BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHAN THỊ HẠNH

MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM

VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài:

Trong toán học, bất đẳng thức có vị trí đặc biệt, không chỉ là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau.

Bất đẳng thức là một trong những chuyên mục có tính hấp dẫn trong giáo trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ thông. Nó là một đề tài thường xuyên có mặt trong các đề thi toán , trong các kỳ thi tuyển sinh quốc gia cũng như các kỳ thi tuyển sinh Olympic về toán ở mọi cấp.

Đối với chương trình toán phổ thông, bất đẳng thức là một chuyên đề khó, và khó hơn cả với học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi. Các bài toán về bất đẳng thức khá đa dạng và có thể chứng minh bằng nhiều phương pháp khác nhau. Vì vậy việc giải các bài toán bất đẳng thức đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, có tính sáng tạo, người học cần khéo léo sử dụng các kỹ thuật đề đưa bài toán đến kết quả nhanh nhất. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc định hướng cách giải trong các bài toán bất đẳng thức. Do đó, việc phân loại và đưa ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng là vấn đề chúng ta cần quan tâm. Với ý tưởng này, tôi chọn cho mình đề tài “ Một số lớp bất đẳng thức hàm và áp dụng”.

Đề tài sẽ đưa ra hệ thống lý thuyết, bài tập và phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức hàm một cách rõ ràng, cụ thể. 2. Mục tiêu nghiên cứu:

Sưu tầm, giới thiệu, hệ thống hóa và phân loại một số lớp bất đẳng thức hàm để áp dụng giải các bài toán sơ cấp khó, hay gặp trong các kỳ thi vào lớp chuyên, thi đại học và thi học sinh giỏi quốc

2

gia và Olympic quốc tế như: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình...

Hệ thống các bài toán về một số lớp bất đẳng thức hàm, phân dạng và nêu áp dụng của chúng.

Nắm được một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức, tạo ra các bất đẳng thức mới từ bất đẳng thức đã biết. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các bất đẳng thức liên quan đến các lớp hàm như: bất đẳng thức hàm Cauchy, hàm đơn điệu và hàm tựa đơn điệu, hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm, bất đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức hàm Karamata, bất đẳng thức liên quan đến tam giác và các áp dụng liên quan.

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu, các tạp chí toán học, và một số chuyên đề về bất đẳng thức. 4. Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp tự nghiên cứu các tư liệu gồm: sách giáo khoa phổ thông trung học, các tài liệu tham khảo về bất đẳng thức, tạp chí toán học tuổi trẻ, các đề tài nghiên cứu có liên quan …

Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tầm, phân tích, tổng hợp tư liệu và tiếp cận hệ thống. 5. Cấu trúc luận văn

Luận văn này dành để trình bày một số lớp bất đẳng thức hàm và áp dụng.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm ba chương và danh mục tài liệu tham khảo.

3

Chương I, dành để trình bày cơ sở lý thuyết (đặc biệt bất đẳng thức hàm Cauchy, hàm đơn điệu và tựa đơn điệu, hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm) sẽ dùng đến trong các chương sau.

Chương II, trình bày một số lớp bất đẳng thức hàm như: bất đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức hàm Karamata, bất đẳng thức liên quan đến tam giác.

Chương III, trình bày một số áp dụng vào giải bài toán liên quan (đặc biệt bất đẳng thức AG suy rộng và một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AG). 6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Đề tài đưa ra hệ thống lý thuyết, bài tập và phương pháp giải một số lớp bất đẳng thức hàm. Giải quyết hàng loạt các bài toán chứng minh bất đẳng thức khó ở trung học phổ thông.

4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Ở chương 1, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng trong luận văn. Chương này trình bày các khái niệm, tính chất, định lý cơ bản về một số lớp bất đẳng thức hàm. Chương này tham khảo ở các tài liệu [3]

1.1. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Định lý 1.1. (Xem [3]).

Nhận xét rằng, bất đẳng thức Cauchy cũng có thể được suy trực tiếp từ đồng nhất thức Lagrange sau đây Định lý 1.2. (Lagrange). Bài toán 1.1. Hệ quả 1.2. Hệ quả 1.3. (Xem [3]). Hệ quả 1.4. (xem [3]). 1.2. HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ TỰA ĐƠN ĐIỆU

1.2.1. Hàm đơn điệu Về sau ta thường sử dụng ký hiệu ⊂ ¡( , )I a b là nhằm định

một trong bốn tập hợp ( , ),[ , ),( , ]a b a b a b hoặc[ , ]a b với <a b . Thông thường, khi hàm số ( )f x xác định trên tập ⊂ ¡( , )I a b

và thỏa mãn điều kiện: Với mọi ∈1 2, ( , )x x I a b ta đều có

≤ ⇔ ≤1 2 1 2( ) ( )f x f x x x

thì ta nói rằng ( )f x là một hàm đơn điệu tăng trên ( , )I a b . Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp ∈1 2, ( , )x x I a b ta đều có < ⇔ <1 2 1 2( ) ( )f x f x x x

thì ta nói rằng ( )f x là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên ( , )I a b .

5

Ngược lại, khi ≥ ⇔ ≤1 2 1 2( ) ( )f x f x x x , ∀ ∈1 2, ( , )x x I a b

thì ta nói rằng ( )f x là một hàm đơn điệu giảm trên ( , )I a b . Nếu xảy ra

> ⇔ < ∀ ∈1 2 1 2 1 2( ) ( ) , , ( , )f x f x x x x x I a b thì ta nói rằng ( )f x là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên ( , )I a b

Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên ( , )I a b được gọi là hàm đồng biến trên ( , )I a b và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên

( , )I a b được gọi là hàm nghịch biến trên tập đó. Định lý 1.3. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên khoảng ( , )a b .

(i) Nếu >'( ) 0f x với mọi ∈( , )x a b thì hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng đó.

(j) Nếu <'( ) 0f x với mọi ∈( , )x a b thì hàm số ( )f x nghịch biến trên khoảng đó. Định lý 1.4. Hàm ( )f x xác định trên +¡ là một hàm số đợn điệu tăng khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nx x x , ta đều có

= = =

≤∑ ∑ ∑1 1 1

( ) ( ) ( )n n n

k k k kk k k

a f x a f x (1.5)

Định lý 1.5. Để bất đẳng thức

= =

≤∑ ∑1 1

( ) ( )n n

k kk k

f x f x (1.8)

được thỏa mãn với mọi bộ số dương 1 2, ,..., nx x x , điều kiện đủ là hàm

=( )

( ) :f x

g xx

đơn điệu tăng trên +¡ .

Hệ quả 1.5. Giả sử =( )

( )f x

g xx

là hàm đơn điệu tăng trong

+∞[0, ] . Khi đó với mọi dãy số dương và giảm 1 2, ,..., nx x x , ta đều có

−

+=

− ≥ −∑1

1 11

( ) ( ( )).n

n k kk

f x x f x f x

6

Nếu bổ sung thêm điều kiện : =( )

( ) :f x

g xx

là hàm đồng biến

trên +¡ và 1 2, ,..., nx x x là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng thức thực sự:

= =

<∑ ∑1 1

( ) ( ).n n

k kk k

f x f x

Tương tự ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với các hàm đơn điệu giảm. Định lý 1.6. Hàm ( )f x xác định trên +¡ là một hàm số đơn điệu giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nx x x , ta đều có

= = =

≥∑ ∑ ∑1 1 1

( ) ( ) ( )n n n

k k k kk k k

a f x a f x .

Định lý 1.7. Để bất đẳng thức

= =

≥∑ ∑1 1

( ) ( ).n n

k kk k

f x f x

được thỏa mãn với mọi bộ số dương 1 2, ,..., nx x x , điều kiện đủ là hàm

=( )

( ) :f x

g xx

đơn điệu giảm trên +¡ .

Định lý 1.8. Định lý 1.9. (Maclaurin, Cauchy). Định lý 1.10. Hệ quả 1.6. Định lý 1.11. Định lý 1.12. Hệ quả 1.7. Định lý 1.13. (Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev). Giả sử ( )f x và

( )g x là hai hàm đơn điệu tăng và ( )kx là một dãy đơn điệu tăng: ≤ ≤ ≤1 2 ... nx x x

7

Khi đó với mọi bộ trọng ( )jp :

≥ = + + + =1 20, 1,2,..., ; ... 1j np j n p p p ta đều có ≤∑ ∑ ∑( ) ( ) ( ) ( )k k k k k k kp f x p g x p f x g x

1.2.2. Hàm tựa đơn điệu Ta nhắc lại tính chất quen biết sau đây.

Giả sử hàm số ( )f x xác định và đơn điệu tăng trên ( , )I a b . Khi đó với mọi ∈1 2, ( , )x x I a b , ta đều có

< ⇒ ≤1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

và ngược lại, ta có < ⇒ ≥1 2 1 2( ) ( )x x f x f x , ∀ ∈1 2, ( , )x x I a b

khi ( )f x là một hàm đơn điệu giảm trên ( , )I a b .

Tuy nhiên, trong ứng dụng, có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có tính chất yếu hơn, chẳng hạn như:

≤ ⇔ ≤ ∀ >1 2 1 2 1 2( ) ( ) ; , 0f x f x x x x x mà + ≤1 2 1x x , thì không nhất thiết ( )f x phải là một hàm đơn điệu tăng trên (0,1) .

Ví dụ, với hàm số π=( ) sinf x x , ta luôn có khẳng định sau đây. Bài toán 1.2. Định nghĩa 1.1. Hàm số ( )f x xác định trong ⊂ + ∞(0, ) (0, )b được gọi là hàm số tựa đồng biến trong khoảng đó, nếu

< ⇔ < ∀ >1 2 1 2 1 2( ) ( ) ; , 0f x f x x x x x mà + <1 2x x b (1.21)

Tương tự ta cũng có định nghĩa hàm tựa nghịch biến trong một khoảng cho trước. Định nghĩa 1.2. Hàm số ( )f x xác định trong ⊂ + ∞(0, ) (0, )b được gọi là hàm số tựa nghịch biến trong khoảng đó, nếu

< ⇔ > ∀ >1 2 1 2 1 2( ) ( ) ; , 0f x f x x x x x mà + <1 2x x b (1.22)

Bài toán 1.3.

8

Bài toán 1.4. Định lý 1.14. Mọi hàm ( )f x xác định trong ⊂ + ∞(0, ) (0, )b và thỏa mãn các điều kiện:

(i) ( )f x đồng biến trong khoảng (0, )2

b

(j) ≥ − ∀ ∈( ) ( ), [ , )2

bf x f b x x b

đều là hàm tựa đồng biến trong khoảng đã cho. 1.3. HÀM LỒI, LÕM VÀ TỰA LỒI, LÕM

1.3.1. Các tình chất cơ bản của hàm lồi Định nghĩa 1.3. (Xem[3]). Hàm số ( )f x được gọi là hàm lồi (lồi dưới) trên tập ⊂ ¡[a,b) nếu với mọi ∀ ∈1 2, [a,b)x x và với mọi cặp số dương α β, có tổngα β+ =1 , ta đều có

α β α β+ ≤ +1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x (1.24) Nếu dấu đẳng thức trong (1. 24) xảy ra khi và chỉ khi =1 2x x

thì ta nói hàm số ( )f x là hàm lồi thực sự (chặt) trên [ , )a b . Hàm số ( )f x được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên tập ⊂ ¡[a,b) nếu ∀ ∈1 2, [a,b)x x và với mọi cặp số dương α β, có tổngα β+ =1 , ta đều có

α β α β+ ≥ +1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x (1.25) Nếu dấu đẳng thức trong (1. 25) xảy ra khi và chỉ khi =1 2x x

thì ta nói hàm số ( )f x là hàm lõm thực sự (chặt) trên [ , )a b . Tương tự, ta cũng có định nghĩa về hàm lồi (lõm) trên các tập

( , ),( , ]a b a b và[a,b] . Về sau, ta sử dụng kí hiệu ( , )I a b là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp ( , ),[a,b),( , ]a b a b và[a,b] .

Chú ý rằng, đôi khi ta chỉ nói về tính lồi của một hàm số mà không nói tới hàm đó lồi trên tập ( , )I a b một cách cụ thể như đã nêu ở trên.

Nhận xét rằng, khi <1 2x x thì α β= +1 2x x x vói mọi cặp số dương α β, có tổngα β+ =1 , đều thuộc 1 2( , )x x và

9

α β− −

= =− −

1 2

2 1 2 1

,x x x xx x x x

Tính chất 1.1. Tính chất 1.2. Tính chất 1.3. Tính chất 1.4. Tính chất 1.5. Tính chất 1 6. Định lý 1.15. Nếu ( )f x khả vi bậc hai trên ( , )I a b thì ( )f x lồi (lõm) trên ( , )I a b khi và chỉ khi ≥ ≤"( ) 0 ( "( ) 0)f x f x trên ( , )I a b . Định lý 1.16. Nếu ( )f x lồi trên ( , )a b thì tồn tại đạo hàm một phía

−' ( )f x và +' ( )f x với mọi ∈( , )x a b và − +≤' ( ) ' ( )f x f x .

Nhận xét 1.1. Các hàm số −' ( )f x và +' ( )f x là những hàm đơn điệu tăng trong ( , )a b . Định lý 1.17. Nếu ( )f x lồi trên ( , )I a b thì ( )f x liên tục trên ( , )a b . Nhận xét 1.2. Hàm lồi trên [a,b] có thể không liên tục tại đầu mút của đoạn [a,b] .

Định lý 1.18. (Jensen). Nhận xét 1.3. Giả sử ≠( )f x const và là hàm lồi trên [a,b] với =( ) ( )f a f b . Khi đó ≠( ) ( )f x f a vơi mọi ∈( , )x a b .

Định lý 1.19. Giả sử ( )f x có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( , )a b khi đó điều kiện cần và đủ để hàm số ( , )a b lồi trên v là

≥ ∀ ∈"( ) 0, ( , )f x x a b (1.36)

1.3.2. Hàm tựa lồi và tựa lõm Bài toán 1.5. Nếu , ,A B C là các góc của VABC thì

+ + + +≤

cos cos cos.

3 3

A B C A B Ccos

10

Định nghĩa 1.4. Hàm số (x)f xác định trong ∈ + ∞(0,b) (0, )được gọi là hàm tựa lồi trong khoảng đó, nếu

+ +≤ ∀ >1 2

(x) (y)( ) , x , 0

2 2

x y f ff x mà

+ ≤1 2x x b

Tương tự ta cũng có định nghĩa đối với hàm tựa lõm trong một khoảng cho trước.

Định nghĩa 1.5. Hàm số (x)f xác định trong ∈ + ∞(0,b) (0, )được gọi là hàm tựa lõm trong khoảng đó, nếu

+ +≥ ∀ >1 2

(x) (y)( ) , x , 0

2 2

x y f ff x mà

+ ≤1 2x x b .

11

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM

Trong chương này, ta sẽ đề cập đến định lý về bất đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức Karamata và bất đẳng thức liên quan đến tam giác có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Các bài toán ở chương này được tham khảo ở các tài liệu [2], [3], [5].

2.1. BẤT ĐẲNG THỨC HÀM JENSEN

2.1.1. Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa 2.1. ( Xem[2]). Tập D gọi là tập lồi nếu hai phần tử ,a b tùy ý thuộc D và với mọi số thực λ ∈[0;1] thì λ λ+ −(1 )a b

cũng thuộc D Định nghĩa 2.2. ( Xem[2]). Cho D là tập lồi trong R . Hàm số ( )f x gọi là lồi (tương ứng lõm) trên D , nếu với mọi ∈1 2,x x D , mọi λ ∈[0;1] thì

[ ]λ λ λ λ+ − ≤ + −1 2 1 2(1 ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x

tương ứng [ ]λ λ λ λ+ − ≥ + −1 2 1 2(1 ) ( ) (1 ) ( ).f x x f x f x

Tính chất 2.1. Định lý 2.1. (Xem[2]). Cho D là tập lồi (tương ứng lõm) trên D khi và chỉ khi với mọi số nguyên dương n , với ∈1 2, ,..., ,nx x x D mọi λ ≥ 0i và

λ=

=∑1

1,n

ii

ta có

λ λ= =

≤∑ ∑1 1

( ) ( ).n n

i i i ii i

f x f x

Tương ứng

12

λ λ= =

≥∑ ∑1 1

( ) ( ).n n

i i i ii i

f x f x

2.1.2. Một số bài toán liên quan Bài toán 2.1. Cho ≥1 2, ,..., 1na a a . Chứng minh rằng

+ + + ≥+ + + +1 2 1 2

1 1 1...

1 1 1 1 ...nn n

na a a a a a

Bài toán 2.2. Cho >, , 0a b c thỏa mãn + + = 1a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau theo n

= + + + + +1 1 1

( ) ( ) ( ) .n n nS a b ca b c

Bài toán 2.3. (Xem[3]). Cho >, , 0a b c . Chứng minh rằng

+ + + + + + ≥ + +1

. . ( )3

a b ca b c a b c a b ca b c a b c

Bài toán 2.4. (Xem[2]). Cho ≥ = ∈¥0, 1,2,..., ; *ia i n n . Chứng minh rằng

=

=

≥+ ∑

+

∑1

11

1( )

11

ni

ii

n

aai

n

ne

e

.

Bài toán 2.5. Cho ba số thực dương , ,a b c và số thực λ ≥ 8 . Chứng minh rằng

λλ λ λ

+ + ≥++ + +2 2 2

3.

1. . .

a b c

a bc b ac c ab

Nhận xét 2.1. Đây là bài toán đóng vai trò quan trọng trong các bài toán bất đẳng thức về góc của tam giác. Rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức về góc trong tam giác có sử dụng đến tính chất của hàm lồi (lõm). Chẳng hạn, xét các bài toán sau. Bài toán 2.6. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có

+ + ≤3

1)sin sin sin2 2 2 2

A B C

13

+ + ≥2)tan tan tan 32 2 2

A B C

+ + + + + ≥ +3

3)sin sin sin tan tan tan 32 2 2 2 2 2 2

A B C A B C

+ + ≥1 1 1

4) 2 3sin sin sinA B C

+ + ≥1 1 1

5) 6cos cos cosA B C

+ + ≥2 2 2

1 1 16) 12

sin sin sin2 2 2A B C

+ + ≥2 2 2

1 1 17) 4

2 2 2A B C

cos cos cos

2.2. BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA

2.2.1. Cơ sở lý thuyết Định lý 2.2. (Bất đẳng thức Karamata). Cho hai dãy số { }∈ =, ( , ), 1,2,...,k kx y I a b k n , thỏa mãn điều kiện

≥ ≥ ≥ ≥ ≥1 2 1 2... , ...n nx x x y y y

và

− −

≥ + ≥ + + + + ≥ + + + + + + = + + +

1 1

1 2 1 2

1 2 1 1 2 1

1 2 1 2

...........

... ...

... ...n n

n n

x y

x x y y

x x x y y y

x x x y y y

(2.1)

Khi đó, ứng với mọi hàm lồi thực sự >( ) ( "( ) 0)f x f x trên ( , )I a b , ta đều có

+ + ≥ + +1 2 1 2( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )n nf x f x f x f y f y f y . (2.2)

14

Định lý 2.3. (I. Schur). Điều kiện cần và đủ để hai bộ dãy số đơn điệu giảm { }=, , 1,2,...,k kx y k n , thỏa mãn các điều kiện

− −

≥ + ≥ + + + + ≥ + + + + + + = + + +

1 1

1 2 1 2

1 2 1 1 2 1

1 2 1 2

...........

... ...

... ...n n

n n

x y

x x y y

x x x y y y

x x x y y y

(2.6)

là giữa chúng có một phép biến đổi tuyến tính có dạng

=

= =∑1

, 1,2,..., ,n

i ij jj

y a x i n

trong đó

= =

≥ = = =∑ ∑1 1

0, 1, 1; , 1,2,..., .n n

kl kj jlj j

a a a k l n

Định lý 2.4. Cho hàm số = ( )y f x có đạo hàm cấp hai tại mọi ∈( , )x a b sao cho ≥'( ) 0f x với mọi ∈[ , ]x a b và ≥''( ) 0f x với mọi ∈( , )x a b .

Giả sử 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nx x x là các số thuộc [a,b] , đồng thời thỏa mãn các điều kiện ≥ ≥ ≥1 2 ... na a a và ≥ ≥ ≥1 2 ... nx x x và

≥ + ≥ + + + + ≥ + + +

1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

....................

... ...n n

x a

x x a a

x x x a a a

Khi đó, ta luôn có

= =

≥∑ ∑1 1

( ) ( )n n

k kk k

f x f a .

Định lý 2.5. Định lý 2.6. Cho hàm số = ( )y f x có đạo hàm cấp hai tại mọi

∈( , )x a b sao cho >"( ) 0f x với mọi ∈( , )x a b .

15

Giả sử 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nx x x là các số thuộc [a,b] , thỏa mãn điều kiện ≥ ≥ ≥1 2 ... na a a và

≥ + ≥ + + + + = + + +

1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

....................

... ...n n

x a

x x a a

x x x a a a

Khi đó ta luôn có

= =

≥∑ ∑1 1

( ) ( )n n

k kk k

f x f a

Định lý 2.7. Nhận xét 2.2. Có thể nói rằng định lý (2.6) cho ta một công cụ rất mạnh để thực hiện quá trình làm đều và thuật toán dồn biến để chứng minh nhiều dạng bất đẳng thức phức tạp.

2.2.2. Một số bài toán liên quan Bài toán 2.7. Cho ba số thực dương , ,x y z sao cho

{ } ≥, , 2012max x y z e , { } ≤min , ,x y z e và + + = 2014x y z e .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = + +ln ln ln .S x y z

Bài toán 2.8. Cho , ,a b c là ba số thực dương. Chứng minh rằng

+ + ≥ + ++ + +

1 1 1 1 1 12( ).

a b c a b b c c a

Bài toán 2.9. Cho >, , 0a b c . Chứng minh rằng với ∀ ∈¥*n + + + + +

≥ + + + + +

4 4 4 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

( ) ( )

( ) ( )

n n

n n

a b c a b b c c a

a b b c c a ab bc ca.

16

Bài toán 2.10. Cho ≥ ≥ > 0x y z có { } { }≤ ≥, , 3,min , , 1max x y z x y z và + + = >6, 1x y z a là số thực cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

= + +a a aS x y z

2.3. BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC 2.3.1. Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa 2.3. Cho VABC , đặt δ =V {A,B,C}- min{A,B,C}ABC max . δVABC gọi là độ gần đều của VABC . Định nghĩa 2.4. Cho V 1 1 1A B C và V 2 2 2A B C sao cho

≥ ≥ ≥ ≥1 1 1 2 2 2,A B C A B C và ≤ ≥1 2 1 2,A A C C .Khi đó, ta nói V 1 1 1A B C gần đều hơn V 2 2 2A B C .

Nhận xét 2 3. Tam giác đều gần đều hơn mọi tam giác khác. Nhận xét 2. 4. Trong các tam giác không nhọn thì tam giác vuông cân gần đềuhơn cả. Định lý 2 4. (Xem [5]). Cho V 0 0 0A B C gần đều hơn VABC và hàm số

( )f x có π≥ ∀ ∈"( ) 0, (0, )f x x . Khi đó + + ≥ + +0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f A f B f C f A f B f C Tương tự,nếu π≤ ∀ ∈"( ) 0, (0, )f x x thì

+ + ≤ + +0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f A f B f C f A f B f C

2.3.2. Một số bài toán liên quan Bài toán 2.11. Cho VABC không nhọn . Chứng minh rằng

+ + ≤ +1)sin sin sin 1 2A B C .

+ + ≥ −2)tan tan tan 2 2 12 2 2

A B C .

Bài toán 2.12. Cho VABC có π π≥ ≤

2{A,B,C} , min{A,B,C}

3 6max .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + +sin sin sinM A B C .

17

Bài toán 2.13. Cho VABC . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

= + + + + + + + +sin( ) sin( ) sin( )2 3 6 2 3 6 2 3 6

A B C B C A C A BM

Bài toán 2.14. Cho VABC và ba số thực dương α β γ, , thỏa mãn α β γ+ + = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

α β γ α β γ α β γ= + + + + + + + +sin( ) sin( ) sin( ).M A B C B C A C A B Bổ đề 2.1. Cho VABC có ≥ ≥A B C và ba số thực dương α β γ, , thỏa mãn α β γ+ + = 1 . Đặt

α β γα β γα β γ

= + + = + + = + +

1

1

1

A A B C

B B C A

C C A B

Với ≥ ≥1 1 1A B C , tức là V 1 1 1A B C gần đều hơn VABC . Chứng minh rằng

+ + ≤ + +1 1 1sin sin sin sin sin sin .A B C A B C Bài toán 2.15. Cho α β γ >, , 0 và tam giác nhọn ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của đẳng thức

α β γ= + +tan tan tan .M A B C Bổ đề 2.2. Cho hàm số ( )f t có >'( ) 0f t và ≥ ∀ ∈¡"( ) 0,f t t . Khi đó với ∀ ∈¡0 0 0, , , , ,x y z x y z thỏa mãn

+ + = + +0 0 0x y z x y z thì đẳng thức

= + +0 0 0

( ) ( ) ( )

'( ) '( ) '( )

f x f y f zM

f x f y f z

đạt được giá trị nhỏ nhất là

+ +0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( )

'( ) '( ) '( )

f x f y f zf x f y f z

khi = = =0 0 0, ,x x y y z z .

18

Bài toán 2.16. Cho α β γ >, , 0 và tam giác nhọn ABC . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đẳng thức

α β γ= + +sin sin sin .M A B C (2.13) Bổ đề 2.3. Cho hàm số ( )f t có >'( ) 0f t và ≤ ∀ ∈¡"( ) 0,f t t .

Khi đó với ∀ ∈¡0 0 0, , , , ,x y z x y z thỏa mãn

+ + = + +0 0 0x y z x y z thì đẳng thức

= + +0 0 0

( ) ( ) ( )

'( ) '( ) '( )

f x f y f zM

f x f y f z

đạt được giá trị lớn nhất là

+ +0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( )

'( ) '( ) '( )

f x f y f zf x f y f z

khi = = =0 0 0, ,x x y y z z . Bài toán 2.17. Cho α β γ >, , 0 và tam giác nhọn ABC . Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của đẳng thức

α β γ= + + .M cosA cosB cosC (2.15) Bổ đề 2.4. Cho hàm số ( )f t có <'( ) 0f t và ≤ ∀ ∈¡"( ) 0,f t t .

Khi đó ∀ ∈¡0 0 0, , , , ,x y z x y z thỏa mãn + + = + +0 0 0x y z x y z thì đẳng thức

= + +0 0 0

( ) ( ) ( )

'( ) '( ) '( )

f x f y f zM

f x f y f z

đạt được giá trị nhỏ nhất là

+ +0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( )

'( ) '( ) '( )

f x f y f zf x f y f z

khi = = =0 0 0, ,x x y y z z .

Trong phần này, có nêu ba bài toán phi đối xứng là bài toán 2. 15, bài toán 2. 16, bài toán 2. 17 và ba bổ đề liên quan để chứng minh. Từ ba bài toán này có thể vận dụng để giải quyết một số bài toán phi đối xứng trong tam giác.

19

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ÁP DỤNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Các bài toán ở chương này được xem ở các tài liệu [3]

3.1. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

3.1.1. Cơ sở lý thuyết

Định lý 1.3. (Xem [3]). Cho hai dãy số dương 1 2 1 2, ,..., ; , ,..., .n nx x x p p p

Ta luôn có bất đẳng thức

+ + +

+ + +≤ + + +

1 2

1 2

...

1 1 2 21 2

1 2

.... ...

...

n

n

p p p

p p p n nn

n

x p x p x px x x

p p p.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = =1 2 ... nx x x

3.1.2. Một số bài toán liên quan Bài toán 3.1. Cho >, 0x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

= + +2

28

4( , ) 2

x yf x y xy

xy

Bài toán 3.2. Cho ≥, 0a b và p là số hữu tỉ dương . Chứng minh rằng

+ +

+ ++ + + ≥ +1 1

1 1 ( ) 2 ( 1)p p

p p p pa b p a b ab p . Bài toán 3.3. (Bất đẳng thức Holder). Cho >, , , 0a b p q sao cho

+ =1 1

1p q

. Chứng minh rằng

+ ≥1 1

.p qa ba b

p q

20

3.2. MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AG 3.2.1. Định lý về các giá trị trung bình cộng và nhân Các đại lượng trung bình mà chúng ta thường gặp trong

chương trình phổ thông là trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa và trung bình toàn phương. Bất đẳng thức có liên quan đến các đại lượng trên, được sử dụng phổ biến trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Định nghĩa 3.1. (Xem [3]). Cho các số dương 1 2, ,..., na a a , ký hiệu

+ + + + + += =

= =+ + +

2 2 21 2 1 2

1 2

1 2

... ...,

. ... ,1 1 1

...

n n

nn

n

a a a a a aQM AM

n nn

GM a a a HM

a a a

lần lượt được gọi là trung bình toàn phương, trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa của các số 1 2, ,..., na a a .

Định lý 3.2. (Xem [3]). Giả sử 1 2, ,..., na a a là các số không âm. Khi đó

+ + +≥1 2

1 2

...... .n n

n

a a aa a a

n (2.1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi = = =1 2 ... .na a a Hệ quả 3.1. (Bất đẳng thức GH). Với mọi bộ số dương 1 2, ,..., na a a , ta đều có

≥+ + +

1 2

1 2

... .1 1 1

...

nn

n

na a a

a a a

Dấu đẳng thức xảy ra khi = = =1 2 ... .na a a Hệ quả 3.2. Với n số nguyên dương 1 2, ,..., na a a .Ta luôn có

+ + + ≥+ + +

2

1 2 1 2

1 1 1... .

...n n

na a a a a a

21

3.2.2. Một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AG Trong mục này nêu cách thức vận dụng bất đẳng thức AG

trong thực hành như là một công cụ trung gian để giải quyết một số dạng bất đẳng thức quen biết .

a. Kỹ thuật tách, ghép và phân nhóm Bài toán 3.4. Cho , ,a b c là những số thực dương. Chứng minh rằng

+ + ++ + ≥ + + .m n m n m n m n m n m na b c a b b c c a Bài toán 3.5. Cho , ,a b c là những số thực dương. Chứng minh rằng

+ + ≥ + +5 5 5

3 3 32 2 2

.a b c

a b cb c a

Bài toán 3.6. Cho , ,a b c là những số thực dương. Chứng minh rằng

+ + ≥ + +5 5 5

3 3 3.a b c

a b cbc ca ab

Bài toán 3.7. Cho , ,a b c là những số thực dương. Chứng minh rằng

+ + ≥ + +5 5 5 3 3 3

3 3 3.

a b c a b cb c ab c a

Bài toán 3.8. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng

+ + ≥ + ++ + +

3 3 32 2 21

( ).2 2 2 3

x y zx y z

x y y z z x

Bài toán 3.9. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng

+ + ≥ + ++ + +

3 3 3

2 2 2

1( )

4( ) ( ) ( )

x y zx y z

y z z x x y.

Bài toán 3.10. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng

+ + ≥ + ++ + +

3 3 3 1( ).

( ) ( ) ( ) 2

x y zx y z

y z x z x y x y z

Bài toán 3.11. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng

+ + ≥ + +4 4 4

2 2 2.

x y zx y z

yz zx xy

Nhận xét 3.1. Khi sử dụng bất đẳng thức AG, cần chú ý

22

1. Lựa chọn thừa số để đảm bảo dấu đẳng thức của bất đẳng thức xảy ra 2. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bất đẳng thức AG ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.

b. Kỹ thuật sử dụng hằng số phụ trong bất đẳng thức AG Kỹ thuật sử dụng hằng số phụ trong bất đẳng thức AG rất

quan trọng trong việc tách ghép các số, nhằm đảm bảo dấu đẳng thức trong bất đẳng thức AG xảy ra. Kỹ thuật này không khó lắm, nó phục vụ cho tất cả các đối tượng học sinh. Từ những học sinh rất giỏi, đến các em trung bình đều có thể hiểu và vận dụng được. Miễn là giáo viên cần tạo ra một số bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh. Từ mục đích đó, xin giới thiệu một số bài toán theo từng cấp độ khác nhau, phù hợp với trình độ của từng học sinh. Ví dụ 3.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

= +1

S xx

với ≥x a và >1a . Ví dụ 3.2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

= + + + + +nn nS x y y z z x với > + + =, , 0, 3x y z x y z a và > 0a . Bài toán 3.12. Cho >, , , 0a b c d . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= + + + +2 2 2 2

(1 )(1 )(1 )(1 ).5 5 5 5

a b c dS

b c d a

Bài toán 3.13. Cho >, , , 0a b c d thỏa mãn + + + ≤ 8a b c d . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= + + + + + + + +2 3 2 3 2 3 2 3

( )( )( )( ).S a b c db c c d d a a b

23

Bài toán 3.14. Cho >, , 0a b c thỏa mãn + + ≤3

2a b c . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

= + + + + + + + +2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1.S a b c

b c c a a b

Bài toán 3.15. Cho 3 số thực dương , ,a b c sao cho = 1abc . Chứng minh rằng

+ + ≤+ + +2 2 2

12 2 2

a b ca b c

.

Bài toán 3.16. (France Pre-MO 2005). Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn + + =2 2 2 3x y z . Chứng minh

+ + ≥ 3.xy yz zxz x y

Bài toán 3.17. Cho >, 0a b sao cho + ≤1a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= + ++2 2

1 10074016

4S ab

aba b

Bài toán 3.18. Cho các số thực dương , ,a b c sao cho + + ≤1a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= + + ++ +2 2 2

1 1 1 1.S

ab bc caa b c

24

KẾT LUẬN Luận văn đã giới thiệu, phân loại và hệ thống hóa về một số

bất đẳng thức hàm như: bất đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức hàm Karamata, bất đẳng thức liên quan đến tam giác và một số áp dụng vào giải bài toán liên quan.

Trên cở sở các bất đẳng thức hàm đó đã ứng dụng vào giải quyết một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị của hàm số. Đây là những dạng toán thường được gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia và Olympic toán quốc tế.

Qua đây tác giả nhận thấy nhận thức của mình về bất đẳng thức hàm được nâng lên rõ rệt. Việc tìm hiểu các bất đẳng thức này là cơ sở giúp tác giả có thể sáng tạo thêm nhiều bài toán về bất đẳng thức phục vụ rất nhiều cho việc học tập và giảng dạy của bản thân.

Do thời gian thực hiện luận văn có hạn, trình độ của người viết cũng có nhiều hạn chế dù bản thân đã cố gắng nhưng sai sót vẫn là điều khó tránh khỏi. Vì thế, rất mong nhận được của quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn nữa.