Moli e numero di Avogadro Una mole di una qualunque sostanza contiene un numero di atomi o molecole...
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Moli e numero di Avogadro Una mole di una qualunque sostanza contiene un numero di
atomi o molecole pari a NA=6,02×1023 (numero di Avogadro)
Il peso molare M di una sostanza è pari al peso di una mole della sostanza in esame
Massa di un atomo (molecola): Esempio: per l’alluminio M=26,9815 g/mol in 26,9815g di Al
ci sono NA atomi la massa di un atomo di Al è 4,48×10-23g
Data una massa Mcam di una sostanza, il numero di moli è:
Il numero di atomi è invece dato da:
ANMm
A
camcam
mN
M
M
Mn
AnNN
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I gas ideali A densità molto basse, i gas reali tendono ad
obbedire alla legge dei gas perfetti:
Nella precedente equazione T è la temperatura assoluta e R=8,31 J/(mol K)=0,082 l·atm/(mol/K) è la costante dei gas
Introducendo la costante di Boltzmann k=R/NA=1,38×10-23 J/K, la legge dei gas perfetti diventa:
nRTpV
NkTpV
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Isoterme reversibili per i gas perfetti p
V
Se T è costante, l’equazione pV=nRT
rappresenta un ramo di iperbole nel piano pVA
B
VA VB
Lavoro compiuto dal gas nel tratto AB:
A
BB A
B
A
B
A V
Vln nRTlnV nRTdV
V
nRTpdVL
Se VB>VA (espansione) è L>0; se VB<VA (compressione) è L<0
Legge di Boyle: pV=costante
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Isobare reversibili per i gas perfettip
V
Se p è costante, si ha un tratto di retta orizzontale
nel piano pVA B
VA VB
Lavoro compiuto dal gas nel tratto AB:
V pΔVVpdVppdVL AB
B
A
B
A
Se VB>VA (espansione) è L>0; se VB<VA (compressione) è L<0
1a Legge di Gay-Lussac: V/T=costante
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Isocore reversibili per i gas perfettip
V
Se V è costante, si ha un tratto di retta verticale nel
piano pV
A
B
Lavoro compiuto dal gas nel tratto AB:
BA
B
A
VVperchè 0 pdVL
2a Legge di Gay-Lussac: p/T=costante
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Calori specifici molari dei gas
Definizione di calore specifico: T mcΔQ
Esprimendo la massa m in termini del numero di moli n e della massa molare M, si ha:
T nCΔT ΔcMnQnMm
dove si è introdotto il calore specifico molare C=cM
Nei solidi e nei liquidi i calori specifici non dipendono dal tipo di trasformazione a cui essi sono soggetti
Nei gas invece i calori specifici dipendono dal tipo di trasformazione:
CV = calore specifico molare a volume costante
CP = calore specifico molare a pressione costante
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Espansione libera di un gas perfetto
Joule osservò sperimentalmente che la temperatura del gas non varia in seguito all’espansione, mentre cambiano sia p che V
L=0 perchè nell’espansione non c’è un pistone che si muove
Q=0 perchè il gas è termicamente isolato
per il primo principio della termodinamica anche ΔEint=0
essendo variati p e V, ma non T, Eint non può dipendere da p e V, ma dipende solo da T: Eint = Eint(T)
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Energia interna di un gas perfetto (1)p
V
Consideriamo un gas ideale che passa da uno stato iniziale A(pA,VA,TA) ad uno stato finale B(pB,VB,TB) seguendo il percorso AA’B (AA’ isocora, A’B isoterma)
A
A’
B
Variazione di energia interna:
AA'int,BA'int,Aint,A'int,A'int,Bint,
Aint,Bint,ABint,
E ΔE ΔEEEE
EEE Δ
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Energia interna di un gas perfetto (2)
Applichiamo la prima legge della termodinamica al tratto AA’ :
0LAA' perchè AA’ è isocora
Nel tratto A’B la variazione di energia interna è nulla perchè lungo A’B la temperatura non cambia ed Eint dipende solo da T:
0E Δ BA'int,
ABVAA'VAA' TTnCTTnCQ
AA'int,ABint, E ΔE Δ
ABVAA'AA'AA'int, TTnCLQE Δ
T ΔnCTTnCE Δ VABVABint, Dalle relazioni precedenti segue dunque che:
TnCE Vint
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Relazione di Mayerp
V
Consideriamo una trasformazione isobara AB e calcoliamo i valori di ΔEint , Q e LA B
ABP TTnCQ ABAB TTnRVVpL
RCTTnLQE Δ PABint
ABVint TTnCE Δ
RCC VP Dal confronto tra le due espressioni di ΔEint:
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Calori specifici dei gas
Tipo di gas CV CP γ= CP/CV
Monoatomico
(es. He, Ne, Ne, Ar ...)
(3/2)R (5/2)R 5/3
Biatomico
(es. O2, N2 ...)
(5/2)R (7/2)R 7/5
Poliatomico
(es. CO2, NH4 ...)
3R 4R 4/3
I valori dei calori molari vengono calcolati nell’ambito della teoria cinetica dei gas
Nel caso dei gas poliatomici occorre tener conto della struttura molecolare del gas
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Adiabatiche reversibili di un gas ideale
In una adiabatica il calore scambiato è nullo: Q=0Primo principio della termodinamica in forma differenziale:
dLdEdEdLdQ intint
Tenendo conto che Eint=nCVT e dL=pdV, si ha che:
pdVdTnCV
Ricavando la pressione dall’equazione di stato pV=nRT:
V
dV
C
R
T
dT
V
dVnRTdTnC
VV
Dalla relazione di Mayer R=CP - CV :
V
dV1γ
V
dV
C
CC
T
dT
V
VP
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Equazioni dell’adiabatica reversibileIntegrando la precedente equazione differenziale si ha:
costTVcostTVln
costlnV1γlnTcostlnV1γlnT1γ1γ
Ricavando la temperatura dall’equazione di stato pV=nRT :
costpVcostVnR
pVcostTV γ1γ1γ
Ricavando il volume dall’equazione di stato pV=nRT :
costTpcostp
nRTpcostpV γγ1
γ
γ
Esistono dunque tre equazioni per le trasformazioni adiabatiche reversibili, tutte equivalenti tra loro.
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Adiabatiche nel piano pVp
V
A
L’adiabatica passante per un punto A del piano pV ha, nel punto A, una pendenza maggiore (in modulo) rispetto all’isoterma passante per lo stesso punto
Il lavoro da A a B si può calcolare integrando la curva adiabatica da A a B oppure sfruttando il primo principio della termodinamica:
)T(TnCΔEL0Q BAVint
B
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Trasformazioni reversibili di un gas perfetto: quadro riassuntivo
Trasform. Equazione Q L ΔEint
IsocoraV=cost
p/T=costnCV(Tf - Ti ) 0 nCV(Tf - Ti )
Isobarap=cost
V/T=cost
nCP(Tf - Ti ) p(Vf - Vi )nCV(Tf - Ti )
IsotermaT=cost
pV=costnRTln(Vf /Vi ) nRTln(Vf /Vi ) 0
Adiabatica
pVγ=cost
TVγ-1=cost
p1-γTγ=cost
0 -nCV(Tf -Ti ) nCV(Tf - Ti )
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Macchine termiche Macchina termica = dispositivo che scambia calore
con l’ambiente e produce lavoro Per produrre lavoro in maniera continuativa, una
macchina termica deve operare in maniera ciclica se la macchina termica utilizza un gas perfetto, il
lavoro è pari all’area del ciclo nel piano pV Rendimento = rapporto tra lavoro compiuto dalla
macchina termica e calore assorbito in un ciclo
il rendimento di una macchina termica è un numero sempre compreso tra 0 e 1
il rendimento esprime l’efficienza della macchina
assQ
Lη
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Ciclo di CarnotIl ciclo di Carnot è costituito da due isoterme reversibili a
temperature TA e TB e due adiabatiche reversibili
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Rendimento del ciclo di Carnot (1)Calori scambiati dalla macchina nelle 4 trasformazioni:
0V
VlnnRTLQ
a
bAabab
0V
VlnnRTLQ
c
dBcdcd
0Qbc
0Qda
d
cB
a
bAdacdbcab V
VlnnRT
V
VlnnRTQQQQL
a
bAabass V
VlnnRTQQ
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Rendimento del ciclo di Carnot (2)Consideriamo ora le equazioni delle 4 trasformazioni:
γaa
γdd
ddcc
γcc
γbb
bbaa
VpVp
VpVp
VpVp
VpVp
γ
adγ
cbadcb
γdc
γbadcba
VVVVpppp
VVVVpppp
1-γa
1-γc
1-γd
1-γb VVVV
d
c
a
b
V
V
V
VTenendo conto dei risultati precedenti:
a
bBA V
Vln TTnRL
a
bAass V
VlnnRTQ
A
B
A
BA
T
T1
T
TTη
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Secondo principio della termodinamica
Il primo principio stabilisce la conservazione dell’energia, ma non pone limiti alle trasformazioni di energia da una forma all’altra
Il secondo principio invece stabilisce delle limitazioni precise alle trasformazioni di energia e individua il verso in cui avvengono spontaneamente i processi fisici
Esistono due enunciati del secondo principio, tra loro equivalenti: Enunciato di Kelvin-Planck: è impossibile realizzare un
processo che abbia come unico risultato la trasformazione in lavoro del calore fornito da una sola sorgente
Enunciato di Clausius: è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato il trasferimento di calore da un corpo ad un altro a temperatura maggiore