Modulo 10. Numeros Complejos
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Estudios Matemáticos Argentera
“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. Albert Einstein
Albert Einstein: (1879-1955), Científico Alemán,
nacionalizado estadounidense. Es uno de los científicos más conocidos y trascendentes del Siglo XX. En 1905, Hizo la ecuación de la física más conocida, masa-energía, E=mc², también publicó ciertos escritos concernientes a la física estadística y la mecánica cuántica. En 1915 presentó la teoría restringida de la relatividad, la teoría sobre foto efecto y explicación del movimiento Browniano. Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921 por su explicación del efecto fotoeléctrico y sus numerosas contribuciones a la física teórica.
La crisis según Albert Einstein…. “No
pretendamos que las cosas cambien, si siempre hacemos lo mismo. La crisis, es la mejor bendición que puede sucederle a personas y países, porque la crisis trae progresos. La creatividad nace de la angustia como el día nace de la noche oscura. Es en la crisis que nace la inventiva, los descubrimientos y las grandes estrategias. Quien supera la crisis se
supera a sí mismo sin quedar superado. Quien atribuye a la crisis sus fracasos y penurias, violenta su propio talento y respeta más a los problemas que a las soluciones. La verdadera crisis, es la crisis de la
incompetencia. El inconveniente de las personas y los países es la pereza para encontrar las salidas y
soluciones. Sin crisis no hay desafíos, sin desafíos la vida es una rutina, una lenta agonía. Sin crisis no hay méritos. Es en la crisis donde aflora lo mejor de cada uno, porque sin crisis todo viento es caricia. Hablar de crisis es promoverla, y callar en la crisis es exaltar el conformismo. En vez de esto, trabajemos duro. Acabemos de una vez con la única crisis
amenazadora, que es la tragedia de no querer luchar por superarla.”
Página 2
Los Números complejos
Historia
Los números complejos surgen para dar soluciones a ecuaciones como 2 1 0x , pues como sabemos no existe ningún número real x cuyo
cuadrado sea -1, por lo que los matemáticos de la antigüedad
concluyeron que no tenía solución.
Los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la
falta de un equivalente dentro de las geometrías, Para ellos, todo
número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura
plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda
la matemática y esto, por supuesto, retardo considerablemente el
desarrollo de los sistemas numéricos.
Sin embargo, a mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano
Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar
con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de
números negativos.
Luego el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el moderno
símbolo i para 1 en 1777 y formuló la expresión 1 0ie la
ecuación más misterios de la historia de las matemáticas.
El matemático alemán Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799,
demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que
todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz
compleja. Después para 1825, continuando con el estudio de las
funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy
generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para
funciones de variable compleja.
Página 3
Importancia de los números complejos.
En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir
circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece
explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es
fundamental en la teoría cuántica del átomo. El análisis complejo, que
combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha
aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño
de alas de avión.
Los números complejos se utilizan en todos los campos de las
matemáticas, en la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en
ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones,
por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y
la corriente eléctrica.
Definición de Número Imaginario.
Es la raíz cuadrada de todo número negativo. Cada número imaginario
puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad
imaginaria, con la propiedad:
Todo número imaginario se puede expresar como el producto de un
número real por la unidad imaginaria.
Ejemplo: 25 5; 36 6i
Potencia de un número imaginario.
Para determinar a que es igual la potencia de un imaginario donde su
exponente sea mayor o igual a cuatro, dividimos dicho exponente entre
4 y el residuo resultante lo colocamos como exponente de i. Ver las
siguientes reglas.
Página 4
3 1
2 2
1 3
4
1 1
1
Re :
1o
i i i i
i i
gl
i i i i
i i
as
17 1 54 2
Ejemplos: Buscar las siguientes potencias
a) 1 b) 1i i i i
En b el proceso fue que 54 dividido entre 4 es igual a 13 y sobran 2,
cuando chequeamos las anotaciones tenemos que 2 1i
Número complejo en forma canoníca.
Se define como un par ordenado de números reales cuya primera
componente es la parte real y cuya segunda componente es la parte
imaginaria.
Ejemplo 1: (5,2) es un complejo cuya parte real es 5 y cuya parte imaginaria es 2.
Ejemplos 2: Escribir en Forma Canónica los siguientes números complejos
Solución: a) 2+3i = (2,3) c) 5-7i = (5,-7)
b) -4+i = (-4, 1) d) 9-i = (9,-1)
Números complejo en forma binómica
Sea ( , )a b un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la
forma: ( , ) ( ,0) (0, ) (1,0) (0,1)a b a b a b
Pero como (1,0) 1 y (0,1) i , entonces ( , )a b a bi . En este caso a bi se
llama forma binómica o binomia del número complejo.
Se expresa de la forma “a+bi”, siendo a y b números reales. El primer
término a se llama parte real y el segundo bi se llama parte
imaginaria.
Página 5
Ejemplo: 2-4i su parte real es 2 y la parte imaginaria es -4i.
Ejemplos: Escribir en Forma binómica los siguientes números complejos
Solución: a) (6,2) = 6+2i c) (-3,-4) = -3-4i
b) (7,-4) = 7-4i d) (2,-1) = 2-i
Complejo Real Puro: Es aquel cuya componente imaginaria es nula.
Ejemplos: 8+0i = 8; -3+0i = -3 ; 7-0i = 7
Complejo Imaginario Puro: Es aquel cuya componente real es nula.
Ejemplos: 0+9i = 9i; 0-3i = -3i; 0+6i = 6i
Complejos opuestos
Si al número complejo lo representamos por ( + )a bi , El opuesto de este
complejo seria = ( )a bi , Por lo tanto, para determinar el opuesto de
un complejo se le cambian los signos a ambas partes.
Ejemplos:
1) El Opuesto de: 3+4i = -3-4i
2) El Opuesto de: -8+3i =8-3i
3) El Opuesto de: 1-i = -1+i
Conjugado de un número complejo.
Es aquel que difiere únicamente en el signo de de su componente
imaginaria.
Ejemplo:
2 3
25
2 3
25i
i
i
i
Página 6
Reciproco de un número complejo:
También llamado inverso multiplicativo de un número complejo
corresponde al único número complejo que multiplicado con el número
complejo inicial a bi da como resultado el neutro multiplicativo
1,0 . Y este único número lo encontramos de la siguiente forma:
Demostración: Encontrar el inverso de ( )a bi
1. Elevar el complejo a 1( )a bi
2. Representar el complejo de forma 1
( )a bi
3. Multiplicar por su conjugado 1 a bi
a bi a bi
Realizar la multiplicación2 2 2
1
( )
a bi a bi
a bi a bi a abi abi b i
Simplificamos
2 2 222 2 2( ) (
1
)( 1)
a bi a b
abi
i
a a abi a bi
a bi
a bi
a bi
aa bi i a bb b bi
Por lo que obtendremos 2 2
a bi
a b
Ejemplos: Encuentra el reciproco de (8, 6 )i .
1. Eleva el complejo a -11(8, 6 )i
2. Representa el complejo de forma1
(8 6 )i
3. Multiplica por su conjugado 1 8 6
8 6 8 6
i
i i
Realiza la multiplicación2
1 8 6 8 6
8 6 8 6 64 48 48 36
i i
i i i i i
Página 7
2
1 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6
8 6 8 6 64 48 48 36 64 (36)( 1) 64 36 100
i i i i i
i i i i i
4. Simplificando obtendremos : 4 3
50
i
Para comprobar si este es el reciproco basta con multiplicar nuestro
compuesto original (8, 6 )i con el reciproco encontrado4 3
50
i. Así:
24 3 32 24 24 18 32 18 508 6 1
50 50 50 50(1,0)
i i i ii
.
Representación Gráfica de los Números Complejos.
La Representación Gráfica de Números Complejos se debe a Carlos
Federico Gauss. Este empleó el sistema de Coordenadas Rectangulares.
En donde el eje (x) sería el eje Real, y el eje (y) sería el eje Imaginario.
Por esta razón a este plano se le denomino plano Gaussiano.
El Punto que corresponde a un complejo se le denomina afijo del
complejo.
Página 8
Operaciones de números complejos
Suma y diferencia de números complejos
La suma y diferencia de n meros complejos se realiza sumando las
partes reales y las partes imaginarias, la parte imaginaria tambi n
la podemos representar con una j.
(a bj) (c dj) a c b d
ú
é
(a bj) (c dj) a c b d
Ejemplo : Realizar las siguientes operaciones.
9 2 1 3 4 2
9 1 4 2 3 2 4 7
j
j
i i i
i i
Multiplicación de números complejos
: Re 5 2 · 2
(a b ) · (c
3
d ) ac bd ad bc
10 15 4 6 ² 10 11 6 16 11
Ejemplo
i i i
i i i i
aliza i i
i
División de números complejos
El cociente de números complejos se hace racionalizando el
denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el
conjugado de éste.
2 2
x iy
a ib
2 iEjemplo: Resolver
5
x iy ( ) ( ).
a ib
2 i 5 - 3i (10 3) (5 6 ).
5 3i 5 - 3i
1
25 9
3
3i 34
a ib ax by ay bx i
a ib a b
i i i
Página 9
2zz z
Forma modulo argumental de un complejo z .
Sea ( , )z a b a bi un número complejo cualquiera.
Llamaremos módulo del número complejo , al número real dado por 2 2a b y lo denotaremos por
2 ( )( ) ( ) ( ) 0z z a bi a bi abi abi yi a b ab ab i a b i a b z
El módulo se interpreta como la distancia al origen del número z.
Cálculo del argumento.
arg( ) arctan( )b
za
Demostración:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( )( ) ( ) ( )
0
zz a bi a bi a abi abi y i a b ab ab i
a b i a b z
Página 10
Ejemplo 1: Expresar en forma módulo argumental ( 2,2 )Z i
2 2
2 2
yz = x +y α=arctang
x
2z = (-2) +(2) α=arctang
-2
z = 4+4 α=arctang-1
8 135
2 2
z
z
z
1352 2
Ejemplo 2: Determinar módulo y argumento de 2 2i ;
2 22 2 2 2 8 2 2i
2
arg(2 2 ) 12 4
i arctg arctg
4
2 2z
Operaciones de números complejos en su forma de Módulo
argumental.
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
9030 60
3 5
2 2
Ejemplos: Realiza las siguientes operaci
a) Producto.
^
. .
a) 9 4 36
) 7 2 14
ones.
z z z z
z z z z z z
b
Página 11
1 1 2 2
1 11
2 2 2
100
45
55
23
2
2
b) Divisi .
^
Ejemplos: Realizar la siguiente operaciones
81) 2
4
502) 10
5
n
Si z z z z
z zz
z z z
ó
1 1
1 1 1
33
50 3(50
c) Potenciaci .
Si es un conplejo en su forma mod-arg. y n es un expoente
positivo, por lo tanto tendremos que:
Ejemplos: Realiza las siguientes operaciones
1) 7 7
nn n
n
n
z z
z z z
ó
) 150
2
5 10
7 7
343
2) 4 16
Página 12
d) Radicaci .
En la extracci de raices hay que tener presente que todo numero complejo
diferente de cero tiene dos raices cuadradas, tres c bicas, cuatro raices cua-
dradas y asi sucesivamente hasta n
n
n
ó
ó
ú
1
2
- sima raices.
Si w es un conplejo en su forma mod-argumental
entonces sus raices la podemos calcularlas por medio de las expresiones.
) En radianes: w= ; 0,1,2,3, 4,5nnk
n
z
a z z k
é
1
360
45
Ejemplos: Realiza las siguientes operaciones
,6,..., 1
) En Sexagesimal: w= ; 0,1,2,3,4,5,6,..., 1
a) Buscar las tres raices cúbicas de 8 en forma módulo argumental.
1) Cua
nnk
n
n
a z z k n
3 45 360 (0)0
3
1 45 360 (1)
3
2 45 360 (2)
3
13
6
2
15
(0)46
04
255
4
5
2
ndo k=0 8
2) Cuando k=1 2
3) Cuando k=2 2
) Busca las cuatro raices cuartas de 1 .
1) Cuando k=0
2
2
2
1 1
2)
w
w
w
b
w
2(1)46
14
2(2)46
24
2(3)46
3
25
13
24
4
47
2
3
24
Cuando k=1 1
3) Cuando k=2 1
4) Cuando k=3
1
1
1
1
w
w
w
Página 13
Forma trigonométrica de un número complejo
Viene dado por la expresión w cos isen w donde ya sabes que
z es el modulo y su argumento.
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
1 21:
a) Product
20( 90
5( 30 30
o.
( ) ^ ( )
.
. 5 4 30
) ^ 4( 60 60 )
60 3
90 )
0 60
Ejemplo Multiplicar w Co
w w Cos isen w w Cos isen
w
s
Cos
isen w Cos ise
w w w Cos isen
w w Co
i
s isen
s
n
en
Ejemplo 2 : 5 cos90 i sen90 . 3 cos60
:15
i
co
sen
s150
6
i se 150
0
nSolucion
Página 14
División de números complejos
Para dividir dos números complejos en forma trigonométrica se dividen
los módulos y se restan los argumentos.
1 1 2 2
2
2
2
11
2
1
11: Dividir 10( 300 300 ) ^ 5( 120 120 )
b) División.
( ) ^ ( )
10
2( 180 180
300 120 300 1205
)
Ejemplo w Cos
w w Cos isen w w Cos isen
wwCos isen
w w
wCos
i
isen
Cos ise
sen w Cos ise
Ej
n
n
w
1 2
1
2
2 : 32( ) ^ 8( )
32
8 7 2 7 2
45
7 7
7 7
2 2
5C
emplo Dividir
os ise
wCos
w Cos isen w Cos is
n
en
isenw
Página 15
Es a trav s del cual podemos desarrollar cualquier potencia sin tener que
desarrollar la formula de Newton.
[ (cos i sen )] (cos + i
Teorema de De Moivre
Ejemplo 1: Determine
sen ); .
n n n
é
z w w n n n z
3
3
El argumento de 1 3 es y su modulo es 3 1 3 23
2(cos sen ) ahora aplicando potencia tenemos que3 3
2(cos sen )
(1 3) mediante el Teore
8(cos
ma de De Moi
)
vre
8( 1 + 3 3
z i i
z i
i ise
i
n
0 8)i
5
5Ejemplo 2: Determine 2( 30 30) mediante el Teorem
2 5*30 32 os150 15
a de D
5
e Moivr
*
e
0 03Cos is
Cos ise
en C e
n
iS n
Página 16
5 3
9 14
15
3
2 7
4
1 5
1 5
2 4
100 200
143 521
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ACTIVIDADES
I. Identifique la parte real y la parte imaginaria de los siguientes
números complejos:
II. Encuentre el opuesto de:
3 2
4 1
7 2
4 9
45 3
37 5
i
i
i
i
i
i
Página 17
20,3
3
(9 30 )
(8 15 )
(14 17 )
i
i
i
i
III. Encuentra el conjugado de:
5 3
9 14
15
1 4
235 7
1000
1 12
9 3
25 4
60 30
22 44
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
IV. Encuentra el reciproco de:
768 881
315
1 4
235 7
1000
1 12
4 1
7 2
4 9
45 3
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Página 18
5 3
9 14
15
3
2 7
4
1 5
1 5
2 4
100 200
143 521
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
V. Representa en forma binómica los siguientes pares ordenados.
4,1
7, 2
4,9
45, 3
(5,3 )
(9,14 )
(15, )
(1, 4 )
(235,7 )
(1000, )
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
VI. Grafica los siguientes complejos:
Página 19
VII. Determinar el módulo y argumento de los siguientes números
complejos:
) ( 1, 3 )a Z i
) (4 8 )b Z i
c) (1 44 )Z i
d) (4 8 )Z i
e) 2 2i
5
)3
f i
) 3g i
)(1, 2 )h i
20 Precálculo
VIII. EJERCICIOS PROPUESTOS
Expresa en forma trigonométrica:
4 + 4i
−2 + 2i
-3 + 3i
2+ 2i
5 / 3i
√3 + i
3 – 4i
17i
2 + 5i
5 + 4i
21
IX. En los ejercicios siguientes utilice el teorema de De Moivre
para determinar la potencia indicada del número complejo.
Escriba respuesta en la forma estándar a + bi.
1. 3
cos sen4 4
i
2. 3 3
3 cos 2 2
i sen
3.
3
3 32 cos
4 4i sen
4.
4
5 56 cos
6 6i sen
5. 5
1 i
6. 20
3 4i
7. 3
1 3i
8.
3
1 3
2 2i
22
Bibliografía
Ditutor.com. (n.d.). Retrieved from ditutor.com:
http://ditutor.com/numeros complejos/operacionescomplejos.html
Encarta Microsoft Corporation. (2007). Numeros Complejos.
Geraldino, R. P. (1999). Matematicas 4to. Segundo Ciclo Nivel medio.
Santo Domingo: Santillana.
Lenner, S. (2006). Precalculo 6ta Edicion. Mexico: Pearson Education.
Murillo, P. J. (2010). Coordenadas Polares. 3-5.
Slideshare. (2006). Retrieved Marzo 30, 2010, from Slideshare.net:
http://slideshare.net/darkapalmira/nmenor-complejos-1906395
Thdes.cica.es. (2005, Abril 23). Retrieved Marzo 30, 2010, from
Thdes.cica.es/recursos matematicos:
http://www.thdes.cica.es/recursos matematicos
Wikipedia. (n.d.). Wikipedia. Retrieved marzo 27, 2011, from
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
“Forma trigonométrica de números complejos” en:
http://www.luiszegarra.cl/algebra/cap8.pdf
“Forma trigonométrica de números complejos” en: www.Wikipedia.com
“Forma trigonométrica de números complejos” en: http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4comte40.pdf
“Módulo de números complejos” en : http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
“Módulo de números complejos” en:
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/complejos.htm#Forma%20polar
“Modulo de Números complejos” en: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_complejos/ap04_n
umeros_complejos.php
23
“Números complejos” en: www.wikipedia.com
“Números complejos” en: www.ditutor.com
“Teorema de Moivre” en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_De_Moivre-Laplace
“Teorema de Moivre” en: http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/d/demoivre
stheorem.htm
“Teorema de Moivre” en: http://www.ditutor.com/distribucion_normal/teorema_moivre.html
Frase de Albert Einstein http://www.proverbia.net/citasautor.asp?autor=
es.wikipedia.org/wiki/Albert Einstein
Revisado el 24 de abril 2012.
Prof. Wilton Oltmanns
Ser sincero no es decir todo lo que se piensa, sino no decir nunca lo contrario de lo que se piensa. Autor Pendiente