnt l! 'rN: f (x)=0 'rN

[ - t , t ] -1pr l r l1 l r9 l1nt tN / r t r x=0 - f t )u) tDEnl l r t . t , rpn l tp lur j f - ] t i i ' i

:lllll

, i f .x*on)'N nryit) l ln. [o, l ] rupr f(x) = l ,x

) 'v 1- v )un! 'rn:r :nr)r i l rrN i l lyun'N

[0 , r=0 '

l" , Fj yup )>: 5r)r:l:plp iltyp:tln r)u ltn . ilDtDn x) xrn rl ln't r9) 1r)r11lplp

.0<a<B<1 ruHr

/ r \ Il l lH ln ' t r r rN, " f l i l= t . r x * ; ,> , f (x )=0 n 'y i : : ren) ran) .n ) t : tn t tNn lypn ' f- \2 )

2

l" fOpr=0 tr)r xe[O.t ] J>, f (x)>0 -r [O,t ] - :n,)r11;plpx'n.0-) rnrnr0

1:) t n l r r t f (x) . xoe[0,1J . rux: f (xJ=lo)0 -ru )un)n' : t .n) , r ) ) i1)yui t ' )

m=n in f (x ) IDD: . . r0 -6<xcxo+d l> ) f ( x )>O -u 1 rd>0 E"p:e[ra -d,:o +6]

I &* t &+5

[f{r)*= lft*l** !fov**

I

lf t*)d* =o0

t r , ,+da .

I f(x)dx> | f(xldx . m>0 ') .nrtJ '

4+6 xa- |0 .ro -d

Page 140: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

1 xo+d

[O, f ] ]upr ' )p 'o) tx)n. l f t * )*rO p)t I t<4at>m.26>A tN0 ro-d

' f (x)=A I 'bn

itnnirit itryirnoill EnDnil rllutrNir pf luirit

OlIDD

.lo,bl-r n!'v'r F(x) = '[f

t)a, n'ri7)'ron ,rH [a,b] -: nr)rruu:,H /(x) trN 'Ho

n'yp)r!n ,no'rr /(x) n:ra x nrrpr ):: .[o,b] -r nr)r:uurrx /(x) 'nn 'f

. F'(x) = .f (x) It',r.nD;.r nn nplpnl nrru F(x) ='[7tilat;

.rhrurrxit ilfunil 2ujrlgil Diunn

nrlp)tliltrx [o,b] -: itlrtt /(.r) nx.nDni] nrtp)tr nnr]p n!ry.t nrrp:u )r]

. f {x) )u nnnp nryp)l! x,n F(x) ='!f G)ata

llu,rr) prtf*) nnpt)

plprn rtn .n)u it,l l lp ntrir:u G(x) 'nnr [o,b] y\rpt il lttt .f(x) 'nn

b| . , ,l f @e4(b)-G\a)

otpln tol nryuuttx

' lrn [a,b] yppr nr!r] ' t nrrrr: nr!y: .f(x),g(x) un

b b b

I r'r4g61dx - f (x)s(')l - lf {*)gtD*J "

\ / e ' r ' o \

a a

ill:n nllyf iltyuulrH

-ra p [a,/] yuirr n!']1 n'lnl n)y: x= g(t) 'nm [a,b] yuiTt i l ! ' lr,f(x)'nn

' 'rH [o,b] yui2r D'NrDr g(t) ]u or:rynr g(a) = a, g(f) = b

b t t

lroya* = lf {rt))g'(t)dt

a

!tF

II

Page 141: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t39

i=,*fu=; N"',

;=j#FT='a 3

: 3 I t x l - zx6<3 .e3 , re i

g )trn

'N : rf F)'lil

: =+ (ro-6y.'i--A- .!.r,2 4 - i*s@1s; '( to-o)=s 1:bru)ntn Dtnrlrn urt 0 <.r < 3 ypirr nr'En r' - 2x nryp:*b r: nrxrn? nup N, ,f

. -1< xt -2x <3 N,,r , (_,,:) nrtiT:r u)nrn trrDtr;7nr (r,_r) nrprla 3

)= ! t " - " *<3 'e3 1r ,o) r 0<r<3 l ,up: !<r , ' -2 , .u , r ,b

I tntr )rtt I ='!r, 'd, , , =tyr, *

o )rrn

:Ertt)U))Nn r)rgp ntrg

: i l1I|0' r i < r | l : ) r (n rpnnn l ; : ) : i l rE 'pnDi r rn t ) ; r ) 13<x2 ,0 {x< i ) ru i l :

J < I 1:rl)

s ).?:n:|11ltr -r\rlp ltrltur-,N n),tn . [o,bI yrriT: nl't1 .f (x) ,g(r) -, irnr

b

J(n's(x) +,/(*))' ,k > 0 or 1:h n runrln )ru 1rr !r)a

b

ol ."!s, {r)dx + zm.'! f ro sa1* *01 f, t )dx > a

b. f t h. , t= Jg 'G)dx ,n= [ f7)s l )dr

I'lt,nrn*l=Fr,t" W:lllll!

/ ^lm.sV)+l( - r ) ) - >0

t:pt orrlrton nn'ng ,tnN

bf - r

,L= JJ -G)& jED la

Page 142: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

140

RTDTHD ,\\D . rn )ur 1'D ,)t tr,pnb ruN Am2 +2Bm+c >0 ,yl:,.r irrlur-rx r:):,i:

r :):rp $x , (za)' - 4AC .0 trN pl l trN n j>j Am2 +2Bm+ c > 0 ,n,)1),n

l^or,-,*l,FaF;c )rltn

I t--' . - 1 1 ,

f Vl+.r*rer < + 'f y''l))1, ,rrD1p llrplr)-rp nryyDN: n)lni3

rll'lf1!

:r\DlP lfi\lt-'Nt unnU)'t g(x) = i -t .f (x) =Jt -,- lnol

I - ii--_ l-- -r

JJr* xr dx <. i [ (r** ' )d". . i [ t , 6c - ̂ / "*{ l - v]0t vt ' ,

Yd 1 elo 3

z )arni

. Elyf,u n , ft ,\)J [sin(ru) cos(ftx)dr = 0 ,f, n)ril ,N-",

11 <x(4 wVt f(x)= r+;+ n'! i7)l! i i )ru yyrnnn.i. l!, f,un,f,

/\t x

:l'l'lfib

sin a cos p = +.(sin(a + F) +sin(a - /)) :nnur:: unn\r) ,N' 2 \ \

ol ' 1

o' 1 E'

I sin(nx)cos(ftx)dr = L" Isin( n+ k]xdx+]. Isin(n _ k)xdx =J 2 J \ ' - ' - r - - - - - 2 _ J _

( n+k t t l t , ) = -cos( f t+n)x -cos(n- f t ) r 1 " =o2(k + n) 2(n - k) t-t

o r . 1 ' ,

Jsin(nx)cos(nx)&=f fsin(2nx)tu--cos(2nr) l"_ =0 )zvt n=k 1ry2 j- 4n t-r

; ):p: 1r) +'lfavt nrn [a,D] wp: /(x) )ro vrrnnn r.,r], rl)r) ,rb-a ^

*['.#Y=+[+."): =T

Page 143: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

1

t4l

I tnrn:DrltlultNil nN fun

" r ful - t N| -/ r " /1+ lnx

dx=dt , x+Z=t f,r) ,'bfu=tffi ,f,

:llLl

nHc l r )1 i1 r , r f i - f u =4 r tp , /= l+ lnx f t ! ) 'Nx

):il: x = 1 lf! :iptrto:tnn )u nt)tun nnnnn

. t =2 l ) ) t f = l+ l ne=2 ) : p : x=e 11 : !

0

, x=0=+/=0 , cosx&=dt

f(t-,'Y,=1

| | (x)dx ={)

9 ,rl.ln

rrN -a 3 x < q yvp) ntr'n-rxl notvr /(x) trNu n)tn 'N

'. xt dxl-_ tun ' l

_'13+cosx

i" o" ,&= ,, ,t__

A ,lJcos'x&

'1 ho , o ,+Jx i * '+4x+5

,r:)'ot )uu:rxn lmt n)nuDil

. t = l l r ) t 1+ ln1= /

. x=2* t=4 , r =0 * f =2 : n t ) t unnNnnY l l :

'{-T + -=oS-4!-=*ctaorll =arctan4 -arctan2 )rp:

i * ' *4x+5 l l+ t -

x=4+ t=2 , r =0= ) /= A , dx=Z td t , x= t2 x " t . , 1 , 8= f 1 l ) f l

'y B= ='g,'' tud, = 2'1,1 d = 2'(,,-, *, - J-la, = r(,) -l *,- rn lr * dl' = :[! - 6 3lj t +Jx j i * r ! 1+ t d \ l + t ) [ 3 2 ' ' ) o \ 3 )

sinx=r f r r ) , J.or 'xdx= Jcostr 'cosxak= "( t*s in2x)cosxdr 'J

: ):pt n:rnn ttnH * ='= =) I = 1rlL

Lzt l . , ) \ ,l l l -sm- x lCoSI4x =

J \ I

0

Page 144: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t42

' r *td* ?, \ -Yi

. l;: = 0 l)tr n,)tf-)N f (x) = r) ntN.1r n?)p R' 'lI 3+cos r 3 +cos r

r0 )a]n

t T*0 ) , x 1>5 f (x+T)=- f (x) R ' l , T i t tnnt r I rn ' l t rnnt i t ! , r r / (x) ' i ln

T a+Tr - . , | . . , ,

. a r )> | I { , x )dx= | f ? \dx l f n f , l l lt r ' '

0 a

:ll'lr|!

f a a + T T

) lurrx: x=u+T nlr iryr i l nyr l f fdar=tf?\dr+ | fu)ar* | f} \a,J " ' J " ' J " " J " ' ,

0 0 a o + T

T

1rN l r ) ;1p t tnN. . r =T lu=$ , x=a*T+u=a , dx=du . I f | . ; ->a rJ

o+I

? " 0 0 a

I fep= lf{u+r)du= [f {r)ar=-lf@)a, ):p: ur:nranna + T d a 0

T a a + T T a + T

lrorar= !fi.'la*+ I f@dx+ I f@dx= ! f{r)a* r)rlJ0 0 a a + T o

tl ttlln

(x=r- t i1r$1: lDD5rD1 : rpr ) I=+ Dn)r ; r , I= ' [ ! ' .x f ]nD)4 | l+cos 'x

Page 145: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

143

. 'g xsinxdtt

'

I = l-----;-- =j 1+cos ' r .

:lll!!

x=A= t= f i . x=7T l t=0 , dx= -d t , x= f r - / f t y l

'f @ - t) ri"(o - t)(-tu) = -ol(,

--t) Et& = o'[

futil^ - 1j t+cosr (a- t ) i l *cos" i1+cos ' /

, sintdt=-du , cosr=, r,r) , / =i.1#, i:)r

) fP t , f =0 -+ l t = I , t = n *u= - l

r = i'!# = -;!# = -|wc+an,li = +

I

I'.(t- r)'oo d,0

L L2. 1.

lcOs,,xdr = lsin, xdrJ J0 0

r) n)li'l 'f

, x=0+ t= l , &=-d t , t= l - x

0 1 1

12 ?rrln

f\DN ,N

:lllll!

f t l ) 'Nt =1 :+ f=0

I

Jr'(t -r)'* ar =0

J7

X = - * f = g ,2

Jo -r)r'oo{-a4 = J(r'm

-t'o')l 0

x -A+ t= f t , dx= -d t ,2

f.or' xdx=i."0'[;-t jrr t r /

d t -

tn'tdt

101

' t t

x = - - t.,|-

L

?-d l ) = ls0

102

f,ry) 'f

t:2

l xcosxdr =J0

llnxdxI

I

:

[(sin x)'xdr = .t tn "llJ '

0

!Lra]nL7

,t lx CoS xdx ,N : ttDfl' J

0

:lllll!

.prplnr ntt'ttu)tNf lDnnul 'N

f r r + n t- lstn ) :& = xsln.r+ cos.r l ; = =- IJ-"-

----- - 'u 20

' r - -

' r , . v f , r , - - - - - i e

l lnxdr = lx' l :n xft =rlne-1, - :cd

= xlf l x-xirJ J1 i 1

- l , r

Page 146: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

144

14 ,r)rn

+- t" ,r t"n>2 I - l sn 'xdr , In= l *=4 . / , = [s in x&=1 lno :' ' n J " l " ' ) " l J " '

0 0 0

n - 1' n> 2 )* I, = ! In_2 p prp)n: i'try'ltu)rx ntryf n)rn 'N

nZ! " - . 1T I ' 3 ' 5 . . . . ( 2k - l )

.I., = lsin'* x& =j ^ i 2 2 .4 .6 . . . . ( 2k )

. t f . , u * , 2 .4 ' 6 , . . ( 2k )

I^,.. , = lsln- ' ' Xdt = t) n)tn ' l

d 3.s.7." (2k+r)

rll'lnt

E L7 2

i , = [ ( -cos.r) ' ,s in ' - r x&=-cosxsin"- t" l i * [ ( r in ' - 'x) ' 'cos x&= 'N, , J ' u J '

0 0

T E2 2

. - . f . " - t t , . r f . - r , - . )=(n- t ) ls in" - xcos- xc lx =\n- l ) ls ln"

^ x( t -sm- x)dr -' J J

= (n -t; Jsin'-t xdx -(n - l) jsin' rdr = (n -l)l ,-, - (n -\fi ,

" f l - | ,

I n = - I,_, iu&lit nnot) ):iTJ lntnl

t t r ) l l lx l I , =1.1. =o . l '3 I . =L. I g: i : t n l ro:n nnor: nryrn*: , f ,' { 4 ' 22 .4 22L

"rin" xdx = /r-.1' 2' 5 " " (2k -l)I 'o=)

2 2 .4 .6 . . . ' (2k)

'rr) l lrNt1 I, =1.1, =- , It =1.r, =1 ,rrrnrDrn nnDr: nryyDxr ,r' r 5 ' 3 . 5 3 3L, 2 .4 .6 . , , (2k)

t, , - fsin'*.' x& =- 6 r r d 3 . 5 .7 ' . . ( 2k + l )

Page 147: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

145

a) si

rfH

1 b. ( / (b)sin nb-f (- ;' I f' {'1 tin ra& =

:t-t;

- l f fQ)sin nb - f (a)sin nai - 2M=l , i=;

sin nx n, ,tb= _. -r t.r)|.n

-u'rt 'r: 1:)t 0

b

tim fflx)c osradx = 0 ttt a 4 x 1b ]tui7: nl!tv''tn + J '

o

b b / ' \ '

j.r{').o' roa* = ! f (nlY) * =

limn + @

ls )arn

f'(x) ult /(x) DNU ntln

rll!.!

,prp)nt nrllluJtNf uEnu)

to )nrn: t) lDt'l )n))D nllYnHf, n)1n

7 k + 2 k + 3 k + " . r t r 1

n e n l 6 "I U L I n t , , .

l l $)srnramn '

a

M =V+! l./(x)i po:la ,0 j

)

f'(x,\sinru n)yp)l!n . n-+co -r\rtllosx) cltttttt

-ur 1r K rftrn yt:p 6rrp ,nrihN Dr)rnf .tr nntun 1:bt

I t t I r / / t . \

0 = 11 . l.f '(r)sin rudxl < K\0 - a) ph a < x

ln i I n

. n + co 1uN) olx) clxtut

Iim

| (/(a) sm rz b - f (a) sin nal

l,la 1x 16 rup yui t : nl ty l

<b h, l , f ' (r)r in *l<K

1 6 .:-' l.f'(x)sinnxdt ol F)rn n

b

[ft*)"rt*dx=o urrro)

l + ln '

= - ' N

k+ l

. . ( l I r \

Fs[#.h+ "*;)=nz 'r

m[#*i+2,* .#)=i'\:ll1l1!

.pr l r3.11ppp i : ) t nlr l r , l t i 'pt i l ) t ! . 0<x<1 Wp: /(x) =xt ' l t ' t : )

1 I *, t+l , t I

t , .

Irov, = [x'dr = - | = ---- lnN ltn :Dr)!]N r)\]f lf t*l,x )rtu:rxn nN :\rnl

d" " j f r+ l 'o k* l o

Page 148: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t46

I

trrptn n', 0<x<1 vpi7il nN P)n: p tru) : lDrl 'nDD nlryr ["rrrla, nN ]uru r)u lyDd

i l. c, =l r l l ) r f nr1i7: ln l t DriTtnnn TnN )r: t i =1,2,. . , ,n . l l rN), Atr , =i : t rr l t l t )

n n

| " - z , r *

;rr!r tr'nDn nN trn .r) . 'l.f

': l,ar= !i.Iff c)M,= rinrf |.1.}" 1 -u hp:' i -

n + o H " ' " ' , * , 1 \ n ) "

n / . \ k

m;(;)^ ;= mI:#r :lUl'|l'

:):p: n.ivllln nN nl'illD ox i:h n'ntu, trrft'r rnuf, lrr& h:u:r*n FN t)fu'fr:!)pt:

liml k +2k +3k + . . . nk I

nk+) L , 1/ L f l

' 1 . . , ,

' c d x , r l I

l fG)ar= f== ln( l+ t )1 .= ln2 ' t t t .0<x< l vvpz f (x ) - - l r r ), t ' J l + x - - r u

1 + ; r{.) u

i 1C, = 2 , Ax, = - : I cltytpl 'lD)

ltltl ttll)O nlllrf, )ltultNi''l nH lun) t)tD lyn' nn

1 n n 1 n 7

I f tx l r ix= i imf fk , l l x ,= t imF=l ' *= l imt 'j " t ' n+a? , t " ' " ' , - * : j 1+* " , - * f rn * i

. . ( 1 1 1 \i11,1\, ]1D rrnxt l iml

- +_.u.. .+_ I :u11!D]! ]Nf, nl ] ]nNi l nNyln;. InR Dl lr- l l

, - . fn t l n+2 2n)

r*[*. *. .*)=tn2 r; ):P: nr**nn ,n, nN

l r' [e 1r n osxs lvu i r : fb '

1l1+x2

=*tutt"lo =i ' 0SxSl vvitt f(x) =1;J 't 'tt '

DrlryDtlo, nirt:nn inlxl lrnn\r) .lDtl tnl)D nltyl t'ln )llplHn nN lunl nr)

-\rrrp) rN)Dr IEI fG)r,:c,=mffry +=mE # :DrD'pi,

. . ( n n t , ) n. . rii-rr t -_:_=- _r ___--__-i T. ..T -___= I = _

n** \ n- t l ' n- +2 ' n ' +n ' ) 4

Page 149: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

: j

147

rF . r-'-'-=

l4!l+ r- dt ')J

?

x+?

J sin(r'pr0

rT rlrn:!uu:rxn nN ilf)

f . i/ f \ -

l sm( l - ld t 'NJ \ . t0

:ilTtt

a<x<b yvptn!ryr /(/) trN l)r) , F(x)= 1rt (tr)at iDD) ,N0

F'(x)=sin(x') ::;rr p'!t, F'(x)=f(x) ,rx F(x) ='[ft\at -,ra

x+?

F(x+"2 )= [ sin(t'lit nf,)lrn n'ri?:lr) urur) ):r: I ,^f pt )uurrx;r0 0

: r) )tp) ntulun )): nrryr tr)rt

f , I r

* ( rU*r ' ) ) = F ' (x+r ' ) ' ( r + zx) = s in(x* r t ) t . e +zx)

r+l

limg- ,r-+0 X'

:lllltq

\rnn\rn, ):r: 1rh ( nl!rv'l n]rlp)l!n )oox) trrlN,lu n)lDill il).tDi.] x -+ 0 luN) ,N

:butlr) ))r:

r'lfllr !r)110! sr)1leIp r1p) l;lt"t, at )rru:rHn nN pllt il),nn ,)

' rsF-J. " i - - ; , ' r . f -T- ' i . r - - - ; .

: l'rD'r J Vr + i dt = JVr o i dr + JVr * f dt = - [,{t* at+ J vr +t- dlI r r d o o

r"

x / . ,f s in f l ' ] .

ftatl . < - i - -

y" tan(t- )dtliln!___r+u r

Jsin(r')ar0

18 )rrln:nlhuit nN tun

Page 150: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

148

I

[t't*t1t'yr[*g--'-=ri, t 'n9]l =u* ",u,, 1 ""P=1.1.1= 1x+0 r-- J.' - "

i r in ( t ' )at ' *0sin(x6)2x i*ot in( t ' ) 2 x2 2

^ 2

0

nrvp:u) nnrn :nrn) ):rlp)r r + 0 ruNr 0 -) noxru f (t) =:i" (t])

il)ri?:rlnt

:)utlt) )):: rtnnun) ):r: nprr ,f(0) = 0 rnn . o -: Dt it!'yl

j#r' =(:1 sin(x,)l ims- . - - - l im ' -= l im-- - - \ -.r-r0 X' x+0 )X -r-+0 Xt

-0

f(x)=[J', ,(,-z]+*)*ntvPt'r!;r tu ( rfr trN )

rg trlln

)tnt! ntl,riDl llyrP nt]]i7) Ntn

:11111!

, . , , ' r = r , , - , r -p>\ J \x)= !g(z)dz

' rN, g(z) = l t '

. \ t -2) , d t i l lD l0 0

pr ulx) nrrur n,!r)u x) rl . (, -Z)t n'ti7)l!il .

r

nnrr l l rnr , r )o h, k*V-z)+ar>a 1: ) r0

x = o trN i7.n trN "lr*

(, -z)1 at = o -r ,0

-f'(x) = rt (* -2)t .'nrpn nrnn'n /(x)p , )u r l ) ' h ' u lun ,h nn l iT ) p t ) x . x= l , tN

. (1ntrr nlt)nn x) nuun n'Iil)n ) )nu ntrtin PR

. f 2 , _ , i _l ' $7 =g ( - r ) = l t ' . ( . t -Z ) ' d I

0

t =2 -t f = 0 nt.lrp)il rnu:

r < o rry jr* .(r -z)+ at <o0

nryp:u) ur r= 0 nliTtt :ltlDDb

x = 0 DN izl) nx /'(x) = Q i:)r

p9r /"(x) > 0 nnri2)n rxu )::

E.2t - . -lF(x)dx runJ '0

isin r, r(x)= ! , o,

zo )nrn

lr-)y nrurn F(x) rrn. F l : l=2t ) )

Page 151: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

149

:n'ln!

t fi, nl'sr /(r) -u nrxr) bp .

x+o )rp: . F(x)

, . r=0n,

.prp)nr nrrr)l)rrN nlfpf lrgpt brrurrxn nN run)0

- , . r 4 t , E - . - , t , s i n r'F(x ldx =rF(x) lo - jx . . t r ' (x)dx=?r( t ) -

Jr ' ; *=

l f ^ t r .

r I=r . t - j s lnXdx= z+cosx l =E- l- 0 0

fsinxF'(x) = .f (x)= 1;

l l

Is inrt - t * u

f ( r )=j rU , t=0

='[sn!41 ='[714atJ f J

o ' ol),

L L2 1

l f (x)t8 = lx't " lC O

Page 152: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

E

r50

14 ir15

,trrDnn trlutrRn )u trrrunlxrl trrulnrunDbln uDuurrn

nronn D Elnnn nuu,

bi

S = | f(x\dxJ " '

o

' rx . [a ,D]

-) ntrur

Ernuu fturn

lruiTt nrrt)u H)r nl:yr nrtp)1! y = f (x) )nn

( ' 1 t t y nN l ) . y= - f ( x ) , y =0 , x = o , x =b 1 r f

( r l t ynn t ) y= l z (x ) , ! = ! r ( x ) , r =o ,x =b n r - )yu tunn t tnn D

P ={ (x , f i : } r ( r ) < y s y26) , a < x < b }

b

S = ftyr(x)-y,(r))& -) nrru ninnn nD\D 'rNJ \ "a

'itnnn" .yr(x)-t tr]nnil tu '|r" nttnn yr(x) -ru:) prru:tryn

r;1t

R T

y=. f (x)

Y,(x)

Page 153: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

151

( l ) t ynx r )e= f - )

( nn)ts LIt:D'tt illtr: lxtnDn Dlnn ,gr nuvl :tutn

Q=d Dtt)] i7 t: lDl r =r(p) Drpyn irf DtDnntrtnn Dr;r

t lo,/l -r nl'sr r(p) )

1 P^ I I t ' \ .J =: . lr ' lrpldrp : )rrrc:rx) n:rro D DtnRn )u nuu rtx

1 J \ r /

-nnunrs mrn nrD: lnrnnn nrty nrb nrunn ornn )u nuunt l t r r y( t ) ' t x ' ( t ) , x( t ) rux) f ,=x(r) ,y=y(t) t r rp)rnnr-hrntonntr lnn Drnr

.aSt<B ,x ( f r \=b - l x (a )=s -1 o1x1b .vn r l t .a< tSp yp iT l

P

. S - ll,Q).x'(t)dt )uu:rxn n'-r!, iln) DtRnil nuu 'rH

Dtrtn: f|r-)! rtpn D tuN) D Ernnn nuu :rDn

f ly = V ' r 4 ! = X ' , H

x -n 'rrvt (2, +) n;:un nrrp)r ptunil ru: , y = rr ,f

:ltlllD

( l , l) -t (0,0) nrrr;: l : Drlr)!) y=J; -\ !=xt nptp:r5n )u Drf ln ,N

s = 'ff.,6

- *'\A* =? *r- {l' = 1d' ' 3 3 lo 3

l=1 i l l ' tp:t r -; t ' 'p! ui l t i l t prtJD.prlrDit Rtn y =4x-4 .u i : tr:) nup x!,:

I 2^ l i r ^ \ , f l ) . \ 'r '= J(,r -0W * J(r . -4x+aW =; t) '

o r J

r = r(e)

Page 154: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t52

2 tp'ln

:nrfu'ri7 nlltf In:u trlPy nL)y trlDnn Dtnnn nul, :un

0 < p <2n l ux l r = l+cos rp 'N

-+=a<t iux) ,=oJG6 ':

. 2n

:l'l'll1!

s = f i ( t *.os p) ' ap =* 'N) . t ' 2- 0

t 4 )

S={ ' l coszrodro=L , l2 r - 2

3 ttrrn

nogrlxn tr-)y prunn Efinn nuv; f\tn 'H

:ll'lD!

ASt <2t ' x = 4cos t , / = 6sinf : r1r '1DD1! i l t lnf , nDSt)Nn nx Dl l r l )

)u:)r lrtpNtil }lf'rf nu\rn nN lunt ir)lon l)rt y -i x trtltt, gntf rttlunto nolt)x

I

.o - ) = -D nnRnnf n tn tDn f ]u ) t t tn t a -5o-n n)nuE r -n l luH l i ] ) , t f l l .4 - f nNy ln i lnN

o o + "| . , . 1 , ' / . \ r . , , - ' f . 1 . r . ' r ' f l - C o S 2 f r ,s =4. l t ' ( . t )x ' ( t )dt =4lbsinr ' { -asin t ldt =4abls in ' tdt =4ab l -=t = nab

J \ / J J )L t - 0 02 2

. E' a.a= fia| -) nttu tnuul x' + y2 = a' rlynnnurD) Slpl a =b iux) :il 'l)il

:lrlr qlr,u n!! flutn

l l lroll !:pnnn llttltr 5u nl: tlN 6 S x <b !u7: nrbr)u Nh nlflt y = f{x} tiln

bf - r , . ,

V = r lf '(*)* -) nttro x 'n rty l)lD ( lltl nxl ) D trlnnn tl,

;

Y l t r ln , / - 1

' ! ' . 1a" b -

y=f (x

Page 155: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

153

4 )prn

y2 = x -l n)t:rln nr-l}r )utnn tr'rnnir :rrrDD 'ltl)n ,:'rfr! c1u )ra n!) nR :tDn ,N

. X .n. ,p! l r lp y=J turn]

! = x" ntl:.l!n fr-ty ,tlnn trtnnn flfrln .1yt)i,t ,ftf)D ll) )u Rlt nN fun 'f

. x -n .,lty frfD ,y = x .llrr;1,1

! = x' n)t:rln nr.r)r hilnn trtnnil f,tfroD tl,rJi.l ,fuD cltt ,u n!) nN :rDn ,)

. | = -Z 1rlil frfg y = 2x tprnl

:lnn!

-t . . ( "2

\ 'v =r ' f ( " - l )dx=r l+-xl =2r 'Hi ' (2 ) ,

rl'ltn )t, nD)i'l nN 'ttt]nh turil :t:rDn ):pnnra ,r1:;zn,,ll:'D ill) )ru nl:n nN f,un) u' ,f

t 1

. V = n l*, a* _ r lxo dx = { :ir}r:ron :,rf ,DD ):pnnu ,,Ivpn,,6 ' d 15

l:rtnn urnn Dlnnn nN fftulr y -n rrr) )r:pn: n)yn) nnln) 2 DrSr)n ))u nN n)yt 't

: J - i ' l ' 1 r ) f r fp y =x1 +2 - l . y= 2x+2 l r :

2 2

V = I l / ^ . \ l , - l /

t - \ l ' l 4 4 nllzx+ /) dx'lr llx" + 2) dx =

l;-o o r J

ryurn trtirD rU nui?il trltr :rurnd<t< P , x=x(t\,y= r-(t) n)tpn., l !n nttnn rTr-))rtNtnnil t . lurnEtir! | r i l r

nr )yn: tn t LotPynlu nu; rn l1N r rN ( a<t<9 - tn lgr t l r , ( f ) ,y ' ( f ) runr)

( i l ! ) t ' r y ' ( x ) r rux> \ aSxab , ,,= y(x) :Ilutt'rtDit n't'Bt Dilrt Dti,rlrn EN

p

l = l' f

(aSp<B - t i ' t l r t r / ' ( p ) l ! rN ) ) r= r (g )

(r '(r)) ' +(/(r)) 'dt :) 'r)urrNn

b. r------=i = JVI +(/(x)) 'dx rN

nrturi? nlDt D'tlr''l Dli2yn DN

0 -' I I 1 / r , , \ 2/ =

J1/r +(r ' (rp)) 'dp rN

Page 156: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

154

5 ,trrn

ruxl L Erpyn lru nupn l'ltN lun

N' + \,' = a' )rynn Htn L 'N

23l<x34 r i rN ) .Y==x '

3

03 rp<2 r , r =eoQ

N'ril

Ntn

L , )

L , l

:l ' l1h!

0 3 t < 2 n , . r = a c o s t , l = a s i n r : i r l D D ' 1 ! i l n l l n n n N E ] l D l ) ' N

I=4 ' Tff i=4o.+=zfta, a

0

t -t -

.tnu)r tlon Nril

yup: nt)t:uu:tx

,,'@f d-=iu-o =1Q*")'|, =i(r,-2i) ,f,

1- .......................................'....'..............'..._ )o _

[ ]r' +(r' 1p)\' dp = ! J t'"' + a2 ezoe dgt =

0 0

- ?,t l;- ''rca - !r"'or =ry'(""' -')':

b>a - tyupl lpnNln a lax: [a ,b] yu i : ) r :nr )5nrrp / (1) 'nn

b

f (x) -v1DN) 'rN lg3ftal )riln D)'p ux . F(6) =

[f {*)a, '1lr]ol

t ^ arnNrN , r!rD)'N rN D')i7 x) )run on . lf G)e = l im l/(x)dr 1no:t [a,o) '51o]'N

' J " b + a l -a o

. ( D)ti7 H) tx ) lllnn )):tnn ltluttxnu

s ?ll]n

:or)):tnn ur)tlu:txn bu' nto:lnn Ptt:

i"ortrr, 'r "e 'r T

e - 'no 1r j l+x '

:ll1l1!

6 r b t-t3:=lim I

d, =limarctanxll =limarct^rn=4 'Nj l + x ' a * " i j l + x r 6 + < r u , * - 2

Page 157: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

155

$:

==t

,==l

::5

_.€

:€

:=::,.=

: 4

-==.:=

:]::-';:.'=:===,==

.=

==

=

n-s-

.rrfnn )uu:rxn p)t f 3 = [mlnxl l= [mln& = m ':J X b + l r b + r

€.pr:p N) h:rnt fcos xd;r = lim (sin b - sin 0) = lim sin b ,^

J D + o w h - *0

D h

I f tr)at = lim [.f $la, )b:rnn ]rlu),Nn nH tr''rl)n nnr.r lolNr :Il2irI o + 4 J

€ d

q A

F I

l_f glar -'r I f (xldr D'n"i7 DN. '!lD yup ))t pr)r3111;1,p 1f(y) 'nn4 a

€F

( a nln:f ilrr)n nlN nrllirn ) | f 6)at ))lnn )r:urrxn trr'i7t, rDNl rN

7 )ar!

i f f il - t r n hl ' 1 r v r ld l + r -€

:l] l l l !

? dx t , dx * r rk ^ iax ^ :T

i - = i --------;-r- l------= --.

i------== L.-- -

; !1+ ; r ' r l+x ' j l +x ' j l +x ' 2

1.nurr ./(x) = - : "

ntliTltlnu nrlyt !N) ,nrlpn\Dit :inril

l + x -

: trN ( 'tnu)l yltp lDDn Nli] 4 't\rN) ) A < X

,| . ' , 1. I I G\rlx )u nru::nn;r nN n''11'u

d

l]uNlit ilxilgn lnID

h, 0 < .f (.x) s S(x) trN

?ls$ldx tu ntu))nitn 'N

o-

' tH 0<I<.o ,}*ff i=,

I t ^ . _ ,lg(x)fu )\, nrrrrnnn nN nlil) | i(x)dx bv nlrrnnn ,t

J " 'A a

( D'ru ) r:pn nnt]pnn in:_n

- l aSx yu iTf nr ' t l in f (x) ,SG) !N

4 a

.'rn'f trrllrnn rN'rnrr tr'Dnnn Is})dx I ttrl* pr)1;plp;1 r19I - . ' l J \ '

E Q

Page 158: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

156

)tlu)rxn Ey )tlu)tNil nN nllun) nt: trrf''t DttiTDf , i'lN'rtt il r:nfDt trtunnun luN) :I'tltil

\e''llf,nnl a > 0 ):! p::nn nr )ttu)tN .y1ti7 rton Nril 6r iuNf , J;i;, tu'r'DDDi'r

m a

tdxl--J - l + t1 ^

a <0 ,>>

E taln

:tr'rtr)tnil Drr']tuyNn )u nto::nn rtirn

x2 +x2 +3x2

* r ( ln r ) " , i xdx

*px2+x+3'1 fl-.-</t ') | :'-"' 't |

-; '- ' - d:( 'N

! x ' / x - +x+2 /x " +2x+10

1 A

x - +x+JnN l)UPi]] nllnn nN])tlr i l t ' l ' l i7Di' l l fuf ) - <

xa +2x+10

( 1 -D rlrt]tltDn ) pt:nn l+ ))rrnn )ttu:rxn { )r: r:rln nID nN}ln) }l)t n))Dn!x 'I

o tf x - +x+5

.D:rnD l-# --e trtu yfll l'l\r*'tn n*llunn lnlDD i))l/ x " + 2x+10

@ t

rAx( 1 -) nll\a Jttytli't ) llf,nD l- htu)'Nn

a ^

I

@ t

t x f f i.]IlnD l=.* -u ylll llltNln nNlllDiln ln:DE ptl

l x '+x+2

:ll'll1!

_ l= ) ' - ; ' N

x2 + x+2 - x '+x2 +2xz

i i= - . * t l

4x

(ln t)tox r)'ly 11ly\,'D]i] lD't"lt! . lim t ' = 0 rr )u)!l) )l> ntyynx: n'lNlit) nu? Nt '\

'n(ln x)'o ..D:)nD

IY-* )uu:txn lluNln nxltllritir

)

ptt lim x* = 1 r) )ut!1, ))t ntyrnxr nt)tilt nrrp N) . .rl*l = x 'x* Dtu"l) 'l

r+6 X

. (lnr;'o < r+ n)rpu nrrlrN

p:n rs) 1r)r u::nn i+ )uu:,rn/ r '1

(lo")'o . r .6,pfiD or)nl ptlon

(ln")'o x+ It. F

= ,"+

') tliTt JN)D

Page 159: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

,:a

t57

xrna=*

111- j - ;= -T>- lN)n . * ] <2 .p rp f lD t r ) rn i tuDn. r r ) ty ' ' l t f yx . x ' l x

*r dx

| --- *rdr

.rlfnD J -t*r rr lrbt 'r'rfnD l.-' btlu:rxn

1x -

i x

It)u)rlrnr .(yuo a r\:,N) ) a>0 ):)o:rnn \+ t:rr '- i : lr1!ri1| , ' "

! D:)nD )uu)rxnu lrlu) lnr: x) 1:)r yt:ir n) roon

tl.o lN.Inr: ErD))nD trr71lU)rpn r:U lltt

9 rp]n:Stiulrnn )u nto::nnn nN 'l ' l i7n

't .r'dt i F'.rt.l , .f , . ' f f l t - - ^ r . d r ' Hl x ' + r+ l iY 2 t " - 4

:I'l'lh!

(',rlf,.l ) )t\rn nNnrrnn lntD: ,rnnul

nPInil tDf,:n)nD nttnn nr)r'rt p)!DD x r)-l! lty ,N

. l)luttn , ' l) r5) . --i 'tDl tn:nn urtu) nnnD |turtn^

= | r: ntttnl nru;: x)

l J . I

tt

-y 2

.xt nptnn tF) n:)nnr -r'

l . - - : :l r - +J r+ )

tDJ At tJ) t /J r I _---- :--

! 2x "+4

r t ( l sf (a I l x - +J- r+5

l:i )t)urr*n trv

lV_;7* dr' )r)u:'xn nH nlrt l

tt-: -f . r - - t - rx+)

r;,- ! 2tt;4'|

:+t) t- 1

,r'q 1

)lrtnn ltlu:rxn ur i:)t D)tnD l+ t) E)yrr' 1N .Tnrf trrttfnn Dr)rtp:rNnix '

- f-;---l---lI l x - + i x+ ) .

.D:)nn l^i---:-;-dxi V 2x" +4

,rt- . r - - ; r j 1lirytft = li6-u --. = I : rnr rn:nn t:urn rr)nr prlDD x Dly r:), 'fr + a J , r + a X ' + X + i X

iax i xtdx'lnll tr'l'T:nt l; l; " ".-,

ot)tlu:tN;l t:u I:)t

Page 160: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

158

rR)nf ntD!)nil Dtnnf nlD))nn

:n'llln

la,bf wvt nr)r111els /(s) 'u tt'::t ityllP nl1P: a 'ilnb> a ,> ,

*,'lsin xi l ,

l l ^

or i:)r D:rnD i3

,'r,o,,nn .

a

.o)nn: o::nn lf t*>* )rru:rHnu lnN) DllnD llf gW ))trnn )rru:rxn uxJ l

* r ^ - - .

- f , . , , ,

Nri'ru, rDN) rrN D))nn lf OV, )rtu:rxn JN o)lnn ll'N Jl/f*lUZt )truyxn Ex

.rNtnl-Dtlnn

DSPD

.D))nD u)nn: trt)nnn )uu:tx

to )nrn*rsinx

,.D))nn | .4 )ltultNn t) n)l i l

i x -:l1l11!

sinxl i- l < -x ' l - r t

.o))nn \y:* 1:)t u)nn: o)rnn i:l+%t -u p DN rrn)ril1x- ix -

rlullpp ( rrltD ) tntDH n, ,lrurtN

)1upxn )u rutnn nR f,tntt ny; .trpJ nlDlun tllo 1ruPl5u)r111p1tp nltlp)l! t: t:ln)

.n\DrDn *) npsPttll

:illTlil

( nn)UtrO illir: tN ) "ntnpb it'tlP:" Ntit nlil !Up) n:'Un c il'li?:lD rnH: . [4, b] ruu ]rup r;1'

n:'x /(x) -t c ir l 'r i7ti 'rnx)r:ntl 'Nu [a,b] ]ru [a,Ff 'O>nvui7))]n'n)ln /(x) ux

. c lv Rntl-lT lN nryt!'ln n:t:o ):: ilDtun

:illTlil

rrpnn )!:tnn ,uu)rNn nN 1np rrn . [a, b] Wp: nrtntl nnN nlnltD nrlP: Ntn 4 -u ntll

b b

.D))nn )uurrnnu lnlr: rN p,p )t:ln nN ltt 1*= jlp I f g>a* :Nli'r JlrNr r)uir

Page 161: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

159

b b -e

[f@ar= lim I ftrl,i,t r ' .I d-)uo d

))>rnn ):lu:t*n nN trrr)

t, cLrl-

' i i

l x

tr dr ', dx

l - ' r l . -I r / - |

_-r i1x 6 vr -x

.t1fnD )tlU:rXnrp tn1: ,tr'rp,nrN ,t$n trN

r r 1ttx [d,bJ :lup: nltn)n n'Tnltnit nltil]it Ntn D BX ,nnt'I lol*f

r , 1r tN [d. D] yvpT n' t l rntn nl lnlrn nnlP) l i l x l ,x2 , . . . ,xk trN

h x r r t bf . , , , t - . , , f . , , , f . . , ,

J lGlax-- JJ \x lax+ lJ$)ax+, . .+ lJ \xVx : . r )Jl rt

11 )nrn

rDr)t)'tDn E)rt)u)rNn )u nto::nn ilTl:'r

clx 'rcft

') l-F

'r l ;

'N

,i Vx' d 'r-

:l'1111!

. r ' r rn ' ) r :u:r*n r :h ' [4= r im [4=- l im t l ' =-r im[r-1 ' l=* 'Nj X ' t+o- J X ' r+o- y l , e+o ' \ e )

. 3 -) D)rnn !'u:r*n , '[#=

J1p I#= J:T, V;[ = J1p (: -:./" ) = : ,f,d { 'r- "-o-

I {} ' j

itrltn tn): i'lilyt D!8, orlHtu 6 -t e trrhtu)rNn )lu:u nlt't)ril nN urtr) :illlril

! s = d -u nnn) ilx l:)r

fAX , . l dxl - - - um l -+r Y t e u r Y

t im [9 = l im lnlt l ' , + l im hlxl l6 + 0 ' ! y t + 0 - | r - r

r J * g . I r (

trdxlim lnltl'- = 'i')

rJ+O* | io

o

= l im( tn le l -h i )+ l i rn fh l -h ld l )r - o - \ I L 6 - i ; \ | t I

l 7

. ( lr tnn I srr i? H) f* )rtr lxn l)?r Dnp'l) 'N ,")n nr)runn rnx ):

- riq 'l#*

c_+u _,, V"r"

Page 162: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

160

15 irl$

Ety,tfP Et.l:tH try trDIlDlrH br.ilt?

- 'anvltl !rrn)D" )ru nurn nrro r'l).r.nrlrDrrN nrro {4}i 'nn

S, =o,

S "=a r+a ,

S r=q+a , + t l 3

,S" = o , + a2 + . . . * i l ,

= limS" :ilntD )u lnron nrryt lRlN lnb) lN )ul ur rr nrru) nx

.t'irnn lrunu rnN) , ErtiT l)'N )t::n ox . D))nn f c, rrunu rnx:r

cc -? e1xtt, s, = Qr + a2 +'. ,* d, -f trttflnnn tlDD r? -> oo "llrH:\D f,) Dru :ntyn

€ 6

s - , s) a_ = a, + a" +.' . trt't:]nD !'to)'rN )tu nr:o inun ) an lDrDn nt 1:tn: 1:)tL " , / t r t . L t

l l

6

. ' t1un )u f : In" tN nrtHlr i t xrp: S-Sn = e,*r* arn2*.. , ut ' l !n) r tN,,9 =Zo, lDtr)I

p. , r , -1 IDD) l ]Un f l?

u!ptt

6

lim ( = g 'tN D))nD f o, rtun onn+4

r

( r|p )u nrcr:nn) rnr:n rxrn ) uEua€

l ima, =9 t fpD))nn la, ox

n+q r

llun rtN lima, + 0 ux rnryn

T^. /

q -

I

) , 4 "I

lima, = 6n+a

:',ffi-;r:..r i

D))nD ''nuiil, l)nt DN r''19ril) .D))nD lltN

. t l tnD' lN

Page 163: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

161

1 )a'ln

s:tuJN) ) a_ rtun )u nlD)lnn 1t7n

H t '

.r 'Trnn lun 1>)t ItX;= I * o 'n

.rr:nn rN DlrnD irun ENn nr :!u: )rr:p) ln': H) i>)r lim ln [Ij1l = o 'fn + e \ f t )

, \S,, = ln i + h I +' " + h1

r' i- I = h 2 - Il I + ln 3 - ]n 2 +''' + h(ru + i) - ln(r)t l n

. l ' T f , nD- l l u i ' lN " i , l i r n ,S , ,= l i n i l n (n+1)=cc ,S ,= ]n (n+1) -1n1= la ( r l+1 ) P ,

I

...r.Tf,nn lN D)lnn rlun trNn nr :)ur lr:p) 1n.'r x) 1:)r m;f;. rl = 0 'r

111;']]Ui',l tU rp)nn ltron nH t\rn: Q, = ," n . (n+ l ) n+ l

l ^ ^ at z / . 3 n n+ l , x+1

i=+=l int ,s, =1 N"t , l im,! , , =nmlt-4]=t t ) )? n ( n + l ) n ' a "

" o r + o \ n + l )

( 'uriz 'Ntnllq$ZE

,yru f t j> . ; tn>N ) : )U) :N r r :u t lDnDr) i? e >05uJDRplonor rno io ,I

lon, , + e*2 * ' . '+ a,rol< s

I

. In+1)a ,=h l ' )

\ r? )

n+ lo'= z;

'N

:l'11fl!

:@

\ia) : r rn ' r ro;rNr) ) a r tu)4 ' t

I

Q n =

n . (n + l )

s , =o , +az+" 'o ,=

.)yf,u /? 2>) a,>0 trN

Page 164: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

162

ltun l)h nrlt nt)]gt:lE nlTD Nril ,s,

ntrN J- ;' l ' lTon trN'tD))nD ltun rrN nDrDn

:trN , ryfu /i ) l) An 1bn

0<Zcoc

glp)hil Dtnl)Dit nilo Dtrfln Erlu: :IlI!

S, nrron DN :rtl'ril l:rDf D:lnD'TtDn

@\-r

. ) a - = a t l H i l E l D n

I

trDttrn trntot nlrNln ilNttuilil mfn@

t) n)))1tr,tt'pn trt1u rlu Ia,1

I

sr.Dt)nE ) a.. trl ttN D))nD

Ll II

1

\ - ,.11f,n8 ) D_ trr tH'llfnD

Ll II

I

F r '. ) D - l t n t

I

r : -> b - D N ' NI

ir:) a - B N ' 1I

, . a"rrpxr lim-rl = I )) n)))1 Drrl)R D)1tu t)u

Ia" ,lb,n * o b n

I I

.lntf trtlllnD lH ]n)l DtD:lnE Dt''llDn t:U

( r)r_u ) rrun nnnunn Inrn

: "llDN) ,\, n\Dt)nn 11i7R

' )rnt

t lN

a 1

a <0 2>S trrnD'r a > 0 J>J o))nD t+-\, il 'rflyt 1tnnul pr61;1 sr)t11fir :!lg? n tno

.'lit\D)r y'Ei7 rloD N'rn ,v luN)

. m -) i'rfnD i'rt "nu. " t)lElnirlruil " N'ri7) i-1- ltub :ffi7n

2 )arl

r

La,I

1ar=-E ' ) ^ ln '+n+s in (n )

l JI--JJ.

ns + n+1

3nz +2n+5'l an = -t----;_ 'N

n ' + n + J

:11111!

an

tnlnD ]l\Dil 1>lt , na 'rD) n))Dill n2 lDl )nlnD n)lnil Dttll) P)!DD n ))l)r'11:! 'N

6 1 1'ilun D nN'l]uiln lnrD n)yrDHr n)iln) nDr) pr] D))nD I+ lluil ylrtl. + \D)'

?n - n -

3n2 +2n+5 3n2 +2n2 +5n2 10an =

;q;;;.---T- =

i rDl)IlD''rrPnn

Page 165: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

163

&3n '+2n+5.D)fnD ) -__-':_:: u i:)r DJ)pD

? n o + n + ssl02 -: ']lDi'l

7n '

@ t 1

1:)t rr :nn F+ 1 1un.- < t ^' l . V J n

sr.111rlD

L./I

^ l r ' *n+s in(n)il_____:__ trt

n5 +n+1

Ji.z

i:)r rr:nn

Ei)lTr pr5pi1 4 rl''ty 1t! l)rl

6 1

) . : t tun .or)rrr olr7n nV ) n

r : - n E , i Illlll 1/i? =l ytlr)

,7'* i n.4ln

! \ r r i r r i . . I I I'r ty try -JF = ----F >:-- lN)n17 ' , n ' {n l t ' t

:=;=

=::j

=';:}

:::-.

\i_1 t

.''rrtnn ZL-rl .trun1 1 1 n

g )rrn:l]uil tu nttr:tnn lti7n

*q(r . / r t \) . 1 - - sm l - l l 'H?[ i? \, ,n ) )

:l,t]ft!1 o

0 <: <: D;!tt: 17rgp6 n Dly it:! tr)ntpl .,tlrn .1u;.t r) n1H.til, u) ,t nr\4rt ,N

l l ^ l t- -sm->0 I { ' , t , s in :< : : s ins , <o J t , l , ' r - ,N : \ rDnun) } : ' ; : ! tn f l n n

T('*-t) 'r

_3l ]Dt n tnt ! ) s inx =r* i+&,u i lT f ry l UD'U)

J !

l 1--sm- f ' tu)f i l nH.ir ly i l ) n)

. o-, tr):)rpn "r r).,rt 1l:, , - rin, - { lt, . ( ilrpn

.D'rfl) prlDD n 'l.,ry .,nrl, I

- r* 1 * *-l- )r nlyui.l ):i:: 1x-.nn n 3lnt

: ;)r ' ,n;rNrunn rn:n: unnrrr i+ . lrui l !y i i1_riof I ) ')? ,t' T\ n \; ))

rru;l nN nrrlel

. 1 . . x - s i n r( irg

-;jt )rlln lrurnr )urlr) )): nrrr: ;r n* nr>rn) rrrtg ) fi- * l

tT * = 1n-+a

(*) ' 6

Page 166: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

164

- r t ) t y l l t y i t h (n r t iTn l l u rn ln r ! | e '= l+ j+R , c lu l l f , . ' f , t , n l l u l i l r , ) t l . l f , f1 !

:trttPRr tr)ttt prloD iz r:]y ltfy N,'t e, -l = x tr,rpn, o -) nr:trir irroon6 l e

\ a r F t / - i . \ ' t

. L- lu i t uy ) . le , _ l l lun nN i l t lD l , l ) ox . e f _1= jt ' n ? \ I " n

1

, . e ' - 7 - . e ' - 1. Iim

- : - I llr! 66i____l = | r) nr)t;r) 1nr: burot) ))r nrry:l'+€ * ;;o x

. =1 i. { tltnD L- ) .rhtf, Drltf,nn D).l]Un )t'\, :i]:pDD

t l ?

.Dl)nn

{.d'Alambert DtD ) il)Eil lnttr

n ni im ""*l = I -U nr)),r r:ttn ttU I a )i.1,n + 6 n L a n

"n I

.Dl)nD rrun rtx I < 1 trN 'N

.t'rxnD rtun rtx I > i trN ,a

.r'ifnb )N D))nD "nDn trNn lr:p) hron xt in:nn I = I rr:y :nryjr

' ' llruil Er 1:h o::nn f . . rlun

, ' n t

4 Srlr4

:l'tDil )i, nltr:)nn lti7n

$n! '2" . +1.3 ,5 . . . . (2n- I \) ---:- 'l ) --' 'N

7nn ? n t .

1.3 . . . . ' (2n+1)

Tt*'"[;)J

l i t t 4 n * t = 2 > 1nn- dn

tlh Qn+t -an ( t r +1 ) !

.l l lnD llui' l ' l)t!)

1 i t 4 n + t = ? . 1 n ) r o n * t - ( n + l ) t r 2 " L n n

= 1 . ( , \ '' ' n Qn e on 1r + 1 ) ' " t n | ,2 ' -

\n+1 )

.D)lnD ]]Di| ril)DDD

Page 167: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

r65

( Cauchv n:n ) urtun ln:n

i1r * ';t'tI

:ll']J'lt

PttDD x r:r,* rr:y t:)

.o,)n'ig#- n

.rr:nn lun 1:)r li*{fg-')' = IT* = * :r}lrrDir lnrnr unnun ,.rr ;+ r \ f h . n+q | _ l__ \

lnn I\ /

.nDl'll, nl)!)Dn f,)'ilD d, rt))i.t .I:rNn i[DN] n:D;.1 lntEt UDnUt )): 1.r: :n.ryn

. trrlt ttrDllD! o,*, .l:uf ylr) ;nu nl ntiTDfan

. n 5v nliTin n'rnrur r)5:n lfr*f llr*l )):1r: uDnu) u',*Dil lnf,Ef

J* JC = t -u n'))r 'r'n'ru io, ,r,

.Dt)nE rtun rtx Z < I trN ,N

..'rtfrD rtun ,rx Z > I DN ,z

. l1fnD]N ot)nn lun DNn lr:7) )rron x) ln:nn l, =1 l: ! :nrln

/ r 1 2 0 0

, . im .x )r tm ' ' -ur+4 x

. (lo ")'oo

€ l

i:)r or:nn y +Tn"

/ - \ I A ( J

IUn l.D)rnn run 1:,'r l-<i", = Jg[} = i . t

.D:)nn tun 1:)r l*rtq,= it-g$il = i.,

t) ( ,u)!'ib )): ntprnx: ) n,:ra) nu;: x) ,1

. r* pir (ln r)'oo . .r !'prr trr)rrl

( l t n) '* n+ Ilrun -;_-.lrt=F '1:rl)

s )rltn:llun ,u nD))nn t)i7n

1 s rroo' l : . ' l ) - ' H' {u Lt 1n

L

Page 168: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

r66

' m\lo, = L trr 'tN

:trr)Ilflli] t:l!, llf llti,il nN ilN1D Nfn UllDn

Itm%*' = Ln-- dn

pouq

-t.n)fPn il] ' ID Rr;l 4n EN

. ]]f,nD ]N D))nD lluit EHn

:ll'llE

ntlP:lln nH 'ltr)l 'N

rttN lim "n+r = | 11)3r;71 n)nn lntDl lrlDn ,t)rn: rl\rnr\rn trNu ltru fN)D :irl)il

n*t 4u

yrrp> iltN Dr)nfD nlD: ))r) N5 ,rDrr) [m {[ = t brp: rtro t)tlroil lntn]

rrl'utrNlnt,?

CIs9D

tx . f ( n )=a , t ) n t l ) l [ t , - )

yu iT ]n r r l t l , t l t J l t n ,n l t J l n t v? ) t l . / ( x ) t i l n

@ o

.'rnrf trrrltnD tN lnrt trrEt)nD [f eVr )]rrnn l.]lu]'xnr la, llun1 l

f ?prn

rlrgi ' l ,\D n]Dllnil l ]Pn

a 1

.rnrr,)!ui7'teDD a>0 rrou: )-|- 'nT n'='

6 1

T-- .- ,:7 n'ln'(n)

@ 1

t")7 n,ln(n)

I.nlilrl nrfrrn,nrrj'r rI nrlp)l!. x> 1 r>, f(x)=-+;

x ' '

Drnn)rurrxnn,,, i g =u-i4=-lr i .* l '= t . f(n)=+ ,rrrn)

I xt*" b-- | xt*o a nnn xo It d nLrq

.D))nD rrun ur lr)r

Page 169: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

r67

. =, i' - x

;

, .=:

: j

=a€

.tr'r)utrxn ln:n ru nturtril ): nx nnrrpn tt nrlplt! . x> 2 ,>, f (x)= -+ rn$ ,fxln- x

, d x o , b ,) l V n : - d t 4 N , l n x = r : i j ) ! l u D i l n N q r ) 1 1 |

f f i , = 6 6 [ - { -

x j x l n . x b + a l y l l f ,

b- ,h ^! dt ,. 1l*.D))nD 'ltun E) 1r)r o::nn )uut,Nn . lim f --*- = fim | -; = -1fl-l

a+o i X lI1- I t.+-

f" t ' ,* I luz

.r)uu)rxn 1n:n )u ntur., l . l i l ) t nN nnrrpn .rr nryp)t! . x>_2 ,>j -f (x)= ,1xm. r-.

dx ,. nr

& .. . th. l lun l l fnn]n'H'In' ' l rrtnn )rru)rNn . | ; =t im l* = l imln(ln x)l^ = oci f l n . f

' * - j X l n X b + q - ' t

! ,rln rnrx) rn'r u::nn) pr3r1 p! ))rrnn )tlu:rxnr 1rui1 :il)il

trrr'l prllp

ilt]r!

f : t r n

.Dl)nn Llo,i rrulnrnn E')rllr lra rru trN 'tlnnf, D))nD f a,, rtun,u .rnx)t :

- a - 6 ,- _ * _ . _ \ : t I a - -"'N:nf D)tnE /\ a, t.lDi.l,lp..lDN) ,..l]tnE ) ia"l l,lun]D))n,t ) a- rtun nH, L t n L a t t ' t u t l

l i r

o!uDn 6

T r t : t I' ( trr]nD Lanrts. p))nD Llo,l uH , 1nrb: ).nlrn nrD)lr ln nrtrr nulnrD nlDDnn

ptun

l ll n | - n .

,ttgl--al = f 2l ux .rnu)r rru f a, 'l'

I " , I I

II

= -ln2

lnol 'r

.r 'rrnn Io" ,n lEV"inl=I>1 rHI

,,Dr'tnRD DrlD& Et, .rrp,, NriTr i {-t),-t .c, .rlu! .nrfrrn il.11D cn r;1y'I

yr)ll) UtUrD

rtH limcn = 0-tp rrl)r ryfu n |)5 cn,r( c, :uDD n.Trrt nr:ru]]rn] nrfl,n i lrrD c" r;.15

* , . . " . ,.D) tnE )_ ( -D" - ' . c , i , ru i t ,N

0 <,9 < c, ttH 'r'ruir Dr)D N]n S !H 'l

.ti::u il ):) i& | . .,-, :DrrpD Rn lun ,u ( nriNrril ) i lri l ,,

. '?t)ftt) ntu" jrri:n: N.ti?l uglrbn;p p:p:rpDi1 trrllD) :!pl

Page 170: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

168

I.Tt ln

:ll'tn!

nru))nn . ( npbnrn nrD))n;.r rp N,r ) Dr)nD il+q l:rr jtT('')l= t ,N71 n '+ l i ln '+ l l n '

3 sin(r!). ) .--.+ )'o n'p::nn nrrrr nubnra7 n '+1

S , < r n + l) t - l t '

' .

t

a * ! l I

)(- l) ' , . 'I

i-{?a ' - I

n

n+ l

T rrr.lnlruil tu n'lDl)nn nN 1ri7n

,- $ sin(n!)'l ) -=- 'N

I n '+1

i (_'".' . ln(m) ,rA ' n

_ ln(n)

,,=h(n) nrroir p)r x>3 rtJn

Inxit)PDD) 1r)r lip=..:: = 6r = x x

.Dt)nE rtun p)r yrlyr) tlu rnt trltrgt . li* h(n)

= 0 r) ttiT)n+@ n

i(-t)'- '. ln(n) rrun 1:) . n>3 lrl h(n) t I ').r1rnD i

h(') .,,on? ' n n n ? n

') tpr!)) 9): nrrrnH: nrxrn) rulx . n ) 3 ):l nlrr

, la ' Io, =lu, _rl tno: :i])Dil ln3lt n]!r!DNt rrun )pr nulnrn nlD)fnn i711I ':

tol.r 1,f',,nrxr!au'x) T=i#i l#l=Hl#l ,,_

ulnn: D))nn tfr'lrun,.rnr)), y*?=lol"1 1:)r ml#*l=t

ki*l= I ') o -) lxrra r)'N 'lrttir )ur r)):n 1r,Nn lal> 1 rt:).u:rnn prr)r

l l . t

ldl> I 'lr:y ''t'rirnt

lal< I rr:l Dt)nn tei.'l :Enf,rtr7 .fl:nn lun 1t)r

. : - l - ! l

){-l)'- ' .-r .ron 1:)r rr:nn I+ lrpn r)r,ltn .D)lnn rrun p}r yr):r) 1p,ri.rr ,}T in ? jn

,. ln(n)Itm = U D)] Df-lI cnn1a n

.rH:nf p::nn

n';Dn r> ntNtn) gr yr1lrt tlu tnfu nrltn| n: ,1

.tN)nf Dt)nD

Page 171: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t69

. t' =

' , i. l

' - :

: ;I

:5

:<

: -

8 ,afi

@ 1

. F(-l) '*t i lun nn)7 ' n+( - l ) "

? Ytl f l r ! ' l lU l i t l trNi l 'N

? Dt)nD llun ENn ')

: ll1ll!

I . - - i/?' l l :y] e,,=-----:- Tli]t t>n n i lf), . EmC,:0 rf tnf . C, =-------:-:::- ?DD) ,N" n+ l , * ' n+ (_ l ) ,

r )n tNr tnupx) r r r= I , c3=* , r r=1 , . . . : ) rD : . r ,=J -= ! :p : r l t r - ru3 Z ) n - I

til ln ;l 't 'tnn 13tp yr1]trt u!u,n 'lu tro .prrpflD N) yr11rr) uoun 1:! .n.rllr i1)rg il l.rDil

.nntn! nlNu) nryln lt)] ,nl)i]

. lT1)r: rnlnD (-l)'*'

;r_ry ')r:n rttNir trrr)Tt ptton n 'D'y.'pf,y ') t) orru:

! ) r \ r t lun'rNr; t ; l ryunn 1:)r (ot)nn..rr r l i . ( -1) , . ' .1 . , , . ron)ur))rnl f ,Ni l rn l7n

(-l) ' ,*t -+ * - (-1)',- ' .1 : u']! i l t plln: , nNf nr)lnt r)n + ( - l ) ' t . t

(-l)'*' -+* -(-l)'*' .-1L . ' l r r l t. - = i - l ! - " - . _ _ - = - . :\ ' / , . - \

.]'rrnD'ilun prl DrN, qNlu r)tN l]un )u r))rn .lf,rHn JN qtnFE ]]D rilt ,n

n + (-l)', n. ln+( - i ) " ) n . (n+( t ) ' ))

t t v t t

q 1

( yurl) rir, lnf ) D:tnn F (-l)'.t .l luilTn

F t i n " t

II

. ( nxttrunn lnln n]lrlnNf, nrllil) )i7 ) c))nn] 'flJn i---_L--? , ( r+ ( - l ) " )

i(-t)"' -+ * D'r N)ir nrponn 1:)rT ' n+(- t ) "

( ! n)l i l ) . rr:nn L(-1)' . ' .L.J')

1I

--F_-

'ln + (-l)"

4

10-3 )yn),ryn i lnr t ( -1) '* i/ - / \ - 'I

11 1( r ' t+ry ' r } u '111) ' iR ' i " "* ' =-G;tX

t ' lun rl nr:tn) lnt) nDlt JgtNt:it"tll

9 trr'ln

rtun )ur Er)D f,\)n

:llftu

l))t Yr;1tt5 l lp , ' ' ' f

1I, -T

Page 172: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

ullrD

sr, Lan DN

I

@

- F . \ , 2 ' x |t v / e a

H I I

I

- * \ A r rg b L / / , u 6 a

I

\t.I

@

> l ( . a -I

6 )= I- n / 4

I

s r ,

I

S1 ).e))nD La;

I

.D))nD TN

I

la,vln

s1 )

La; trr 'I

\'L

I

s> a - t )I

.Dt)nD

\-!

.'llfnD ) 4- )fNH 4

I

if-t)'.' .1 Dt)Dn nN lun) p)!DD 1fit n> 6 'rrry tr,pnr nf rN)n?' v2t.

ttN Dr!))nn

.yui7 t b,

( rpn 29 r)ilaL l p!\pE

gssl r l frNnlDnnf)-)y > a_ -n )t irnDnllu Zbn

-t l l tD:.u)nntDl)nD fqn

t i .s ' ,nT " r . r

.)t:rn tntx) trlD))nD Drlluit t)1, rtx . ( nrntpnt Dr'tfrxn n!)Bn )

nNiro) t \ ) !N, ( -coS A<q ) AruDnl lonr) , r rNrHtnf u t )nra io . o* ' ,?"

A -) o::nr'nun\,l) u:nD 'r' lui'r rtftN

1o )t)ln'i19il lN n)li]

D: rrN D:)nD r:ttn rtu F a- DN 'N

I

osr

D))nn llu ) 4_ ElN 'fLI II

I

S- ')rtN D))nD > 4: DN 't

H N

I

@ - @

r r t ] . s r.Dr)nD /lai +t rN D))nD tfiln'l]u

La, tr8 '1I

1 a

I im(n 'a, )=1 or l t l r tn lu Fa- ox 'nn * \ r I '

2 ? "

:llll1!

o -) nlNll, nrron .lt)) 'N

Page 173: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t71

. ( yr:frr) 1lu ) Dl)nn

€q--

r) yfl);lNlllriln lnlnD -9r)nn zI

.orrno ioi lluil nllunI

I

a = {- l )n ' - i ) ran) rn:: . l l ) ) N) ' f ,- n \ - / I

{ n

.rr-o f.o,' l>2t a) =L ')u'ItDI

\+a1 r:---+, ,F oi, =U 'tr'',rtnn l'lrl'-'N: unnul 'll)l ')

r) a- t tN

l

t )

++ a :n -

2

iF- )

1r)t o;o:rnl La; '\

I

il tr'rrun?n'

, ln t t

t l * ' l t tun utT n .

.0))nD

. r .r f ,nnt"; , ' - t l rui ' i R'1 F*r lF=1*0 l) tr } tg' ,=o ') '1 'r l rN: ' l

I

f o tr'-rluir rlu '}rttn nbqtl\tJnn 1n:n rl) 1:)/ d n

l

l im(n .a,\=t imf g" ' l= + . i ' r)) 'n

; : ; \ ' - - - n l

, - " [ * / 2

.rR,r D'lrf,r" l;

.,r

Ti b r+b"+" '+b ,

4 . , o

.D)lnD T "l1+a ,

$^ttN .l1fnn tLltn l ' i tJ lLU,I

tt )tltn

: "11$i1 lN h)1n

€sf

' tN 9))nn r l l rn ] ]U Ld, DR ' ,N

l

(-a

-r u)nn: onnn /a, :itll) '1

I

.!llnb

(-rrr.r.o:rnn Ld" :jM) ',)

I

an EN ''1

f - / t \ r -.p l )nD ) a ' ' ( - t ) ' or

i H " '

1

€\F ^ -'t irt n 'lr'D-nn ltnlt ,ln)) 1lp lim a, = 0 Olt ntfltn n'1'IDLunr

'u/ lJ .n* ' t l ia

l = l

Page 174: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t 't2

: l l ln!

@ ^ 2 ) 1

.Dr)nD t-,- ' ' t luit i lNllrDiln lntp,r,, 3-.4 = a; < a, . l ' t) l 'N

I l+a , l+a , | "

. 8n,16 1r) t r r :nnr,r l ,n lb,

r run . B,=br+br* ' . 'b, lnDt. l ' r ) ) ' f

^ 2

, , * , , . o l , . lo, l lxrn. B, > I o,) t r r i r roon n'D1y'n:y P)q + D 2 + . " + D n

I . , "n , .irun nNttunn lnfn t!)

Ab,+br+ . ' .+b ,

rt t1''1f, . a, =(-l)' .1 )ran) rnr: .I:: x) ':n

S 1 / 1 \ n| 4 . . . 1 - t lI

.o))nn

sr]N .Dl)nn > A-' L-t t'

I

sl= ) -7n

14, =(' I' t \ er l; l

FLk= l

.lTtnD

11.o, ,

i - ru ' l : a" , pDp ])) lgr ,

=O . Mr=l rn l r . l l ) l " r

' ' r / r \ 2

rnr r))> r!',Nr. ,", .[l]" -u)11 an. tr"p. Mz=[l]- '.,""

arr' 'n'rnu y:r) nx)r\rnn lnlDn. ",. .[,1'J- -v 1) o,,trr)p'rrH

\ _ " I

Page 175: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

173

nDriDl0

16 Pl!

)u nnrul nltro

NTDiI

\ = D 'rtfy DN .rurn )y n,tDD D trlnnr n)lrnn t)r:u {f (x)}i nlrp))! n.rTD ir)tn) 'irn

Jl'vplln nlro )ru nlur)nni'r nti?i xr -n .''DNJ 'rN nD))nD {f,G)}i nnoonn nrro

nrru )rp 'trrc))Rnil Ernn' Nrp) { f,@l: Rrt!i7),r!i.r nrrc }ra nrD))niln nnrp: ): .;orx)

. ntrtp)]in

!nu: l:)r x -n nr-5y !:p: n)ru .RD))nn {.1(r)}, n-rToir nrs))flnil urnn) pun x )t)

,Bl,ftl = f {x') otur:r l-(x) -: )run nx

.:urnllDntnn:n'r' l 'T:rn "/(r) -r {nf"l1; .u}h'l) ; E,N nrry: )r:rnnrprr

N ')::p 1sp6 prrp e > 0 l>Jt x e D ):) nx /(x) n')r::n nrsp:u) nD)rnn n.r.rDn 'fH

. l f , ( * ) - " f } ) l<u b '? i7n ' n>N )>)ur1: ( x - t a - t f i> l r r : r )nn)'httrnp) nlDtlni]" D) Nti?: nNr) nlD))n;'l' :nt}'n

r )nrn

n'r7)r!n rnt)t, l imf(x) =J*' =l.rl 'rH.' ' '\DDE; ,>, .f,q";=.p7 .rr, ,N

.run )r Nrn nto))nirn Etnnt ,f(") = lrl Hril n;hun

. t imx, =r t r l= { ro . ' := ' ; t ' t

r rH. 0<x(1 wf i . f , (x )=x^ , :

ill?il

.rurn )t nrrun D trlnnf nn'rrlD fivv {f,(x)}i nwp:n nrro n)rn) rnn

nS(x) n'r; lu)npr:nn iS,fryl" n'rp)l! nrrD DN. S"(x)=Ir(r) -r iD!)

I: =1

S(x) -) Dt)nr.a Fl)ypllir r1rr.o.'tnx),t S(r) = limS,(r) = ittx) lnut rrx D n,rnn:n # = - " '

n = l

Page 176: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

174

)) on D urnn: S(x) r$ru nryptn) DlrnE 2t Al lDir : s, N nrnr: nrorrn = !

n>N ) : )u l> (x i e - r ) ) r1 r ' r : t t ) nn ) - l / r y :u tDonn) r? s>0 |a r l xeD b ,

ls r1;-S(x. l l<e tr , . 'pn,

. &(x) = S(x)-s,(x) '',r',rn t, n'rx\Dlr rnrnS ):tr s(r) ;:rrnn nt'vp)ren rD DN

2 trrln

.S(x) nr)t:l i' 'rr!i7t'r! xyn. 0 <x < l rolt i(rn - tn+l) nrrrp:u'rlu itn:

l

:ll'tl1!

J ^ ,S,( r ) = I ( r "

- r ' * ' ) = (x - . r ' ; + (x t - t ' ) * . ' . ( x ' - r ' * '

) = - r - . rn* r

L=1

. 0<;<1 r t : l l imS,(x)=x ' ' r S , (0)=0,E(1) :0 , D1t ' t r

Ix ,0<x<]5(,r) = { Eu'D)

l0 ,x=1

( illlu inrD: n'D))nil ) il'lTlil

{f"(-)l: nr)lillrn nlrurrrnnr .ru.'n )y D urnnr nlTrrln f (x) -t U,(r)}, -u n'r:

( e-r pr rrlnn )'y:u N p:rp e >0 tr) oH Durnn: iltur ;'lT'Df /(x) nrrplt) nu:rnn

. l ; t " l - / (x ) l<a p , :p iD xeD l> l t n>N ) : ) ra p

p,')1f, nlD))nnt ru'ti7 nnunp

rn>n>.1/ b)rl fr A/(e) 6ni2 € > 0 )r) DR i7rl ox D otnnr u,,,Dt nul)nn {f,1xy}i nrro

. xe D ,r> l f , ( t ) - f . (x) l<t

e )u lynn nxl .r e D )u llyn nR tnrn: n)'nn ,n)rlrn nlu))ni'lir nrrlnfu r) nna : I iftlil

.tr)))\D .r ')1y tnl luN);l:nut t 't x nrlnf,t l)n nr Ttr'lnttt , N )u'lt)rn nHl)'tnt tN i7l

N )u pn nH t)filtxt a )u'ltyil nN utn: nlnn ,illu n'rrnf nrDllni'rit nrnnt 'rtxr nnry)

. x e D ,!, 'l'ry ):) uxrn trrxntu

nnt'P t) ntHrn) PISDD /(x) lrviltE) uuD: nDr)nn f,(x) nlTDl, nr>rn) rl): 2 il'l)il

. l tgo(nl=0 D)] xeD l>l l f , (x)- , f (r) l<(D(n) -ra?(x-rnrt)nn:rx) @(n) i l r lp) l r

. 7 '

Page 177: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

-{_:j

.e

,+Ea?

::+_--=

a:_€

':-:E::=

41 =

:.+=

a =

::1

:i:. =

] ;-=

:!',:',

.!

: l

_a

.

.:

t75

do > 0 DttiT r) nr*:nt v, -f (x) i v"ntn':rnD x) f (x) nrlorD n,)ri.r, rr) : 3 irrDil' l f,AJ-,f(ro)l> eo -ra.p xo e D nrp) nn,,ilt n> N E,,p,yf,uN ):)u r:

3 ,rrtnnl'$JN nD)tnn il nrrD r) n))i.r. 0 <x < I wpl f,(x) = xn n,t,yir),to n.t?D n)ln),N

.;'Iilt, n.rrD: nD)lnDI 0 < x < 0.99 yopt n.nlu nt,D: nDl)nn ntloil ENn ,l

( ^I U. f (x \=1- 'l l( - t

i. .r0 = -. i.l.tl?) lnatl

" n l .\ / 1

:lllll!

0< r< l

r = 1 ntviDD) nut)FD n.llDi.t r) urN.t I )rltn: ,N

n > I'l lnil ny) .rnu)r rr:u N lfl::r eo = I _lD n,))

.rr,,nf, nD))nn H) nrrpn p.: l-f,(xo) -./(xo)l = f+J' _ ol= 1= ai\vl) | 3 io

rnu)r s >0 rn:r. lJ @-.f(r)l=lr,-olco.ll" D to,,nJnD:)nD nrron:.r -f trln t:rxu N ):p: 1:)r r -l rr)n t),,N nr lt,t,*D-,N 0.99n < s lalt.r)l

. i l=l rs" I' LIe O.ee l

q )nrn'u 'hf ,n ' r )nDi l : rN1H 0Sx<r vup:nD))nn - f , (x)=# i1. ' r1e;1 ' )n) ln ,N

.rurn ): )y nrru ntn: np))n n A6)= us7 n.rrgn ,) n),tn ,r

;lllIlQ

Hl#:r=!iq-#-;= lim 7 :-r ,, =o ,Nn - d I + n ' x ' n + * n J ( * * r r ) , t t n ( * * r r ) -

. xo e [o , t ] ' ) l l i r , . ro =1 u : : . n>N rn : r ,y ru N br ) r - I"0,= o

1nr

.u,,8: nD))nn x) nr:pn 1rl l l ,(xo)_,f(xo)i =l n' i

. _ol=1=air*n ' 'J , | 2 10ln ' l

12.2.09
Note
what about x=1? it doesn't MITKANES
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only.
Page 178: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

1=-F- ,\ ln

h,11.f,(x)= \f,e ,l

ryrrl) lrnu): e>0 rn:t

.turn ): ty u,'nl nDllnn

:11'll'!!

,4 ( l )=0 , f , (0 )=0 'N

f , (x) - f (x)=N' -x ' *1

4Jarn

DH i7il EH D ornn: /(r) nrrptr!, ilnu nlrnf no))no {tfrl}, nutp)Mr.rD:lftil

l '*Ylr'(r)- f(x)l= 6:l'l'lfl5

lf(e) ty111 15pp 6rrp e ) 0 )r) p) .f (x) -) nrru nrrnf, nD)rnD irr.rDnu rtr)r : ,N lrrr)

,supl ;1x;- . f$) l<s 1:) r - reD h, l f , (x)- , f t r ) l .e t r , , i7n, n>N 7*vp

. |ig rut l, (r) - /(r)l = 0 ,) .rD)N nr)n 4 x e D '

n> N )r)up 1/(a) u" i7 e >0 j>i :1:) , l i {nsupl" f , (*)- . / (x) l=0 f t i r : , r f t r r )n - + 6 x € D '

xeD |nrlf,G)-f!\ l<supl41xy -f1)l ' :u.r!n. supll lxi -fe)|., p,phnrEU xeD

. xeD >>5 l f ,U) - f ( i l<e n>N ) : )u t r i / (e ) ry1p leDDD"p a>0 ) : ! i r l r

. D -t nnu ntrDt nD))nn n:ron prl)

: )lrrn:Dl'lTD )V nttU nTrDt nlDt)nilt RtD))ni.l i?,111

0 S x < 1 , f , ( r ) = x ' - x 3 n , t . 0 s x < l , . f , , ( x ) = x n - x n * t , R

i

t:I

'H"1, ( " )=o PrrPr lF o<x<1 r l : ! t

(f,(*)-,f(t))' = t7)cn-t -@+l)x' -0 :Dl' 'rl lDil nN NJn) .

f ,(#)- f(#)=(#)' _(,*) ' . ' :):p: ., ={ lHrn

;F" ^_g{ar -

Page 179: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

177

. .sup l t (x)- /(") l=(#) ' -(#)". ' 1)r r(1)=0, f , (0)=0 t t : t :xe[o, l ] '

l,u), F*g|l,rx)-/(r)l=1E(#)" -(#)'.' =l-l=o r> nrxr) nrap x)

.i]l'lu n'ttnt nDl)nu ntrDn

. | $ , { , ( x )=O

6 'pFD 0<x<1 r t : v t , I ( i )=0 ' r (0 )=0 ' l

0SxSl -) n: 'urn i l r rp: ) r=rG ) :p: , ( f , (x)- , f (x)) ' =f tx ' - t -3nx3n-r =0

F*.,;1,1;t")-/(')l * 0 1:)r t',edlt-o =('f)' -('d)" = #-4

* o.nnu ilTtnf nDl)nn x) nrtun 'i:rl>

o )arn

(o,b) nrn! rui;r ir'nl, illlnr /(x) n'r;::lo) nu::nnn {t(")}; nl'rit)l! nrro ntln)

r , 1. lo,bl.f illtp nl'rf, ngt)nD ;l:'rDn t) n)'ln . x = b '1 .x = 6 nfllPtl nD)fnn 'lDllll

:ll]n!

0 :Jtnl

(b) l= 0

tr)'r , Fgll,t'l - f@)l= a .r'.,tr, 1,*{,pt,ili"l -i(')l} =

)'un H {,r;g,|l' 1,r1 - Ttxrl} = o rr)r ly1lf,ot - f

illflil

@rF_r ^ .

DrDt)o n.tTD DN D otnn: S(x) nr)rrl nryPltl) ;'l't'ttu nltnf, D))nD )-J"$) nltli,l]! ''l'lu

n = I

. D otnn: S(x) ') illlu nltnf FD:)nD S,(x) o"irtn

nttu nrrn: ntot;nn) utPuttt lnln@

rrunr D DlnnlyrD /r ,>, l.f,(r)l< a, ox . D Elnnl ltt"l n'r ' jP)rl ' l lu )n'n= l

e ^. +. D nrnn: i 'utt, i 'f itnl o))nn LJ,U) llun tIN Dllnn tlitn tlu N'li l l4'

F - r I

Page 180: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

178

7 taln

:nllU' illtDf n'lD:)nn ?'l'tf

* ( - " * r \

osxsl yui,: it;-#,J ,-

.rurn ): )v € sin(zx) '\L-77 ^

:l11ll!

s,,(x)=t+ +).(+ +). .l+ #) =*#'Nlsi")-s,,(.r)l =l#l = *.:, |igs.('; = "

n)N ) "=[i l

lN)n ' l" utrr: ' tnu]> e>0 '1nn

. 0 3 r 31 YPPf nlll ' nltl!: D:lnD

. ? t ) f l r ) ' r t u ) f t n ) r u n : r y : u n n u l ' D r ) n D l t u n ' 1 : ) t y r l p ) l l u . | i l f r l n t N t ) n u p x ) ' l

l - t I I - --- -- . -Lr ^: o r i . , l iR fxt l I -

1 'N=l- l ) :P: . -<t \n ' l ' r ) r tnu)rs>0ln l l ' i t ' t t i l t#* t ,

Lal n

. i111 \Dn. l 'D ]D) fnD1]u i , lR , , l ,o . }n t tu i |T 'D]nD] )nD.1 |9 i1 )unr rxun l : ) t

tqj*)I. l, :Dr'o\Dlt'rl lntnr \Dnnu) ')

n -+ l l n '

. i.rl\u nrtDl Dt)nD i#

.ru'n )> )Y.

.rurrn ): )Y

rtun i:)t D))nnl 'r.,'n I# ''''on '

I

1+nux' >W2

a+ D >J;b :trtyJlDD ll'll\,'t*l unnu: "I

:n r .a ,b>O 7r2 - ,

.D:)nD'o,n ia 't',on, ,$

=# r"ir., #=!,*'os ol

= ilun DlulD'tlt lnln rl).illtu nltDl D:)nD L 1* ru x2I

: : :an ' ! "tsLE;li. .. -

Page 181: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

t79

u5utl

i'r'r'f p nl'nf tru ntD))nnt fa,b] llro vupl ntllt)nn nllp)t! nlro {f,1x)},- 'nn '*

D) 'rN nl!'rt .f,,(x) nl'rp:rln la,bf wpS r)"rDi'r ro nlrp): aH./(x) nryprro)

.'rt iliprr nltrr /(x) nr)run il)yi:)'tei'r

f (*) 'tx /(x) ') nrtrl nl)n: nor)n n la ,bl yuiTr nt!'rr n\tvi7n! !t, ;rlrp trN 'f

.n!rt] nryPt,l! Hrn

.nt,vi7li! nru) nu:)'ruoH r:r):x DoIDD:!]E

lim limJ(x) = lim lim f,(x) :"'p hD)) tulx b'ln uluDn nNf+lb ,+4 t+@ r+: i

( ulunt E,,u"llebn D'Ntnf ) lim i l-f rl = i ti* f.(r) :trr.lte) rrlhb{ nrDrlr + r b a - "

T r t r o

:'tl!i'li'l Jll't)l U9\rD;1nX nC:b 1nt:

(Dinilulup

/(x) norrt nrrp:n) o:rnnn [a, b] yupf nr'l'nl nrlrr.l nr)yp)r! r,n, i t f"l onn=1

.nllu nlrn: Nri''l ilu) )u nrclrnnn rtx

lfrN-1:tN i'l49tlu:rN

iT|rur ;r'rrDf nr ),upr D:)nDil [c,bJ ruo yui?] nr!'rr nrrrp)r! 'tt; i f,$) ,a,n= l

' r . . . . h ( o ) r - f n Ilf OVr = [{I f,u\lpt = I { | flrlar !

"n l'(x) nrh:r n'rp)l!):17""

') ?l i ' " )

ti^u | 7,1*ydr= [ i,,* l, (-ra' ]' * ; \ j ' - - )

:In1'r9) rl't):N ntDr)

.llrR..lfrx it.lril

qE - - f

i'r'rrnf, D:)nn ) f" (x)L / J n '

i

lrunr E\r nr!'rr f, '(*) -, fo,b] wp: or)nD Iy1,(") ux

(>,t,r"l'l = if,'(r) 'rx [a,b] ,uPr nt,\ .? ' " I T- ' ,

!y1.f,'t i l= (jr* l;(t)) :r'111rD) 'rth* ntDr:

't-lt

Page 182: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

180

S rArn

.illrrl nrr)r nrylr nrrr.l nrrpnli.r t) n)]n .-rurn t) ,v f (x)= f sin(nr) ,nn

7n '

Ssin(nr) | , ' tL-D'l'ru;] D1u\rl''n l'r'1u'']i2 ;E) l:)r lsin(r*)l= -

I lncos(ru)l . j|-T n' ' - ''

I no l- n, ;-7-l= I

tlrpnn l)Un nN ln) pt'r nlrn /(x) -r, y:lr lN)n.u,,Dr trD)lnn l cos(Ir)

?n '

.n!,r.r -f,(x)=f cos(I4 -1.,rf,N-.ry*

Tn"

9 )rrln

0 S r < I lup: rp,,nf Dl)nn * i("" -",*,) ,) n)ri.r ,N

r l im l [ r " - . r ,= ' )= f l im(x , -x , * r )=0 DND, rr + l - f \ / f . * r \

- I -

:111119

: ) : p : p rn , S " ( . r )=1 -x +x -x ,+ . " . + xn - x r * l =1_x , * , ,H

p)r 0<x<l - : l r ! 'yr n:rx nr)run n'yi7rei.r . S(r)=l imE(x)=J; . t :_i ' t

r tD,,Df DJJnn x).:tun

L 'n lDttr) nnnn )r:rn ny'r:yn) i?rlult rmn l:)r tr',Dt DJfRn x) :rUn ,N qDrD ,!) ,:

l+ [{t" - t"') =

JgP S(tl = JIF 1 - I :'rrur lotx: br:rn nN run) ,p trN .tr)'pnn D'N

a

. f u-(" ' -x '* ' )= o ' lu l ln\ /^ r - l

! ri7)n ))rN 5t:rl urnn :DDrD)

12.2.09
Rectangle
Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only.
Page 183: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

r8t

17 i71!

mrrm tllu

S a n l.n lPtn l rp N1i7) Lorr" = Qo * Arx * Arx" +. . .+ Q,xn +.. . ntJyir)M,rut

n=0

.1 tu ; .1 rD lpn N lp) a0 ,o1 , . . . ,Q, , . . . t r r ] lo lJ ,

.llfnn tN D:)nD lluit trrlnN .r rl']y ilf,), . .r = 0 tlfy.r,rnn D))nn tlun

PIIDtr

(-r,r) n)n! yuiT ):: u)nn: Dl)nn .r,ru' 'rN x0 * 0 ,rry D)lnn tr,r, llui1 ENn.0

. (-, ,r) yui?t ))rnn [a,D] ruo rp)n rup )rt nrru nttnt D:)nnr , r = lxol ^r\rN)

€ @

)u utnruu). xo -rD:)nn Zo,*' l lunu nur /'=lrnl tno:.Rli:rn rru fa,x' rnrn=0 n=0

t:trn ltDD) tN 0 -t nnu nrrn) )r>r urRra ) .1lut1 )ru nto:rnnn Dtrr.l NtiT) r -n Dty 5>( rlrtr:rHlN lnut)

Dl''Tr 'fN ( lim illa-i = L tN )n + 6 u l u l

. I =oo t rNR=0 - t Z=0 t rN R=co

x = tR nnyiTt Et Et)nnu pnrt -,R < x < R

u9uDl l

, , 1 6 " - t l -I lmi-4r-l= I rltDIN ,tN rD]D 511 prriT DN'*l an I

-p jnl Drnr:,r l)N . R = 1 Nrn n!D))nni'rL

rlun'! yuir: utnnt D:)nD nlprn .,nu :lIlDDD

. lrl t R )t) rr:nn rrun@

F

xo r\DNl )a,(x-xo)' nrprnl lD :!fpn=0

. t=x-xo nt lnn n,-)) l to,r,n=0

nr'o]'DpDit nlty) Rrtil) lntt lil\Dt) llDD Nln

Page 184: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

182

1 ttrln

:r|li7|n r1t9 tu nrc:)nitn Dlnnl0lrTl Nln

^ / . , . ? \

i[!!2.4 ] ,, ,^ f (x-J)' ,r i{ ,n

"1, n 3 ' ) ? Jn ?nl

t(:.1*1 .*1'1 ,. ,t inr*. ,1?\ l 2 3 n ) o

:l1"ln!

- 0 ,N

R=1 l ) )

.'rlfnn, i+ rrun nH ):p: t = I ruy rnr'rri7i1 nN p'l:H I

r .J/l

.D))nDu i+ yrlyr) rtu ):p: t = -1 ttlyi ..ln

1<r<3 , -1 <x -2< l 1 r )1 -1< /<1 :N l i ' l l t g i t ) un ro : :nnn t r thn : t r ] )D )

$ n' S ln(n) ". ) , * x" -t > --\ / x't Drnpnn rnx 5> brtr nto:lnnn nN i;lTtl

'ti -3- ? n

f i* l tul=161 'h("*1) l=1, - * l e , ; , - .1 (n+ l ) ln (n) l

D))nD t** rrun , lxj > I )r rr:y rrrnn i ti')r" .run R: = 3 i)tl

73. : : 7 n

-1<x<1 rrrvD)rnD i f@-*) ' " ' ' r runurrr : ' ) t l t l .3 ) r r t :v

" t ' n 3 ' )

'r 'rrnn [email protected]] t rui l .r=l ruy :rrr iTr prri l . lxl>t :: 'rryrrrnnlf [ n 3 ' ) i

.R =1 Nrn nro)rnnil ern., n'rn'r* n*r,e:)nn 1*'r'r'rrnr'rrnn Try

ru'')

r'ruir Dr p)r orrnn ;.ln(n)1-l)' -l i4t-tl' D''r'ru.n rnn )r x = -i '*r),? n ?3" '

=i .Rr=1 ir l r

: : :: f f i ' -

!; , 1

Page 185: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

183

/ ^ \

D)'nn it!!2.+ l (-r)'' I n 3 ' ) '

. -1< r < I Ntil tluit )ra ntol>nnn trtnn :Dl)D)

Io ,1 , . l (n+l ) t l.x = 0 n1i7)f p"l Dj)nD 1un . R = 0 lrfr Hml:2+1= lffil-----:-l= oo ,Jn-nl o, I n-al nl. I

l ^ | r . r ! _ r _ t - r - . . . r . r _ r ( t \fimf:tl-t = limL},r=*_.z_;:r = Iimi 1a-----l1r- l= 1,i.1n- " lon | , * i+ i+ i+ . . ' ; , *L i+ i+ i+ . ' . i )

R=1 Nrnnto)rnni lD ' rn t . co - !c tx lo 1*1* ' . . * I r : ln ln i ' r l tun : f r t r ru' 12n

x) r)):n 'lftxn r) l'rfnn rtu ):pt x = *l tN .r = 1 nttrpn nN rlli7Dn ttut frt) EN]

. -1 <-r<l :r ' l lDl)r i1i l ornn .ugx)clntuptlrE

d t ( n ) r - tr r r 'r , '(x) = I+(r-ro)' rr),,u rru) nnl) pr: /(x) n,ypl!Lxo-h ,xo+nJ ' j J . f . n ! \

, | r$&(x)=O - ' r x0 n: ' :Df r ro):nnnr i l rp ' - f (x) - , t rNi7 ' ' r ' tDN ( h>0 rroxr)

. x0- hcc <xa+h, &(x) =#( r - ro) ' * ' rDN)

:nt)i7n tJu' trttlct'nuD Ermnrg

t tOrn ) : h l , , '= i {?n !

rurnfr)p, sinx=it- t l , #

ru,n ): )y , cos x = i t-,1' ;

- l<x< l , a rc tanr= i ( - l ) " t *2n-1

7 2n- l

- l<x<1 , In ( i+x )= f1 -1 ; ' - ' ' t '

Tn

. m ( m - 1 ) " f f i ( m - l ) . . . ( m - r + 1 )= l+ f t l t+ X- - r . " * -T" - t - . . '

t ti.

.rnub runn rfDn Hti'l r/? l1rNf

-1<x< l , ( t+x ) '2 l

Page 186: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

184

EDI'D

' 'fx . R nro::nnn Dr'lr tr, nlpfn rru /(r) =ia^r^ 'i'lt0

. (-n,ft) nlnln vp?r ):tnn l-','l 'tt1p rp?h lup )rr u'lll D)rnn r]\tn 'R

no'Yr x'n /(x) n4lPllon *R< x<R h' '7

a

. [o,n) yup] n.,lu i.l'rDf, 'l)nD x) la,r' l.'Ui1 ?lt{ r = R ill'l llln' 111}1 trN ''

. [o,nl ypi7] lrttl el)nD l]ttil '?N x = R nvP: DllnD 1]ui1 trf{ 'r

Abel muP

o 4 6

. [* fa, *" =| o,8' ' tN r=R -]ul)nn f a'x" oxx+R-f , o o

nfltnt u9l'b

f(x)--iry("-ro)' -r ,f(x) =ia,1x-x)" D'rtu')t'f nno?inr: /(r) tr!{f rn l 'o

f(,)(r^).tyzv ft 2>l an rtN xo nltlDl

. €s!

f,rrn N1;1.t LAr(x-ro)" nrttnn ntpn rtrf ]rntl lnR nlnt! trttP x0 nftlpf ,tDtb

11)rrP'119 i1r;1)

D'I'E

,rn /(r) =ia,r' ox rnt)r , nluDniln trlnnf lf)H-lf)N rttl) 1nr: nlPln llu 'N

@

. f '(x)--L*n'- '

.lrl.n , [o,t] vppbr itt*7*=to,'ira' :lrrN-'lf,'Rn'vru)'ri 'r

o o o

t lxl< n 'TN nlllpl DDnn rtun on )

2 )tlrn

:!]'lNfil nlttit:lon nx 1'rr)7n rlub nno

1 - . ' . zf(r) =--- 'a

"f (x)= sin'r 'N

x ' - 5 X + Lf(x)=#

- l a -

: -

Page 187: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

185

:111n!

. 1 l antnrln nlfy: ny: . sm- .r = ;'(J Sin X - Sin 3x) nt']unl)llt ' l l, i lnol)l uDnul 'N

+

sin3x=1i(- l)" ' , !"":- i i (-1) '- ' .g) ' . ' ,= : )rpr sinx )ru.4? ' (zn-t ) t 4? ' (2n-t ) l

r a l ' 3 -3" - ' )= 1 T ( - 1 ) ' - r ' \ -

- / ' t 2 n - r

4?' (2n-r) l

.xJ>tonnn r:):rpu run Dl llrl x ):) ottnn sinx = it-tl" #+ .lonu

' Qn+ l ) l

''lunr*') rtu )ra nrnt!f, unnu) . f (x) = l- = t ^ --l-

'fx2 -3x+2 (x -2Xx-1 ) x -2 x -1

. -1<q < I ' ' , ' , r , l = l . Q+q2 +" '+qn +" ' r r l lD l rNt -q

I 1 1 1 I l - l - \ n @ € / " r \

,-z-*= -; *-*=-;T[;j *T" = +[' -fr'f'. -l < .r < I -: D:)nD rtunr ̂ R =' *rn ttun )rl n1g:)nnil p1f11 )f nr:tn) nup H)

hp : t r : ' x ' r f tN l l unnN t l t l l ' - 1<x<1 r t : ! +=1+x+ : ; ' + " ' + ' r ' + " ' ' 21 - x

. -1 <x <1, :D) )nn ' r ru i l ) # , ,

=1+2x+3x2 + " '+nx ' - .+" ' - : i tn+t ) " "

tlp'riltu yfll ntltn';1 ultrDD .to,t' nllyilD nliTln llu l)htil trtnlnrln ):: :fl)Dn

.1rr)pn

3 ,trln

1. .ft"(o) = run ,f(x) = T;,* 'iln

x ' - J X + Z

:ll'1110

p)r rrr)pn lru r't . f (x)=T:-u= t[t

-#]" 'r)t'P D.'ri'n )rrtn:

,r,,)(o)=g# ):p,,[t#)=tP pr,) [t-#) =ry

Page 188: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

-={{

f(x)J[\a,

. 10-3

c )nrn

: o -) frf,DD nt;rrn lo) nn! 'N

)y n)ryn ;:rn: /(1) run 'f,

*2n+l

(2n+r ) (2n+I ) t

.rutn 7) xtn nlD:)nili l Drnnl

:ll1l1!

r ^ r. [u,x1 yupt:u ' i r ' ' r r ] tnh)u) 'Nn l ) t t 1 i* tmI=t -u : )E'u 'Nr-)0 t

: ):p:t ru't.r)uDn I'nntln rll sin.r nni)

,'(;r)=lT"= j=+-- at='!(r-=,** - lit=it-,)'

:?t)frt) rrtu) n:rynt rrDnu) .yr11D) .ilu tnt , f (l)= l{-t)'0

5 )rru1 <

x" x'. x-- +-+...+ . ' t luit tr,t)o f,un

{ ' l

:lt1l19

xt .trtl f tN- r : )N TunnNl l r r ) ] f (x )= x - + - - + . . ,+ lnD: . R=1 x tnnrD)1n i l i l t r ]n l

35

( q=-x2 i1p t ry t tuDlpr ;1u ) / ' ( . r ) = l -x2+xo -xu +. . .=- ! : r tu) )n i t i t Etnnl1+ x '

n>-2 5r9 g;r;:rrn nt ltt l l lrrN . i&i.

(2n+l ) (2n+r) l

11

. C =0 1:)t /(0) = Q . f (x) = arctanx*C ):pt nrnru)txil 'rnN

xt xt-1Sx<1 Ntnn' tp))ni lnDtnnt arctanx=r*?+T*' . ' * : t rptD)

Page 189: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

187

6 taln

- g f - 1 \n . Y2 ' * l. "f '(I)= :un . f(x')=1;.Ar_r) i 'r 'vi7)r!nnrn)

rll1ll!

:I]]D))ni]i] trtnnt ]f)N-l:rN t]uil nN ''Iilil . ( I i7'nt ) ^R = I -) nttu nF))nnn D]n]

g , , a - l 1 ( € ( - l ) ' ' x ' "f ' (x) =I(- l ) ' . r2n-t - -x+x'-xt +. . . : f ' r rD Trr) . f ' ( r )=I* ; :

I I /'rt

I , t . r \ rf'(x) = -;1"(1 + x' )+ C :i' ' l,l ' 'nut'N nyl ,yt) -f'(x) = -;

; :.; ):;::t/ , l +x -

. t , 1 \ 1 '. " f ' (+) =-; l" i 1:rr) . C=0 i) tr " f ' (0)=0 txL

f(t)= run , .f(x)=it-t l '- ' +

'tN , F'(x) = lf @)dx l,iD) . R = 4 Nrn nr!))nnn Dln'l ') pflt, nru;z x)

q / r \ n _ r . r n € ( _ - r ) "F(x \=y ( - t l = - ) t - t= x +C

? 4n ? \ .4 ) 4+x

l r X. ( l.r' l < 4 'l\rN)

, q = -i nlD tr), rltD)rN '.rufilNr) tlu t)n)D )

a ( t \ ' 4i (1 )= - t ) r !5 f ( r ' )= l

^ l= - t ) t

2s \4+x) (+x ) '

s rtnn

.10-3 )ynlryn ornr '1r-o* run0

:ll:I!

I I , i ' - . 2 ) '' lr-r dr=

'f i-t / * = i(-,)' brD ,Drrluu;1 nrn)Dr unnu)

6 ' d? n t . T ' n t \Zn+ l )

7 tDln

RriTfn llu n)-r), nTIrDn f (x) )nn

: l l l I l !

1( --;

10'. n> 3 )rp:r l&1.(n+1 , ) l ( 2n+3)

trl1l) . yt1]tt) ''llU li''lt

Page 190: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

188

noDl

nlltnDu nntul

( a+b+c ) : = a2 +bz +c '+2ab+2ac+2bc , ( a -b ) t =o t - 3ab (a -b ) -b t

a '+b '= (a+U) (o ' - ab+b '? ) , a3 -b3 = (a -b ) {a2 +ab+b2

an -bn = (o -b)(o'- ' + a'-zb * on-362 + " '+ o6n-z *6n-t

ntylfn iltrPllll ntlnrn ilNllun

, a+0 , f f i t +bx+c=0

f

. x r 'xz=L :V ieta n lNno' l la

:trr\Dlt\Di] nlylDNl trtD'l]l) p)'lt!

ltlPD )Ol ntxnut

( o - b ) t = a 2 - 2 a b + b 2 '

( a + b ) t = s t + 3 a b ( a + b ) + b 3 ,

: trH i?tl trN

ntlllun ilTrD

(a +b ) ' = e2 +2ab +b2

(a+b ) (a -b \=a ' - b '

x J>J ax2 +bx+c>O

x J>5 m2 +bx+c<0

-b t

P] l EN

-h

a

-xz )

: D N

=- zo

x 1 + x 2 =

o(r - " , Xt

>02 -4ac <0

<02 -4ac <0

xt,z

axz +bx+c=

la1,LD

faia

, an = a, + (n -lld :r))ln l:tHn

- (o, + a, \ .n (2a, + (n - l )d lnS, =!*-

- :Dt) lUH'1i1Dt1f 'N;1 n Dl)D

Z L

Page 191: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

189

( nrlT)il ) nnuntHrl nrro

o, (q ' - l \q *l , S" =

# :ErllUN'lil trt'tftNn ,4 Dt)D , en = etQn-| t)):n r:rXnq - l

, or r arq + arq2 +' . .+ = :o' : l tr lrDrrN nt.ruDrNtt nrro )u ntrol - q

- l <q<1

DrEt)u ntNnDD

12 +22 +32 + . . .+n , _n(n+ l )Qn+ l )6

, l+2+J+ . . .+n=n(n+ l )2

lrrx)) lag,x=y

a+I a>0 h ,

a* l , a>A ?*

= log, x, - log" .r.

l i + 23 + 33 + . . .+ n, - ( n@ +|1\ '1

t2J

mPmt DrtDllL

. q=b2 t rN in ) t rN a>0 .b>0 J> i J i=b, _ ' )(G)'=' JF =l"l

e=bn t rNp t ' r t rN a>0 ,b>0 !> ) r r l r r n t t J { i =b

. g = b" trH i2l trN r),rt-rN n i>j \6 = b

.a>0 t rNp ' ' t t t rN o *=d i

, a>a

x>0 '

, xz )0 ,

/ \i Y t

los- la iv u I I

\ " ) /

. a > o trN i7"n EH o* = '[oo = (a6-)-

DrDnnlt)

a ) ' = x D N p I D N ( x > 0 , a * l

alogo' = x :

log" (", .x, ) = log" x, +logo x, : .q

rlog, x, = log" (xi ) ,

Page 192: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

!F;p-

190

log,x= l !? . t : x>o , c>o ,c# l , a+l , a)o" log" a'xr ) xz -, btpv log" \ >logo x, l)r)lunrN o )l ,x, > 0 Jz > 0

x t l x z + ) t pu l og . x r> logox , l l r l , n i t - r x 0<ac l , x t )O r ,>0

h,

,>>

llupt )u uttrm

0!= I

Ci + C)+.. .+ CI = 2' , CI * Cl.' = CIil

ilnunlllnu

nttttn lttt tnt )rynn otnr) hln: nrt:tnn nrlril ntyut nr)yu nupn .l.1tt lrt Dnri..t

(tnx lnnr I a =1 TziD I =r .tt)N) . o =! :Dr)Rr"fif,r

2a nrnrxnD 3600 -r:Er)Ntrf n.t.tnrn nrtn nN orHnn) rultt nt)rnl nnn:n nrrrrS

.trtlNrI1

it'r)p) Nrn P(a,b) -u nrl)l Ertrln nruN.l: lt)lnl, x, + y, =1 nt;nr hpn: l:r:n:. a nr).lnn nrtlr) nnrNnni.l )rynn )y nxyntn rnu)l

' . , , n

I

n!= l ' 2 .3 '

r:k nL - - -

" k t (n

' ' '=ic!o0

"oto=t , vana=! , cosd=o ,s ina=b )rN

, , in(L- \

\ 2 a

)=cosa , s in (a -a )=s ina ,cos(a -o )= -cosa

/ \

^[ i - "1=roro, tar t (n-a)=-ranr- , * r ( ' )* ' [ Z

q

) - w v t r L ' k u r \ / , - c

\ ; - " ) = S l n a

s in (a - P)=s inacosp-cosd s inp , s in (a * 0 )=s inacosB+cosas inp

. t ! = l )

( " \

\ k )

( a+b

- k ) t

n-k 6k

Page 193: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

€: -1: i

{:.1

i - :I

i l

::,: 3il

:::1i,J

:=

.E

=i

:t:ji

:{:t,,3:::". :.-!a

, l

, :

: !

i ;I

J:=t.j. ::

t :

! :

:.]-!,=

a

I

191

oos(a - f ) =cosacosp+sinasinp , cos( d + P)=coscycos p -snusin p

tan(a+ 0\= tana+tanF

. tan(a- B\= tna-tan0

\ ' / l - tanatanp \ ' / l+tandtznp

tan2a = #!;

, cos2a= cos2 a -sinz a , sin 2a = 2sinr, cosa

cos3a = 4cos3 a *3cosa . sin3a = 3sin a -4sin3 at , Is inacos/ =;(s in(a+ B)+sin(a-p)) , s ina s inp =i(cos{a - p)-cos(a + p))

1n l tcosa cos B =;(cos(a + fi+cos(a - p\)

L

) l +cos2u . 1 | - cos2aC O S - A = S l n - r ) , = -

22

nlTmrE ntrllt llfp Dr)llr nrlu

00 300 450 600 900

srn d 0 I2

t;\ .

Tt;

V J

T1

cosa 1I

! J

2

6

2

I

i0

tana 0 t;V J

"J

1V J

grrp N7

cotd grryl N) t;V J I t;

! J;

J

0

Page 194: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

'Y--

192

llurD: nDtrtN iruDnf 'rlDt rtulD

7s = l z - h , A ( \ , y r ) , B ( r r , y r ) n t ' l t l r ) n ) nu ' ' l ' ' r l ' r t i vn t u r 5u v to r t t rxz -x t

,-a = r l ( r r - r , ) ' * ( 1 , - l , ) t , A ( x , , y , ) , B ( * r , y r ) r i r r rP ) i l ' nu t ' r pn rn

/ =m+b rurr )u null tnn i lNrtuDir

Ax+ By +C = 0 rurr )u nr)):n nNltunil

m .O=- l t y=mx+n , !=a r+b t r t ' l l g t ) ) lD )Un t : y r t l rX :nn

, 1.4*, + By, +Cld=L-# : Ax+By+C=0 rur ) ( r , ,1 , , ) nr rp :npnrn

,lA' + B'

! - l t = a(x-xr) ' (x, , / , ) i l ) ln l i l l i r l ' '11' l l l lyn 4 y ' t ! t \ , ) )r l '1vrt nxl lun

(r -r, )t * (y - l,)' = R' : R ultt.):nr (x, ,yr) -7 lr)'rDtD )rvn nxttun

x' y'- ;* i ;=l : I )11) i7 ;ol t )Na" b'

x ' y2

7- b, =l : I ] ' l l )P n)t f l l tn

Y' =ZPx : l ' lt)l)P n)t:u

tuurrm txtrttrt? lr:uln

: fN x i' l l l i7)l nlltl) ntttir:tl in /(x),8(.x) trH

( nnntn nr:ol nrru Dr)D h, n'lnrn I (/t"l+,f(x))' = .f'(x)+ g'(x)

(/tri 'g(x))' = f'(x)g(x) + /(x)g'(x) , (f G)- f (*))' = f'(x)- s'(x)

g(x)+O ,r s(x) ) ts('))'

(qftr))' = Cf'(x) , (C + 71x1)' = .f'(*) rN y'np .rDDD lr'rir c ox

(g(,f(t)))' = g'(/(x))/'(x) : rl)llD n'viDl! )u nrrtr

Page 195: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

r93

ntln! mt

v 1 t

c 0x I

x' mx"' '

J; II

ffi1

x1-7

h

n ru a 'ha

e et

in.r 1

Y

lg, x 1I

"1""sln.r cos.rcos.r -s tnx

fan x 1t

.*Tcot r I-ri"T

archnx I-------I +x '

fircsln x

, [-f'{*)ar= /(x) +c , (Jffrl ax)' = 7qx1I r " , ,lUt lts(x))dy = f.Ftil*t lsl)e.vttv A )>5 !,n. 761* = e. ff\@*

Page 196: N4GG dt6us{L - BIUu.cs.biu.ac.il/~mlevin/Kurs80-130/Alex Kuperman 196 sefer targilim.pdf · 1 it'10 NIfD.Dr)lr't'tll, -tN: DrlrDnuD r)Nllu)rN] r)N)t)1011 itltDnt nlf'] nltyf illn!l:EDlrlID-rN

l -

t94

t a tJ;; ;=tanx+C , fcosxdx=sinx+C , Jr in xdx=*cosx+C

f- d' - ^---:.- /,a r dxJ =arcsrnx+c ' J#=arctanx+c, [ 3-=-ctgx+C

J sin, x

II/;*= hl/rx)l+c' JG)