dipôle – conducteurs et condensateursquelques éléments et notions à retenir

Département de Médecine DentaireFaculté de Médecine - Université ALGER 1

Module de BiophysiqueELECTRICITE ET BIOELECTRICITE

Professeur M. CHEREF

A- Electrostatique

VII– Dipôle électrique (1)

Définition

aq

Un dipôle électrique : deux charges q et q’ égales et de signes contrairesséparées par une distance a

Moment dipolaire p

q > 0-q

aqp

p

VII– Dipôle électrique (2)

Potentiel V créé par un dipôle p (1)M

q-q

q > 0

a

r1

r2

2121M r

qrqK

rq)(

rqKV

21M r

q)(KrqKV

21

12

21M rr

rrqKr1

r1qKV

VII– Dipôle électrique (3)

Potentiel V créé par un dipôle p (2)M

q-q

q > 0

a

r1

r2

r

OBA

HYPOTHESEr >> a

21

12

21M rr

rrqKr1

r1qKV

21

12M rr

rrqKV

(MA) // (MB) // (MO)

VII– Dipôle électrique (4)

Potentiel V créé par un dipôle p (3)

(MA) // (MB) // (MO)

HYPOTHESEr >> a

OHOMBM

21

12M rr

rrqKV

q > 0

a/2a/2

H’ H 'AHOMAM

cosθ2arr1

cosθ2arr2

VII– Dipôle électrique (5)

Potentiel V créé par un dipôle p (4)M

q-q

q > 0

a

r1

r2

r

OBA

HYPOTHESEr >> a

(MA) // (MB) // (MO)

21

12M rr

rrqKV

cosθ2arr1 cosθ

2arr2

et

cos2

cos2

r

)cos2

(cos2

rqKVM ara

ara

VII– Dipôle électrique (6)

Potentiel V créé par un dipôle p (5)M

q-q

q > 0

a

r1

r2

r

OBA

HYPOTHESEr >> a r² >> a²

cos2

cos2

r

)cos2

(cos2

rqKVM ara

ara

θcos4a r 2

22

r² >> a². cos²

2

22

M

cos4

r

cosqKVa

a

VII– Dipôle électrique (7)

Potentiel V créé par un dipôle p (6)M

q-q

q > 0

a

r1

r2

r

OBA

HYPOTHESEr >> a r² >> a²

θcos4a r 2

22

r² >> a². cos²

2

22

M

cos4

r

cosqKVa

a

2M r

cosθaqKV

2M rcosθaqKV

2rcosθpK

VII– Dipôle électrique (8)

Champ électrique E créé par un dipôle (1)

Petit Rappel Mathématique

O i

j

A

xA

yA

X

Y Coordonnées CartésiennesA (xA,yA)

Coordonnées PolairesA (,)

VII– Dipôle électrique (9)

Champ électrique E créé par un dipôle p (2)

rVEr

Vgrad

V E

θrVEθ

En coordonnées polaires (r, )

Composante radiale Composante tangentielle

VII– Dipôle électrique (10)

Champ électrique E créé par un dipôle p (3)

rVEr

θr

VEθ

Le Champ électrique en coordonnées polaires (r, )

Composante radiale Composante tangentielle

2M rcosθaqKV

2rcosθpK

Le Potentiel électrique VM généré par un dipôle au point M

VII– Dipôle électrique (11)

Champ électrique E créé par un dipôle p : Expression de Er

rVE M

r

2rcosθaqK

r-

2r1

rcosθaqK-

3r r

2-cosθaqK-E 30

r rcosθaq

4π2E

30

r rcosθ

4πp2E

r

VE Mr

VII– Dipôle électrique (12)

Champ électrique E créé par un dipôle p : Expression de E

θrVE M

θ

2rcosθaqK

θr1- cosθ

θraqK

r1- 2

sinθ-aqKr1-E 3θ

30

θ rsinθ

4πpE θr

VE Mθ

30

θ rsinθaq

41E

VII– Dipôle électrique (13)

Dipôle p placé dans un champ électrique E (1)

Hypothèse : Le champ E est le même à chaque extrémité du dipôle

Les Valeurs des Forces d’interaction électrostatiqueSont identiques pour chaque extrémité

a

q

q > 0

-q

p

E

VII– Dipôle électrique (14)

Dipôle p placé dans un champ électrique E (2)

Les forces F qui s’exercent sur le dipôle p

Application d’un couple de moment m de Forces

aq q > 0-q

p

EF

F

EpM

EqF EqF

VII– Dipôle électrique (15)

Dipôle p placé dans un champ électrique E (3)

EpM

sinθEpM

sinθEaqM

q

q > 0

-q

E F+

F-

p

a

De manière générale, le couple des forces électrostatiques tend à faire tournerLe dipôle de telle sorte à l’aligner parallèlement au champ électrique

VII– Dipôle électrique (16)

Dipôle p placé dans un champ électrique E (4)

q

q > 0

-q

EF+

F-

p

Le couple des forces électrostatiques tend à aligner le dipôle parallèlement au Champ électrique : deux positions d’équilibre (stable et instable)

Cas 1

q

-q

EF+

F-

p

Cas 2

VII– Dipôle électrique (17)

Dipôle p placé dans un champ électrique E (5)

qq > 0

-q

E

F-q

Fq

p

q-q p

F-q

Fq

Équilibre Stable

VII– Dipôle électrique (18)

Dipôle p placé dans un champ électrique E (6)

q

q > 0-qE F-q

Fq

p

q -qp F-qFq

Équilibre Instable

VII– Dipôle électrique (19)

Dipôle p placé dans un champ électrique E (7)

V'q)(VqEp )V'(Vq

MM'EqEp

Expression de l’Énergie potentielle Ep d’interaction électrostatique

MM'E)V'(V

pEEp

q

-q

E

p

M’

M

V rad-E g

aEq

VII– Dipôle électrique (20)

Dipôle p placé dans un champ électrique E (8)

pE-Ep

cosθEpEp

cosθEaqEp

Expression de l’Énergie potentielle Ep d’interaction électrostatiqueEp

Ep max

Ep min

0

VIII– Conducteurs (1)

Définition

Un conducteur est un Corps à l’intérieur duquel les charges libres peuvent se déplacer plus ou moins librement

Exemple de Conducteurs

- Le métal- Le corps biologique- …. /….

VIII– Conducteurs (2)

Conducteur en équilibre

Un conducteur est dit en équilibre si toutes ces charges sont immobiles, en d’autres termes, les charges intérieures ne sont soumises à aucune force

Propriétés des conducteurs en équilibre

• Le Champ électrique à l’intérieur d’un conducteur en équilibre est nul (E=0)

• Le conducteur constitue un volume équipotentiel (V= cte)

• La charge est localisée à la surface d’un conducteur en équilibre.

VIII– Conducteurs (3)

Théorème de Gauss

S

E SdE

Le flux du Champ électrique à travers une surface ferméeentourant des charges qi est :

La somme algébriquedes charges intérieures

0

ii

SE ε

qSdE

VIII– Conducteurs (4)

Application du Théorème de Gauss (1)

S

E SdE

Expression du Champ électrique au voisinage extérieur immédiat d’un conducteur

Flux à travers la base intérieure

Flux à travers la base extérieure

Flux à travers la surface latérale

E

dSEM

E

VIII– Conducteurs (6)

Application du Théorème de Gauss (3)

Expression du Champ électrique au voisinage extérieur immédiat d’un conducteur quelconque

E

dSE

E dSEd dSσdq

0

ii

SE ε

qSdE

0εdqdΦ

0εdSσdSE

0ε

σE

+

VIII– Conducteurs (8)

Champ électrique à la traversée de la surface d’un conducteur (2)

0m ε2

σE

0εσE

E

0E Intérieur Couche superficielle Extérieur

VIII– Conducteurs (9)

Force par unité de surface ou Pression électrostatique P

0

2

ε2σP

EσP

SFP EqF

0ε2σE

m

Sqσ

VIII– Conducteurs (11)

Pouvoir des Pointes (2) : exemple (1)

(R1, Q1) (R2, Q2)

1

1

01 R

Q4π

1V 2

2

02 R

Q4π

1V

A l’équilibreV1 = V2

VIII– Conducteurs (12)

Pouvoir des Pointes (3) : exemple (2)

21 VV

24SQσ

RQ

1

1

01 R

Q4π

1V 2

2

02 R

Q4π

1V

2211 RσRσ

Les Charges ont tendance à s’accumuler sur les pointes

VIII– Conducteurs (13)

Capacité propre d’un Conducteur• C dépend de la Forme du Conducteur

• C traduit la plus ou moins aptitude qu’a un conducteur d’emmagasiner de la charge

• L’unité de C : Le Farad – (Utilisation des sous multiples du Farad)

VCQ

2VC21E

2VC21E

C

2Q21E VQ

21E

VCQ

E est toujours positive

Énergie interne d’un Conducteur

IX– Condensateurs (1)

Introduction : Phénomène d’influenceI

• Comportement d’un diélectrique placé dans un champ électrique : Distorsion du mouvement des électrons

• Polarisation dans le diélectrique qui devient « un dipôle macroscopique »

- Conducteur isolé

- Conducteur maintenu à un potentiel constant

- Influence en retour

- Influence totale

- Effet d’écran

IX– Condensateurs (2)

Condensateur : Définition• Soient deux conducteurs A et B séparés par un milieu isolant

• Le système [AB] forme un condensateur, représenté schématiquement par :

Réalisation de la condensation de l’électricité par l’utilisation de deux conducteurs en influence totale

Q

Capacité C d’un condensateur• Soit le système [AB] qui forme un condensateur, représenté schématiquement par :

Q

BA VCQ BA VVV avec

Remarque : plutôt que d’écrire (VA – VB), il est écrit V. cette liberté d’écriture permet de sensibiliser les étudiants à la réalité suivante V est ici une ddp, à la différence de ce qui est noté pour les conducteurs.

VIII– Condensateurs (5)

Associations de Condensateurs

iiCCCondensateurs en Parallèle

i iC1

C1

Condensateurs en Série

Énergie emmagasinée par un Condensateur 2VC21E

Condensateur avec une ddp V= VA - VB

S

e

Application au condensateur plan

eSεC