MOVIMIENTO CIRCULARDESCRIPCIN CINEMTICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR.

El movimiento es el cambio de posicin que experimenta un cuerpo

No todos los movimientos que suceden a nuestro alrededor son en lnea recta, la rotacin de la Tierra sobre su eje, las manecillas de un reloj, el carrusel de la feria o el de los satlites naturales o artificiales alrededor de la Tierra describen una trayectoria circular alrededor de un eje o un punto determinado.

MOVIMIENTO CIRCULAR

Es aqul que se presenta cuando un mvil describe en su trayectoria, imaginariamente, una circunferencia.

Cada uno de nosotros tambin recorremos una trayectoria circular debido a que la Tierra est girando sobre su propio eje. DEFINICIN DE TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO CIRCULAR Y ANGULAR.

Debido a que la Tierra est girando sobre su propio eje, cualquier punto sobre su superficie presenta movimiento circular. Si consideramos como referencia el eje de rotacin terrestre, cada uno de nosotros recorremos una distancia de 2(r en 24 horas.

En el movimiento circular el mvil presenta un desplazamiento angular.

DESPLAZAMIENTO ANGULAR ( ()

Es la distancia recorrida por una partcula en una trayectoria circular.

sta describe la cantidad de rotacin que realiza el cuerpo

En el Sistema Internacional de medida la unidad del desplazamiento angular es el radin ( rad ). Ver fig. 1.

RADIN

Es el ngulo subtendido por el arco cuya longitud es igual al radio del crculo.

fig.1 Desplazamiento de 1 radEl desplazamiento angular en radianes se obtiene por la relacin:

Donde: ( = Desplazamiento angular ( rad )

s = Distancia o longitud del arco descrito por el movimiento angular ( m )

r = Es el radio de la trayectoria circular ( m )

Si la longitud del arco es igual al radio del crculo, el desplazamiento angular es de un radin.

El radin no tiene dimensiones, ya que es la relacin entre dos longitudes (del arco y radio ) y por lo tanto tiene el mismo valor en todos los Sistemas de Unidades. Se puede agregar o eliminar en los resultados donde sea necesario.

Otras unidades son:

Revoluciones ( rev ): Es un crculo completo.

Grados ( ( ): Es 1/360 de un crculo completo o de una revolucin completa.

.

Los factores de conversin entre las unidades de desplazamiento angular son:

1 rev = 360 (1 rev = 2( rad 1 rad = 57.3 (

VELOCIDAD ANGULAR.

De manera similar que en el movimiento rectilneo, podemos definir una velocidad angular representada por ( (letra griega omega minscula), como:

VELOCIDAD ANGULAR ( ( )

Es desplazamiento angular que recorre un cuerpo en un intervalo de tiempo.

Por lo tanto la velocidad angular media es:

Donde: ( = Velocidad angular media ( rad/s )

= Desplazamiento angular recorrido ( rad )

(f = Desplazamiento angular final

(o = Desplazamiento angular inicial

t = Tiempo transcurrido ( s )

Las unidades de la velocidad angular son unidades de desplazamiento angular entre unidades de tiempo. Tambin pueden ser: rev/min = rpm, ( /s, etc.

PERIODO ( T ) Y FRECUENCIA( f ).

En el movimiento circular uniforme se define los conceptos de periodo y frecuencia, ya que son necesarios para comprender los fenmenos que se producen en los movimientos peridicos que se estudian en Acstica y ptica.

PERIODO ( T )

Es el tiempo que tarda un mvil en recorrer los 360( de su trayectoria circular.

La unidad de periodo es el segundo ( s )

Sobre la superficie de la Tierra todos los cuerpos presentan el mismo periodo

de 86 400 s ( 24 h ).

FRECUENCIA ( f )

Es el nmero de revoluciones o vueltas completas que realiza el mvil en la unidad de tiempo.

Por lo tanto:

La unidad de frecuencia es el Hertz ( Hz ).

1 Hz = 1 rev / s

En problemas tcnicos la velocidad angular media se expresa en trminos de la frecuencia de revoluciones. Por lo tanto, se calcula de la siguiente manera:

Dnde: ( = velocidad angular media (rad /s )

f = frecuencia ( rev /s )

T = periodo (s )

INTERPRETACIN GRFICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ( MCU )

Un objeto se mueve con velocidad constante (movimiento uniforme) a menos que una fuerza externa no equilibrada acte sobre l.

La velocidad es un vector que presenta magnitud (rapidez) y direccin, para modificar a cualquier de ellos se necesita aplicar una fuerza. Cuando en un movimiento se aplica una fuerza en una direccin diferente a la original se provoca cambio en la trayectoria del objeto en movimiento.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Se presenta cuando un mvil recorre una trayectoria circular conservando la magnitud de su velocidad constante, pero cambiando su direccin en cada punto.

El movimiento circular uniforme se produce cuando una fuerza externa constante acta siempre formando ngulos rectos con respecto a la trayectoria de la partcula en movimiento.

Cualquier punto sobre un disco que gira en una tornamesa presenta ste movimiento ( Ver fig. 2 )

fig. 2 Velocidad angular

La velocidad lineal en el movimiento circular uniforme siempre es tangente a la trayectoria circular ( Ver fig. 3 ).

fig. 3 Velocidad lineal tangente.

Ejercicios resueltos:

1.- Determinar la velocidad angular de 50 (/s en rev /s y en rad /s .

DatosFrmulaDesarrollo

( =0.1388 rev/s

?

( = 0.8726 rad/s

2.- Determinar la velocidad angular del segundero de un reloj de pared.

DatosFrmulaDesarrollo

(=0.0166 rev/s

3.- Determinar la velocidad angular de la Tierra en un da.

DatosFrmulaDesarrollo

(=0.04166 rev/h = 1.1574X10-5 rev/s

INTERPRETACIN ENTRE VELOCIDAD Y ACELERACIN LINEAL Y ANGULAR.

Tomando en consideracin que la velocidad lineal es la distancia recorrida respecto al tiempo y s una partcula realiza una vuelta completa (revolucin), en un tiempo (periodo T ) de cada segundo, ste hace un recorrido por medio de una velocidad tangencial determinada por la siguiente expresin:

donde: s = arco de giro (permetro) = 2(r

t = tiempo de realizacin del giro (Periodo) = T

Si consideramos la velocidad angular tomando en cuenta el ngulo descrito en un periodo, dicho ngulo en radianes, es una circunferencia determinada por medio de 2(, y la velocidad angular se expresa por medio de:

( = velocidad angular

donde: ( = desplazamiento angular = un giro = 2( rad

t = tiempo de giro = T (periodo)

Dividiendo miembro a miembro la ec. 1 con la ec. 2

se obtiene la velocidad tangencial en relacin con la velocidad angular y el radio, por medio de la siguiente expresin:

Donde; ( esta en rad/s.En forma anloga y considerando que tanto el movimiento lineal como el movimiento circular puede ser uniforme o variado, lo cual implica que la velocidad puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento angular resultante. Y por lo tanto la aceleracin angular se relaciona con la aceleracin lineal por medio de la siguiente identidad:

Donde; ( esta en rad/s2De manera semejante para el desplazamiento lineal se observa que su relacin con el desplazamiento angular queda determinado por la siguiente condicin matemtica:

Donde; ( debe de estar en rad.VELOCIDAD ANGULAR INSTANTNEA Y MEDIA:

velocidad angular instantnea

Es aquella que lleva el objeto a un determinado instante de su movimiento circular, la cual se representa por medio de la siguiente expresin:

donde:

(( = distancia angular pequesima en la cual se mueve el

cuerpo.

(t = lmite de tiempo indicando su aproximacin a cero.

velocidad angular media

Es el promedio de la suma de la velocidad angular inicial y la velocidad angular final, la cual se determina por medio de la siguiente ecuacin, cuando la aceleracin angular es uniforme

ACELERACIN ANGULAR Dentro del movimiento circular uniforme, la velocidad de la partcula cambia alterando su direccin, la cual describe una trayectoria circular por medio de un radio R. Al igual que en el movimiento lineal en el movimiento circular, despus de un intervalo de tiempo la velocidad angular se incrementa dando como resultado una aceleracin, la cual se determina por medio de la siguiente formula:

De manera semejante para el desplazamiento angular y la velocidad angular, cuando el movimiento circular es uniformemente acelerado, se tiene que:

Analoga entre el movimiento lineal y el movimiento circular

Movimiento LinealMovimiento Circular

Relacin entre magnitudes lineales y circulares.

INTERPRETACIN GRFICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

Hay que tener presente que los cuerpos en la naturaleza no siempre se mueven en lneas rectas, ya que por lo general su trayectoria es curva debido a la influencia de campos gravitacionales (terrestre, sist. Solar, etc.) por lo cual el movimiento de cualquier cuerpo se encuentra sujeto por lo menos a dos dimensiones.

El movimiento circular uniforme es el ms sencillo que se produce en dos dimensiones debido al efecto de una fuerza externa que acta constante en la partcula cuando esta se encuentra bajo una trayectoria circular, donde la fuerza resultante forma ngulos rectos, produciendo una aceleracin que altera que altera solo la direccin del movimiento, permitiendo que la rapidez sea constante.

Fuerza hacia

adentro

En el movimiento circular la aceleracin cambia la velocidad de la partcula, alterando su direccin, tomando en cuenta que la aceleracin es el cambio de la velocidad por unidad de tiempo:

De acuerdo a la siguiente figura y considerando el radio R de la trayectoria circular de la partcula cuando cambia su posicin del punto A al punto B se puede determinar lo siguiente:

v2

P v2

B

B

v1

-v1 v

s

Q s

A

A

R

R

C

C

Si tenemos la construccin de los tringulos similares BPQ y ABC, se puede establecer la siguiente proporcionalidad:

Y considerando que el intervalo de tiempo sea muy pequeo, se tiene que:

Al sustituirla en la ecuacin anterior nos dara:

Y considerando a la aceleracin,

se tiene:

La cual es considerada como la aceleracin Centrpeta, indicando que la partcula siempre se dirige hacia el centro del giro de la trayectoria circular

Ejercicios resueltos:

1.- Convierte cada una de las velocidades circulares de r.p.m. a rad/s.

a) 600 r.p.m. = ? rad/sb) 300 r.p.m. = ? rad/s

solucin a)

solucin b)

Respuesta:a): ( = 62.832 rad/sb): ( = 10 rad/s. = 31.416 rad.2.- Una rueda de esmeril gira a partir del reposo alcanzando una velocidad angular de 1200 r.p.m. despus de 20 s. Calcula:

a)Su aceleracin angular en rad/s2.

b)El nmero de vueltas que realiza en ese tiempo.

Datos:

(o = 0

(f = 1200 r.p.m.t = 20 s. ( =?(rad/s2) ( =?(rev)

Formulas:

conversin:

EMBED Equation.3

Desarrollo: 1) realizando las conversiones de las cantidades 1200 r.p.m. a rad/s:

sustitucin de datos:

EMBED Equation.3

Respuesta:

( = 6.283 rad/s2( = 200 rev.3.- Una polea de 12 cm de radio, montada sobre el eje de un motor, gira a 900 r.p.m. cuando empieza a disminuir uniformemente hasta 300 r.p.m. Mientras realiza 100 vueltas. Calcula:

a) La aceleracin angular.

b) El tiempo que tarda en cambiar su velocidad.

c) La cantidad de metros de banda que pasan a travs de la polea.

Datos:

R = 12 cm. = 0.12 m.

(0 = 900 r.p.m.

(f = 300 r.p.m.

( = 100 rev.

frmulas

Despeje de formulas:

Desarrollo:

Conversin de medidas angulares.

Sustitucin de datos:

Respuesta:( = - 6.283 rad/s2.

t = 10.0 ss = 75.40 m4.- Una rueda de 70 cm de dimetro viaja a una velocidad de 25 m/s a lo largo de una distancia de 100.00 m. Calcula:

a) Nmero de vueltas que realiza

b) La velocidad angular.

Datos:

( = 70 cm

r = 0.35 m.

V = 25 m/s

S = 100.00 m

Formulas:

Despejes:

Sustitucin de datos:

Respuesta:

( = 45.473 rev.

( = 71.428 rad/s. (

r

r

s=r

m1

(

r1

(

(

r

r

s

v

v

(

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE

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