Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning...
Transcript of Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning...
![Page 1: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/1.jpg)
Moderne acceleratorers fysik og anvendelseForelæsning 2
Transverse motion, Lattices
Optiske elementer: Styring og fokusering.
Bevægelsesligningen og dens løsning.
Stabilitet.
Typiske latticekonfigurationer.
![Page 2: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/2.jpg)
Koordinatsystem og notation
centralbanex
s
ρ
z
x og z er altså afvigelse fra centralbanen i horisontalt og vertikalt plan.
x’ = dx/ds og z’ = dz/ds er divergensvinklerne i forhold til centralbanen.
Ofte ses y benyttet for den vertikale afvigelse, ligesom man af og til ser z anvendt i stedet for s.
![Page 3: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/3.jpg)
Dipoler: Afbøjningsvinkel
ρθπθ
ρρθ
BlBFor
BlBl
≈<<
==
:2
)(222sin
![Page 4: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/4.jpg)
Dipolmagneter: Fokusering i sektormagnet
α
αα
θ
αθ
α
tan/
/sincos
:dvs
/sin
cos
g
gi
i
f
gi
if
r
rxx
xf
rx
xx
=⋅
⋅
=Δ
=
⋅=Δ
⋅=
xicosα
Dvs. at en 90° dipol har f=0, og at en 180° har f=∞
xi
xf
xisinα
![Page 5: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/5.jpg)
Dipoler: Vertikal fokusering
Ved at ændre vinklen mellem felt og bane kan en vertikal fokuseringopnås som vist.Det ses at hvis β≠0 er Bx≠0, hvilket giver en vertikal kraft.Vinklen kan vælges således at stigmatisk fokusering opnås, dvs ensfokusering både vertikalt og horisontalt.Dette kaldes en ”fringing field lens” eller randfeltlinse.
x
s (main orbit)
Bx
y
s
![Page 6: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/6.jpg)
Dipoler: Dobbeltfokuserende magnet
Fringing field lens
![Page 7: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/7.jpg)
Kvadrupol (1)
yFxF
yBxB
yx
xy
∝−∝
∝∝
samt
samt
F
B
Horisontalt fokuserende for positive partikler på vej ind i tavlen
![Page 8: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/8.jpg)
Alternating Gradient (AG) Fokusering
Beamet er altid længere fra den optiske akse i de fokuserende elementer end i de defokuserende, derfor er nettoeffekten fokuserende.
![Page 9: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/9.jpg)
Kvadrupol (2)
klfxxfeFokallængd
lkxB
xdxdBlBlBx
pBdx
dBB
k
kvadrupolenafStyrken
z
z
/1'/:
)/('
)(1:
−=⇒Δ−=
====Δ
∝=
ρρθ
ρρ
![Page 10: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/10.jpg)
Quadrupol doublet fokusering
Horizontal:
Vertical:
![Page 11: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/11.jpg)
Quadrupol triplet fokusering
Horizontal:
Vertical:
![Page 12: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/12.jpg)
Strong focusing animation
![Page 13: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/13.jpg)
Fokusering
||
'vv
dsdxx ⊥==
![Page 14: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/14.jpg)
Faserum
![Page 15: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/15.jpg)
Fokusering, beam envelope
![Page 16: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/16.jpg)
Bevægelsesligningen (Hill’s ligning) (1)
0)('')('''/''
)(:
1,1:
=+−==
−===⇒
−==−
zskzellerzskzdsdz
dskzfzdzefokuserendvertikaltpositivkVertikalt
klf
dxdB
BkpolQ z
θ
ρ
0)()(
1'':)(
':.
,/)tan(2/,)tan(
::
2
2
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
=⇒=
≈≈⇒<<=
xsks
xQogDbådealtI
dsxdxds
fdvs
dsf
eringdipolfokusfrabidragOgsåtHorisontal
D
D
ρ
ρρ
ρααπαα
ρ
![Page 17: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/17.jpg)
Bevægelsesligningen (Hill’s ligning) (2)
0)('': =+ zskzVertikalt
I en constant-gradient maskine (f.ex. Cosmotronen) er k konstant, og løs-ningen til Hill’s ligning er derfor en harmonisk oscillator:
λπφφ 2'),sin( == hvorzz o
I vort tilfælde ligner løsningen ovenstående, men amplituden og fase-udviklingen er ikke længere konstante:
Vi ser her, at mens ε er konstant, kan β betragtes som proportional med den lokale bølgelængde i bevægelsen, i.e. hvor ’hurtigt’ retningen ændres
![Page 18: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/18.jpg)
Bevægelsesligningen (Hill’s ligning) (3)Løsningen for x og x’ er har altså formen:
β
Stor
LilleMed rigtigt valg af styrke og afstand af Q-polerne er β stor i F q-poler og lille i D q-poler
x
x
x’
x’
![Page 19: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/19.jpg)
Beam envelope og β
Beam envelope = βε
Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldeshele arealet indenfor beam envelope. Bemærk sammenhængen mellem β og λ.
ε er konstant, men β=β(s)
![Page 20: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/20.jpg)
Q-værdi
Q-værdien er betratron-bølgetallet, dvs. hvor mange sving-ninger en partikel udfører pr. omgang i maskinen. Se igen på en konstant-gradient maskine:
Faseudvikling på én omgang:
Dvs, at antal svingninger er :
og dermed β = R/Q
Dette er også en god approximation for den gennemsnitligebetafunktion i AG maskiner. Det er vigtigt at undgå, at Q eret heltal. Hvorfor? Hvordan undgås det?
![Page 21: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/21.jpg)
MatrixbeskrivelseFølg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af entransportmatrix. På generel form:
M21 er en funktion af β(s) og φ(s), og vi har en transformations-matrix for hvert element i ringen, f.ex. dipol, q-pol, driftspace etc.
På denne måde kan vi komme fra ethvert punkt i ringen til ethvert andet, simpelthen ved at multiplicere et antal matricer der repræsenterer de elementer vi gennemløber.
Spørgsmålet er nu, hvordan sammenhængen mellem M21 ogβ(s) (og dermed φ(s)). Løsningen er Twiss-matricen.
![Page 22: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/22.jpg)
Twiss matricen
Vi vil her postulere Twiss-matricen, der er den basale transportmatrix for periodiske lattices:
hvor μ er faseudviklingen pr. celle, og vi har indført dissefunktioner af β :
(α, β og γ kaldes ogsåTwiss eller Courant-Snyder parametre)
![Page 23: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/23.jpg)
StabilitetFor at strukturen er stabil kræves at matricen {M(s)}Nk
ikke divergerer, da den jo beskriver transformationen efterk gennemløb af ringens N perioder.
En egenværdi opfylder MY=λY, hvor Y=(y,y’).
Løsning af determinantligningen det(M-λI)=0 giver λ2-λ(a+d)+1=0 (benyt at det(M)=1)
Løsningen kan skrives: λ = cosμ±isinμ = e±iμ, hvor cosμ=½Tr(M)=½(a+d)
For at have stabilitet kræves at μ er reel. hvilket medfører at|½Tr(M)|<=1 og |λ|=1
Disse betingelser er en test for stabilitet !
![Page 24: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/24.jpg)
Udregning af Twiss-parametre
Hvis vi kendte a, b, c og d kunne vi udregne Twiss-parametrene:
Procedure: Vælg et punkt i ringen, multiplicér transport-matricerne én periode frem og find dermed a,b,c og d. Så kan Twiss-parametrene udregnes jvf. ovenfor.
![Page 25: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/25.jpg)
Transportmatricer (1)Hvert element i ringen har sin egen transportmatrix:
Driftspace af længde l: Her transformeres (x,x’) til (x+x’l,x’) (Hill), hvilket kan skrives således:
Transportmatricen for driftspace er altså simpethen
![Page 26: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/26.jpg)
Transportmatricer (2)Quadrupoler:
Husk Hill’s ligning: x’’+kx=0, eller Δx’=-kxlDvs. at (x,x’) transformerer til (x,x’-kxl)
Altså kan vi skrive transportmatricen:
Ovenstående gælder dog kun for en tynd Q-pol (i forh. til fokallængden).For en generel Q-pol med længde l ser det sådan ud:
![Page 27: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/27.jpg)
Transportmatricer (3)Dipoler:Nedenstående gælder for en sektormagnet med radius ρ ogvinkel θ:
Bemærk fokuseringen i Mh. Vi regnede tidligere ud (Slide 5)at vinkelændringen som funktion af x i en sektordipol er
gi rx /sinαθ ⋅=Δ , heraf fokuseringsleddet.
I vertikal retning er der blot tale om drift, idet ρθ jo er banelængden i dipolen
![Page 28: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatrix. På generel form: M 21 er en](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042121/5e9ad5529813b64611558f1c/html5/thumbnails/28.jpg)
Latticeprogrammer
Latticeprogrammer som f.eks. MAD (Iselin and Grote) ogWINAgile (Bryant) benytter transportmatricer til at finde Twiss-parametrene.
Eksempel: FODO lattice: CERN SPS:
Vi vil nu prøve at lave en simpel FODO lattice i WINAgile.