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MOQ-14
PROJETO e ANÁLISE de
EXPERIMENTOS
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
Programa do curso:
Semana Conteúdo
1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral.
2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores.
3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos.
4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações.
5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança.
6 Prova
7Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla.
Multicolinearidade e seus efeitos.
8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas.
9Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas.
Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância.
10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores.
11 Experimentos fatoriais 2k. Pontos centrais.
12 Experimentos em blocos casualizados. blocagem em experimentos 2k.
13 Prova
14 Experimentos fatoriais fracionados.
15 Experimentos com fatores quantitativos. Métodos de superfície de resposta.
16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
EXPERIMENTOS
FATORIAIS 2k
Processo de experimentação:
A experimentação é feita de forma seqüencial:
1. O primeiro experimento em um sistema complexo (possui muitas
variáveis de controle) é um piloto (screening experiment). É utilizado
na identificação das variáveis mais importantes.
2. Experimentos subseqüentes são feitos para refinar a informação e
determinar quais ajustes nas variáveis críticas são necessários para
melhorar o sistema.
3. Otimização: é o objetivo final da experimentação. Consiste em
determinar os níveis ótimos das variáveis críticas (resultarão no sistema
com a melhor performance possível).
Os experimentos fatoriais 2k são empregados no primeiro experimento
(screening experiment) na identificação das variáveis / efeitos mais
significativos, quando há muitos fatores a serem analisados.
Quando, em um experimento, há vários fatores de interesse, um
experimento fatorial 2k deve ser usado.
Nesse tipo de experimento, os níveis dos fatores são binários (comumente
denotados por “baixo” e “alto”).
Desta forma, é realizado um experimento fatorial completamente
casualizado (em cada replicação, todas as combinações dos k fatores são
realizadas 2k combinações).
Exemplo: (k=2 fatores, n=4 replicações)
Introdução:
OBS: a ordem de coleta deve ser completamente casualizada
x1
2
ídax
1
2
Fatores Controláveis ídax
1
2
ída y : viscosidade do produtoProcesso Químico
x : Concentração de reagente1
x : Taxa de alimentaçãoSaída 1
Baixo Alto
Baixa 145, 148, 147, 140 158, 152, 155, 152
Alta 135, 138, 141, 139 150, 152, 146, 149
Concentração de reagente
Taxa de
alimentação
Baixa Alta
Baixa 580 617
Alta 553 597
Concentração de reagente
Taxa de
alimentação
TOTAL
Após o planejamento do experimento e da coleta dos dados, o próximo
passo é fazer a análise dos dados.
Procedimento de análise (experimentos 2k):
1. Estimar os efeitos (principais e interações) dos fatores
2. Fazer o teste estatístico (ANOVA) para verificar quais efeitos são
significativos
3. Criar um modelo tomando apenas os efeitos significativos
4. Fazer a análise dos resíduos (graficamente)
5. Interpretar os resultados
Introdução:
No caso em que há apenas k=2 fatores, temos que:
Experimento fatorial 22 :
A
B
BAIXO
(-)
BAIXO
(-)
ALTO
(+)
ALTO
(+)
(1) a
abb Tratamento A B AB
(1) – – +
a + – –
b – + –
ab + + +
12
1
2
1
2
12
1
2
1
2A
principaisEfeitos
ababnn
a
n
bab
By
ByB
baabnn
b
n
aab
Ay
Ay
contraste
baab
nn
ba
n
ab
1
2
1
22
1AB:interaçãoda Efeito
contraste
Exemplo:
Experimento fatorial 22 :
(1)=580 a= 617
ab= 597b= 553
A: Concentração de reagente
Baixa:15% Alta:25%
B: T
axa de alim
entação
Alta:3
0 lb
/h
Baixa:2
0 lb
/h
Baixa Alta
Baixa 580 617
Alta 553 597
Concentração de reagente
Taxa de
alimentação
TOTAL
875,558061755359742
1
125,1058055361759742
1A
principaisEfeitos
By
ByB
Ay
Ay
875,0553617580597
42
1AB:interaçãoda Efeito
Efeito Principal: Taxa de alimentação
140,00
141,00
142,00
143,00
144,00
145,00
146,00
147,00
148,00
149,00
150,00
151,00
Baixa Alta
Taxa de alimentaçãoR
esp
so
ta M
éd
ia
Efeito Principal: Concnetração de reagente
136
138
140
142
144
146
148
150
152
154
Baixa Alta
Concentração de reagente
Resp
osta
Méd
ia
Gráfico de Interação
130,00
135,00
140,00
145,00
150,00
155,00
160,00
Baixa Alta
Concentração de reagente
Resp
osta
Méd
ia
Taxa de alimentação = Baixa Taxa de alimentação = Alta
Experimento fatorial 22 :
Cálculo das somas de quadrados:
SQT = SQA + SQB + SQ(AB) + SQE
Decomposição dos graus de liberdade:
Cada efeito principal e o efeito de interação têm um grau de
liberdade único.
Desta forma, os quadrados médios dos efeitos principais e do
efeito de interação é igual as respectivas somas de quadrados.
n
baab
n
abab
n
baabyySQE
i j
n
l
ijl
4
1
4
1
4
1
22
22
2
1
2
1 1...
Análise de variância:
Efeito A será significativo se
Efeito B será significativo se
Efeito AB será significativo se
Experimento fatorial 22 :
Fonte de
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdade Quadrado médio f calculado
Fator A SQA 1 SQAsA 2 2
2
E
AA s
sf
Fator B SQB 1 SQBsB 2 2
2
E
BB s
sf
Interação AB SQ(AB) 1 ABSQsAB 2 2
2
E
ABAB s
sf
Resíduos SQE 22n – 1 – 3
4232
nSQE
sE
Total SQT 22n - 1
44,1,2
2
nE
AA f
s
sf
44,1,2
2
nE
BB f
s
sf
44,1,2
2
nE
ABAB f
s
sf
Exemplo:
Experimento fatorial 22 :
25,1000625,30625,1380625,4104375,651
0625,13844
47
0625,41044
81
2
2
SQE
SQB
SQA
4375,651...
0625,344
7
2
1
2
1 1
2
...
i j
n
l
ijl yySQT
SQAB
Fonte de
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdade
Quadrado
médiof calculado Valor -P
A 410,0625 1 410,0625 49,08 0,0000142
B 138,0625 1 138,0625 16,53 0,0016
AB 3,0625 1 3,0625 0,37 0,5562
Resíduo 100,2500 12 8,3542
Total 651,4375 15
Experimento fatorial 22 :
Análise do experimento por regressão:
É simples converter os efeitos estimados por projetos fatoriais 2k em um
modelo de regressão que pode ser utilizado para:
Avaliar a significância dos efeitos (principais e de interações)
Prever a variável resposta em qualquer ponto do espaço de atributos.
Modelo de primeira ordem sem interação:
Modelo de primeira ordem com interação:
Como o experimento é ortogonal, temos que:
22110 xxy
21322110 xxxxy
I
nXXInXX
k
k
2
1´2´
1F
st
ns
YXIn
k
k
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
2ˆ
´2
1ˆ
Experimento fatorial 22 :
Análise do experimento por regressão:
Sem interação: Com interação:
n
n
y
abba
abba
abba
n
B
A
4/
4/
..
ˆ
1
1
1
4
1ˆ
contraste
contraste
111
111
111
1111
X
ab
b
aY
1111
1111
1111
11111
X
ab
b
aY
n
n
n
y
abba
abba
abba
abba
n
AB
B
A
4/
4/
4/
..
ˆ
1
1
1
1
4
1ˆ
contraste
contraste
contraste
Experimento fatorial 22 :
No exemplo:
2
2
2
2
2
875,5
2
125,106875,146ˆ
TxAlimTxAlim
TxAlimTxAlimTxAlim
ConcConc
ConcConcConcqueem
2
1
21
baixaalta
altabaixa
baixaalta
altabaixa
x
x
xxy
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
Interseção 146,6875 0,72259 203,0026 1,37302E-22
Concentração Reagente 5,0625 0,72259 7,0061 0,0000142
Taxa de alimentação -2,9375 0,72259 -4,0652 0,0015669
Interação 0,4375 0,72259 0,6055 0,5561505
Fonte de
variaçãof calculado Valor -P
A 49,08 0,0000142
B 16,53 0,0016
AB 0,37 0,5562
Resíduo
Total
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores
Interseção 146,6875 0,70477 208,1365 2,741E-24 145,16495 148,21005
Concentração Reagente 5,0625 0,70477 7,1832 7,121E-06 3,53995 6,58505
Taxa de alimentação -2,9375 0,70477 -4,1681 1,103E-03 -4,46005 -1,41495
Experimento fatorial 22 :
O modelo de regressão:
R2 = (SQA + SQB)/ SQT = (410,0625+138,0625)/651,4375 = 0,8414
Como em todo modelo de regressão, a análise dos resíduos é
necessária:
➯ Desta forma, é possível considerar o modelo apropriado
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
136 138 140 142 144 146 148 150 152 154 156
Valores Preditos
Re
síd
uo
s p
ad
ron
iza
do
s
130
135
140
145
150
155
160
0 20 40 60 80 100
Percentil
Re
sp
os
ta
Experimento fatorial 22 :
A superfície de resposta:
220
2309375,2
2%15
2%250625,56875,146ˆ
30
20TxAlim
25%
15%ConcSendo y
No caso em que há k = 3 fatores, temos que:
Experimento fatorial 23 :
Tratamento A B C AB AC BC ABC
(1) – – – + + + –
a + – – – – + +
b – + – – + – +
ab + + – + – – –
c – – + + + – +
ac + – + – + – –
bc – + + – – + –
abc + + + + + + +
A
C
-1(1) a
acc
b ab
bc
B
abc
-1
-1
+1
+1
+1
n
bcacab
n
abccba
n
bccb
n
abcacaba
ABC
A
4
1
4
4
1
4
de Efeito
de Efeito
Efeitos no experimento 23:
Experimento fatorial 23 :
A
C
-1(1) a
acc
b ab
bc
B
abc
-1
-1
+1
+1
+1
Experimento fatorial 23 :
Cálculo das somas de quadrados:
SQT = SQA + SQB + SQC + SQ(AB) + SQ(AC) + SQ(BC)+
SQ(ABC)+ SQE
efeitosi j k
n
l
ijkl
i j k
n
l
ijkl
n
contrasteyySQE
n
ababcacbcabc
n
bcabccacbabayySQE
3
22
2
1
2
1
2
1 1
2
22
2
1
2
1
2
1 1
2
8
1
8
1
....
....
Análise de variância:
Experimento fatorial 23 :
Fonte de
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdadeQuadrado médio f calculado
Fator A SQA 1 SQAsA2
2
2
E
AA s
sf
Fator B SQB 1 SQBsB2
2
2
E
BB s
sf
Fator C SQC 1 SQCsC2
2
2
E
CC s
sf
Interação AB SQ(AB) 1 ABSQsAB2
2
2
E
ABAB s
sf
Interação AC SQ(AC) 1 ACSQsAC2
2
2
E
ACAC s
sf
Interação BC SQ(BC) 1 BCSQsBC2
2
2
E
BCBC s
sf
Interação
ABCSQ(ABC) 1 ABCSQsABC
22
2
E
ABCABC s
sf
Resíduos SQE 23n – 1 – 7
823
2
nSQE
sE
Total SQT 23n - 1
Fonte de
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdadeQuadrado médio f calculado
Fator A SQA 1 SQAsA2
2
2
E
AA s
sf
Fator B SQB 1 SQBsB2
2
2
E
BB s
sf
Fator C SQC 1 SQCsC2
2
2
E
CC s
sf
Interação AB SQ(AB) 1 ABSQsAB2
2
2
E
ABAB s
sf
Interação AC SQ(AC) 1 ACSQsAC2
2
2
E
ACAC s
sf
Interação BC SQ(BC) 1 BCSQsBC2
Fonte de
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdadeQuadrado médio f calculado
Fator A SQA 1 SQAsA2
2
2
E
AA s
sf
Fator B SQB 1 SQBsB2
2
2
E
BB s
sf
Fator C SQC 1 SQCsC2
2
2
E
CC s
sf
Interação AB SQ(AB) 1 ABSQsAB2
2
2
E
ABAB s
sf
Interação AC SQ(AC) 1 ACSQsAC2
2
2
E
ACAC s
sf
Interação BC SQ(BC) 1 BCSQsBC2
2
2
E
BCBC s
sf
Interação
ABCSQ(ABC) 1 ABCSQsABC
22
2
E
ABCABC s
sf
Resíduos SQE 23n – 1 – 7
823
2
nSQE
sE
Total SQT 23n - 1
No caso em que há k fatores, teremos:
Experimento fatorial geral 2k :
fatoresdosinteraçãodeefeitos
fatores3deinteraçãodeefeitos
fatores2deinteraçãodeefeitos
principaisefeitos
3
2
kk
k
k
k
k
Quando k é grande, a replicação de cada combinação dos fatores não
costuma ser realizada (quantidade proibitiva).
Assim, se todos os efeitos principais e de interação forem incluídos no
modelo do experimento, não sobram graus de liberdade para o resíduo.
Uma alternativa para este caso é empregar os gráficos de probabilidade
Normal (Q-Q Normal) para determinar a importância relativa dos efeitos.
Procedimento:
1. Calcule os efeitos: efeito = contraste / 2k-1
2. Construa um gráfico de probabilidade Normal com todos os efeitos
3. Os efeitos que caírem fora de uma linha reta devem ser considerados
relevantes
4. Faça a análise de variância para verificar a significância dos efeitos
avaliados como relevantes.
Experimento fatorial 2k não replicado:
Exemplo:
Um experimento fatorial 24 foi usado na investigação dos efeitos de 4
fatores na taxa de filtração de uma resina. Os fatores são: A = temperatura,
B = pressão, C = razão molar, D= velocidade de agitação
Experimento fatorial 2k não replicado:
Exemplo:
Desta forma, os efeitos relevantes são: A (temperatura), C (razão molar), D
(velocidade de agitação), AC (temperatura x razão molar) e AD
(temperatura x velocidade de agitação)
Experimento fatorial 2k não replicado:
Exemplo:
Experimento fatorial 2k não replicado:
Exemplo:
Experimento fatorial 2k não replicado:
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
PONTOS CENTRAIS em
EXPERIMENTOS 2k
Introdução:
Uma preocupação potencial no uso de experimentos 2k é a suposição de
linearidade nos efeitos dos fatores (como se trata de um projeto piloto, a
linearidade perfeita é desnecessária).
Nos casos em que a protação contra curvatura é necessária, a replicação de
pontos centrais (nc replicações no ponto xi = 0, i=1,…,k) é recomendada.
Exemplo:
(1)=39,3 a= 40,9
ab= 41,5b= 40,0
A: Tempo de reação (min)
Baixa:30 Alta:40
B: T
emp
eratura ( oC
)
Alta: 1
60
Baixa:1
50
40,3
40,5
40,7
40,2
40,6
35
155
-1 10-1
10
x : temperatura (o C)ídaFatores Controláveis: ída
2
ída y : rendimento do processo (%)Processo Químico
x : tempo de reação (min)1 Saída 1
Pontos Centrais - Avaliação:
As replicações são feitas nos pontos centrais pois desta forma não
repercutem nas demais estimativas de efeitos (principais e de interações):
Avaliação da linearidade: sejam yF a média das observações nos pontos
fatoriais e yC a média das nc observações no ponto central. Se a diferença
yF – yC não for significativa, então o ponto central estará próximo do plano
que passa através dos pontos fatoriais não havendo, portanto, curvatura.
Estatística do teste:
12
1
12
1A
:principaisEfeitos
ababnB
yB
yB
baabnA
yA
y
baabn
12
1AB:interaçãoda Efeito
Cn
FnC
yF
y112ˆt
curvatura
Pontos Centrais - Avaliação:
Exemplo:
Como tcurvatura < 2,306, não há evidência de curvatura na resposta, na região
de exploração (=5%).
252,0
5
1
4
1043,0
46,40425,40tcurvatura
425,404/5,419,400,403,39y
043,04
46,40
1ˆ
46,405/6,402,407,405,403,40y
F
5
1
22
2
C
i
i
C
centraispontos
Ci y
n
yy
(1)=39,3 a= 40,9
ab= 41,5b= 40,0
A: Tempo de reação (min)
Baixa:30 Alta:40
B: T
emp
eratura ( oC
)
Alta: 1
60
Baixa:1
50
40,3
40,5
40,7
40,2
40,6
35
155
-1 10
-11
0
Pontos Centrais - Avaliação:
De forma alternativa, é possível testar a curvatura por análise de regressão:
Modelo:
Se os efeitos jj não forem significativos, diz-se que não há curvatura.
Exemplo:
k
j
jjj
ji
jiij
k
j
jj xxxxy1
2
1
0
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatística de regressão
R múltiplo 0,97093208
R-Quadrado 0,942709104
R-quadrado ajustado 0,885418209
Erro padrão 0,207364414
Observações 9
ANOVA
gl SQ MQ F F de significação
Regressão 4 2,830222222 0,707555556 16,4547804 0,009470654
Resíduo 4 0,172 0,043
Total 8 3,002222222
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores
Interseção 40,46 0,09274 436,29140 0,00000 40,20252254 40,71747746
A: Tempo reação 0,775 0,10368 7,47476 0,00171 0,487131448 1,062868552
B: Temperatura 0,325 0,10368 3,13458 0,03503 0,037131448 0,612868552
AB -0,025 0,10368 -0,24112 0,82132 -0,312868552 0,262868552
Curvatura = A2 = B
2-0,035 0,13910 -0,25161 0,81374 -0,42121619 0,35121619
Para casa:
• Laboratório 8 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)
• Lista de exercícios 3 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)
• Leitura: Walpole et al. – cap. 15 (15.1 a 15.6): Experim. fatoriais 2k e frações
Montgomery e Runger – cap.14 (14.7): Desing of experiments ...