1

MODÜLER ARİTMETİK

Bir doğal sayının 3 ile bölünmesinden elde edilen kalanlar

kümesi }2,1,0{ dir.

4 ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi }3,2,1,0{

tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan

}bölünür. ile 4y - xve Zy x ,: )y,x{( bağıntısı denklik

bağıntısıdır. Bir x tam sayısı 4 ile bölündüğünde kalan 0,1,2,3 sayılarından biri olur. Buna göre Z tam sayılar kümesi

4 modülüne göre 3,2,1,0 kalan sınıflarına ayrılır. Z tam

sayılar kümesinde 4 modülüne göre kalan sınıflar;

,...}16,12,8,4,0,4,8,12{...,0 ,

,...}17,13,9,5,1,3,7,11{...,1 ,

,...}18,14,10,6,2,2,6,10{...,2 ,

,...}19,15,11,7,3,1,5,9{...,3 şeklinde olur.

4 modülüne göre kalan sınıfların kümesi 4/Z ile gösterilir.

}3,2,1,0{4/Z tür.

Bu sınıfların her birinde bulunan elemanların 4 ile bölünmesinden elde edilen kalan , o elemanın bulunduğu sınıfı verir. Örneğin 10 un 4 ile bölümünden kalan 2 olduğundan,

210 olarak yazılır.

Yine 18 in 4 ile bölümünden kalan 2 olduğundan 218 dir.

Ayrıca aynı sınıfta bulunan iki elemanın denk olduğunu biliyoruz. Bu durumda 4 ün kalan sınıflarına göre 10 sayısı 18 e denktir.

Bunu 4) (mod 1810 biçiminde yazar ve “4 modülüne göre

10, 18’e denktir” diye okuruz. Sonuç m pozitif tam sayısı için Z tam sayılar kümesi m modülüne

göre 1m,...,3,2,1,0 olmak üzere m tane kalan sınıfına

m modülüne göre kalan sınıfların kümesi;

}1m,...,3,2,1,0{m/Z olur.

a ile b aynı kalan sınıfına ait ise bu durum m) (mod ba

biçiminde gösterilir. Örnek: 25 in 7 ile bölümünden kalan 4 olduğu için

7) (mod 425 dir.

523 ün 10 ile bölümünde kalan 3 olduğu için

10) (mod 3523 dur.

1242 nin 4 ile bölümünde kalan 2 olduğundan

4) (mod 21242 tür.

63 ün 9 ile bölümünde kalan 0 olduğu için

9) (mod 063 dur.

38 in 9 ile bölümünde kalan 2 olduğu için

9) (mod 238 dur.

Örnek: 23 sayısı, 8 sayısı, 18 sayısı ve 13 sayısının 5 ile bölümünde kalanlar eşit olduğundan

5) (mod 31318828 tir

Örnek: 18 ve 27 sayısının 9 ile bölümünde kalan 0 dır. Buna göre,

9) (mod 02718 dur.

Örnek: 56 nın 5 ile bölümünde kalan 1 olduğu için

5) (mod 156 tir.

2

Sonuç

m) (mod BA ve m) (mod CB ise m) (mod CA ve

m) (mod AC dir.

Örnek: 28 ve 35 sayılarının 7 ile bölümünde kalan 0 dır. Buna göre,

7) (mod 3528 ve 7) (mod 2835 dir.

Uyarı

m) (mod DA ise A ve D nin m ile bölümünden kalanlar

eşittir. Örnek:

6) (mod 4034 olduğundan 34 ve 40 sayılarının 6vile

bölümünden kalanlar eşittir. Kural

m) (mod BA ve m) (mod DC ise olsun.

Bu durumda aşağıdaki ifadeler yazılabilir. 1. m) (mod DBCA dir. Yani m modülüne göre

yazılmış iki denklik taraf tarafa toplanabilir.

2. m) (mod DBCA dir. Yani m modülüne göre

yazılmış iki denklik taraf tarafa çıkarılabilir.

3. m) (mod D.BC.A dir. Yani m modülüne göre yazılmış

iki denklik taraf tarafa çarpılabilir. 4. k bir sabit sayı olmak üzere m) (mod B.kA.k dir. Yani

m modülüne göre yazılmış bir denkliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir.

5. m) (mod n

Bn

A dir. Yani m modülüne göre yazılmış

bir denkliğin her iki tarafının aynı kuvveti alınabilir. Örnek:

7) (mod 418 ve 7) (mod 526 dir. Buna göre,

a) (mod7) 9447) (mod 542618

(mod7) 22 elde edilir.

b) (mod7) 204687) (mod 5.426.18

(mod7) 66 elde edilir.

c) (mod7) 163247) (mod 2

42

18

(mod7) 22 elde edilir.

Örnek:

5) (mod x2008

6 ise x kaçtır?

Çözüm:

5) (mod 16 olduğundan,

(mod5) 12008

65) (mod 2008

12008

6

olacağından x = 1 bulunur. Kural

k, tam sayı olmak üzere m) (mod yx ise k.myx dır.

Örnek:

7) (mod xx3 ise x in alabileceği en küçük üç farklı doğal

sayı değerini bulalım. Çözüm:

7k2x7kx3x7) (mod xx3 elde edilir.

0k ise 0x7.02x dır.

2k ise 7x7.22x dir.

4k ise 14x7.42x tür.

Örnek:

869293 sayısının 5 ile bölümünde kalan kaçtır?

3

Çözüm:

5) (mod 39293 dir.

)5(mod 18

6)5(mod 8

18

65) (mod 16 dir.

Buna göre,

(mod5) 28

69293)5(mod 138

69293 olur.

Örnek:

810

86 sayısının 9 ile bölümünde kalan kaçtır?

Çözüm:

362

6 sayısının 9 ile bölümünden kalan 0 dır.

Bu durumda 362

6 dur.

Buradan

)9 (mod 018

69) (mod 9

09

26 bulunur.

9) (mod 18

109) (mod 8

18

109) (mod 110

olacağından;

9) (mod 18

108

69) (mod 108

108

6

9) (mod 88

108

69) (mod 918

108

6

bulunmuş olur. Örnek:

572 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm:

)5(mod 21

2

)5(mod 42

2

)5(mod 33

2

)5(mod 14

2

)5(mod 1

2.14

42)5(mod114.4

257

2

(mod5) 2(mod5) 2.14

1 bulunmuş olur.

Kısaca 2 nin 4. kuvveti 1 olduğuna göre 4 ün katı olan kuvvetleri de 1 dir. Bunun için üssün 4 ile bölümünden kalan bulunur. Buradan sonuca gidilir. Örnek:

343 sayısının birler basamağındaki rakamı bulalım.

Çözüm: Bir sayının birler basamağındaki rakam 10 ile bölümündeki kalana eşittir.

Buna göre 34

3 sayısının birler basamağındaki rakamı 10

ile bölümündeki kalan verir.

)10(mod 31

3

)10(mod 92

3

)10(mod 73

3

)10(mod 14

3

)5(mod 2

3.8

43)5(mod28.4

334

3

(mod5) 9(mod5) 9.8

1 bulunmuş olur.

Örnek:

756 sayısının 8 ile bölümündeki kalan kaçtır?

4

Çözüm:

)8(mod 61

6

)8(mod 42

6

)8(mod 03

6

)8(mod 04

6

…

)8(mod 075

6 bulunmuş olur.

Örnek:

10) (mod x2005

2002 olduğuna göre x in alabileceği en

küçük değer kaçtır? Çözüm:

)10(mod 21

2002

)10(mod 42

2002

)10(mod 83

2002

)10(mod 64

2002

)10(mod 25

2002

52002 in 10 ile bölümünden kalan

12002 in 10 ile

bölümündeki kalan ile aynıdır. Buna göre 2005 in 4 ile bölümünden kalan 1 olduğu için,

)10(mod 1

20022005

2002

)10(mod 22005

2002 bulunur.

Kural x, m’nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı

ise m) (mod 11-m

x dir.

Örnek:

)5(mod 14

2 tir.

Burada 5 asal sayı ve 2 sayısı 5 in katı değildir. Örnek:

5) (mod x2008

3 olduğuna göre x in alabileceği en küçük

doğal sayı değeri kaçtır? Çözüm: 3 sayısı 5 in katı olmayıp 5 asal sayı olduğundan

)5(mod 14

3 yazılabilir.

5) (mod 504

12008

35) (mod 504

432008

3

5) (mod 12008

3 bulunur.

Örnek:

Son verdiğimiz kuraldan hareketle, 6

5 nın 7 ile

bölümünden kalanın 1 olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre,

7) (mod 16

5 dir.

Örnek:

)5(mod 1x

4 olduğuna göre, x pozitif tam sayısının

alabileceği en küçük değeri bulalım. Çözüm:

)5(mod 41

4

)5(mod 12

4

olduğuna göre, )5(mod 1x

4 ifadesini doğrulayan en

küçük pozitif tam sayı 2 dir.

5

Uyarı x, m’nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı

ise, m) (mod 11-m

x dir.

Ancak x in m-1 den küçük kuvvetleri için de denklik 1’e eşit

olabilir. Örneğin )5(mod 14

4 ve )5(mod 12

4 olur.

Örnek:

5) (mod x2008

3 olduğuna göre x in alabileceği en küçük

doğal sayı değeri kaçtır? Çözüm: 3 sayısı 5 in katı olmayıp 5 asal sayı olduğundan

)5(mod 14

3 yazılabilir.

Buna göre 2008

3 in kuvveti olan 2008 in 4 ile bölümünden

kalan 0 olduğu için

5) (mod 12008

35) (mod 0

32008

3 bulunur.

Örnek:

1343 sayısının 7 ile bölümünden elde edilen kalanı bulalım.

Çözüm: Son verdiğimiz kural gereği,

)7(mod 16

3 dir.

Buna göre 134

3 sayısının kuvveti olan 134 sayısının 6 ile

bölümünden kalan 2 olduğu için,

7) (mod 2134

3)7(mod 2

3134

3 olur.

Örnek:

8) (mod a75

6 olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük

doğal sayı değerini bulalım.

Çözüm:

)8(mod 61

6

)8(mod 42

6

)8(mod 03

6

)8(mod 25

075

6)8(mod25

3675

6

0a8) (mod 075

6 bulunmuş olur.

Takvim ve Saat Problemleri Akrep ve yelkovanı olan bir saat şu anda 10 u gösteriyor. Bu saat 8 saat sonra kaçı gösterir? Problemini çözelim: 10+8=18 dir. Saatin üzerinde 18 sayısı yoktur. Saat üzerinde 10 dan itibaren 8 birim sayarsak; 11,12,1,2,3,4,5,6 üzerine geliriz. Yani öğleden sonra saat 6 yı gösterir. Bu toplama, tam sayılarda yaptığımızdan farklı bir toplamadır.

)12(mod 618)12(mod 18810 olur.

Örnek: Akrep ve yelkovanı olan bir saat şu anda 10’u gösteriyor.45 saat sonra kaçı gösterir? Çözüm: 10+45 =55 tir. Fakat saat üzerinde 55 yoktur. Her 12 saatte bir saat tekrar 10 olacağından 55 sayısının 12 modülüne göre kaça denk olacağını bulmalıyız.

)12(mod 755 olacağından saat 7 yi gösterecektir.

Örnek: Bugün 13 Ağustos 2005 Cumartesidir. Buna göre 17 gün sonraki günü bulalım.

6

Çözüm: Bir hafta 7 gün olduğuna göre, bugünden itibaren her 7 gün sonrası Cumartesi olacaktır.

)7(mod317 olduğuna göre istenen gün Cumartesi

gününden 3 gün sonrasıdır. Yani Salı günü. Buna göre13 Ağustos 2005 Cumartesi gününden 17 gün sonraki gün 30 Ağustos 2005 Salı günüdür. Örnek: Bu ay Ağustos ayıdır. Buna göre 173 ay öncesi hangi ay olduğunu bulalım. Çözüm: Bir yıl 12 ay olduğuna göre, 12 ay öncesi ve 12 nin katı ile ifade edilen aylar hep Ağustos olacaktır.

)12(mod 5173 olduğuna göre istenen ay Ağustostan 5 ay

öncesindeki aydır. Yani Marttır. Örnek: Tam saat 1’i gösteriyorken çalıştırılan bir saatin akrebi 2230 saat sonra kaçı gösterir? Çözüm: Akrep ile yelkovan her 12 saat sonra tekrar 1’i gösterecektir. Buna göre )12(mod 102230 olacağından istenen saat,

1’in 10 saat sonrasıdır. Yani 11 dir. Örnek: Bir hasta A hapını 12 günde bir yutuyor. Bu hasta, B hapını 8 günde bir yutuyor. Bu hasta A ve B hapını birlikte ilk kez Pazar günü yutuyor. Buna göre, A ve B hapını ikinci kez birlikte yuttuğu gün hangisidir? Çözüm: E.K.O.K.(12,8) = 24 olduğu için bu hasta A ve B hapını birlikte 24 günde bir yutar.

)7(mod324 olduğundan ve hapları birlikte ilk kez Pazar

günü yuttuğundan A ve B hapını ikinci kez birlikte yutacağı gün Pazar gününden 3 gün sonrasındaki gün olan Çarşamba günü olacaktır.

Örnek:

)m(mod339 olduğuna göre m pozitif tam sayısının

alabileceği kaç farklı değer vardır? Çözüm:

)m(mod 33339)m(mod339

)m(mod036

olduğuna göre; m, 36 nın tam bölenleri olmalıdır. 36 nın pozitif bölenleri 1,2,3,4,6,9,12,18,36 dır. Modüler aritmetik tanımı gereği m = 1 olamaz. Bu durumda m sayısı 8 tane pozitif değer alabilir. Örnek:

)6(mod x75

5 olduğuna x sayısı kaçtır?

Çözüm:

(mod6) 1016)m(mod06

6) (mod 75

)1(75

5(mod6) 15

6) (mod 575

56) (mod 175

5

x = 5 bulunur. Örnek:

)10(mod 8ba , )10(mod 5b.a ve

)10(mod x2

b2

a olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

ab22

ba2

b2

a olduğundan;

10) (mod ab22

ba2

b2

a

10) (mod 5.22

82

b2

a

10) (mod 10642

b2

a

7

10) (mod 542

b2

a

4x10) (mod 42

b2

a bulunur.

Örnek:

)7(mod 610x4 denkliğini sağlayan en küçük pozitif x

sayısı kaçtır? Çözüm:

7) (mod 673x4)7(mod 610x4

7) (mod 3633x4)7(mod 63x4

7) (mod 3.2x4.2)7(mod 3x4

7) (mod 6x7) (mod 6x.1)7(mod 6x8

Örnek:

)5(mod 1x24 olduğuna göre, x in alabileceği en küçük

iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır? Çözüm:

5) (mod x21x2x24)5(mod 1x24

5) (mod 1x2114)5(mod x214

5) (mod x2.33.3)5(mod x23

)5(mod x4

olduğuna göre x sayısı 4, 9, 13, 18, 23 gibi değerleri alabilir. Buna göre x in en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı; 4+9=13 tür. Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma İşlemleri

m/Zy,x olsun. Bu elemanlar arasındaki toplama

işlemi ile ve çarpma işlemi ile gösterilirse;

yxyx ve y.xyx dir.

Örnek:

}3,2,1,0{Z/4 kümesinde;

02222

32121

22.323

02.222

}3,2,1,0{Z/4 kümesinde tanımlı ve işlemleri

aşağıdaki tablo ile gösterilebilir.

Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma İşlemlerinin Özellikleri 1. Değişme Özelliği Z/m kümesi toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özellikleri vardır. 2. Birleşme Özelliği Z/m kümesi toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özellikleri vardır. Örnek: Z/4 kümesinde

123 ve 132 olduğundan 3223 tür.

223 ve 232 olduğundan 3223 tür.

4. Toplama İşleminin Etkisiz Elemanı

Z/m kümesinde toplamanın birim elemanı 0 dır.

8

Her m/Zx için xx00x dir.

Örnek:

}3,2,1,0{Z/4 kümesinde

33003 ve 20220 dir.

}3,2,1,0{Z/4 kümesinin işlemine göre etkisiz elemanı

0 dır.

Çarpma işleminin etkisiz elemanı üzerinde çalışılan kümeye göre değişmektedir. 3. Toplama İşlemine Göre Bir Elemanın Tersi

Her m/Zx için

0)x(x)x(x ve 0xxx)x(

olduğundan her m/Zx için işlemine göre

x in tersi x tir. Örnek:

}3,2,1,0{Z/4 kümesinde

0)1(1)1(1 olduğundan 1 in tersi 31 tür.

0)2(2)2(2 olduğundan 2 nin tersi 22

Çarpma işlemine göre bir elemanın tersi üzerinde çalışılan kümeye göre değişebilmektedir Örnek:

}4,3,2,1,0{Z/5 kümesinde ve işlemlerinin

tablosunu yapıp birim elemanları ve her elemanın tersini bulalım.

Çözüm:

işleminde her 5/Zx için x0x olduğundan

etkisiz eleman 0 dır.

000 olduğundan 0 ın tersi 0 dır.

041 olduğundan 1 in tersi 4 tür.

032 olduğundan 2 nin tersi 3 tür.

023 olduğundan 3 ün tersi 2 dir.

014 olduğundan 4 ün tersi 1 dir.

işleminde her 5/Zx için x1x olduğundan

etkisiz eleman 1 dir.

1x0 olacak şekilde 5/Zx bulunmadığından

Z/5 kümesinde işlemine göre 0 ın tersi yoktur.

111 olduğundan 1 in tersi 1 dir.

132 olduğundan 2 nin in tersi 3 tür.

123 olduğundan 3 ün tersi 2 dir.

144 olduğundan 4 ün 4 tür.

Örnek:

Z/6 kümesinde 35x.2 denklemini çözelim.

9

Çözüm:

42x.235x.2

22

4x veya 5

2

64x

dir.

O halde 5,2 .K.Ç tir.

Örnek:

Z/13 kümesinde 85x.2 denklemini çözelim.

Çözüm:

3x.285x.2

82

16

2

3x dir.

O halde 8 .K.Ç dir.

Örnek:

Z/7 kümesinde 65x.3 denklemini çözelim.

Çözüm:

411x.365x.3

63

18

3

4x

O halde 6 .K.Ç dır.

Örnek:

Z/5 kümesinde 03x.2.4x.3 denklemini çözelim.

Çözüm:

03x2 veya 04x303x.2.4x.3 dır.

23

6

3

1x14x.304x.3

12

2x23x.203x.2

O halde 2,1 .K.Ç dır.

Örnek:

Z/5 kümesinde 432

x4 denklemini çözelim.

Çözüm:

44

16

4

12x1

2x.443

2x.4

3 xveya 2x42

x olur.

O halde 3,2 .K.Ç dır.

Çözümlü Sorular

1. 23

2 sayısının 7 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

Çözüm:

)7(mod 21

2

)7(mod 42

2

)7(mod 13

2

Buna göre,

(mod7) 4.7

13

2)7(mod 2

2.7

3223

2

)7(mod 723

2

10

2. 3) (mod x27

4 olduğuna göre x sayısı kaçtır?

Çözüm:

)3(mod 11

4

)3(mod 27

127

4

)3(mod 127

4 olduğundan 1x dir.

3. 5

9813

97 toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

)6(mod 11

97

)6(mod 13

113

97

)6(mod 113

97 olur.

)6(mod 21

98

)6(mod 42

98

)6(mod 23

98

)6(mod 44

98

)6(mod 25

98 olduğundan

6) (mod 215

9813

97

6) (mod 35

9813

97 bulunur.

4. 999

997 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

Çözüm:

999997 sayısının birler basamağındaki rakam, bu sayının

10 ile bölümündeki kalana eşittir.

)10(mod 71

997

)10(mod 92

997

)10(mod 10902

997

)10(mod 12

997

10) (mod 499

)1(499

2997

10) (mod 1998

997

10) (mod 997.1997.998

997

10) (mod 7.1999

997

10) (mod 7999

997

10) (mod 3999

997 bulunur.

5. )10(mod x38

2 olduğuna x sayısı kaçtır?

Çözüm:

)10(mod 21

2

)10(mod 42

2

)10(mod 83

2

)10(mod 64

2

)10(mod 25

2

)10(mod 46

2

11

)10(mod 87

2

)10(mod 68

2

Görüldüğü gibi 2 nin 4 ten sonraki kuvvetlerinden elde edilen kalanlar ilk bulunan kalanlarla aynıdır.

)10(mod 21k4

2...9

25

21

2

)10(mod 42k4

2...10

26

22

2

)10(mod83k4

2...11

27

23

2

)10(mod 6k4

2...12

28

24

2

) 10 (mod 42

229.4

238

2

bulunur.

6. 7) (mod 4x

997 olduğuna göre, x in alabileceği en

küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? Çözüm:

7) (mod 3997

7) (mod 2 3.32

997

7) (mod 63.23

997

7) (mod 43.64

997

7) (mod 4x

997 olduğuna göre 4x tür.

7.

Zk olmak üzere 6k14

5

sayısının 7 ile

bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: 7, 5 in tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve 7 asal sayı olduğundan,

7) (mod 16

5 dir. Buna göre,

7) (mod 2)k2.(6

56k14

5

7) (mod 2)k2.(6

56k14

5

7) (mod 2

5.k2

65k614

5

7) (mod .252k

1k614

5

7) (mod 25.1k614

5

7) (mod 4k614

5

bulunur.

8. )7(mod 6104x denkliğini sağlayan en küçük

pozitif x tam sayısı kaçtır? Çözüm:

)7(mod 6104x

)7(mod 634x

)7(mod 34x

)7(mod 68x

)7(mod 6x bulunur.

9. )5(mod 12x-4 olduğuna göre x in alabileceği en

küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır? Çözüm:

)5(mod 12x-4

)5(mod x21-4

)5(mod x23

)5(mod x69

)5(mod x4

olduğuna göre x sayısı 4,9,13,18,23 gibi değerleri alabilir. Buna göre x in alabileceği en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı, 4+8=13 tür.

12

10. Bugün günlerden Salı olduğuna göre, 32 gün sonrası

hangi gündür? Çözüm: Bir hafta 7 gündür. Bugün günlerden ne ise 7 gün sonra yine aynı gündür.

7) (mod 432 olduğundan istenen gün Salı gününden 4

gün sonraki gündür. Yani Cumartesi günüdür. 11. Bir öğretmen 13 günde bir (12 gün arayla) nöbet

tutmaktadır. 26. nöbetini Çarşamba günü tuttuğuna göre 1. nöbetini hangi gün tutmuştur?

Çözüm: Bir hafta 7 gün olduğuna göre işlemlerimizi mod 7 ye göre yapmalıyız. 26. nöbet Çarşamba günü tutulduğuna göre 7 gün önce de Çarşamba dır. Bunun için kalanı 0 olan günler Çarşamba ya, kalanı 1 olan günler Salıya, kalanı 2 olan günler Pazartesi ye,… rastgelir. 1. nöbetten ile 26. nöbete zaman geçene kadar 25 defa nöbet tutulmuştur. Her nöbet 13 günde bir tutulduğundan, 1. nöbet, 26. nöbetten 25.13 = 325 gün önce tutulmuştur.

7) (mod 3325 olduğundan ilk nöbet Çarşamba gününden

3 gün önceki gün olan Pazar günü tutulmuştur. 12. Bir asker 4 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu asker ilk

nöbetini Pazartesi günü tuttuğuna göre, 100. nöbetini hangi gün tutar?

Çözüm: Asker 4 günde bir nöbet tuttuğuna göre 100. nöbetini tutması için 99.4 = 396 gün geçmesi gerekir.

7) (mod 4396 olduğundan bizden istenen Pazartesi den 4

gün sonrasıdır. Yani 100. nöbetini Cuma günü tutar. 13. Bir elektronik saat şu anda 18:00 i gösterdiğine göre,

157 saat sonra kaçı gösterir? Çözüm: Elektronik saat 24 saatte bir aynı vakti göstereceğine göre, işlemleri mod 24 e göre yapmalıyız.

24) (mod 13157 olduğundan bizden istenen saat

18:00 den 13 saat sonrası yani 31:00 dır.

24) (mod 731 olduğu için, saat 07:00 yi gösterir.

14. 7) (mod 14

x

5

x olduğuna göre x in alabileceği en

küçük doğal sayı değeri kaçtır? Çözüm:

7) (mod 14

x

5

x

7) (mod 1x.1

4x.1

5

Burada 5 ve 4 ün mod 7 ye göre tersini bulmalıyız.

7) (mod 15.3 olduğundan 5 in mod 7 ye göre tersi 3,

7) (mod 14.2 olduğundan 4 ün mod 7 ye göre tersi 2

bulunur. Bu durumda,

7) (mod 1x.1

4x.1

5

7) (mod 1x.2x.3

7) (mod 1x.5

7) (mod 3x.15

7) (mod 3x

Buna göre, x in alabileceği değerlerden bazıları -11,-4,3,10,17,24 tür. Bu durumda x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri 3 tür. 15. x iki basamaklı bir doğal sayı,

6) (mod 2x ve 8) (mod 2x olduğuna göre, x in

alabileceği kaç farklı değer vardır?

Çözüm:

6) (mod 2x olduğuna göre, x in 6 ile bölümünden kalan 2

dir. Buna göre, iki basamaklı x in alacağı değerler, 14,20,26,…,86,92,98 dir.

13

8) (mod 2x olduğuna göre, x in 8 ile bölümünden kalan 2

dir. Buna göre, iki basamaklı x in alacağı değerler, 10,18,26,…,82,90,98 dir. 6 ile 8 in E.K.O.K’u 24 olduğundan x iki basamaklı sayısı 26,50,74,98 değerlerini alabilir. 16. 365 günlük bir yıldaki Salı ve Çarşamba günleri

sayısının toplamı en çok kaçtır? Çözüm: Bir hafta 7 gündür. 365 = 52.7+1 olduğu için, 52 tane Salı ve Çarşamba sayılır. Sayma işlemine Salı günü başlanırsa, artan gün Salı olur. Böylece, 53 Salı ve 52 Çarşamba günü olur. Toplam 53+52=105 Salı ve Çarşamba günü olur. 17. 28x1 olmak üzere x )(mod 0x-28 denkliğini

sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? Çözüm:

28x1 ve k tam sayı olmak üzere,

x )(mod 0x-28 ise,

1)x(k28xk 0x-28 tir.

Buna göre, x tam sayısı 28 in tam bölenidir. Bu durumda x in alabileceği değerler 2,4,7,14,28 olmak üzere beş tanedir.

18. Z/7 kümesinde )3x3).(2x5( ifadesinin en sade

şeklini bulunuz. Çözüm:

}6,5,4,3,2,1,0{Z/7 dır.

Bu kümede işlemler mod 7 ye göre yapılır. Buna göre,

6x.6x.12

x.1)3x3).(2x5(

62

x6x.02

x)3x3).(2x5( olur.

19. Z/8 kümesinde 06.y2.x5 ve 04.y7x4

olduğuna göre, x + y toplamını bulunuz. Çözüm:

06.y2.x5 ve 04.y7x4 eşitlikleri taraf

tarafa toplanırsa,

046y.7y.2.x4x5.

010y.9.x9

02y.1.x1

2yx

628yx bulunur.

20. Z/5 kümesinde 1

31

4

toplamı kaçtır?

Çözüm:

}4,3,2,1,0{Z/5 tür.

Bu kümede işlemler mod 5e göre yapılır. Buna göre,

5) (mod 41-

4 5) (mod 14.45) (mod 164.4 tir.

5) (mod 21-

3 5) (mod 13.25) (mod 63.2 dir.

O halde 5) (mod 1241

31

4

bulunur.

21. 22xf(x ) ve 4xg(x ) olduğuna göre g)(2)(f nin

Z/5 kümesindeki değeri kaçtır? Çözüm:

18f(8)f(g(2))g)(2)(f dir.

5) (mod 318 olduğundan g)(2)(f nin Z/5 kümesindeki

değeri 3 tür.

14

22. )15(mod x2122

2011 olduğuna x sayısı kaçtır?

Çözüm:

)15(mod 12011 tir.

Buna göre,

)15(mod 2111

12122

2011

)15(mod 12122

2011 bulunur.

23. 26) (mod x2011

52009

5 olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

)26)(mod2

51.(2009

52011

52009

5

26) (mod .262009

52011

52009

5

26) (mod 02011

52009

5

0x bulunur.

24. )27(mod x2015

6 olduğuna x sayısı kaçtır?

Çözüm:

)27(mod 61

6

)27(mod 92

6

)27(mod 03

6 olduğuna göre 6 nın 3 ten büyük tüm

kuvvetleri mod 27 de 0 a denktir.

Buna göre, )27(mod 02015

6 olup 0x bulunur.

25. 197x ve 196y olduğuna göre y

xx .y sayısının

9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

9) (mod x196

197196.197 ifadesinde x i bulmalıyız.

9) (mod 8197 ve 9) (mod 7196 olup,

9) (mod 256196.197 dur.

9) (mod 81

197

9) (mod 12

197 olduğundan,

9) (mod 198

198

2197196

197 olur.

Buna göre,

9) (mod 312196

197196.197 bulunur.

26. Bir fabrikada yöneticiler 9 günde bir toplantı yapıyorlar.

İlk toplantılarını Çarşamba günü yapmışlardır. 12. toplantılarını hangi gün yaparlar?

Çözüm: Bir hafta 7 gün olduğuna göre işlemlerimizi mod 7 ye göre yapmalıyız. Bugün günlerden ne ise 7 gün sonra da aynı gündür. 12. toplantının yapılabilmesi için 11 tane 9 gün geçmelidir.

7) (mod 111.97) (mod 2.411.9 olduğuna göre

istenen gün Çarşamba gününden 1 gün sonrası olan Perşembe günüdür. 27. 44!... 6! 4! 2! 0! toplamının birler

basamağındaki rakam kaçtır? Çözüm: Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamı verir.

...720242044!... 6! 4! 2! 0!

...20727

...207207

15

6! Sayısı 10 ile tam bölünür. 6!’den sonra gelen tüm terimler de 10 ile tam bölünür. Buna göre,

10) (mod 744!... 6! 4! 2! 0! olur.

O halde 44!... 6! 4! 2! 0! toplamının birler

basamağındaki rakam 7 dir.

28. 5555555 sayısının 9’a bölümünde kalan kaçtır?

Çözüm:

)9(mod 25555

9) (mod555

2555

5555 dur.

)9(mod 16464

2 olduğundan,

9) (mod 88.92

13

2.92

62555

2 olur.

O halde 5555555 sayısının 9 ile bölümünden

kalan 8 dir.

29. 6) (mod 3x , 6) (mod 2y ve 6) (mod a2

y2

x

olduğuna göre a kaçtır? Çözüm:

)yx).(yx(2

y2

x dir.

6) (mod 3x ve 6) (mod 2y ise,

6) (mod )23).(23(2

y2

x

6) (mod 51.52

y2

x bulunur.

30. 5) (mod 42-3x denkliğini sağlayan x değeri kaçtır?

Çözüm:

5) (mod 2422-3x

5) (mod 13x5) (mod 63x

5) (mod 721x5) (mod 1.77.3x

5) (mod 2x bulunur.

31. 7) (mod 65-3x olduğuna göre x in alabileceği en

küçük iki basamaklı pozitif tam sayı kaçtır? Çözüm:

7) (mod 653x7) (mod 65-3x

7) (mod 5.45.3x7) (mod 43x

7) (mod 6x7) (mod 20x

32. 7) (mod 43ax denkliği 2x için sağlandığına

göre, a kaçtır? Çözüm:

7) (mod 43ax denkliği 2x için sağlanıyorsa,

7) (mod 432a7) (mod 43a.2

7) (mod 12a7) (mod 3-43-32a

7) (mod 4a7) (mod 4.12a.4 bulunur.

33. 7x6)1x3f( olduğuna göre )0f( nin Z/9

kümesindeki değeri kaçtır? Çözüm:

7x6)1x3f(

52x6)1x3f(

5)1x3.(2)1x3f(

5a.2f(a)

550.2)0f( bulunur.

Konu Bitmiştir.

16