modul.mercubuana.ac.id€¦ · Web viewMatematika Dasar Bilangan Irasional dan Logaritma Fakultas...
Transcript of modul.mercubuana.ac.id€¦ · Web viewMatematika Dasar Bilangan Irasional dan Logaritma Fakultas...
MODUL PERKULIAHAN
Matematika Dasar
Bilangan Irasional dan Logaritma
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Teknik Informatika 02 87005 Drs. Sumardi Hs., M.Sc.
Abstract Kompetensi
Modul ini membahas pengertian Sistim Bilangan dan Bilangan Berpangkat, operasi bilangan, teorema bilangan, pembagi persekutuan terbesar(PBB), kelipatan persekutuan terkecil (KPK),Rumus-rumus pangkat bilangan.
Mahasiswa dapat memahami pengertian Sistim Bilangan dan Bilangan Berpangkat, operasi bilangan, teorema bilangan, pembagi persekutuan terbesar(PBB), kelipatan persekutuan terkecil (KPK),Rumus-rumus pangkat bilangan.agar
‘14 1
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
dapat menerapkan pada soal-soal yang diberikan.
‘14 2
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
BILANGAN IRASIONAL DAN SIFAT-SIFAT LOGARITMA
02.1. BILANGAN IRASIONAL
A. PENGERTIAN BILANGAN IRASIONAL
Bilangan irasional adalah bilangan tidak dapat diukur secara langsung,
kebanyakan bilangan ini berbentuk akar murni ( , , ).
Bentuk akar adalah bilangan atau akar suatu bilangan rasional yang hasilnya
merupakan bilangan irasional. Misal : . Bukan bentuk akar murni
karena hasilnya rasional yaitu 2, 3, 4 dan 7, sedangkan bentuk akar murni contohnya :
, , , 3 , 2 .
Bentuk akar , n disebut indeks yaitu bilangan yang lebih besar dari satu,
disebut tanda akar,.notasi untuk akar pangkat tiga ,sedangkan notasi untuk akar
kuadrat ditulis atau lebih sering disingkat .
Bilangan rasional : bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau
desimal berulang .
Contoh : 1/3 = 0,33333333
2/7 = 0,285714285714........
Bilangan irasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau
desimal berulang.
Contoh : = 1,414213562....
Log 2 = 0,201029995....
= 3,141592654.....
B. SIFAT-SIFAT BENTUK AKAR
Jika m dan n bilangan bulat, maka:
a. !
Contoh :
‘14 3
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
02
b. ,
Contoh :
c. ,
Contoh :
. =
C. OPERASI ALJABAR
a. Operasi penjumlahan dan pengurangan
Bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan pada peubah-peubah
yang sejenis
Contoh : 3a + 2a = ( 3 + 2 ) a = 5a
7b - 3b = ( 7 – 3 ) b = 4b
3a + 2b = tidak dapat dijumlahkan karena peubah a dan b tidak
sejenis.
Begitu pula dengan bentuk akar.Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan
jika sejenis.
Contoh :
3 + 7 = (3+7)
2 = tidak dapat dijumlahkan
b. Operasi perkalian
‘14 4
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
Contoh :
6 . 3 = 18
c. Operasi pembagian
Contoh :
d. Menarik akar kuadrat
Contoh :
(2 - 3 )2 = (2 )2 – 2. (2 ). (3 ) + (3 )2
= 4.3 - 12 + 9.5 = 12 - 12 + 45
= 57 - 12
LATIHAN SOAL 1
1. Ubahlan ke bentuk pangkat rasional
………….. ……………
2.
3. =
4. =
5. Jika x = dan y =
‘14 5
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
Maka x . y = …………..
6. Jika p = dan q =
Maka (p – q)2 adalah ........
7. ……..
8. ………….
9. …………….
PILIHLAH YANG PALING TEPAT
1.Bentuk ekuivalen dengan …………
a. b. c. d. e.
2. Bentuk sederhana dari
- + = …………..
a. - 8 b. - 4 c. - 2 d. 2 e.7
3. = …………..
a. b. c. d. e.
4. ………………
a. 4 b. c.2 d. 2 e.5
5. …………..
a. 6 b. 6 c. d. e.1
D. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR
Penulisan bentuk akar dikatakan sederhana jika memenuhi syarat-syarat tertentu,
yaitu :
1. Tidak mengandung faktor yang pangkatnya lebih dari satu. Contoh :‘14 6
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
, x > 0 bentuk paling sederhana
bukan bentuk sederhana
Proses penyelesaian :
2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut. Contoh :
bukan bentuk sederhana
bentuk sederhana
Proses merasionalkan penyebut dalam pecahan :
3. Tidak mengandung pecahan. Contoh :
bukan bentuk sederhana
bentuk sederhana
Proses penyelesaian bentuk pecahan didalam akar :
4. Menyederhanakan Akar
Contoh:
Contoh menyederhanakan bentuk akar yang lain:
1. x = 2
2. = .
3.
‘14 7
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
4. =
5.
=
LATIHAN SOAL 2
1. ………..
2. …………
3. …………..
4. ………….
5. ……………..
6 = ………….
7. = …………..
8. = ……………….
9. = …………..
10. = ………..
E. MERASIONALKAN PENYEBUT YANG BENTUK AKARNYA JUMLAH ATAU SELISIH DARI DUA BILANGAN.
Sifat perkalian istimewa :
( a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
( a + b ) disebut kawan (conjugate ) dari ( a – b ) dan ( a – b ) adalah kawan dari ( a +
b ).Hasil kali dari pasangan sekawan seperti ini selalu menghasilkan bilangan rasional.
( a + ) ( a - ) = ( a2 ) – ( )2 = a2 - b
.
‘14 8
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
=
Contoh :
1.
2.
LATIHAN SOAL 3
1. …………………… 2. ………………..
3. ……… 4. ………… 5. …………..
‘14 9
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
02.2. LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA
A. DEFINISI LOGARITMA Untuk menyelesaikan bilangan berpangkat seperti ;
22 = ..........; 33 = ........... ; 52 = ........
Bilangan pokok dan pangkatnya diketahui sehingga dapat menentukan hasilnya.
Bagaimana dapat menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan hasil
perpangkatannya diketahui ?
5x = 125 ; 10x = 100 ; 16x = 4
Soal diatas dapat diselesaikan dengan logaritma
Hubungan antara perpangkatan dan logaritma yaitu LOGARITMA ADALAH INVERS DARI PERPANGKATAN, secara umum ditulis sebagai berikut :
ax = b
Logaritma suatu bilangan b dengan bilangan pokok a adalah x
a log b = x
a disebut bilangan pokok logaritma atau basis
b disebut yang dilogaritmakan atau numerus
x. disebut hasil logaritma
a > 0 ; a 1 ; b > 0
Jika bilangan pokok 10, boleh tidak ditulis . contoh : 10 log 3 = log 3
Mengubah bentuk ax = b menjadi a log b = x
Contoh :35 = 243 menjadi 3log 243 = 5
‘14 10
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
a 2/3 = 4 menjadi alog 4 =
Tuliskan dalam bentuk logaritma bilangan berpangkat berikut !
2n = 8
33 = 27
43 = 64
5-2 = 1/25
51/2 =
Mengubah a log b = x menjadi a x = b
Contoh :
3log 81= 4 menjadi 34 = 81 2log 6 = x menjadi 2x = 6
Tuliskan ke dalam bentuk bilangan berpangkat !
a.
b.
c. log 1000 = 3
d.
e.
B. SIFAT-SIFAT LOGARITMA
SIFAT 1 :
a log a = 1 , a log 1 = 0 ,
3 log 1 = 0
SIFAT 2 :
a log(b.c) = a log b + a log c
‘14 11
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
3 log 8 = 3log 2.4 = 3 log 2 + 3 log 4
2log 10 = 2log 2.5 = 2log 2 + 2log 5
3log + 3log 6 = 3log .6 = 3log 3 = 1
5log + 5log 75 = 5log .75 = 5log 25 = 5log 52 = 2 5log 5 = 2
SIFAT 3 :
a log = a log b – a log c
4 log = 4 log 2 – 4log 3
3log 30 - 3log 10 = 3log = 3log 3 = 1
5log 50 - 5log 2 = 5log = 5log 25 = 5log 52 = 2 5log5 = 2
SIFAT 4 :
a log bc = c . a log b
log 9 = log 32 = 2 log 3
SIFAT 5 :
a log b . b log c = a log c
6 log 3. 3 log 7 = 6 log 7
SIFAT 6 :
a log 2 b = ( a log b )2
2 log 2 5 = ( 2log 5 )2
‘14 12
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
5log3 7 = ( 5log 7 )3
SIFAT 7 :
l og b m = . a log b
log 34 = 2 log 3
SIFAT 8 :
p log a =
bukti: dg bantuan log: a log b . log a = log b
. log a = log b log b = log b
4 log 5 = rumus penggantian bilangan pokok logaritma t > 0;
3log 7 =
CONTOH SOAL :
1). 3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 = ?
Jawab :
3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 = 3 log = 3 log 81 = 3 log 34
= 4 3 log 3 = 4
2). Diketahui : Log 2 = 0,3010
Log 3 = 0, 4771
Log 5 = 0,6990
Log 7 = 0,8451
‘14 13
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
Hitung :
a. Log b. log 15 c. Log d. log
Jawab :
a. Log = log 7 – 2 = -2 log 7 = -2 (0,8451) = - 1,6902
b. Log 15 = log 3. 5 = log 3 + log 5 = 0,4771 + 0,6990 = 1,1761
c. Log
d. Log = log 2 ½ = 1/ 2 log 2 = 1/ 2 x 0,3010 = 0,1505
3. Ubahlah 2 log 6 menjadi logaritma dengan bilangan pokok 3 !
Jawab :
4. Jika 3 log 5 = P
a). 5 log 3 = ? b). 9 log 125 = ? c). 9 log = ?
Jawab :
a).
b). 9 log 125 = 3 2log 53 = 3 log 5 =
c). 9 log = 3 2 log 5 ½ = 3log 5 =
5. 3 log 64 x 4 log 36 x 6 log =
Jawab : 3 log 43 x 4log 62 x 6 log 3 ½ =
3 3 log 4 x 2 4 log 6 x ½ 6 log 3 =
(3 x 2 x 1/2 ) 3 log 3 = 3.1 = 3
LATIHAN SOAL 1 :
‘14 14
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
1.4 log 6 = P 16 log 2. 5 log 7 = P 25 log 7 =
3. Diketahui : log 3 = 0,4771
Log 2 = 0,3010
Log 8 + log 6 – log
4. Diketahui : 4 log 3 = P
4 log 5 = q
4 log 8 = r
a. 4 log 40 =…..
b. 4 log 15 = …..
5. Jika 2 log a + 2 log b = 12, Berapa a. b = ….
6. Jika 32 log x = 64, maka x =….
7. 5 log x = a 5 log y = b 5 log z = c
=
=
8. 9 log 125 x 25 log 81 = …….
9. 5 log 12 1/2 + 5 log 2 = ……
10. 2 log 1/3 + 2 log 24 = ……...
C. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN ANTARA 0 DAN 1 Tentukan nilai – nilai logaritma berikut !
a. log 0,528
b. log 0,0528
c. log 0,00528
Jawab :
a. log 0,528 = log 5,28 X 10-1 = log 5,28 + log 10-1 = 0,723 - 1 = - 0,277
b. log 0,0528 = log 5,28 X 10-2 = log 5,28 + log 10-2 = 0,723 - 2 = - 1,277
c. log 0,00528 = log 5,28 X 10-3= log 5,28 + log 10-3 = 0,723 – 3 = - 2,277
D. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN LEBIH DARI 10 Tentukan nilai-nilai logaritma berikut !
‘14 15
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
a. log 382,6
b. log 4.008,5
c. log 27.054
Jawab :
a. log 382,6 = log 3,826 X 102 = log 3,826 + log 102 = 0,583 + 2 = 2,583
b. log 4.008,5 = log 4,0085 x 103 = log 4,0085 + log 103 = 0,603 + 3 = 3,603
c. log 27.054 = log 2,7054 x 104 = log 2,71 + log 104 = 0,433 + 4 = 4,433
SOAL 1 : BILANGAN AKAR
1. = .........................
a. 0 b. 1 c. e. -2 d.
2. = ...........................
a. 2 2x b. 2 2x+1 c. 2 3x d. 2 3x+1 e. 2 3x+2
3. = ............................
a. 5 + b. 5 − c. 4 + d. 4 − e. 2 +
4. = ................
a. 4 + b. 4 − c. − d. − e. c dan d benar
5. Jika x < 5 maka = .........................
a. x + 5 b. x – 5 c. 5 – x d. x – 6 e. 6 – x
6. Bentuk sederhana dari adalah ........................
a. 3(3 + 2 ) c. −(3 − 2 ) e. −(3 + 2 )
b. −3(3 + 2 ) d. 3(3 −2 )
7. = ..................................
a. b. c. 1 d. 3 e. 9
‘14 16
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
8. = .............................
a. 2 b. 2x c. 2x+1 d. 22x+1 e. 22x+2
9. = ........................
a. 3x-1 b. 33x-1 c. 34x+1 d. 32xe. 34x
10. Untuk x = 212 maka = ..........................a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
LATIHAN SOAL 2 : LOGARITMA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Jika : 4 log 3 = p
4log 5 = q
4log 8 = r
Selesaikan untuk soal 8,9 dan 10
8. 4log 40 =
9. 4log 15 + 4log 8 =
10. 4log 2 + 4log 20
SOAL-SOAL PILIHAN GANDA
11. 2log − 3log = ................
a. 0 b. c. d. e.
12. Jika log 2 = p, log 3 = q dan log 5 = r . Maka log 150 = .....................
a. 1 + p + q c. 1 + q + r e. 2pqr
b. 1 + p + r d. pqr
‘14 17
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
13. 5log 150 − 5log 24 + 5log 4 = .....................................
a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1
14. Jika log 2 = x maka log 5 = ...................
a. 1 – x b. 1 + x c. x d. 2x e. x2
15. Jika 2log 25 = x, maka 2log 0,04 = ........................
a. −1 b. 1 c. –x d. −4x e.
16. Jika 2log x . 5log 2 = 4 maka x = ......................
a. 54 b. 52 c. 45 d. 24 e. 25
17. = ...................
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
‘14 18
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
SOAL 3: SOAL UAN
Materi Pokok : Bentuk akar, Eksponen, dan Persamaan eksponen
1. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3 ) – ( 4 – ) adalah ….
a. – 2 – 3 b. – 2 + 5 c. 8 – 3 d. 8 + 3 e. 8 + 5
2. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ….
a. b. c. d. e.
3. Nilai dari
a. – 15 b. – 5 c. – 3 d, e. 5
4. Nilai dari untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….
a. b. c. d. e.
Materi Pokok : Persamaan dan pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma
5. Akar-akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 – x2 = …
a. – 5 b. – 1 c. 4 d. 5 e. 7
6. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ….
a. 2log 3 b. 3log 2 c. – 1 atau 3 d. 8 atau ½ e.
8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….
a. x > 6 b. x > 8 c. 4 < x < 6 d. – 8 < x < 6 e. 6 < x < 8
9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x log (2x + 5) + 2 log 2 adalah ….
a. < x 8 b. – 2 x 10 c. 0 < x 10 d. – 2 < x < 0 e. x < 0
10. Himpunan penyelesaian persamaan 2.9x – 3x+1 + 1 = 0 adalah ….‘14 19
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
a. { ½ , 1 } b. { –½ , –1 } c. { –½ , 1 } d. { 0 , 3log ½ } e. { ½ , ½log 3 }
11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah ….
a. x < –14 b. x < –15 c. x < –16 d. x < –17 e. x < –18
12. Himpunan penyelesaian persamaan xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5 adalah ….
a.{ 3 } b. { 1,3 } c. { 0,1,3 } d. { –3, –1,1,3 } e.{–3,–1,0,1,3}
13. Nilai x yang memenuhi adalah ….
a. 1 < x < 2 b. 2 < x < 3 c. –3 < x < 2 d. –2 < x < 3 e. –1 < x < 2
14. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan (3log x)2 – 3.3log x + 2 = 0, maka x1.x2 = ….
a. 2 b. 3 c. 8 d. 24 e. 27
15. Penyelesaian pertidaksamaan adalah ….
a. x > –1 b. x > 0 c. x > 1 d. x > 2 e. x > 7
16. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2log (x2 – 3x + 2 ) < 2log ( 10 – x ), x R adalah ….
a. b.
c. d. e. { }
17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9log ( x2 + 2x ) < ½ adalah ….
a. –3 < x < 1 b. –2 < x < 0 c. –3 < x < 0 d. –3 < x < 1 atau 0 < x < 2
e.3 < x < –2 atau 0 < x < 1
18.Diketahui 2x + 2–x = 5. Nilai 22x + 2–2x =….
a. 23 b. 24 c. 25 d. 26 e. 27
19.Nilai 2x yang memenuhi adalah ….
b. 2 b. 4 c. 8 d. 16 e. 32
20.Batas – batas nilai x yang memenuhi log ( x – 1 )2 < log ( x – 1 ) adalah ….
‘14 20
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id
c. x < 2 b. x > 1 c. x < 1 atau x > 2 d. 0 < x < 2 e. 1 < x < 2
Daftar Pustaka
1. Murray R. Spiegel, “Matematika Dasar” (Schaum Series), Pen. Erlangga, Jakarta, 1999.
2. Edward J. Cairns, “Mathematics for Applied Engineering”, Prentice Hall, New Jersey, USA, 1967.
3. Yusuf Yahya, Suryadi, Agus, “Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi”, Pen. Ghalia Indonesia, Jakarta, 1990.
4. Stroud, K.A., Erwin Sucipto, 1991: Matematika Untuk Teknik, Erlangga, Jakarta.
5. Browsing Internet.
‘14 21
Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning
Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id