www.wolframalpha.com www.wolframalpha.com www.wolframalpha.com www.wolframalpha.com – Polecam!

www.math.uni.wroc.pl/~msliw/3c www.math.uni.wroc.pl/~msliw/3c www.math.uni.wroc.pl/~msliw/3c

Przypomnienie: tak, jak w zapisie dziesiętnym (= dziesiątkowym) np. 2013 oznacza liczbę, której wartość to suma

trzech jedności, jednej dziesiątki, zera kwadratów dziesiątki (102) i dwóch sześcianów dziesiątki (10

3), czyli

symbolicznie 3 + 1·10 + 0·102 + 2·10

2, tak taki sam zapis w systemie piątkowym (co zapisuje się zwykle jako 20135)

oznacza liczbę, której wartość to suma trzech jedności, jednej piątki, zera kwadratów piątki (52) i dwóch sześcianów

piątki (53), czyli 3 + 1·5 + 0·5

2 + 2·5

3, a zatem 20135 = 258.

Co zatem oznacza 2013 w zapisie czwórkowym? (Czyli 20134). *A trójkowym?

Jeśli nie masz do siebie pełnego zaufania, możesz to dość łatwo sprawdzić w tzw. Necie – pamiętasz jak?

Zad. 0. Jak wygląda dwójkowy (inaczej: binarny, jeszcze inaczej: zero-jedynkowy*) zapis liczby 213

, a jak 811

?

* - Pamiętasz, skąd ta zagadkowa nazwa? :>

Z1. Zapisz liczby 123 i 999 w systemach o podstawach: 9, 11, 12, 16.

Z2. Jak wyglądają piątkowo: 7, 35, 175, 875, 4375, ...? Czy widzisz, co się dzieje? A wiesz, dlaczego? :>

Z3. Jak w miarę szybko można obliczyć wartości największej liczby o 10-cyfrowym zapisie szóstkowym?

Z4. Jak wygląda siódemkowy zapis liczb 7100

+7 i 7100

−1?

Z5. Jeśli przez ś oznaczymy liczbę 6 444 007 088 000 91911, to jaki zapis jedenastkowy ma liczba ś 11, a jaki ś+110?

Z6. Czy liczba 22222222222222225 jest parzysta? A 555555555555555555555556? A 555555555555555555555557?

Z7. Liczby tu zapis jest siódemkowy: 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333330

i pora teraz połamać głowy: czy liczba owa jest (o, niebożę!) wielokrotnością czternastu może?

Z8. Jaką resztę przy dzieleniu przez 3, a jaką przez 18 dają liczby: 1234505432101236, 12345123456,

876543210123456789?

Z9. Sprawa będzie niezwykle tutaj czysta: sprawdź mi, proszę, czy liczba x parzysta.

x = abcde9, gdzie cyfry a, b, c i d są nieparzyste, a e – parzysta (Kreska na dole oznacza to samo co na górze.)

* - A kto wysili teraz głowę i poda kryterium gotowe,

Które z zapisu w systemie o podstawie p rozstrzygnie Liczby parzystość danej, w dobrym zdrowiu i w malignie?

ZA. * Sformułuj cechę podzielności przez 4 w systemie szóstkowym. (Inaczej: jak w prosty sposób z szóstkowego

zapisu liczby poznać, czy dzieli się ona przez 4?) Podp.: jakiej cesze podzielności w zapisie dziesiętnym może to

odpowiadać?

ZB. Takie pytanie tu postawić teraz chcemy (?): jaka największa liczba n-cyfrowa,

jeśli w systemie o podstawie k piszemy? I już zagadka świetna jest gotowa!

ZC. W grę nie wchodzi żadna ściema - w jakich pozycyjnych systemach:

a) liczba naturalna n > 1 wygląda tak samo? (Super to zadanie, o, mamo!)

(Przy okazji Was spytam niezwykle uczenie – po com podał na n ograniczenie?)

b) liczba 20122 jest dwucyfrowa? Czy odpowiedź już gotowa?

ZD. Ile cyfr mieć może liczby naturalnej zapis siódemkowy, jeśli jej zapis jedenastkowy jest 6-cyfrowy?

ZE. Siup, tralala, bum-cyk-buch – która liczba większa z dwóch?

(Bardzo przy tym nas Was liczę, by nie wykonywać, gdy nie trza, obliczeń!)

a) 12345678915 czy 12345678916? b) 123456789017 czy 98765432116? c) 987654321016 czy 234567076543218?

d) jedynka i 1001 zer w zapisie czwórkowym czy jedynka i 2002 zera w zapisie dwójkowym?

e) 111...119, gdzie jedynek jest 1001, czy 111...113, gdzie jedynek jest 2002? f) 123412345 czy 3FFFF16?

g) 123456789AB12 czy 21.021.021.021.021.021.0213? h) AB98765432112 czy 123.0123.0123.0123.0123.01234? i) 0,1432203415 czy 0,20123023033123024 ? j) 0,123450123456 czy 0,123450123458 ?

ZF. A teraz, Panowie i Panie, rozwiązać mi takie proszę równanie: 12x 31x=366x.

Z10. Jak wygląda w systemie trzynastkowym liczba 1134

1 13 ? A 3

113

3

1 100 ?

Z11. Ile mnożeń wykona się, obliczając schematem Hornera wartość 99-cyfrowej liczby piątkowej? Uzasadnij!

Z12. (x i y to liczby całk. dod.) Ile rozwiązań ma równanie x mod 11 = 5 ? A równanie x div 11 = 5?

A x mod 5 = 11 ? A x div 5 = 11 ?

* Jakie wartości może przyjąć wyrażenie x mod y ?

?

Z13. (było na sprawdzianie onegdaj!) Liczba ś ma stucyfrowy zapis dwójkowy 1010...10. Znajdź najmniejsze naturalne n, dla którego ś div 2

n = 0.

Z14. Rozwiąż rebus anagramowy: 1)

(Uwaga: są dwa (2!) rozwiązania!)

1) Grafika – JASC's WebDraw; Michel32NI, , na licencji GNU FDL.

A ten? (Uwaga: są dwa (2!) rozwiązania! :))

2)

2)

Autor zdjęcia: Jarosław Kruk [CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 (www.creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]

Z15. Nowy temat nastał właśnie,

więc go śmiało napoczniemy.

Szybko zatem wpierw wyjaśnię,

co też logarytmem zwiemy.

Logarytm otóż o wykładnik jest pytaniem:

log39 (logarytm przy podstawie trzy z dziewięciu)

– dalej dążę z wyjaśnianiem –

dwa wynosi – cóż trudnego w tym pojęciu?!

Teraz kończę me gadanie

– „Uzupełnij!” brzmi zadanie: ... ... ,...4096log

... albowiem ,...4lo

... ze jako ,...3lo

... poniewaz ,...lo

... ze dlatego ,...2log

... gdyz ,...125log

39 bo ,...9log

16

33

8

10

9

2

5

...

3

3

g

g

g

Google, WolframAlpha oraz Excel czy Calc umieją oczywiście logarytmować – zachęcam do wspólnej zabawy: wpisz

im np. „log(10)” (jak rozumieją zatem funkcję log bez podania podstawy?), a potem coś z dwoma argumentami, typu

„log(2,4)” – jak widać, dla Google’a to już za trudne, ale Wolfram rozumie to tak jak to, co wpisywaliśmy mu na lekcji.

Z16. * Pytania może jeszcze takie postawię w tym jakże dogodnym momencie: co stać nie może w logarytmu podstawie? co nie ma sensu w argumencie?

Z17. Między jakimi liczbami całkowitymi mieści się:

b = log21234, c = log101234, d = log6(699

+11), e = log5(599

+577

+4·53), f = log4(3·4

66+4

33+2)?

Z18. a jest liczbą naturalną, a log2a ≈ 123,456. Ile cyfr liczy sobie zapis binarny liczby a?

Z19. Ile wynosi 30log2 ,

31log2 , 32log2 ,

33log2 ? (Uzasadnij!)

Z1A. Oblicz sobie: 3

339log , 16log 4/1 ,

27log42 .

Z1B. Wiemy (skąd?!), że log21000 10. A ile wynoszą log21.000.000, log21.000.000.000? Z jaką dokładnością? :>

Z1C. Uprość a^logab i loga(ab). *Który z tych zapisów daje większą swobodę wyboru a i b?

x

Z1D. Zapisz szesnastkowo: 1101100010110000000111110102, 321034.

Z1E. Zapisz dziewiątkowo: 210123, (10)906(72)81.

Z1F. Zapisz czwórkowo: 12809ABC16, 3210658.

Z20. Jakie wartości będą kolejno przyjmować półbajtowe zmienne naturalne k i l w następującym programie? k:=1; l:=15; dopóki nie(k=15) {k:=k+3; l:=l+1}

Z21. Naturalne zmienne x i y zapisujemy na półbajcie, a i – jednobajtowo. Jakie będą wartości x, y i i po zakończeniu

działania programu?

i:=0; x:=0; y:=0; dopóki i<199, powtarzaj {jeśli x=2, y:=y+1; i:=i+1; x:=x+1}

Jaka będzie odpowiedź, jeśli i w każdym kroku pętli rosłoby o 2 zamiast o 1? A o 3?

Z22. x jednobajtowo zapisujemy i dowiedzieć bardzo się chcemy,

po ilu krokach pętli zerem będzie, aż miło, jeśli przed w pętlę wejściem tyle wynosiło:

(Dodam jeszcze, droga Młodzieży, że znów jak najmniej liczyć tu należy!)

a) 1, b) 4, c) 9, d) 7, e) 22, f) 255, g) 128, h) 127, i) 256, j) 66, k) 80. Powiedz mi jeszcze, miły gagatku, po ilu krokach w każdym przypadku

przez komputerowe zapisywanie wynik poprawny być przestanie.

Czy w której z pętli w poniższym rzędzie x piątką w pewnym momencie będzie?

Z22.0: powtarzaj x := 2x Z22.1: powtarzaj x := x div 2

Z23. Drogi Narodzie, program tu taki jest w pseudokodzie:

k:=0; l:=1; i:=1; dopóki l<2011, powtarzaj {jeśli 2|i, k:=k+1; i:=i+1; l:=l+1}

Aby w zadaniu wszystko było formalne, podam jeszcze, braci kochana:

że wszystkie zmienne są naturalne, a zmienna l na dwóch bajtach pisana.

Wartość k po wyjściu z pętli każdy zaraz określi: a) zmienne i i k zajmują po 1 B jeśli.

b) i zajmuje jeden, a k dwa bajty jeśli.

c) i na półbajcie pisana, a k na 1 B jeśli.

d) i na półbajcie pisana, a k na 2 B jeśli.

e) Czy równie szybko stwierdzimy, jakie a-d odpowiedzi będą, gdy pętli warunek na „dopóki i<2012” zmienimy?

f) A co w a-d byłoby się działo, gdyby w środku pętli „3|i” stało?

Z24. Zapisz w kodzie U2: a) -123 na 1 B, b) -66 na 1 B, c) -3 na 2 B, d) -1 na 4 B

e) najmniejszą możliwą liczbę na 4 B (Przy okazji podaj również jej wartość).

Z25. Wieloletnie prowadzone w Internecie badania

dowiodły niezbicie, że 102 jest kodem ASCII znaku

‘f’. Co się tu kolejno wyświetli?

char z='g';

cout << int (z-1);

z++;

cout << char (z);

cout << char (z-'f');

Z26. Co wypisze w C++ polecenie cout << int ('4'+'5'-'6')?

Z27. Zapisz szesnastkowo: 0,3001230034, 0,022048.

Z28. Zapisz ósemkowo 0,001000110100012, 0,090B16.

Z29. Zapisz dwójkowo, czwórkowo, ósemkowo i szesnastkowo liczby: 0,00112, 0,F116.

Z2A. Pokaż, jak odpowiednikiem schematu Hornera dla ułamków obliczyć a) 0,020349; b) 0,040325. (Nie musisz

wykonywać działania, tylko je zapisz).

Z2B. Jak wygląda pozycyjny zapis szóstkowy liczb: a = 99100 32

11; b =

10099 32

13?

Z2C. Prześledź działanie poniższego algorytmu dla: a) x = 2, y = 11

/32; b) x = 4, y = 11

/32; c) x = 3, y = 11

/27; d) x = 2, y =

2/5. Jaką wartość ma zapis otrzymany: w pkcie a, jeśli czytać go dwójkowo; w pkcie b, jeśli czytać go czwórkowo; w

pkcie c, jeśli czytać go trójkowo?

ALGORYTM: Napisz "0,".

Dopóki y>0, wykonuj: { napisz część całkowitą liczby xy; do y wpisz część ułamkową liczby xy }.

Z2D. Jak wygląda 1/n w systemie o podstawie n+1? (Odpowiedź można znaleźć/uzasadnić na kilka sposobów!)

Z2E. (Było na sprawdzianie kiedyś!) Czy zapisane pozycyjnie w możliwie najkrótszy sposób w systemach: szóstkowym,

ósemkowym i dwunastkowym liczby 33

/3100

, 99

/100, 17

/48, 7/25 są ułamkami skończonymi czy okresowymi? Ile mają cyfr po

przecinku/maksymalnie w okresie? Na ile pytań powinno się udzielić odpowiedzi w tym zadaniu?

Z2F. Ile pamięci zajmuje bitmapa 1000 px 2000 px, jeśli zapisano ją w systemie RGB, przeznaczając na każdą

składową po 16 b?

Z30. Ile kolorów da się zapisać systemem RGB, jeśli na każdą składową przeznaczymy 1 B?

Z31. Ile pamięci zajmuje bitmapa 1000 px 500 px, jeśli zapisano ją w 256 odcieniach szarości?

Z32. Ile pikseli można zapisać na 100 B, jeśli zapisujemy bitmapę w 16 poziomach szarości?

Z33. Naszkicuj obrazek PGM zapisany jako plik o zawartości: P2 3 2 11 0 5 5 11 5 0.

Z34. Na lekcji „wyszło” nam, że 1+2+4+8+... = –1, A JAK wygląda „liczba” z lewej w zapisie dwójkowym? A co tak

wygląda w kodowaniu U2? :> To nie przypadek!

Z35. Jeszcze bardziej szokujące efekty (bezprawnego!) traktowania nieskończonych sum jak liczb są np. takie:

oznaczmy przez a (Agatko, Aniu, ... ) „liczbę” (ale to właśnie nie liczba i stąd biorą się poniższe błędy!) 1–1+1–1+1–

1+... i popatrzmy:

a = (1–1)+(1–1)+(1–1)+... = 0+0+0+... = no, ile?

Jednocześnie a = 1+(–1)+1+(–1)+1+(–1)+... = 1+(–1+1)+(–1+1)+(–1+1)+... = 1+0+0+0+... = ... (!?).

W dodatku a = 1–(1–1+1–1+1–1+...) = 1–a, a skoro a = 1–a, to przecież a = ...!

Dla wprawy proponuję podobnie popatrzeć na b (Basiu!... ) = 1–2+4–8+16–32+... – wówczas b jest z jednej strony

„sumą” (!?) pewnych liczb ujemnych: (1–2)+(4–8)+(16–32)+..., z drugiej – „sumą” (!) pewnych liczb całkowitych

dodatnich: 1+(–2+4)+(–8+16)+(–32+64)+..., z trzeciej b = 1–2b (jak to pokazać?), czyli b = ...

Paradoksy nieskończoności!

Z36. Czy przy zapisie stałoprzecinkowym z jednobajtową częścią ułamkową da się zapisać dokładnie:

a = 1/3, b =

1/8, c =

1/10, d =

1/200, e =

1/256, f = 2

-8, g = 8

-3 ?

Z37. Zapisujemy liczby rzeczywiste stałoprzecinkowo, przeznaczając półbajt na część ułamkową. Zapisz z jak

największą dokładnością liczby: 3/4,

1/6,

3/32.

Z38. Liczby z jakiego przedziału zostaną zaokrąglone do ¼, jeśli na ich część ułamkową przeznaczamy 3 b?

Z39. Zapisem stałoprzecinkowym jakiej liczby jest 011 101 010 111 (miły urwisie), jeśli 011 101 000 010 to liczba 232¼ w tym samym zapisie?

Z3A. Zapisujemy liczby nieujemne stałoprzecinkowo na 2 B, przeznaczając na część całkowitą 11 b. Jak zapiszemy

64

35 ? Jaki błąd względny, a jaki bezwzględny wówczas popełnimy?

Z3B. Zapisujemy liczby nieujemne stałoprzecinkowo na 99 b, przeznaczając na część ułamkową 6 b. Jaka jest największa, a jaka najmniejsza liczba dodatnia, którą można wówczas zapisać bez błędu? A jeśli dopuścimy

zaokrąglenia?

Z3C. Podaj znormalizowany zmiennoprzecinkowy (przy podstawie 10) zapis liczb:

a) bilion b) c) 100 d) / 10100

e) 5-100

f) 5,123 10100

g) 8.000.000-1

h) 0,12345 10-100

i) 1/60

Z3D. Podaj znormalizowany zapis zmiennoprzecinkowy przy podstawie 2 liczby 7/8. A

9/16? A

11/256?

Z3E. Jak mówi standard IEEE (vide np. www.math.byu.edu/~schow/work/IEEEFloatingPoint.htm), w systemach 32-bitowych, typ double zapisuje wykładniki z [-1023, 1024] (tak dziwnie! – więcej dodatnich niż ujemnych, czyli

odwrotnie niż U2 – dlaczego, można przeczytać w Sieci lub zapytać mnie! ), a na część ułamkową modułu mantysy

przeznacza 52 bity. W Devie wygląda to, zdaje się, niedokładnie tak, ale zobacz

www.math.uni.wroc.pl/~msliw/1c/floating.cpp. Rozumiesz, co się dzieje? Ile bitów mantysy zapisuje najwyraźniej Dev?

Z3F. Podobne rzeczy można zaobserwować, wpisując odpowiednie działania w Google. Ale tutaj są jeszcze niesamowitsze: poćwicz, co daje: 2^-1024, a co 2^-1023/2 (a dodatnio wychodzi nawet 2^-1023/2^51 – wyjaśnienie

wynika z poprzedniego zad. ). Poza tym aż do 1074 można podnieść 0,5 i ½, ale obliczyć 1/2^1024 też się poprawnie nie

da – dlaczego??!... (Wskazówką jest denormalizacja).

Wyobrażasz sobie pewnie już, że sprawę warto zbadać także choćby w arkuszach kalkulacyjnych.

Z40. Jak poradzi sobie z działaniem (1/8 + 11) / 8 / 8 / 4 komputer, który liczy na postaciach zmiennoprzecinkowych o

wykładniku z przedziału <-4,3>, przeznaczając na mantysę 4 bity?

Z41. Jakiż błąd względny (a jaki bezwzględny) przytrafić się może niechcący,

gdy wartości jakiejś podamy

raptem trzy (dwie?) cyfry znaczące?

Z42. Supernowoczesna megamaszyna M$-2012 zapisuje liczby zmiennoprzecinkowo, przeznaczając na część ułamkową mantysy i moduł wykładnika po 3 bity.

a) Na ile sposobów może zapisać liczbę 2? A 0? Ile z nich to zapis znormalizowany?

b) Podaj wartości liczb: największej i najmniejszej dodatniej, które może dokładnie zapisać M$-2012 (w sposób

niekoniecznie znormalizowany!). Czy obie mają na M$-2012 zapis znormalizowany?

c) Jak maszyna ta wykona działanie 4 + ¼? A 1,0012 2-111

2 / 2?

W zad. o nrach [1247, 1069] działamy na zapisach zmiennoprzecinkowych przy podstawie 2, przeznaczając na wartości

bezwzględne części ułamkowej mantysy i wykładnika po 7 bitów. (Znak „=” nie oznacza więc oczywiście

matematycznej równości!)

Z43. Znajdź max{x: 26+x=26}.

Z44. Podaj przykłady liczb a, b i c, których sumę / iloczyn da się obliczyć, wykonując działania tylko w odpowiedniej

kolejności (aby nie przekroczyć zakresu).

Z45. Podaj przykłady liczb a, b i c, które przy podanych działaniach nie powodują przekroczenia zakresu, ale nie

zachodzi równość:

a) (a+b)+c=a+(b+c) (proszę o 2 (3?!!) istotnie różne przykłady!) b) (ab)c=a(bc) c) (a+b)c=ac+bc d) ab=ba

ZZ 46-4B należy umieć rozwiązać bez komputera. (Chociaż warto oczywiście sprawdzić wyniki na sprzęcie, no i tym

bardziej w razie potrzeby dowiedzieć się dzięki komputerowi, co w ogóle robią używane tu funkcje! )

Z46. Co pojawi się w komórkach, jeśli:

a) w polu B2 wpisano: = 1+B1/100,

w polu C2 wpisano: = C1–1/(100^$A2),

w polu D2 wpisano: = C2+$B2,

w polu E2 wpisano: = SUMA(A$1:A2)

i obszar B2:E2 skopiowano do obszaru B3:E6?

b) w polu B2 wpisano: = 1+B1*10,

w polu C2 wpisano: = C1–1/(10^$A2),

w polu D2 wpisano: = D1–1/(10^A$2),

w polu E2 wpisano: = SUMA(A2:A$6)

i obszar B2:E2 skopiowano do obszaru B3:E6?

Z47. Wypełnij (liczbami) to, co obliczy komputer, gdy pole B2 wypełniono, jak pokazano, i skopiowano do obszaru

B2:D3.

a) w B2 jest: = A$1 + $A2

Z48. A co pojawi się tu, jeśli pole D1 wypełniono, jak pokazano, i skopiowano do obszaru D1:E3?

a) w D1 jest: = LICZ.JEŻELI(A$1:B1;”<2”) b) w D1 jest: = SUMA($A1:B1)

Z49. Jakie wartości i z jakimi prawdopodobieństwami daje formuła:

a) „=(LICZBA.CAŁK(LOS()*11)+1)*3”? c) „=LICZBA.CAŁK(LOS()*3)-3*LICZBA.CAŁK(LOS()*2)”?

b) „=(3*LICZBA.CAŁK(LOS()*7)+1)*2”? d) „=4*LICZBA.CAŁK(LOS()*2)+2*LICZBA.CAŁK(LOS()*4)”?

e) „=JEŻELI(LOS()>=,75;JEŻELI(LOS()<1/2;LICZBA.CAŁK(2*LOS())*3;3);LICZBA.CAŁK(LOS()*4))”?

f) „=JEŻELI(LOS()<3/4;JEŻELI(LOS()>=0,5;3;LICZBA.CAŁK(LOS()*4));LICZBA.CAŁK(2*LOS())*3)”?

g) „=JEŻELI(LOS()<2/3;JEŻELI(LOS()<1/2;5;7);6+LICZBA.CAŁK(2*LOS()))”?

A B C D E

1 0 1 1 0

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

A B C D E

1 0 1 1 1 1

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

A B C D

1 1 2 3 4

2 2

3 3

A B C D

1 1 2 3 4

2 2

3 3

A B C D E

1 2 0 2

2 terefere 1

3 2 2 0

A B C D E

1 2 0 2

2 terefere 1

3 2 2 0

b) w B2 jest: = $A$1 + A2

Z4A. Jakie wartości daje formuła:

a) „=(LICZBA.CAŁK(LOS()*3))*10+LOS()”? c) „=5*LICZBA.CAŁK(4*LOS())+LOS()*6”?

b) „=LICZBA.CAŁK(LOS()*3)*5+LOS()*4”? d) „=JEŻELI(101*LOS()>44;3*LOS()+44)”?

e) „=JEŻELI(2013*LOS()<101;LICZBA.CAŁK(LOS()*3+44);LICZBA.CAŁK(LOS())+1)”?

Z4B. Podaj formułę, która daje losowe wartości ze zbioru: A = 0, 7), B = 4, 77), C = (5, 55 , D = {0, 1, 2, ..., 5}, E = {4, 5, 6, ..., 88}, F = {0, 2, 4, ..., 66}, G = {9, 19, 29, ..., 99}, H = {66, 71, 76, ..., 101}, I = {13, 17, 21, ..., 2013},

J = )100,96...)25,21)20,16)15,11 , K = {101, 107, 113, ..., 605, -101, -107, -113, ..., -605}.

Z4C-51 spróbuj najpierw na papierze!

(Chociaż zachęcam do weryfikacji komputerem odpowiedzi lub stawianych śmiało hipotez).

Z4C. Co się narysuje?

a) repeat 3 [ forward 100 left 90 ]

b) repeat 3 [ forward 100 left 120 ]

c) repeat 2010 [ forward 100 right 90 ]

d) repeat 2010 [ forward 1 right 1 ]

e) repeat 4 [ forward -44 repeat 2 [ lt 90 forward 44 lt 90 ] ]

f) repeat 4 [ fd 20 rt 90 rt 90 repeat 6 [ fd 10 lt 90 ] ]

Z4D. Jak można oszczędzić żółwiowi nadmiernego spacerowania w Z4C.d, tak żeby mimo to narysował to samo?

Z4E. Co zmieni zamiana 100 na -100 w Z4C.a-c? A left na right?

Z4F. Czy „rt 180 fd 111” to to samo co „fd -111”?

Z50. Żółw biega sobie swobodnie po płaszczyźnie, wykonując kolejno następujące kroki: forward 100

rt 90

forward 300

rt 135

forward 200 * sqrt 2

Wydając jak najmniej poleceń, każ wrócić Żółwiowi do jego położenia początkowego (nieważne, jak będzie w nim

ustawiony). Jeśli nie umiesz tego zrobić dwoma komendami (a da się!), spróbuj trzema (ale szóstki nie dostaniesz), a jeśli

nie umiesz nawet czterema, to kiepsko!...

Z51. Żółw chodzi po płaszczyźnie, wykonując kolejno komendy: FD 10

RT 900

FD 100

LT 450

REPEAT 100 [ RT 90 FD 10 ]

Za pomocą jak najmniejszej liczby komend spowoduj, by powrócił do punktu wyjścia i ustawił się w pozycji pocz.

Z52. Wywołaj kilka razy „komendę” random 5. To nie jest w sumie żadna komenda, stąd zbulwersowanie żółwia (bo to

tak, jakby wpisać mu np. sin 30), ale czy domyślasz się, jakie wartości daje ta funkcja? Sprawdź w helpie! (Uwaga:

funkcje losujące w innych dialektach Logo mogą działać inaczej!)

A co może się narysować komendą repeat 100 [ fd 20 rt (90*random 4) ] ? Zastanów się, a potem sprawdź. (Aby

dokładniej zobaczyć, co robi żółw w kolejnych krokach, można dopisać komendę wait 30 – gdzie? Jest to tzw. spacer losowy, tutaj – po sieci kwadratowej. Jak kazać żółwiowi losowo spacerować po sieci trójkątnej? A jak pozwolić mu

chodzić w (prawie) dowolnym kierunku? Jeśli dodatkowo jego kroki będą dostatecznie małe, stworzysz wówczas model

ruchów Browna! (Znany Ci z biologii/chemii/fizyki?)

Z53. Czy zdajesz sobie sprawę, że chodzenie przez żółwia po sieci trójkątnej lub kwadratowej to dość szczególne

przypadki? Dlaczego żadna regularna sieć nie powstanie, gdy będziemy kazać mu obracać się o wielokrotności 45 (i iść naprzód o tę samą odległość)?

Z53’. Co zrobić, by żółw chodził (losowo) po sieci sześciokątnej (foremnej)? Podp.: o jakie kąty może się po każdym

kroku obrócić?

Z54. Spowoduj, by żółw stanowił model pijaka jednowymiarowego, tj. chodzącego po prostej krokami o jednostkę w lewo lub w prawo. Można to zrobić podobnie, jak przy chodzeniu po sieci kwadratowej, gdy chodził, obracając się po

każdym kroku o odpowiednio losowo wygenerowany kąt, a można również, sprytnie używając tylko instrukcji FD (i

losując w niej, czy iść ma w jedną, czy drugą stronę – jak??

Podp.: jaki jest zbiór wartości wyrażenia 2 * (RANDOM 2) – 1?).

Z54’. A czy umiesz spowodować, by żółw chętniej szedł w jednym niż w drugim kierunku (np. z

prawdopodobieństwami 2/3 i

1/3? (Podp.: da się to zrobić dzięki wyrażeniu podobnemu do tego 2 linijki wyżej).

Z54’’. Poobserwuj zachowanie żółwia w Z54 i 54’. Widać różnicę? Dlaczego?

Z55. Narysuj: a) 11 promieni tego samego okręgu dzielących go na przystające łuki.

Tak miałby wyglądać Twój rysunek, gdyby chodziło o 5 promieni:

b) kwadrat i kwadrat symetrycznie w niego wpisany,

c) trójkąt równoboczny i jedną Jego Wysokość,

d) sześciokąt foremny i jego dwie równoległe przekątne,

e) szachownicę 7 7, której pola mają boki długości 10,

f) 9 stojących obok siebie liter Y, g) sześciokąty z ryciny obok (a ma ich być 22).

Z56. Napisz procedurę rysującą:

a) taką piłę o n zębach:

b) n takich łamanych o bokach x i

x/2 (odstępy między kolejnymi wynoszą

x/2):

c) takie cóś:

(n kwadratów o boku a, a odległości między nimi wynoszą a)

d) taki płotek na komary:

(odcinków pionowych jest k, a każdy ma długość x i odległości między kolejnymi to również x)

Z57. TO COSIK :a REPEAT 6 [ FD :a LT 60 ]

END

Co się namaluje komendą REPEAT 3 [ COSIK 2 RT 120 ] ? (Definicję procedury COSIK możesz po prostu skopiować

do okienka, które pojawi się po wciśnięciu „EdAll” i które należy potem zamknąć, żeby wrócić do trybu komend, w

którym można jej już śmiało używać, np. jak komendą powyżej).

Z58. Żółw Hieronim nauczył się wykonywać następującą procedurę: to NieWiadomoCo

back 10

repeat 2 [ lt 90 forward 20 lt 90 ]

end

Narysuj trasę Hirka, jeśli wyda mu się polecenie Repeat 4 [ NieWiadomoCo ].

Z59. Żółw Eustachy umie wykonać

następujące procedury:

W tej chwili (godzina 0) Eustachy stoi w punkcie (0,0) i patrzy w kierunku punktu (-1,0). Gdzie i w jakiej pozycji

znajdzie się po wykonaniu komendy ZAGADKA 3?

Z5A. A co rysuje zagadkowa? Co znaczą jej parametry? (Po jej zdefiniowaniu („EdAll” button) wywołuje się ją

podobnie jak np. procedurę left – tyle że zagadkowej trzeba podać dwa argumenty).

to zagadkowa :x :k

repeat 4 [ fd :x rt 90 ]

if :k>0 [ rt 45 fd :x * sqrt 2 ]

if :k=2 [ lt 45 fd -:x lt 45 fd :x * sqrt 2 ]

end

TO RYSUJ :a

REPEAT 3

[ FORWARD :a

LEFT 90 ]

END

TO ZAGADKA :k

REPEAT :k

[ LEFT 270

RYSUJ 20 ]

END

Z5B. A co narysuje HAHA 4 po następującej definicji HAHA :k?

IF :k>0 [ HAHA :k-1 FD 1 ] IF :k=0 [ BACK 7 ]

Z5C. Narysuj następującą zagmatwaną mozaikę z n kwadratami, z których największy ma bok a.

Z5D. A umiesz rysunki z Z56 zdefiniować rekurencyjnie? :>

Z5E. Napisz procedurkę rysującą Rekurencyjne Pazurki Śliwińskiego*. Potrzebne parametry ustal sobie sam[a]!

* - RPŚ stopnia 1 (stopnia 0 nie definiujemy): Dla porównania RPŚ stopnia 3:

Spróbuj bez Żółwia! Spróbuj bez Żółwia! Spróbuj bez Żółwia! Spróbuj bez Żółwia! Spróbuj bez Żółwia! Spróbuj:

Z5F. Co rysują procedury?

to rekurencja :n :a

if :n>0 [

fd :a

rekurencja :n-1 2*:a

]

end

to rekursja :n :a

if :n>0 [

fd :a

rt 90

rekursja :n-1 :a*.9

]

end

Z60. W języku alaLogo

zdefiniowano procedury:

Naszkicuj, co powstanie po

wywołaniu procedury

zagadka z parametrami 3 i

20, jeśli żółw porusza się po

płaszczyźnie i na początku stoi z twarzą zwróconą na południe.

A umiesz przepisać i uruchomić je w naszym Logo?

Z61. („I Ty możesz kiedyś potrzebować lekarza...”) Dane są trzy pliki tekstowe, w każdym z nich dane w wierszu

oddzielone są znakami tabulacji. Plik http://www.math.uni.wroc.pl/~msliw/1c/lekarze.txt zawiera dane lekarzy: numer

identyfikacyjny lekarza, jego nazwisko, imię, specjalność, datę urodzenia, NIP i PESEL. Plik

http://www.math.uni.wroc.pl/~msliw/1c/pacjenci.txt zawiera dane pacjentów: numer identyfikacyjny pacjenta, jego

nazwisko, imię, PESEL i datę urodzenia. Plik http://www.math.uni.wroc.pl/~msliw/1c/wizyty.txt zawiera informacje na

temat domowych wizyt lekarskich przeprowadzonych przez lekarzy u pacjentów: numer identyfikacyjny lekarza, numer

identyfikacyjny pacjenta oraz datę wizyty lekarskiej przeprowadzonej przez lekarza u pacjenta.

a) Utwórz zestawienie zawierające nazwiska i imiona lekarzy oraz liczbę wizyt przeprowadzonych przez każdego z

nich. Informacje uporządkuj nierosnąco według liczby wizyt.

b) Utwórz zestawienie zawierające nazwiska i imiona pacjentów oraz liczbę wizyt lekarzy u każdego z pacjentów,

którzy urodzili się przed 1 lipca 1973. Informacje uporządkuj niemalejąco według liczby wizyt.

c) Utwórz zestawienie zawierające informacje: nazwisko, imię i specjalność lekarzy posiadających NIP rozpoczynający

się od cyfry 8 (btw.: o czym to świadczy?). Informacje uporządkuj alfabetycznie według nazw specjalności.

d) Utwórz zestawienie dla każdego pacjenta, zawierającego informację, u ilu lekarzy się leczył, to znaczy wskaż, ilu

różnych lekarzy było z wizytą u danego pacjenta. W zestawieniu podaj nazwisko, imię pacjenta oraz liczbę lekarzy.

Informacje uporządkuj alfabetycznie według nazwisk.

Z62. Podaj jak najprostszy

przykład relacji na liczbach,

której klucz musi mieć co

najmniej trzy pola.

Z63. Dana jest następująca baza

IIILO201213. Podaj jej dwa

klucze potencjalne.

Poziom Litera Wychowawca Rok przybycia Stan klasy Ulubiony p.

1 A W. Mizia 2012 31 informatyka

1 B B. Wasilewska 2012 30 wf

1 C A. Łęcka 2012 30 informatyka

... ... ... ... ... ...

3 C B. Kruczkowska 2010 29 informatyka

3 D J. Kuczera 2010 30 fizyka

3 E A. Pasikowska 2010 29 matematyka

PROC. ZAGADKA (s, x)

JEŚLI s=1, TO WYKONAJ TRÓJKĄCIK (x)

JEŚLI s>1, TO WYKONAJ

{TRÓJKĄCIK (x)

ZAGADKA(s-1,x/2)}

KONIEC PROC. ZAGADKA

PROC. TRÓJKĄCIK (x)

POWTÓRZ 3 RAZY:

{IDŹ NAPRZÓD O x

SKRĘĆ W PRAWO O 120 }

KONIEC PROC. TRÓJKĄCIK

Z64. Dane są tabele.

T1:

T2:

a) Jakie są proste klucze kandydujące w T1? Uzasadnij!

b) Jakie tabele uzyska się poniższymi kwerendami?

K1. SELECT DISTINCT "pole4" AS "toto", COUNT(*) FROM "T1" GROUP BY "pole4";

K2. SELECT "pole1", "pole1", "pole1", "pole4" FROM "T1" WHERE "pole5">"pole1" AND "pole6">’QQ’;

K3. SELECT "pole1", "p3" FROM "T1", "T2" WHERE "pole5"="p1" AND "p2" LIKE ’%i*’;

Z65. Obok relacja T. Jaka tabela powstanie jako efekt kwerendy:

a) SELECT DISTINCT "pole3", "pole4" FROM "T" ORDER BY "pole4", "pole3";?

b) SELECT "pole3", SUM ("pole2") AS "sum" FROM "T" GROUP BY "pole3"

ORDER BY "pole3" DESC;? c) SELECT "pole1" FROM "T" WHERE "pole2" IN (SELECT "pole2" FROM T

WHERE "pole2"+"pole3">5);?

Z66. Obok relacja R.

Jaka tabela powstanie jako efekt kwerendy:

a) SELECT "pole3", "pole4", "pole4", "pole4" FROM "R"

ORDER BY "pole4", "pole2"?

b) SELECT "pole4" FROM "R" GROUP BY "pole4"

HAVING COUNT (*) > 1?

c) SELECT "pole4" FROM "R" GROUP BY "pole4"

HAVING COUNT (DISTINCT "pole3") > 1?

Z67. Dana jest baza z tabelami: T2:

T1:

a) Jakie tabele dadzą te kwerendy?

K0. SELECT "T2"."Litera", "Rok" FROM "T1", "T2" WHERE "T1"."Litera"="T2"."Litera" AND

"T1"."Name"<’Mary’;

K1. SELECT "Nazwa", SUM("Rok") FROM "T2" WHERE "Rok">2007 GROUP BY "Nazwa";

b) Podaj kwerendę, która wypisze z T1 wszystkie polskie imiona na M (każde tylko raz!).

Z68. Podaj kwerendę, która wypisze z Naszej Bazy:

a) nazwiska wszystkich lekarzy, którzy mieli jakiegoś pacjenta w roku 2007,

b) ile osób odwiedziło kiedykolwiek dra Rydza,

c) nazwiska lekarzy (każdego tylko raz!), którzy leczyli jakiegoś p. Kowalskiego,

d) ilu lekarzy występuje w tabeli wizyty,

e) ilu lekarzy nie występuje w tabeli wizyty,

f) nazwisko najmłodszego lekarza,

g) wszystkich lekarzy, których odwiedziła kiedykolwiek pani Kowalska,

pole1 pole2 pole3 pole4 pole5 pole6

1 jeden 2013 A 0 QW

2 jeden 24 A 1 QW

2 jeden 58 C 2 WQ

2 trzy 76 A 3 WW

3 pięć 333 B 4 QQ

4 osiem 44 D 5 QQ

5 osiem 12 E 7 WQ

6 piętnaście 11 G 8 WQ

7 pięć 8 B 9 WW

p1 p2 p3 p4

0 jeden a nieparz

1 jeden b nieparz

2 jeden c nieparz

3 trzy c nieparz

4 pięć b nieparz

5 osiem c parz

7 osiem a parz

8 piętnaście b nieparz

9 pięć d nieparz

pole1 pole2 pole3 pole4

1 1 3 5

2 1 3 5

3 1 3 3

5 2 2 4

6 3 2 2

8 3 2 1

10 4 4 4 pole1 pole2 pole3 pole4

1 1 3 5

2 1 3 5

3 1 3 3

5 4 2 4

6 3 2 2

9 3 2 1

10 2 4 4

Litera Nazwa Rok

A Merc 2009

A BM 2009

B Merc 2008

C Fiat 2009

C Syrena 2010

C Merc 2009

D Porsche 2007

E Renault 2007

E Fiat 2008

ID Litera Imię Name

1 A Joanna Jo

2 B Maria Mary

3 C Elżbieta Liz

4 A Maria Mary

5 C Robert Bob

6 B Michał Mike

7 E Piotr Pete

h) wszystkich lekarzy, których pani Kowalska odwiedziła co najmniej trzy razy,

i...miona pacjentów ułożone alfabetycznie według liczby wystąpień, jak obok.

Z69. Do tabeli „lekarze” dostaw kolumnę „premia”, której wartościami będą kwoty w tysiącach

z dokładnością do 10 zł, a wartością domyślną będzie 300 zł.

Z6A. Dopisz rekord z Twoim imieniem do tabeli pacjenci i posortuj ją według imion.

Z6B. Sporządź raport podobny do tego z pliku www.math.uni.wroc.pl/~msliw/Bericht.pdf. Zwróć uwagę na nazwy kolumn, porządek danych i zażółcenie daty ur. Sam wygląd może być nieco inny, ale winien być przejrzysty!

Z6C. Stwórz formularz do bazy pacjentów, w którym rekordy będą posortowane wg peseli, nie będzie widać pola „ID”,

kolejność pól będzie inna niż w tabeli i jedno pole będzie nazywać się inaczej niż w tabeli.

Z6D. Utwórz raport z (samymi!) imionami pacjentów (jeśli potrafisz – posortowanymi wg ich nazwisk).

Z6E. Oto składnia pewnej komendy SQL: UPDATE table_name

SET column1=value, column2=value2,...

WHERE some_column=some_value

Zapisz jedną (być może złożoną) komendę SQL, która wypełni kolumnę „premia” kwotą równą dziesięciokrotności Id_lekarza u tych lekarzy, którzy występują w tabeli „wizyty” przynajmniej 6 razy.

Uwaga: komendy różne od SELECT trzeba w Base’ie wpisywać przez menu „Narzędzia”!

Z6F. A = {11, 12, 13, …, 33}, B = {12, 15, 18, …, 99}. Ile krotek liczą zbiory: A B, B A, A2, B

2? Jaka jest ich część

wspólna? Czy istnieje para należąca do więcej niż jednego z nich, ale nie do wszystkich?

Z70. Czy iloczyn kartezjański dwóch zbiorów jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest

nieskończony? (Podp. nie! – ale kontrprzykład jest dość wypaczony). Czy zachodzi chociaż implikacja w którąś stronę?

Z71. Podaj najmniejsze zbiory, których iloczyn kartezjański zawiera relację {(1, 2), (1, 3), (3, 4)}.

Z72. Para liczb naturalnych (x, y) jest w relacji R, wtedy i tylko wtedy gdy x i y dają tę samą resztę przy dzieleniu przez

4. Ile liczb dwucyfrowych jest w relacji R z liczbą 2? A z 13? A z 12?

Z73. Ile krotek (rekordów) liczy relacja R na liczbach naturalnych jednocyfrowych (z zerem!), jeśli xRy x/y (1,2)?

Z74. Para liczb naturalnych (x, y) jest w relacji S, wtedy i tylko wtedy gdy x i y mają tyle samo cyfr w zapisie binarnym.

Ile liczb jest w relacji S z liczbą 3? A z 44? A z 2k? *A z pewnym n naturalnym?

Z75. Niech PIES będzie kwadratem. Wypisz wszystkie elementy relacji określonej na bokach kwadratu PIES w ten

sposób, że w relacji są boki prostopadłe.

Z76. *Ile jest relacji zawartych w X Y, jeśli X ma m, a Y – n elementów?

Z77. Jaki warunek należy nałożyć na wszystkie pary pozostające w relacji T, jeśli relacja ta ma być funkcją? A jeśli

różnowartościową?

Z78. Jakim typem relacji jest powiązanie wrocławskich przystanków z numerami linii, których autobusy się przy nich zatrzymują?

Z79. Salon samochodów używanych „Car Ivan” sprzedaje samochody różnych marek. Jakim typem relacji może być

powiązanie marek tych samochodów z ich kolorami?

Z7A. Na liczbach całkowitych definiujemy relację R, tak że aRb ⇔ a=b2. Jaki to typ relacji? A na liczbach naturalnych?

Z7B. Trójka liczb naturalnych (x, y, z) jest w relacji P, wtedy i tylko wtedy gdy x mod y = z.

Ile trójek (a, b, 33) jest w relacji P, jeśli a i b to liczby dwucyfrowe?

Z7C. (x, y, z) W wtedy i tylko wtedy, gdy x y z i odcinki o długościach x, y, z tworzą trójkąt. Ile trójek jedno-cyfrowych liczb naturalnych jest w relacji W?

Z7D. Podaj najmniejsze zbiory, których iloczyn kartezjański zawiera relację {(1, 2, 3), (1, 2, 5), (3, 4, 5), (3, 2, 3)}.

Z7E. Ile elementów liczy zbiór Ś = A×B2, jeśli A = {0, 2, 4, ..., 100}, a B = {11, 12, ..., 100}?

Dla jakich x: a) (x, 99, x) Ś? b) (x, x, x) Ś?

Z7F. Ile jest relacji R {1, 2, 3, 4, 5}2 {1, 3, 5, 7, 9, 11}?

*A jeśli narzucić, by w dodatku dla każdego x trójka (x, x, x) nie była w relacji?

Z80. Wypisz wszystkie elementy zbiorów: C = {2, 3}3, D = {2, 3}

3×{3}, E = {2, 3}

3×{3, 5}.

Z81. Dwie liczby dwucyfrowe są w relacji Ś wtedy i tylko wtedy, gdy suma ich cyfr jest taka sama.

Ile elementów liczy ta relacja?

Z82. Czy (A B) C to to samo co A B C ? A A (B C) ?

Jakie Ile

Agnieszka 6

Monika 6

Joanna 5

... ...

Z83. A jest zbiorem wielokrotności czwórki, a B jest zbiorem liczb dwucyfrowych. Wypełnij tabliczkę należenia (wpisując T lub N).

Please don’t shoot!

Z84. A = {10, 11, 12, …, 44}, a B jest zbiorem podzielnych przez 7

liczb dwucyfrowych.

Podaj liczbę elementów zbiorów C=A B, D=B A i E=B B.

84 – cd. Podaj taką parę, która: (I) należy do C, a nie należy do E,

(II) należy do E, a nie należy do D, (III) należy do C i D. Czy każda para spełniająca (III) musi należeć również do E?

Z85. Ile par jest w relacji mniejszości, jeśli określić ją na: A = {1, 2, 4}, B = {-1, 1, -2, 4}, C = {-2, -3, 2, 4, 16},

D = {-2, -3, 2, 4, -16}, E = {-1, 1, 2, 4, 16, 256}, F = {a, a2, a

4, a

8, …, a

256}, G = {2, 2

2, 2

4, 2

8, …, 2

2^n}?

85 – cd. To samo dla relacji z Z7A.

Z86. Ile co najmniej pól musi mieć klucz tabeli z boczku? Podaj wszystkie takie klucze!

Z87. Podaj możliwie prosty przykład relacji czteroargumentowej, która nie ma klucza kandydującego prostego i ma jeden klucz dwupolowy.

*Ile kluczy trzypolowych może mieć taka relacja?

Z88. Utwórz plik Accessa z tabelami T1: i T2: , a następnie przemyśl (i sprawdź!)

działanie kwerend:

a) SELECT * FROM T1, T2;

b) SELECT * FROM T2 WHERE p2=p3;

c) SELECT * FROM T2 WHERE NOT p2=5;

d) SELECT * FROM T2 WHERE p3=NULL;

(A znajdziesz gdzieś informację, jak zmienić ten warunek, tak by działał, jak w pierwszej chwili można by pomyśleć?)

Z89. W bazce z Z88 poćwicz teraz na:

a) SELECT p2 FROM t2 GROUP BY p2; (Działa to identycznie do pewnej kwerendy z DISTINCT (wiesz jakiej?)

– i zazwyczaj zatem GROUP BY się w takich wypadkach nie używa).

b) SELECT COUNT(p2) FROM t2 GROUP BY t2; (Można by też „SELECT COUNT (DISTINCT p2) FROM t2”, ale niestety nie w SQL-u z Accessa!)

c) SELECT COUNT(*) FROM t2 GROUP BY t2; (A jak wyjdzie tu, a jak w b, jeśli Nulli będzie więcej?)

I właśnie do tego służy grupowanie... Poza Countem można używać innych funkcji agregujących, np. MIN, AVG, ...

d) SELECT MAX(p1) FROM t2 GROUP BY p2;

d’) SELECT MAX(p3) FROM t2 GROUP BY p2;

Dla jasności w kwerendach b-d’ warto wyświetlać sobie również p2.

e) SELECT p1, p2, COUNT(*) FROM t2 GROUP BY p1, p2; – Można też grupować po więcej niż jednym polu!!

Funkcje agregujące działają (oczywiście odpowiednio inaczej) i bez grupowania:

f) SELECT MAX(p2) FROM t2; f’) SELECT COUNT(p2) FROM t2;

f’’) SELECT COUNT(*) FROM t2;

Oczywiście (dlaczego??) „SELECT MIN(*) FROM t2;” nie ma sensu

– trochę podobnie jak „SELECT * FROM t2 GROUP BY p2;”.

Z8A. * Jak w accessowym SQL-u (tzn. bez użycia „SELECT COUNT (DISTINCT ...)”) znaleźć liczbę różnych wartości p3 dla każdej pary (p1, p2)?

Z8B. W której postaci normalnej są tabele z Z63 i T2 z Z64? Doprowadź je do 3NF.

Z8C. Jaki komunikat drzewo Huffmana z Wikipedii zakoduje jako 1010101101101010100010101?

* Czy kod Huffmana jest zawsze jednoznaczny? (Podp.: tak!) Dlaczego? (Podp.: jak chodzi się po jego drzewie?)

zbiór element

A×A×B B×B×A B×B×B

(4, 4, 4)

(10, 10, 10)

(4, 40, 40)

(4, 40, 44)

(40, 10, 10)

p1 p2 p3 p4

3 1 3 5

3 1 2 4

2 1 3 4

2 3 5 14

p1 p2

11 1

33 3

66 6

33 3

22 2

p1 p2 p3

1 2 3

2 5 3

3 6

4

2 5

4 2

Z8D. Załóżmy, że równo prawdopodobne sumy/poddrzewa dołączamy zawsze z prawej. Ile drzew Huffmana dla wiadomości „TO BE OR NOT TO BE” różnych od wikipediowego możemy mimo to uzyskać? Czy w opisanych nimi

wodowaniach dana litera ma kod zawsze tej samej długości? A jaka jest średnia długość kodu litery?

Z8E. Dla jakich rozkładów częstości drzewo Huffmana będzie najbardziej rozpostarte? (Tzn. możliwie najwięcej

znaków będzie miało tak samo daleko do korzenia). Podaj też przykład takiego, które będzie możliwie najwęższe.

Z8F. Zakoduj bitowo (!) algorytmem LZW, tak jak robiliśmy to na lekcji (słownik początkowy tworząc zatem na podstawie kodowanego tekstu), ciąg 'SZCZĘŚLIWEGO NOWEGO ROKU, KOLEGO'.

Z90. Odczytaj wiadomość ‘JNŁ AIKUIUSWAŻEGPDN DORZI’. Podp. 0. Podp. 1.

Z91. Spróbuj zapisać algorytm deszyfrowania wiadomości zapisanej szyfrem przedstawieniowym, jeśli przestawienie

polegało na zapisaniu oryginalnego tekstu kolumnami w n wierszach. Dla ułatwienia możesz (najpierw?) założyć, że

liczba znaków tekstu jest wielokrotnością n, a poza tym rozwiązać (najpierw?) przypadek konkretnego n – np. 2 lub 3.

Z92. W szyfrze Vigenère’a kluczem jest często nie ciąg liczb, a słowo. Domyśl się lub sprawdź, co może ono oznaczać, i spróbuj zdeszyfrować wiadomość 'AHÓJGEHŃĘUAMWDOLMUJHEEŹĄMCKŁĘ', jeśli zaszyfrowałem ją kluczem

CHCĄC. Pomyśl, jak wykorzystać arkusz kalkulacyjny do [de]szyfrowania Vigenère’em.

Z93. Jak wiadomo (!?) odwrotność danej liczby to taka liczba, że jak się ją przez nią przemnoży, otrzyma się...

Tak samo w arytmetyce modularnej – np. w Z7 odwrotnością dwójki jest oczywiście czwórka, bo 2 4 to wszak... Znajdź odwrotności mod 7 wszystkich elementów Z7 (czyli – przypomnę – reszt z dzielenia przez 7)

Jaka jest odwrotność jedynki mod 2013? A mod 2014? A odwrotność dwójki mod 2013? A mod 2014? A trójki (w obu

tych światach)? Z93’. Znajdź (Możesz posłużyć się komputerem! A może nawet napiszesz stosowny program? Lepiej napisz!...)

odwrotności liczb 1, 2, 3, 123, 2013, 2014 mod 1234577.

Z94. A kto rozłoży na czynniki liczbę 1219550231? A programem? A 1524157877488187881? (Wskazówka:

typ long long. Wsk. 2: to może potrwać... Co najmniej z minutę!)

A 123456789012345678901234567890123456789020132014? Można używać całego Internetu!

A 2200

1? A 2200

+1? A 2200

+7?

Z95. Jako szyfrogram algorytmu RSA o kluczu jawnym (2223383429, 7) otrzymałem: a) 2062960583, b) (1547050037, 2071378202, 1208725881, 488288320, 1294264522).

Jaką liczbę i jaką wiadomość zapisałem, jeśli w b) grupowałem po dwa kody ASCII big endianem? :>

Z96. Napisz funkcję (co powinna zwracać?), która stwierdzi, czy podany jej jako argument łańcuch jest palindromem.

Można założyć, że składa się z samych małych lub samych wielkich liter, ale Ambitni mogliby zająć się

palindromicznymi zdaniami („Kobyla ma maly bok.”, „Wol utyl i ma mily tulow.”), czyli łańcuchami, w których należy

zignorować wszystkie znaki nieliterowe (natomiast można nie używać polskiej diakrytyki).

Z97. Napisz funkcję, która dla podanego łańcucha i znaku poda numer pierwszej pozycji tego łańcucha, na której stoi z, lub -1, jeśli takiej nie ma. Np. dla łańcucha „Abrakadabra” i znaku: ‘a’ – dałaby 3, ‘b’ – 1, ‘B’ – (-1).

Z97’. Jak Z97, tylko nie odróżniając wielkości liter.

Z98. Napisz a) funkcję, b) procedurę, która zmieni w podanym jako argument napisie wszystkie małe litery na wielkie.

(Tzn. z „ABra qa-d’AbRa” zrobi „ABRA QA-D’ABRA”).

Z99. Próba rozw. Z92 – co gdzie trzeba przeciągnąć, żeby wyszedł szyfrogram? Zobacz, jak sprytnie uzyskałem tablicę szyfrującą (Excel też zna ASCII!). Ale… skąd wiedziałem, jak daleko mam ją budować? (Popatrz, jak wygląda jej

prawy dolny róg – czy w niczym to nie przeszkodzi?) A umiesz zrobić tak, żeby wiadomość/klucz wpisywało się jako

tekst do jednej komórki? (Przydać się mogą funkcje z zad. 5 w dalszych tu oraz może „NR.KOLUMNY” lub

„ADR.POŚR” i jakieś funkcje tekstowe).

Z9A. .. może jakiś szyfrzyk przestawieniowy? Może taki prosty: co n-ta litera kolejno od pierwszej, drugiej itd. –

pamiętasz, jak to leciało? Tak można zabrać się za to w C++.

Z9B. * A podstawieniowy? Spróbuj odszyfrować angielski tekst z pliku www.math.uni.wroc.pl/~msliw/szyfrogram.txt.

Sporo rzeczy (ale raczej nie wszystko) sensownie jest zautomatyzować (W końcu po co są operacje na plikach, typ char

i tablice!), nie tylko zresztą programistycznie... Oczywiście warto też wspomagać się Internetem, ale sam tekst spróbuj

do końca odcyfrować samodzielnie.

Z9B’ (prostsze, a i tak niełatwe) Jak zaszyfrować podstawieniowo dowolny tekst (powiedzmy, że niezawierający znaków o kodach pow. 127)? (Potrzebnej permutacji nie chcemy oczywiście wpisywać ręcznie, tylko ją wygenerować).

Stwórz też plik z alfabetem do deszyfracji!

Z9C. Obróć obrazek PGM/PPM o 90/180 st. w lewo/prawo. **A o jakiś inny kąt umiesz? Chociaż np. 45 .

Z9D. Odbij obrazek PGM/PPM względem osi pionowej/poziomej. *A względem przekątnej (gdyby był kwadratowy)?

Z9E. Wytnij z obrazka PGM/PPM jego połowę/ćwiartkę/trzecią część. (Uwaga na niepodzielne wymiary!)

Z9F. Przeskaluj obrazek PGM/PPM w skali 1:n. *A w n:1? *A w innej skali?

Z9F’. Zamiast skalowania można też stosować powinowactwo prostokątne. (Powinowactwo o osi pionowej i skali 1:3

zrobiłoby z ).

ZA0. Rozjaśnij/przyciemnij obraz PGM/PPM.

ZA1. Usuń z obrazka PPM całą czerwień.

ZA2. Zamień obraz PGM na monochromatyczny. *A PPM?

ZA3. *Zwiększ kontrast obrazka PGM/*PPM.

ZA4. ** Napisz programik, który zliczy, ile jest na jasnym arkuszu ciemnych kształtów kwadratowych, ile w kształcie koła, a ile innych. (Można sobie upraszczać, np. że w danym obszarze nie ma jasnych pikseli, że zliczamy w ogóle

tylko obszary, albo że jest tylko jeden i mamy stwierdzić, czy to koło/kwadrat). Do testów znakomicie nada się plik

www.math.uni.wroc.pl/~msliw/kartka.pgm.

ZA5. Ile jest pięcioodcinkowych łamanych zamkniętych o wierzchołkach w danych pięciu punktach, z których żadne

trzy nie są współliniowe? Czy musi być wśród nich szkolny pięciokąt? A więcej niż jeden?

ZA6. Oblicz pole czworokąta PIES, jeśli P = (0, 3), I = (2, -2), E = (0, 1), S = (-1, -1). Zrób to naszym algorytmem, a potem spróbuj, rysując sobie sytuację na papierze w kratkę i znajdując na rysunku pomocnicze trójkąty prostokątne. Jak

jest łatwiej? (Zwróć też uwagę na ogólność metody!)

ZA7. Czy punkty (1, 2) i (-1, 3) leżą po tej samej stronie prostej: a) wyznaczonej przez punkty K = (2, 3) i L = (0, -1),

b) Ax+By+C=0 ? (Napisz programik. Uwaga na złośliwe przypadki!)

ZA8. Sprawdzisz, czy zadany punkt należy do danego odcinka? *A do obszaru, powiedzmy Psa z ZA6?

ZA9. A czy proste AB i CD (przy zadanych współrzędnych A, B, C i D of course) mają pkt wspólny?

A odcinki AB i CD?

ZAA. Oblicz na papierze / w głowie (ale polecam sprawdzenie w naszym arkuszu oraz Wolframie!): 2

2/3

1 sin xdxI ,

2

2/3

2 sin5 xdxI ,

0

3 cosxdxI ,

3

5

4 2xdxI ,

3

5 2xdxI ,

3

6 2dxI ,

2015

3

7 dxI . Które z nich (i dlaczego) wyjdą w naszym algorytmie z niedomiarem, a które (i dlaczego) nie? A co z

1

1

2

0 dxxI ?

ZAB. Spowoduj, żeby po wpisaniu w komórkę A1 arkusza excelowego liczby naturalnej czterocyfrowej w B1

pojawiła się suma jej cyfr.

ZAC. Dzięki Excelowi dowiedz się, ile jest par dwucyfrowych liczb nat., suma sześcianów których jest mniejsza niż 123456. Podziel się tą wiedzą z bliskim Ci Nauczycielem.

ZAD. Niebawem jeszcze więcej (jeszcze fajniejszych?) zadanek z Excela!

Miłej zabawy nauki!!!

M.Ś.