27

FZK SS Ortak

-MEF LE HAZIRLIK 2. SAYI-

!!"

#$"#

%&'

"

(#"

(

#$"#)"

1. MOMENT Daha nceki blmlerde cisimleri hareket ettiren, dengede tutan kuvvetleri ve bu kuvvetlerin bilekesini incelemitik. Bu blmde kuvvetin cisimler zerindeki bir baka etkisi olan dndrme etkisini inceleyeceiz. Gnlk yaantmzda musluu aarken, direksiyon evirirken, tornavida ile viday dndrrken, kapy, pencereyi menteeleri etrafnda dn-drrken de kuvvet uygularz. Bu rneklerden de anlala-ca gibi kuvvet cisimlere dnme hareketi de yaptrr. Kuvvetin dnme hareketi yaptran etkisine moment denir. 2. KUVVETN BR NOKTAYA GRE MOMENT ekil 1 deki P dzle-minde A noktasna uy-gulanan kuvvetin bu dzlemdeki O noktas-na gre momenti u e-kilde bulunur.

F

kuvvetinin dorultu-suna O noktasndan OH dikmesi indirilir.

F

nin O ya gre momenti, kuvvetin F bykl ile kuvvetin

O ya olan d dik uzaklnn arpmna eittir. Moment M

sembolyle gsterilir. Momentin bykl, M = F.d bantsyla bulunur. ekil 1 de OHA dik geninde, d = G . Sin olduundan, momentin bykl, M = F. G.Sin bantsyla da bulunabilir.

Moment vektrel bir byklktr. M

moment vektr ekil 1

deki gibi F

ile G nin oluturduu dzleme O noktasndan

diktir. M

moment vektrnn yn ise kuvvetin dndrme ynnde ilerleyen vida admnn ilerleme yndr. Kuvvetler cisimleri ya saat ibreleri ynnde ya da saat ibrele-rine zt ynde dndrrler. lemler srasnda bu ynlerden biri (+), dieri () alnr. I. Bir kuvvetin bir noktaya gre momenti kuvvetin noktaya olan dik uzakl ile doru orantldr.

ekil 2 (a) da F1 = F nin O noktasna gre momentinin bykl, M1 = F.d dir. ekil 2 (b) de F2 = F nin O noktasna gre momentinin bykl ise, M2 = F.2d dir. Buradan da grlecei gibi d uzakl bydke momen-tin bykl de artmaktadr. II. Bir kuvvetin etki izgisi ze-rindeki bir noktaya gre mo-menti sfrdr.

ekil 3 teki F

kuvvetinin etki izgisi zerinde O noktasna gre momenti sfrdr. nk O noktasnn kuvvetin etki izgisine olan dik uzakl d sfrdr. III. Bir eksen etrafnda dnen bir dzleme ayn noktada uygulanan eit kuvvetlerden dzleme dik olan kuvvetin momenti en byktr. ekil 4 (a) da ayn noktaya uygulanan eit byklkteki

1 2 3F , F ve F

kuvvetlerinden 2F

kuvveti dzleme dik oldu-

undan AB menteelerine gre momenti en byktr. ekil 4 (b) de O noktas etrafnda dnebilen ubua uygu-

lanan eit byklkteki 1 2 3F , F ve F

kuvvetlerinden 2F

kuvveti ubua dik olduundan O noktasna gre momenti en byktr.

MOMENT DENGE

*

+

,

(

28

FZK SS Ortak

-MEF LE HAZIRLIK 2. SAYI-

RNEK 1 G uzunluundaki AB ubuu A noktas evresinde dnebil-mektedir. Bu ubuun B ucu-na uygulanan R kuvvetinin, dik

bileenleri 1F

ve 2F

dir.

A noktasna gre R

kuvve-tinin momentinin bykl; I. M = R . d II. M = F1 . G III. M = F2 . G

bantlarndan hangileri ile bulunabilir? A) Yalnz I B) Yalnz II C) Yalnz III D) I ve II E) I ve III ZM Bir kuvvetin herhangi bir noktaya gre momentinin byk-l M=F.d bants ile bulunur. d, kuvvetin dnme nok-tasna dik uzakldr. Buna gre, R kuvvetinin A noktasna gre momentinin b-ykl M=R.d. dir. R nin dik bileenlerinin momentleri toplam R nin momentine eittir. F1 dik bileeninin A nok-tasna gre momentinin bykl M=F1 . G dir. F2 dik bi-leeninin dorultusu A noktasndan getiinden A nokta-sna gre momenti sfrdr. Yant: D 3. BR KUVVETN BR EKSENE GRE MOMENT ekil 5 teki ABCD dzlemi-ne dik olan y eksenine gre

F

kuvvetinin momenti u

ekilde bulunur. nce F

kuvvetinin ABCD dzlemi zerindeki izdm olan

1F

kuvveti izilir. y ekseninin

ABCD dzlemini kestii O

noktasndan 1F

in etki izgisine OH dikmesi indirilir. F

nin y

eksenine gre, momentinin bykl F1 ile F1 in O ya olan d dik uzaklnn arpmna eittir. Momentin bykl, M = F.d bants ile bulunur. ekil 5 teki dik gende, d = G.Sina olduundan, momentin bykl, M = F.G.Sina bantsyla bulunur. a. Bileke Moment Bir cisme veya sisteme birden ok kuvvet uygulandnda bu kuvvetlerin bir noktaya gre momentleri toplamna bi-

leke veya toplam moment denir. M

ile gsterilir. Top-

lam moment sfrdan farkl olursa cisim veya sistem dn-me hareketi yapar. b. Denge artlar Kat bir cismin dengede kalabilmesi iin hem teleme hemde dnme hareketini yapmamas gerekir. Bu da bir cismin den-gede kalabilmesinin iki arta bal olduuna gsterir. I. Denge art Kat bir cismin teleme hareketi yapmamas iin, cisme uygu-

lanan kuvvetlerin bilekesi sfr olmaldr (R = 0).

x

y

F = 0

F = 0 dr.

II. Denge art Kat cismin dnme hareketi yapmamas iin, cisme uygula-nan kuvvetlerin seilen bir noktaya gre toplam momenti sfr

olmaldr ( M

= 0). 4. PARALEL KUVVETLERN BLEKES a) Ayn Ynl Paralel Kuvvetler Bir AB ubuunun A ve B noktala-rna ekildeki gibi dorultular para-

lel, ayn ynl 1F

ve 2F

kuvvetleri

uygulayalm. Bu kuvvetlerin bilekesinin byk-l R = F1 + F2 dir. R nin uygulama noktas (O), AB dorusu zerindedir. Bu noktann yeri , F1 . |AO| = F2. |BO| bants ile bulunur. O noktas, byk olan kuvvete daha yakndr (ekil 6).

Uyar: Bileke kuvvetin uyguland noktaya gre sis-teme etki eden kuvvetlerin toplam momenti sfrdr. Bu noktaya, bileke kuvvete eit byklkte, ayn dorul-tuda, zt ynl bir kuvvet (dengeleyici kuvvet) uygula-nrsa sistem dengede kalr.

b) Zt Ynl Paralel Kuvvetler Bir AB ubuunun A ve B noktalarna ekildeki gibi dorultular paralel,

zt ynl 1F

ve 2F

kuv-

vetleri uygulayalm. Bu kuvvetlerin bilekesi-

-.

/

-0

1

*

2

,

3

%

-

29

FZK SS Ortak

-MEF LE HAZIRLIK 2. SAYI-

,",

4

4

5(

66

5(

00

6.

nin bykl F1 > F2 olmak kouluyla R= F1 F2 olur. R

nin uygulama noktas O, A ve B noktalarndan geen doru-nun zerinde, A ve B noktalarnn dnda, byk kuvvet tara-fndadr. Bu noktann yeri, F1 . |AO| = F2 . |BO| bants ile bulunur (ekil 7). c) Kuvvet ifti Bir AB ubuuna, ekildeki gibi, zt ynl, dorultular paralel, byk-lkleri eit F kuvvetleri uygulayalm. Bu kuvvetlerin bilekesinin byk-l sfrdr. Bu kuvvetlerin ubuk zerinde her-hangi bir noktaya gre momentleri toplam MT = F.d olur. ubuk bu kuvvetlerin etkisinde ekil 8 deki gibi O noktas et-rafnda dner. Bu kuvvetlere kuvvet ifti denir (ekil 8). d) Paralel Kuvvetlerin Dengesi

Arl nemsenmeyen AB ubuu bir destek zerinde 1F

ve 2F

kuvvetleriyle ekil 9 daki gibi dengede ise;

1 2F + F + N = 0

F1 . |AO| = F2 . |OB| dir.

Arl nemsenmeyen AB ubuu bir iple asl olarak 1F

ve

2F

kuvvetleriyle ekil 10 daki gibi dengede ise;

1 2T + F + F = 0

F1 . |AO| = F2 . |BO| dr. G arlndaki AB ubuu bir destek ve bir iple ekil 11 deki gibi dengede ise;

N + G + T = 0

G . |AO| = T . |AB| dir.

RNEK 2 Ktlesi m olan, eit blmeli, dzgn, trde bir ubua 2m ve m ktleli cisimler ekildeki gibi aslyor. Bu ubuk, hangi noktasndan aslp serbest braklrsa yatay dengede kalr? A) K noktasndan B) KL uzunluunun orta noktasndan C) L noktasndan D) LM uzunluunun orta noktasndan E) M noktasndan

(SS2004)

ZM Sistemin dengede kalabilmesi iin sisteme etkiyen kuvvetle-rin bilekesi sfr olmaldr. ubuk dzgn ve trde oldu-undan ktle merkezi ortasndadr. 2mg, mg ve mg kuvvetle-rinin bilekesi L noktasndadr. L ye gre moment alnrsa; 2mg.2 = mg.1 + mg.3 bantsnda 4mg = 4mg olduundan ubuk L den bir iple aslrsa dengede kalr. Yant: C RNEK 3 K noktasndan birbirine yaptrl-m olan O1 ve O2 merkezli, 2r ve r yarapl trde kreler ekildeki gibi dengedeyken destein tepki kuvveti ile ipteki T gerilme kuvveti eit byklkte olmaktadr. I kresinin arl 24N olduuna gre II kresinin arl ka N dur? A) 12 B) 24 C) 36 D) 40 E) 48

0,",

7

,",

8

,",

9

99

:

,",

;

30

FZK SS Ortak

-MEF LE HAZIRLIK 2. SAYI-

-

8

ZM F ve T kuvvetleri eit olduundan bu kuvvetlerin bilekesi K noktas-dr. ekildeki kuvvetlerin K nokta-sna gre momenti alnarak, GI.2r = GII.r GII = GI.2 GII = 24.2 = 48N bulunur. Yant : E RNEK 4 80N arlndaki O noktasn-dan dnebilen, bklm eit blmeli dzgn trde tel ekil-deki gibi dengededir. Buna gre, T gerilme kuvve-tinin bykl ka N dur? A) 40 B) 60 C) 80 D) 110 E) 120 ZM 80N arlndaki eit blmeli dzgn ve trde telin KL, LM ve MO paralarnn arlklar srasyla 20N, 20N ve 40N dur. Tele uygulanan kuvvetlerin O noktasna gre momenti alna-rak, T.2 = 20.3 + 20.4 + 40.2 T = 110N bulunur. Yant : D RNEK 5 40N arlndaki eit blmeli dzgn ve trde olan bir u-bua 20N arlndaki X cismi asl iken ubuk ekil-deki gibi dengededir. Sadece yatay dzlem sr-tnmeli olduuna gre, K noktasndan ubua uygu-

lanan SF

srtnme kuvveti

ile yatay dzlemin ubua uygulad TF

tepki kuvve-tinin bykl ka N dur? FS FT

A) 60 20 B) 40 20 C) 20 60 D) 60 40 E) 40 40

ZM ubua uygulanan kuvvetler ekildeki gi-bidir. AK = 40 cm olduundan her bl-mesi 10 cm dir. u-bua uygulanan kuv-vetlerin K noktasna

gre M

= 0 oldu-undan, F.70 = G.20 +Gx.30 F.70 = 40.20 + 20.30 F = 20N bulunur.

ubua uygulanan kuvvetlerin bilekesi R

= 0 dr.

x

S

y

T x

T

T

F = 0 olduundan

F = F = 20N dur.

F = 0 olduundan

F = G + G

F = 40 + 20

F = 60N bulunur.

Yant : C 5. KTLE MERKEZ Maddelerin atom ve molekllerine yer- kremiz tarafndan ktle ekim kuvveti uyguland iin, ok kk de olsa arlklar vardr. ekil