MODUL PERKULIAHAN BILANGAN - …fasilkom.mercubuana.ac.id/wp-content/uploads/2017/10/Modul... ·...
Transcript of MODUL PERKULIAHAN BILANGAN - …fasilkom.mercubuana.ac.id/wp-content/uploads/2017/10/Modul... ·...
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
BILANGAN
Sistem bilangan real
Operasi pada bilangan bulat
Operasi pada bilangan pecahan
Sifat-sifat bilangan berpangkat
Operasi bilangan berpangkat
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
01 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Dalam matematika bilangan merupakan konsep awal (primitive concept), yakni unsur yang bersifat
Mahasiswa mampu memahami operasi-0perasi yang berkaitan dengan bilangan bulat, pecahan dan bilangan berpangkat
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
mendasar, sering dipakai tetapi tidak pernah dapat didefinisikan secara tepat.
BILANGAN
1. Sistem bilangan real
Bilangan real merupakan gabungan dari bilangan rasional dengan bilangan
irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎
𝑏 ,
dimana a dan b bulat sedangkan b ≠ 0. Dengan demikian bilangan rasional dapat berupa
bilangan bulat, bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎
𝑏, dimana a,b bulat dan b
≠0, a≠kb untuk setiap bilangan k. Pada bilangan bentuk 𝑎
𝑏 a disebut pembilang dan b
disebut penyebut.
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatkan dalam bentuk 𝑎
𝑏 ,
dengan a,b bulat dan b ≠0, misal √2, log 3, π, bilangan e dan bentuk-bentuk akar.
Pada sistem bilangan real, hasil operasi penjumlahan dan perkalian bilangan selalu
bilangan real. Hal seperti ini dikatakan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada
bilangan real bersifat “tertutup”.
Beberapa aksioma yang memberikan sifat-sifat tentang operasi penjumlahan dan
perkalian di R, yaitu :
Jika a, b, c ε R berlaku :
a. Tertutup
maka terdapat satu dan hanya satu bilangan real yang dinyatakan dengan a + b dan
ab.
b. Komutatif
a + b = b + a dan ab = ba
c. Assosiatif
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c dan a ( bc ) = ( ab ) c
d. Distributif
a ( b + c ) = ab +ac
e. Unsur Indentitas
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Ada dua bilangan real 0 dan 1 sedemikian sehingga a + 0 = a dan a.1 = a
f. Invers Penjumlahan
Untuk setiap bilangan real a, ada suatu bilangan real yang dinamakan negatif dari
a, dinyatakan dengan –a ( dibaca “ negatif dari a” ) sehingga a + ( -a ) = 0
g. Invers Perkalian
Untuk setiap bilangan real a ≠ 0, terdapat bilangan b sedemikian hingga a.b = 1
2. Operasi pada bilangan bulat
Dalam Matematika operasi yang dimaksud adalah operasi hitung. Pada dasarnya operasi
hitung mencakup empat pengerjaan dasar, yaitu : penjumlahan, pengurangan, perkalian
dan pembagian. Dari ke empat operasi ini yang merupakan operasi pokok yaitu
penjumlahan. Pengurangan merupakan lawan penjumlahan (penambahan). Perkalian
merupakan penambahan berulang. Sedangkan pembagian merupakan pengurangan
berulang. Hirarki pengerjaannya dalam operasi hitung yang pertama tanda kurung,
kemudian perpangkatan, lalu perkalian dan pembagian ( sama kuat, yang ditulis
disebelah kiri didahulukan ) dan terakhir adalah penjumlahan dan pengurangan.
3. Operasi pada bilangan pecahan
a) Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk melakukan penjumlahan atau pengurangan bentuk pecahan, maka
nyatakan dulu pecahan-pecahan itu mempunyai penyebutnya sama, dengan cara
mencari dahulu KPK-nya. Setelah penyebutnya sama baru dapat dilakukan
penjumlahan atau pengurangan pada pembilangnya.
Contoh :
2/3+1/4+5/6 = KPK 3,4,6 = 12
2/3+1/4+5/6 = 8/12+3/12+10/12= 21/12
b) Perkalian dan Pembagian
Untuk mengalikan dua pecahan atau lebih maka kalikan pembilang dengan
pembilang dan penyebut dikalikan dengan penyebut.
𝑎
𝑏 x
𝑐
𝑑 x
𝑒
𝑓 =
𝑎𝑏𝑐
𝑏𝑑𝑓
Untuk membagai satu pecahan dengan pecahan lainnya, maka dengan cara
kalikan pecahan yang satu dengan kebalikan pecahan pengalinya.
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
𝑎
𝑏 :
𝑐
𝑑 =
𝑎
𝑏 x
𝑑
𝑐
c) Konversi Pecahan
Suatu bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk bentuk tertentu. Seperti untuk
menyatakan tingkat inflasi ekonomi suatu negara digunakan persen (%), untuk
ketelitian dalam perhitungan digunakan bentuk desimal, atau untuk menyatakan
perbandingan dua buah objek digunakan pecahan.
1. Persen
Untuk mengubah bentuk pecahan biasa ke bentuk persen dapat dilakukan
dengan cara yaitu: mengubah pecahan itu menjadi pecahan yang senilai dengan
berpenyebut 100 atau dengan cara mengalikan pecahan itu dengan 100 %.
Dengan demikian setiap bilangan pecahan dapat dirubah ke bentuk persen dan
sebaliknya.
Contoh :
¼ = ¼ x 100% = 25%
2. Desimal
Mengubah bentuk pecahan menjadi bentuk desimal dapat dilakukan dengan cara
membagi pembilang oleh penyebutnya atau dengan cara mengubah
penyebutnya menjadi bilangan 10.
Contoh :
3/4 = 3/4 *25/25 = 75/100 =0.75
Contoh :
Jika emas 20 karat berarti emas tersebut mengandung 20/24 emas murni dan
4/24 campuran logam lain. Tentukan berat emas murni yang terkandung dalam
30 gram emas 20 karat.
Jawab :
Berat emas murni dalam 30 gram emas 20 karat =
20/24 * 30 gram = 25 gram.
d) Perbandingan
Perbandingan adalah mencari nilai perbandingan antara ukuran dari dua objek.
Perbandingan dua objek dapat berupa perbandingan senilai dan perbandingan
berbalik nilai.
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
1. Perbandingan senilai
Apabila terdapat korespodensi satu-satu antara dua obyek dengan sifat
bahwa nilai perbandingan dua elemen di obyek pertama sama dengan nilai
perbandingan dua elemen yang bersesuaian di obyek kedua maka kedua
obyek itu disebut berbanding senilai. Perbandingan senilai digunakan juga
dalam membuat skala pada peta atau membuat model. Grafik dari
perbandingan senilai berupa garis lurus Misalnya : Suatu kendaraan dengan
kecepatan 60 km/jam. Jarak tempuh kendaraan setelah sekian jam berjalan:
Perbandingan senilai
Grafik
Misal : Skala pada peta adalah 1 : 150000. Jika jarak dua kota pada peta
adalah 7,5 cm, maka jarak sebenarnya = 150000 x 7,5 cm = 11,25 km.
2. Perbandingan berbalik nilai
Perbandingan berbalik nilai adalah apabila terdapat korespodensi satu-satu
antara dua obyek dengan sifat bahwa nilai perbandingan dua elemen di obyek
Jam Jarak Tempuh
1 60
2 120
3 180
4 240
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
pertama berbalik nilainya dengan nilai perbandingan dua elemen yang
bersesuaian di obyek kedua maka perbandingan antara obyek pertama
dengan obyek kedua disebut perbandingan berbalik nilai.
Contoh : Dalam pembangunan ruang kelas suatu sekolahan akan selesai
dalam waktu 6 bulan, jika dikerjakan oleh 10 orang. Pekerjaan tersebut akan
memerlukan waktu 3 bulan jika dikerjakan oleh 20 orang dan akan selesai
dalam waktu 2 bulan jika dikerjakan oleh 30 orang.
Jumlah Pekerja 10 20 30
Lama Pekerjaan 6 3 2
Dari tabel diatas terlihat perbandingan jumlah pekerja dengan lama pekerjaan
adalah tidak tetap dan grafik perbandingan tersebut juga bukan merupakan
garis lurus ( linier).
Dari grafik diatas terlihat bahwa jika jumlah pekerja x dan lama perkerjaan y.
Perkalian antara kedua variabel tersebut selalu tetap yaitu 60. Jika pada
contoh diatas, jumlah perkerja ditambah sehingga menjadi 5 orang. Maka
waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut :
misal jumlah pekerja awal x1 = 2, lama pekerjaan y1=30,jumlah pekerja setelah
penambahan x2=5 dan lama perkerjaan y2.
x1/ x2 = y2/ y1
y2 = y1 * x1/ x2
Lama pekerjaan y2 = 30 * 2/5 = 60/5 = 12 hari.
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
4. Bilangan berpangkat
Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a pangkat n")
adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat
bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk:
an = a x a x a x a....... ( sebanyak n faktor)
dengan :
a = bilangan dasar
n = pangkat atau eksponen
an = bilangan berpangkat.
a. Sifat – sifat bilangan berpangkat
1. Perkalian dua bilangan berpangkat
ap . aq = ap+q
2. Pembagian dua bilangan berpangkat
ap : aq = ap-q
3. Pemangkatan bilangan berpangkat
(ap)q = ap.q
4. Pemangkatan bilangan rasional
(𝑎
𝑏)
𝑞 =
𝑎𝑞
𝑏𝑞
5. Perpangkatan perkalian dua bilangan
(a.b)q = aqbq
6. Bilangan berpangkat 0
a0 = 1
7. Pangkat bulat negatif
a-p = 1/ap
b. Operasi Bilangan berpangkat
1. Tentukan hasil 25 . 23
Jawab :
25 . 23 = 2 (5+3) = 28 = 64
2. Sederhanakan 25 . 8.43 =
25 . 8.43 = 25 . 23.(22)3 = 25 . 23.26
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
= 214
3. Tentukan hasil (8
12)
2
Jawab :
(8
12)
2 =
82
122 = (23 )2
(3.22)2
= 24
2432 =1
32= 1
9
4. Sederhanakan
2𝑥3 + 4𝑥6
𝑥−2
Jawab :
2𝑥3+4𝑥6
𝑥−2 = 𝑥2 ( 2𝑥3 + 4𝑥6)
= 2𝑥2+3 + 4𝑥2+6
=2𝑥5 + 4𝑥8
5. Tentukan hasil 43+86
42
Jawab :
43+86
42 = 42 ( 43 + 86)
= 22(23 + 2(3)6 )
=25 + 218
= 32 + 262144 = 262176
c. Persamaan Bilangan berpangkat
Bentuk Umum :
a f ( x) = a g( x) f (x) = g(x)
Konsep :
1. Samakan bilangan pokok
2. Samakan bilangan pangkat
3. Selesaikan
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Contoh :
42𝑥+1=2𝑥−1
22(2𝑥+1)=2𝑥−1
24𝑥+2)=2𝑥−1 f(x) =4x+2 , g(x)= x-1
f(x) = g(x)
4x+2+(-x-2)=x-1+(-x-2)
3x = -3 x= -1
d. Soal
1. Jika a = 1/2 , b = 1/4 dan c = 1/5 Maka nilai a +bc =
2. Tentukan hasil
a. 31
4 - 4
3
2 +
1
3 =
b. (21
3 : 3
2
5 ) 2
1
4
3. Seorang karyawan menggunakan 15% dari gajinya untuk biaya transportasi selama
sebulan, 25% untuk sewa rumah dan bayar listrik selama sebulan, dan sisanya 35%
sebanyak Rp72.000,00 ditabung. Biaya untuk makan selama sebulan adalah
4. Seorang pemilik motor menjual motornya seharga Rp. 4500.000,- . Jika harga
tersebut adalah 90% dari harga pembelian. Berapakah nilai pembelian motor
tersebut.
5. Berikut adalah data jumlah siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakulikuler di suatu
SMK. Siswa yang mengikuti kegiatan olahraga sebanyak 40%, musik 20%, Paskibra
10%, PMR 5%, dan sisanya mengikuti kegiatan Pramuka. Jika jumlah siswa
seluruhnya 600 orang maka tentukan banyaknya siswa yang mengikuti kegiatan
ekstrakulikuler pramuka.
6. Pedagang elektronik menjual televisi 14 inci seharga Rp1.500.000,00 dan
memperoleh keuntungan 20% dari penjualan tersebut maka tentukan harga
pembelian televisi tersebut.
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Daftar Pustaka
1. Gleen Ledder. 2013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.
2. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.2006. Matematika untuk SMK kelas X semester
genap.Swadaya Murni: Jakarta.
3. Agus Setiawan – Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
4. http://www.file-edu.com/2011/04/program-linier.html
5. http://arimatematika .blogspot.com/
6. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
BILANGAN BENTUK
PANGKAT DAN
LOGARITMA
Bilangan bentuk akar
Operasi bilangan bentuk akar
Penyederhanaan bilangan bentuk akar
Konsep logaritma dan Operasi logaritma
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
02 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Sifat-sifat bentuk akar menjelaskan bahwa perkalian dua bentuk akar
Mahasiswa mampu memahami dan dapat menyelesaikan soal-soal bilangan
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
senama dengan indeks n, sama dengan perkalian radikan dari masing masing bentuk akar dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar senama.
bentuk akar dan soal-soal logaritma sesuai dengan sifat-sifatnya
Bilangan bentuk akar
1. Bilangan bentuk akar
Dalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu
lambang bentuk akar, radikan, dan indeks.Secara umum, bentuk akar ditulis dalam
bentuk:
√𝑎 𝑛
( √𝑎 𝑛
dibaca "akar pangkat n dari a")
Dengan : √𝑎 𝑛
disebut bentuk akar/ radikal
n disebut index
a disebut radikan
Seperti halnya bilangan pangkat, bentuk akar pun memiliki sifat-sifat tertentu.Untuk a,
b bilangan riil dengan n bilangan asli berlaku:
1. √𝑎𝑛
x √𝑏𝑛
= √𝑎𝑛
𝑥𝑏
2. √𝑎
𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
3. 𝑝 √𝑎𝑛
± 𝑞 √𝑏𝑛
=(p ± 𝑞) √𝑎𝑛
Sifat-sifat bentuk akar di atas menjelaskan bahwa perkalian dua bentuk akar senama
dengan indeks n, sama dengan perkalian radikan dari masing masing bentuk akar
dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar
senama. Untuk penjumlahan dan pengurangan dengan bentuk akar sejenis maka
yang dijumlahkan atau dikurangkannya adalah koefisien dari masing-masing bentuk
akar, lalu dikalikan dengan bentuk akar tersebut.
Contoh :
1. √543
=
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
√543
=√27 𝑥23
= √273
. √23
= √333 . √2
3 = 3
3
3 . √23
= 3√23
2. √2
27
3 =
√2
27
3 =
√23
√273 =
√23
√333
=√23
333
= 1
3. √2
3
3. Tentukan hasil
√35 4
x √32 3
=
√35 4
x √32 3
=35
4 x 32
3 = 323
12
4. √53
x√253
=
√53
x√253
=√5𝑥253
=√5𝑥253
= √1253
= √533 = 5
3
3 = 5
2. Operasi bilangan bentuk akar
Bilangan berpangkat dengan pangkat nol, bulat negatif, dan pecahan disebut juga
sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya. Adapun bilangan berpangkat dengan
pangkat bulat positif disebut juga bilangan berpangkat sebenarnya. Untuk sebarang
nilai a dengan a ≠ 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, dan n ≥ 2 berlaku:
1. √𝑎 𝑛
= 𝑎1
𝑛
2. √𝑎𝑚 𝑛
= 𝑎𝑚
𝑛
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Bilangan 𝑎1
𝑛 dan 𝑎𝑚
𝑛 disebut bilangan dengan pangkat sebenarnya.
Contoh :
1. √5=51
2
2. √23
=21
3
3. Penyederhanaan Bentuk akar
Dalam suatu bentuk operasi bilangan, ada kalanya bilangan tersebut memiliki
penyebut dalam bentuk akar, seperti:
1
√3 ,
1
1−√3
Bentuk-bentuk bilangan tersebut dapat disederhanakan dengan cara merasionalkan
penyebut pecahan-pecahan tersebut. Suatu bentuk pecahan yang memuat bilangan
bentuk akar dikatakansederhana jika dipenuhi:
1. setiap bilangan bentuk akarnya sudah dalam bentuk sederhana, dan
2. tidak ada bentuk akar pada penyebut jika bilangan tersebut pecahan.
Pada bagian ini akan dipelajari mengenai cara merasionalkan berbagai bentuk
pecahan agar lebih sederhana.
1. Pecahan bentuk 𝑎
√𝑏
Bentuk akar dengan b ≠ 0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara
mengalikan pecahan dengan √b sehingga:
𝑎
√𝑏 =
𝑎
√𝑏 X
√𝑏
√𝑏 =
𝑎√𝑏
𝑏
contoh :
2
√3 =
2
√3 x
√3
√3 =
2√3
√3√3
2
√3 =
2√3
3
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2. Pecahan bentuk 𝑎
𝑏−√𝑐
𝑎
𝑏−√𝑐 =
𝑎
𝑏−√𝑐 x
𝑏+√𝑐
𝑏+√𝑐 =
𝑎(𝑏+√𝑐 )
𝑏+𝑐
𝑎
𝑏+√𝑐 =
𝑎
𝑏+√𝑐 x
𝑏−√𝑐
𝑏−√𝑐 =
𝑎(𝑏−√𝑐 )
𝑏−𝑐
Contoh :
2
2−√5 =
2
2−√5 x
2+√5
2+√5
= 2(3−√5 )
4−5
=2(3−√5 )
−1= -2(3 − √5 )
Contoh :
2
3+√5 =
2
3+√5 x
3−√5
3−√5
= 2(3+√5 )
9−5 =
2(3+√5 )
4
=−(3 + √5 )
3. Pecahan bentuk
𝑎
√𝑏 ± √𝑐
Contoh :
2
3+√5 =
2
3+√5 x
3+√5
3−√5 =
2(3+√5 )
3−5
=2(3+√5 )
−2= -(3 + √5 )
4. Konsep Logaritma
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Metode logaritma pertama kali dipublikasikan oleh matematikawan scotlandia,yaitu
John Napier pada 1614 dalam bukunya yang berjudul Mirifici ogarithmorumCanonis
Descriptio. Metode ini memberikan kontribusi yang besar untuk emajuan ilmu
pengetahuan, salah satunya pada bidang astronomi dengan menjadikan perhitungan
rumit menjadi mudah.
Pada pembahasan sebelumnya telah di pelajari mengenai bilangan berpangkat,
misalnya 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16
sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa
menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan
nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi
logartima, yang dapat ditulis:
24 = 16 ⇔ 2log 16 = 4
Secara umum:
Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an.
Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai
berikut:
alog x = n x = an
dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;
x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0
n = hasil logaritma.
(alog x dibaca"logaritma x dengan basis a")
Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya,bentuk
pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.
Contoh :
1. 5log 1
125 =
5log1
125 =-3
5log1
125 =-3
1
125 = 5-3
2. 7−2 =1
49
7−2=7log1
49 = -2
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
5. Operasi Logaritma
Sifat-sifat logaritma :
1. Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1
2. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
alog x + alog y = alog xy
3. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:
alog x - alog y = alog x/y
4. Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
alog xn = n alog x
5. Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
amlog 𝑥𝑛=𝑛
𝑚alog x
6. Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:
alog x ・ xlog y = alog y
7. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
𝑎𝑎log 𝑥 = x
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
8. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:
𝑎𝑛𝑎log 𝑥 =𝑥𝑛
contoh :
2log 6 + 2log 18 – 2log 27 = 2log 6.18
27
= 2log 108
27
+ +
= 2log 4 = 2log 22
= 22log 2= 2.1 = 2
contoh :
3log9 +3log√3 - 2. 3log 27 =
3log9 +3log√3 - 2. 3log 27 = 3log 32+3log 31
2 – 3.2 3log 3
= 2.3log 3+1/2 3log 3 - 2 3log 3
= 2.1 +1/2-2.2
=-7/2
contoh :
Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka nilai dari log 75 = ....
log 75 = log 300/4
= log 300 – log 4
= log 100 + log 3 – 2 log 2
+= 2 + 0,4771 – 2(0,3010)
= 2,4771 – 0,6020
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
= 1,8751
contoh :
log52 x 3log23 x 5log32
= 2. 2log5 x 33log23 x 2.5log3
= 2.3.2.2log5 x 5log 3 x 3log2
= 12 2log 2
= 12.1 = 12
Daftar Pustaka
1. Gleen Ledder. 2013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.
2. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.2006. Matematika untuk SMK kelas X semester
genap.Swadaya Murni: Jakarta.
3. Agus Setiawan – Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
4. http://www.file-edu.com/2011/04/program-linier.html
5. http://arimatematika .blogspot.com/
6. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
DIAGRAM VENN
o Pengertian dan berbagai macam
bentuk himpunan
o Operasi himpunan
o Pengertian dan Bentuk himpunan
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
03 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Diagram Venn merupakan bentuk lain dari penyajian suatu himpunan dengan cara menggunakan gambar. Adapun semua anggota dari himpunan semesta ditunjukan dengan noktah atau titik dalam suatu gambar persegi panjang.
Mahasiswa mampu memahami dan dapat membedakan berbagai macam bentuk himpunan dan menggambarkan nya dalam bentuk diagram venn
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Diagram Venn:
1. Pengertian dan berbagai macam bentuk himpunan
Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. George Cantor dianggap
sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat
tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan,
negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan
itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting
karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan
merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi
dengan baik (well-defined set)
Penyajian bentuk himpunan
Enumerasi
Contoh :
Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
C = {a, {a}, {{a}} }
K = { {} }
Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Simbol-simbol Baku
Contoh :
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Notasi Pembentuk himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh :
A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x | x P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
Diagram Venn
Contoh :
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
Dan dinotasikan dengan n(A) atau A
Bentuk/ Jenis Himpunan
Himpunan Kosong
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Notasi : atau {}
Contoh
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan
kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan
hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A ϲ B
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Diagram Venn:
Contoh :
{ 1, 2, 3} ϲ {1, 2, 3, 4, 5}
{1, 2, 3} ϲ {1, 2, 3}
Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B ϲ A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ϲ A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ({} ϲ A).
(c) Jika A ϲ B dan B ϲ C, maka A ϲ C
A dan A ϲ A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya
(improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
A ϲ B berbeda dengan A ϲ B
A ϲ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ϲ B, A adalah himpunan
bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
A ϲ B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian
(subset) dari B yang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Sama
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan
bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A = B.
Notasi : A = B maka A ϲ B dan B ϲ A
Contoh
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka B ϲ A
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika
kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A ~ B menyatakan bahwa n(A) = n(B)
Contoh
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya
tidak memiliki elemen yang sama.
Notasi : A // B
Diagram Venn:
Contoh
Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan
yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk
himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Notasi : P(A) atau 2A
Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = {{}, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa
dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
Operasi Himpunan
Irisan
Notasi : A ∈ B = { x / x A dan x B }
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Contoh :
- Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∈ B = {4, 10}
- Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A ∈ B = {}.
Gabungan
Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh :
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
A = A
Komplemen
Notasi : = { x x U, x A }
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Contoh :
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
contoh :
Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor
dari luar negeri” (E ∈ A) (E ∈ B) atau E ∈ (A B)
“semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990
yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A ∈ C ∈D
“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual
lebih dari Rp 100 juta”
Selisih
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A ∈
Contoh :
Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3,
5, 7, 9 } dan B – A =
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
Beda setangkup
Notasi: A B = (A B) – (A ∈ B) = (A – B) (B – A)
Contoh :
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh :
Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS
keduanya diatas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan
mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
“Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ∈ Q
2012 11
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
“Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q
“Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)
Soal
Jika
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
Gambar diagram venn yang menunjukan
“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor
dari luar negeri”
“semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990
yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”
Buktikan
(A B) B
Jawab :
Ambil t A B sebarang. Jelas bahwa t A. Dengan demikian setiap elemen di
A B pasti juga berada di A. Jadi (A B) A.
Buktikan
(A B) B
Daftar Pustaka
2012 12
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
7. Gleen Ledder. 2013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.
8. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.2006. Matematika untuk SMK kelas X semester
genap.Swadaya Murni: Jakarta.
9. Agus Setiawan – Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
10. http://www.file-edu.com/2011/04/program-linier.html
11. http://arimatematika .blogspot.com/
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
PERSAMAAN LINEAR
DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
o Pengertian persamaan linear
o Sistem Persamaan linier
o Persamaan linear dengan dua peubah
o Persamaan linear dengan tiga peubah
o Pengertian pertidaksamaan linear serta
penyelesaiannya
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
04 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi
Kalimat terbuka dalam istilah matematika adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. Persamaan linier merupakan kalimat
Mahasiswa mampu memahami dalam mendiskripsikan penyelesaian persamaan linear dan pertidaksamaan linear
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
matematika dengan pangkat teringgi variabel yang dimuatnya adalah satu.
1. Pengertian persamaan linier
Kalimat terbuka dalam istilah matematika adalah kalimat yang belum diketahui
nilai kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. Kalimat terbuka yang
memuat tanda “sama dengan“ atau “=” disebut persamaan. Persamaan linier merupakan
kalimat matematika dengan pangkat teringgi variabel yang dimuatnya adalah satu. Suatu
persamaan linear yang mengandung n variabel x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam bentuk :
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dimana
a1, a2, …, an , b adalah konstanta riil.
Dalam hal ini, variabl yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi
logaritma ataupun fungsi exponensial.
Persamaan linier yang paling sederhana, adalah persamaan linier satu variable ax +
b = 0, dimaan a,b adalah konstanta dan a ≠ 0. Beberapa hal yang perlu diperhatikan
dalam menyelesaikan persamaan linier satu variabel adalah sebagai berikut.
1. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan ditambahkan atau
dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang sama.
2. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi
dengan bilangan positif yang sama.
Contoh :
1. 8x – 4 = 6x + 12
8x -4 –(6x+4) = 6x +12 –(6x+4) , masing-masing ruas dikurang (6x+4)
8x-4-6x+4 =6x +12-6x-4
2x =8
½ 2x = ½ 8
x = 4
2. ¼ x – 3 = -x +1
4(¼ x – 3)=4(-x +1)
x -12 = -4x +4
x-12 +(4x+12)= -4x +4 +(4x+12), , masing-masing ruas ditambah (4x+12)
5x = 16
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
x = 16/5
Contoh :
Suatu perusahaan yang memproduksi barang tertentu dengan harga jual Rp900,00
tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp200.000,00 dan biaya variabel per unit
barang adalah Rp400,00.
a) Tentukan model persamaan untuk total hasil penjulan dan biaya total.
b) Tentukan banyaknya unit barang harus dijual ketika terjadi titik pulang pokok.
Jawab:
a. Misalkan banyaknya barang terjual adalah x unit
Total hasil penjualan x unit yang masing-masing unitnya Rp900,00 barang
adalah
R = 900x
Biaya tetap = Rp200.000,00
Biaya variabel = Rp400,00
Biaya total produksi Q = 200.000 + 400x
b. Syarat terjadi titik pulang pokok, yaitu R = Q
R = Q
900x = 200.000 + 400x
500x = 200.000
x = 400
Jadi, banyaknya barang yang harus terjual agar terjadi pulang pokok adalah 400
unit.
Definisi :
Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear.
Contoh :
a. 2x+y = 4 b. x + y + z = -1
x-3y = 1 -x +2y +3z =-3
2x -y +z =-1
Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penyelesaian( solusi ).Sistem
persamaan linear yang memiliki tiga kemungkinan penyelesaian yaitu :
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
a. tidak ada penyelesaian ( tidak konsisten )
b. ada satu penyelesaian
c. ada banyak penyelesaian
2. Persamaan linier dengan dua peubah
Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana
pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linier
dua variabel :
ax + by = c
x dan y disebut variabel dan c adalah konstanta
Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variable yang
mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.
Bentuk umum :
ax + by = c
px + qy = r
dengan x , y disebut variabel
a, b, p, q disebut keifisien
c , r disebut konstanta
Untuk mencari jawab dari suatu sistem persamaan linier dapat dilakukan dengan cara
b. Eliminasi
c. Subtitusi
d. Grafik
e. Operasi baris elementer
Contoh :
Tentukan jawab sistem persamaan x + 2y = 8 (I) dan 2x – y = 6 (II)
1. Eliminasi
x + 2y = 8 (x2)
2x – y = 6
-----------------------(-)
5y =10 (1/5)
y =2
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Subtitusi nilai y ke salah satu persamaan
x+2(2)=8 x=4
Jawab sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
2. Subtitusi
Ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8 (I)
Kemudian rubah persamaan tersebut menjadi x = 8 – 2y (III),
Subtitusi persamaan (III) ke (II)
2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6 -5y = 6 – 16
-5y = -10 5y = 10
y = 2
subtitusi nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8 x + 2. 2. = 8
x + 4 = 8 x = 8 – 4
x = 4
Jawab sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
3. Grafik
x + 2y = 8 y = - ½ x + 4
2x – y = 6 y = 2x -6
Tabel fungsi (I)
x 0 1 2 3 4 5 6
y 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1
Tabel fungsi (II)
x 0 1 2 3 4 5 6
y -6 -4 -2 0 2 4 6
Grafik fungsi
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
3. Persamaan linier dengan tiga variabel
Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung tiga variabel,
dengan bentuk umum :
ax + by + cz = d
x dan y disebut variabel dan d adalah konstanta
Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear tiga variable yang
mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.
Bentuk umum :
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
dengan x , y disebut variabel
a, b, p, q disebut keifisien
c , r disebut konstanta
Pada sistem persamaan linear yang menggunakan banyak variabel, maka hal pertama
yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan
mengubah sistem persamaan linear yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu persamaan
linear biasanya juga tidak didapatkan secara langsung tetapi melalui penyederhanaan
dari permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari – hari. Setelah diubah ke bentuk
matriks, maka matriks tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk eselon baris
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
tereduksi untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL. Prosedur untuk mendapatkan
matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss– Jordan . Pada
proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang digunakan disebut operasi baris
elementer. Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan
, yaitu :
a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol
b. Mempertukarkan dua buah baris
c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Contoh :
Tentukan jawab sistem persamaan linier
x + 2y + 3z = 1
2x + 5y + 3z = 6
x + 8z = –6
Jawab :
Tulis sistem persamaan linier diatas ke bentuk matrik.
A b
⌊1 2 32 5 31 0 8
⌋ ⌈𝑥𝑦𝑧
⌉ = ⌈16
−5⌉
Rubah ke bentuk augmented matrik
[𝐴|𝑏]=[1 2 32 5 31 0 8
16
−5]
Lakukan operasi baris elementer untuk matrik A menjadi matrik segitiga bawah :
[𝐴|𝑏]=[1 2 30 1 −31 0 8
14
−5] b2-2b1 ( baris ke dua dikurangi 2x baris pertama )
[𝐴|𝑏]=[1 2 30 −1 −10 −2 5
14
−7] b3-b1 ( baris ke tiga dikurang baris pertama )
[𝐴|𝑏]=[1 2 30 1 −30 0 1
142
] b3+2b2 ( baris ke tiga dikurangi baris pertama )
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Dengan menulis kembali matrik diatas ke bentuk sistem persamaan
linier :
x + 2y + 3z = 1 ( 1 )
y - 3z = 4 ( 2 )
z = 2 ( 3)
Subtitusi nilai z = 2 ke persamaan (2)
Y – 3(2) = 4 y = 10
Subtitusi nilai z=2 dan y =10 ke persamaan (1)
x – 2(10) + 3(2) = 1 x -14 = 1
Solusi sistem persamaan linier diatas : x=15, y=10,z=2
4. Pengertian pertidaksamaan linier
Bentuk umum pertidaksamaan linier satu variabel dinyatakan dengan :
ax + b (R) 0;
a , b ∈ Riil dan (R) = salah satu relasi pertidaksamaan.
Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier hampir sama dengan
menyelesaikan persamaan linier satu variabel. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
biasanya juga dituliskan dalam bentuk interval atau selang. Beberapa bentuk atau jenis
interval disajikan sebagai berikut.
Notasi Interval Pertidaksamaan Grafik
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Tanda pada batas interval berarti batas tersebut termasuk dalam interval. Sedangkan
tanda pada batas interval berarti batas tersebut tidak termasuk dalam interval.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan adalah
sebagai berikut.
1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan
ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang
sama (sifat 1).
2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan
atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (sifat 2).
3. Tanda pertidaksamaan berubah arah atau dibalik jika pada ruas kiri dan kanan
dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama (sifat 3).
Contoh :
5x > 4x + 9
5x – 4x > 4x + 9 – 4x (sifat 1)
x > 9
Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x | x > 9}
dengan garis bilangan
Contoh :
15x + 2 ≤ 12x + 11
15x – 12x ≤ 11 – 2
3x < 9
(1/3) 3x ≤ (1/3) 9
x < 3 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x ≤ 3}
dengan garis bilangannya
Contoh :
x + 4 ≤ 5x + 3 ≤ 2x + 10
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
(untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas, pisahkan menjadi dua
pertidaksamaan. Setelah itu, cari irisannya dari HP kedua pertidaksamaan
tersebut).
x + 4 ≤ 5x + 3 ≤ 2x + 10 dipisahkan menjadi
x + 4 ≤ 5x + 3 dan 5x + 3 ≤ 2x + 10
x – 5x < 3 – 4 dan 5x – 2x < 10 – 3
- 4x ≤ -1 dan 3x ≤ 7
x≥1/4 x≤7/3
Grafik irisan himpunan
Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x |1/4 ≤ x ≤ 7/3}
Contoh :
Suatu perusahaan mainan memproduksi mainan anak-anak dengan biaya
Rp3.500,00 tiap unit dan biaya operasional produksi Rp100.000,00. Jika mainan
akan dijual Rp5.000,00, tentukan banyaknya mainan yang harus diproduksi agar
untung paling sedikit Rp75.000,00.
Jawab:
Misalkan banyaknya mainan yang diproduksi sebanyak x
Biaya total yang dikeluarkan = 3.500x + 100.000
Pendapatan total yang diperoleh = 5.000x
Untung = Pendapatan total – Biaya total
= 5.000x – (3.500 x + 100.000)
= 5.000x – 3.500 x – 100.000
= 1.500x – 100.000
Untung paling sedikit Rp75.000,00
Jadi, untung > 75.000
1.500x – 100.000 > 75.000
1.500x > 75.000 + 100.000
1.500x > 175.000
x > 116,67
2012 11
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Jadi, supaya untung lebih dari Rp75.000,00 harus terjual 117 buah
mainan anak-anak.
Soal :
1. Tentukan nilai x persamaan berikut
a) 2x + 1 = 27
b) 5x + 9 = 4x – 8
2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini dan
lukis garis bilangannya.
a) 5(x – 2) ≤ 6x + 10
b) 2x -3 > x -5
c) 2x – 7 < 5x + 2 ≤ 2x + 20
3. Suatu perusahaan memproduksi kopiah dengan biaya Rp6.000,00 tiap unit,
dan biaya operasional produksi Rp500.000,00. Kopiah akan dijual
Rp10.000,00. Tentukan banyaknya kopiah yang diproduksi agar laba paling
sedikit Rp1.000.000,00
4. Tentukan solusi sistem persamaan linier berikut :
x + y - z = 7
2x -y + 2z = 4
x + y+ 8z = –6
Daftar Pustaka
12. Gleen Ledder. 2013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.
13. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.2006. Matematika untuk SMK kelas X semester
genap.Swadaya Murni: Jakarta.
14. Agus Setiawan – Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
15. http://www.file-edu.com/2011/04/program-linier.html
16. http://arimatematika .blogspot.com/
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
KUADRAT Pengertian persamaan dan
pertidaksamaan kuadrat.
Penyelesaiannya persaman dan
pertidaksamaan kuadrat.
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
05 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabel (peubah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat dituliskan dalam
Mahasiswa mampu memahami
mendeskripsikan persamaan kuadrat
dan pertidaksamaan kuadrat.
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 1. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variable
(peubah) adalah dua. Bentuk umum adalah
ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan a, b, c ∈ R
Bentuk-bentuk persamaan kuadrat
1. x2 + 5x – 3 = 0, dengan a = 1, b = 5, dan c = -3 (persamaan kuadrat
biasa)
2. 2x2 + 5x = 0 , dengan a = 2, b = 5, dan c = 0 (persamaan kuadrat tidak
lengkap)
3. x2 – 6 = 0, dengan a = 1, b = 0, dan c = -6 (persamaan kuadrat murni)
2. Pertidaksamaan kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari
variabel (peubah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan
dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan.
Jenis akar persamaan kuadrat
Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan
rumus, maka jenis-jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai b2 – 4ac. Oleh
karena itu, b2 – 4ac disebut diskriminan atau pembeda dan biasanya disingkat dengan
D dimana D = b2 – 4ac. Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat:
jika D > 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai
dua akar riil yang berbeda;
jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama
atau sering disebut mempunyai akar kembar;
jika D < 0, maka persamaan kuadrat, tidak mempunyai akar riil (akar
imajiner);
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar
rasional yang berlainan.
Contoh :
Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini tanpa mencari akarnya
terlebih dahulu.
1. x2 + 4x + 4 = 0
2 . x2 + x + 2 = 0
Jawab:
1. x2 + 4x + 4 = 0
a= 1, b =4, c=4
D= b2 – 4ac
D= 42 -4.1.4 D = 0
Persamaan kuadrat mempunyai dua akar kembar
2. x2 + x + 2 = 0
a= 1, b =1, c=2
D= b2 – 4ac
D= 12 -4.1.2 D = -8
D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil
Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
a) Penyelesaian persamaan kuadrat
Mencari penyelesaian persamaan kuadrat berarti mencari nilai x sedemikian
sehingga jika nilai disubstitusikan akan memenuhi persamaan tersebut.
Penyelesaian persamaan kuadrat disebut juga akar-akar persamaan kuadrat.
Beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat,
yaitu:
a. Faktorisasi
Dengan menggunakan sifat perkalian pada bilangan riil, yaitu jika dua
bilangan riil dikalikan hasilnya sama dengan nol. Dengan demikian, salah
satu dari bilanganbilangan tersebut sama dengan nol atau kedua-duanya
sama dengan nol.
Jika p × q = 0 maka p = 0 atau q = 0
Contoh :
Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini.
a. x2 + 2x – 8 = 0
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
b. 2x2 + 3x = 0
Jawab:
Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0, terlebih dahulu dicari
dua bilangan memenuhi syarat sebagai berikut.
a) Hasil kalinya adalah sama dengan a × c
b) Hasil jumlahnya adalah sama dengan b
Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah α dan β,
maka
α β = a × c dan α+ β = b
Dengan demikian, bentuk faktornya adalah
(ax + α)(ax + β) = 0
dengan membagi a pada ruas kiri dan kanan, maka akan didapat bentuk
asal atau mula-mula.
a. x2 + 2x – 8 = 0
Dari persamaan tersebut didapat a =1, b = 2, dan c = -8 .
Cari dua bilangan sehingga
Hasil kalinya = 1× (-8) = -8,
Hasil penjumlahannya = 2.
Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 4 dan -2,
sehingga
x2 + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0
x + 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = -4 x = 2
b. 2x2 + 3x = 0
Dari persamaan tersebut didapat a = 2, b = 3, dan c = 0 .
Carilah dua bilangan sehingga,
Hasil kalinya = 2× 0 = 0,
Hasil penjumlahannya = 3
Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 0 dan 3,
sehingga:
2x2 + 3x = 0
(2x + 0)(2x + 3) = 0
Membagi dengan 2 pada ruas kiri dan kanan didapat
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
(x + 0)(2x + 3) = 0
x + 0 = 0 atau 2x + 3 = 0
x = 0 atau 2x = -3
Untuk mempersingkat dapat juga digunakan cara
memfaktorkan langsung (persamaan dengan nilai
c = 0).
2x2 + 3x = 0
x(2x + 3) = 0
b. Melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, diubah menjadi bentuk kuadrat dengan
cara sebagai berikut.
a. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila tidak bagilah dengan
bilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1.
b. ambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x
kemudian kuadratkan.
c. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, sedangkan ruas kanan
dimanipulasi, sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana.
Contoh :
Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, carilah akar-
akarnya.
1. x2 – 4x – 5= 0
2. 2x2 – x – 1 = 0
Jawab :
x2 – 4x – 5= 0
x2 – 4x + (-2)2 = 5 + (-2)2
x2 – 4x +(1/2 -4 )2 = 5+(1/2 -4)2
x2 – 4x +(-2 )2 = 5+(-2)2
(x − 2)2 = 9
x – 2 = ± 9
x – 2 = ± 3
x1 = 3 + 2 atau x2 = -3 + 2
= 5 = -1
Jawab :
2x2 – x – 1 = 0
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
x2 -½ x = ½
x2 -½ x +(½ -½)2 = ½ + (½ -½)2
(x – ¼ )2 = ½ + 1/16
x - 1
4 = ± √
9
16
x - 1
4 = ±
3
4
x1 = -3/4 +1/4 atau x2 = ¾ +1/4
x1 = ½ x2 = 1
c. Rumus kuadrat (biasa dikenal dengan rumus abc).
Dengan menggunakan aturan melengkapkan kuadrat sempurna yang telah
dipelajari sebelumnya, dapat dicari rumus untuk menyelesaikan persamaan
kuadrat.
ax2 + bx +c = 0
x2 + 𝑏
𝑎 x +
𝑐
𝑎 = 0 x2 +
𝑏
𝑎 x = -
𝑐
𝑎
x2 + 𝑏
𝑎 x + (
1
2 .
𝑏
𝑎)2 = -
𝑐
𝑎 + (
1
2 .
𝑏
𝑎)2
x2 + 𝑏
𝑎 x + (
𝑏
2𝑎)2 = -
𝑐
𝑎 +
𝑏2
4𝑎2
( x + 𝑏
2𝑎)2 =
𝑏2−4𝑎𝑐2
4𝑎2
( x + 𝑏
2𝑎) = ±√
𝑏2−4𝑎𝑐2
4𝑎2
x = - 𝑏
2𝑎 ± √
𝑏2−4𝑎𝑐2
4𝑎2
𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 =−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 dan 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Contoh :
Tentukan akar persamaan x2 – 6x + 9 = 0 dengan menggunakan rumus
𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−(−6)±√(−6)2−4.1.9
2.1
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
𝑥 =6 ± √36 − 36
2
𝑥 =6 ± √36 − 36
2
x1 = 3 atau x2 =3
d. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Dari rumus kuadrat, diperoleh akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut.
𝑥1 =−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 atau 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Dengan menjumlahkan dan mengalikan kedua akar
x1 + x2 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 +
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
x1 + x2 = −𝑏−𝑏
2𝑎 =
−𝑏
𝑎
x1 . x2 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 .
–𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 . 𝑥2 = 𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)
4𝑎2 𝑥1 . 𝑥2 =𝑐
𝑎
Contoh :
Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan x2 + 2 x – 3 = 0, tentukanlah
a. x1 + x2 b. x12+x2
2
Jawab :
a. a = 1,b=2 dan c=3
x1 + x2 =−𝑏
𝑎 = -3/1 = -3
b. a = 1,b=2 dan c=3
x12+x2
2 = (x1 + x2)2 - 2 x1. x2
= (-3)2 – 2.(3/1)
= 9 – 6 = 3
e. Menyusun Persamaan Kuadrat
1. Rumus perkalian faktor
(x – x1)(x – x2) = 0
contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 dan 5.
(x – (-2))(x – 5) = 0
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
(x +2) (x – 5) = 0
x2-3x-10 =0
2. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2/3 dan -2
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
x2 – (2/3 - 2)x + 2/3 . -2 = 0
x2 – (-4/3)x -4/3 = 0
3x2+4x-4 =0
b) Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
Langkah-langkah untuk mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
adalah sebagai berikut.
1. Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat (ruas kanan = 0).
2. Carilah akar-akar dari persamaan tersebut.
3. Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut.
4. Tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara
menguji tanda pada masing-masing interval tersebut
5. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan
tersebut.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.
x2 – 2x – 8 > 0.
Jawab:
Nyatakan dalam bentuk persamaan.
x2 – 2x – 8 = 0
Carilah akar-akarnya
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x = 4 atau x = -2
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut
Daerah penyelesaian
x < -2 atau x > 4
HP = {x | x < -2 atau x > 4, x ∈ R }
Soal :
1. Selesaikan persaman kuadrat 4x2– 12x + 8 = 0 dengan cara
a. Faktor
b. Melengkapi kuadrat
c. Rumus ABC
2. Tentukan
Jika Salah satu akar persaman kuadrat x2 – 2x + c = 0 adalah 1, tentukan nilai c dan akar yang lainnya.
3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya ½ dan 3
4. Himpunan penyelesaian dari -2 < 3(x – 1) < 2
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – x > 90
Daftar Pustaka
17. Gleen Ledder. 2013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.
18. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.2006. Matematika untuk SMK kelas X semester
genap.Swadaya Murni: Jakarta.
19. Agus Setiawan – Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
20. http://www.file-edu.com/2011/04/program-linier.html
21. http://arimatematika .blogspot.com/
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
Persamaan dan
Pertidaksamaan
linier Pengertian harga mutlak
Pertidakpersamaan pecahan
Pertidaksamaan bentuk harga mutlak
Pengertian pertidaksamaan harga
mutlak dan pecahan
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
06 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol |x| sebagai nilai positif dari nilai x dan -x..
Mahasiswa mampu memahami
mampu menyelesaikan model
matematika dari masalah yang
berkaitan dengan pertidaksamaan satu
variabel dan penafsirannya.
Persamaan dan Pertidaksamaan linier
Harga mutlak
Dalam matematika untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif
diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai harga mutlak. Harga
mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan
selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x
yang ditulis dengan simbol |x| sebagai nilai positif dari nilai x dan -x.
Definisi
Untuk setiap bilangan real x, harga mutlak dari x ditulis |x| dan
x, x>0
|x| =
-x, x<0
Dengan menggunakan garis bilangan definisi diatas dapat digambarkan seperti
terlihat pada garis bilangan berikut :
Contoh
a. |5|=5 c. |-1/3| = -(-1/3) = 1/3
b. | |-2| - |-3| | = |2 -3| =|1|=1 d. |0| = 0
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan “tidak
sama dengan”, “lebih dari” (lebih besar dari), “lebih dari atau sama dengan”, “kurang
dari” (lebih kecil dari), “kurang dari atau sama dengan”.
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Pertidaksamaan pecahan
Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang penyebutnya mengandung
variabel.
Contoh :
a. (2𝑥−3)
(𝑥+1)≤ 4 b.
3(2𝑥−4)
(𝑥+1)> 2
Prosedure penyelesaian pertidaksamaan pecahan
1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri.
2. Tentukan pembuat nol ruas kiri
3. Samakan penyebut untuk menyederhanakan pecahan.
4. Tuliskan nilai-nilai tersebut pada garis bilangan
5. Berikan tanda pada setiap interval
6. Arsir sesuai dengan tanda pertidaksamaan
7. Interval yang diarsir adalah jawab pertidaksamaan.
Contoh :
Tentukan jawab pertidaksamaan (2𝑥−3)
(𝑥+1)≤ 1
Jawab :
(2𝑥−3)
(𝑥+1)≤ 1
(2𝑥−3)
(𝑥+1)− 1.
(𝑥+1)
(𝑥+1) ≤ 0
(2𝑥−3−𝑥−1)
(𝑥+1) ≤ 0
(𝑥−4)
(𝑥+1) ≤ 0
Buat garis bilangan
Himpunan penyelesaian HP = -1 ≤ x ≤ 4
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan (2𝑥+2)
(𝑥−1)≥ 1
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Jawab :
(2𝑥+2)
(𝑥−1)≥ 1
(2𝑥+2)
(𝑥−1)−
(𝑥−1)
(𝑥−1)≥ 0
(𝑥+3)
(𝑥−1)≥ 0
Buat garis bilangan
Himpunan penyelesaian HP = x ≤ -3 atau x ≥1
Pertidaksamaan bentuk harga mutlak
Suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu
pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.
Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya
ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup. Dalam pertidaksamaan
berlaku ketentuan berikut :
A. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah dengan bilangan yang sama,
maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru yang ekivalen dengan
pertidaksamaan semula.
Contoh :
2x+3 ≥7
2x+3 -3 ≥7-3
Contoh :
3x-4 ≤ 2x-1
3x-4 –(2x-1) ≤ 2x-1 –(2x-1)
x-3 ≤ 0 x -3 + 3 ≤ 0 +3
B. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan atau dibagi oleh sebuah
bilangan positif yang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru yang
ekivalen dengan pertidaksamaan semula.
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Contoh :
4x – 3 ≥ 8
(1/4) (4x-3)≥(1/4).8
C. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan atau dibagi oleh sebuah
bilangan negatif yang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru yang
ekivalen dengan pertidaksamaan semula tetapi tanda pertidaksamaan yang baru
harus dibalik
Contoh :
-½ x – 3 ≥ 2
(-2)( -½ x – 3) ≤ 2(-2)
x+6 ≤-4
Penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak adalah dengan menggunakan sifat-sifat
berikut:
1. | x | < a ⇒ -a< x < a
2. | x | > a ; a > 0 ⇒ x < -a atau x > a
3. | x | = x2
4. | x | 2 = x 2
5. | x | < | y | ⇒ x 2 < y 2
6. |𝑥𝑦|=|𝑥||𝑦|
7. |𝑥
𝑦| =
|𝑥|
|𝑦|
dengan syarat x, y, a ∈ R dan a > 0
contoh :
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x +1| < 3.
Jawab :
| x | < a ⇒ -a< x < a
| x+1 | < 3 ⇒ -3< x+1 < 3
Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < 2
Jadi himpunan penyelesaiannya { x / -4 < x < 2 }
Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan :
{ x / x > -4 } { x / x < 2 }.
Contoh :
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Cari himpunan penyelesaian dari |x+1|≥ 3.
Jawab :
Berdasarkan sifat 2
| x | > a ; a > 0 ⇒ x < -a atau x > a
|x+1|≥ 3; a > 0 ⇒ x+1 ≤ -3 atau x+1 ≥ 3
Dua pertidaksamaan ini menghasilkan
x ≤-4 atau x ≥- 2.
Jadi himpunan penyelesaiannya
{ x / x≤ -4 atau x≥- 2}.
Himpunan penyelesaiannya dapat pula distulis dengan menggunakan simbul
gabungan
{ x / x -4 }U {x / x 2}.
Contoh :
Selesaikanlah |x +3|< 2 – x
|x +3|<2 – x -(2 – x) <x +3 <(2 – x )
-(2 – x) <x +3 <(2 – x )
x - 2 < x + 3 < 2 - x
-2<3 dan 2x <-1
Himpunan penyelesaian HP= { x / x < -1/2 } Atau
|x +3|<2 – x √(𝑥 + 3)2 <2-x
(x+3)2 <(2-x)2
x2 + 6x + 9 < x2 - 21x + 4
10x < -5
x < -1/2
Himpunan penyelesaian HP= { x / x < -1/2 }
Contoh :
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Selesaikanlah |3x+7|>|4x+8|
Kuadratkan kedua ruas
(3x + 7)2 > (4x +8)2
9x2 + 42 x + 49 > 16x2 - 64x + 64 >0 -7x2 + 106x - 15> 0
7x2 - 106x + 15 < 0
(7x - 1)(x - 15) < 0 Kemungkinannya
(1). 7x - 1 > 0 dan x - 15 < 0
(2). 7x - 1 < 0 dan x - 15 > 0
(1). 7x - 1 > 0 dan x - 15 < 0
x>1/7 atau x <15
(2) 7x - 1 < 0 dan x - 15 > 0
x<1/7 dan x>15
Himpunan penyelesaiannya HP = { x /x, 1/7<x<15}
Pertidaksamaan harga mutlak dan pecahan
Pertidaksamaan harga mutlak dana pecahan adalah pertidaksamaan harga mutlak
yang penyebutnya mengandung variabel.
Contoh :
𝑎. |2𝑥−1
𝑥+2|<3 atau |
2𝑥−1
𝑥+2|>2
Penyelesain Penyelesaian persamaan harga mutlak pecahan dapat dilakukan
berdasarkan sifat | x | = x2 dan |𝑥
𝑦| =
|𝑥|
|𝑦|
1. |𝑥|
|𝑦| =
𝑥2
𝑦2
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2. Samakan ruas kiri = 0
3. Tentukan nilai-nilai x pembuat 0 persamaan
4. Tuliskan nilai-nilai tersebut pada garis bilangan
5. Berikan tanda pada setiap interval
6. Arsir sesuai dengan tanda pertidaksamaan
7. Interval yang diarsir adalah jawab pertidaksamaan
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian |2𝑥+7
𝑥−1|≥1
Untuk bentuk pecahan diatas perhatikan x-1≠ 0 atau x≠1
.Kuadratkan pembilang dan penyebut
(2𝑥+7)2
(𝑥−1)2 ≥ 1
4𝑥2 +28𝑥+49
(𝑥−1)2 ≥ 1 4𝑥2 +28𝑥+49−𝑥2−2𝑥+1
(𝑥−1)2 ≥ 0
3𝑥2 +30𝑥+48
(𝑥−1)2 ≥ 0
Perhatikan (x-1)2 selalu bertanda positip untuk x ≠ 1, sehingga (x-1) tidak
berpengaruh terhadap tanda pertidaksamaan.
(x+8)(x+2)>0
x = -8 atau x = -2
Buat garis bilangan dan berikan tanda untuk masing-masing interval .
Himpunan penyelesaian :
x≤-8 atau -2≤ x≤ 𝑥; atau x > 1
Soal :
1. Tentukan nilai dari | |-5| - |-2| | =
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2. Tentukan himpunan penyelesaian
a. |x-1|≥ 3.
b. |x+2|≤ 3.
3. Tentukan himpunan penyelesaian
a. |x -2|< 5 – x
b. |x -2|< |5 – x|
4. Tentukan
a. |2𝑥+3
𝑥−2|≥1
b. |𝑥−3
𝑥−1| ≤1
Daftar Pustaka
22. Gleen Ledder. 2013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.
23. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.2006. Matematika untuk SMK kelas X semester
genap.Swadaya Murni: Jakarta.
24. http://www.file-edu.com/2011/04/program-linier.html
25. http://arimatematika .blogspot.com/
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
FUNGSI
• Pengertian fungsi
• Jenis-jenis fungsi
• Fungsi linear dan grafiknya
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
07 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Konsep fungsi terdapat hampir dalam setiap cabang matematika dan merupakan bagian yang sangat penting untuk dipahami.Kata fungsi dalam matematika digunakan untuk
Mahasiswa mampu memahami Memahami fungsi dan berbagai jenis fungsi dan dapat membuat grafik fungsi linear. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
menyatakan suatu hubungan atau relasi yang khas antara dua himpunan. Suatu relasi(biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.
FUNGSI
• Pengertian Fungsi
Konsep fungsi terdapat hampir dalam setiap cabang matematika dan
merupakan bagian yang sangat penting untuk dipahami.Kata fungsi dalam
matematika digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau relasi yang khas
antara dua himpunan. Suatu relasi(biner) F dari himpunan A ke himpunan B
adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.
Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi didefinisikan sebagai berikut :
Definisi :
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang
memasangkan setiap elemen dari A dengan satu elemen pada B.
Ditulis f : A B dibaca “ fungsi f memetakan A ke B “
Apabila f memetakan x∈A ke y∈B dikatakan bahwa y adalah peta dari x oleh f
dan pemetaan ini dinyatakan dengan notasi f(x) dan dapat tulis sebagai f: x f(x).
Himpunan A disebut daerah asal( domain) sedangkan himpunan B disebut daerah
kawan( kodomain) sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan daerah
hasil(range) dari fungsi f tersebut.
Contoh :
Diagram di bawah bukan merupakan fungsi karena ada elemen A yang
dipasangkan dengan dua anggota B.
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Contoh :
Suatu fungsi f memetakan xy=x2+2x-3, Grafik fungsi f dimaksudkan adalah himpunan pasangan (x, y) pada bidang, sehingga (x,y) adalah pasangan terurut dalam f.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
f(x) 5 0 -3 -4 -3 0 5
Contoh :
Tentukan daerah hasil f untuk fungsi f : R R dengan rumus f(x)= x2-2x-8, jika
ditentukan daerah asal Da={xεR | -5≤x≤3}.
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 27 16 7 0 -5 -8 -9 -8 -5
Contoh :
Tentukan daerah asal Df untuk fungsi
a. f(x)=1
𝑥−2 b. f(x) =
1
√𝑥2+2𝑥−3
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
a. f(x) bernilai real jika penyebutnya ≠0. Hal dapat dipenuhi apabila x ≠ 2. Jadi daerah
asal fungsi adalah Da= {xεR x ≠ 2 }
b. f(x) bernilai real jika penyebutnya ≠0. Nilai pembuat nol penyebut.
(x2+2x-3) ( x + 1 )(x – 3 )
x = -1 atau x = 3
Jadi daerah asal fungsi adalah Da= {xεR x ≠ -1 dan x ≠ 3 }
Sifat Fungsi
Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing
himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga
sifat fungsi yakni sebagai berikut :
1. Injectife( satu-satu)
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-
satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan
pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat
dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠
f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’) maka akibatnya a = a’.
Contoh:
a. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi
satu-satu sebab f(-2) = f(2).
b. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = 2x, merupakan fungsi
satu-satu sebat setiap satu elemen A tepat dipasangkan dengan satu
elemen B.
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka Da dari fungsi f
adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) B. Apabila f(A) = B, yang berarti
setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu
elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f
memetakan A Onto B”
Contoh:
a. Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 bukan fungsi yang
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi
tersebut.
b. Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A → B yang didefinisikan
dengan diagram panah adalah suatu fungsi yang surjektif karena daerah
hasil f adalah sama dengan kodomain dari f (himpunan B).
3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang
injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif”
atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.
Contoh :
1. Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {p,q, r} yang didefinisikan
sebagai diagram di dibawah adalah suatu fungsi yang bijektif.
2. Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota
negaranegara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi
bijektif), karena tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara
yang berlainan.
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
• Jenis-jenis fungsi
1. Fungsi Konstan
Fungsi konstan f disebut fungsi konstan jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku
f(x)=c, dengan c bilangan konstan.
Contoh :
Diketahui fungsi f(x) = 3
Tentukan :
a. f(4) dan f(6)
Dari definisi fungsi f(4)=3 dan f(6)=3
b. Daerah hasil
Daerah hasil Dh={3}
c. Grafik fungsi
2. Fungsi Indentitas
Funsi f disebut fungsi indentitas jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku f(x)=x.
Fungsi indentitas umumnya disimbolkan dengan I.
Contoh :
Untuk fungsi indentitas I(x)=x, x ε R. Tentukan
a. I(1),I(3),I(5)
Dari definisi I , I(1)=1,I(3)=3,I(5)=5
b. Daerah hasil
Daerah hasil Df = R
c. Grafiknya
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
3. Fungsi Mutlak atau Fungsi Modulus
Fungsi mutlak atau modulus adalah fungsi yang memuat nilai mutlak. Nilai mutlak
dari a dinotasikan |a|, dibaca mutlak a dan dedefinisikan sebagai :
a , untuk a ≥0
| a | =
-a , untuk a 0
Contoh :
Diketahui fungsi mutlak f(x) =|2x +1|. Tentukan
a. f(x) b. Grafik fungsi c. Daerah hasil
a. f(x)
2x + 1, untuk 2x+1 ≥0 2x + 1, untuk x ≥-1/2
f(x) = =
-(2x+1), untuk 2x+1 0 -2x-1, untuk x-1/2
x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1
f(x) 3 2 1 0 1 2 3
b. Grafik fungsi
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
c. Daerah hasil
Dari grafik tampak daerah hasil Dh={y ε R | y≥ 0}
4. Fungsi Genap atau Fungsi Ganjil
Fungsi f dikatakan genap jika berlaku f(-x) = f(x). Fungsi dikatan fungsi ganjil jika
berlaku f(-x)=-f(x). Jika f(-x) ≠ f(x) dan f(-x) ≠ -f(x), maka fungsi f dikatakan tak genap
dan tak ganjil.
Contoh :
a. f(x) = x4 + x2 +3
f(-x) = (-x)4 + (-x)2 + 3 = x4 + x2 + 3 = f(x)
jadi f(x) fungsi genap
b. f(x) = x+5
f(-x) = -(x)+5= -x +5 ≠ f(x)
f(x) bukan fungsi genap dan fungsi ganjil.
• Fungsi Linier dan Grafiknya
Fungsi f disebut fungsi linier, jika f dapat dinyatakan sebagai f(x)=ax+b, untuk semua x
dalam daerah asal, a dan b konstanta dimana a ≠ 0. Grafik fungsi linier berbentuk garis
lurus dengan persamaan y = ax +b.
Contoh :
Diketahui fungsi f(x) = 2x +1. Tentukan
a. Grafik fungsi
b. Daerah hasil
Jawab :
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
a. Grafik fungsi linier
Grafik fungsi linier adalah sebuah garis lurus. Untuk menggambar grafik dapat
dilakukan dengan cara mengambil titik potong fungsi dengan sumbu x dan sumbu
y. Titik potong fungsi dengan sumbu x y =0
f(x)=2x + 1 = 0 x= -1/2 ( -1/2,0)
Titik potong fungsi dengan sumbu y x =0
f(x) = 2.0 + 1 y = 1 ( 0,1)
atau dapat juga dibuat dengan mensubtitusi beberapa nilai x ke fungsi :
x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
b. Daerah hasil
Dari grafik terlihat bahwa daerah hasil Dh = R
• Soal
1. Tentukan daerah hasil f untuk fungsi f : R R dengan rumus f(x)= x2-2x-8, jika ditentukan
daerah asal Da={xεR | -5≤x≤3}.
2. Tentukan daerah asal fungsi f(x) = (𝑥−1)
√𝑥2−3𝑥−10
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
3. Diketahui fungsi f(x) = 2x +1 ,g(x)= -2x+2 dan h(x)=2x-3. Tentukan grafik fungsi dalam
satu gambar.
Daftar Pustaka
26. Gleen Ledder. 2013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.
27. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.2006. Matematika untuk SMK kelas X semester
genap.Swadaya Murni: Jakarta.
28. http://arimatematika .blogspot.com/
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI KUADRAT Pengertian fungsi
Jenis fungsi
Grafik fungsi kuadrat
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat
Menentukan fungsi kuadrat
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
09 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Fungsi atau pemetaan f dari himpunan A
ke himpunan B adalah aturan yang
Mahasiswa mampu memahami masalah yang berkaitan dengan fungsi,
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
mengawankan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B. Fungsi f dituliskan
dengan f : AB dibaca : fungsi f
memetakan dari A ke B.
persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT
A. Pengertian fungsi
Definis :
Fungsi atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang
mengawankan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Fungsi f dituliskan dengan
f : AB dibaca : fungsi f memetakan dari A ke B.
Jika x ɛ A dan dipasangkan dengan y ɛ B, maka y di disebut peta dari x dan ditulis y=f(x).
Himpunan A disebut daerah asal (domain) dan himpunan B disebut daerah
kawan(kodomain) dan semua anggota B yang merupakan peta dari anggota A disebut
daerah hasil atau disebut range fungsi.Diagram panah pada gambar 6.4 menunjukkan
relasi ukuran sepatunya dari himpunan mahasiswa(A) ke himpunan ukuran-ukuran sepatu
(B). Setiap mahasiswa hanya mempunyai tepat satu ukuran sepatu, sehingga setiap
anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B
Jenis fungsi :
Fungsi konstan
Fungsi f disebut fungsi konstan jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku
f (x) = c, dengan c bilangan konstan.
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Contoh :
Diketahui fungsi konstan f (x) = 3 untuk setiap x e R.Tentukan
a. f(0),f(3) dan f(4)
b. Tentukan daerah hasilnya
c. Gambar grafiknya
Jawab :
a. Dari definisi f,
f(0)=3,f(3)=3,f(4)=3
b. Daerah hasilnya Rf={3}
c. Grafiknya
Fungsi Indentitas
Fungsi f disebut fungsi indentitas jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku
F(x)= x fungsi ini sering disimbolkan dengan I.
Contoh :
Untuk fungsi indentitas I(x)= x, x e R. Tentukan
a. I(0),i(3),i(5)
b. Daerah hasil
c. Grafik fungsinya
Jawab
a. F(0)=0,f(3)=3,f(5)=5
b. Daerah hasilnya adalah Rf= R
c. Grafik fungsi
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut
fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi initidak
genap dan tidak ganjil. Untuk memahami fungsi ganjil dan fungsi genap.
contoh .
1. f(x) = 2x3+x
f(–x) = 2(–x)3 + (–x)
= –2x3 – x
= –(2x3 + x)
= –f(x)
Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil.
2. f(x) = x2 – 8x
f(–x) = (–x)2 – 8 (–x)
= x2 + 8x
Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠ –f(x).
Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.
Fungsi kuadrat
Fungsi f disebut fungsi kuadrat jika untuk
a,b,c ɛ R, a ≠ 0 f(x)=ax2 + bx +c
Contoh :
Diberikan fungsi f : R --> R dengan rumus f(x) = x 2+4 x + 5 , x ɛ R
a. Tentukan f (0), f (4), f (6)
b. Tentukan bilangan a, sehingga f (a) = 17
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
c. Gambarkan grafik fungsi y = f (x) = x 2 − 4 x + 5 dalam bidang Cartesius.
d. Tentukan daerah hasilnya f, jika daerah asal f ditentukan sebagai
D f = {x e R| 1 ≤ x < 5} .
Jawab :
Dari rumus yang diketahui y = f(x) = x 2 + 4 x + 5 , x e R , maka setiap bilangan
real x
a. Untuk x = 0, maka f (0) = 0 2 + 4(0) + 5 = 5 ,
Untuk x = 4, maka f(4)=42+4.(4)+5 = 37
Untuk x =6, maka f(6) = 62+4.(6)+5 =55
b. Untuk x = a, maka f(a) = a2+4.(a)+4= a2+4a+5=17
= a2+4a-12
=(a-2)(a+6)
a= 2 atau a=-6
c. Garafik fungsi
Dari gambar diatas, untuk daerah asal Df= {x {x e R|1≤ x < 4} diperoleh daerah hasil Rf
={y e R |1≤ y< 10}.
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
B. Grafik Fungsi kuadrat
Tahapan pembuatan grafik fungsi
1. Tentukan titik potong fungsi dengan sumbu x ( jika ada )
Titik potong fungsi dengan sumbu x f(x)=0 dengan cara memfaktorkan
persamaan atau dengan rumus. Titik potong dengan sumbu x merupakan akar-akar
persamaan kuadrat tersebut.
Contoh :
f(x) = x2-4x-5 => (x + 1) ( x-5)
titik potong fungsi dengan sumbu x => (-1,0) dan (5,0)
2. Tentukan beberapa pasang titik bantu lainnya, dengan cara mensubtitusi nilai
variabel bebas ke ke persamaan:
Contoh :
Untuk x=-2, f(-2)= (-2)2-4(-2)+5= 7 => (-2,7).
Lanjutkan untuk beberapa titik lainnya sehingga didapat beberapa pasangan titik
seperti terlihat pada tabel berikut :
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
f(x) 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7
3. Tentukan sumbu simetri
x = (x1+x2)/2= −𝑏
2𝑎
Contoh :
f(x) = x2-4x-5
sumbu simetri x =- (-1+5)/2 =- (4)/2 = -2
4. Tentukan titik balik fungsi
Titik balik fungsi ( −𝑏
2𝑎 ,
𝐷
−4𝑎 )
Contoh :
Titik balik fungsi f(x) = x2-4x-5 a= 1, b=-4, c = -5
( −𝑏
2𝑎 ,
𝐷
−4𝑎 ) = (
−𝑏
2𝑎 ,
𝑏2−4𝑎𝑐
−4𝑎 )
= ( −(−4)
2.1 ,
(−4)2−4(1)(−5)
−4.1 )
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
= (4
2 ,
36
−4 ) =(2,-9)
5. Grafik fungsi f(x) = x2-4x-5
C. Sifat grafik fungsi kuadrat
Ditinjau berdasarkan kedudukan grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax2 + bx + c terhadap
sumbu x secara keseluruhan ada enam kemungkinan. Keenam kemungkinan kedudukan
itu ditentukan oleh tanda-tanda dari nilai a dan tanda-tanda dari nilai diskriminan D = b2
– 4ac. Keenam kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax2 + bx + c
terhadap sumbu x
1. Apabila nilai a>0 dan D<0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 tidak mempunyai
akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c terbuka ke atas
(mempunyai titik balik minimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu
x.
Contoh : f(x) = x 2 + 5 x + 8
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2. Apabila nilai a>0 dan D=0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-
akar real dan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas
(mempunyai titik balik minimum) dan menyinggung sumbu x.
Contoh : f(x) =x2+4x+4
3. Apabila nilai a>0 dan D>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-
akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka
ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang
berlainan.
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
4. Apabila nilai a<0 dan D<0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 tidak mempunyai
akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c terbuka ke bawah
(mempunyai titik balik maksimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu
x.
Contoh : f(x)=-x2-x+3
5. Apabila nilai a<0 dan D = 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai
akar-akar real dan sama (kembar), sehingga grafik fungsi kuadrat y=f(x)=ax2 +bx+c
terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan menyinggung sumbu x.
Contoh :
f(x) =-x2-4x-4
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
6. Apabila nilai a<0 dan D>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-
akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka
ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang
berlainan.
Contoh : f(x)=-x2+4x
D. Menentuka fungsi kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah
sebagai berikut.
A. Dengan perkalian faktor
(x – x1)(x – x2) = 0
Contoh :
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1= 2 dan x2= -3 adalah
(x – x1)(x – x2) = (x-2)(x-(-3))
= (x-2)(x+3)
= X2 + x -6
2012 11
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
B. Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
contoh :
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1= 2 dan x2= -3 adalah
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = x2 – (2 -3)x + (2)(-3)
= x2 – (2 -3)x + (2)(-3)
= x2 +x -6
Contoh :
Fungsi kuadrat dari grafik
Jawab :
Fungsi diatas memotong sumbu x di titik (-4,0) dan (2,0) dengan x = -4 dan x=2
adalah akar-akar persamaan kuadrat. Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = x2 – (-4 + 2)x + (-4)(2)
= x2 – (-2)x + (-8)
= x2 +2x -8
2012 12
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Soal Latihan
1. Buat grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 8x + 16
2. Tanpa harus menggambar, tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat:
f(x)= x2 + 2x + 5 terhadap sumbu x.
3. Tentukan persamaan fungsi gambar berikut
4. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k adalah 5. Tentukan nilai
k positif fungsi tersebut.
5. Diketahui persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3.
6. Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah dan .
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya
dan
.
7. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12 + x2
2
= 4. Tentukan nilai q persamaan tersebut.
Daftar Pustaka
1. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi,
Indonesia
2. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur.
Erlangga. Jakarta
3. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.
4. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
LINGKARAN - Persamaan fungsi
- Menentukan pusat lingkaran, jari-jari
lingkaran
- Menentukan kedudukan titik terhadap
lingkaran
- Menentukan persamaan elips, titik focus.
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
10 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Lingkaran tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap suatu titik
tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-
jari dan titik tetap itu disebut pusat
lingkaran.
Mahasiswa mampu memahami
masalah yang berkaitan dengan
persamaan lingkaran dan meng
gambarkannya dengan lengkap.
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Dan mampu menentukan persamaan
elips dan menggambarkannya dengan
lengkap .
A. Persamaan Lingkaran
Definsi :
Lingkaran tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap.
Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut pusat lingkaran.
Persamaan lingkaran bila pusatnya di O(0,0) dan jari-jari:
a. r = 5 adalah x2 + y2 = 25
b. r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼
c. r = 1,1 adalah x2 + y2 = 1,21
d. r = √3 adalah x2 + y2 = 3
Contoh 1 :
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari 12
Jawab :
r2=x2+y2
<=> x2+y2 = 122
<=> x2+y2 = 144
Contoh 2 :
Tentukan persamaan lingkaran melalui titik ( 7,-24) dengan pusat O(0,0)
Jawab :
Jari-jari lingkaran r = √72 + (−24)2
r = √625 = 25
Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan melalui titik(7,-24) adalah
x2+y2 = 144
1. Persamaan lingkaran mellaui titik A(x,y)
Jika A(a,b) adalah pusat lingkaran dan B(x,y) titik yang terletak pada lingkaran,
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak A ke B.
r2 = (AB)2
=(xb-xa)2 + (yb-ya)2
=(x –a )2 + (y-b)2
Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r adalah :
(x –a )2 + (y-b)2 = r2
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :
Jawab :
Pusat (–2, 3), r = 5
Persamaan lingkaran: (x – (–2))2 + (y – 3)2 = 52
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 25
x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 25
x2 + y2 + 4x – 6y + 13 = 25
x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5,2) dan melalui titik(-4,1)
Jawab :
Jari-jari lingkaran r2=(-4–5)2 + (1-2)2
r = √(−9)2 + (−1)2
= √82
Persamaan lingkaran (x-5)2 + (y-2)2 =( √82 )2
x2-10x +25+y2-4y+4 =( √82 )2
x2+y2-10x-4y +29 = 82
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
x2+y2-10x-4y -53 = 0
B. Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a2 + b2 – r2 = C, maka diperoleh :
Bentuk umum persamaan :
x2 + y2 – 2Ax – 2By + C = 0, dimana pusat lingkaran (-A,-B)
Jari – jari lingkaran :
r = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶2 atau r = √𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶2
Contoh : 1
Tentukan pusat dan panjang jari lingkaran persamaan lingkaran
x2+y2 -2x-6y-15 =0
Jawab :
x2+y2 -2x-6y-15 =0 <=> x2 + y2 – 2Ax – 2By + C = 0,
maka diperoleh
2A = –2 2B = –6 C = –15
A = –1 B = –3
r = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝑪 = √(−𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐 − (−𝟏𝟓)
r = √𝟏 + 𝟗 + 𝟏𝟓 = √𝟐𝟓 = 5
Sehingga pusat lingkaran (1,3) dan jari-jari lingkaran =5
Contoh : 2
Tentukan pusat dan panjang jari-jari lingkaran
3x2 + 3y2 + 30x + 72 = 0
Jawab :
3x2 + 3y2 + 30x + 72 =0 <=> x2 + y2 – 2Ax – 2By + C = 0,
Maka diperoleh:
2A = 10, 2B = 0 , C = 24 <=> A = 5 ,B = 0, C=24
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
r = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝑪 = √(𝟓)𝟐 + (𝟎)𝟐 − (𝟐𝟒) =√𝟏 = 1
Sehingga pusat lingkaran (-5,0) dan jari-jari lingkaran =1
C. Kedudukan titik terhadap lingkaran
1. Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2 dapat terjadi dalam tiga
keadaan :
1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x12 + y1
2 < r2.
2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku x12 + y1
2 = r2..
3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x12 + y1
2 > r2.
Contoh :
Tentukan posisi titik(-3,4) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25
Jawab :
(-3,4) => x2 + y2 =( -3)2+42=9+16
=25=25
Jadi titik(-3,4) teletak pada lingkaran
Contoh :
Tentukan posisi titik B(-3,4) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25
Jawab :
B(–3, 4) --> x2 + y2 = (–3)2 + 42 = 9 + 16
= 25 = 25
Jadi B(–3, 4) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 25
Contoh :
Tentukan posisi titik C(6,-5) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25
Jawab :
C(5, –6) --> x2 + y2 = 52 + (–6)2 = 25 + 36
= 61 > 25
Jadi C(5, –6) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 25.
2. Posisi titik P(x1, y1) terhadap lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dapat terjadi
dalam tiga keadaan :
1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (x – a)2 + (y – b)2< r2
2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku (x – a)2 + (y – b)2 = r2
3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (x – a)2 + (y – b)2 > r2
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Contoh :
Diketahui persamaan lingkaran x2 + y
2 – 6x – 4y – 3 = 0 dan 3 titik, P (7, 5); Q
(–1, 2); dan R (0, 4). Tentukan posisi titik tersebut terhadap lingkaran dan
gambarkan posisi titik tersebut.
Jawab :
Lingkaran :
Lingkaran x2 + y
2 – 6x – 4y – 3 = 0 ; A = –6, B = –4 dan C = –3
Pusat lingkaran (-1/2 A,-1/2B)=(-1/2( -6),-1/2(-4))=(3,2)
Jari – jari lingkaran R = √1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 + 𝐶 =
= √1
4(−6)2 +
1
4(−4)2 − (−3) =
=√9 + 4 + 3 = √16 = 4
Titik-titik.
Substitusi P (7, 5) pada lingkaran, maka didapat :
72 + 5
2 – 6.7 – 4.5 – 3 = 49 + 25 – 42 – 20 – 3 = 9 > 0
Substitusi Q (–1, 2) pada lingkaran, maka didapat :
(-1)2 + 2
2 – 6.(–1) – 4.2 – 3 = 1 + 4 + 6 – 8 – 3 = 0
Substitusi R (0, 4) pada lingkaran, maka didapat :
02 + 4
2 + 6.0 – 4.4. – 3 = 16 – 16 – 3 = –3 < 0
Gambar.
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
D. Persamaan ellips
Definisi :
Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan
jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap.
( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.
Dari gambar diatas, titik F1 dan F2 dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D
adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu :
1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu
mayor elips adalah AB.
2. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor.
Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD.
Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.
Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :
- Pusat elips O(0,0) ;
- Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;
- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) ;
- Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu
mayor = 2a
X O A ( a , 0 )
F1 ( - c , 0 )
F1 ( c , 0 )
Y
P ( x , y )
D ( 0 , - b )
C ( 0 , b )
B ( a , 0 )
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
- Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu
minor = 2b
- Eksentrisitas : a
ce
- Direktriks : e
ax atau
c
ax
2
Panjang lactus rectum a
b22
Persamaan Elips
A. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)
Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik
fokusnya.
1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah
bab
y
a
xataubayaxb ,1
2
2
2
2222222
Dengan :
- Pusat (0,0)
- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0)
2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah
baa
y
b
xataubaybxa ,1
2
2
2
2222222
Dengan :
- Pusat (0,0)
- Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)
Catatan : 22 bac
Contoh 1
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0)
dengan sumbu mayor 10 satuan.
Jawab :
Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x )
Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5
39162522 cab
Persamaan elipsnya :
1925
135
122
2
2
2
2
2
2
2
2
yxyx
b
y
a
x
Jadi persamaan elipnya adalah 1925
22
yx
Contoh 2
Diketahui persamaan elips 1916
22
yx
, tentukan koordinat titik puncak,
koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas,
persamaan direktriks dan panjang lactus rectum !
Jawab :
Dari persamaan elips 1916
22
yx
, diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 = 9,
maka b = 3.
c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c = 7 .
Dari data diatas diperoleh :
Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)
Titik focus ( -c,0) = (- ,0 ) dan ( c,0)=( 7 ,0 )
Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8
Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6
7
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Eksentrisitas: = 4
7
Persamaan direktriks : 7
7
16
7
16
4
7
4
e
ax
Panjang lactus rectum = 2
14
4
18
4
9.22 2
a
b
B. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
1. Elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada /
sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah
Dengan :
Pusat (α,β)
Titik fokus di F1 (α-c, β) & F2(α+c, β)
Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)
Panjang sumbu mayor=2a
Panjang sumbu minor=2b
Persamaan direktriks 2a
xc
2. Elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak (α,β)
Dengan :
Pusat (α,β)
Titik fokus di F1 (α,β-c) & F2(α,β+c)
Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)
a
ce
2 2
2 21
x y
b a
2 2
2 21
x y
a b
2012 11
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Panjang sumbu mayor=2a
Panjang sumbu minor=2b
Persamaan direktriks 2a
yc
Contoh 1
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu
minor dari persamaan elips 2 24 9 16 18 11 0x y x y
Jawab :
Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku
2 2
2 21
x y
a b
2 24 9 16 18 11 0x y x y
2 24 16 9 18 11x x y y
2 24 4 9 2 11x x y y
2 22 24 2 2 9 1 1 11x y
2 2
4 2 4 9 1 1 11x y
2 2
4 2 16 9 1 9 11x y
2 2
4 2 9 1 11 16 9x y
2 2
4 2 9 1 36x y
2 22 1
19 4
x y
2012 12
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Dari persamaan diatas diperoleh : α=2, β=1, a2=9 maka a=3, b2=4 maka
a=2, 2 2 2 23 2 9 4 5c a b
Pusat ( α,β )= ( 2,1 )
Titik fokus di F1 ( α-c, β )= ( 2 - 5 ,1 ) & F2 ( α+c, β )=( 2+ 5 ,1 )
Titik puncak ( α-a, β )=( 2-3,1 ) =( -1,1 ) & ( α+a, β )= ( 2+3,1 )=( 5,1 )
Panjang sumbu mayor=2a=2.3=6
Panjang sumbu minor=2b=2.2=4
Soal :
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat(2,4) dan jari-jari=3
2. Tentukan pusat dan panjang jari-jari persamaan lingkaran
x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
3. Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x – 10y = 0, jika pusat lingkaran (2, a), maka
tentukan nilai a persamaan tersebut.
4. Tentukan posisi titik a(8,-2) terhadap lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 60 = 0
5. Tentuka nilai p persamaan lingkaran (x + 4)2 + (y – p)2 = 13 , jika diketahui titik A(–2,
–1) berada di dalam lingkaran.
6. Diketahui persamaan ellips 4x2 + 9y2 +16x - 18y - 11 = 0. Tentukan
a. Pusat ellips
b. Panjang sumbu mayor
c. Panjang sumbu minor.
Daftar pustaka :
1. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi, Indonesia
2. Idel, A dan Hariyono, R. Pintar Matematika SMU. Gitamedia Press, Surabaya
3. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur.
Erlangga. Jakarta
4. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.
5. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta
2012 13
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Daftar Pustaka
5. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi,
Indonesia
6. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur.
Erlangga. Jakarta
7. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.
8. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
PARABOLA dan
HYPERBOLA 1. Persamaan hiperbola
2. Membedakan bentuk parabola dan
hiperbola
3. Menggambarkan persamaan hiperbola
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
11 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu. Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu disebut direktriks.
Mahasiswa mampu memahami masalah yang berkaitan dengan persamaan hiperbola dan asimtot.
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
PARABOLA dan HYPERBOLA
A. PARABOLA.
Definsi
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik
tertentu dan garis tertentu. Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu
disebut direktriks.
Persamaan Parabola
A. Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F(p,0)
Dari gambar di atas, O(0,0) merupakan puncak parabola, garis g adalah direktriks
parabola dengan persamaan direktriks x = -p, F(p,0) merupakan fokus parabola,
Sumbu x merupakan sumbu simetri parabola dengan persamaan parabola y = 0
dan CC1 adalah panjang lactus rectum dari parabola.
Misalkan P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola, berdasarkan definisi
parabola maka berlaku :
Jarak PF = jarak PQ
2 2 2( ) ( 0) ( )x p y x p
P ( x,y )
Sumbu Simetri : y = 0
Direktriks : x = -p
X
Y
Q ( -p,y )
C1
C
O . F ( p,0 )
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2 2 2( ) ( )x p y x p
2 2 2 2 22 2x p x p y x p x p
2 2 2 2 22 2 0x x p p p x p x y
24 0p x y
2 4y p x
Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan fokus
F( p,0)adalah
2 4y p x
Catatan :
1. Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan
2. Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.
3. Dengan : - Puncak (0,0)
- Fokus F ( p,0 )
- Persamaan direktriks : x = -p
- Persamaan sumbu simetri : y = 0
B. Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F (0,p)
. F ( 0,p ) C1 C
X
Y
Sumbu Simetri : x
= 0
Direktriks : y =
- p .
Q ( x,-
p)
. P
( x,y )
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola, berdasarkan definisi
parabola berlaku :
Jarak PF = jarak PQ
2 2 2( 0) ( ) ( )x y p y p
2 2 2( ) ( )x y p y p
2 2 2 2 2 2 2 0x y y p p py py
24 0p y x
2 4x p y
Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan
fokus F(0,p)adalah
2 4x p y
Catatan :
1. Jika p > 0 maka parabola terbuka keatas.
2. Jika p < 0 maka parabola terbuka kebawah.
3. Dengan : - Puncak (0,0)
- Fokus F ( 0, p )
- Persamaan direktriks : y = - p
- Persamaan sumbu simetri : x = 0
P ( x , y )
O
Sumbu Simetri :
y = b
Direktriks : x = -
X
Y
Q ( -
p+a ,y+b )
C
1
C
A
(a,b)
. F
( p+a ,b
)
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
C. Persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b)
Persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b) adalah :
I. 2( ) 4y b p x a
Catatan :
1. Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan
2. Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.
3. Dengan : - Puncak (a,b)
- Fokus F ( p+a , b )
- Persamaan direktriks : x = - p + a
- Persamaan sumbu simetri : y = b
II. 2( ) 4x a p y b
Catatan :
1. Jika p > 0 maka parabola terbuka keatas.
2. Jika p < 0 maka parabola terbuka kebawah.
3. Dengan : - Puncak (a,b)
- Fokus F ( a , p + b )
- Persamaan direktriks : y = - p + b
- Persamaan sumbu simetri : x = a
Contoh 1.
Tentukan koordinat fokus dan persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan
panjang lactus rectum dari persamaan parabola 2 8y x !
Jawab :
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Diketahui pers. Parabola 2 8y x , dimana persamaan umum parabola adalah
2 4y p x . Sehingga diperoleh 4 8p x x , maka p = - 2 < 0. Jadi
parabola terbuka ke kiri. Dari hasil yang didapat , diperoleh :
Fokus parabola di F ( p , 0 ) = ( -2 , 0 )
Persamaan direktriks : x = - p = - (-2 ) = 2
Persamaan sumbu simetri : y = 0
Dari fokus F ( - 2 , 0 ) , x = - 2 , diperoleh 2 8.( 2) 16y , sehingga
diperoleh 4y . Jadi koordinat titik-titik ujung lactus rectumnya adalah
( 2 , 4 ) dan ( -2 , - 4 ).Dengan demikian panjang lactus rectumnya adalah 2 . 4
= 8.
Contoh 2
Tentukan persamaanparabola jika titik puncaknya ( 2 , 3 ) dan titik fokusnya ( 6 , 3 ) !
Jawab :
Diketahui titik puncak ( 2 , 3, ) = ( a , b ), maka diperoleh a = 2, b = 3, Titik fokus
(6,3)
( , )
F
F p a b
Jadi persamaan parabolanya adalah
2
2
2
( ) 4
( 3) 4.4 2
( 3) 16 2
y b p x a
y x
y x
Contoh 3
Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, sumbu simetri danpersamaan direktriks dari
persamaan parabola 2 4 4 8 0y x y !
Jawab :
2
2
2 2
2
2
4 4 8 0
4 4 8
2 2 4 8
2 4 8 4
2 4 4
y x y
y y x
y x
y x
y x
p + a = 6 ,
p+ 2 =>
6 ,
p = 4
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2
2
2 4( 1)
4 ( )
y x
y b p x a
a = 1 , b = - 2, dengan demikian diperoleh :
titik puncak ( a, b ) = ( 1, -2 )
Titik fokus F ( p + a , b ) = ( 2, -2 )
Persamaan direktriks : x = - p = - 1
Persamaan sumbu simetri : y = b = -2
B. HYPERBOLA
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu
adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.
Unsur-Unsur Hiperbola.
4 p = 4, p = 1
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F1 & F2 adalah focus hiperbola, titik
puncak ( -a,0) & (a,0), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang sumbu minor = 2b.
1. Persamaan Hiperbola
Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 )
1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :
2 22 2 2 2 2 2
2 21
x yb x a y a b atau
a b
Dengan :
- Pusat ( 0,0 )
- Titik fokus F1( -c,0 ) & F2 ( c,0 )
- Titik puncak ( -a,0 ) & ( a,0 )
- Panjang sumbu mayor = 2a
- Panjang sumbu minor = 2b
- Persamaan asimptot : b
y xa
- Persamaan direktriks : 2a
xc
- Eksentrisitas: c
ea
O
xa
by x
a
by
Y
( a,0 )
( 0, -b )
( 0,b
)
T (x,y)
.
F2 ( -c,0)
.
F1 ( c,0)
X
(- a,0 )
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
- Panjang lactus rectum 22b
a
- 2 2 2c a b
2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :
2 22 2 2 2 2 2
2 21
y xb y a x a b atau
a b
Dengan :
- Pusat ( 0,0 )
- Titik fokus F1( 0,-c ) & F2 ( 0,c )
- Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a )
- Panjang sumbu mayor = 2a
- Panjang sumbu minor = 2b
- Persamaan asimptot : a
y xb
- Persamaan direktriks : 2a
yc
Contoh 1 :
Diketahui persamaan hiperbola 2 2
136 25
x y , tentukan :
a. Koordinat titik puncak
b. Koordinat titik fokus
c. Persamaan asimptot
d. Persamaan direktriks
e. Eksentrisitas
f. Panjang lactus rectum
Jawab :
Dari persamaan hiperbola
2 2
116 9
x y , diperoleh a2=16, maka a=4 dan a2=9, maka
a=3
2 2 2 24 3 16 9 25 5c a b
a. koordinat titik puncak : ( - a,0 )=( - 4,0) & ( a,0 )=(4,0)
2012 11
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
b. koordinat titik fokus : ( - c, 0 )=( -5,0 ) & ( c,0 )=( 5,0 )
c. persamaan asimptot : 3
4
by x x
a
d. persamaan direktriks : 2 24 16 1
35 5 5
ax
c
e. eksentrisitas : 5
4
ce
a
f. panjang lactus rectum
2 22 2.3 9 14
4 2 2
b
a
Contoh 2 :
Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya (0,5) &
(0,-5).
Jawab :
Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5) diperoleh c=5.
2 2 2 25 3 25 9 16 4b c a
Jadi persamaan hiperbolanya adalah 2 2 2 2 2 2
2 2 2 21 1 1
3 4 9 16
y x y x y x
a b
Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α,β )
2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x, persamaan
hiperbolanya adalah :
2 2
2 21
x y
a b
Dengan :
- Pusat ( α,β )
- Titik fokus F1( α - c, β ) & F2 ( α + c, β )
- Titik puncak ( α - a, β ) & ( α + a, β )
- Panjang sumbu mayor = 2a
- Panjang sumbu minor = 2b
- Persamaan asimptot : b
y xa
2012 12
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
- Persamaan direktriks : 2a
xc
3. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan
hiperbolanya adalah :
2 2
2 21
y x
a b
Dengan :
- Pusat ( α,β )
- Titik fokus F1( α , β - c ) & F2 ( α, β + c )
- Titik puncak ( α , β - a ) & ( α, β + a )
- Panjang sumbu mayor = 2a
- Panjang sumbu minor = 2b
- Persamaan asimptot : a
y xb
- Persamaan direktriks : 2a
yc
Contoh 3 :
Diketahui persamaan hiperbola 2 24 3 24 18 27 0x y x y . Tentukan:
a. koordinat titik pusat
b. koordinat titik puncak
c. koordinat titik fokus
d. persamaan asimptot
e. persamaan direktriks
Jawab :
Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku
2 2
2 21
x y
a b
2 24 3 24 18 27 0x y x y
2 24 24 3 18 27x x y y
2 24 6 3 6 27x x y y
2 22 24 3 3 3 3 3 27x y
2012 13
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2 24 3 9 3 3 9 27x y
2 2
4 3 36 3 3 27 27x y
2 2
4 3 3 3 27 27 36x y
2 2
4 3 3 3 36x y
2 2
4 3 3 3 36x y
2 2
3 31
9 12
x y
Dari persamaan diatas, diperoleh 3 3dan , a2=9, maka a=3 dan b2=12, maka
b= 2 3 , 2 2 9 12 21c a b
a. Koordinat titik pusat ( α,β )=(-3,3)
b. Koordinat titik puncak ( α - a, β )=( -3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=( -3+3,-3 )=(0,-3)
c. Koordinat titik fokus : F1( α - c, β )=( -3- 21 ,3 ) & F2 ( α + c, β )=( -3+ 21 , 3 )
d. Persamaan asimptot : 2 3
3 33
by x y x
a
e. Persamaan direktriks :
2 23 9 33 3 3 21
721 21
ax x x x
c
Soal :
1. Diketahui parabola y2-4y-6x+10 =0, tentukan
a) titik puncak
b) titik fokus
c) sumbu simetri
d) persamaan direktriks
2. Diketahui persamaan hiperbola 9x2 – 4y2 = 36 tentukan :
a) Koordinat titik puncak
b) Koordinat titik fokus
c) Persamaan asimptot
d) Persamaan direktriks
2012 14
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
e) Eksentrisitas
f) Panjang lactus rectum
Daftar Pustaka
1. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi,
Indonesia
2. Idel, A dan Hariyono, R. Pintar Matematika SMU. Gitamedia Press, Surabaya
3. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur.
Erlangga. Jakarta
4. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.
5. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
TRIGONOMETRI
- Definisi perbandingan trigonometri
- Rumus-rumus trigonometri
- Grafik fungsi trigonometri
- Grafik fungsi trigonometri
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
12 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Lingkaran tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap suatu titik
tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-
Mahasiswa mampu mendiskripsikan dan mengaplikasikan perbandingan trigonometri, memahami penggunaan
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
jari dan titik tetap itu disebut pusat
lingkaran.
rumus-rumus trigonometri dan membuat grafik fungsi trigonometri
TRIGONOMETRI
Konsep trigonometri pada pembahasan ini diawali dengan perbandingan trigonometri suatu
sudut pada segitiga sikusiku.
A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku
Gambar di atas adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di
hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di
hadapan sudut C adalah c.
Terhadap sudut :
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap
sudut sebagai berikut:
1. c
a
hipotenusa panjang
Asudut depan di siku-siku sisi panjang sin
A
B
C
c a
b
Gb. 12.1 Perbandingan Trigonometri
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2. c
b
hipotenusa panjang
Asudut (berimpit) dekat di siku-siku sisi panjang osc
3. b
a
Asudut dekat di siku-siku sisi panjang
Asudut depan di siku-siku sisi panjang tan
4. a
c
Asudut depan di siku-siku sisi panjang
hipotenusa panjang csc
5. b
c
Asudut dekat di siku-siku sisi panjang
hipotenusa panjang sec
6. a
c
Asudut depan di siku-siku sisi panjang
Asudut dekat di siku-siku sisi panjang cot
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:
cos
sin tan dan
sin
cos cot
cos
1 sec dan
sin
1 csc
Contoh:
Pada gambar di samping segitiga
sikusiku ABC dengan panjang a 24 dan
c 25.
Tentukan keenam perbandingan
trigonometri untuk .
Penyelesaian:
Nilai b dihitung dengan teorema
Pythagoras
22 2425b
576625
749
25
24 sin
c
a
24
25 csc
a
c
25
7 osc
c
b
7
25 sec
b
c
A
B
C
c a
b
Gb. 12.2. Perbandingan trigonometri
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
7
24 tan
b
a
24
7 cot
a
c
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai
tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan 90.
Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 60.
Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku
seperti gambar berikut ini.
Dari gambar 11.3a dapat ditentukan
22
1
2
145 sin 2
1
245csc
22
1
2
145 cos 2
1
245sec
11
145 tan 1
1
145 cot
Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan
2
103 sin 3
2
1
2
306 sin
32
1
2
303 cos
2
106 cos
33
1
3
130 tan 3
1
360 tan
21
230csc 3
3
2
3
260csc
Gb. 12.3b. sudut istimewa
3
60
30
1 2
Gb. 12.3.a. sudut istimewa
2
45
1
1
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
33
2
3
230sec 2
1
260sec
31
330 cot 3
3
1
3
160 cot
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0 30 45 60 90
sin 0 2
1 2
2
1 3
2
1 1
cos 1 32
1 2
2
1
2
1 0
tan 0 33
1 1 3
tak
terdefinisi
cot tak
terdefinisi 3 1 3
3
1 0
contoh:
1. 2
212
2
1
2
145 cos30 sin
2. 33
12
2
132
2
160 cot 45cos60 tan 45sin
63
26
6
46
6
16
2
1
C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran
P (Gb. 11.4) adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang
dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga XOP dapat bernilai :
0 sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa
y
x X
Y P(x,y)
r
1
Gb. 12.4
O
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
ry 22xOP dan r 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam
absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:
1. r
y
OP panjang
P ordinatα sin 4.
y
r
P ordinat
OP panjangαcsc
2. r
x
OP panjang
P absisα cos 5.
x
r
P absis
OP panjangα sec
3. x
y
P absis
P ordinatα tan 6.
y
x
P ordinat
P absisα cot
Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III
atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.
Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:
Perbandingan
Trigonometri
Kuadran
I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
Gb. 12.5 titik di berbagai kuadran
y
x X
Y P(x,y)
r
1
O
y
x X
Y P(x,y)
r
2
O
y
x
X
Y
r
P(x,y)
3
O
y
x
X
Y
r
P(x,y)
4
O
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
tan + - + -
csc + + - -
sec + - - +
cot + - + -
D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ), (360 ),
dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku
(komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut
dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.
1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )
Dari gambar 2.7 diketahui
Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
akibat pencerminan garis y x, sehingga diperoleh:
a. XOP = dan XOP1 = 90 -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:
a. cos90 sin1
1
r
x
r
y
b. sin90 cos1
1
r
y
r
x
c. cot90 tan1
1
y
x
x
y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90
- ) dapat dituliskan sebagai berikut:
a. cos90 sin d. sec90csc
b. sin90 cos e. ec cos90sec
c. cot90 tan f. tan90 cot
y
x
X
Y
P(x,y)
r
(90-)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
y = x
Gb. 12.6 sudut yang berelasi
O
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )
Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
titik P(x,y) akibat pencerminan
terhadap sumbu y, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
a. sin180 sin1
1
r
y
r
y
b.
c.
tan180 tan1
1
x
y
x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )
Dari gambar 12.8 titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y x,
sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 +
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
a.
sin180 sin1
1
r
y
r
y
b.
cos180 cos1
1
r
x
r
x
cos180 cos1
1
r
x
r
x
a. sin180 sin d. csc180csc
b. cos180 cos e. sec 180sec
c. tan180 tan f. cot180 cot
y
x X
Y
P(x,y)
r
(180-)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O
Gb. 12.7 sudut yang berelasi
y
x X
Y
P(x,y)
r
(180+)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O
Gb. 12.8. sudut yang berelasi
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
c.
tan180 tan
1
1
x
y
x
y
x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )
Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan
dari P(x,y)
akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan
a.
sin sin1
1
r
y
r
y
b. cos cos1
1
r
x
r
x
c.
tan tan1
1
x
y
x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. sin180 sin d. csc 180csc
b. cos180 cos e. sec 180sec
c. tan180 tan f. cot180 cot
a. sin sin d. csc csc
b. cos cos e. sec sec
c. tan tan f. cot cot
y
x
X
Y
P(x,y)
r
(360-1)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O -
Gb. 12.9. sudut yang berelasi
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 , misalnya sin
(360 ) sin .
E. Identitas Trigonometri
Dari gambar di samping diperoleh r
xcos ,
r
ysin dan
22 yxr . Sehingga
2
2
2
222 cossin
r
x
r
y
12
2
2
22
r
r
r
yx
F. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu
sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian.
Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi
persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.
1. Menyelesaikan persamaan sin x sin
Dengan mengingat rumus
sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh:
2. Menyelesaikan persamaan cos x cos
Dengan mengingat rumus
cos cos dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh
Jika sin x sin maka
x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B
Jika cos x cos maka
x + k. 360 atau x + k. 360, k B
y
x X
Y P(x, y)
r
O
Gb. 12.10 rumus identitas
sin2 +cos2 1
Jadi
2012 11
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
3. Menyelesaikan persamaan tan x tan
Dengan mengingat rumus
tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka diperoleh:
contoh:
Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0 x 360.
a) 2
1 sin x c) 3 tan x
b) 32
1 cos x
Penyelesaian:
a) 2
1 sin x sin x sin 30
x + k. 360 untuk k = 0 x 30
x (180 ) + k.360 untuk k = 0 x 180 30 150
b) 32
1 cos x cos x cos 30
x + k. 360 untuk k = 0 x 30
x + k. 360 untuk k = 1 x 30 + 360 330
c) 3 tan x tan x tan 120
x + k. 180 untuk k = 0 x 120
untuk k = 1 x 120 + 180 300
Catatan: satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu radian adalah besarnya
sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.
AOB = 1 rad
Hubungan radian dengan derajat
Jika tan x tan maka
x + k. 180 , k B
r r
O A
B
2012 12
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
360 = r
r2 rad
= 2 rad
180 = rad
pendekatan 1 rad = 57,3.
Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan
trigonometri dapat pula menggunakan satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan
sin x sin A maka penyelesaiannya adalah:
x A + k. 2 atau x ( A) + k. 2 , k B
di mana x dan A masing-masing satuannya radian.
G. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus cos ( + ) dan cos ( )
Pada gambar di samping diketahui garis
CD dan AF keduanya adalah garis tinggi
dari segitiga ABC. Akan dicari rumus
cos ( + ).
AC
AD cos
cos ACAD
Pada segitiga sikusiku CGF
CF
GF sin sin CFGF …………..(1)
Pada segitiga sikusiku AFC,
AC
CF sin sin ACCF …………..(2)
AC
AFβ cos cos ACAF …………..(3)
Pada segitiga sikusiku AEF,
AF
AE cos cos AFAE …………..(4)
Dari (1) dan (2) diperoleh
A D E B
C
G F
Gb. 12.11
2012 13
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
GF AC sin sin
Karena DE GF maka DE AC sin sin
Dari (3) dan (4) diperoleh
AE AC cos cos
Sehingga AD AE DE
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin
Jadi
Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu disubstitusikan ke rumus cos
( + ).
cos ( ) cos ( + ())
cos cos () sin sin ()
cos cos sin (sin )
cos cos + sin sin
Jadi
2. Rumus sin ( + ) dan sin ( )
Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus sebelumnya,
yaitu: sin (90 ) cos dan
cos (90 ) sin
sin ( + ) cos (90 ( + ))
cos ((90 ) )
cos (90 ) cos + sin (90 ) sin
sin cos + cos sin
Jadi
Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah
dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).
sin ( ) sin ( + ( ))
sin cos () + cos sin ()
sin cos + cos (sin )
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin
sin ( + ) sin cos + cos sin
2012 14
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
sin cos cos sin
Jadi
3. Rumus tan ( + ) dan tan ( )
Dengan mengingat
cos
sin tan , maka
sin sin cos cos
sin cos cos sin
)( cos
)( sin)( tan
cos
sin
cos
sin1
cos
sin
cos
sin
cos cos
sin sin cos cos
cos cos
sin cos cos sin
)( tan
tan tan1
tan tan
Jadi
Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ).
tan ( ) tan ( + ( ))
)(- tan tan1
)(- tan tan
) tan( tan1
)( tan tan
tan tan1
tan tan
Jadi
H. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus
trigonometri untuk sudut rangkap.
1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos
Jadi
sin ( ) sin cos cos sin
tan tan1
tan tan)( tan
sin 2 2 sin cos
tan tan1
tan tan)( tan
2012 15
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2
Jadi
Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan
mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.
cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2
cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2
2cos2 1 1 2 sin2
Sehingga
3.
2tan1
tan 2
tan tan1
tan tan)( tan 2 tan
Jadi
I. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan
1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
Jadi
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
Jadi
2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
sin ( + ) sin cos + cos sin
sin ( ) sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
Jadi
cos 2 cos2 sin2
1) cos 2 cos2 sin2
2) cos 2 2cos2 1
3) cos 2 1 2 sin2
2tan1
tan 2 2 tan
+
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
+
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
2012 16
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
sin ( + ) sin cos + cos sin
sin ( ) sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
Jadi
J. Soal Latihan
1. Carilah nilai dari
a. sin 120 b. tan 150 c. cot 330
Nilai dari sin 45 cos 135 + tan 210 sec 60 = …..
2. Jika cos = 5
4dan 0 90 maka nilai tan adalah ……
3. Jika dan sudut-sudut lancip dengan sin = 5
3 dan sin =
13
5, hitunglah sin ( + )
Daftar Pustaka
9. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi,
Indonesia
10. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur.
Erlangga. Jakarta
11. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.
12. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
FUNGSI EKSPONEN DAN
LOGARITMA o Operasi bilangan berpangkat
o Memahami fungsi eksponen
o Grafik fungsi eksponen
o Mengingat kembali sifat-sifat logaritma
o Memahami fungsi logaritma
o Grafik fungsi logaritma
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
13 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Fungsi atau pemetaan f dari himpunan A
ke himpunan B adalah aturan yang
mengawankan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B. Fungsi f dituliskan
Mahasiswa mampu memahami dan dapat menggunakan rumus-rumus eksponen dan logaritma Dapat menggambarkan fungsi eksponen dan fungsi logaritma
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
dengan f : AB dibaca : fungsi f
memetakan dari A ke B.
.
FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
A. Bilangan berpangkat
Ketentuan
aP = a . a . a . a . . . . . . . . . . . . . . . . . sampai p faktor
(a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen)
Sifat-sifat
1. ap . aq = ap + q
2. a0 = 1
3. ap . aq = ap - q
4. a - p = 1/ap
5. (ap)q = apq
6. am/n = √𝑎𝑚𝑛
B. Fungsi eksponen
Bentuk umum fungsi eksponential dituliskan sebagai
f(x) = bx
dimana : b adalah bilangan dasar ( base)
: x pangkat ( eksponen)
Contoh: f(x) = 2x
Bentuk Fungsi
3. Bentuk dua suku af(x) = ag(x) f(x) = g(x)
Cara penyelesain :
Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disaman
Contoh :
√ (82x-3) = (32x+1)1/4
(23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4
2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4
(6x-9)/2 = (5x-5)/4
24x-36 = 10x+10
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
14x = 46
x = 46/14 = 23/7
4. Bentuk tiga suku af(x) = ag(x) , f(x) = g(x)
Cara penyelesaian :
Gunakan permisalan
Contoh
22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 0
22.22x - 22.2x + 1 = 0
Misalkan : 2x = p
22x = (2x)² = p²
4p² -4p + 1 = 0
(2p-1)² = 0
2p - 1 = 0
p =1/2
2x = 2-1
x = -1
5. Bentuk af(x) = bf(x) , f(x) = 0
Cara penyelesaian : f(x) = 0
Contoh :
3x²-x-2 = 7x²-x-2
x² - x -2 = 0
(x-2)(x+1) = 0
x1 = 2 ; x2 = -1
6. Bentuk af(x) = bf(x) f(x) log a = g(x) log b
Cara penyelesaian : dengan logaritma
Contoh :
4x-1 = 3x+1
(x-1)log4 = (x+1)log3
xlog4 - log4 = x log 3 + log 3
x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4
x (log4 - log3) = log 12
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
x log 4/3 = log 12
x log 4/3 = log 12
x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12
C. Grafik fungsi eksponen
Menggambar grafik fungsi eksponen.
1. Buat table yang menghubungkan x dengan y = f(x)= ax, dengan cara memilih
beberapa nilai x.
2. Gambar titik-titik (x,y) yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang catesius, kemudian
hubungkan titik-titik tersebut hingga didapat grafik fungsi.
Gambar grafik fungsi
a. f(x) = 2 x
-3 -2 -1 0 1 2 3
0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
b. f(x) = 2 -x
-3 -2 -1 0 1 2 3
8 4 2 1 0,5 0,25 0,125
Grafik fungsi
0.125 0.250.5
1
2
4
88
4
2
10.5
0.25 0.1250
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)=2x
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
c. f(x) = ½ x
-3 -2 -1 0 1 2 3
8 4 2 1 0,5 0,25 0,125
d. f(x) = ½ -x
-3 -2 -1 0 1 2 3
0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
Grafik Fungsi
Dari grafik diatas terlihat :
1. Grafik fungsi f(x) = ax dan grafik fungsi f(x) = (1
𝑎)𝑥 melalui titik (0,1).
2. Grafik fungsi f(x) = ax dan grafik fungsi f(x) = (1
𝑎)𝑥 selalu berada diatas
sumbu x.
3. Fungsi f(x) = a x merupakan fungsi naik untuk a >1 dan fungsi turun untuk
a < 1
4. Fungsi f(x) = ax tidak pernah memotong sumbu x, tetapi terus
mendekati.Sehingga sumbu x merupakan asymtot mendatar fungsi.
D. Sifat-sifat logaritma
8
4
2
10.5 0.25 0.1250.125 0.25 0.5
1
2
4
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) =1/2 x
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a
sehingga menjadi b.
𝑎log 𝑏=𝑐 𝑎𝑐 = 𝑏 mencari pangkat
Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a ≠ 1)
b = numerus (b > 0)
c = hasil logaritma
Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :
alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n
SIFAT-SIFAT
1. alog bc = alogb + alogc
2. alog bc = c alog b
3. alog b/c = alog b -alog c -> Hubungan alog b/c = - a log b/c
4. alog b = (clog b)/(clog a) -> Hubungan alog b = 1 / blog a
5. alog b. blog c = a log c
6. a alog b = b
7. alog b = c -> aplog bp = c -> Hubungan : aqlog bp = alog bp/q
= p/q alog b
Keterangan:
1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma
tersebut berbilangan pokok = 10.
[ log 7 maksudnya 10log 7 ]
2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
Bedakan dengan log xn = n log x
Contoh :
1. Tentukan nilai 2log 25 x 3log 8 x5 log 9
2log 25 x 3log 8 x5 log 9 = 2log52 x 3log23 x 5log32
= 2. 2log5 x 33log23 x 2.5log3
= 2.3.2.2log5 x 5log 3 x 3log2
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
= 12 2log 2
= 12.1 = 12
2. Diketahui fungsi logaritma f(x) = 4log (x2 - 8x + 16). Tentukan titik
potong kurva fungsi f(x) dengan sumbu x dan sumbu y .
a. Titik potong grafik dengan sumbu x y =0
4log (x2 - 8x + 16) = 0
4log (x2 - 8x + 16) = 4log 1
x2 - 8x + 16 = 1
x2 - 8x + 15 = 0
(x – 3 ) ( x – 5 ) = 0
Titik potong ( 3,0 ) dan (5,0 )
b. Titik potong dengan sumbu y x = 0
f(x) = 4log (x2 - 8x + 16)
f(x) =4log (02 - 8.0 + 16)
f(x) =4log 16
f(x) = 4log 42
f(x) = 2
titik potong dengan sumbu y ( 0,2)
E. Grafik Fungsi Logaritma
Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah
berikut.
Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x, yaitu
dengan memilih beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.
Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dari langkah 1 pada
bidang Cartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang
mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma.
1. Grafik fungsi logaritma dengan basis a >1
Gambar grafik fungsi y =f(x)= 2log x
Tabel fungsi y =f(x)= 2log x
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
0,01 0,05 0,1 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 2,7 3,2
-6,65 -4,33 -
3,33 -2,33 -0,52 0,27 0,77 1,14 1,44 1,68
2. Grafik fungsi logaritma dengan basis 0<a<1
Gambar grafik fungsi y =f(x)= 1/2log x
Tabel fungsi y =f(x)= 1/2log x
0,1 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 2,7 3,2 3,7 4,2
3,33 2,33 0,52 -0,27 -0,77 -1,14 -1,44 -1,68 -1,89 -2,08
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Grafik fungsi f(x)= 2log x dan 1/2log x dalam satu gambar
Tabel kedua fungsi
x 0,01 0,05 0,1 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 2,7 3,2
f(x) -6,65 -4,33 -3,33 -2,33 -0,52 0,27 0,77 1,14 1,44 1,68
g(x) 6,65 4,33 3,33 2,33 0,52 -0,27 -0,77 -1,14 -1,44 -1,68
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Dari grafik di atas dapat di simpulkan:
1. fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini
berarti bahwa fungsi g(x) = 1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan
grafik f(x) = alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya.
2. Kedua grafik melalui titik (1,0)
3. Kedua grafik selalu berada di sebelah kanan sumbu Y
4. Grafik fungsi f(x) = alog x adalah fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/alog x
5. Grafik fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog tidak pernah memotong sumbu Y, tapi
terus mendekati sumbu Y. Sehingga sumbu Y merupakan asymtot tegak dari kedua
grafik.
2012 11
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Grafik fungsi eksponen dan logaritma
Grafik fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 2log x dan grafik h(x)=y=x
Dengan memperhatikan grafik diatas, ada beberapa hal yang dapat disimpulkan.
1. Grafik fungsi eksponen f(x)= 2x dan grafik g(x)=2log x simetri terhadap garis y
=x , hal ini berarti grafik fungsi g(x) dapat diperoleh dengan cara
pencerminan fungsi f(x) terhadap garis y=x.
2. Fungsi eksponen f(x)= ax merupakan fungsi invers dari grafik g(x)=alog x
atau sebaliknya.
Soal :
1. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 3x dan g(x) =( 1/3) x dalam satu grafik.
2. Tentukan titik potong kurfa fungsi f(x) = 3log (x2 – 9x + 20) dengan
a) sumbu x
b) sumbu y
3. Gambal fungsi berikut dalam satu grafik
a) f(x) = 4x dan g(x) = ¼log x
b) f(x) = (1/4) x dan g(x) = 1/4log x
Daftar Pustaka
x f(x) g(x)
-5 0,04 -4,64
-4 0,07 -3,84
-3 0,13 -2,94
-2 0,25 -2
-1 0,5 -1
0 1 0
1 2 1
2 4 2
3 8 3
4 16 4
5 32 5
2012 12
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
13. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi,
Indonesia
14. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur.
Erlangga. Jakarta
15. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.
16. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
FUNGSI LIMIT o Pengertian limit fungsi
o Rumus-rumus limit fungsi
o Penyelesaian limit fungsi
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
14 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Limit suatu fungsi merupakan salah satu
konsep mendasar dalam kalkulus dan
analisis, tentang kelakuan suatu fungsi
mendekati titik masukan tertentu.
Mahasiswa mampu memahami limit
fungsi dan dapat menyelesaikan soal-
soal yang berkaitan dengan limit fungsi
dengan menggunakan rumus-rumus
limit .
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
LIMIT FUNGSI
1. Pengertian Limit Fungsi
Diketahui fungsi f : R --> R ditentukan oleh f(x)= (x2-1)/(x-1) . Nilai fungsi untuk x
mendekati 1 dari kiri x dan kanan x diberikan pada tabel berikut.
x -1.00 -0.50 0.00 0.50 0.95 1.00 1.10 1.50 2.00 2.50 3.00
f(x) 0.00 0.50 1.00 1.50 1.95
2.10 2.50 3.00 3.50 4.00
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0.
Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1. Dalam masalah ini
untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang
merupakan limit (nilai batas) dari f(x) tersebut.
Dalam bentuk grafik dapat digambarkan sebagai berikut :
Pada grafik diatas dapat dilihat bahwa fungsi terputus pada saat x = 1.
Jika y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil dan misalkan f(x) dapat kita buat
sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a,maka
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a adalah L. Secara intuitif limit dapat
didefinisikan sebagai :
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
2. Limit Kiri dan Limit Kanan
1. Bila untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga untuk setiap x
Df dimana x0 - < x < x0 berlaku |f(x) – L| < , maka dikatakan limit kiri
dari f(x) untuk x mendekati x0 adalah L dan ditulis
.)(lim0
Lxfxx
2. Bila untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x
Df dimana x0 < x < x0 + berlaku |f(x) – L| < , maka dikatakan limit
kanan dari f(x) untuk x mendekati x0 adalah L dan ditulis
3.
.)(lim0
Lxfxx
3. Teorema Limit
1. Jika f(x) = c , maka lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐
2. Jika lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐹 dan lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐺
a. lim𝑥→𝑎
[ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐹 + 𝐺
b. lim𝑥→𝑎
[ 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) . lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐹 . 𝐺
c. lim𝑥→𝑎
𝑘. 𝑓(𝑥) = k. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = k.F
d. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)=
𝐹
𝐺
e. nax
n
axxfxf )(lim)(lim
4. Penyelesaian Limit Fungsi
A. Limit Fungsi Aljabar
1. Substitusi Langsung.
Contoh 1 :
lim𝑥→2
√2𝑥 + 5 = √2.2 + 5 = 3
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Contoh 2
lim𝑥→2
(3𝑥−2)
lim𝑥→2
(𝑥+1)=
4
3
2. Pemfactoran
Jika hasil dari limit lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) bentuk tak tentu
0
0, maka
lakukan pemfactoran terrlebih dahulu terhadap f(x) dan g(x)
.lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)=
(x−a) 𝑓(𝑥)
(x−a) 𝑔(𝑥)=
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)=
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Contoh
1. lim𝑥→6
𝑥−3
√𝑥+3
Subtitusi nilai x
lim𝑥→6
𝑥−3
√𝑥+3 =
6−3
√6+3 =
3
3 =1
2. lim𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3
Subtitusi nilai x
lim𝑥→3
𝑥2 − 9
𝑥 − 3=
9 − 9
3 − 3 =
0
0
Faktorkan
x2 – 9 => ( x- 3) (x+3 ), sehinggaa
lim𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3 dapat ditulis dalam bentuk
lim𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3 = lim
𝑥→3
(𝑥−3)(𝑥+3)
(𝑥−3)
lim𝑥→3
(𝑥−3)(𝑥+3)
(𝑥−3) = lim
𝑥→3(𝑥 + 3)
= 3+3 =6
3. lim𝑥→−3
𝑥−3
√𝑥+3
Subtitusi nilai x
lim𝑥→−3
𝑥−3
√𝑥−3 =
3−3
√3−3 =
0
0
Factorkan (x+3)
(x+3) =(√𝑥 + 3)(√𝑥 + 3)
lim𝑥→−3
𝑥+3
√𝑥+3 = lim
𝑥→3
(√𝑥+3)(√𝑥+3
√𝑥+3
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
lim𝑥→−3
𝑥+3
√𝑥+3 = lim
𝑥→3√𝑥 + 3
= √6
4. lim𝑥→3
𝑥2−2𝑥
3𝑥2−4
Subtitusi nilai x
lim𝑥→3
𝑥2−2𝑥
3𝑥2−4𝑥 =
0
0
Factorkan
x2 – 2x menjadi x(x-2)
3x2 -4x menjadi x(3x-4)
Sehingga lim𝑥→3
𝑥2−2𝑥
3𝑥2−4𝑥 dapat ditulis menjadi
lim𝑥→3
𝑥2−2𝑥
3𝑥2−4𝑥 = lim
𝑥→3
𝑥(𝑥−2)
𝑥(3𝑥−4)
lim𝑥→3
𝑥(𝑥−2)
𝑥(3𝑥−4) =lim
𝑥→3
(𝑥−2)
(3𝑥−4)
= 3−2
3.3−4 =
1
5
5. lim𝑥→0
3−√9−9𝑥
3𝑥
Untuk limit bentuk lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) =
0
0 untuk x = a, dan fungsi
f(x) dan g(x) sulit difaktorkan, maka lakukan perkalian
factor sekawan.
Subtitusi nilai x
lim𝑥→0
3−√9−9𝑥
3𝑥 =
3−√9−9.0
3.0
=3−3
0 =
0
0
Karena hasil dalam bentuk tak tentu, maka lalukan
perkalian sekawan jaitu dengan mengalikan lim𝑥→0
3−√9−9𝑥
3𝑥
dengan 3+√9−9𝑥
3+√9−9𝑥 sehingga didapat bentuk baru dari
lim𝑥→0
3−√9−9𝑥
3𝑥 yaitu,
lim𝑥→0
3−√9−9𝑥
3𝑥 = lim
𝑥→0
3−√9−9𝑥
3𝑥 .
3+√9−9𝑥
3+√9−9𝑥
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
= lim𝑥→0
9−(9−9𝑥)
3𝑥(3+√9−9𝑥
= lim𝑥→0
9𝑥
3𝑥(3+(√9−9𝑥))
= 3
(3+3) =
1
2
6. lim𝑥→1
(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)
(√2𝑥−1)− √𝑥
Subtitusi langsung nilai x = 1 ke limit fungsi akan
menghasilkan bentuk tak tentu. Lakukan perkalian
sekawan lim𝑥→1
(√3𝑥−1)−(√𝑥−1)
(√2𝑥−1)− √𝑥 dengan factor sekawannya
(√3𝑥 − 1) + (√𝑥 + 1) dan (√2𝑥 − 1) − √𝑥 sehinggal
lim𝑥→1
(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)
(√2𝑥−1)− √𝑥 dapat ditulis dalam bentuk
lim𝑥→1
(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)
(√2𝑥−1)− √𝑥 =
lim𝑥→1
(√3𝑥−1)−(√𝑥−1)
(√2𝑥−1)− √𝑥 .
(√3𝑥−1)+(√𝑥+1)
(√3𝑥−1)+(√𝑥+1) .
(√2𝑥−1)+√𝑥
(√2𝑥−1)+√𝑥
lim𝑥→1
(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)
(√2𝑥−1)− √𝑥 =lim
𝑥→1
(3𝑥−1−𝑥−1)
(2𝑥−1+𝑥).
(√2𝑥−1)−√𝑥
(√3𝑥−1)+(√𝑥−1)
lim𝑥→1
(√3𝑥−1)−(√𝑥−1)
(√2𝑥−1)− √𝑥 = lim
𝑥→1
(2𝑥−2)
(𝑥−1).
(√2𝑥−1)−√𝑥
(√3𝑥−1)+(√𝑥+1)
lim𝑥→1
(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)
(√2𝑥−1)− √𝑥 = lim
𝑥→1
2(𝑥−1)
(𝑥−1).
(√2𝑥−1)−√𝑥
(√3𝑥−1)+(√𝑥+1)
= lim𝑥→1
2.(√2𝑥−1)+√𝑥
(√3𝑥−1)+(√𝑥+1)
=2. (√2.1−1)+(1)
(√3.1−1)+√2 = 2.
2
2√2 = √2
7. Diberikan fungsi
f(x) =
1;2
11;
1;12
2
2
xxx
xx
xx
Tentukan :
a) Gambar grafik f
1 0
1
2
-1
y
f(x) 3
-1
-2
x
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
b) Tentukan )(lim1
xfx
, jika ada
Dengan menggunakan definisi limit, dapat ditunjukkan bahwa pada titik a = -1 maka:
Limit kiri :
1)1(2)1(2lim)(lim 22
11
xxxf
xx dan
Limit kanan :
1)1()(lim)(lim 22
11
xxf
xx
karena limit kiri sama dengan limit kanan maka
disimpulkan bahwa )(lim1
xfx
ada (nilai limit -1).
c) Tentukan )(lim1
xfx
, jika ada
Pada titik a = 1 , maka
Limit kiri : 1)1(lim)(lim 22
11
xxf
xx dan
Limit kanan : 3)12(lim)(lim11
xxfxx
karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka
disimpulkan bahwa
)(lim1
xfx
tidak ada.
B. Limit Fungsi Trigonometri
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Rumus limit fungsi trigonometri:
a. Limit fungsi sinus
1. 1
sinlim
0
x
x
x
2. 1
sinlim
0
x
x
x
3. 1
sinlim
0
ax
ax
x → b
a
bx
ax
x
sinlim
0
4. 1
sinlim
0
ax
ax
x → b
a
bx
ax
x
sinlim
0
b. Limit fungsi tangens
1. 1
tanlim
0
x
x
x
2. 1
tanlim
0
x
x
x
3. 1
tanlim
0
ax
ax
x → b
a
bx
ax
x
tanlim
0
4. 1
tanlim
0
ax
ax
x → b
a
bx
ax
x
tanlim
0
Contoh :
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!
a. x
x
x 2
3sinlim
0 b.
x
x
x 2sin
5sinlim
0
Penyelesaian:
a. x
x
x 2
3sinlim
0 =
x
x
x
x
x 2
3.
3
3sinlim
0
= x
x
x
x
xx 2
3lim.
3
3sinlim
00
= 1 . 2
3 =
2
3
b. x
x
x 2sin
5sinlim
0 =
x
x
x
x
x
x
x 2
5.
2sin
2.
5
5sinlim
0
= x
x
x
x
x
x
xxx 2
5lim.
2sin
2lim.
5
5sinlim
000
2012 9
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
= 1. 1 . 2
5=
2
5
Soal :
1. Tentukan nilai limit fungsi aljabar berikut ini
a. lim𝑥→2
𝑥2−2𝑥
𝑥2−4
b. lim𝑥→3
3−√36−9𝑥
3𝑥−9
2. Tentukan limit fungsi trigonometri berikut ini
a) x
x
x 2sin
5sinlim
0
b) x
x
x 3
4tanlim
0
3. Diketahui fungsi
𝑓(𝑥) = {
−3𝑥 + 2, 𝑥 ≤ 15, 𝑥 ≥ 1 < 𝑥 ≤ 3
𝑥2 − 1, 𝑥 > 3
Tentukan
a. Grafik fungsi
b. lim𝑥→1
𝑓(𝑥) jika ada
c. lim𝑥→3
𝑓(𝑥) jika ada
Daftar Pustaka
2012 10
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
17. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi,
Indonesia
18. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur.
Erlangga. Jakarta
19. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.
20. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta
2012 1
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
LIMIT TAK HINGGA
o Pengertian limit tak hingga
o Asimtot tegak
o Asimtot datar
o Asimtot miring
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ilmu Komputer Sistem Informasi
15 87005 Tim Dosen
Abstract Kompetensi Limit suatu fungsi merupakan salah satu
konsep mendasar dalam kalkulus dan
analisis, tentang kelakuan suatu fungsi
mendekati titik masukan tertentu.
Mahasiswa mampu memahami dan dapat menggunakan rumus-rumus limit tak hingga dan asimtot tegak, datar dan miring.
.
2012 2
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
LIMIT TAK HINGGA
A. Limit tak hingga
Perhatikan table nilai fungsi f(x)=1
𝑥2 dan grafik fungsi tersebut dibawah ini,
x f(x)=1
𝑥2 x f(x)=1
𝑥2
-0,1 100 0,00625 25600
-0,05 400 0,0125 6400
-0,025 1600 0,025 1600
-0,0125 6400 0,05 400
-0,00625 25600 0,1 100
Grafik fungsi
Dari Tabel dan grafik fungsi di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin
dekat dengan 0, maka nilai f(x)=1
𝑥2 menjadi semakin besar. Nilai f(x)=1
𝑥2 akan
menjadi besar tak terbatas ( tak hingga) apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri
maupun dari sisi kanan. Saat x terus mendekati 0, secara limit dapat dikatakan
bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
Grafik Fungsi f(x)
Series1 Series2
2012 3
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = ∞
Definisi :
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = ∞ jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x c , maka f(x)
menjadi besar tak terbatas arah positif.
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = − ∞ jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x c , maka
f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.
Contoh :
Tentukan limit fungsi berikut.
a) f(x)= lim2−
2
𝑥−2
b) f(x)= lim2+
2
𝑥−2
Jawab :
a) f(x)= lim2−
2
𝑥2−4
f(x)= 2
0− = −∞
b) f(x)= lim2+
2
𝑥2−4
f(x)= 2
0+ = ∞
Secara grafik dapat dilihat seperti berikut
Type equation here.
B. Limit di tak hingga
Pada pertama telah dijelaskan limit fungsi untuk x0. Lalu bagaimana nilai jika
nilai x cukup besar dan menuju tak hingga. Untuk memahami permasalahan
tersebut perhatikan bagaimana nilai f(x)= 1
𝑥 apabila nilai x cukup besar.
Perhatikan tabel berikut!
x f(x)
1000 0,00100
5000 0,00020
10000 0,00010
20000 0,00005
30000 0,00003
2012 4
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Pada tabel dan grafik di atas terlihat jelas bahwa semakin besar nilai x (arah
positif) nilai f(x) semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:
lim𝑥→∞
1
𝑥 = 0
Untuk x semakin besar tak terbatas (arah negatif).
Pada tabel dan grafik (warna merah) di atas terlihat jelas bahwa semakin besar
nilai x (arah negatif) nilaif(x) semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini
dikatakan:
lim𝑥−−∞
1
𝑥 = -∞
Dari penjelasan tersebut diperoleh pengertian limit menuju tak hingga sabagai
berikut.
a) lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 jika f(x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah
positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka f(x)
mendekati L.
b) lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 jika f(x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar
(arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka
f(x) mendekati L.
Contoh :
1)
4 4lim 0
2x x
x f(x)
-1000 -0,001
-5000 -0,0002
-10000 -0,0001
-20000 -0,00005
-30000 -0,00003
2012 5
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
2) .
Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari
pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:
3)
Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari
pembilang dan penyebutnya, yaitu sehingga diperoleh:
4)
Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari
pembilang dan penyebutnya, yaitu sehingga diperoleh:
5)
Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari
pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:
6)
6 1lim (tak tentu)
2 10x
x
x
16 6 0lim 3
10 2 02x
x
x
2
4lim (tak tentu)
2 2x
x
x x
2x
22
44 0lim lim 0
2 2 1 0 02 2 1x x
x x
x x x x
2
2
6lim (bentuk tak tentu)
2 3x
x
x x
2x
2
2
6 6 6lim lim 3
3 2 02 3 2x x
x
x xx
2lim (tak tentu)
1x
x
x x
2 2
2
22 2 2
1lim lim
1 1
1 1 lim lim
1 11 1
1 1
1 0 0
x x
x x
x
x x x xx
x xx xx x x
2lim 3 (tak tentu)x
x x x
22 2
2
3lim 3 lim 3
3x x
x x xx x x x x x
x x x
2012 6
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
C. Asimtot
Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu
kurva.
Asymtot dibedakan menjadi tiga yaitu :
1) Asymtot mendatar
2) Asymtot tegak
3) Asymtot miring
Misal diberikan kurva y=f(x), maka
1) garis y = b disebut asymtot mendatar dari y=(x) jika :
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 atau lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
2) Garis x = a disebut asymtot tegak dari y=f(x) jika ada salah satu
ketentuan berikut :
1) lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ∞
2) lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞
3) lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ∞
4) lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞
3) Asymtot Miring
Jika asymtot suatu grafik fungsi tidak sejajar dengan sumbu x atau
dengan sumbu y, maka asymtot f=grafik tersebut adalah asymtot miring.
Persamaan garis asymtot miring diberikan sebagai fungsi linier f(x)=
ax+b.
2 2
2
2
( 3)lim
3
3lim
3
x
x
x x x
x x x
x
x x x
2
31lim
311 1x
x
x x
1 0 1
2( 1 0 0 1)
2012 7
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
Persamaan garis f(x) ax+b dikatakan sebagai asymtot miring fungsi, jika
berlaku ketentuan :
1) lim𝑥→∞
[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)]= 0
Atau
2) lim𝑥→∞
[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)]= 0
Contoh :
1) Tentukan asymtot tegak dan mendatar fungsi f(x) = −𝑥2
𝑥2−1
lim𝑥→−∞
−𝑥2
𝑥2−1 = -1 dan lim
𝑥→∞
−𝑥2
𝑥2−1 = -1
Sehingga y = -1 merupakan asymtot datar fungsi
lim𝑥→−1
−𝑥2
𝑥2−1 = - dan lim
𝑥→+1
−𝑥2
𝑥2−1 =
Sehingga garis x= -1 dan x= 1 merupakan asymtot tegak fungsi
2) Tentukan asymtot miring fungsi ƒ(x) = (2x2 + 3x + 1)/x
Jawab :
Persamaan garis asymtot miring suatu kurva adalah y =ax+b,
sehingga untuk menentukan asymtot miring suatu kurva harus dicari
lebih dahulu nilai a ( gradien garis ) dan nilai b. Nilai a didapat dari
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥 = lim
𝑥→∞
(2𝑥2 + 3𝑥 + 1)/x
𝑥
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥 = lim
𝑥→∞
(2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
𝑥2 = 2, a = 2
b dicari dengan lim𝑥→∞
[𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥]
lim𝑥→∞
[((2𝑥2 + 3𝑥 + 1) − 2x2] = lim𝑥→∞
[2x2 + 3𝑥 + 1)−2x2
𝑥2 ]
lim𝑥→∞
[2x2 + 3𝑥 + 1−2x2
𝑥2 ] = lim𝑥→∞
3𝑥
𝑥 = 3
Sehingga persamaan asymtot kurva y = 2x+3
Soal :
1) Tentukan limit fungsi berikut
a) lim𝑥−5
𝑥2 − 3𝑥 + 2
2012 8
Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id
b) lim𝑥→2
𝑥2−3𝑥+2
𝑥−2
2) Tentukan Limit fungsi berikut
a. lim𝑥∞
𝑥2 − 3𝑥 + 2
b. lim𝑥→∞
𝑥2−3𝑥+2
𝑥−2
3) Tentukan asymtot datar dan tegak fungsi
a. lim𝑥→∞
𝑥2−3𝑥+2
𝑥−2
Daftar Pustaka
21. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi,
Indonesia
22. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur.
Erlangga. Jakarta
23. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.
24. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta