Biološki pročišćivač otpadnih voda Aqua-Simplex Aqua-Simplex pionier
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Metodo SIMPLEX
Metodo SIMPLEXMLG521
Profesor: Cristobal Rojas
Departamento de Ciencias de de la IngenierıaDepartamento de Ingenierıa Matematica
Universidad Andres BelloCurso dictado en conjunto con Pamela Alvarez
MLG521
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Metodo SIMPLEX
Programacion Lineal
Vamos a resolver problemas de la siguiente forma:
Problema Lineal
Min c tx (1)
s.a Ax = b (2)
x ≥ 0 (3)
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Metodo SIMPLEX
Variables de Holgura
I Si existe una restriccion de la forma atx ≤ d agregamos una variablepositiva s y reemplazamos la restriccion por atx + s = d .
I Si existe una restriccion de la forma atx ≥ d agregamos una variablepositiva s y reemplazamos la restriccion por atx − s = d .
I Si la variable xi es irrestricta, agregamos las variables positivas s1, s2
y reemplazamos xi por s1 − s2.
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Metodo SIMPLEX
Variables de Holgura
I Si existe una restriccion de la forma atx ≤ d agregamos una variablepositiva s y reemplazamos la restriccion por atx + s = d .
I Si existe una restriccion de la forma atx ≥ d agregamos una variablepositiva s y reemplazamos la restriccion por atx − s = d .
I Si la variable xi es irrestricta, agregamos las variables positivas s1, s2
y reemplazamos xi por s1 − s2.
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Metodo SIMPLEX
Variables de Holgura
I Si existe una restriccion de la forma atx ≤ d agregamos una variablepositiva s y reemplazamos la restriccion por atx + s = d .
I Si existe una restriccion de la forma atx ≥ d agregamos una variablepositiva s y reemplazamos la restriccion por atx − s = d .
I Si la variable xi es irrestricta, agregamos las variables positivas s1, s2
y reemplazamos xi por s1 − s2.
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Metodo SIMPLEX
Soluciones Basicas
A tiene m filas y n columnas. (Asumiremos m < n).
Sea B una matriz construida con m columnas l.i. de A. Mas aun,supongamos que A = [B|R]. Entonces tenemos que:
Ax = b ⇔ BxB + RxR = b ⇔ xB = B−1b − B−1RxR
Solucion basica factible para Ax = b, x ≥ 0.Decimos que x es una solucion basica factible cuando
xB = B−1b y xB ≥ 0.
Note que en este caso xR = 0.
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Metodo SIMPLEX
Soluciones Basicas
A tiene m filas y n columnas. (Asumiremos m < n).
Sea B una matriz construida con m columnas l.i. de A. Mas aun,supongamos que A = [B|R]. Entonces tenemos que:
Ax = b ⇔ BxB + RxR = b ⇔ xB = B−1b − B−1RxR
Solucion basica factible para Ax = b, x ≥ 0.Decimos que x es una solucion basica factible cuando
xB = B−1b y xB ≥ 0.
Note que en este caso xR = 0.
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Metodo SIMPLEX
Soluciones Basicas
A tiene m filas y n columnas. (Asumiremos m < n).
Sea B una matriz construida con m columnas l.i. de A. Mas aun,supongamos que A = [B|R]. Entonces tenemos que:
Ax = b ⇔ BxB + RxR = b ⇔ xB = B−1b − B−1RxR
Solucion basica factible para Ax = b, x ≥ 0.Decimos que x es una solucion basica factible cuando
xB = B−1b y xB ≥ 0.
Note que en este caso xR = 0.
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Metodo SIMPLEX
Soluciones Basicas
A tiene m filas y n columnas. (Asumiremos m < n).
Sea B una matriz construida con m columnas l.i. de A. Mas aun,supongamos que A = [B|R]. Entonces tenemos que:
Ax = b ⇔ BxB + RxR = b ⇔ xB = B−1b − B−1RxR
Solucion basica factible para Ax = b, x ≥ 0.Decimos que x es una solucion basica factible cuando
xB = B−1b y xB ≥ 0.
Note que en este caso xR = 0.
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Metodo SIMPLEX
Soluciones Basicas
A tiene m filas y n columnas. (Asumiremos m < n).
Sea B una matriz construida con m columnas l.i. de A. Mas aun,supongamos que A = [B|R]. Entonces tenemos que:
Ax = b ⇔ BxB + RxR = b ⇔ xB = B−1b − B−1RxR
Solucion basica factible para Ax = b, x ≥ 0.Decimos que x es una solucion basica factible cuando
xB = B−1b y xB ≥ 0.
Note que en este caso xR = 0.
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Metodo SIMPLEX
Soluciones Basicas
A tiene m filas y n columnas. (Asumiremos m < n).
Sea B una matriz construida con m columnas l.i. de A. Mas aun,supongamos que A = [B|R]. Entonces tenemos que:
Ax = b ⇔ BxB + RxR = b ⇔ xB = B−1b − B−1RxR
Solucion basica factible para Ax = b, x ≥ 0.Decimos que x es una solucion basica factible cuando
xB = B−1b y xB ≥ 0.
Note que en este caso xR = 0.
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Metodo SIMPLEX
Puntos extremos
TeoremaSea P = {x ∈ Rn : AX = b, x ≥ 0} un poliedro. Entonces:
x es un punto extremo de P ⇐⇒ x es una solucion basica factible
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Metodo SIMPLEX
Puntos extremos
TeoremaSea P = {x ∈ Rn : AX = b, x ≥ 0} un poliedro. Entonces:
x es un punto extremo de P ⇐⇒ x es una solucion basica factible
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Metodo SIMPLEX
Puntos extremos
TeoremaSea P = {x ∈ Rn : AX = b, x ≥ 0} un poliedro. Entonces:
x es un punto extremo de P ⇐⇒ x es una solucion basica factible
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Metodo SIMPLEX
Costos reducidos
Llamemos R a la matriz B−1R y b a B−1b. Entonces
xB = b − RxR .
Estudiemos que pasa con la funcion objetivo:
z = c tx = c tBxB + c tRxR
= c tB(b − RxR) + c tRxR
= c tBb + (cR − RcB)txR
Definimos los costos reducidos como c tr = c tR − c tBB−1R. Luego se tiene
que la funcion objetivo queda de la forma:
c tBb + c tr xR
¿Que sucede para una solucion basica factible?
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Metodo SIMPLEX
Costos reducidos
Llamemos R a la matriz B−1R y b a B−1b. Entonces
xB = b − RxR .
Estudiemos que pasa con la funcion objetivo:
z = c tx = c tBxB + c tRxR
= c tB(b − RxR) + c tRxR
= c tBb + (cR − RcB)txR
Definimos los costos reducidos como c tr = c tR − c tBB−1R. Luego se tiene
que la funcion objetivo queda de la forma:
c tBb + c tr xR
¿Que sucede para una solucion basica factible?
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Metodo SIMPLEX
Costos reducidos
Llamemos R a la matriz B−1R y b a B−1b. Entonces
xB = b − RxR .
Estudiemos que pasa con la funcion objetivo:
z = c tx = c tBxB + c tRxR
= c tB(b − RxR) + c tRxR
= c tBb + (cR − RcB)txR
Definimos los costos reducidos como c tr = c tR − c tBB−1R. Luego se tiene
que la funcion objetivo queda de la forma:
c tBb + c tr xR
¿Que sucede para una solucion basica factible?
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Metodo SIMPLEX
Costos reducidos
Llamemos R a la matriz B−1R y b a B−1b. Entonces
xB = b − RxR .
Estudiemos que pasa con la funcion objetivo:
z = c tx = c tBxB + c tRxR
= c tB(b − RxR) + c tRxR
= c tBb + (cR − RcB)txR
Definimos los costos reducidos como c tr = c tR − c tBB−1R. Luego se tiene
que la funcion objetivo queda de la forma:
c tBb + c tr xR
¿Que sucede para una solucion basica factible?
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Metodo SIMPLEX
Costos reducidos
Llamemos R a la matriz B−1R y b a B−1b. Entonces
xB = b − RxR .
Estudiemos que pasa con la funcion objetivo:
z = c tx = c tBxB + c tRxR
= c tB(b − RxR) + c tRxR
= c tBb + (cR − RcB)txR
Definimos los costos reducidos como c tr = c tR − c tBB−1R. Luego se tiene
que la funcion objetivo queda de la forma:
c tBb + c tr xR
¿Que sucede para una solucion basica factible?
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Metodo SIMPLEX
Criterio de Optimalidad
Solucion optimaSi una solucion basica factible tiene sus costos reducidos positivosentonces es una solucion optima.
¿Que ocurre si existe una coordenada negativa?
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Metodo SIMPLEX
Criterio de Optimalidad
Solucion optimaSi una solucion basica factible tiene sus costos reducidos positivosentonces es una solucion optima.
¿Que ocurre si existe una coordenada negativa?
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Metodo SIMPLEX
Criterio de Optimalidad
Solucion optimaSi una solucion basica factible tiene sus costos reducidos positivosentonces es una solucion optima.
¿Que ocurre si existe una coordenada negativa?
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Metodo SIMPLEX
Solucion Adyacente
Recordemos que xB = b − RxR .Supongamos que aumentamos ε en la coordenada j , entonces:
xB = b − R ·jε
¿Cuanto podemos aumentar? Se tiene que:
εmax = mini∈I
{biaij
: aij > 0
}
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Metodo SIMPLEX
Solucion Adyacente
Recordemos que xB = b − RxR .Supongamos que aumentamos ε en la coordenada j , entonces:
xB = b − R ·jε
¿Cuanto podemos aumentar? Se tiene que:
εmax = mini∈I
{biaij
: aij > 0
}
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Metodo SIMPLEX
Solucion Adyacente
Recordemos que xB = b − RxR .Supongamos que aumentamos ε en la coordenada j , entonces:
xB = b − R ·jε
¿Cuanto podemos aumentar? Se tiene que:
εmax = mini∈I
{biaij
: aij > 0
}
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Metodo SIMPLEX
Solucion Adyacente
Solucion adyacenteLa solucion x∗B = b − R ·jεmax es una solucion basica factible adyacente axB .Note que la nueva base corresponde a agregar la columna j y eliminar lacolumna i donde se alcanza el εmax .
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Metodo SIMPLEX
SIMPLEX
Ordenando lo anterior obtenemos un algoritmo:
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factible asociada xB = B−1b.
3. Calcular costos reducidos cr = c tR − c tBB−1R.
4. ¿Es optimo?.
5. Si no, determinar columna que entra a la base, es decir j , tal quecr j = minicr i .
6. Determinar la columna que sale.
7. Actualizar base y volver a (1).
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Metodo SIMPLEX
SIMPLEX
Ordenando lo anterior obtenemos un algoritmo:
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factible asociada xB = B−1b.
3. Calcular costos reducidos cr = c tR − c tBB−1R.
4. ¿Es optimo?.
5. Si no, determinar columna que entra a la base, es decir j , tal quecr j = minicr i .
6. Determinar la columna que sale.
7. Actualizar base y volver a (1).
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Metodo SIMPLEX
SIMPLEX
Ordenando lo anterior obtenemos un algoritmo:
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factible asociada xB = B−1b.
3. Calcular costos reducidos cr = c tR − c tBB−1R.
4. ¿Es optimo?.
5. Si no, determinar columna que entra a la base, es decir j , tal quecr j = minicr i .
6. Determinar la columna que sale.
7. Actualizar base y volver a (1).
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Metodo SIMPLEX
SIMPLEX
Ordenando lo anterior obtenemos un algoritmo:
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factible asociada xB = B−1b.
3. Calcular costos reducidos cr = c tR − c tBB−1R.
4. ¿Es optimo?.
5. Si no, determinar columna que entra a la base, es decir j , tal quecr j = minicr i .
6. Determinar la columna que sale.
7. Actualizar base y volver a (1).
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Metodo SIMPLEX
SIMPLEX
Ordenando lo anterior obtenemos un algoritmo:
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factible asociada xB = B−1b.
3. Calcular costos reducidos cr = c tR − c tBB−1R.
4. ¿Es optimo?.
5. Si no, determinar columna que entra a la base, es decir j , tal quecr j = minicr i .
6. Determinar la columna que sale.
7. Actualizar base y volver a (1).
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Metodo SIMPLEX
SIMPLEX
Ordenando lo anterior obtenemos un algoritmo:
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factible asociada xB = B−1b.
3. Calcular costos reducidos cr = c tR − c tBB−1R.
4. ¿Es optimo?.
5. Si no, determinar columna que entra a la base, es decir j , tal quecr j = minicr i .
6. Determinar la columna que sale.
7. Actualizar base y volver a (1).
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Metodo SIMPLEX
SIMPLEX
Ordenando lo anterior obtenemos un algoritmo:
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factible asociada xB = B−1b.
3. Calcular costos reducidos cr = c tR − c tBB−1R.
4. ¿Es optimo?.
5. Si no, determinar columna que entra a la base, es decir j , tal quecr j = minicr i .
6. Determinar la columna que sale.
7. Actualizar base y volver a (1).
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
(4,0)
(4,3)
(2,6) (4,6)(6,0)
![Page 35: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/35.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
(4,0)
(4,3)
(2,6) (4,6)(6,0)
![Page 36: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/36.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
(4,0)
(4,3)
(2,6) (4,6)(6,0)
Min − 3x1 − 5x2
s.a
x1 ≤ 4x2 ≤ 6
3x1 + 2x2 ≤ 18
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
(4,0)
(4,3)
(2,6) (4,6)(6,0)
Min − 3x1 − 5x2
s.a
x1 + s1 = 4x2 + s2 = 6
3x1 + 2x2 + s3 = 18
![Page 38: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/38.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
(4,0)
(4,3)
(2,6) (4,6)(6,0)
Min − 3x1 − 5x2
s.a
x1 + s1 = 4x2 + s2 = 6
3x1 + 2x2 + s3 = 18
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
Min − 3x1 − 5x2
s.a
x1 + s1 = 4x2 + s2 = 6
3x1 + 2x2 + s3 = 18
B =
1 0 00 1 03 2 1
![Page 40: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/40.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
Min − 3x1 − 5x2
s.a
x1 + s1 = 4x2 + s2 = 6
3x1 + 2x2 + s3 = 18
B−1 =
1 0 00 1 0−3 −2 1
![Page 41: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/41.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
B−1 =
1 0 00 1 0−3 −2 1
xB = B−1b =
46−6
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
xB = B−1b =
46−6
![Page 43: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/43.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
(4,0)
(4,3)
(2,6) (4,6)(6,0)
xB = B−1b =
46−6
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
B =
0 1 01 0 02 0 1
![Page 46: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/46.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
B =
0 1 01 0 02 0 1
B−1 =
0 1 01 0 00 −2 1
![Page 47: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/47.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
xB = B−1b =
646
![Page 48: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/48.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
xB = B−1b =
646
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
(4,0)
(4,3)
(2,6) (4,6)(6,0)
![Page 49: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/49.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
cr =(−3 0
)−(−5 0 0
)0 1 01 0 00 −2 1
1 00 13 0
cr =
(−3 5
)
![Page 50: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/50.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
cr =(−3 0
)−(−5 0 0
)0 1 01 0 00 −2 1
1 00 13 0
cr =
(−3 5
)
![Page 51: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/51.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
cr =(−3 0
)−(−5 0 0
)0 1 01 0 00 −2 1
1 00 13 0
cr =
(−3 5
)Entra variable x1
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
A1 = B−1A1
=
0 1 01 0 00 −2 1
103
=
013
![Page 53: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/53.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
xB = B−1b =
646
A1 = B−1A1
=
0 1 01 0 00 −2 1
103
=
013
min
{4
1,
6
3
}= 2
Luego sale la variable s3.
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
B =
0 1 01 0 02 0 1
B ′ =
0 1 11 0 02 0 3
![Page 55: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/55.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
B ′ =
0 1 11 0 02 0 3
B ′−1 =
0 1 01 2/3 −1/30 −2/3 1/3
![Page 56: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/56.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
xB′ = B ′−1b =
622
![Page 57: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/57.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
xB′ = B ′−1b =
622
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
(4,0)
(4,3)
(2,6) (4,6)(6,0)
![Page 58: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/58.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
cr =(0 0
)−
(−5 0 −3
)0 1 01 2
3−13
0 −23
13
0 00 11 0
![Page 59: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/59.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
cr =(0 0
)−
(−5 0 −3
)0 1 01 2
3−13
0 −23
13
0 00 11 0
cr =
(1 7
)
![Page 60: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/60.jpg)
Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).
A =
1 0 1 0 00 1 0 1 03 2 0 0 1
cr =(0 0
)−
(−5 0 −3
)0 1 01 2
3−13
0 −23
13
0 00 11 0
cr =
(1 7
)
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
1. Determinar B y calcular B−1.
2. Calcular solucion basica factibleasociada xB = B−1b.
3. ¿Es factible?
4. Calcular costos reducidoscr = c tR − c tBB
−1R.
5. ¿Es optimo?.
6. Determinar columna que entraa la base, es decir j , tal quecj = mini ci .
7. Determinar la columna que sale.
8. Volver a (1).����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
(4,0)
(4,3)
(2,6) (4,6)(6,0)
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Metodo SIMPLEX
Interpretacion soluciones
I Cuando no se puede escoger una variable basica que salga, significaque el problema es no acotado.
I Cuando aparece un 0 en xB , significa que la solucion es degenerada.
I La interpretacion geometrica de soluciones degeneradas, es que hayuna interseccion de mas hiperplanos que la dimension del problema.
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Metodo SIMPLEX
Interpretacion soluciones
I Cuando no se puede escoger una variable basica que salga, significaque el problema es no acotado.
I Cuando aparece un 0 en xB , significa que la solucion es degenerada.
I La interpretacion geometrica de soluciones degeneradas, es que hayuna interseccion de mas hiperplanos que la dimension del problema.
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Metodo SIMPLEX
Interpretacion soluciones
I Cuando no se puede escoger una variable basica que salga, significaque el problema es no acotado.
I Cuando aparece un 0 en xB , significa que la solucion es degenerada.
I La interpretacion geometrica de soluciones degeneradas, es que hayuna interseccion de mas hiperplanos que la dimension del problema.
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Metodo SIMPLEX
Eficiencia Computacional
I El numero de soluciones basicas es finito, por lo tanto si el problemano es degenerado, SIMPLEX siempre termina.
I Podrıa tener que recorrer todos los vertices.
I Existen metodos que aseguran terminara mas rapido. (Metodoelipsoidal, algoritmos de punto interior).
I Aun asi, en la mayoria de los casos SIMPLEX es la mejor opcion.
I Cuando aparecen soluciones degeneradas el algoritmo podrıa ciclar.Para evitar ciclos se debe implementar una regla especial paraescoger las soluciones adyacentes.
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Metodo SIMPLEX
Eficiencia Computacional
I El numero de soluciones basicas es finito, por lo tanto si el problemano es degenerado, SIMPLEX siempre termina.
I Podrıa tener que recorrer todos los vertices.
I Existen metodos que aseguran terminara mas rapido. (Metodoelipsoidal, algoritmos de punto interior).
I Aun asi, en la mayoria de los casos SIMPLEX es la mejor opcion.
I Cuando aparecen soluciones degeneradas el algoritmo podrıa ciclar.Para evitar ciclos se debe implementar una regla especial paraescoger las soluciones adyacentes.
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Metodo SIMPLEX
Eficiencia Computacional
I El numero de soluciones basicas es finito, por lo tanto si el problemano es degenerado, SIMPLEX siempre termina.
I Podrıa tener que recorrer todos los vertices.
I Existen metodos que aseguran terminara mas rapido. (Metodoelipsoidal, algoritmos de punto interior).
I Aun asi, en la mayoria de los casos SIMPLEX es la mejor opcion.
I Cuando aparecen soluciones degeneradas el algoritmo podrıa ciclar.Para evitar ciclos se debe implementar una regla especial paraescoger las soluciones adyacentes.
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Metodo SIMPLEX
Eficiencia Computacional
I El numero de soluciones basicas es finito, por lo tanto si el problemano es degenerado, SIMPLEX siempre termina.
I Podrıa tener que recorrer todos los vertices.
I Existen metodos que aseguran terminara mas rapido. (Metodoelipsoidal, algoritmos de punto interior).
I Aun asi, en la mayoria de los casos SIMPLEX es la mejor opcion.
I Cuando aparecen soluciones degeneradas el algoritmo podrıa ciclar.Para evitar ciclos se debe implementar una regla especial paraescoger las soluciones adyacentes.
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Metodo SIMPLEX
Eficiencia Computacional
I El numero de soluciones basicas es finito, por lo tanto si el problemano es degenerado, SIMPLEX siempre termina.
I Podrıa tener que recorrer todos los vertices.
I Existen metodos que aseguran terminara mas rapido. (Metodoelipsoidal, algoritmos de punto interior).
I Aun asi, en la mayoria de los casos SIMPLEX es la mejor opcion.
I Cuando aparecen soluciones degeneradas el algoritmo podrıa ciclar.Para evitar ciclos se debe implementar una regla especial paraescoger las soluciones adyacentes.
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Metodo SIMPLEX
Primera solucion basica factible
I Para aplicar SIMPLEX necesitamos partir de una solucion basicafactible.
I ¿Como encontramos esta solucion?
I Metodo de las dos fases.Min
∑ti
s.aAx + t = b
x , t ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Primera solucion basica factible
I Para aplicar SIMPLEX necesitamos partir de una solucion basicafactible.
I ¿Como encontramos esta solucion?
I Metodo de las dos fases.Min
∑ti
s.aAx + t = b
x , t ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Primera solucion basica factible
I Para aplicar SIMPLEX necesitamos partir de una solucion basicafactible.
I ¿Como encontramos esta solucion?
I Metodo de las dos fases.Min
∑ti
s.aAx + t = b
x , t ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
Min − 6x1 − 4x2
s.a
x1 + x2 ≤ 102x1 + x2 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
Min − 6x1 − 4x2
s.a
x1 + x2 ≤ 102x1 + x2 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
Min − 6x1 − 4x2
s.a
x1 + x2 ≤ 102x1 + x2 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0
Min − 6x1 − 4x2
s.a
x1 + x2 + s1 = 102x1 + x2 − s2 = 4
x1, x2 , s1, s2 ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
Min − 6x1 − 4x2
s.a
x1+ x2+ s1 = 102x1+ x2− s2+ t1 = 4
x1, x2, s1, s2 t1 ≥ 0
Min − 6x1 − 4x2
s.a
x1 + x2 + s1 = 102x1 + x2 − s2 = 4
x1, x2 , s1, s2 ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
Min − 6x1 − 4x2
s.a
x1+ x2+ s1 = 102x1+ x2− s2+ t1 = 4
x1, x2, s1, s2 t1 ≥ 0
Min t1
s.a
x1+ x2+ s1 = 102x1+ x2− s2+ t1 = 4
x1, x2, s1, s2 t1 ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Ejemplo
I El problema original admitesolucion factible si y solo si elvalor optimo del problema deFase I es 0.
I Si la base optima de Fase I nocontiene variables artificialesencontramos una solucionbasica factible para el problemaoriginal.
I Si la base optima de Fase Icontiene variables artificiales,estamos en una soluciondegenerada y debemos tratar decambiarla por una variable delproblema original.
Min t1
s.a
x1+ x2+ s1 = 102x1+ x2− s2+ t1 = 4
x1, x2, s1, s2 t1 ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Dualidad
I Dado el siguiente problema:
Max 4x1 + x2 + 3x3
s.ax1 + 4x2 ≤ 1
3x1 − x2 + x3 ≤ 3x1 , x2, x3 ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Dualidad
I Dado el siguiente problema:
Max 4x1 + x2 + 3x3
s.ax1 + 4x2 ≤ 1
3x1 − x2 + x3 ≤ 3x1 , x2, x3 ≥ 0
I Se tiene que (1, 0, 0) es una solucion factible, por lo tanto, sievaluamos la funcion objetivo en este punto ( 4 ) obtenemos unacota inferior del valor optimo.
I ¿Podemos mejorar la cota?
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Metodo SIMPLEX
Dualidad
I Dado el siguiente problema:
Max 4x1 + x2 + 3x3
s.ax1 + 4x2 ≤ 1
3x1 − x2 + x3 ≤ 3x1 , x2, x3 ≥ 0
I ¿Podemos encontrar cotas superiores de la funcion objetivo?
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Metodo SIMPLEX
Dualidad
I Dado el siguiente problema:
Max 4x1 + x2 + 3x3
s.ax1 + 4x2 ≤ 1
3x1 − x2 + x3 ≤ 3x1 , x2, x3 ≥ 0
I ¿Podemos encontrar cotas superiores de la funcion objetivo?
I Usemos las restricciones. Sean y1, y2 ≥ 0. Luego:
y1(x1 + 4x2) ≤ y1
y2(3x1 − x2 + x3) ≤ 3y2
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Metodo SIMPLEX
DualidadI Dado el siguiente problema:
Max 4x1 + x2 + 3x3
s.ax1 + 4x2 ≤ 1
3x1 − x2 + x3 ≤ 3x1 , x2, x3 ≥ 0
I Usemos las restricciones. Sean y1, y2 ≥ 0. Luego:
y1(x1 + 4x2) ≤ y1
y2(3x1 − x2 + x3) ≤ 3y2
I Sumando obtenemos que:
(y1 + 3y2)x1 + (4y1 − y2)x2 + y2x3 ≤ y1 + 3y2
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Metodo SIMPLEX
DualidadI Dado el siguiente problema:
Max 4x1 + x2 + 3x3
s.ax1 + 4x2 ≤ 1
3x1 − x2 + x3 ≤ 3x1 , x2, x3 ≥ 0
I Sumando obtenemos que:
(y1 + 3y2)x1 + (4y1 − y2)x2 + y2x3 ≤ y1 + 3y2
I Si imponemos las condiciones:
(y1 + 3y2) ≥ 4
(4y1 − y2) ≥ 1
y2 ≥ 3
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Metodo SIMPLEX
DualidadI Dado el siguiente problema:
Max 4x1 + x2 + 3x3
s.ax1 + 4x2 ≤ 1
3x1 − x2 + x3 ≤ 3x1 , x2, x3 ≥ 0
I Sumando obtenemos que:
(y1 + 3y2)x1 + (4y1 − y2)x2 + y2x3 ≤ y1 + 3y2
I Si imponemos las condiciones:
(y1 + 3y2) ≥ 4
(4y1 − y2) ≥ 1
y2 ≥ 3
I Se tiene que:4x1 + x2 + 3x3 ≤ y1 + 3y2
![Page 86: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/86.jpg)
Metodo SIMPLEX
DualidadI Dado el siguiente problema:
Max 4x1 + x2 + 3x3
s.ax1 + 4x2 ≤ 1
3x1 − x2 + x3 ≤ 3x1 , x2, x3 ≥ 0
I Sumando obtenemos que:
(y1 + 3y2)x1 + (4y1 − y2)x2 + y2x3 ≤ y1 + 3y2
I Si imponemos las condiciones:
(y1 + 3y2) ≥ 4
(4y1 − y2) ≥ 1
y2 ≥ 3
I Se tiene que:4x1 + x2 + 3x3 ≤ y1 + 3y2
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Metodo SIMPLEX
DualidadI Dado el siguiente problema:
Max 4x1 + x2 + 3x3
s.ax1 + 4x2 ≤ 1
3x1 − x2 + x3 ≤ 3x1 , x2, x3 ≥ 0
I Si queremos la mejor cota debemos resolver el problema dual:
Min y1 + 3y2
s.a.
(y1 + 3y2) ≥ 4
(4y1 − y2) ≥ 1
y2 ≥ 3
y1, y − 2, y3 ≥ 0
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Metodo SIMPLEX
Transformaciones primal-dual
Supongamos que el primal es un problema de maximizacion y el dual esde minimizacion, entonces:
I Por cada restriccion del primal definimos una variable del dual.I Si la restriccion es ≤ entonces la variable es ≥ 0.I Si la restriccion es ≥ entonces la variable es ≤ 0I Si la restriccion es = entonces la variable es irrestricta.
I Por cada variable del primal se define una restriccion en el dual.I Si la variable es ≥ 0 la restriccion es ≥.I Si la variable es ≤ 0 entonces la restriccion es ≤I Si la variable es irrestricta entonces la restriccion es =.
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Metodo SIMPLEX
Transformaciones primal-dual
Supongamos que el primal es un problema de maximizacion y el dual esde minimizacion, entonces:
I Por cada restriccion del primal definimos una variable del dual.I Si la restriccion es ≤ entonces la variable es ≥ 0.I Si la restriccion es ≥ entonces la variable es ≤ 0I Si la restriccion es = entonces la variable es irrestricta.
I Por cada variable del primal se define una restriccion en el dual.I Si la variable es ≥ 0 la restriccion es ≥.I Si la variable es ≤ 0 entonces la restriccion es ≤I Si la variable es irrestricta entonces la restriccion es =.
![Page 90: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/90.jpg)
Metodo SIMPLEX
Transformaciones primal-dual
Supongamos que el primal es un problema de maximizacion y el dual esde minimizacion, entonces:
I Por cada restriccion del primal definimos una variable del dual.I Si la restriccion es ≤ entonces la variable es ≥ 0.I Si la restriccion es ≥ entonces la variable es ≤ 0I Si la restriccion es = entonces la variable es irrestricta.
I Por cada variable del primal se define una restriccion en el dual.I Si la variable es ≥ 0 la restriccion es ≥.I Si la variable es ≤ 0 entonces la restriccion es ≤I Si la variable es irrestricta entonces la restriccion es =.
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Metodo SIMPLEX
Transformaciones primal-dual
Supongamos que el primal es un problema de maximizacion y el dual esde minimizacion, entonces:
I Por cada restriccion del primal definimos una variable del dual.I Si la restriccion es ≤ entonces la variable es ≥ 0.I Si la restriccion es ≥ entonces la variable es ≤ 0I Si la restriccion es = entonces la variable es irrestricta.
I Por cada variable del primal se define una restriccion en el dual.I Si la variable es ≥ 0 la restriccion es ≥.I Si la variable es ≤ 0 entonces la restriccion es ≤I Si la variable es irrestricta entonces la restriccion es =.
![Page 92: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/92.jpg)
Metodo SIMPLEX
Transformaciones primal-dual
Supongamos que el primal es un problema de maximizacion y el dual esde minimizacion, entonces:
I Por cada restriccion del primal definimos una variable del dual.I Si la restriccion es ≤ entonces la variable es ≥ 0.I Si la restriccion es ≥ entonces la variable es ≤ 0I Si la restriccion es = entonces la variable es irrestricta.
I Por cada variable del primal se define una restriccion en el dual.I Si la variable es ≥ 0 la restriccion es ≥.I Si la variable es ≤ 0 entonces la restriccion es ≤I Si la variable es irrestricta entonces la restriccion es =.
![Page 93: Método SIMPLEX - MLG521crojas/SIMPLEX.pdfM etodo SIMPLEX M etodo SIMPLEX MLG521 Profesor: Crist obal Rojas Departamento de Ciencias de de la Ingenier a Departamento de Ingenier a](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041912/5e681a3d2dca08508b38ea55/html5/thumbnails/93.jpg)
Metodo SIMPLEX
Transformaciones primal-dual
Supongamos que el primal es un problema de maximizacion y el dual esde minimizacion, entonces:
I Por cada restriccion del primal definimos una variable del dual.I Si la restriccion es ≤ entonces la variable es ≥ 0.I Si la restriccion es ≥ entonces la variable es ≤ 0I Si la restriccion es = entonces la variable es irrestricta.
I Por cada variable del primal se define una restriccion en el dual.I Si la variable es ≥ 0 la restriccion es ≥.I Si la variable es ≤ 0 entonces la restriccion es ≤I Si la variable es irrestricta entonces la restriccion es =.
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Metodo SIMPLEX
Transformaciones primal-dual
Supongamos que el primal es un problema de maximizacion y el dual esde minimizacion, entonces:
I Por cada restriccion del primal definimos una variable del dual.I Si la restriccion es ≤ entonces la variable es ≥ 0.I Si la restriccion es ≥ entonces la variable es ≤ 0I Si la restriccion es = entonces la variable es irrestricta.
I Por cada variable del primal se define una restriccion en el dual.I Si la variable es ≥ 0 la restriccion es ≥.I Si la variable es ≤ 0 entonces la restriccion es ≤I Si la variable es irrestricta entonces la restriccion es =.
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Metodo SIMPLEX
Transformaciones primal-dual
Supongamos que el primal es un problema de maximizacion y el dual esde minimizacion, entonces:
I Por cada restriccion del primal definimos una variable del dual.I Si la restriccion es ≤ entonces la variable es ≥ 0.I Si la restriccion es ≥ entonces la variable es ≤ 0I Si la restriccion es = entonces la variable es irrestricta.
I Por cada variable del primal se define una restriccion en el dual.I Si la variable es ≥ 0 la restriccion es ≥.I Si la variable es ≤ 0 entonces la restriccion es ≤I Si la variable es irrestricta entonces la restriccion es =.
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Metodo SIMPLEX
Teoremas de dualidad
Teorema DebilSi el problema primal es de maximizacion, entonces para todo x solucionfactible del primal y y solucion facrible de dual se tiene que:
z(x) ≤ z ′(y)
Teorema FuerteEl primal tiene solucion optima si y solo si el dual tiene solucion optima.Mas aun, el valor optimo es el mismo para ambos problemas.
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Metodo SIMPLEX
Teoremas de dualidad
Teorema DebilSi el problema primal es de maximizacion, entonces para todo x solucionfactible del primal y y solucion facrible de dual se tiene que:
z(x) ≤ z ′(y)
Teorema FuerteEl primal tiene solucion optima si y solo si el dual tiene solucion optima.Mas aun, el valor optimo es el mismo para ambos problemas.