Módulo 4 – Sistema de Partículas e Momento Linear Momento linear Momento linear (quantidade de...
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Módulo 4 – Sistema de Partículas e Momento Linear
Momento linear
Momento linear (quantidade de movimento) de uma partícula:
vmp
• Grandeza vetorial• Unidades S.I. : kg.m/s
Momento linear e 2ª Lei de Newton:
amF
dt
vdmF
Se a massa é constante:
dt
vmdF
dt
Formulação original de Newton da sua 2ª
Lei
Conservação do momento linear
Considere um sistema isolado: Ausência de forças externasExemplo: Par de astronautas, onde há apenas forças internas
BAF sobre
ABF sobre
Par ação-reação: ABBA FF sobre sobre
Pela 2ª Lei:
dt
dt
AAB
BBA
sobre
sobre
Assim:
0 sobre sobre
dt
ppd
dt
pd
dt
pdFF BAAB
ABBA
Definindo o momento linear total:
BA ppP
Temos: 0dt
Pd
Na ausência de forças externas (sistema isolado), ou se a resultante das forças externas for nula, o momento linear total
se conserva
Lei de Conservação do Momento Linear:
• Pode ser facilmente generalizada para um número qualquer de partículas
• É consequência da 3ª Lei de Newton
Colisões
Antes
1v
2v
1v
2v
1m
2m
1m
2m
Durante
Depois
Interação entre pares de partículas com duração extremamente curta. Muitas vezes não conhecemos os detalhes da interação, temos acesso apenas às velocidades logo antes e logo depois da colisão.
Aplicações
Rutherford (descoberta do núcleo)
Física de partículas elementares
Na maioria das colisões, podemos supor um sistema isolado: Forças internas têm tipicamente duração muito mais curta e intensidade muito maior que as forças externas – podemos usar a conservação do momento linear
No entanto, a energia cinética não se conserva necessariamente:
• Colisão elástica: energia se conserva
• Colisão inelástica: energia não se conserva
• Colisão totalmente inelástica: perda de energia cinética é máxima (partículas ficam grudadas depois da colisão)
Colisões elásticas
Caso geral em 1D AvA B
Bv
ANTES
AvA B
Bv
DEPOISConservação do momento linear:
BBAABBAA vmvmvmvm
Conservação da energia:
2222
2
1
2
1
2
1
2
1BBAABBAA vmvmvmvm
Conhecendo-se as massas e as velocidades iniciais, podemos obter as velocidades finais (2 equações e 2 incógnitas)
Caso particular em 1D: uma das massas inicialmente parada Av
A B
0Bv
ANTES
AvA B
Bv
DEPOISConservação do momento linear:
BBAAAA vmvmvm
Conservação da energia:
222
2
1
2
1
2
1BBAAAA vmvmvm
Depois de alguma álgebra:
ABA
AB
ABA
BAA
vmm
mv
vmm
mmv
2
AB
A
vv
v 0Caso ainda mais particular: BA mm
Procedimento experimental
Seguindo o guia de laboratório, faremos 2 experimentos: colisão elástica e colisão totalmente inelástica
I – Colisão Elástica
a. Selecionar 2 carrinhos com massas idênticasb. Verificar a instalação do centelhador para que ele
registre o movimento de ambos carrinhosc. Montar uma tabela x(t) para os dois carrinhosd. Obter, a partir do programa de ajuste linear, as
respectivas velocidadese. Verificar a conservação do momento linear e da energia
cinéticaf. Fazer gráfico x(t) para os dois carrinhos na mesma folha
de papel
IncertezasMomento linear de uma partícula:
22
v
v
m
mpp
mvp
Se pudermos desprezar a incerteza da massa: v
vpp
Momento linear total de 2 partículas:
22BA
BA
ppP
ppP
Energia cinética de uma partícula (como vimos no Módulo 3):
22
2
4
2
1
v
v
m
mKK
mvK
Se pudermos desprezar a incerteza da massa: v
vKK
2
Energia cinética total de duas partículas:
22BA
BA
KKK
KKK
(fim da primeira aula)
Centro de massa
Posição do centro de massa de um sistema de N partículas:
Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas
N
ii
N
iii
N
NNcm
m
rm
mmm
rmrmrmR
1
1
21
2211
...
...
0
1
2
i
ir
Em componentes:
N
ii
N
iii
N
NNcm
m
xm
mmm
xmxmxmX
1
1
21
2211
...
... (idem para y e z)
Movimento do centro de massa
N
NNcm mmm
rmrmrmR
...
...
21
2211
Velocidade do centro de massa:
N
NNcmcm mmm
vmvmvm
dt
RdV
...
...
21
2211
Massa total: NmmmM ...21
PvmvmvmVM NNcm
...2211 (momento linear
total)
Momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de
massa
Como vimos, se a resultante das forças externas for nula, ou se o sistema for isolado:
constanteP
constante cmV
Colisões no referencial do centro de massa:
• ausência de forças externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela colisão
• referencial do c.m. é inercial
Av
BA
Bv
Referencial do c.m.
AuA B
Bu
Bv
Av
A B
Referencial do laboratório
Trajetória do c.m.
C.m. está parado
Au
Bu
A B
Velocidades no referencial do centro de massa:
cmBB
cmAA
cmBB
cmAA
Vvu
Vvu
Vvu
Vvu
Conservação do momento linear:
BBAABBAA vmvmvmvm
cmBBcmAAcmBBcmAA VumVumVumVum
BBAABBAA umumumum
Momento linear também se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)
Energia cinética no referencial do lab:
Antes: 22
2
1
2
1BBAAc vmvmE
Mudança de variáveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:
l)referencia do (independe BABArel
BA
BBAAcm
uuvvv
mm
vmvmV
Invertendo, obtemos:
relBA
AcmB
relBA
BcmA
vmm
mVv
vmm
mVv
22
2
1
2
1BBAAc vmvmE
Substituindo na expressão para a energia cinética:
22
2
1
2
1
relBA
AcmBrel
BA
BcmAc v
mm
mVmv
mm
mVmE
Após alguma álgebra:
22
2
1
2
1rel
BA
BAcmBAc v
mm
mmVmmE
Definindo: (massa total) e
(massa reduzida)
BA mmM
BA
BA
mm
mm
Obtemos finalmente:
22
2
1
2
1relcmc vMVE
Energia cinética do movimento do centro de massa
Energia cinética do movimento relativo
Análise:
1. Parece com a expressão da energia cinética de duas “partículas”
2. No referencial do c.m., temos:
Ou seja, a energia cinética depende do referencial, e a energia cinética mínima é aquela calculada no referencial do c.m.
0) c.m. do vel.(2
1 2 relcmc vE
3. Antes e depois de uma colisão, a velocidade do c.m. não varia, de modo que a variação da energia cinética é:
Ou seja, a variação de energia cinética não depende do referencial (como esperado)
22
2
1
2
1relrelc vvE
4. Em uma colisão elástica, temos:
Ou seja, o módulo da velocidade relativa não é alterado pela colisão
relrelrelrelc vvvvE
02
1
2
1 22
5. A perda máxima de energia cinética (colisão totalmente inelástica), ocorre quando:
Desta forma, explica-se porque as partículas ficam “grudadas” depois de uma colisão totalmente inelástica
222
2
1
2
1
2
1relrelrelc vvvE
0
II – Colisão Totalmente Inelásticaa. Selecionar 2 carrinhos com massas diferentes: o carrinho
inicialmente em repouso deve ter massa 100g maior que a do carrinho incidente
b. Verificar a instalação do centelhador para que ele registre o movimento de ambos carrinhos
c. Montar a seguinte tabela:
d. Seguindo o guia, calculamos a energia e o momento linear antes e depois da colisão, em ambos referenciais
e. Fazer gráficos de x1, x2 e XCM em uma folhaf. Fazer gráficos de x’1 e x’2 (posições no ref. Do CM) em
outra folha
t(s) x1 (cm)
δx1 (cm)
x2 (cm)
δx2 (cm)
XCM (cm) δXCM (cm) x'1 (cm) δx'1 (cm) x‘2 (cm) δx‘2 (cm)
0,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...0,1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...0,2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Procedimento experimental
Incertezas
Posição do centro de massa:
21
2211
mm
xmxmX cm
21
22
212
222
21
21
21
cm 1,01
mm
mmxmxm
mmX cm
(desprezando as incertezas nas massas)
Posições no referencial do CM: cmii Xxx
22cmii Xxx