Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000°...
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Modul 206 Regelmäßige Vielecke!
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Regelmäßige Vielecke In- und Umkreise
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Gleichseitiges Dreieck
s
s s
r
h r
h = 32 s
r = 23 h =
33 s
ρ = 13 h =
36 s
A = 34 s2
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Gleichseitiges Dreieck
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Gleichseitiges Dreieck
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C
A
B
M c
Gleichseitiges Dreieck im Raster?
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C
A
B
M c
Gleichseitiges Dreieck im Raster?
Diese Figur ist falsch!
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Gleichseitiges Dreieck Falten
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Falten
1. Wir beginnen mit einem langen Streifen.
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Falten
2. Wir falten in irgend einer Richtung nach OBEN.
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Falten
3. Auffalten
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Falten
4. Wir falten nach UNTEN – nun genau wie dargestellt.
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Falten
5. Auffalten
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6. Wir falten nach OBEN – genau wie dargestellt.
Falten
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Falten
7. Auffalten
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Falten
8. Wir falten nach UNTEN – nun genau wie dargestellt.
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Falten
9. Auffalten
α1
α2
α3
α4
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Falten
9. Auffalten
Vermutung: limn→∞
αn( ) = 60°
α1
α2
α3
α4
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Beispiel
α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Startwert
α1
α2
α3
α4α1
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α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Beispiel
Startwert
α1
α2
α3
α4α1 α2
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α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Beispiel
Startwert
α1
α2
α3
α4
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α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Beispiel
Startwert
α1
α2
α3
α4
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Beispiel
Startwert α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Der Fehler wird jedes Mal halbiert: limn→∞
αn( ) = 60°
α1
α2
α3
α4
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Beispiel
α1 = 36°
αn =180°−αn−1
2
Startwert
Rekursionsformel
α1
α2
α3
α4
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Beispiel
Wie finden wir den Limes?
Rekursionsformel
α1 = 36°
αn =180°−αn−1
2
Startwert beliebig
α1
α2
α3
α4
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n
1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000° 2545.0000000° 62.5000000° -5.0000000° 4 66.2500000° -1182.5000000° 58.7500000° 92.5000000° 5 56.8750000° 681.2500000° 60.6250000° 43.7500000° 6 61.5625000° -250.6250000° 59.6875000° 68.1250000° 7 59.2187500° 215.3125000° 60.1562500° 55.9375000° 8 60.3906250° -17.6562500° 59.9218750° 62.0312500° 9 59.8046875° 98.8281250° 60.0390625° 58.9843750° 10 60.0976563° 40.5859375° 59.9804688° 60.5078125° 11 59.9511719° 69.7070313° 60.0097656° 59.7460938° 12 60.0244141° 55.1464844° 59.9951172° 60.1269531° 13 59.9877930° 62.4267578° 60.0024414° 59.9365234° 14 60.0061035° 58.7866211° 59.9987793° 60.0317383° 15 59.9969482° 60.6066895° 60.0006104° 59.9841309° 16 60.0015259° 59.6966553° 59.9996948° 60.0079346° 17 59.9992371° 60.1516724° 60.0001526° 59.9960327° 18 60.0003815° 59.9241638° 59.9999237° 60.0019836° 19 59.9998093° 60.0379181° 60.0000381° 59.9990082° 20 60.0000954° 59.9810410° 59.9999809° 60.0004959° 21 59.9999523° 60.0094795° 60.0000095° 59.9997520° 22 60.0000238° 59.9952602° 59.9999952° 60.0001240° 23 59.9999881° 60.0023699° 60.0000024° 59.9999380° 24 60.0000060° 59.9988151° 59.9999988° 60.0000310° 25 59.9999970° 60.0005925° 60.0000006° 59.9999845° 26 60.0000015° 59.9997038° 59.9999997° 60.0000077°
αn αn αn αn
Der Startwert spielt keine Rolle
![Page 27: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/27.jpg)
Beispiel
Wie finden wir den Limes?
Rekursionsformel
α1 = 36°
αn =180°−αn−1
2
Startwert beliebig
α1
α2
α3
α4
![Page 28: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/28.jpg)
1( ) Annahme: Es gibt einen Limes
α = limn→∞
αn( )
2( ) In Rekursionsformel einsetzen:
α = 180°−α2
3( ) Nach α auflösen: 2α = 180° −α3α = 180°α = 60°
![Page 29: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/29.jpg)
1( ) Annahme: Es gibt einen Limes
α = limn→∞
αn( )
2( ) In Rekursionsformel einsetzen:
α = 180°−α2
3( ) Nach α auflösen: 2α = 180° −α3α = 180°α = 60°
![Page 30: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/30.jpg)
1( ) Annahme: Es gibt einen Limes
α = limn→∞
αn( )
2( ) In Rekursionsformel einsetzen:
α = 180°−α2
3( ) Nach α auflösen: 2α = 180° −α3α = 180°α = 60°
![Page 31: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/31.jpg)
Dreieck
Restenverwertung
Gleichseitiges Dreieck Falten und schneiden
Warum ist das richtig?
![Page 32: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/32.jpg)
Quadrat
![Page 33: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/33.jpg)
Quadrat?
![Page 34: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/34.jpg)
Quadrat?
![Page 35: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/35.jpg)
Fünfeck
![Page 36: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/36.jpg)
Fünfeck
![Page 37: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/37.jpg)
Fünfeck
Fünfeck Pentagon
Pentagramm
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Fünfeck
72°
![Page 39: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/39.jpg)
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
![Page 40: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/40.jpg)
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
![Page 41: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/41.jpg)
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 °
![Page 42: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/42.jpg)
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 ° 36 °
![Page 43: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/43.jpg)
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 ° 36 °
36 °
![Page 44: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/44.jpg)
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 ° 36 °
36 °
72 ° 72 °
![Page 45: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/45.jpg)
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 ° 36 °
36 °
72 ° 36 °
36 °
![Page 46: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/46.jpg)
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
![Page 47: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/47.jpg)
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
![Page 48: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/48.jpg)
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
Ähnliche Dreiecke
![Page 49: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/49.jpg)
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
Gleichschenklige Dreiecke
s
s
![Page 50: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/50.jpg)
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
Ähnliche Dreiecke
![Page 51: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/51.jpg)
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
s = 1
![Page 52: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/52.jpg)
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
![Page 53: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/53.jpg)
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s Quadratische Gleichung
![Page 54: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/54.jpg)
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
![Page 55: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/55.jpg)
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
![Page 56: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/56.jpg)
Fünfeck
1+ 52 ≈ 1.618033989…Goldener Schnitt
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Fünfeck
Goldener Schnitt
Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-85-1���
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Das Programm geht nach kurzer Pause weiter
1+ 52 ≈ 1.618033989…
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Zehneck
s
r
r
r = 1 s = ?
s = 11+ 52
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s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
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s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
![Page 61: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/61.jpg)
s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…Erweitern
Warum?
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s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
![Page 63: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/63.jpg)
s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
![Page 64: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/64.jpg)
Ebenfalls goldener Schnitt (Verhältnis des goldenen Schnittes anders herum)
s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
![Page 65: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/65.jpg)
Goldener Schnitt
Bezeichnungen:
τ = 1+ 52 ≈ 1.618033988…
ρ = −1+ 52 ≈ 0.618033988…
![Page 66: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/66.jpg)
Goldener Schnitt τ = 1+ 52 ≈ 1.618… ρ = −1+ 5
2 ≈ 0.618…
Konstruktion
1
1 2
![Page 67: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/67.jpg)
Goldener Schnitt
Konstruktion
1
1 2
12 + 12( )2 = 5
4 =52
τ = 1+ 52 ≈ 1.618… ρ = −1+ 5
2 ≈ 0.618…
![Page 68: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/68.jpg)
Goldener Schnitt
Konstruktion
1
1 2
12 + 12( )2 = 5
4 =52
τ = 1+ 52 ≈ 1.618… ρ = −1+ 5
2 ≈ 0.618…
![Page 69: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/69.jpg)
Goldener Schnitt
Konstruktion
1
1 2
τ = 1+ 52 ≈1.618… ρ = −1+ 5
2 ≈ 0.618…
τ
ρ
![Page 70: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/70.jpg)
1 1
Nochmals Zehneck
Im Prinzip können wir das Zehneck konstruieren
ρ
![Page 71: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/71.jpg)
1 1
?
Nochmals Zehneck
ρ
![Page 72: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/72.jpg)
1 1
? 1
Nochmals Zehneck
ρ
ρρ
![Page 73: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/73.jpg)
1 1 1
Nochmals Zehneck
1+ ρ = τ
ρ
ρρ
τ
![Page 74: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/74.jpg)
1 1
Nochmals Zehneck
ρ
ρ
τ
![Page 75: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/75.jpg)
Konstruktion des Fünfeckes
Wir beginnen mit dem Umkreis
![Page 76: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/76.jpg)
Konstruktion des Fünfeckes
![Page 77: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/77.jpg)
Konstruktion des Fünfeckes
![Page 78: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/78.jpg)
Konstruktion des Fünfeckes
Gruß vom goldenen Schnitt
1
1 2
![Page 79: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/79.jpg)
Konstruktion des Fünfeckes
![Page 80: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/80.jpg)
Konstruktion des Fünfeckes
![Page 81: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/81.jpg)
Konstruktion des Fünfeckes
![Page 82: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/82.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
![Page 83: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/83.jpg)
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 84: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/84.jpg)
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 85: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/85.jpg)
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 86: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/86.jpg)
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 87: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/87.jpg)
P
Q
PQ
=xQ − xPyQ − yP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
QR
= PQ ⊥ =
yP − yQxQ − xP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Drehung um +90°
Vorbereitung:
Ein passender Vektor kann um 90° gedreht werden.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 88: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/88.jpg)
P
Q R
Drehung um +90°
Vorbereitung:
Ein passender Vektor kann um 90° gedreht werden.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
PQ
=xQ − xPyQ − yP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
QR
= PQ ⊥ =
yP − yQxQ − xP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
![Page 89: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/89.jpg)
P
Q R
Drehung um +90°
Vorbereitung:
Ein passender Vektor kann um 90° gedreht werden.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
PQ
=xQ − xPyQ − yP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
QR
= PQ ⊥ =
yP − yQxQ − xP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
![Page 90: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/90.jpg)
A 0
A 1
A 4
A 2
A 3
Annahme: A0, A1, A2, A3, A4 seien Rasterpunkte.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 91: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/91.jpg)
A 0
A 1
A 4
A 2
A 3
B 1
Annahme: A0, A1, A2, A3, A4 seien Rasterpunkte. Folge: Auch B1 ist Rasterpunkt.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 92: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/92.jpg)
A 0
A 1
A 4
A 2
A 3
B 0 B 1
B 4
B 3 B 2
Annahme: A0, A1, A2, A3, A4 seien Rasterpunkte. Folge: Auch B0, B1, B2, B3, B4 sind Rasterpunkte. Wir haben eine kleineres Rasterfünfeck.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 93: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/93.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 94: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/94.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 95: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/95.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 96: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/96.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 97: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/97.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 98: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/98.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 99: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/99.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 100: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/100.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 101: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/101.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
![Page 102: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/102.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Und dann fällt das Fünfeck durch die Maschen.
![Page 103: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/103.jpg)
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Die Annahme war falsch. Richtig ist: Ein regelmäßiges Fünfeck passt nicht in einen Quadratraster.
![Page 104: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/104.jpg)
Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)
Hexaflexagon
![Page 105: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/105.jpg)
Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)
Hexaflexagon
Bergfalt
Talfalt
![Page 106: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/106.jpg)
Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)
![Page 107: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/107.jpg)
Regelmäßiges Siebeneck
Siebenbannstein Seit „vordenklicher Zeit“ Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von • Lörrach • Stetten • Jnzlingen • Hagenbach • Adelhausen • Ottwangen • Brombach zusammen
![Page 108: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/108.jpg)
Regelmäßiges Siebeneck
Siebenbannstein Seit „vordenklicher Zeit“ Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von • Lörrach • Stetten • Jnzlingen • Hagenbach • Adelhausen • Ottwangen • Brombach zusammen
![Page 109: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/109.jpg)
Regelmäßiges Siebeneck
Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
![Page 110: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/110.jpg)
Regelmäßiges Siebeneck
Eine Ecke übersprungen
Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
![Page 111: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/111.jpg)
Regelmäßiges Siebeneck
Eine Ecke übersprungen
Zwei Ecken übersprungen
Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
![Page 112: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/112.jpg)
Regelmäßiges Siebeneck
Eine Ecke übersprungen
Zwei Ecken übersprungen
Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
Gauß, 1777-1855
Geht nicht
![Page 113: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/113.jpg)
Gauß: C. F. Gauß (1777-1855) hat bewiesen, dass jedes regelmäßige n-Eck, das einem Kreis mit dem Radius r einbeschrieben werden soll, allein mit Zirkel und Lineal genau dann konstruierbar ist, wenn n eine Zweierpotenz oder ein Produkt aus einer Zweierpotenz und/oder verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.
![Page 114: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/114.jpg)
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
![Page 115: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/115.jpg)
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
![Page 116: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/116.jpg)
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
![Page 117: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/117.jpg)
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
![Page 118: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/118.jpg)
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
![Page 119: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/119.jpg)
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
![Page 120: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/120.jpg)
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
![Page 121: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/121.jpg)
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.
![Page 122: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/122.jpg)
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.
Fermat, 1601-1665!
![Page 123: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/123.jpg)
Möglich: Dreieck Quadrat Fünfeck 15-Eck Sechseck Achteck Zehneck 30-Eck Zwölfeck 16-Eck 20-Eck 60-Eck 24-Eck 32-Eck 40-Eck 120-Eck 48-Eck 64-Eck 80-Eck 240-Eck 96-Eck 128-Eck 160-Eck 480-Eck usw. usw. usw. usw.
![Page 124: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/124.jpg)
Scherengeometrie
![Page 125: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/125.jpg)
„Denn der Schneider mit der Scher' Kommt sonst ganz geschwind daher, Und die Daumen schneidet er Ab, als ob Papier es wär'. „
Scherengeometrie
Der Struwwelpeter von Heinrich Hoffmann Die Geschichte vom Daumenlutscher
![Page 126: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/126.jpg)
Scherengeometrie
![Page 127: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/127.jpg)
Scherengeometrie Demo Cabri
![Page 128: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/128.jpg)
Scherengeometrie
![Page 129: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/129.jpg)
Scherengeometrie
![Page 130: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/130.jpg)
Scherengeometrie
![Page 131: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/131.jpg)
Scherengeometrie
![Page 132: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/132.jpg)
Scherengeometrie
![Page 133: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/133.jpg)
Scherengeometrie
![Page 134: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/134.jpg)
Regelmäßiges Achteck
Decke der Kirche Wilchingen
![Page 135: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/135.jpg)
Regelmäßiges Achteck
DIN A4 - Papier
![Page 136: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/136.jpg)
Regelmäßiges Achteck
Mittellinie senkrecht
![Page 137: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/137.jpg)
Regelmäßiges Achteck
Ecken einbiegen und wieder zurückfalten
![Page 138: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/138.jpg)
Regelmäßiges Achteck
Parallelen durch die Schnittpunkte
![Page 139: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/139.jpg)
Regelmäßiges Achteck
Waagerechte Mittellinie
![Page 140: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/140.jpg)
Regelmäßiges Achteck
Ecken einbiegen und wieder zurückfalten
![Page 141: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/141.jpg)
Regelmäßiges Achteck
Oktogon
![Page 142: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/142.jpg)
Regelmäßiges Achteck
Oktogon
![Page 143: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/143.jpg)
a
b
d
d = a2
d =!b
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a = 2b ⇒ DIN Format
Achtung: Falsche Figur!
![Page 144: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/144.jpg)
Regelmäßiges Zwölfeck
![Page 145: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/145.jpg)
Regelmäßiges Zwölfeck
![Page 146: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/146.jpg)
Regelmäßiges Zwölfeck
![Page 147: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/147.jpg)
Regelmäßiges Zwölfeck
![Page 148: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/148.jpg)
Regelmäßiges Zwölfeck
Gleichseitiges Dreieck
![Page 149: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/149.jpg)
Regelmäßiges Zwölfeck
Flächeninhalt = 3r2
![Page 150: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/150.jpg)
Regelmäßiges Zwölfeck
Flächeninhalt = 3r2
![Page 151: Modul 206 Regelmäßige Vielecke - Willkommen€¦ · n 1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000°](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020215/5b9fbfc409d3f2df578b8872/html5/thumbnails/151.jpg)
Regelmäßiges Zwölfeck
Flächeninhalt = 3r2
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Regelmäßiges Zwölfeck
Minimallösung?
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Regelmäßiges Zwölfeck
Subtraktiv
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Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot ?
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Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot
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Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot?
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Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot?
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Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot?