Método da Decomposição LU para a solução numérica de...
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Método da Decomposição LU para a solução numérica de equações lineares
Lucas Justino
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Equação linear
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Ordem de um sistema linear
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Modo geral da representação matricial
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Modo geral da representação matricial
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Exemplo da representação matricial
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Classificações de sistemas
Sistema possível: Possui ao menos uma resolução.
● Determinado: Admite apenas uma solução.● Indeterminado: Admite mais de uma solução.
Sistema impossível: Não possui uma resolução.
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Sistema triangular inferior
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Sistema triangular superior
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Decomposição LU● Método exato, ou seja, fornece solução exata.● Sem erros de arredondamento (exceto pela representação finita da máquina).● Número finito de operações.
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Matriz triangular e menor principal
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Teorema LU
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Decomposição LU
Como A = LU, então:
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Decomposição LU
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Decomposição LU
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Decomposição LU
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Decomposição LU
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Decomposição LU
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Aplicando à solução
● Sabemos que Ax = b, e como LU = A, então podemos dizer que LUx = b
● Ao fazer Ux = y, reduz a equação acima por Ly = b
● Logo, ao resolver Ly = b, achamos y, assim basta substituir em Ux = y e acharemos x
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Exemplo● Seja o sistema:
5x + 2y + z = 03x + y + 4z = -7x + y + 3z = -5
● Então
e
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ExemploFazemos os seguintes passos:
a) Verificar se A satisfaz as condições da decomposição LU
b) Decompor A em LU
c) Através da decomposição LU, calcular o determinante de A
d) Resolver o sistema Ax = b usando a decomposição LU
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Exemplo
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Exemplob)
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Exemplo
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Exemplo
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Bibliografia● FRANCO, Neide Maria Bertoldi - Cálculo Numérico, 1ª Ed. São Paulo:
Pearson Universidades, 2006.