Modül Teori - Algebra, Matematik · Modül Teori Modüller Prof. Dr. Ne‚set AYDIN ˙OMÜ -...

Modül TeoriModüller

Prof. Dr. Neset AYDIN

ÇOMÜ - Matematik Bölümü

[01/07] Mart 2012

Prof. Dr. Neset AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50

Giris

M bir toplamsal degismeli grup olsun.

End(M) = {f : M −→ M | f grup homomorfizması}

kümesini tanımlayalım. End(M) kümesi üzerinde; f , g ∈ End(M) ve x ∈ M için;

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

(f · g) (x) = f (g (x))

islemleri tanımlansın. Bu durumda, f , g ∈ End(M) ve x , y ∈ M için;

(f + g) (x + y) = f (x + y) + g (x + y) (islem tanımından)

= f (x) + f (y) + g (x) + g(y) (f , g , homomorfizma)

= f (x) + g (x) + f (y) + g (y) (M degismeli)

= (f + g) (x) + (f + g) (y) (tanımdan)

ve


Giris

(f · g) (x + y) = f (g (x + y)) = f (g (x) + g (y))= f (g (x)) + f (g (y)) = f (x) g (x) + f (y) g (y)

= (f · g) (x) + (f · g) (y)

oldugundan, f + g ve f · g fonksiyonlarıda grup homomorfizmalarıdır. O haldef + g , f · g ∈ End(M) dir.0 : M → M, 0(x) = 0 olarak tanımlanan fonksiyon bir grup homomorfizmasıdır.O halde 0 ∈ End(M) dir. Üstelik her f ∈ End(M) için;

(f + 0) (x) = f (x) + 0(x) = f (x) + 0 = f (x)

(0+ f )(x) = 0(x) + f (x) = 0+ f (x) = f (x)

oldugundanf + 0 = 0+ f = f

olur. O halde 0 ∈ End(M) etkisiz elemandır.


Giris

Keyfi bir f ∈ End(M) için; −f : M → M, (−f ) (x) = − (f (x)) ile tanımlanan−f bir fonksiyondur. Ayrıca x , y ∈ M için

(−f ) (x + y) = −(f (x + y))= −(f (x) + f (y))= −f (x)− f (y)= (−f )(x) + (−f )(y)

oldugundan −f ∈ End(M) dir. Üstelik

(f + (−f ))(x) = f (x) + (−f )(x) = f (x)− f (x) = 0 = 0(x)((−f ) + f )(x) = (−f )(x) + f (x) = −f (x) + f (x) = 0 = 0(x)

oldugundan f + (−f ) = 0 ve (−f ) + f = 0 olur. O halde −f ∈ End(M),f ∈ End(M) nin tersidir.Ayrıca ∀x ∈ M için;

(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x)

oldugundan f + g = g + f dir.Prof. Dr. Neset AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 4 / 50

Giris

Diger taraftan her f , g , h ∈ End(M) ve x ∈ M için;

[(f + g) + h] (x) = (f + g)(x) + h(x) = (f (x) + g(x)) + h(x)

= f (x) + (g(x) + h(x)) = f (x) + (g + h)(x)

= [f + (g + h)] (x)

oldugundan (f + g) + h = f + (g + h) olur. Böylece (End(M),+) bir degismeligruptur.Diger taraftan f , g , h ∈ End(M) ve x ∈ M için;

[(f · g) · .h] (x) = (f · g)(h(x)) = f (g(h(x)))= f ((g · h)(x)) = [f · (g · h)] (x)

oldugundan (f · g) · h = f · (g · h) olur.


Giris

[(f + g) · h] (x) = (f + g)(h(x)) = f (h(x)) + g(h(x))= (f · h)(x) + (g · h)(x)) = [(f · h) + (g · h)] (x)

ve

[f · (g + h)](x) = f ((g + h)(x)) = f (g(x) + h(x))= f (g(x)) + f (h(x)) = (f · g)(x) + (f · h)(x)= (f · g + f · h)(x)

oldugundan (f + g) · h = f · h+ g · h ve f · (g + h) = f · g + f · h bulunur.Ayrıca, I : M → M, I (x) = x ile tanımlanan fonksiyon bir gruphomomorfizmasıdır ve

(f · I )(x) = f (I (x)) = f (x)(I · f )(x) = I (f (x)) = f (x)

oldugundan I · f = f · I = f dir. Böylece End(M) , üzerinde tanımlanan buislemler ile bir birimli halkadır.


Giris

Bu halkayıkullanarak M toplamsal degismeli grubu üzerinde bir dıs islemiasagıdaki biçimde tanımlayalım. f ∈ End(M) ve m ∈ M için f ·m islemi, faltında ki m ∈ M nin görüntüsü olsun. Yani,

End(M)×M → M(f ,m) → f ·m = f (m)

olarak tanımlansın. Bu sekilde tanımlanan dıs islem asagıdaki özelliklere sahiptir.f , g ∈ End(M) ve m,m1,m2 ∈ M için;

1 f · (m1 +m2) = f (m1 +m2) = f (m1) + f (m2) = f ·m1 + f ·m2oldugundan f · (m1 +m2) = f ·m1 + f ·m2

2 (f + g) ·m = (f + g)(m) = f (m) + g(m) = f ·m+ g ·m oldugundan(f + g) ·m = f ·m+ g ·m

3 (f · g) ·m = (f · g)(m) = f (g(m)) = f (g ·m) = f · (g ·m) oldugundan(f · g) ·m = f · (g ·m)

4 I ·m = I (m) = m oldugundan I ·m = molur. Simdi M toplamsal degismeli grup üzerinde yukarıda olusturulan yapıdanfaydalanarak asagıdaki tanımıverelim.


Tanım

DefinitionR bir halka, M bir toplamsal degismeli grup olmak üzereR ×M → M, (r ,m)→ r ·m ile tanımlanan dıs islem, ∀r1, r2, r ∈ R vem,m1,m2 ∈ M için;

M1) r · (m1 +m2) = r ·m1 + r ·m2M2) (r1 + r2) ·m = r1 ·m+ r2 ·mM3) (r1.r2) ·m = r1 · (r2 ·m)

kosullarınısaglıyor ise M ye bir sol R−modül denir. Bu kosullaraek olarak R halkasıbirimli (1R ∈ R) ve

M4) 1R ·m = mkosuluda saglanıyor ise M ye bir sol unitary R−modül denir. Eger M bir unitarysol R−modül ve R bir bölüm halkası(division ring) ise M ye R üzerinde bir solvektör uzayıdenir. Yukarıda tanımlanan m ∈ M, r ∈ R için, r ·m dıs çarpımınaskaler çarpım denir.


Tanım

Sag R−modül benzer olarak asagıdaki biçimde tanımlanır.

DefinitionR bir halka, M bir toplamsal degismeli grup olmak üzereM × R → M, (m, r)→ m · r ile tanımlanan islem ∀m,m1,m2 ∈ M ve∀r , r1, r2 ∈ R içini) (m1 +m2) · r = m1 · r +m2 · rii) m · (r1 + r2) = m · r1 +m · r2iii) m · (r1r2) = (m · r1) · r2kosullarısaglanıyor ise M ye bir sag R−modül denir. Bu kosullara ek olarak Rhalkasıbirimli (1R ∈ R) veiv) m · 1R = mkosulu da saglanıyor ise M ye bir sag unitary R−modül denir. Eger M birunitary sag R−modül ve R bir bölüm halkasıise M ye R üzerinde bir sag vektöruzayıdenir.


Özellikler

LemmaEger R bir degismeli halka ve M bir sol R−modül ise m.r = r .m olaraktanımlanan dıs islem ile M bir sag R−modül yapılabilir.

SolutionM bir sol R−modül ve R degismeli olsun. Bu durumda

M × R −→ M

(m, r) −→ m · r = r ·m

dıs islemini ele alalım. Her m,m1,m2 ∈ M ve r , r1, r2 ∈ R için,

(m1 +m2) · r = r · (m1 +m2) (islem tanımı) = r ·m1 + r ·m2 (sol R −modül)= m1 · r +m2 · r (islem tanımı)

oldugundan (m1 +m2) · r = m1 · r +m2 · r olur.


Özellikler

SolutionBenzer olarak

m · (r1 + r2) = (r1 + r2) ·m (islem tanımı) = r1 ·m+ r2 ·m (sol R −modül)= m · r1 +m · r2 (islem tanımı)

oldugundan m · (r1 + r2) = m · r1 +m · r2 olur. Ayrıca

m · (r1r2) = (r1r2) ·m (islem tanımı) = (r2r1) ·m (R degismeli)

= r2(r1 ·m) (sol R −modül) = r2(m · r1) (islem tanımı)

= (m · r1) · r2 (islem tanımı)

oldugundanm · (r1r2) = (m · r1) · r2

elde edilir.


Özellikler

O halde R degismeli bir halka oldugunda sag R−modül aynızamandasol R−modül ve bunun tersi de dogru oldugundan, R degismeli ise R−modüldiye isimlendirilir.Aksi belirtilmedikçe, bundan sonra R−modül denince sol R−modül anlasılacaktır.

LemmaR bir halka, M bir R−modül olsun. Bu durumda m ∈ M ve a ∈ R için

i) 0R ·m = 0Mii) a · 0M = 0Miii) (−a) ·m = −(a ·m) = a · (−m)

özellikleri saglanır.


Özellikler

Proof.R bir halka ve M bir R−modül olsun.(i) m ∈ M ve a ∈ R için a ·m ∈ M dir.

a ·m = (a+ 0R ) ·m = a ·m+ 0R ·m

oldugundan 0R ·m = 0M elde edilir.(ii) m ∈ M ve a ∈ R için a ·m ∈ M dir. a ·m = a · (m+ 0M ) = a ·m+ a · 0Molmasından a · 0M = 0M bulunur.(iii) 0M = 0R ·m olmasıkullanılarak0M = 0R ·m = (a+ (−a)) ·m = a ·m+ (−a) ·m olmasından(−a) ·m = −(a ·m) ve benzer biçimde0M = a · 0M = a · (m+ (−m)) = a ·m+ a · (−m) olmasındana · (−m) = −(a ·m) bulunur. Böylece istenenler bulunmus olur.


Özellikler

ExampleHer toplamsal degismeli A grubu bir sol(sag) Z−modüldür.

SolutionA bir toplamsal degismeli grup olsun. n ∈ Z ve a ∈ A için, n · a , n defa aelemanının toplamıolarak tanımlansın.

Z× A → A(n, a) → n · a = a+ a+ · · ·+ a

Bu durumda k, k1, k2 ∈ Z ve a, a1, a2 ∈ A için

k · (a1 + a2) = (a1 + a2) + · · ·+ (a1 + a2) (k defa)= (a1 + · · ·+ a1) + (a2 + · · ·+ a2) (A degismeli)= k · a1 + k · a2

olur.


Özellikler

SolutionAyrıca

(k1 + k2) · a = a+ a+ · · ·+ a (k tane)= (a+ · · ·+ a) + (a+ · · ·+ a)= k1 · a+ k2 · a

ve (k1k2) · a = k1 · (k2 · a) oldugu grup teoriden saglandıgından A bir (sol)Z−modüldür. Üstelik 1Z ∈ Z ve

1Z · a = a

oldugundan unitary sol Z−modüldür.Z degismeli ve birimli bir halka oldugundan A bir unitary Z−modüldür.


Örnekler

ExampleR bir halka olsun. R halkasının toplamsal degismeli grubunu M ile gösterirsek, Rüzerinde var olan çarpma islemi ile bir R−modül olur.

SolutionM = R nin toplamsal grubu, R ×M → M , (r ,m)→ r ·m = ra buradaki ra,Rhalkasındaki ikinci islem olmak üzere; her r , r1, r2 ∈ R ve x , x1, x2 ∈ M = R için,

r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2 (soldan dagılma özelligi)(r1 + r2) · x = r1 · x + r2 · x (sagdan dagılma özelligi)(r1.r2) · x = r1 · (r2 · x) (birlesme özelligi)

kosullarının saglandıgıaçıktır. O halde yukarıda tanımlanan islem ile R bir solR−modüldür.


Örnekler

SolutionBenzer sekilde aynıislemi kullanarak

M × R → M

(m, r)→ m.r = mr

tanımlanmasıdurumunda yine sagdan ve soldan dagılma özellikleri ve birlesmeözellikleri ile birlikte R bir sag R−modül olur.


Örnekler

ExampleR bir halka ve I , R nin bir (sag, sol) ideali olsun. Bu durumda I bir (sol, sag)R−modül olur.

SolutionI üzerindeki dıs islem R halkasındaki çarpma islemi olmak üzere

R × I → I

(r , a)→ r · a = ra

tanımlanırsa yine R halkasındaki bilinen soldan ve sagdan dagılma özelligi vebirlesme özelligi I yıbir sol R−modül yapar.


Örnekler

ExampleR bir halka ve I ,R nin bir ideali olsun. O zaman R�I halkasıasagıda tanımlanan

R × R�I → R�I(r , a+ I )→ r · (a+ I ) = ra+ I

dıs islemi ile bir R−modüldür.

Solution(i) r , a, b ∈ R elemanlarıiçin

r · ((a+ I ) + (b+ I )) = r · (a+ b+ I ) = r (a+ b) + I= (ra+ rb) + I = ra+ I + rb+ I

= r · (a+ I ) + r · (b+ I )


Örnekler

Solution(ii) r1, r2, a ∈ R elemanlarıiçin

(r1 + r2) · (a+ I ) = (r1 + r2)a+ I = r1a+ r2a+ I= r1a+ I + r2a+ I

= r1 · (a+ I ) + r2 · (a+ I )

(iii) r1, r2, a ∈ R elemanlarıiçin

(r1r2) · (a+ I ) = (r1r2)a+ I = r1(r2a) + I= r1(r2a+ I )

= r1 · (r2 · (a+ I ))

oldugundan R�I bir R−modüldür.


Örnekler

ExampleM ve N iki R−modül olsun. M ×N abelian grubu

R × (M ×N)→ (M ×N)(r , (x , y))→ r · (x , y) = (rx , ry)

ile tanımlanan islem ile bir R−modüldür.

Solution(x , y) , (x1, y1) ∈ M ×N ve r , r1 ∈ R için,

r · ((x , y) + (x1, y1)) = r · (x + x1, y + y1)= (r (x + x1), r(y + y1)) = (rx + rx1, ry + ry1)

= (rx , ry) + (rx1, ry1) = r · (x , y) + r · (x1, y1)

olur.


Örnekler

SolutionAyrıca

(r + r1) · (x , y) = ((r + r1)x , (r + r1)y)= (rx + r1x , ry + r1y) = (rx + rx1, ry + ry1)

= (rx , ry) + (r1x , r1y) = r · (x , y) + r1 · (x , y)

ve

(r1r2) · (x , y) = ((r1r2)x , (r1r2)y)= (r1(r2x), r1(r2y)) = r1 · (r2x , r2y)= r1 · (r2 · (x , y))

oldugundan M ×N bir R−modüldür.


Alt Modüller

DefinitionR bir halka ve M bir R−modül olsun. N,M nin bos kümeden farklıbir altkümesiolsun. Her a, b ∈ N ve her r ∈ R içini) 0M ∈ Nii) a− b ∈ Niii) r · a ∈ N (a · r ∈ N)oluyorsa N ye M nin bir sol (sag) R−alt modülü denir.

Definition(0) ve M nin kendisi birer R−alt modüllerdir. Bu alt modüllere asikar altmodüller denir. Eger R birimli ve M unitary R−modül ve R bir bölüm halkasıiseo zaman, eger N, M nin bir R−alt modülü ise bu alt modüle alt uzay denir.


Alt Modüller

ExampleBir R halkasının her ideali, R nin bir R−alt modülüdür. Bunun tersi de dogrudur.Yani R halkasının her R−alt modülü, R halkasının bir idealidir.

SolutionR bir halka olsun. R bir R−modüldür. I , R nin bir ideali olsun. O halde hera, b ∈ I ve r ∈ R için. a · r dıs islemi olarak R halkasındaki çarpma islemitanımlanırsa(i) a− b ∈ I ve(ii) r · a, a · r ∈ Ioldugundan I bir R−alt modüldür.Tersine I , R nin bir R−alt modülü olsun. O halde tanımdan ∀a, b ∈ I ve ∀r ∈ Riçin,(i) 0R ∈ I , (ii) a− b ∈ I ve (iii) r · a, a · r ∈ Ioldugundan I , R nin bir idealidir.


Alt Modüller

ExampleM bir R−modül ve x ∈ M olsun. Rx = {rx | r ∈ R} kümesi M nin bir R−altmodülüdür.

Solution0R ∈ R ve 0R · x = 0M ∈ Rx ⊂ M dir. Rx 6= ∅ dir. Diger taraftan r1x , r2x ∈ Rxiçin;

r1 · x − r2 · x = (r1 − r2) · x ∈ Rxr1 · (r2 · x) = (r1r2) · x ∈ Rx

oldugundan istenen gösterilmis olur.


Alt Modüller

LemmaM bir R−modül ve x ∈ M olsun. K = {r · x + nx | r ∈ R, n ∈ Z} kümesinitanımlayalım. K, x elemanınıkapsayan, M nin bir R−altmodülüdür. Üstelik Rbirimli bir halka ve M unitary R−modül ise K = Rx dir.

Proof.1Z ∈ Z ve x = 0R · x + 1Zx ∈ K oldugundan x ∈ K ve K 6= ∅ dir.Diger taraftan, her r ∈ R, her n ∈ Z için ve M toplamsal grup oldugundan

r · x ∈ M, nx ∈ M ⇒ r · x + nx ∈ M

olur. O halde K ⊆ M dir. k1 = r1 · x + n1x , k2 = r2 · x + n2x ∈ K için

k1 − k2 = (r1 − r2) · x + (n1 − n2)x ∈ K

oldugundan (K ,+) < (M,+) dır.


Alt Modüller

Proof.a ∈ R ve r · x + nx ∈ K olsun. Bu durumdan ≥ 0 ise

a · (r · x + nx) = a · (r · x) + a · (nx) = (ar) · x + a(x + x + · · ·+ x)= (ar) · x + a · x + · · ·+ a · x = (ar) · x + n(a · x)

n < 0 ise

a · (r · x + nx) = a · (r · x) + a · (nx) = (ar) · x + a((−x) + · · ·+ (−x))= (ar) · x + a · (−x) + · · ·+ a · (−x)= (ar) · x + (−a · x − · · · − a · x)= (ar) · x + n(a · x)

olur. O halde K , x elemanınıbulunduran M nin bir R−alt modülüdür.


Alt Modüller

Proof.Eger L, x elemanınıbulunduran baska bir R−altmodül ise, o zaman her r ∈ R içinr · x ∈ L ve her n ∈ Z için nx ∈ L ve L toplamsal grup oldugundan r · x + nx ∈ Lolacagından K ⊂ L olur.Böylece K , x elemanınıbulunduran M nin en küçük R−altmodülüdür.Simdi kabul edelim ki R birimli ve M unitary R−modül olsun. Bu durumda n > 0ise

r · x + nx = r · x + n(1R · x) = r · x + (1R · x + · · ·+ 1R · x)= (r + 1R + · · ·+ 1R ) · x ∈ Rx

ve n ≤ 0 ise −n = m > 0 olur. Yine

r · x + nx = r · x +m((−1R ) · x + · · ·+ (−1R ) · x)= (r + (−1R ) + · · ·+ (−1R )) · x ∈ Rx

oldugundan K ⊆ Rx dir. Diger taraftan Rx ⊂ K oldugu açıktır. Böylece K = Rxelde edilir.


Devirli Alt Modüller

DefinitionM bir R−modül olsun. x ∈ M için, x elemanıile üretilen devirli R−alt modül

(x) = {r · x + nx | r ∈ R, n ∈ Z}

dir.Eger R birimli ve M unitary R−modül ise o zaman x elemanıile üretilen devirliR−altmodül

(x) = Rx = {r · x | r ∈ R}dir.

TheoremM bir R−modül ve (Ni )i∈I ailesi M nin R−alt modüllerinin bir ailesi olsun. Ozaman

⋂i∈INi bir R−alt modüldür.


Alt Modüller

Proof.∀i ∈ I için, 0M ∈ Ni oldugundan 0M ∈

⋂i∈INi ve

⋂i∈INi 6= ∅ dir. x , y ∈ ⋂

i∈INi ve

a ∈ R olsun. O zaman ∀i ∈ I için, x − y ∈ Ni ve a · x ∈ Ni oldugundan x − y ,a · x ∈ ⋂

i∈INiolur. O halde

⋂i∈INi bir R−alt modüldür. M bir R−modül ve S ⊆ M

altkümesi olsun.

A = {N | N,M nin S yi kapsayan R − alt modülü}

kümesini tanımlayalım. M ∈ A oldugundan A 6= ∅ dir.

K =⋂N∈A

N

R−alt modülünü alalım. Bu durumda K , M nin S kümesini kapsayan en küçükR−alt modülüdür. Bu sekilde tanımlanan en küçük R−alt modülüne S kümesiile üretilen M nin bir R−alt modülü denir ve (S) ile gösterilir.

Eger S = {x1, . . . , xn} sonlu küme ise (S) = (x1, . . . , xn) gösterimi kullanılır.Prof. Dr. Neset AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 30 / 50

Alt Modüller

DefinitionM bir R−modül olsun. 1 ≤ i ≤ k, xi ∈ M için M = (x1, . . . , xk ) ise M ye sonluüreteçli R−modülü denir. Buradaki x1, . . . , xn elemanlarına M nin üreteçleridenir. M bir R−modül olsun. Eger bir x ∈ M için M = (x) ise M ye devirliR−modül denir.


Alt Modüller

LemmaM bir R−modül ve N1,N2, . . . ,Nt M nin R−alt modülleri olsun. Bu durumda

N1 + · · ·+Nt = {n1 + · · ·+ nt | i = 1, 2, . . . , t için, ni ∈ Ni}

kümesi M nin R−alt modülüdür.

Proof.Her i için Ni ler R−alt modül oldugundan 0m = 0m + · · ·+ 0m ∈ N1 + · · ·+Ntdir. Simdi i = 1, 2, ..., t için, ni , ki ∈ N olmak üzere(n1 + · · ·+ nt )− (k1 + · · ·+ kt ) = (n1 − k1) + · · ·+ (nt − kt ) ve(n1 − k1) + · · ·+ (nt − kt ) ∈ N1 + · · ·+Ntdir. Çünkü i = 1, 2, . . . , t için(ni − ki ) ∈ Ni dir. Ayrıca r ∈ R ve 1 ≤ i ≤ t için r · ni ∈ Ni oldugundan

r · (n1 + · · ·+ nt ) = r · n1 + · · ·+ r · nt ∈ N1 + · · ·+Nt

olur. Böylece N1 +N2 + · · ·+Nt bir R−alt modüldür.


Direkt Toplam

DefinitionM, bir R−modül ve N1,N2, . . . ,Nt M nin R−alt modülleri ve 1 ≤ i ≤ t için,

Ni ∩ (N1 + · · ·+Ni−1 +Ni+1 + · · ·+Nt ) = {0}

oluyorsa N1 + · · ·+Nt , R−alt modülüne, Ni , R−alt modüllerinin direkt toplamıdenir ve

N1 ⊕N2 ⊕ · · · ⊕Ntile gösterilir.

LemmaM bir R−modül ve N1,N2, . . . ,Nt , M nin R−alt modülleri olsun.N1 ⊕N2 ⊕ · · · ⊕Nt direkt toplamındaki her bir x elemanı1 ≤ i ≤ t için, ni ∈ Niolmak üzere

x = n1 + n2 + · · ·+ ntbiçiminde tek türlü yazılır.


Direkt Toplam

Proof.x ∈ N1 ⊕N2 ⊕ · · · ⊕Nt alalım. Kabul edelimki her i için, ni , ki ∈ Ni olmak üzere

x = n1 + n2 + · · ·+ nt = k1 + k2 + · · ·+ kt

biçiminde iki farklısekilde yazılsın. Buradan

n1 − k1 = (k2 − n2) + · · ·+ (kt − nt )

yazılır. Esitligin sol tarafıN1 in elemanıdır. Esitligin sag tarafıN2 + · · ·+Nt ninelemanıdır. N1 +N2 + · · ·+Nt direkt toplam oldugundan

n1 − k1 ∈ N1 ∩ (N2 + · · ·+Nt ) = {0}

olmasından n1 = k1 bulunur. Benzer sekilde her 1 ≤ i ≤ t için ni = ki elde edilir.Böylece istenen elde edilmis olur.


Homomorfizmalar

DefinitionM ve N iki R−modül olsun.f : M → N dönüsümü her x , y ∈ M ve her r ∈ R için;H1) f (x + y) = f (x) + f (y)

H2) f (r · x) = r · f (x)kosullarısaglanıyor ise f ye bir R−modül homomorfizmasıveya kısacaR−homomorfizmasıdenir.M den N ye bütün R−homomorfizmalarının kümesi

HomR (M,N) = {f : M → N | f bir R − homomorfizma}

ile gösterilir. Eger M = N ise

HomR (M,M) = EndR (M) = {f : M → M | f bir R − homomorfizma}

olur. Eger R bir bölüm halkası(veya cisim) ve modüller unitary R−modül ise f yeM ve N vektör uzaylarıarasında bir lineer dönüsüm denir.


Homomorfizmalar

LemmaM ve N iki R−modül f : M → N, R−homomorfizma olsun. O zamanasagıdakiler saglanır. f (0M ) = 0N x ∈ M için, f (−x) = −f (x) x , y ∈ M için,f (x − y) = f (x)− f (y) olur.

Proof.f : M → N, R−homomorfizma olsun.(i) f : M → N bir grup homomorfizmasıoldugundan birimi birime götürür.Böylece f (0M ) = 0N dir.(ii) Yukarıdaki (i) kullanılarak, x ∈ M için,

0N = f (0M ) = f (x + (−x)) = f (x) + f (−x)

olmasından −f (x) = f (−x) elde edilir.(iii) Yukarıdaki (i) ve (ii) kullanılarak x , y ∈ M için

f (x − y) = f (x + (−y)) = f (x) + f (−y) = f (x)− f (y)

elde edilir.Prof. Dr. Neset AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 36 / 50

Homomorfizmalar

DefinitionM ve N iki R−modül ve f : M → N, bir R−homomorfizma olsun. O zamana) {x ∈ M | f (x) = 0N } kümesine f nin çekirdegi denir ve ker f ile gösterilir.b) f (M) = {f (x) | x ∈ M} kümesine f altında M nin homomorfik görüntüsüdenir ve Im f ile gösterilir.

LemmaM ve N iki R−modül ve f : M → N, bir R−homomorfizma isea) ker f , M nin bir R−alt modülüdür.b) Im f , N nin bir R−alt modülüdür.

Proof.(a) f (0M ) = 0N oldugundan 0M ∈ ker f dir. Böylelikle ker f 6= ∅ dir.x , y ∈ ker f olsun. f (x − y) = f (x)− f (y) = 0N − 0N = 0N oldugundanx − y ∈ ker f dir. Ayrıca a ∈ ker f ve r ∈ R için f (r · a) = r · f (a) = r · 0N = 0Nolmasından r · a ∈ ker f dir. Böylece ker f , M nin bir R−alt modülüdür.


Homomorfizmalar

Proof.(b) 0N = f (0M ) ve 0M ∈ M oldugundan 0N ∈ Im f dir. x , y ∈ Im f olsun. Ozaman x = f (a), y = f (b) olacak sekilde a, b ∈ M vardır. Buradan

x − y = f (a)− f (b) = f (a− b)

ve a− b ∈ M oldugundan x − y ∈ Im f dir. b ∈ Im f ve r ∈ R için;

r · b = r · f (a) = f (r · a)

ve r · a ∈ M oldugundan r · b ∈ Im f dir. O halde Im f , N nin bir R−altmodülüdür.


Homomorfizmalar

ExampleM bir R−modül ve N bir R−alt modül olsun. a ∈ M için

π : M → M/Na → a+N

olarak tanımlanan dönüsüm bir R−homomorfizmasıdır. Ayrıca Imπ = M/N vekerπ = N dir.

SolutionN, M nin bir R−alt modülü oldugundan bir idealidir. O halde M/N birR−modüldür. a, b ∈ M ve r ∈ R için

π(a+ b) = (a+ b) +N = a+N + b+N = π(a) + π(b)

veπ(r · a) = (r · a) +N = r · (a+N) = r · π(a)

oldugundan π bir R−homomorfizmasıdır.Prof. Dr. Neset AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 39 / 50

Homomorfizmalar

Solution

x ∈ Imπ ⇒ π(a) = x olacak biçimde bir a ∈ M vardır.

⇒ a ∈ M için a+N = x ⇒ x ∈ M/N⇒ Imπ ⊂ M/N

vey ∈ M/N ⇒ y = b+N = π(b)⇒ y ∈ Imπ ⇒ M/N ⊂ Imπ

dir. O halde Imπ = M/N dir. Diger taraftan

x ∈ kerπ ⇒ π(x) = N ⇒ x +N = N ⇒ x ∈ N

olur. O halde kerπ ⊂ N dir. Eger a ∈ N ⊂ M ise π(a) = a+N = N oldugundana ∈ kerπ dir. O halde kerπ = N dir


Homomorfizmalar

DefinitionM ve N iki R−modül ve f : M → N bir R−homomorfizmasıolsun.i) f bire-bir ise f ye R−monomorfizması,ii) f örten ise f ye R−epimorfizması,iii) f bire-bir ve örten ise f ye R−izomorfizmasıdenir. Eger f bir izomorfizma ise M ile N izomorftur denir ve M ∼= N ilegösterilir.

Lemmaf : M → N bir R−homomorfizmasıolsun.a) f bir monomorfizmadır ⇔ ker f = {0}b) f bir epimorfizmadır ⇔ Im f = N

olur.


Homomorfizmalar

Proof.f : M → N bir R−homomorfizmasıolsun.(a) (⇐) ker f = {0} olsun. x , y ∈ M için, f (x) = f (y)⇒ x = y ve böylecex − y ∈ ker f = {0} olmasından x = y bulunur. O halde f bire-bir dir.(⇒) Tersine f bir monomorfizma olsun. Bu durumda a ∈ ker f içinf (a) = 0 = f (0M ) ve f bire-bir oldugundan a = 0M bulunur. O haldeker f = {0} dır.(b) (⇒) f örten olsun. O zaman f (M) = N oldugundan Im f = N dir.(⇐) Tersine Im f = N ise f örtendir.


Homomorfizmalar

Lemmaf : M → N bir R−izomorfizmasıolsun. O zaman f −1 : N → M, birR−izomorfizmadır.

Proof.f : M → N bir R−izomorfizmasıolsun. f , 1− 1 ve örten oldugundan tersi vardır.Üstelik f −1 : N → M, 1− 1 ve örten dönüsümdür. Bunun bir R−homomorfizmaoldugunu göstermek yeterli olacaktır. Bunun için y , y1, y2 ∈ N ve a ∈ Relemanlarınıalalım. f örten oldugundan y = f (x), y1 = f (x1), y2 = f (x2) olacaksekilde x , x1, x2 ∈ M elemanlarıvardır. Buradan

f −1(y1 + y2) = f−1(f (x1) + f (x2)) = f

−1(f (x1 + x2))

= x1 + x2 = f−1(y1) + f

−1(y2)

vef −1(a · y) = f −1(a · f (x)) = f −1(f (a · x)) = a · x = a · f −1(y)

oldugundan f −1 : N → M bir R−izomorfizmadır.Prof. Dr. Neset AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 43 / 50

Homomorfizmalar

ExampleM bir R−modül olsun. I : M → M, I (x) = x ile tanımlanan özdeslik dönüsümübir R−homomorfizmasıdır. Ayrıca 0 : M → M, 0(x) = 0M ile tanımlanandönüsüm bir R−homomorfizmasıdır.

ExampleR bir halka olsun. Bu durumda R bir R−modül ve Rn = R × R × · · · × R nin birR−modül oldugunu biliyoruz. Buradan sabit bir k için,

fk : Rn → R , fk (x1, x2, . . . , xn) = xk

olarak tanımlanan dönüsüm bir R−modül epimorfizmasıdır.Bu R−homomorfizmaya k. izdüsüm R−homomorfizmasıdenir.


Homomorfizmalar

Solutionx = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn ve r ∈ R için

fk (x + y) = fk (x1 + y1, . . . , xn + yn) = xk + yk = fk (x) + fk (y)fk (r · x) = fk (r · x1, . . . , r · xn) = r · xk = r · fk (x)

oldugundan fk , bir R−homomorfizmasıdır. Ayrıca örten oldugu acıktır.

ExampleV = {her mertebeden türevlenebilen, tek degiskenli, reel degerli fonksiyonlar}kümesi olsun. V kümesi,

a) f , g ∈ V için, (f + g)(x) = f (x) + g(x) ile tanımlanan islem ilebir degismeli gruptur.

b) f ∈ V ve r ∈ R olmak üzere (r · f )(x) = rf (x) ile tanımlananislem ile bir R−modüldür.

c) D : V → V , D(f ) =dfdx= f ′(x) olarak tanımlanan türev alma

operatörü olmak üzere D bir R−homomorfizmasıdır.Prof. Dr. Neset AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 45 / 50

Homomorfizmalar

Solution(a) V kümesinin toplamsal degismeli grup oldugunu göstermek kolay oldugundanalıstırma olarak bırakılmıstır.(b) f , g ∈ V için

(f − g)(x) = f (x)− g(x)(r · f )(x) = rf (x)

oldugundan V nin bir R−modül oldugunu göstermek kolaydır.(c) f , g ∈ V için

D(f + g) = D(f ) +D(g)

D(r · f ) = rD(f )

oldugundan D bir R−homomorfizmasıdır.


Alıstırmalar I

1 R bir halka, R [x ], R halkasıüzerindeki polinomlar halkasıolmak üzere R [x ]in bir R−modül oldugunu gösteriniz.

2 M bir R−modül olsun. {x ∈ R | xM = (0)} olarak tanımlanan kümenin Rhalkasının bir ideali oldugunu gösteriniz.

3 R bir halka ve S = {(ai )| i ∈ N, ai ∈ R} olsun.(a) S kümesinin (ai ) + (bi ) = (ai + bi ) islemi ile bir toplamsal abelian grup

oldugunu gösteriniz.(b) α ∈ R ve (ai ) ∈ S için, α ∗ (ai ) = (αai ) olarak tanımlanan islem ile bir R−

modül oldugunu gösteriniz.

4 M ve N iki R− modül olsun. Z = {a ∈ R | ar = ra, ∀r ∈ R} kümesine Rhalkasının merkezi denir.(a) Z nin alt halka oldugunu gösteriniz.(b) Hom(M ,N) nin bir Z− modül oldugunu gösteriniz.(c) R degismeli ise, Hom(M ,N) nin bir R− modül oldugunu gösteriniz.

5 R birimli bir halka, M bir R− modül ve M unitary modül olmasın. Herr ∈ R için, rm = 0 olacak sekilde bir 0 6= m ∈ M elemanının var oldugunugösteriniz.


Alıstırmalar II

1 M bir R− modül olsun. Eger M nin alt modülleri sadece (0) ve M ise M yeindirgenemez (irreducible) R− modül denir. Bir unitary indirgenemez R−modülün devirli oldugunu gösteriniz.

2 M bir indirgenemez R− modül ise M modülünün ya devirli veya her m ∈ Mve r ∈ R için, rm = 0 oldugunu gösteriniz.

3 M bir R− modül olsun. Eger M ve {0} dan baska alt modülleri yoksa M yebasit modül denir. M bir basit modüldür.⇔ ∀0 6= x ∈ M için,M = Rx (= {rx | r ∈ R}) dir.

4 R birimli bir halka olsun. R basit modüldür ⇔ R kesir (division) halkasıdır.(Yol gösterme: Önce 0 6= x için Rx = {rx | r ∈ R} nin sıfırdan farklıR ninbir alt modülü oldugunu gösteriniz. Buradan R = Rx ve bunun 1R yibulundurdugunu gösteriniz.)

5 R birimli ve degismeli bir halka ve f : R × R → R bir dönüsüm olsun. f birR− homomorfizmasıdır ⇔ ∀x , y ∈ R için, f (x , y) = αx + βy olacak sekildeα, β ∈ R vardır.


Alıstırmalar III

1 f : M → N ve g : N → P, R− homomorfizmalarıolsun.(a) g ◦ f : M → P bir R− homomorfizmadır.(b) f ve g , R− epimorfizmalar⇒ g ◦ f , R− epimorfizmadır.(c) f ve g , R− monomorfizmalar⇒ g ◦ f , R− monomorfizmadır.(d) g ◦ f , bir R− epimorfizma⇒ g , bir R− epimorfizmadır.(e) g ◦ f , bir R− monomorfizma⇒ f , R− monomorfizmadır.

2 M bir R− modül, A ve B alt modülleri olsun. M = A⊕ B ⇔ A∩ B = {0}ve M = A+ B oldugunu gösteriniz.

3 M bir R− modül ve A, M nin bir direkt toplananı(yani, M = A⊕ B, B, Mnin bir alt modülü) olsun. O zaman ker f = B, Im f = A ve f 2 = f olacaksekilde bir f : M → M, R− homomorfizmasının var oldugunu gösteriniz.

4 M ve N, R− modüller olsun.(a) Eger M basit R− modül ise sıfırdan farklıher f : M → N , R−

homomorfizmasıbir R− monomorfizmadır.(b) Eger N basit R− modül ise sıfırdan farklıher f : M → N , R−

homomorfizmasıbir R− epimorfizmadır.(c) M bir basit R− modül ise (EndR ,+, ◦) kümesinin bir bölüm (division) halkası

oldugunu gösteriniz. (EndR = {f : M → M | f , R− homomorfizma})Prof. Dr. Neset AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 49 / 50

Alıstırmalar IV

1 R birimli bir halka ve HomR (R,R), R nin sol R− modül endomorfizmalarınınhalkasıolsun. O zaman halka olarak R◦p ∼= HomR (R,R) oldugunu gösteriniz.

2 M, R− modül ve x ∈ M için rx = 0 ise r = 0 olsun. O zaman modül olarakRx ∼= R oldugunu gösteriniz.

3 R birimli bir halka olsun.

(a) HomR (R ,R) = {f | f : R → R , R−sag modül homomorfizması} kümesininbir halka oldugunu gösteriniz.

(b) HomR (R ,R) ∼= R oldugunu gösteriniz.


Modül Teori - Algebra, Matematik · Modül Teori Modüller Prof. Dr. Ne‚set AYDIN ˙OMÜ -...

Documents

Transcript of Modül Teori - Algebra, Matematik · Modül Teori Modüller Prof. Dr. Ne‚set AYDIN ˙OMÜ -...