Ms II Determ Indeterm c 5 1

7/23/2019 Ms II Determ Indeterm c 5 1

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Semana 05

SISTEMA DE FUERZAS DETERMINADO E INDETERMINADO

INTRODUCION

En mecnica de materiales los problemas ms simples son estticamente determinados

que tambin reciben el nombre de Isostaticos,en dichos casos las reacciones y el sistema

interno de esfuerzos en una seccin se pueden determinar mediante la esttica.

Los resortes, barras y cables, estudiados en la seccin anterior tiene esta caracterstica

comn, sus reacciones y fuerzas internas pueden determinarse solo de diagramas de cuerpo

libre y ecuaciones de equilibrio, sin considerar deformaciones.

La mayor parte de las estructuras son ms complejas, pues sus reacciones y fuerzas

internas no pueden encontrarse solo por la esttica y para poder calcularse necesitan saber

las propiedades de los materiales.

En este capitulo se demostrar como las ecuaciones de Equilibrio esttico se pueden

complementar con otras adicinales que se requieran utilizando condiciones de

compatibilidadde desplazamientos y finalmente lasRelaciones fuerza desplazamiento.

Por otro lado tenemos que el principio de superposicin se utiliza para obtener mtodos

generales muy efectivos para la solucin de problemas altamente indeterminados que

implican materiales elsticos lineales. Dichos mtodos se denominan comnmente:

1.- Mtodo de las flexibilidades(o mtodo de las fuerzas tambin llamadas mtodo de

las deformaciones congruentes o compatibles) y

2.- Mtodo de las Rigideces(o mtodo de los desplazamientos)

DETERMINACIN E INDETERMINACIN

SISTEMA DE FUERZAS DETERMINADOS

Si se pueden determinar los valores de todas las fuerzas exteriores (Reacciones)que

actan sobre un cuerpo, por las ecuaciones de equilibrio esttico, para este caso es


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2

necesario que haya tantas ecuaciones de equilibrio como incgnitas,cuando existe esta

condicin, se dice que el sistema es determinado.

Los cuerpos de la figura 5.1, son determinaos ya que hay tres fuerzas desconocidas

independientes (Reacciones) y tres ecuaciones de equilibrio que las relacionan es decir

0Fx ; 0Fy 0Mo

Figura 5.1 Ejemplos de sistemas determinados

SISTEMA DE FUERZAS INDETERMINADAS (ESTATICAMENTEINDETERMINADOS)

Si se aade un soporte adicional a cada uno de los cuerpos de la figura 5.1 adicional, se

obtendr cuatro fuerzas desconocidas independientes y solo tres ecuaciones de

equilibrio. Estos soportes se aaden por razones de seguridad o incremento de rigidez


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3

de la estructura. En este caso hay ms incgnitasque ecuaciones de equilibrio. Los

sistemas de este tipo se llaman indeterminados. Son indeterminados en el sentido de que

no es posible encontrar todas las fuerzas desconocidas utilizando conceptos de equilibrio.

Se dice que el ejemplo anterior es indeterminado en primer grado, puesto que hay una

incgnita ms que las ecuaciones disponibles de equilibrio.

Figura 5.2 ejemplos de sistemas indeterminados

El grado de indeterminacinse define siempre como la diferencia entre el nmero de

fuerzas desconocidas y el nmero disponible de ecuaciones para obtener estas incgnitas,

estas fuerzas adicionales se denominan Redundantes. Para el caso de un simple cuerpo,

se encuentra con facilidad el grado de indeterminacin, es decir, el nmero de redundantes.

Ejemplo.:

Ecuaciones de equilibrio = 3

Incognitas = 5

N Redundantes 5-3=2


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SOLUCION DE LOS SISTEMAS INDETERMINADOS.

En todos los problemas estticamente indeterminados las ecuaciones de equilibrio

esttico siguen siendo validas, estas ecuaciones sonnecesarias pero no suficientespara

resolver los problemas indeterminados. Como se dijo las ecuaciones suplementarias seestablecen a partir de consideraciones de la geometra de las deformaciones

Denominadas ecuaciones de Compatibilidad.

En sistemas estructurales, donde las condiciones fsicas lo exigen, ciertos elementos o

partes deben flexionarse conjuntamente, torcerse al mismo tiempo, alargarse juntos o

bien permanecer fijos. Formulando dichas observaciones cuantitativamente se obtienen

las ecuaciones adicionales requeridas. Las ecuaciones de compatibilidad son relacionesgeomtricas entre los cambios dimensinales de las barras y se deducen de las figuras

deformadas de la estructura.

EJEMPLO PRCTICO.

Para ver como se analiza una estructura estticamente indeterminada, consideremos el

ejemplo de la figura para la siguiente pregunta. Calcular las reacciones y el esfuerzo en

el elemento AB?

Ecuaciones de equlibrio 0Fy 1Incognitas RA, RB =2

Redundante 2-1=1

1) La barra prismtica AB esta unida a soportes rgidos en ambos extremos y esta cargada

axialmente por una fuerza P en un punto intermedio C. Como ya se dijo, las reacciones Ra


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y Rb no pueden encontrarse solo por esttica, por que se dispone solo de una ecuacin de

equilibrio:

0VERTF RA+RB = P...........................................1

2) Se requiere una ecuacin adicionalpara resolver las dos reacciones desconocidas.La ecuacin adicionalse basa en la observacin de que una barracon ambos extremos

fijosno cambia de longitud. Si la separamos de sus soportes como se ve en la figura de

diagrama de cuerpo libre, obtenemos una barra que esta libre en ambos extremos y

cargada por las tres fuerzasRa, Rb y P. Esas fuerzas ocasionan que la barra cambie de

longitud una cantidad.

0AB

, 0CBAC

...................................................2

Esta ecuacin, llamada ecuacin de compatibilidad, expresa el hecho de que el cambiode longitud de la barra debe ser compatible con las condiciones en los soportes.

3) Para resolver las ecuaciones 1 y 2, debemos expresar la ecuacin de compatibilidad

en trminos de las fuerzas desconocidas Ra y Rb. Las relaciones entre las fuerzas que

actansobre una barra y sus cambios de longitudse conocen como relaciones fuerza

desplazamiento. Esas relaciones tienen varias formas, dependiendo de las propiedades

del material.Si el material es elstico lineal, la ecuacinEA

PL puede usarse para

obtener las relaciones fuerzadesplazamiento.

Supongamos que la barra de la figura tiene un rea A en su seccin transversal y que esta

hecha de un material con mdulo E. Entonces los cambios de longitud de los segmentos

superiores e inferiores son, respectivamente.

EA

aRA

AC

EA

bRB

CB

.............................................3

Donde el signo menos indica un acortamiento de la barra. Las ecuaciones anteriores son

las denominadas relaciones fuerza desplazamiento.


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6

Par resolver debemos combinar simultneamente las tres ecuaciones (equilibrio,

compatibilidad y las relaciones fuerza desplazamiento).Combinando las relaciones fuerza

desplazamiento con la ecuacin de compatibilidad

0AB CBACAB 0EA

bR

EA

aRBA

...................4

Observe que esta ecuacin contiene como incgnitas dos reacciones, el siguiente paso es

agregar la ecuacin de equilibrioa la ecuacin 4 encontrada, los resultados son:

L

PbR

A

L

PaR

B

Conocidas las reacciones, es viable determinar todas las otras fuerzas y desplazamientos.

LEA

Pab

EA

aRA

AC

Tambin podemos encontrar los esfuerzosen los dos segmentos de la barra directamente

a partir de las fuerzas axiales internas

AL

Pb

A

RA

AC

COMENTARIOS GENERALES FINALES

Del problema anterior, es posible observar que el anlisis de una estructura estticamente

indeterminada implica plantear y resolver ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad, y

relaciones fuerza desplazamiento. Las ecuaciones de equilibrio relacionan las cargas

que actan sobre la estructura con las fuerzas desconocidas (que pueden ser reacciones

fuerzas internas) y las ecuaciones de compatibilidad expresan condiciones sobre los

desplazamientos de la estructura. Las relaciones fuerzadesplazamientoson expresiones

que utilizan las dimensiones y propiedades de los miembros estructurales para

relacionar las fuerzas y desplazamientos de dichos miembros. En las barras cargadas de

manera axial que se comportan de forma linealmente elstica, las relaciones se basan enla ecuacin

EA

PL . Por ultimo, es posible resolver simultneamente los tres conjuntos de

ecuaciones para las fuerzas y los desplazamientos desconocidos.

NOMENCLATURA

Las ecuaciones de equilibriose conocen tambin como estticaso cinticas.

Las ecuaciones de compatibilidadse llaman a veces ecuacionesgeomtricas, ecuaciones

cinemtica o ecuaciones de deformaciones consistentes.


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7

Las relaciones fuerza desplazamiento se denominan en ocasiones relaciones

constitutivas (por que tienen que ver con la constitucin, o propiedades fsicas de los

materiales)

METODOS DE FLEXIBILIDAD O METODO DE RIGIDEZ

Se trata de describir los enfoques que emplean comnmente para analizar los problemas

estticamente indeterminados; la solucin que se da a un problema de este tipo esta dado:

0VERTF RA-P+RB = 0...........................................1 Equilibrio

0AB

CBACAB

...................................2 Compatibilidad

EA

aRA

AC

EA

bRB

CB

.............................3 Relacin Fuerza Deformacin

1) METODO DE LA FLEXIBILIDAD O METODO DE LAS FUERZAS

Este mtodo consiste en tratar las fuerzas internas o las fuerzas de reaccin como

incgnitas. El coeficienteEA

Lel cual se multiplica por la fuerza interna

desconocida, se denomina coeficiente de flexibilidad. Si las incgnitas son fuerzas

internas (en vez de fuerzas de reaccin), como suele ser en estructuras grandes, la

matriz de las ecuaciones simultneas se llama matriz de flexibilidad.

Las relaciones fuerza deformacin se escriben:

EA

aRA

AC = AARf ,

EA

bRB

CB

= BBRf

Donde la constanteEA

Lf se denomina flexibilidad de la barra y pude ser

de la barra AC y CB. Al sustituir estas ecuaciones en la ecuacin de compatibilidad,

se obtiene

0 BBAA RfRf

Esta ecuacin se puede resolver junto con la ecuacin de equilibrio para las

reaccionesA

R yB

R Excepto por alguna terminologa adicional, este es el mtodo


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de solucin que se utiliz en la seccin anterior. Tambin se llama mtodo de las

fuerzas por que da como resultado un sistema de ecuaciones en trminos de fuerzas.

2) METODO DE LA RIGIDEZ O DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Este mtodo consiste en tratar los desplazamientos como incgnitas. El coeficiente

L

EA, el cual se multiplica por el cambio dimensional, se conoce como coeficiente

de rigidez. Teniendo como base la ecuacin L

EAP y ecuacin de equilibrio,

se relacionan el desplazamiento y las fuerzas externas. La matriz en la que se

multiplican el desplazamiento desconocido se llama matriz de rigidez. En este

mtodo, las relaciones fuerzadeformacin se escriben como

ACACACA K

a

EAR

CBCBCBB KC

b

EAR

Donde las constantes CBACyKK son llamadas rigidez de las partes AC y CB de la

barra. Al sustituir estas ecuaciones en la ecuacin de equilibrio, se obtiene0

CBCBACAC KKF

Esta ecuacin se puede resolver junto con la ecuacin de compatibilidad

para los cambios de longitudAC

yCB

. Una vez conocidas estas, las fuerzasAC

R

yCB

R se pueden determinar a partir de las relaciones fuerza-deformacin. Este

enfoque tambin se denomina mtodo de desplazamiento porque da como

resultado un sistema de ecuaciones en trminos de deformacin, los cuales se

pueden expresar en trminos de desplazamientos.

Para la solucion del problema anterior por el metodo de desplazamientos tenemos:

1) Equilibrio

PRRBA

1

2)

compatibilidad

0AB

0CBAC

,CBAC

..2


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9

ACA

a

EAR ,

CBB

b

EAR ..3

Remplazando 3 en 1 tenemos

Pb

EA

a

EACBAC

Aplicando 2

Pb

EA

a

EAACAC

EAL

Pab

baEA

Pab

b

EA

a

EA

PAC

)(

L

Pb

EAL

Pab

a

EA

a

EAR

ACA )(

L

Pa

EAL

Pab

b

EA

b

EAR

CBB )(

AL

Pb

A

RA

AC

2) Problema.-

Si la barra de hierro se estira hasta entrar en contacto con la barra transversal y

luego se suelda, calcular los esfuerzos.

EAl =1x106kg/cm2

EFe =2x106kg/cm2

AAl =AFe = 10cm2

L=1.00m

b=0.002m

1) EQUILIBRIO

2 + = 0

2)

COMPATIBILIDAD

= +

3) FUERZA DESPLAZAMIENTO

=.

.

=. ( )

.

b

Al

Fe

Al

L=1.00


10/17

10

. ().

=.

. + 0.002

100 1

. 99.5

2106. 10 =

. 100

1106. 10 +0.2

. 99.52(10)

= . 100

10+ 0.2106

. 99.5 = 200 + 0.4 107

2 . 99.5 = 200 + 0.4 10

. 99.5 = 100 + 0.2 10

= 0.2 10

7

199.5

= 10,025.06

=10,025.06

10= 1002.51 /2

= 2

= 2(10,025.06)

= 20,050.12

=

20050.13

10 = 2,005.01 /

3.-Problema.-

Tres barras de material elstico y perfectamente plstico se han colocado simtricamente

en un plano para formar el sistema que se muestra en la figura. Calcular las cargas y la

deformacin de la junta . El rea transversal de la barra esy el modulo de elasticidad

es de ambas barras


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11

=

cos

=

Remplazando en la ecuacin 2

cos

=

cos

=

Remplazando en la ecuacin 1

+ 2 cos cos =

=

(1+2cos )

Calculando F2

cos

+ 2 cos =

+ 2 cos = cos

1. Por Equilibrio

+ 2 cos = . . (1)

Esta relacin se verifica

independientemente del material, sin

embargo depende de la magnitud dela

deformacin que alcance.

2.

= cos = c o s . . (2)

= cos =

cos

3. .

cos

=

cos

= cos . . ( 3 )

(3) (1)


12/17

12

=cos

(1+2cos )

5.

=

(1+2cos )

=

(1 + 2 )

=

cos (1+2cos )

cos

= c o s (1+2cos )

ARMADURAS.

Introduccin.

En Ingeniera, el termino estructura se puede referir a cualquier objeto que tiene

la capacidad de soportar cargas,dentro de estas tenemos a las armaduras. Las estructuras

de armaduras fueron populares en el siglo XIX y los inicios del siglo XX como medio

econmicos para la construccin de puentes.

Las armaduras tridimensionales (armaduras espaciales) son comunes en las

estructuras de torres, por ejemplo en las torres de transmisin de energa elctrica, en los

soportes de una gra, escaleras, techos inclinados, curvos y en la industria aeroespacial

donde se desarrollaron.

Armadura

Es una estructura compuesta por cierto nmero de barras bastante esbeltos cuya

unin de elementos se considera articulada (nudos de pasador) en sus extremos de modo

que se forme un entramado rgido. Debern cumplir las condiciones y limitaciones

siguientes.

-Las barras estn unidas entre si en sus extremos por nudos de pasador sin

rozamiento.

-Las cargas y reacciones se aplican solo en los nudos


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13

-El eje de cada barra es recto, coincide con la lnea que une los centros de los nudos

en cada extremo de la misma, y esta en el plano que contienen tambin las lneas

de accin de todas las cargas y reacciones.

- La seccin de la barra es constante (prismtico)

Esta definicin de armadura si se cumple en el plano, tambin deber cumplirse en

el espacio debido a que el modelo matemtico que se utiliza para ambos es el mismo y el

que se trata de comprobar.

Convencin de signos y aplicacin de las fuerzas

Una armadura se idealiza como integrada por miembros que soportan solo fuerzas

axiales (a las fuerzas de compresin se les considera negativas y a las de traccin

positivas). Como la unin de dos elementos de una armadura se considera articulado o sin

rozamiento, no hay fuerzas cortantes, momentos flectores o momentos torsores en el

miembro idealizado de las armaduras.

Armadura ideal, real.

Las armaduras como fueron definidas anteriormente, son aquellas en las cuales

elementos bastante esbeltos estn unidos ente si por nudos con pasadores sin rozamiento

y las cargas externas estn aplicadas nicamente sobre los nudos. En la practica, sin

embargo, proveer articulaciones sin rozamiento no es tarea fcil y en lugar de esto, se

construyen uniones rgidas con pernos, soldaduras. En consecuencia, la definicin anterior

esta ms bien restringida a una armadura ideal (Norris, 1990).

La diferencia entre una armadura ideal una real es que los elementos de una

armadura real estn sometidos a fuerzas cortantes y momentos adicionales a las fuerzas

axiales de una armadura ideal. Tal diferencia tiende a disminuir cuando sus elementos se

hacen ms y ms flexibles es decir con relacin I/L ms pequeos.

Aunque la solucin de anlisis presentado en la presente est restringida a

armaduras ideales (las fuerzas internas solo son de compresin o traccin), su uso en

armaduras reales es conservador.


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14

En lo sucesivo se usara la palabra armadura para expresar una que sea realmente

una armadura ideal con nudos articulados (permite rotacin), o que pueda suponerse que

acta como si lo fuera y como dijimos solo tiene fuerzas de traccin y compresin en sus

elementos.

2.2.5 Armadura rgida y disposicin de las barras de una armadura

Se ha dicho que deben articularse entre si las barras de una armadura para formar

una armadura rgida. Se dice que una armadura es rgida, si no hay movimiento relativo

entre dos de sus partculas aparte del causado por las pequeas deformaciones elsticas de

las barras del mismo. Lo que implica que las pequeas deformaciones solo se efecten

axialmente en las barras que conforman el entramado rgido.

Sin embargo en concordancia con la (figura 2.2) podemos decir que para formar

una armadura rgida el triangulo constituye la base de las armaduras planas, mientras que

el tetraedro lo es en el espacio. Sin embargo es necesario indicar que para formar una

estructura plana ser necesario unir varios tringulos en el plano y varios tetraedros en el

espacio, de tal manera que el conjunto tambin sea rgido.

Armadura rgida Armadura no rgida

Para el caso de armaduras en el plano para que estas sean isotaticas se debe cumplir que:

NRNMNJ 2

Donde:

NJ= Numero de juntas

NM= Numero de miembros

NR= Numero de componentes de Reaccin

Ejemplo


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15

Anlisis Matricial de Armaduras Determinadas Procesamiento Semiautomatizado

Para automatizar el proceso se debe observar el problema como la solucin simultanea de

las 2NJ ecuaciones como NM+NR incgnitas, esto significa que primero deben escribirsetodas las ecuaciones de equilibrio en las juntas, para cada junta de la estructura.

Para ilustrar este proceso considrese la armadura sencilla que se muestra en la figura.


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Se utiliza la convencin de suponer que todos los miembros estn en tensin. Es

conveniente suponer que las reacciones en los soportes jalan las juntas como si fuesen

fuerzas en los miembros de los soportes en tensin.

Aunque esta armadura tiene slo una fuerza aplicada, se puede generalizar ms todava

el problema suponiendo la presencia de fuerzas1

X y Y que actan sobre cada junta

se supone que estas fuerzas son positivas cuando actan en la direccin positiva X Y,

como se muestra en la figura klbPx 202 todas las otras cargas aplicadas son cero se

adaptar la convencin de escribir las ecuaciones en el orden 01Fx , 01Fy ,

02Fx , 02 Fy etc. Etc. Ahora las ocho ecuaciones con ocho incgnitas son:

0437cos*1

0

111 SxFFPxFx

037*1

0

111 SysenFPyFy

05353 0

3

0

122 senFsenFPxFx

053cos53cos 0

32

0

122 FFsFPyFy

05433

FFPxFx

0233

FPyFy

037cos5

0

344 FFPxFx

04370

344 SysenFPyFy

Acomodando matricialmente tenemos


17/17

17

0

0

0

0

0

0

0

0

4100006.000

000108.000

00000010

00011000

000006.016.0

000008.008.0

01000006.0

00101008.0

1

1

5

4

3

2

1

4

4

3

3

2

2

1

1

Sy

Sy

SxF

F

F

F

F

Py

Px

PyPx

Py

Px

Py

Px

0s

FBP

s

FBP

s

FBP

P = vector de cargas en la junta o en la estructura

s

F Vector de fuerzas internas del miembro y del soporte.

B Es una matriz esttica (para armaduras determinadas siempre es cuadrada, se le

conoce como matriz de equilibrio.

BB

PBFs

1

0

0

0

0

0

20

0

0

105.005.0375.000

005.005.0375.010

01010101

01667.00667.05.000

01667.01667.05.000

00833.00833.0625.000

00100000

00833.00833.0625.000

4

2

1

5

4

3

2

1

Sy

Sx

Sy

F

F

F

F

F

5.7

5.7

0.20

0.10

0.10

5.12

0

5.12

4

2

1

5

4

3

2

1

Sy

Sx

Sy

F

F

F

F

F

FS

De acuerdo con la convencion de signos las fuerzas positivas en los miembros son detension y las fuerzas positivas de los soportes jalan sobre las juntas.

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