MPI 5.-7. prednáška
description
Transcript of MPI 5.-7. prednáška
MPI 5.-7. prednáška
MATEMATICKÁ ANALÝZA
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej
premennej a jej vlastnosti.
• Množinové symboly (všetky symboly vedieť čo znamenajú)
• xA, xA, AB, AB, AB, AB, a,b,c, =, AB, AB
Príklad 1.A=x; x 0, B=x; x5, AB, AB=?, AB=?
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Intervaly reálnych čísel, vnútro intervalu• Ak a,bR, vedieť čo znamenajú symboly (a,b),
a,b, a,b), (a,b, (a, ), a, ), (- ,b), (- ,b;• Treba vedieť čo sú to krajné body intervalu,
vnútro intervalu.• Príklad 2. • Príklady konkrétnych intervalov a ich grafické
znázornenie.
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Definícia reálnej funkcie reálnej premennej
Reálna funkcia definovaná na množine A (podmnožine reálnych čísel) je pravidlo (predpis), ktorým každému prvku x z množiny A priradíme jediný prvok y z množiny R (hodnota funkcie v bode x). Zapisujeme y=f(x). (f:AR)
• Príklad 3.
Uviesť príklady konkrétnych funkcií.
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Definičný obor a obor hodnôt funkcieMnožina A je definičný obor funkcie. Množina všetkých
hodnôt funkcie sa nazýva obor hodnôt funkcie. Ak nie je definičný obor daný a funkcia je daná vzorcom,
tak jej definičným oborom rozumieme „prirodzený“ definičný obor, tj. Množinu všetkých čísel pre ktoré má daný vzorec zmysel.
• Príklad 4.Definičné obory funkcií daných vzorcom (zlomok, druhá
odmocnina), hodnoty týchto funkcií v konkrétnych bodoch, obory hodnôt týchto funkcií.
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Graf funkcie
Graf funkcie y=f(x) je množina bodov x,y (roviny)pre ktoré platí y=f(x).
• Príklad 5.
Daná je funkcia y=x(x-6) , kde definičný obor je interval (0,6. Nakreslite graf tejto funkcie. Určte obor hodnôt tejto funkcie.
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Ohraničená funkcia (zdola, zhora)Hovoríme, že funkcia f(x) je zhora (zdola) ohraničená na
množine A, ak existuje číslo a (b) , že pre každé xA platí af(x) (f(x)b). Funkcia je ohraničená ak je ohraničená aj zdola aj zhora.
• Príklad 6.a. Funkcia y=1/x na intervale (0, ) je ohraničená zdola ale
nie zhora a na intervale (1,) resp. 1,) je ohraničená.b. Dokážte, že funkcia y = je na celom svojom definičnom
obore ohraničená!
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Monotónne funkcieHovoríme že funkcia f definovaná na množine A jea. rastúca na Apre každé x1, x2 A, x1 x 2 je f(x1) f(x2);b. klesajúca na Apre každé x1, x2 A, x1 x 2 je f(x1)
f(x2);c. nerastúca na Apre každé x1, x2 A, x1 x 2 je f(x1)
f(x2);d. neklesajúca na Apre každé x1, x2 A, x1 x2 je f(x1)
f(x2).• Príklad 7a. Príklady na jednotlivé monotónne funkcie.• Poznámka o rýdzomonotónnych.
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Operácie s funkciamiDve funkcie f a g sa rovnajú (píšeme f = g) práve vtedy,
ak sa rovnajú ich definičné obory (ako množiny) a pre každé x z definičného oboru platí f(x)=g(x) .
Nech sú dané dve funkcie f a g, s príslušnými definičnými obormi Df a Dg. Nech množina D= Df ∩ Dg je neprázdna množina. Potom pre každé x D možno definovať nasledujúce funkcie: h1 = f + g, h2 = f - g, h3= f.g a za predpokladu g 0 aj funkciu h4=
Funkciu h1 nazývame súčtom funkcií, funkciu h2 nazývame rozdielom funkcií, funkciu h3 nazývame súčinom funkcií, funkciu h4 nazývame podielom funkcií.
f
g
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Zložená funkciaNech je na množine M definovaná funkcia g . Nech pre
každé x patriace do M, hodnota g(x) patrí do Df. Potom možno na množine M definovať funkciu h nasledovne:
Pre každé x z množiny M položme : h(x) =f[g(x ] .
Funkciu h nazývame zloženou funkciou, utvorenou z funkcií f a g.
Funkciu f nazývame vonkajšou zložkou a funkciu g vnútornou zložkou zloženej funkcie h.
• Upozorňujeme čitateľa, že zložená funkcia môže byť utvorená z viacerých ako dvoch „častí“. Presnejšie povedané, vonkajšia zložka , alebo vnútorná zložka , môžu byť zase zložené funkcie.
• Schematicky znázorniť.
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Príklad 8. • Určte definičný obor funkcie y =
• Príklad 9. • Zistite, či sa nasledujúce funkcie f a g
rovnajú: f , g= x+1.
1
3 1
2 5
1x
x
x
x
x
x x
x
2 1
1
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Inverzná funkciaNech f je reálna funkcia. Budeme hovoriť, že funkcia je
prostá na množine M , ak pre každú dvojicu x1≠x2, platí:f(x1)≠f(x2) .
• Veta . Každá rýdzomonotónna funkcia je prostá. • Nech f je reálna funkcia, ktorá je prostá na neprázdnej
množine M. Označme znakom f(M) obraz množiny M pri zobrazení funkciou f (t.j. f(M) = ). Potom funkciu, ktorá každému y priradí práve to x, ktoré funkcia f zobrazila na tento bod y nazývame inverznou funkciou k funkcii f a označujeme f-1 .
y y f x x M; ,
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Veta Nech f je prostá funkcia. Potom pre každé a z Df platí:
• a pre každé b z Hf platí
• Príklad 10. Dokážte, že funkcia = 2x+4 je prostá a vypočítajte k nej inverznú funkciu.
• Pozorný čitateľ si môže klásť otázku, prečo možno určiť inverznú funkciu iba k funkcii prostej?
aaff 1
bbff 1
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• 11. Párne a nepárne funkcie
• Nech definičný obor funkcie f má nasledujúcu vlastnosť: Ak x patrí do Df, tak aj –x patrí do Df . Potom hovoríme, že:
a.) je funkcia párna , ak pre každé x platí f(-x)=f(x),
b.) je funkcia nepárna, ak pre každé x platí f(-x)=´-f(x).
Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.
• Príklad 11.
• Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť nasledujúcich funkcií:
a)
b)
x
xxf
2
23)(
4
3)( 2 xxxf
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Definícia postupnosti• Postupnosťou nazývame každú funkciu, ktorej
definičným oborom je množina prirodzených čísel.
• Hodnoty tejto funkcie nazývame členmi postupnosti. Teda hodnotu v čísle 1 nazývame prvým členom postupnosti a označujeme a1, hodnotu v čísle 2 druhým členom a označujeme a2, atď. Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti a označujeme 1nna
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Príklad 1:
nn
1
1 2 3 4, , , ,...
,...,,3
1
2
11
1
1nn
1
2
1
2
1
4
1
61n n
, , ,...
1 11 11
1
n
n, , , ,...
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Príklad 1.n
n n
1
1
2
2
3
3
41
, , ,...
,...27
26,4
5,0
11
1n
n
n
1 1111n
, , ,...
Pretože postupnosť je špeciálnym prípadom funkcie (presnejšie je to funkcia so špeciálnym definičným oborom), je ihneď zrejmý pojem monotónnej postupnosti.
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Limita postupnosti a symbol ∞• Budeme hovoriť, že postupnosť má limitu
rovnú číslu a, ak k ľubovoľnému existuje také číslo n0, že pre všetky prirodzené čísla n>n0 je , čo zapisujeme: . Ak má postupnosť limitu rovnú číslu a , tak postupnosť je konvergentná, resp. konverguje k číslu a. Ak postupnosť nemá limitu, tak nie je konvergentná, alebo hovoríme že je divergentná.
1nna
0
aan aann
lim
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Skutočnosť, že daná postupnosť má limitu zvykneme pomocou kvantifikátorov zapisovať nasledovne:
aaaa nnnn
nn
000
lim
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Poznámka .
• Upozorňujeme čitateľa, že pod pojmom „číslo “ sa myslí reálne číslo, teda nie ∞, ani -∞. Inými slovami: „konvergovať“ znamená mať za limitu konečné reálne číslo. (O postupnostiach, ktoré majú za limitu ∞, alebo -∞ sa zmienime neskôr.)
• Uvedomme čo znamená zápis a an
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Príklad 2.
• Ukážte (iba zakresliť), že:
11
n
nnlim
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Vlastnosti limity postupnosti• Veta . (O jednoznačnosti limity.) Každá
konvergentná postupnosť má práve jednu limitu.
• Veta . (O konvergentnej postupnosti)Každá konvergentná postupnosť je ohraničená.
• Poznámka Upozorňujeme čitateľa, že obrátené tvrdenie nemusí platiť. Napriek tejto „nedokonalosti“ majú však všetky ohraničené postupnosti reálnych čísel jednu peknú a významnú vlastnosť. A to, že z každej ohraničenej postupnosti reálnych čísel možno vybrať konvergentnú postupnosť.
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Veta . (Veta o limite súčtu a súčinu postupností.) Nech a sú dané konvergentné postupnosti, t.j. a
Potom platí: = A±B, • = A.B .
• Ak navyše predpokladáme, že všetky členy postupnosti {bn} sú rôzne od nuly a tiež B≠0, tak
• Ak c je reálne číslo, tak =c.A.
Aann
lim Bbnn
lim
nnn
ba
lim
lim .n
n na b
B
A
b
a
b
a
nn
nn
n
n
n
lim
limlim
nn
ac.lim
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Veta . (O limite vybranej postupnosti.) Nech je daná konvergentná postupnosť. Potom každá z nej vybraná postupnosť je tiež konvergentná a má tú istú limitu.
• Veta . Ak {an} je taká postupnosť, že
= 0 a postupnosť {bn} je ohraničená, tak pre limitu súčinu týchto postupností platí: = 0.
nna
lim
lim .n
n na b
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Príklad 3.
Vypočítajte
limn
n n
n
3 2 1
4 3
2
2
910
853lim
3
2
n
nnn
nn
nn
sin5
42lim
2
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
Rastúce, klesajúce a ohraničené postupnosti
Veta . Každá ohraničená monotónna postupnosť je konvergentná.
Dôsledok. (Definícia Eulerovho čísla) Postupnosť je konvergentná. Jej
limitu označujeme písmenom e, teda
1
11
n
n
n
en
n
n
11lim
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Príklad 4.
• Využitím vlastností limít a definície čísla e vypočítajte
32
1
4lim
n
n n
n
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
• Nevlastná limita postupnosti
• Budeme hovoriť, že postupnosť má nevlastnú limitu, rovnú ±∞ práve vtedy, ak k ľubovoľnému reálnemu číslu K existuje taký index n0, že pre všetky n>n0 platí cn > K (cn < K).
• Skutočnosť, že postupnosť má nevlastnú limitu , zapisujeme :
cn n
1
lim ( )n
nc
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
Veta . (vlastnosti nevlastných limít)• Ak limita postupnosti {|an|} je rovná ∞ a
všetky členy an≠0, potom postupnosť {1/an}je konvergentná a jej limita sa rovná nule.
• Nech a všetky čísla an sú nenulové. Ak existuje index n0 taký, že pre všetky n>n0 je an> 0 (an < 0), tak
0lim n
na
)1
lim(1
lim
nn
nn aa
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
Nech
Potom platí:- Ak c> 0, potom - Ak c< 0, potom
)lim(lim n
nn
naa
).lim(.lim n
nn
nacac
).lim(.lim n
nn
nacac
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
Nech postupnosť {an} má limitu ∞ a postupnosť {bn} je ohraničená, alebo má nevlastnú limitu rovnú +∞ . Potom
nn
nbalim
Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.
Poznámka . Symbolicky túto situáciu tiež zapisujeme: ∞+∞=∞, resp.∞+c=∞. Ale pozor! Výraz „∞-∞“ patrí totiž medzi tzv. nedefinované výrazy.
• Príklad 5.
Vypočítajte limitu postupnosti
)12552( 22lim
nnnnn
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Myšlienka limity, interval bez bodu• Čo znamená zápis ?• Príklad 1.• Priblížiť na príklade f(x)=x+1, f(x)=x+1, x1,
f(x)= a f(1)=3.• Definičný obor musí obsahovať interval (x,a),
(a,x) alebo aj oba ale bod a nemusí obsahovať.
• Je zrejmé, že limita sa nemusí rovnať hodnote funkcie v danom bode. (nakresliť)
bxfan
)(lim
1
12
x
x
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Definícia limity
Hovoríme, že limita funkcie f(x) pre x idúce k a rovná sa b ( ), práve vtedy, ak pre každú postupnosť čísel {xn} z definičného oboru funkcie konvergujúcu k číslu a, postupnosť funkčných hodnôt {f(xn)} konverguje k číslu b.
bxfan
)(lim
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Poznámka.• -a, b môžu byť aj ±∞, (neskôr)• -jednostranné limity (vysvetliť na obrázkoch)• -teraz iba vlastná limita vo vlastnom bode• Príklad 2.• f(x)=1/x, x0,• f(x)=1/x2, x0,• f(x) je nespojitá v bode a,• f(x)=c,• f(x)=2x+5
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
Veta o ohraničenostiAk existuje vlastná limita funkcie f(x) v bode a potom
existuje interval okolo bodu a (bez bodu a) na ktorom je funkcia f(x) ohraničená.
Veta o zovretíNech na nejakom intervale okolo bodu a bez bodu a platí
f(x)h(x)g(x) (t.j pre všetky x). Nech
Potom aj (Nakresliť)
bxgxfax
ax
)(lim)(limbxh
an
)(lim
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Dôsledok.(+príklady)
1sin
lim0
x
x
x
x
x
x 2sin
5sinlim
0
2
2
0
3cos1lim x
x
x
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu, podielu,
polynómu, odmocniny z funkcie.
• Veta.
• Limita konštanty. .
• Limita funkcie x. .
• Limita funkcie s opačným znamienkom. Ak , potom .
ccan
lim
axan
lim
bxfan
)(lim bxfan
))((lim
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu,
podielu, polynómu, odmocniny z funkcie.
• Veta.
• Limita súčtu a rozdielu. Ak potom .
• Limita súčinu. Ak , potom .
1)(lim bxfan
2)(lim bxgan
21)()(lim bbxgxfan
1)(lim bxfan
2)(lim bxgan
21.)().(lim bbxgxfan
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu,
podielu, polynómu, odmocniny z funkcie.
• Veta.
• Limita podielu. Ak , , kde b20, potom .
• Limita odmocniny z funkcie. Ak f(x)0 a
, potom .
1)(lim bxfan
2)(lim bxgan
2
1
)(
)(lim b
b
xg
xf
an
bxfan
)(lim bxfan
)(lim
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Príklad 4.• Vypočítajte:
)123( 3
1lim
xxx
34
232
2
4lim
xx
xx
x
34
232
2
1lim
xx
xx
x
x
x
x
1
1lim
4
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Spojitosť funkcie• Funkcia f(x) je spojitá v bode a ak platí .• Poznámka.• Uviesť príčiny nespojitosti (nakresliť).• Veta.• Konštantná funkcia a funkcia f(x)=x sú spojité funkcie.• Súčet, rozdiel a súčin spojitých funkcií je spojitá funkcia
(špeciálne polynóm).• Podiel spojitých funkcií je spojitá funkcia na svojom definičnom
obore.• Ak je funkcia g spojitá v bode a a funkcia f spojitá v bode g(a),
potom je aj zložená funkcia f(g(x)) spojitá v bode a.• Ak je funkcia f(x) spojitá na uzavretom intervale a,b potom je na
tomto intervale ohraničená, dosahuje tu maximum aj minimum.
)()(lim afxfan
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Limita v nevlastnom bode a nevlastná limita funkcie
• Nakresliť prípad ak b= ± ∞, t.j. . Veta.
• Ak funkcia f(x) je v určitom okolí bodu a ohraničená a , potom ,
.• Ak a f(x) je kladná pre všetky x a,
z nejakého okolia bodu a, potom .
)(lim xfax
)(lim xgax
))()((lim xgxfax
0)(
)(lim
xg
xf
ax
)(lim xgax
))().((lim xgxfax
Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.
• Ak 0, , a pre každé xa z niektorého okolia bodu a platí g(x)0, (g(x)0), potom .
• Poznámka: Pozor na . Pripomenúť, že takéto príklady budeme vedieť riešiť neskôr.
• Nakresliť prípady ak a je , t.j. .
bxfax
)(lim 0)(lim
xgax
)()(
)(lim
xg
xf
ax
,
bxf
x
)(lim