MODULO ARITMETICA: Números en la vida y en las

ciencias.

Prof. :Higinia Ríos

Introducción• Mucho antes de la invención de la escritura , el

ser humano hacía marcas en los muros de las cavernas que habitaba u ocupaba semillas para indicar “ cuántos” . Estas marcas provienen de contar .

• A medida que avanza el tiempo, surgió la necesidad de contar cantidades más grandes , para lo que hubo que inventar nuevos numerales y organizarlos en distintos sistemas de numeración.

• Los números que todos usamos (1,2,3,4, etc.) son llamados “números arábigos” para distinguirlos de los “números romanos” (I,II,III,IV,V,VI, etc), pero el origen de nuestro sistema viene de la India.

• Los árabes popularizaron éstos números, pero su origen se remonta a los comerciantes Hindúes y fenicios que los usaban para contar y llevar la contabilidad comercial.

ORIGEN DE LOS NÚMEROS• Las variadas formas de representar un número dieron

origen a diversas técnicas de numeración.

• El hombre primitivo a cada elemento de un conjunto de animales, por ejemplo, le hacía corresponder una piedra, o bien, hacía nudos en una cuerda por cada animal que tenía.

• Más tarde inventó símbolos escritos como una mejor forma

de recordar y comunicar las ideas de número.

La palabra cálculo viene del latín calculus, que significa piedra

• ¿Pero has pensado alguna vez por qué “1” significa "uno", “2” significa "dos“, etc.?

• ¿Cuál es la lógica que hay detrás de los números arábigos ?

• Curiosamente se hace una analogía con la geometría .

• Pues muy sencillo:

Se trata de ángulosEs pura lógica: Si escribes el número en su forma primitiva, verás que:

El número 1 tiene un ángulo.El número 2 tiene dos ángulos. El número 3 tiene tres ángulos.Y el "O" no tiene ángulos.

Una curiosidad de la forma de los números

5

Número y Numeral

Idea que se tiene de cantidad.

Representación de un número por medio de símbolos.

Número:

Numeral:

V

¿Qué es un Sistemas de numeración?

• Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos , reglas y principios, que permiten representar ideas numéricas .

Tipos de sistemas de numeración • 1.- Aditivos : Símbolos con solo valor

absoluto. Se van añadiendo los símbolos necesarios hasta que sumen el valor deseado.

• Ejem : egipcios = 22• 2.- Posicionales : Símbolos con valor absoluto

y relativo o posicional. Cada símbolo adquiere un valor distinto dependiendo de la posición que ocupa .

• Ejm. Sistemas de numeración de distintas bases , quinario(5),binario(2),decimal(10).

SISTEMAS DE NUMERACIÓN• Un sistema de numeración es un conjunto de

convenios o reglas que permite escribir todos los números utilizando un conjunto reducido de palabras y de símbolos.

• A lo largo de la historia este concepto ha ido evolucionando hasta llegar a un sistema con las características de posicional y potencial. El número en el que se efectúan los agrupamientos para conformar una unidad de nivel superior es llamado base del sistema.

• El sistema que empleamos habitualmente es decimal, es decir, de base diez.

Sistema de numeración Egipcia• La escritura egipcia tuvo su origen alrededor del

año 3.000 a. C. Los jeroglíficos o símbolos que usaban eran dibujos de la flora y fauna del Nilo.

• El sistema de numeración egipcio es decimal.

Esto quiere decir que agrupaban las unidades por un lado, las decenas por otro, centenas después, etc., exactamente de la misma forma que hoy en día. Naturalmente ellos requieren el empleo de símbolos para designar las cantidades dentro del mismo grupo.

• El procedimiento era de tipo aditivo, es decir, las

cifras eran repetidas. Así, por ejemplo, si el 1 se escribía con una línea vertical, el 4 era representado como 4 líneas verticales. Un símbolo no se repetía más de 9 veces seguidas, ya que a la décima vez se utilizaba el número siguiente. Este método aditivo implicaba que las cantidades ocupaban mucho espacio. Los egipcios ordenaban las cifras comenzando por la de más valor y así hasta llegar a la unidad.

En líneas generales se puede afirmar del sistema de numeración egipcio, que permite la descripción de grandes cantidades y que sus principales características son:

a) Es un sistema decimal que dispone de símbolos específicos para las unidades del mismo orden.

b) Es aditivo dentro de cada unidad.c) No conoce el valor de posición, ya que cada símbolo

representa la cantidad asociada al mismo independientemente del orden en que aparezca.d) No tiene símbolo para el cero, por cuanto no hay

necesidad de representar la ausencia de unidades en un orden determinado.

Sistema de numeración Romana• El sistema de símbolos para representar los números

creado por los romanos tuvo el mérito de ser capaz de expresar todos los números del 1 al 1.000.000 utilizando sólo 7 símbolos.

• Los símbolos básicos son: I = 1 se V = 5

X = 10 pueden L = 50 no se repiten

C = 100 repetir D = 500 M = 1000 3 veces

Reglas que se deben usar para la escritura de los números romanos:

1) Los símbolos se repiten no más de tres veces seguidas para formar números

mayores, sumándose sus valores. Los símbolos V, L, D no se repiten. III = 1 + 1 + 1 = 3 XXX = 10 + 10 +10 = 30

2) Los valores de los símbolos se suman cuando van a la derecha de uno mayor. VII = 5 + 2 = 7 XV = 10 + 5 = 15 LXII = 50 + 10 + 1 + 1 = 62

3) Los valores de los símbolos se restan cuando van a la izquierda de uno mayor. IV = 5 – 1 = 4 IX = 10 – 1 = 9 XL = 50 – 10 = 40

4) Además, I va sólo a la izquierda de V ó X ; X va sólo a la izquierda de L ó C y C va sólo a la izquierda de D ó M. 49 = XLIX no IL

5) Una raya encima de un símbolo, multiplica por 1000 el valor del símbolo, dos rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo.

Las reglas de los números Romanos , se basan en los principios de adición y sustracción. La ubicación de los símbolos en los distintos numerales, es de importancia en este sistema de numeración, no así en el sistema egipcio.

EJERCICIOS• Escriba con números egipcios y romanos lo

siguiente :• Años de servicio en educación=• Cantidad de alumnos=• Compañeras(o) del post-título=• Números:

Sistema de numeración Babilonio• El más interesantes de todos los antiguos

sistemas de numeración es el Babilónico que surgió aproximadamente en el año 2000 a. de C. Fue el primer sistema posicional de numeración conocido por nosotros. Los números en el sistema se representaban con la ayuda de sólo dos símbolos, una cuña vertical que representaba a la unidad y una cuña horizontal para el número diez. De ahí surgió la denominación de cuneiforme para la escritura de los antiguos babilonios.

• Con la ayuda de los dos signos mencionados, todos los números enteros del 1 al 59 conforme a un sistema decimal se podían escribir exactamente como en la numeración egipcia, es decir, que los signos para el diez y la unidad se repetían tantas veces como en el número hubiese decenas y unidades.

• Los símbolos que configuran los números son:

• En primer lugar , observamos que este sistema de numeración es posicional. Así un mismo signo puede representar diferentes valores dependiendo de la posición en que se encuentre:

• Primera posición: 1 • 1 = 1 • 600 = 1

• Segunda posición : 1 • 60 = 60

• Tercera posición : 1 • 60 • 60 = 3600 • Cuarta posición: 1 • 60 • 60 • 60 = 216000

etc.

• A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.

                                 

Ejercicios

¿Qué número es?• ………………………….. • El principio posicional, en la numeración babilónica, se

lleva a cabo en ordenes sexagesimales. Por tal motivo, dicha numeración se llama:

SISTEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL SEXAGESIMAL.

4° 3° 2° 1°

x 60x60x60 X 216000

x60x60 X 3600

X 60

X 1

Sistema de numeración Maya• Los mayas idearon un sistema vigesimal de base 20

con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 19. Contaban desde el cero hasta el 19 antes de empezar de nuevo con el siguiente orden.

• Los números de orden superior se escriben en columnas , unos sobre otros en lugar de filas como hacemos en la nomenclatura arábiga. Los números de pisos superiores representan múltiplos de 20.

• El sistema de numeración Maya requirió sólo tres símbolos:

• * La concha o caracolillo para representar el cero

• * El punto, para representar el número uno. •

• * La barra horizontal para representar el número cinco.

• Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno, un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.

• Es por tanto un sistema posicional que se escribe de arriba hacia abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

• Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que se indica la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula.

Sistema de Numeración Binario• El antiguo matemático Indio Pingala presentó la primera

descripción que se conoce de un sistema de numeración binario lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto de número cero.

• Para el sistema binario o base 2 se utilizan las cifras 0 y 1, es un sistema posicional. Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden forman la unidad de orden superior siguiente.

B2 = 0, 1 • Análogamente en el sistema de base 3 se utilizan las cifras 0, 1, 2,

en el de base 4 se utilizan las cifras 0, 1, 2, 3, etc. En general:

• Para traducir un numero binario a un número decimal, hay que tener en cuenta que cada posición de los números binarios tiene un "peso" especifico, y que cada vez que agregamos un cero a la derecha de un número binario, el número decimal correspondiente se multiplica por dos:

• Número binario/ Número decimal • 0 0• 1 1• 10 2• 100 4• 1000 8• 10000 16• 100000 32• 1000000 64• 10000000 128• 100000000 256• 1000000000 512• 10000000000 1024

• Puedes notar que una forma "sencilla" de calcular el número decimal es calcular la potencia de 2 de la posición-1 que ocupa el dígito binario. Por ejemplo, el binario 10000 se calcularía como 2 elevado a 4 = 16.

• El sistema binario por utilizar sólo dos símbolos , es tremendamente útil, en circuitos eléctricos permitiendo trabajar a gran velocidad.

• El sistema binario en vez de estar ordenado en potencias de 10 como el sistema decimal, está ordenado en potencias de 2

Ejm. 5610 = 1110002

• Puesto que sólo se necesitan dos dígitos (o bits) el sistema binario se utiliza en las computadoras. Un número binario cualquiera se puede representar, por ejemplo con las distintas posiciones en una serie de interruptores.

• La posición “encendido” corresponde al 1 y “apagado “ al 0.

De binario a decimal

• 910 = 10012

1 • 23 + 0 • 22 + 0 • 21 + 1 • 20

• 8 + 0 + 0 + 1 = 9

De decimal a binario

• 56:2= 28:2=14:2=7:2=3:2=1 0 0 0 1 1

• Se lee : 111000

Sistema de numeración Decimal• Características del sistema de numeración decimal: 

• 1.- El conjunto de símbolos básicos, llamados dígitos, que se usa es 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

 • 2.- El valor que representa un dígito de un numeral depende

de la posición que ocupe el dígito en ese numeral. Por ejemplo, el 7 en 37 tiene un valor de 7 unidades y en el 73,

de 7 decenas.

• 3.- Cada posición representa un valor de diez veces mayor que la que está en el lugar inmediatamente a su derecha.

• Por ejemplo, el dígito 7 en el 37 significa 7 • 1 y en 73 significa 7 • 10.

Un Sistema de Numeración, es un conjunto de reglas y principios, que se emplean para representar correctamente los números.

Entre estos principios tenemos:

1. Principio de Orden

2. Principio de la Base

¿ Qué es un Sistema de Numeración ?

3. Principio posicional

Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda.Ejemplo: 36

8

1. Principio de Orden

1er. Orden Unidad

2do. Orden Decena 3er. Orden Centena

Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la forma como debemos agrupar.

Ejemplo:

2. Principio de la Base

En el Sistema Decimal ( base 10) debemos agrupar las unidades de 10 en 10, veamos:

15

Grupos

Unidades que sobran

En un numeral toda cifra tiene un ”valor posicional”, veamos un ejemplo:

457

3. Principio posicional:

UnidadesDecenas

Centenas

La suma de los valores posiciónales, nos da el número.

Observación:

= 7•100= 7

= 5•101 = 50= 4•102= 400

400 + 50 + 7 = 457

Sistema de numeración decimal

• Algo de historia • Con frecuencia los nombres primitivos de los

números eran idénticos a las partes del cuerpo, como dedos de las manos y de los pies, u otras. Aun hoy, cuando hablamos de los «dígitos» refiriéndonos a los números de 0 a 9, estamos dando testimonio de este hecho, pues «dígito» deriva del latín «dígitus», dedo.

•

• La razón de que algunas culturas hayan usado la base 10, salta a la vista, ya que basta con mirarse las manos: tenemos 10 dedos. La mano es la primera calculadora de la historia, y su utilidad persiste, a pesar de los avances de las modernas calculadoras electrónicas.

• Sin embargo en la historia humana se han utilizado otras bases para los sistemas de numeración: base 12, base 20 y base 60.

• Para explicar la elección de la base 12 , tenemos que volver nuevamente a la mano y recordar que el ser humano es el único primate cuyo pulgar se puede oponer a todos los dedos. Por ello, con el pulgar se puede ir contando, con una sola mano, teniendo en cuenta que cada uno de los otros dedos tiene tres falanges. Es decir, la base 12 también la tenemos en la mano. Contar en base 12 es hacer agrupaciones de doce elementos, con lo cual la primera agrupación es la docena ( que al igual que la decena corresponde a la primera agrupación), y la siguiente son doce docenas, es decir 144 unidades. La base 12 aún se utiliza para contar productos como los huevos.

•

• La utilización de la base 20 por culturas como los Mayas, algunas africanas, asiática, así como la cultura esquimal, es bastante obvia “también se puede contar con los dedos de los pies”

• La base 60 fue utilizada por los antiguos babilonios, transmitida por los antiguos astrónomos, y aún tenemos restos de ella en nuestra cultura en la forma de medir el tiempo y los ángulos.

• Existencia del cero• Uno de los aspectos que hace que un sistema

tenga grandes ventajas es que cuente con el cero.• Los sistemas de numeración posicionales que no

tuvieron la existencia del cero no perduraron. Los únicos sistemas que tienen la presencia de este número son el Hindú y el Maya.

• Así como no puede afirmarse con seguridad qué civilización creó primero un sistema de numeración de carácter posicional, sí se puede asegurar con toda propiedad que el número cero es una creación de las culturas mesoamericanas

• . La fundamentación de esta afirmación está basada en que el cero hindú más antiguo proviene de una inscripción de Cambodia, en Indochina, que posee una fecha que corresponde al año 604 después de Cristo. Se sabe que las primeras fechas en que aparece el cero en las culturas mesoamericanas corresponde a los años 35 A. de C y 31 a. de C, según consta en la Estela 2 de Chiapas de Corzo y la Estela C de Tres Zapotes.

• Los hindúes sortearon el obstáculo de escribir un número como 7002 recurriendo a la palabra sunya que significa vacío, expresando el número como “dvi zunya zunya sapta” lo que en nuestro idioma se diría “Dos. Vacío. Vacío. Siete”.

• Los sabios de la India disponían ya de todos los ingredientes necesarios para el establecimiento de la numeración moderna:

• ∙ Poseían cifras diferenciadas y desvinculadas de cualquier intuición visual directa para la unidades del 1 al 9.

• ∙ Ya conocían el principio de posición. • ∙ Acababan de descubrir el cero. • Pero en esta fase, las cosas aún no estaban preparadas. Las nueve

cifras aún no estaban sujetas al principio de posición y esta regla, por el momento, sólo se aplicaba en palabras. En cuanto al cero todavía era oral. El milagro se produciría merced a la conjunción de estas tres grandes ideas mencionadas.

• El doble descubrimiento de la regla de posición y del cero se remonta, como muy tarde, al siglo V de nuestra era.

• A la humanidad le ha significado 5.000 años desde que aparecieron los primeros números, para llegar a disponer de un sistema de numeración decimal, posicional y con la existencia del cero. Es un período muy largo y que, por consiguiente, indica que hubo una gran cantidad de dificultades conceptuales que resolver. Esto revela que su aprendizaje por parte de los niños y adolescentes será lento, parcial y complicado.

Sistema de numeración decimal

• Este sistema de numeración utiliza 10 símbolos o dígitos :

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.• Es un sistema de numeración posicional, el valor

depende del lugar que ocupe cada dígito.

• Ejemplo: 24 = 20 + 4 = 2 D + 4 U• 42 = 40 + 2 = 4 D + 2 U

• Este sistema tiene diferentes ordenes o categorías de unidades

• 1º orden(unidades), 2º orden(decenas),3º orden (centenas)……..

• En este sistema , 10 unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del orden inmediatamente superior.

• Ejemplo: 10 unidades = 1 decena• 10 decenas = 1 centena• 10 centenas = 1 U. de mil

Tablero posicional del sistema de numeración decimal

MILLONES

Unidad de millón

Centena de Mil

Decena de Mil

Unidad de Mil

Centena Decena Unidad

1 1 1 1 1 1 1

106 105 104 103 102 101 100

10·10·10·10·10·10

10·10·10· 10·10

10·10·10·10 10·10·10 10·10 10 1

1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1

¿Por qué enseñar el Sistema de numeración decimal?

• Para el desarrollo del pensamiento • -Proceso de simbolización• -Operatividad del pensamiento• Para otros aprendizajes matemáticos• - Realizar operatorias• - Expresión de fracciones decimales en notación de

numeral decimal. Ejemplo : 0,4 = 4/10.• Medición utilizando sistema de unidades de medida

convencionales (1Km:1000m;1m:100cm.)

Tablero posicional con números decimales

Sistema de numeración decimalObjetivos del currículum escolar

• Leer y escribir numerales .• Reconocer la misma idea numérica a través

de diversas expresiones.• Determinar el valor posicional de las cifras en

el numeral.• Descomponer un numeral en expresiones

equivalentes

• Seleccionar la expresión equivalente de un numeral, más adecuada para la resolución de un determinado ejercicio de operatoria.

• Aplicar los principios de numeración decimal a situaciones variadas ( ejm. sistema métrico decimal).

• Establecer relaciones de equivalencia entre distintas órdenes del sistema de numeración decimal.

• Ejemplo:• 2895• 5 unidades = 5 • 1 = 5 • 9 decenas = 9 • 10 = 90 • 8 centenas = 8 • 100 = 800 • 2 unidades de mil = 2 • 1000 = 2000 • Entonces:

• El valor de un numeral es la suma de los productos de cada uno de los dígitos por su respectivo valor de posición.

 

Hagamos que la matemáticasea amigable .

Gracias