Modul 1 Limit Fs
-
Upload
yoga-hadiningrat -
Category
Documents
-
view
102 -
download
10
description
Transcript of Modul 1 Limit Fs
i
LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK DAN DI TAKHINGGA
KELAS XI SEMESTER 2
Penulis : Suharyanti, S.Pd
SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) 2 WONOSARI Jl. Ki Ageng Giring 3 Wonosari, Gunungkidul
2011
MODUL MATEMATIKA
ii
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia
dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul Limit Fungsi untuk
kelas XI IPA Semester 2.
Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar akademik sebagai
bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai
berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan
mengacu pada perkembangan IPTEK dalam rangka membekali kompetensi yang
terstandar pada peserta didik.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua,
khususnya peserta SMA untuk mata-pelajaran Matematika, atau praktisi yang
sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMA.
Wonosari , Desember 2011
Penyusun .
iii
DAFTAR ISI Halaman Judul .................................................................................... i
Kata Pengantar................................................................................... ii
Daftar Isi ............................................................................................. iii
Bab I PENDAHULUAN
A. Petunjuk Penggunaan Modul ........................................................ 1
B. Standar Kompetensi ………………………………………………. 2
C. Kompetensi Dasar ………………………………………………….. 2
D. Tujuan Pembelajaran Yang Akan Dicapai ..................................... 2
E. Glosarium ..................................................................................... 2
BAB II KEGIATAN BELAJAR
A. KEGIATAN BELAJAR I …………………………………………….. 3
1. Pengertian Limit Fungsi …………………………............................ 3
2. Latihan soal 1 ………………………………………………. 6
3. Kunci jawaban latihan soal 1 …………………………….. 7
B. KEGIATAN BELAJAR II ………………………………………… 8
1. Limit Fungsi Aljabar…………………………………............. 8
2. Latihan soal 2 ………………………………………………. 12
3. Kunci jawaban latihan soal 2 …………………………….. 13
BAB III EVALUASI AKHIR
A. Lembar tes tertulis ……………………………………….. 14
B. Lembar kunci jawaban tes tertulis ……………………… 17
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………. 18
1
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam modul ini akan diuraikan tentang limit fungsi di suatu titik dan
ditakhingga. Pada modul ini akan dibahas mengenai pengertian limit fungsi, limit
fungsi aljabar, dan cara menghitung limit fungsi aljabar.
A. Petunjuk penggunaan modul
Selamat Anda akan memasuki materi ajar berikutnya setelah anda
mempelajari modul sebelumnya. Anda akan mempelajari modul matematika
berikutnya di kelas XI IPA ini tentang limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga.
Modul ini berkaitan dengan sukubanyak. Jika Anda sudah lupa tentang isi modul
tersebut, silahkan dibaca kembali.
Selanjutnya, untuk dapat memahami materi dalam modul ini, silahkan Anda
ikuti petunjuk berikut ini :
- Bacalah setiap penjelasan pada tiap-tiap kegiatan dengan baik
- Kerjakan latihan dan kegiatan serta tes dalam modul ini sendiri atau
berkelompok.
- Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang ada di akhir modul
ini
- Jika Anda mengalami kesulitan memahami materi yang ada dalam modul
ini, silahkan diskusikan dengan teman atau guru pembimbing
- Jangan memaksakan diri sebelum betul-betul menguasai bagian demi
bagian dalam modul ini, karena masing-masing saling berkaitan
- Jika anda belum menguasai 75 % dari setiap kegiatan, maka ulangi
kembali langkah-langkah di atas dengan seksama
- Bacalan buku-buku Matematika selain modul ini untuk memperbanyak
latihan soal dan mempermudah pemahaman anda.
Selamat belajar, semoga sukses.
2
B. Standar Kompetensi
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan
masalah.
C. Kompetensi Dasar:
Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga
D. Tujuan Pembelajaran yang akan dicapai
Setelah membaca modul belajar ini, diharapkan Anda mampu;
1. Menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik.
2. Menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik.
3. Menghitung limit fungsi aljabar di titik tak hingga
E. Glosarium
Istilah Keterangan
Limit Ambang batas, hampir, mendekati
Limit fungsi Memuat pengertian tentang nilai fungsi yang diperoleh
melalui pendekatan terhadap suatu batas.
Limit fungsi tak
hingga
Nilai fungsi ysng diperoleh melalui pendekatan terhadap
suatu batas bilangan taktentu.
Limit fungsi
berhingga
Nilai fungsi ysng diperoleh melalui pendekatan terhadap
suatu batas bilangan tertentu.
Bentuk tak tentu Berupa bentuk pecahan atau tidak pecahan yang nilai-
nilainya tidak diketahui.
3
BAB II
KEGIATAN BELAJAR
1. Pengertian Limit Fungsi
Limit fungsi adalah dasar untuk mempelajari kalkulus, yaitu ilmu kalkulus
yang dikenalkan oleh Isaac Newton dan G. W. Leibniz. Sedangkan
konsep Limit fungsi dikenalkan oleh Agustin Louis Cauchy satu abad
setelah Kalkulus.
Konsep limit fungsi memuat pengertiantentang nilai fungsi yang
diperoleh melalui pendekatan terhadap suatu batas. Sebagai contoh
perhatikan fungsi f sebagai berikut.
1
1)(
2
−−=
x
xxf
Kalau kita perhatikan daerah asal f adalah semua bilangan real x kecuali
x = 1, karena f(1) adalah tidak ada. Selanjutnya akan kita selidiki untuk
nilai-nilai x di sekitar 1 tetapi tidak sama dengan 1.
Tabel berikut menyatakan hubungan x dengan f(x) untuk x → 1
Tabel 1 untuk x → 1 dari kiri :
x 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999
1
1)(
2
−−=
x
xxf 1 1,25 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999
Tabel 2 untuk x → 1 dari kanan :
x 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001
1
1)(
2
−−=
x
xxf 3 2,75 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001
A. KEGIATAN BELAJAR 1
4
Perhatikan kedua tabel di atas, kita ketahui bahwa jika x semakin
mendekati ke nilai 1, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan, maka
nilai f(x) bergerak semakin mendekati 2. Hal seperti di atas dapat
dikatakan bahwa kita dapat membuat nilai f(x) mendekati 2 untuk x
cukup dekat dengan 1, walaupun nilai f(1) tidak ada.
Dalam matematika dapat dituliskan sebagai berikut :
21
1lim
2
1=
−−
→ x
xx
Perlu diperhatikan bahwa 2 ≠ f(1), karena f tidak terdefinisi di x = 1.
Secara ituitif pengertian limit dapat didefinisikan sebagai berikut:
pernyataan Lxfax
=→
)(lim menunjukkan bahwa jika x mendekati a
tetapi x ≠ a maka nilai f(x) mendekati L.
Notasi Lxfax
=→
)(lim , dibaca “ limit f(x) sama dengan L untuk x
mendekati a”.
a. Limit kiri dan Limit kanan
Perhatikan fungsi tangga f yang didefinisikan dengan :
<≤<≤<≤<≤
=
4325
3220
2115
1010
)(
xuntuk
xuntuk
xuntuk
xuntuk
xf
Grafik fungsi f pada interval 0 ≤ x < 4 dapat dilihat pada gambar
berikut.
5
Dari diagram di atas dapat kita tentukan untuk x → 2,
Untuk x → 2 dari kiri, yang dilambangkan x → 2- diperoleh :
x 1,5 1,8 1,9 1,99 1,995
f(x) 15 15 15 15 15
Untuk x → 2 dari kanan, yang dilambangkan x → 2+ diperoleh :
X 2 … 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3
f(x) 20 … 20 20 20 20 20
Dari dua tabel di atas kita peroleh :
15)(lim2
=−→
xfx
disebut limit kiri (ditulis −L ) , sedangkan
20)(lim
2=
+→xf
x disebut limit kanan (ditulis L+).
Jadi, kalau kita perhatikan fungsi f di atas limit kiri dan limit kanan
Untuk x mendekati 2 nilainya tidak sama, )(lim)(lim22
xfxfxx +− →→
≠
Maka dikatakan )(lim2
xfx →
tidak ada.
Definisi :
Suatu fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x →a , jika
Lxfxfaxax
==+− →→
)(lim)(lim
Contoh 1 :
Diketahui
>−≤+
=1,
1,3)(
xuntukx
xuntukxxf , hitunglah (jika ada) nilai dari :
a. )(lim1
xfx −→
b. )(lim1
xfx +→
c. )(lim1
xfx →
6
Penyelesaian :
a. Jika kita ambil x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 4,
maka )(lim1
xfx −→
= )3(lim1
+−→
xx
= 4
b. Jika kita ambil x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2,
maka )(lim1
xfx +→
= )3(lim1
+−+→
xx
= 2
c. Dari jawaban a dan b maka )(lim)(lim11
xfxfxx +− →→
≠ , jadi dapat kita
simpulkan bahwa )(lim1
xfx →
tidak ada.
Contoh 2 :
Diketahui
=≠−
=2,5
2,12)(
xuntuk
xuntukxxf , tentukan )(lim
2xf
x →
Penyelesaian :
Dengan substitusi, kita peroleh f(2) = 3
2. Soal Latihan 1
a. Jelaskan apakah yang dimaksud dengan 3)(lim1
=−→
xfx
dan
4)(lim1
−=+→
xfx
mungkinkah )(lim1
xfx →
ada? Jelaskan.
b. Selidiki nilai limit fungsi f(x) = 2x + 1 untuk x mendekati 0
c. Selidiki nilai limit fungsi f(x) = 12
32 −−
+xx
xuntuk x mendekati 4
d. Selidiki nilai limit fungsi f(x) = 32
32 −−
−xx
xuntuk x mendekati 3
e. Tentukan nilai p sehingga limit yang diberikan ada.
)(lim1
xfx −→
dengan
−>+−≤−
=1,
1,3)(
2 xuntukpx
xuntukpxxf
7
3. Kunci jawaban soal latihan 1
a. –
b. 1
c. ∞=0
7
d. tentutidak=0
0
e. p ≠ - 3
8
1. Limit Fungsi Aljabar
Cara menghitung limit suatu fungsi bergantung pada jenis fungsi
yang akan dicari limitnya.
sebagai berikut :
a. Limit Fungsi f(x) untuk x → a
Langkah-langkah menentukan nilai )(lim xfax →
, untuk a ∈ R adalah
1) Tentukan nilai limit dengan cara mensubstitusikan nilai x = a
pada fngsi f(x). Maka kita peroleh )(lim xfax →
= f(a).
Jika 0
0)( ≠af , maka nilai limit sudah diperoleh.
Jika 0
0)( =af (bentuk tak tentu), maka lakukan dengan cara
langkah kedua.
2) Tentukan nilai limit dengan cara pemfaktoran atau mengalikan
dengan akar sekawan.
Contoh 1 :
Tentukan nilai )53(lim3
−→
xx
Penyelesaian :
Dengan cara substitusi, kita dapatkan )53(lim3
−→
xx
= 3.3 – 5 = 4
Jadi, nilai )53(lim3
−→
xx
= 4.
Contoh 2 :
Tentukan nilai dari 4
2lim
22 −−
→ x
xx
Penyelesaian :
B. KEGIATAN BELAJAR 2
9
Dengan substitusi kita peroleh nilai 0
0, jadi diperoleh bentuk tak
tentu, maka kita lakukan dengan memfaktorkan, yaitu
4
1
2
1lim
)2)(2(
2lim
4
2lim
2222=
+=
+−−=
−−
→→→ xxx
x
x
xxxx
Jadi nilai dari 4
1
4
2lim
22=
−−
→ x
xx
Contoh 3 :
Tentukan nilai dari x
xxx
2lim
0
−→
Penyelesaian :
Dengan substitusi maka kita peroleh bentuk tak tentu yaitu 0
0
Dengan demikian maka kita gunakan cara dengan mengalikan
akar sekawan.
x
xxx
2lim
0
−→
= x
xxx
2lim
0
−→
. x
x
= x
xxxx
2lim
0
−→
= )2(lim0
−→
xx
= 0 – 2 = 2
b. Limit Fungsi f(x) untuk x → ∞
1) Bentuk )(
)(lim
xg
xfx ∞→
Contoh 1:
Tentukan nilai x
xx 2
26lim
+∞→
Penyelesaian :
10
Dengan substitusi kita peroleh ∞∞
yang nilainya tidak diketahui, dan
disebut bentuk tak tentu. Tetapi masalah ini dapat kita selesaikan
dengan lang
Kah berikut :
Bagilah pembilang dan penyebut dengan x, yaitu ambil pangkat
tertinggi, maka kita peroleh
xx
xx
xx x
x2
26
lim2
26lim
+
∞→∞→=+
= 2
6lim
2x
x
+∞→
= 32
06 =+
Jadi, nilai x
xx 2
26lim
+∞→
= 3
Contoh 2 :
Tentukan nilai 3
12lim
2 +−
∞→ x
xx
Penyelesaian :
Pangkat tertinggi pembilang atau penyebut adalah 2, maka pembilang
dan penyebut masing-masing dibagi dengan x2.
1
0
1lim
3
12lim
2
2
22
2
22
3
12
3
12
2=
+−
=+−
=+−
∞→∞→x
xx
xxx
xxx
xx x
x = 0
Contoh 3 :
Tentukan nilai 2
12lim
2
23
−−+
∞→ x
xxx
Penyelesaian :
2
12lim
2
23
−−+
∞→ x
xxx
= ∞==−
−+∞→ 0
22lim
3
3
21
11
xx
xx
x(tidak mempunyai limit)
Catatan :
0lim =∞→ nx x
a, untuk a konstan dan n bilangan asli
11
Dari ketiga contoh tesebut, dapat kita rangkum menjadi :
a) Jika pangkat pembilang dan penyebut sama, maka nilai
penyebuttertinggipangkatxkoefisien
pembilangtertinggipangkatxkoefisien
xg
xfx
=∞→ )(
)(lim
b) Jika pangkat pembilang < pangkat penyebut, maka
0)(
)(lim =
∞→ xg
xfx
c) Jika pangkat pembilang > pangkat penyebut, maka
∞=∞→ )(
)(lim
xg
xfx
2) Bentuk { })()(lim xgxfx
−∞→
Bentuk ini dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan bentuk
sekawannya yaitu )()(
)()(
xgxf
xgxf
++
, kemudian membaginya dengan x
pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebut.
Contoh :
Tentukan nilai dari ( )23lim −−+∞→
xxx
Penyelesaian :
( ) ( ) ( ))23(
23.23lim23lim
−++−++−−+=−−+
∞→∞→ xx
xxxxxx
xx
= ( ) ( )
23
23lim
−++−−+
∞→ xx
xxx
= 23
5lim
−++∞→ xxx
Langkah berikutnya adalah membagi dengan x pangkat tertinggi
yaitu x .
( )23lim −−+∞→
xxx
=
x
xx
x
x 23
5
lim−++∞→
12
= xx
x
x 23
5
11lim
−++∞→
= 1
0
11
0 =+
= 0
Jadi, ( )23lim −−+∞→
xxx
= 0
2. Soal Latihan 2
a. Tentukan nilai limit berikut :
1) )52(lim1
+→
xx
2) 3
65lim
2
3 −+−
→ x
xxx
3) 24
2
3 9
3lim
xx
xxx −
−→
4) 8
4lim
3
2
2 −−
→ x
xx
5) 9
3lim
23 −−
→ x
xx
b. Tentukan nilai tiap limit berikut :
1) 23
54lim
+−
∞→ x
xx
2) 5
324lim
2
2
++−−+
∞→ xx
xxx
3) 54
32lim
2
3
−+−
∞→ xx
xx
4) 52
3lim
4
2
−+−
∞→ xx
xx
13
c. Tentukan nilai tiap limit berikut :
1) ( )112lim −−+∞→
xxx
2) ( )1215lim 22 −+−++∞→
xxxxx
3) ( )352lim 2 +−−∞→
xxx
4. Kunci jawaban soal latihan 2
a. 1) 7
2) 1
3) 18
1
4) 3
1
5) 0
b. 1) 3
4
2) - 4
3) ∞
4) 0
c. 1) 0
2) 3
4
3) ∞
14
BAB III
EVALUASI AKHIR
A. Lembar tes tertulis
Pilihlah jawaban yang benar!
1. ....)12(lim 2
4=+−
→xx
x
A. 25 B. 16 C. 9 D. 4 E. 1
2. 23
54lim
2
3 +−
→ x
xxx
adalah ... .
A. 4
B. 3
4
C. 2
D. 11
21
E. – 3
3.
−−
−→ 4
4
2
1lim 22 xxx
adalah ... .
A. 0
B. 4
1
C. 2
1
D. 2 E. 4
4. 9lim 2
5−
→x
xadalah ... .
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
15
5. 1
22lim
2
1 −−
→ x
xx
= ... .
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 6
6. x
xx −
−∞→ 3
12lim adalah ... .
A. -2 B. – 1 C. 0
D. 3
2
E. 2
7. 4
4
2
46lim
x
xx +
−∞→
adalah ... .
A. 6
B. 4
C. 3
D. – 2
E. – 4
8. )2(lim 22 xxxxx
+−+∞→
A. 2
1−
B. 2
1
C. 0 D. 1
E. 2
3
9. 2
8lim
38 −−
→ x
xx
adalah ... .
A. 12 B. 10 C. 6 D. 8 E. 4
16
10. 53
4lim
2
2
2 +−−
→ x
xx
addalah ... .
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
11. 34
14lim
1
+−+
∞→ x
x
xadalah ... .
A. 3
1−
B. 12
1−
C. 1 D. 2 E. 4
12. Nilai dari 2
lim
→x 112
15
+−
x
x
=… . A. 0,2 B. 0,3 C. 0,4 D. 0,5 E. 0,6
13. Nilai dari ∞→x
lim ( 9516 2 +− xx – 3916 2 −+ xx ) =… .
A. -4
7
B. -7
4
C. 7
4
D. 4
7
E. 4
14. Nilai dari
3
2
2
1
142lim
+−++
∞→ xx
xx
x = ....
A. 2
B. 3 C. 6 D. 8 E. ∞
17
15. Nilai dari 5
lim
→x 49
12
+−
x
x
=… .
A. 2)49
9(
B. 7
3
C. 49
9
D. 9
7
E. 7
9
B. Lembar kunci jawaban tes tertulis
1. C 6. A 11. E
2. D 7. E 12. E
3. B 8. B 13. A
4. C 9. A 14. D
5. C 10. D 15. B
18
DAFTAR PUSTAKA
H. Sigit Suprijanto dkk 2009. Matematika SMA Kelas XI Program IPA. Terbitan
pertama.: Penerbit Yudhistira.
Nugroho Soedyarto, Maryanto. 2008. Matematika Jilid 2. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Sutrima, Budi Usodo 2009. Wahana Matematika Untuk SMA/MA kelas XI. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional
Wilson Simangunsong, Drs. 2005. PKS Matematika. Jakarta : Penerbit Gematama
Sulistiyono, Sri Kurnianingsih, Kuntarti. 2007. Matematika kelas XI Program IPA.
Jakarta : Penerbit Gelora Aksara Pratama