CONDICIONES EXPERIMENTALES MÉTODOS SEMICUANTITATIVOS MÉTODOS DE BARRIDO MÉTODOS CUANTITATIVOS
MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 PARCIAL 3 n n n · MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 PARCIAL 3 NOMBRE _____ CUENTA...
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MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 PARCIAL 3 NOMBRE ________________________ CUENTA _________________________ TEORÍA DE EXPONENTES Introducción:
Las operaciones de potencia, multiplicación y suma
están relacionadas. Toda potencia puede
convertirse en una multiplicación y toda
multiplicación puede convertirse en una suma.
Ejemplo: 32 2 2 2 (2 2) (2 2) (2 2) (2 2) 8 i i i i
Esto es cierto porque 32 es una multiplicación
simplificada y es igual a multiplicar 2 tres veces así 32 2 2 2 i i .
Por otro lado la multiplicación 2 3i significa que el
número 3 se debe sumar dos veces 2 3 3 3 i , en una multiplicación el primer número indica el
número de veces que se repite el segundo número
es por eso que 2 (2 2) (2 2) (2 2) i i i i . Al hacer este proceso descubrimos varias
propiedades de los exponentes
Propiedad Ejemplo
...nb b b b i i n veces
32 2 2 2 i i
1/nn b b toda raíz se expresa
como un
exponente
fraccionario
1/22 2 2 (2) 1.4142... Y se cumple
1.4142x1.4142=1.9999=2 1/33 2 (2) 1.2599.
Y se cumple que
1.2599*1.2599*1.2599= 1.999=2
/n m m nb b siempre el
número de la
raíz va abajo
3 3 3/3 13 8 2 2 2 2
m n m nb b b i 3 2 3 2 53 3 (3 3 3) (3 3) 3 3 i i i i i
nm m nb b i 23 3 2 63 (3 3 3) (3 3 3) 3 3 ii i i i i
nn
n
a a
b b
22
2
5 5 5 5 5 5
3 3 3 3 3 3
i
i
i
nn na b ab
2 2
2
5 3 5 5 3 3 (5 3) (5 3)
5 3
i i i i i i
i
0 1a
2 2
2
5 3 5 5 3 3 (5 3) (5 3)
5 3
i i i i i i
i
1nn
aa
2 2
2
2 2
11 1 13 3
1 13
3 3
2
1naa
22
1 13
3 9
TEORÍA DE LOGARITMOS Un logaritmo se puede interpretar como el
exponente que logra el argumento del logaritmo al
elevar la base del mismo, se expresa formalmente.
Si tenemos 32 8
Entonces se cumple que
2log 8 3 En ambos caso el número 2 se le llama base, el
número 3 es el exponente, y también es el
logaritmo de 8 con base 2.
Ejemplos
Forma exponencial Forma logarítmica 32 2 2 2 8 i i 2log 8 3 43 3 3 3 3 81 i i i 3log 81 4 37 7 7 7 343 i i 7log 343 4
Numero e o numero natural Existe un número especial que se usa mucho en logaritmos y formulas exponenciales el cual es el numero “e” Este número se calcula con la formula
1/(1 ) xe x Siempre que x sea un número muy pequeño, si tomamos varios valore seste será el
resultado.
-
2
Al igual que los exponentes los logaritmos tienen
sus propias reglas.
Propiedad Ejemplo
log 1b b 2
3 3 3log 9 log 3 2 log 3
2
log lognb ba n a i 2
3 3 3log 9 log 3 2 log 3
2
logb a bi log logb ba b
33 3log 9 3 log 3i33log 3 3
3 3log 9 log 3 2 1
3 3log 3 log 3
3 32log 3 1 log 3 i
2 1 3
log /b a b log logb ba b
3log 9 / 3 3 3log 9 log 3 2 13 3log 3 log 3 3 32log 3 1 log 3 i }
2 1 1
Propiedad Ejemplo
log logb ba b
ac d
i
i
log log
log
b b
b
b c
d
3 32 5
log log 26 7
i
i
2 2
2
log 5 log 6
log 7
ln( ) logea a ln( ) 1e
logb xx b 3log 22 3 log
log , 0log
cb
c
aa c
b
3
ln(5)log 5
ln(3)
ln( )log
ln( )b
aa
b
10
10
loglog
logb
aa
b
1.60941.4650
1.0986
103
10
log 5log 5
log 3
0.698971.4650
0.4771
EJERCICIO DE SEPARACIÓN DE LOGARITMOS
5
33 4 3
2log
x yxz w
i i
i
Primero convertimos radicales en exponentes
1/31/2
5
3 4 3
2log
x yxz w
i i
i
Luego simplificamos exponentes
1/31/2 5/2 1/2
3 4/2 3/2
2log
x yxz w
i i
i
1/31/2 5/2 1 1/2
3 4/2 3/2
2log
x y
z w
i i
i
1/31/2 7/2 1/2
3 4/2 3/2
2log
x y
z w
i i
i
1/6 7/6 1/6
3 4/6 3/6
2log
x y
z w
i i
i
Aplicamos la propiedad
log log logb b ba b a b i
1/6 7/6 1/6
3 3 3
4/6 3/6
3 3
log 2 log log
log log
x y
z w
Aplicamos la propiedad
log lognb ba n a i
3 3 3
3 3
1 7 1log 2 log log6 6 6
4 3log log6 6
x y
z w
Para verificar asumimos
X=2, y=3, z=4,w=5
x e
0.1 2.593742
0.01 2.704814
0.001 2.716924
0.0001 2.718146
0.00001 2.718268
0.000001 2.718280
0.0000001 2.718282
-
3
Sustituimos primero en la original
5
33 4 3
2 2 3log 2
4 5
i i
i
33
192
3200l g 2
0o
3
30.0775log 2 i
3 0.log 5371
3ln( )
logln(3)
0.5371 0.621620.5371
1.0986
= -0.565820094
Sustituimos en la respuesta
3 3 3
3 3
1 7 1log 2 log log6 6 6
4 3log log6 6
x y
z w
3 3 3
3 3
1 7 1log 2 log 2 log 36 6 6
4 3log 4 log 56 6
0.1052 +0.7361+0.1667-0.8412-0.7325
=-0.56582
Con lo cual se verifica la respuesta Ejercicios con verificación de ecuaciones exponenciales con verificación
2 10x Aplicamos logaritmo natural ambos lados
ln 2 ln 10x Pasamos exponente al frente
ln 2 ln 10x i Despejamos x
ln 2 ln 10x i
2.30263.3219
0.6931
ln 10
ln 2x
Verificamos 3.321( 9)2 10
9.9999=10
EJEMPLO 2: 3 12 10x x Aplicamos logaritmo natural ambos lados
3 1ln 2 ln 10x x Pasamos exponente al frente
3 1 ln 2 ln 10x x i Operamos
3 ln 2 1 ln 2 ln 10x x i i Juntamos las x
3 ln 2 ln 10 1 ln 2x x i i 3 ln 2 ln 10 1 ln 2x i i
1 ln 2
3 ln 2 ln 10x
i
i
Calculamos el valor
0.693153.1063
2.07944 2.30259x
Verificamos 3.1063) 3.10633( 12 10 3.1063) 3.10633( 12 10
1277.2730 1277.2730 Fusionamos el logaritmo, quitamos primero los
números al frente
1 ln 2
3 ln 2 ln 10x
i
i
31 ln 2
ln 2 ln 10x
i
3
1 ln 2
2ln10
x
i
3210
log 2x
0.693ln 15(2)
l3.1063
0.22314n(8 /10)x
Con lo cual se confirma el resultado Esta técnica es la misma para cualquier ecuación exponencial.
EJEMPLO 3: 5 2
2 2 1
4 2
(7) (7)(3 ) (2)
3 3
xx
x x
i
i
Primero aplicamos logaritmo natural a ambos lados
5 2
2 2 1
4 2
(7) (7)ln ln (3 ) (2)
3 3
xx
x x
i
i
Separamos los logaritmos
-
4
5 2 4 2 2 2 1ln(7) ln(7) ln 3 ln 3 ln3 ln(2)x x x x Pasamos los exponentes al frente
(5 ) ln(7) ( 2) ln(7) (4 ) ln 3 (2 ) ln 3
2ln 3 (2 1) ln(2)
x x x
x
(5 ) ln(7) ( 2) ln(7) (4 ) ln 3 (2 ) ln 3
2ln 3 (2 ) ln(2) (1)ln(2)
x x x
x
Pasamos las x a un solo lado
(5 ) ln(7) (4 ) ln 3 (2 ) ln 3 (2 ) ln(2)
2 ln 3 (1)ln(2) ( 2) ln(7)
x x x x
Sacamos x de factor común
( ) (5) ln(7) (4) ln3 (2) ln 3 (2) ln(2)2 ln3 ln(2) 2ln(7)
x
2ln 3 ln(2) 2ln(7)( )
5ln(7) 4 ln3 2ln 3 2ln(2)x
Calculamos la x
3.8918 0.6931 2.1972
1.3863 2.1972 4.394(
4 9 296)
.7x
5.3959
1.( )
7517x =3.08038
Para verificar sustituimos en la original5 2
2 2 1
4 2
(7) (7)(3 ) (2)
3 3
xx
x x
i
i
2.117949 1135.7720
658090973.9
1( )
E
i
321.83 321.95 La diferencia se debe a los decimales de la variable
x
EJEMPLO 4
3 3log (5 3) log (3 4) 5x x Primero aplicamos las propiedades
log log logb b ba b a b i 3log 3 1
Y nos queda
3 3log (5 3)(3 4) 5log 3x x Pasamos el numero al rente como exponente
53 3log (5 3)(3 4) log 3x x Igualamos argumentos
5(5 3)(3 4) 3x x Operamos y simplificamos el polinomio
55 (3 4) 3(3 4) 3x x x 2 515 20 9 12 3x x x 215 29 12 243x x
215 29 12 243 0x x 215 29 231 0x x
Aplicamos la formula cuadrática
a=15 b=29 c=-231 2 24 29 4(15)( 231)b ac 14701
1
(29) 14701,
2(15)x x
1
121.(29),
2(15)
2479x x
1
(29) 121.2479,
30x x
Calculamos y verificamos los valores X1 = 3.0749
3 3log (5( 3) log (3(3.0749) 3.0749) 4) 5
3 3log ( ) log (18.3745 13.224 57)
ln( ln(18.3745) 13.2247)5
ln(3) ln(3)
2.64967347+2.350316231=5
4.9999=5
X2 = -5.0083
3 3log (5( 3) log (3(5.0083) 5.0083) 4) 5
3 3log ( ) log (22.0415 11.02 9) 54 No es válida la solución x2=-5.0083
Final ente definimos el conjunto solución C.s={3.0749}
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5
EJERCICIOS VARIOS 1) Calcule y verifique
3log 8 x
3
2.079ln(8)log
41.89279
1.8l 9863 0n( )
Verificación
1.89279
3 8
3 8
8.0001 8
x
2) expanda y verifique con x=2, y=3, z=4 2
3logx y
z
i
2 2
3 2log
x y
z
i
2 2 23 3 3log log logx y z 3 3 32 og 2log 2logl x y z
Verificación
X=2, y=3, z=4 2 2
3 3 3 3
2 3 6 36 9log log log log
4 4 16 4
i
3
9 ln(9 / 4)log
4 ln(3)
0.810930.73814
1.09861
Y evaluamos separados
3 3 32 og 2 2log 3 2log 4l 1.26186 2.52372 42 0.7381 Como ambas respuestas son iguales esta correcto
3)Determine el conjunto solución
3 3log 2 1 log lx x
3
2 1log l
x
x
3 3
2 1log l log 3
x
x
i
3 3
2 1log log (3)
x
x
Igualamos argumentos
2 13
x
x
2 1 3x x 1 3 2x x
1 x 1x
Verificación (obligatoria)
3 3log 2(1) 1 log 1 l 3 3log 3 log 1 l
1 0 l
1 1
4) Resuelva por el método grafico la siguiente
problema
Min z=2x+2y
13 4
x y
13 5
x y
0, 0x y Las ecuaciones se pueden expersar asi tambine
4 3 12x y Iy(0, 12/3)=(0,4)
Ix(12/4,0)=(3,0)
5 3 15x y Iy(0, 15/3)=(0,5)
Ix(15/5,0)=(3,0)
x Y Z=2x+2y
0 3 2(0)+2(3)=6
0 5 2(0)+2(5)=10
3 0 2(3)+2(0)=6
La respuestas posibles son dos
Respuesta 1: x=0 y =3 z= 6
Respuesta 2: x=3 y =0 z= 6
-
6
MÉTODOS CUANTITATIVOS II PARCIAL iii
1. GENERALES
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7
2. OPERACIONES COMBINADAS
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8
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9
3. POTENCIA
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10
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11
4. RADICALES
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12
-
13
-
14
-
15
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5. LOGARITMOS
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18
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
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Ejemplos
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24
Aplique las propiedades y separe (descomponga)
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27
Ejemplos
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31
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ECUACIONES EXPONENCIALES
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36
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40
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41
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43
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45
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48
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57
FUNCIÓN EXPONENCIAL Es una función de la forma
( ) mx bf x a B c i Donde B es un número positivo
EJEMPLO 1: 2( ) 2 2 1xf x i
a) Su grafica es
b) Asíntota horizontal: esto es lo que primero se debe determinar (línea horizontal de la gráfica)
que ocurre cuando y=c en el caso del ejemplo es AH: y=1
c) Tabla de valores: Para esbozar la gráfica elaboramos esta tabla:
Tipo X Y
-10 10 22 2 1 1.0078 i Iy 0 0 22 2 1 9 i 10 10 2 812 32 1 9 i otro 1 1 22 2 1 17 i Con estos valores procedemos a elaborar la gráfica anterior, los valores que representan a menos infinito y más
infinito pueden ser cualquier valor, elegimos 10 porque números mayores se alejan demasiado, cuando uno de
los valores es muy grande elegimos otro mas pegado al 0, como el 1 para lograr graficar
d) Determinamos el intercepto en x, Ix(¿, 0) 20 2 2 1x i
Despejamos el término con el exponente 21 2 2x i
21 22
x
Revisamos los signos, porque recordemos que jamás un número con variable exponencial será cero
31100
31
7.888617.8886110
102
i
02 1 30100 302 1.26765 10 1.26765 10 i i
Por tanto no hay solución para el intercepto en x
-
58
e) Dominio = reales= , f) Rango = 1,
Notas:
para elaborar la gráfica se requieren siempre 3 puntos La grafica exponencial siempre tiene intercepto en y
EJEMPLO 2:
Y=
EJEMPLO 3:
-
59
-
60
-
61
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62
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63
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64
FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es una función de la forma
( ) logBf x a mx b c i Donde B es un número positivo
EJEMPLO 1:
2( ) 2 log 2 1f x x i g) Su grafica es
h) Asíntota vertical: esto es lo que
primero se debe determinar (línea
vertical de la gráfica) que ocurre
cuando mx+b=0 AH:x=-b/m
i) Dominio: un logaritmo no puede tener argumento negativo ni cero por lo tanto mx+b>0: 2 0
2
x
x
Dominio = 2, j) Con el dominio definido procedemos a
determinar el intercepto en x que
siempre existe Ix(¿,0)
20 2 log 2 1x i
21log 2
2x
Ponemos todo como potencia de la misma
base del logaritmo
21
log 222 2x
Aplicamos la propiedad
logb xx b
1
22 2x
Despejamos
1
22 2 x
1
2 92
1.292x
Ix (-1.2929, 0)
k) Calculamos ahora el Iy (0, ¿) si es que
existe
2 2(0) 2 log 0 2 1 2log (2) 1 3f i Iy (0,3)
l) Procedemos a elaborar una tabla de
valores, que debe tener al menos 3
puntos
Tipo X Y
AH -2 No aplica
Ix -1.2929 0
Iy 0 3
otro 2 2(2) 2 log 2 2 1 5f i
Con estos valores procedemos a elaborar la gráfica e indicar los intercepto
m) Rango = , Reales Notas:
para elaborar la gráfica se requieren siempre 3 puntos
La grafica exponencial siempre tiene intercepto en x
-
65
EJEMPLOS 2
Y=
EJEMPLO 3
Y=
-
66
-
67
-
68
-
69
-
EJEMPLO DE SIMPLEX CON MAXIMOS Y MINIMOS
2 X + 1 Y >= 150
1 X + 3 Y >= 150
1 X + 1 Y
-
METODO SIMPLEXMODELOmax z = 5 x + 4 y
sujeto a8 x + 2 y = 0 Nota: Condicion exigida por simplex
PASO 1 CONVERTIR EN ECUACIONES8 x + 2 y + S1 = 164 x + 5 y + S2 = 20
PASO 2: pasar todas las variables al lado izquierdo-5 x -4 y + z = 0
1 PASO 3: CREAR MATRIZ, determinar columna pivote, b/bpivote, fila pivoteX Y S1 S2 Z B b/cpivote
ES1 +8 +2 +1 0 0 16 2 = 2.00 1/8 R1 -> R1 ->ES2 +4 +5 +0 1 0 20 5 = 5.00 R2 -> R2 -4 R1 ->EZ -5 -4 +0 0 1 0 R3 -> R3 5 R1 ->
Nota: columna pivote es la mas negativa osea "X"Nota: fila pivote es el valor que mejor cumple b/bpivote (POR LO GENERAL EL MAS BAJO)1 1/4 1/8 0 0 24 + (-4)(1) 5 + (-4)(1/4) 0 + (-4)(1/8) 1 + (-4)(0) 0 + (-4)(0) 20 + (-4)(2)-5 + (5)(1) -4 + (5)(1/4) 0 + (5)(1/8) 0 + (5)(0) 1 + (5)(0) 0 + (5)(2)
2 PASO 2: Elegimos la columna pivote y la fila pivote siguienteX Y S1 S2 Z B b/cpivote
ES1 1 1/4 1/8 0 0 2 SALIO R1 -> R1 -1/4 R2 ->ES2 0 4 -1/2 1 0 12 3 = 3.00 1/4 R2 -> R2 ->EZ 0 -11/4 5/8 0 1 10 R3 -> R3 11/4 R2 ->
Nota: la columna mas negativa ahora es la yNota: no calculamos b/cpivote de la fila 1 porque SALIO1 + (-1/4)(0) 1/4 + (-1/4)(1) 1/8 + (-1/4)(-1/8) 0 + (-1/4)(1/4) 0 + (-1/4)(0) 2 + (-1/4)(3)0 1 -1/8 1/4 0 30 + (11/4)(0) -11/4 + (11/4)(1) 5/8 + (11/4)(-1/8) 0 + (11/4)(1/4) 1 + (11/4)(0) 10 + (11/4)(3)
3 paso 3: vemos si hay mas valores negativos en EZ,1 0 5/32 -1/16 0 5/40 1 -1/8 1/4 0 30 0 9/32 11/16 1 73/4
Nota: como ya no hay valores negativos, termina el proceso1/2
-
4 Paso 4: La respuesta seran las sigueintesX Y S1 S2 Z B
ES1 1 0 5/32 -1/16 0 5/4 x= 5/4 =ES2 0 1 -1/8 1/4 0 3 y= 3 =EZ 0 0 9/32 11/16 1 73/4 z= 73/4 =
5 Verificamos el resultado con la funcion de maximizacion
z = 5 x + 4 y= 5 ( 5/4 ) + 4 ( 3 )= 73/4 correctoComo son iguales las respuestas de z y no hay mas negativos hemos terminado el metodo simplex
18.253.001.25
2/2