Moderna fizka

8/18/2019 Moderna fizka

1/67

SVEU ČILI ŠTE U SPLITU

PRIRODOSLOVNO-MATEMATIˇCKI FAKULTET

MODERNA FIZIKA

i∂ Ψ

∂t = Ĥ Ψ

Paško Županović & Željana Bonačić Lǒsić


2/67

Sadržaj

Predgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivUvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

1 ATOMI, ELEKTRONI I IONI 11.1 Mendeljejev sistem periodǐcnih svojstava elemenata . . . . . . . . 11.2 Ioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Katodne i kanalne zrake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Rutherfordov model atoma. Rutherfordova formula . . . . . . . . 21.5 Boškovićeva teorija i njen utjecaj na razvoj nauke o strukturi

materije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 NASTANAK KVANTNE MEHANIKE 72.1 Jeans - Rayleigleov zakon zračenja crnog tijela . . . . . . . . . . 72.2 Planckov zakon zračenja crnog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Bohrov model atoma vodika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Franck - Hertzov eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Fotoelektriči efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Comptonov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 De Broglieva hipoteza o valovima materije . . . . . . . . . . . . . 162.8 Bohrov princip komplementarnosti i Heisenbergove relacije neodred̄enosti 17

3 SCHRODINGOVA VALNA KVANTNA MEHANIKA 193.1 Valna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Schrodingova valna jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Vremenski neovisna Schrodingrova jednadžba . . . . . . . . . . . 20

4 PRIMJENA VALNE MEHANIKE ZA RJE ŠAVANJE NEKIHJEDNOSTAVNIH PROBLEMA 214.1 Sloboda čestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Prolaz čestice kroz potencijalnu barijeru. Tunel efekt. . . . . . . 224.3 Čestica u jednodimenzionalnoj pravokutnoj potencijalnoj jami.Kvantizacija energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Čestica u kutiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Degeneracija energijskih nivoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6 Harmonički oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

i


3/67

ii SADR ŽAJ

4.7 Moment količine gibanja. Rotator. . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.8 Kvantnomehaničko tumačenje ovisnosti toplinskog kapaciteta o

temperaturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 ATOMSKA FIZIKA 335.1 Atom vodika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Stern - Gerlachov eksperiment. Spin. . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Paulijev princip iskljcenja. Razdioba elektrona po stanjima. . . . 375.4 Mendeljejev sistem periodǐcnih svojstava elemenata . . . . . . . . 385.5 Spektar X - zraka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.6 Zeemanov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 JEZGRA ATOMA 416.1 Sastav i karakteristike jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Masa i energija veze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3 Modeli jezgre atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.4 Nuklearne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.5 Fisija, Atomska bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.6 Nuklearni reaktori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.7 Fuzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 RADIOAKTIVNOST 497.1 Vrste radioaktivnih raspada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.2 Vrijeme poluraspada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.3 Aktivnost uzoraka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.4 Med̄udjelovanje ionizacijskog zračenja s materijom . . . . . . . . 517.5 Detektori radioaktivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.6 Doza zračenja. Biološko oštécenje tkiva . . . . . . . . . . . . . . 527.7 Učinci zračenja na biološke molekule . . . . . . . . . . . . . . . . 537.8 Letalna i najveća dopuštena doza zračenja . . . . . . . . . . . . . 53

8 ELEMENTARNE ČESTICE I TEMELJNA MED ¯ UDJELOVANJA55

8.1 Elementarne čestice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.1.1 Uvod. Prve ideje o elementarnim česticama . . . . . . . . 558.1.2 Pregled poznatih elementarnjig čestica . . . . . . . . . . . 558.1.3 Čestice i antičestice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.2 Temeljna med̄udjelovanja u prirodi i njihovo ujedinjenje . . . . . 578.2.1 Postavka problema. Dosadašnja ujedinjenja. . . . . . . . . 578.2.2 Jaka nuklearna sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.2.3 Slaba nuklearna sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.2.4 Izmjenjene čestice i boja kvarkova . . . . . . . . . . . . . 588.2.5 Veliko ujedinjenje (GUT- Grand Unied Theory) . . . . . 58

8.3 Elementarne čestice i postanak svemira . . . . . . . . . . . . . . 588.3.1 Današnji svemir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.3.2 Veliki prasak. Vremenski tijek . . . . . . . . . . . . . . . . 60


4/67

SADR ŽAJ iii

8.3.3 Zǎsto u svemiru tvar preteže nad antitvari . . . . . . . . . 60


5/67

PredgovorOva knjiga rezultat je dugogodišnjih predavanja predmeta Opća zika IV

prvog autora i Moderna zika drugog autora na Prirodoslovno-matematičkomfakultetu u Splitu.

Relativno mali broj knjiga na hrvatskom jeziku iz ovog područja bio je motivautorima za pisanje ove knjige.

Razina Uvodini kurs na sveučilišnoj razini.Potrebno predznanje (matematika i zika) Integralno-diferencijalni račun

funkcija jedne i više varijabli i Mehanika.Kome je prventsveno namjenjena studentima prirodoslovnih fakulteta, zika,

kemija i biologija Bit će korsina i studentima tehničkih i medicinksih fakulteta,ali bit će korisna i svima onima koji žele produbiti svoje razumjevanje procesau prirodi.

Namjera je autora dati nagalsak konceptualnom razumjevanju pojmova i

kvalitativnom razumijevanja po java u neživom i živom svijetu. Primjena prin-cipa na tehnološki razvoj.Nadamo se da će naš trud biti koristan svima onima koji su iz bilo kojih

razloga zainteresirani za problematiku koja se obrad̄uje u ovoj knjizi.Zahvaliljemo se se dipl. ing. računarstva Marku Zeliću na tehničkoj pomoći

u pisanju, te prvostupniku zike Mario Žicu na pomoći pri izradi crteža.

iv


6/67

Uvod

v


7/67

Poglavlje 1

ATOMI, ELEKTRONI IIONI

1.1 Mendeljejev sistem periodǐcnih svojstava el-emenata

Sva tijela sastoje od stotinjak tijela koje nazivamo kemijski elementi. Svojstvakemijskih elemenata (potencijal prve ionizacije, temperatura taljenja, magnet-ska i dielektrična susceptibilnost, ...) su periodičke funkcije rednog broja (brojaprotona u jezgri). Doduše ova periodičnost nije matematski stroga, ali slikepoput 21.1 a), b) i c) nedvojbeno ukazuju na ponavljanje svojstava kemijskihelemenata.

Slika 21.1

Ovu zakonitosti prvi je uočio veliki ruski znanstvenik Mendeljejev 1861. god.Kada je on otkrio periodičnost svojstava, i na temelju toga napravio prvi sistem periodǐcnih svojstava elemenata , neka mjesta su bila prazna, jer u to vrijemesvi elementi još nisu bili poznati. On je ispravno predvidio svojstva tih, u tovrijeme nepostojećih elemenata (Sc - skandij). Bio je to prvi trijumf periodnogsustava Dmitrija Meneljejeva.

1.2 Ioni

Galvani i Volta su svojim radovima pobudili interes za ispitivanje električnihstanja u otopinama. Oko 1810. Humphry Davy je otkrio da se otopljene soli ilikiseline razlažu. Ako se u otopinu kuhinjske soli postave dvije metalne ploče ipovežu s izvorom električne struje, natrij se taloži na negativno nabijenu elek-trodu (katodu), a klor se skuplja oko pozitivne ploče (anode). Ova pojavanaziva se elektroliza . Nešto kasnije Michael Faradey je otkrio da ista količina

1


8/67

2 POGLAVLJE 1. ATOMI, ELEKTRONI I IONI

elektriciteta izluči uvijek istu količinu materije (u molovima), bez obzira navrstu tvari. Faradayev zakon elektrolize ukazao je da postoji odred̄ena, konačnomala, količina elektriciteta koja prelazi s nabijenih čestica u elektrodu, na kojoj se atomi izlučuju. Krajem porošlog stoljeća iznio je švedski kemičar SvanteArhenius teoriju otopina. Prema njoj molekula kuhinjske soli se cijepa na poz-itivan ion natrija N a + i negativan ion klora C l−,

NaCl →Na + + Cl −(21.1)

Električne struje u otopinama čine struje iona. No još uvijek osta je nejasanmehanizam prijenosa nabo ja s atoma natrija na atom klora, ili možda obratno.

1.3 Katodne i kanalne zrakeJedno je postaviti teoriju, kao što je učinio Svante Arhenius, a drugo dokazatiegzistenciju tih čestica. S obzirom da su te čestice , pri normalnim uvjetimanevidljive, njihova egzistencija se potvrd̄uje pomoću zakona sačuvanja količinegibanja i energija. Količina gibanja i energija koja se prividno gubi ili dobijapripisuje se nevidljivim česticama. Godine 1858. Plucker je iz staklene cijevi sdvama elektrodama razrijedio plin. Na krajeve elektroda priključio je napon.Neposredno uz katodu pojavile su se zrake koje su se pravocrtno širile premaanodi. Budući da su išle od katode ove zrake su nazvane ”katodnim zrakama”.Ako se iza anode postavi uorescentni zastor, tada se na zastoru pojavi sjenaanode. Premda su neki tvrdili da se radi o svjetlosnim zrakama, bilo je i onihkoji su smatrali suprotno. Katodne zrake na svom putu prema anodi mogupokretati mali mlin. Konačno ako se postave u magnetsko polje, katodne zrakese ponašaju kao negativno nabijene čestice. Na temelju ova dva posljednjaeksperimenta Crookes je tvrdio da se radi o novoj vrsti negativno nabijenihčestica. 1897. J.J.Thomson je izmjerio da je masa novih čestica, elektrona ,1837 puta manja od mase atoma vodika. Naboj elektrona precizno je izmjerioR.A.Milliken 1917. god., u pokusu s kapljicama ulja u kondenzatoru. God.1881. Goldstein je, ispitujući svojstva ”katodnih zraka” u katodi napravio kanal.Kroz kanal su se širile nepoznate zrake, koje je on, budući da su se širile krozkanal nazvao ”kanalne zrake”. Pokus s magnetskim poljem je pokazao da se radio pozitivno nabijenim česticama. Najlakša čestica u kanalnim zrakama imala jemasu gotovo jednaku masi atoma vodika.

1.4 Rutherfordov model atoma. Rutherfordovaformula

Nakon otkrića prirode katodnih i kanalnih zraka, bilo je jasno da se atom sasto jiod teškog pozitivnog naboja i lagane, negativno nabijene čestice elektrona. Prvi


9/67

1.4. RUTHERFORDOV MODEL ATOMA. RUTHERFORDOVA FORMULA 3

model atoma je predložio J.J.Thomson. Po njegovom modelu atom He se sasto- jao od velike pozitivne kugle, s elektronima unutar nje. Provjeravajući Thom-sonov model Ernest Rutherford je α - česticama bombardirao tanki listić metala(zlata). U to doba (oko 1910.) Rutherford je znao da α - čestica ima dvostrukielementarni naboj, te da gubitkom naboja prelazi u atom helija. Rutherford jenapravio eksperiment prema slici 21.2.

Slika 21.2

α - čestice iz izvora i udara ju u metu, listić zlata. Listić je toliko tanak, da seα - čestica s malom vjerojatnošću sudara dva ili više puta s atomima metala priprolazu kroz listić. Otklon α - čestica od upadnog pravca, odred̄uje se pomoćudetektora. Čitav ured̄aj sa slike 21.2 smješten je evakuiranom kučištu, da bi seizbjegli sudari α čestica i molekula zraka. Rutherford je našao, da se α -̌cestice

u većini slučajeva malo otklanja ju od smjera početne putanje. Mali broj česticaotklanjao se za vrlo veliki kut, skoro 180 0. Analizirajući potonje rezultate on jezaključio da su takvi otkloni mogući samo u slučaju vrlo snažnih polja unutaratoma. Takvo polje mora proizvoditi naboj koji ima veliku masu, a koncentriran je u vrlo malom volumenu. 1911. god. Rutherford je predložio model atoma koji je poznat pod njegovim imenom. Prema Rutherfordu, atom je sistem naboja.Središte čini masivna jezgra naboja Ze (Z - redni broj elementa u Mendelje- jevom periodnom sustavu), promjera d < 10−12 cm. Oko jezgre Z elektronasu razmješteni po čitavom volumenu koji pripada atomu. α - čestica ima punoveću masu od elektrona, te je pri sudaru elektroni neće znatnije otklanjati. Otk-lon dolazi od jezgra naboja Ze. Razmotrimo sudar α čestice, koja bi da nemamed̄udjelovanja s jezgrom atoma, prošla mimo nje brzinom v na udaljenosti b(slika 21.3a). Veličina b naziva se parametar sudara . Pretpostavit ćemo da jez-gra atoma ima mnogo veću masu od α - čestice. Zbog zakona sačuvanja energijeiznos količine gibanja, prije i poslije sudara se takod̄er sačuvava. ( p = p0) (slika21.3b)

Slika 21.3

Sila odbijanja izmed̄u α - čestice i jezgre atoma iznosi

→F = 2Ze2

4πǫ0 r 2 · →er = 2kZe2

r 2 · →er(21.2)

Ako je θ - kut otklona α - čestica od upadne putanje, promjena količinegibanja je (vidi sliku 21.3b)

∆ p = 2 p0 ·sin θ2 = 2mα ·ν ·sin θ2 ,(21.3)


10/67


gdje je mα - masa, a ν upadna brzina α - čestice. Prema Newtonovomdrugom zakonu

∆ → p= →F dt(21.4)

Projiciramo li vektor →F na smjer vektora ∆ → p

∆ p = F ∆ → p dt(21.5)

Prema slici 21.3 a) F ∆

→

p =→F cosψ. Zamijenimo li kut ψ s polarnim kutom

φ i kutom otklona θ

ψ = π2 − θ2 −φdobije se,F

∆→

p = F cos ψ = F sin(φ + θ2 ) =

2kZe 2

r 2 ·sin(φ + θ2 )(21.6)

Zapišemo li dt = dφφ̇ , gdje je φ̇ = dφdt jednadžba (21.5) posta je,

∆ p = 2k ·Z ·e2

π −θ0

sin( φ+ θ2 )dφ

r 2 φ̇

(21.7)

Iz Teorijske mehanike poznato je da mα r 2 φ̇ predstavlja iznos momenta količinegibanja α - čestice, te da se ova veličina u slučaju gibanja čestice u polju cen-tralne sile sačuvava. Moment količine gibanja znatno prije sudara iznosi

→L = →r x → p = mα vb.(21.8)

Zamjenom r 2 φ̇ s vb (21.17) postaje,

∆ p = 2kZe2

vb π−θ0 sin(φ + θ2 )dφ = 2kZe 2vb ·2cos θ2 .(21.19)

Usporedbom s (21.13) dobije se


11/67

1.4. RUTHERFORDOV MODEL ATOMA. RUTHERFORDOVA FORMULA 5

coth θ2 = m α v

2

2kZe 2 ·b(21.20)

Pretpostavimo li da je metalni listić uistinu dovoljno tanak tako da se α -čestica rasprši na samo jednoj jezgri. Promjena parametra sudara b za d ·b,uzrokovat će promjenu smjera raspršenja za dθ (slika 21.4)

− 1sin 2 θ2 = m α v2

2kZe 2 db

(21.21)

Slika 21.4

Neka presjek snopa α čestica iznosi S. Ako je n broj atoma metala po jedinicivolumena i a - debljina listića, tada je n ·S ·a broj centara raspršenja α - čestica.Ako je snop α - čestica homogen po poprečnom presjeku, tada relativan bro jα - čestica koje prolaze pokraj jedne jezgre, kroz prsten radijusa b i širine dbiznosi,

dN θN =

nSa ·2πbdbS = na ·2πbdb.(21.22)

dN θ je struja čestica (bro j čestica u jedinici vremena) koja se rasprši izmed̄ukuta θiθ + dθ (osjenčeni dio na slici 21.4), a N je upadni tok čestica. Ako u

jednadžbu (21.22) umjesto b i db uvrstimo izraze (21.20) i (21.21), dobije se

dN θN = na (

2kZe 2

m α v 2 )2 ·2π ·cot θ2 · 1sin 2 ( θ2 ) dθ2

cot( θ2 )sin 2 ( θ2 )

= cos(θ2 )s in( θ2 )

sin 4 ( θ2 ) = sin θ2sin 4 ( θ2 ) .

Uz 2π ·sin θdθ = dΩ - element prostornog kuta dobije se slavna Rutherfordova formula za raspršenje α čestica.dN θ

N = na ( kZe 2

m α v 2 )2 dΩ

sin 4 ( θ2 ).

(21.23)

Rutherfordova formula je 1913. eksperimentalno potvrd̄ena. Bez obzirašto je Rutherfordova formula (21.23) eksperimentalno potvrd̄ena, Rutherfordovmodel atoma nije konzistentan u okvirima klasične elektromehanike. Iz elektro-statike je poznato da sistem točkastih naboja ne može biti u stabilno j ravnoteži.


12/67


Stoga elektron mora kružiti oko jezgre, i pri tome prema Newtonovom drugomzakonu ”trpi” centripetalnu akceleraciju. Med̄utim, prema klasičnoj elektrome-hanici, naboj koji akcelira zrači elektromagnetski val. Energija elektromagnet-skog vala ide na račun mehničke energije elektrona. Energija elektrona biva svemanja i on se po spiralnoj putanji približava jezgri, dok konačno ne padne nanju.

1.5 Boškovíceva teorija i njen utjecaj na razvojnauke o strukturi materije

Rud̄er Bošković (1711. - 1787.) prethodio je svojim idejama o strukturi materijesuvremenoj spoznaji o strukturi atoma i materije. Po Boškoviću materiju činezikalne točke, koje se privlače ili odbijaju, ovisno o udaljenosti med̄u njima.Na slikama 21.5 a) i b) prikazane su Boškovićeve oscilacione sile, na kojimase izmjenjuju područje privlačenja i odbijanja. Na slici 21.5 c) prikazana jeeksperimentalno utvrd̄na sila izmed̄u dva atoma ili dvije molekule.

Slika 21.5.

Konceptom oscilirajućih sila, Bošković je otklonio mogućnost padanja dvijuzikalnih točaka u jednu točku, te tako izbjegao kolapsiranje materije, što nijeuspjelo Rutherfordu s njegovim modelom atoma. U Boškovićevo vrijeme nijese ništa eksperimentalno znalo o strukturi atoma, i genijalnost njegova duhaočituje se u tome ćo je, izmed̄u ostalog, razmišljanjem predvidio kvantitativanoblik sile med̄u atomima i molekulama.


13/67

Poglavlje 2

NASTANAK KVANTNEMEHANIKE

2.1 Jeans - Rayleigleov zakon zračenja crnog tijela

Crno tijelo apsorbira svo zračenje koje pada na njega. U dobroj mjeri kutija srupicom, zbog višestruke reeksije na unutarnjim stjenkama, predstavlja crnotijelo (slika 22.1).

Slika 22.1

Metalna kutija s prazninom u obliku kocke na temperaturi T aproksimiracrno tijelo. Atomi i molekule kutije titraju i emitiraju elektromagnetsko poljeu unutrašnjost kutije. U kutiji se formiraju stojni valovi. Tangencijalna kom-ponenta električnog polja mora iščeznuti na stjenkama šupljine (slika 22.2).

Slika 22.2

Dozvoljene valne duljine su

λ = 2Ln , n = 1 , 2, 3,... .

(22.1)

Udaljenost izmed̄u dva susjedna vala je

∆ k = 2πL = πL .

(22.2)

7


14/67

8 POGLAVLJE 2. NASTANAK KVANTNE MEHANIKE

Gustoća stojnih valova je

dn kd 3 k =

1∆ k 3 = (

Lπ )

3 .

(22.3)

Broj stojnih valova u intervalu od iznosa valnog vektora k do k + dk je (slika22.3)

dn k = 2 ·4πk 2dk( Lπ )3 18 = V k2 dkπ 2

(22.4)

gdje je V = L3 volumen šupljine. Faktor 2 dolazi radi 2 moguće polarizacije

elektromagnetskog vala.

Slika 22.3

Disperziona relacija magnetskog vala u vakuumu

ω = ck

(22.5)

omogućava izračun broja stojnih valova u intervalu energije od ω −ω + dω

dn ω = V ω2 dω

π 2 c3 .

(22.6)

Prema klasičnoj elektrodinamici, posto ji ekvivalencija izmed̄u harmoničkogoscilatora i elektromagnetskog vala. Energija elektromagnetskog vala je premaklasi”noj statističkoj mehanici kT , gdje je k Boltzmannova konstanta. Energijazračenja spektra izmed̄u frekvencije ω i ω + dω je

< E ω > dn ω = kT V ω2

π 2 c3 dω.

(22.7)

Izraz (22.7) naziva se Jeans - Rayleighev zakon zračenja. Jasno je da onnije točan jer ukupna energija zračenja, integral izraza (22.7) po ω od 0 do

∞, divergira, što je zikalno neprihvatljivo. Ova divergencija, naziva se ultra -ljubičasta katastofa . Slika (22.4) pokazuje da Jeans - Rayleighov zakon odstupaod eksperimentalno odred̄ene gustoće spektra zračenja crnog tijela.


15/67

2.2. PLANCKOV ZAKON ZRA ČENJA CRNOG TIJELA 9

Slika 22.4

2.2 Planckov zakon zračenja crnog tijelaGodine 1900. smatra se godinom početka nasta janja kvantne zike. Te godineMax Planck (1858-1947) uspio je rastumačiti zračenje crnog tijela. Max Planck je pretpostavio zrnastu strukturu energije zračenja. Energija najmanje količineenergije (kvant energije) elektromagnetskog vala frekvencije ν je

E = hν .

(22.8)

gdje je h = 6 .62 ·10−34 Js Planckova konstanta . Vjerojatnost da se pojavi nkvanata frekvencije ν je

P n = e− n h̄ω

kT ∞

n =0e

− n h̄ωkT

(22.9)

gdje je h̄ = h2π reducirana Planckova konstanta. Srednja energija zračenja skružnom frekvencijom ω je

< E ω > =∞

n =0n h̄ωe −

n h̄ωkT

∞

n =0 e

− n h̄ωkT

(22.10)

Relacija (22.10) može se zapisati u obliku

< E ω > −̄hω ddx ln ∞n =0 e−nx .(22.11)

gdje je x = h̄ωkT . Suma u (22.11) je geometrijski red

∞n =0 e−nx = 11−e − x ,

(22.12)

te dobijamo

< E ω > = h̄ωe

h̄ωkT −1

.


16/67


(22.13)

Pomnožimo li (22.13) s (22.6) dobije se

< E ω > dn ω = h̄ωe

h̄ωkT −1

ω 2 dωπ 2 c3 ,

(22.14)

Planckov zakon zračenja koji se izvrsno slaže s eksperimentalnim rezultatom.

2.3 Bohrov model atoma vodika

Rutherfordov model atoma trpi prigovor, da u okvirima klasične zike ne tumačistabilnost materije. Naravno, Boškovićeve ideje se nisu mogle primjeniti, jernitko nije sumnjao u prirodu privlačenja jezgre i elektrona Coulombovom silom.Rutherfordov model, ne samo da nije mogao rastumačiti stabilnost atoma, većnije mogao opisati spektar zračenja vodikova atoma. Prema Rutherfordovommodelu, elektron bi pri padanju u jezgru kontinuirano zračio. Med̄utim, eksperi-ment je ukazivao da je spektar vodikova atoma diskretan. Balmer je 1885. uočioda se dio spektra zračenja vodikovog atoma može zapisati u obliku

1λ = R ·( 12 2 − 1n 2 )

(22.15)

gdje je λ - valna duljina frekvencije zračenja, a R = 109677.58cm−1 Ry-dbergova konstanta. Dio spektra zračenja vodika, koji je opisan jednadžbom(21.24) naziva se Balmerova serija . Kasnije su Lyman i Paschen nǎsli da pos-toje i serije, koje se dobiju iz izraza za Balmerovu seriju, tako da se 2 u prvomčlanu zagrade zamijeni s 1 odnosno 3. S obzirom da se Balmerovo serija nalaziuglavnom u vidljivom području, Lymanova se nalazi u ultraljubičastom, a Pase-henova u infracrvenom dijelu spektra. Prvi usp ješan opis strukture vodikovogatoma dao je Niel Bohr (1885. - 1962.). S obzirom da klasična zika nije mogladati odgovarajuće tumačenje N. Bohr je postulirao dvije tvrdnje, koje nisu bileu skladu s klasičnom zikom

1. Elektron se može gibati samo po odred̄enim putanjama. Dokse giba po tim putanjama elektron, premda je ubrzan, ne emitiraelektromagnetski val.

2. Atom emitira ili apsorbira foton energije ¯ hω pri prijelazu s jedne na drugu stazu. Iznos kvanta ¯ hω odred̄uje razlika energijeelektrona na početnoj i konačnoj stazi


17/67

2.3. BOHROV MODEL ATOMA VODIKA 11

h̄ω = E n −E m .(22.16)

Bohr je dao i pravila kvantiziranja elektronskih staza. U faznom prostoru(p - poopćena količina gibanja, q - poopćena koordinata) mora biti

pdq = nh .(22.17)

U slučaju gibanja elektrona oko jezgre, po kružnoj stazi q = ϕ, p = mr 2ϕ̇pa uvjet (22.17) postaje

Ldϕ = nh

ili

L = nh̄.

(22.18)

Bohrov uvjet kvantiziranosti, za slučaj gibanja elektrona oko protona, uatomu vodika, kǎze da atom može imati samo diskretne vrijednosti momentakoličine gibanja. Moment količine gibanja je višekratnik Planckove konstante.S obzirom da je masa protona 1837 puta véca od mase elektrona, možemopretpostaviti da se centar mase nalazi u protonu. Jednadžba gibanja da je

m e v2

r = e2

4πǫ0 r 2

(22.19)

Kombinacija jednadžbi (21.27) i (21.28) daje ”dopuštene iznose radijusa”elektronske staze u atomu vodika

r n = 4πǫ0 h̄m e e 2 n2 , (n = 1 , 2, 3...)

(22.20)

Radijus prve staze označava se obično s a0 i iznosi

a0 = 4πǫ0 h̄2

m e e 2 = 0 .529Å

(22.21)

i zove se Bohrov radijus.


18/67


Ukupna energija atoma vodika je

E = m e v2

2 − e2

4πǫ0 r .

(22.22)

Iz (22.19), (22.20) i (22.22) slijedi

E n = − m e e4

2(4 πǫ0 h̄ ) 21

n 2 .

(22.23)

Iz relacije (22.16) slijedi izraz za frekvenciju zračenja atoma vodika

ω = m e e

4

2(4 πǫ0 ) 2 h̄ ( 1m 2 −

1n 2 ).

(22.24)

Iz gornjeg izraza lako je odrediti vrijednost, koja u Bohrovom modelu vodikaatoma ima isto značenje kao i Rydbergova konstanta R u (22.18)

R = R′

2πC R′ = m e e4

2(4 πǫ0 ) 2 h̄ 3 .

(22.25)

Kada se uvrste numeričke vrijednosti konstanti u izraz (22.25) dobije se iz-vanredno dobro slaganje s eksperimentalnom vrijednošću Rydbergove konstante.

2.4 Franck - Hertzov eksperimentPostojanje diskretnih energijskih nizova u atomu potvdili su eksperimentalno1914. James Franck i Gustav Hertz. Shematski prikaz njihove aparature prikazan je na slici 22.5. Cijev ispunjena s živinim parama (tlak oko 100Pa) sadrži 3elektrode. Katoda K termoionskom emisijom emitira elektrone. Anoda A ihprivlači, a potencijal rešetke G kontrolira struju.

Slika 22.5

Ovisnost struje o naponu izmed̄u katode i anode prikazana je na slici 22.6.

Slika 22.6

Struja naglo poraste kod vǐsekratnika broja 4,9. Struja je proporcionalnabroju slobodnih elektrona. Energija ionizacije živinog atoma iznosi 4,9 eV.


19/67

2.5. FOTOELEKTRI ČI EFEKT 13

Kod napona od 4,9 eV, elektron na svom putu od katode do anode dobije,neposredno ispred anode, dovoljno energije da ionizira druge atome žive. Nataj način poveća bro j elektrona koji stignu na anodu, te anodna struja kod 4,9eV naglo poraste. Kada napon prijd̄e vrijednost 4,9 eV, ionizacija se dogad̄aprije anode (što je veći napon to je područje ionizacije dalje od anode). Naputu od mjesta ionizacije do anode elektroni i ioni žive se rekombiniraju, teanodna struja pada. Područje oko anode postaje ponovo ionizirano kod napona9,8 eV. Pri ovom naponu prvo ionizacijsko područje je na polovini udaljenostiod katode do anode. Nakon rekombinacije elektroni duž druge polovine putadobiju dovoljno energije za ponovnu ionizaciju neposredno u blizini anode.

2.5 Fotoelektriči efektFotoelektriči efekt je emisija elektrona iz materije, pod utjecajeem svjetla. Ovajefekt je opazio Heinrich Hertz 1887. god. Fotoelektrični efekt se ispituje naured̄aju prikazanom na slici 22.7. U evakuiranom staklenom balonu nalaze sefotoosjetljiva katoda K i anoda A. Ovaj element zove se fotoćelija . Ovisnoststruje o naponu izmed̄u anode i katode dana je na slici 22.8, za dva različitaintenziteta monokromatske svjetlosti ( J b > J a ).

Slika 22.7

Slika 22.8

Svjetlost što pada na katodu izbija elektrone iz katode. Tako katoda posta jepozitivna, i u svojoj blizini drži elektronski oblak. Ipak, statistički gledano, dioelektrona u oblaku ima dovoljno kinetičke energije da se otrgne od katode i prinultom naponu U dod̄e do anode. Fotoćelijom teče struja nultog napona I 0 .Ova struja ovisi o intenzitetu upadnog svjetla. Povécanjem anodnog napona,anoda postaje pozitivnija i privlači sve veći broj elektrona iz oblaka, u jedinicivremena. Struja se povećava sve dok konačno svi elektroni koji se emitirajuiz katode ne dod̄u na anodu. Ova struja naziva se struja zasićenja , i ne ovisio naponu. Ako izmjenimo polaritet napona (+ katoda, - anoda), katoda ćesnažnije privlačiti elektronski oblak, i povećanjem napona inverzno polariziranefotoćelije struja pada. Konačno kod, zakočnog napona U 0 struja presta je teći,bez obzira na intenzitet monokromatskog svjetla. Na slici 22.9 prikazana jeovisnost zakočnog napona o frekvenciji.

Slika 22.9

Klasična mehanika nije mogla rastumačiti tri glavne crte fotoelektričnogefekta. 1. Klasična elektrodinamika sugerira da kinetička energija fotoelek-trona treba rasti s povećanjem intenziteta svjetla. Med̄utim slika 22.8 pokazuje


20/67


da E U = eV 0 ne ovisi o intenzitetu svjetla.2. Prema klasičnoj elektrodinamici fotoelektrični efekt trebao bi se dogoditi

pri bilo kojo j frekvenciji uz dovoljno jaki intenzitet svjetlosti. Slika 22.9 pokazujeda postoji odrezna frekvencija V 0 , kao karakteristika materijala kojim je pre-mazana katoda. Za frekvencije svjetlosti niže od ove vrijednosti nema fotoe-fekta.

3. Prema klasičnoj elektrodinamici energija na elektron u katodi padakontinuirano, i trebalo bi proći neko vrijeme dok elektron apsorbira potrebnukoličinu energije. Nikakvo vrijeme kašnjenja nije opaženo.

Odgovarajuće tumačenje fotoelektričnog efekta dao je A. Einstein. On jeprihvation Planckovu pretpostavku o kvantiziranosti energije zračenja. Einstein je predočio svjetlost kao roj ďż˝estica fotona . Pojedini foton nosi kvant energije

E = h ·ν .Prema Einsteinovoj hipotezi, elektron nakon apsorpcije fotone ”troši” dio

ove energije na izlazni rad, dok ostatak ide na kinetičku energiju elektrona.

h ·ν = W + E k .(22.26)

Ako je istodobna apsorpcija dva ili više fotona slabo vjerojatan dogad̄aj, iz(22.26) slijedi da se fotoefekt neće moči opažati za frekvencije od

ν < ν 0 = W h .

(22.27)

2.6 Comptonov efektČestična priroda svjetla pokazuje se izrazito jasno u Comptonovom efektu . ArthurCompton (1892.-1962.) proučavajući raspršenje X -zraka na različitim materi- jalima utvrdio, da se uz upadnu valnu duljinu λ pojavljuje i λ ′ = λ + ∆ λ kojaovisi o kutu raspršenja θ (slika 22.10).

Slika 22.10

Comptonov efekt može se rastumačiti ako se promotri proces elastičnog su-dara upadnog fotona s slobodnim elektronima (slika 22.11). Ako pretpostavimoda foton nosi energiju h̄ω i količinu gibanja h̄ →k (k = 2π/λ ), zakoni sačuvanjaenergije i količine gibanja glase:


21/67

2.6. COMPTONOV EFEKT 15

h̄ ·ω + m ·c2 = h̄ ·ω′ + p2 + m2c2 ,(22.28)

h̄·→k = → p + h·→k′,

(22.29)

gdje elektron mase m miruje prije sraza s fotonom. Izraz (22.28) možemopisati

p2 + m2c2 = h̄ ·(k −k′) + m ·c,gdje je k = ωc . Njegovim kvadriranjem dobije se,

p2 = h̄2(k2 + k′ 2 −2 ·k ·k′) + 2 ·h̄ ·m ·c(k −k′).

(22.30)

Kvadriranjem jednadžbe (22.29) dobije se

p2 = h̄2(→k −→k′)2 = h̄2(k2 + k

′ 2 −2 ·k ·k′ ·cos θ).(22.31)

Izjednačimo li (22.30) i (22.31) dobije se

m ·c ·(k −k′) = h̄ ·k ·k′ ·(1 −cos θ). Pomnoži li se gornja jednadžba s 2 π ipodijli s m ·c ·k ·k′ dobije se

2πk ′ − 2πk = 2π ·̄hm ·c ·(1 −cos α)∆ λ = λ′ −λ = λc(1 −cos θ),

(22.32)

gdje Comptonova valna duljina čestice mase m oznosi

λ c = 2π ·̄hm ·c .(22.33)

Rezultati mjerenja se potpuno slažu s relacijom u (22.32) i (22.33).


22/67


Slika 22.11

2.7 De Broglieva hipoteza o valovima materijeEinsteinovo tumačenje fotoelektričnog efekta ukazuje na čestičnu prirodu svjetla. Ovo tumačenje ukazuje da svjetlost pored valne prirode ima i čestičnuprirodu. De Broglie, smatrajući da u prirodi mora postojati jedinstvo, postavio je 1924. god. hipozezu prema kojoj čestice imaju valnu prirodu. Vezu izmed̄ukoličine gibanja i valne duljine, dao je relacijom

λ = h p

(22.34)

De Broglievu hipotezu potvrdili su Davisson Germer 1927. god. (Bellovi lab-oratoriji). Njihova eksperimentalna tehnika, u mnogome je bila slična Comptonovojpri izračunavanju elastičnog raspršenja X-zraka. Principjelna shema eksperi-menta prikazana je na slici 22.12.

Slika 22.12

Katoda K prilikom zagrijavanja emitira elektrone koji se ubrzavaju elek-tričnim poljem do anode A. U anodi A postoji šupljina, koja propušta elek-tronski snop. Elektroni padaju na metu (kristal). Reektirani snop registrira

detektor. Dijagram ovisnosti električne energije σ o kutu θ dana je na slici 22.13

Slika 22.13

Elektroni koji izad̄u kroz anodu imaju kinetičku energiju

E k = p2

2m = eV .

(22.35)

Prema de Broglievoj hipotezi valna duljina elektrona iznosi

λ = h p =

h

√ 2emV .(22.36)

Difrakciona slika elektrona sa slike 22.13 odlično se tumači de Broglievomhipotezom.


23/67

2.8. BOHROV PRINCIP KOMPLEMENTARNOSTI I HEISENBERGOVE RELACIJE NEODRED̄ENOSTI

2.8 Bohrov princip komplementarnosti i Heisen-

bergove relacije neodred̄enostiMaterija pokazuje svojstva vala i svojstva čestice, ovisno o eksperimentu. Ovačinjenica, s točke gledišta klasične zike predstavlja proturječnost. Naime,prema klasičnim predodžbama čestica je neprotežna, dok se val može prosti-rati po čitavom prostoru. Ovu proturječnost prevladao je Niel Bohr principom komplementarnosti . Prema Bohrovom principu komplementarnosti suprotnostise ne isključuju, već nadopunjuju. Bohr je podvrgao kritici klasičan pojamobjektivnosti. Ponǎsanje materije nije objektivno samo po sebi, véc ovisi oeksperimentatoru, tj. o načinu na koji čovjek postavlja eksperiment. U jednomeksperimentu, kojeg odred̄uje čovjek, materija pokazuje valna svojstva, dok udrugom eksperimentu, kojeg ponovo postavlja čovjek, ta ista materija pokazuječestična svojstva. Dok je prema klasičnoj mehanici, čovjek samo promatrao

prirodu, prema Bohrovom principu komplementarnosti, on je promatrač, ali jei sudionik u procesima u prirodi. Promotrimo ogib vala duljine λ na pukotiniširine d (slika 22.14). S obzirom da svjetlost možemo promatrati kao ro j fotona,širina pukotine odred̄uje neodred̄enost u poznavanju položaja fotona duž osi x,tj. ∆ x ≈d. Zanima nas koliko je neodred̄enost u količini gibanja fotona u istomsmjeru. Iz zikalne optike poznato je da je razlika puteva 1 i 2 λ/ 2. S velikomvjerojatnošću možemo tvrditi da će foton nakon prelaska kroz pukotinu, udaritiizmed̄u točaka A i B na zastoru Z.

Slika 22.14

Sa slike 22.14 vidi se da je

λ/ 2 = d ·sin ϑ.(22.37)

Pomoću de Broglieve relacije (22.34), jednadžba (22.37) postaje,

2 · p ·sin ϑ ·d = h(22.38)

Velǐcina 2 · p · sin ϑ · d predstavlja neodred̄enost u poznavanju x kompo-nente kolǐcine gibanja fotona, jer nakon prolaska kroz pukotinu foton ima svelikom vjero jatnošću x-komponentu količine gibanja u intervalu od p ·sin ϑ do p · sin ϑ. Pomnožimo li neodred̄enost položaja d, s neodred̄enošću u količinegibanja ∆ px = 2 · p ·sin ϑ dobije se

∆ px ·∆ x ≈h


24/67


Egzaktan račun daje Heisenbergovu relaciju neodred̄enosti

∆ px ·∆ x ≥ h̄2 .(22.39)

Heisenbergova relacija neodred̄enosti kazuje, da nije moguće istodobno poz-navati položaj i njegovu konjugiranu varijablu, količinu gibanja, s proizvoljnomtočnošću. Relacija (22.39) kazuje, da bolje poznavanje jedne veličine, nužnovodi k lošijem poznavanju druge. Prema Heisenbergovoj relaciji neodred̄enostinije moguće odrediti putanju čestice, jer poznavanje položaja čestice u jed-nom trenutku, vodi k potpunoj neodred̄enosti brzine čestice, a samim time ik neodred̄enosti položaja čestice u sljedećem trenutku. Heisenbergova relacijaneodred̄enosti ruši deterministički karakter opisa prirode, koji je bio svojstvenklasičnoj mehanici. Govoreći o dinamičkoj metodi statistička neodred̄enost upoznavanju trenutne vrijednosti zikalne veličine, nekog mnogočestičnog sis-tema, ima subjektivan karakter. Naime, prema klasičnoj mehanici moguće je,u principu odrediti putanju svih atoma i molekula u plinu, te tako odredititočnu vrijednost zikalne veličine. Prema kvantnoj mehanici ova mogućnost,zbog odbacivanja pojma putanje čestice otpada. Prema kvantnoj mehanicineodred̄enost u poznavanju neke zikalne veličine ima ob jektivan karakter. Kvantnamehanika, isključuje i teorijsku mogućnost istodobnog odred̄ivanja vrijednostinekih zikalnih veličina (npr. položaja i količine gibanja).


25/67

Poglavlje 3

SCHRODINGOVA VALNAKVANTNA MEHANIKA

3.1 Valna funkcijaHeisenbergove relacije neodred̄enosti pokazuju da nije moguće istovremeno, sproizvoljnom točnošću, odrediti položaj i brzinu čestice. Stoga se u valnojkvantno j mehanici uvodi veličina, koja odred̄uje gustoću vjero jatnosti položajačestice,

gustoća vjerojatnosti = Ψ( →r , t )Ψ∗(→r , t )(23.1)

Veličina Ψ( →r , t ) naziva se valna funkcija . Ona nema direktno zikalnoznačenje, već kvadrat njene apsolutne vrijednosti (23.1). Očito, čestica se moranalaziti negdje u prostoru, pa uvjet normiranosti valne funkcije Ψ glasi,

V |Ψ(→r , t )|2d3 r = 1.(23.2)

3.2 Schrodingova valna jednadžbaU kvantnoj mehanici neke zikalne veličine (položaj, količina gibanja) gube ap-solutno deterministički karakter. Med̄utim, princip determinizma nije odbačenu kvantnoj mehanici. Premda položaj ima nasumičan karakter, gustoća vjerojatnosti nalaženjačestice ima deterministički karakter. Promjena valne funkcije,a time i gustoće vjerojatnosti, u vremenu i prostoru opisano je Schrodingerovom

19


26/67

20 POGLAVLJE 3. SCHRODINGOVA VALNA KVANTNA MEHANIKA

jednadžbom,

−h̄2

2m ∆Ψ + V (→r , t )Ψ = ih̄ ∂ Ψ∂t .(23.3)

U jednadžbi (23.3) m je masa čestice, a V (→r , t ) klasičan izraz za potencijalnuenergiju polja u kome se čestica nalazi. Schrodingova jednadžba opisuje vremen-ski razvoj valne funkcije. Ona je jedan od postulata kvantne mehanike, ne možese izvesti kao ni drugi Newtonov zakon, koji opisuje razvoj položaja čestice uvremenu. Povijesno, Schrodingerov rad se veže na de Broglievu hipotezu o val-ovima materije. Kada je 1926. objavio jednadžbu (23.3), te pomoću nje rješioneke probne probleme kvantne zike (vodikov atom, harmonički oscilator) ErvinSchrodinger čvrsto je vjerovao da valna funkcija Ψ opisuje razmazanost mater-ije. Konceptu razmazanosti materije protivila se tzv. Kopenhagenska školakvantne mehanike, gdje su W. Heisenberg, N. Bohr i M. Born bili najznačajnijipredstavnici. Prema kopenhangenskoj interpretaciji, valna funkcija ne opisujerazmazanost materije, već vjerojatnost nalaženja čestice na nekom mjestu, unekom trenutku, u skladu s relacijom (23.1). Prvi koji je predložio ovakvu inter-pretaciju valne funkcije bio je Max Born 1926. godine. Danas je kopenhagenskainterpretacija valne funkcije općenito prihvaćena. To ne znači da više ne pos-toji diskusija oko temeljnih postulata kvantne mehanike. Kvantna mehanika,ne samo da je revolucionarno izmjenila ziku, već je izmjenila i čovjekov pogledna svijet u kome se nalazi. Na ta j način kvantna mehanika utječe, osim na zicisrodne nauke (astronomija, kemija, biologija) i na lozoju. Bohrov principkomplementarnosti ušao je u lozofsku misao pršlog i ovog stoljeća.

3.3 Vremenski neovisna Schrodingrova jednadžbaAko potencijalna energija u jednadžbi (23.3) ne ovisi o vremenu, valna funkcijaΨ(→r , t ) može se zapisati u obliku

Ψ(→r , t ) = Ψ( →r ) ·e−Eh̄ t .

(23.4)

Uvrsti li se pretpostavljeno rješenje (23.4) u (23.3) dobije se

−h̄ 2

2m ∆Ψ + V (→r )Ψ = E Ψ,(23.5)

vremenski neovisna Schrodingerova jednadžba . Vrlo je značajna interpretacijaveličine E u jednadžbi (23.5). Prema kvantnoj mehanici, E je ukupna energija čestice u polju sile, koje je opisano potencijalnom energijom V (→r ).


27/67


28/67

22POGLAVLJE 4. PRIMJENA VALNE MEHANIKE ZA RJE ŠAVANJE NEKIH JEDNOSTAVNIH

(24.3)

C je konstanta i dobije se iz uvjeta normiranosti (23.2). Dodamo li rješenju(24.2) i vremenski ovisan faktor iz izraza (23.4) dobije se

Ψ(→r , t ) = Cei (±→

k→

r −ωt ) .(24.4)

Izraz (24.4) predstavlja val koji se propagira u ±→k smjeru. Kružna frekven-cija ω vezana je s energijom E relacijomE = h̄ω,

kao što su pretpostavili M. Planck (22.8) i A. Einstein. Slobodna čestica imasamo kinetičku energiju E = p

2

2m . Usporedimo li ovaj izraz sa izrazom (24.3)dobije se de Broglieva relacija (22.34).

p = h̄k (k = 2πλ ).

(24.5)

4.2 Prolazčestice kroz potencijalnu barijeru. Tunelefekt.

Čestica s energijom E nailazi na pravokutnu potencijalnu barijeru visine V 0 iširine l. Neka je V 0 > E (slika 24.1).

Slika 24.1

U područjima I i III Schrodingeroca valna jednadžba ima oblik (24.1), arješenja su tipa rješenja (24.2). U području II Schrodingerova jednadžba glasi

d 2 Ψdx 2 +

2mh̄ (E −V 0)Ψ = 0.

(24.6)

Opće rješenje jednadžbe (24.6) je

Ψ2 = A2eβx + B2e−βx ,(24.7)


29/67

4.2. PROLAZ ČESTICE KROZ POTENCIJALNU BARIJERU. TUNEL EFEKT. 23

gdje je

β = 1h̄ 2m(V 0 −E )U području I i III rješenja su oblika

Ψ1 = A1e+ iαx + B2e−iαx ,(24.8)

Ψ3 = A3eiαx ,

(24.9)

gdje je

α = 1h̄ √ 2mE .(24.10)

Koecjent B3 = 0, jer se čestica nakon prolaza kroz barijeru ne reektira,tj. ne giba u smjeru osi -x. Veza izmed̄u koecjenata Ai iB i uspostavlja se izzahtjeva kotinuiranosti valne funkcije i njene prve derivacije,

Ψ1(0) = Ψ 2(0), Ψ 2(L) = Ψ 3(L)

(24.11)

dΨ 1dx =

dΨ 2dx

x =0, dΨ 2dx =

dΨ 3dx

x = L.

(24.12)Iz ovih uvjeta dobijamo

A1 + B1 = A2 + B2

A2 eβl + B2e−βl = A3eiαl(24.13)

iαA 1

−iαB 1 = βA2

−βB 2

βA 2 eβl −βB 2e−βl = iαA 3eiαl

Omjer kvadrata amplitude reektiranog vala B1 i upadnog vala A1 odred̄ujevjerojatnost da se čestica reektira, i naziva koecjent reeksije


30/67


R = |B 1 |2

|A 1 |2 .

(24.14)

Omjer kvadrata amplitude prolaznog vala A3 i kvadrata upadnog vala A1 ,odred̄uje vjero jatnost transmisije čestice, i naziva se koecjent transmisije

T = |A 3 |2

|A 1 |2 .

(24.15)

Očito mora biti R + T = 1. Za razliku od klasične mehanike, prema kvantnojmehanici čestica može proći kroz barijeru, premda je barijera energijski viša odenergije čestice. Rješimo li jednadžbe (24.13) po A3 dobije se,

A 3A 1 =

2ne − iαl2n cosh βl −i (1−n 2 ) sinh βl ,

(24.16)

gdje je

n = βα = V 0 −E E .(24.17)

Razmotrit ćemo specijalan slučaj kada je βl >> 1. Tada (24.16) postaje

A 3A 1 ≈ 4ne

− iαl

eβl [2n −i (1 −n 2 )] .

(24.18)

Koecjent transmisije je

T ≈ 16n2

(n 2 +1) 2 e−2βl

= 16n2

(n 2 +1) 2 exp[−2h̄ 2m(V 0 −E )l].(24.19)

Čestica veće mase teže penetrira kroz barijeru. Kao što se i moglo očekivatiprodiranje je teže što je barijera šira i razlika U 0 −E veća. Prije smo spomenulida čestica može proći kroz barijeru, premda je ona viša od energije čestice. Uklasičnoj mehanici, ovo je područje negativne kinetičke energije, i u tom po-dručju, prema klasičnoj mehanici čestica se ne može naći. Ipak prema kvantno j


31/67

4.3. ČESTICA U JEDNODIMENZIONALNOJ PRAVOKUTNOJ POTENCIJALNOJ JAMI. KVANTIZACIJA EN

mehanici čestica prod̄e kroz barijeru, kao da u barijeri posto ji neki tuel. Odavdei naziv za ovaj efekt tunel efekt .

4.3 Čestica u jednodimenzionalnoj pravokutnojpotencijalnoj jami. Kvantizacija energije

Promotrimočesticu u jami širine L s beskonačno visokim potencijalnim zidovima(slika 24.2a).

Slika 24.2

Valna funkcija izvan jame iščezava, jer čestica se ne može naći unutar po-dručja beskonačno velike potencijalne energije. Unutar jame (0 ¡ x ¡ L) rješenjevalne funkcije, odgovara valnoj funkciji slobodne čestice

Ψ(x) = Ae ikx + Be −ikx .(24.20)

Zahtjev Ψ(0) = 0 daje

Ψ(x) = C sin kx , C = 2 iA,

dok zahtjev Ψ( L) = 0 kvantizira vrijednost valnog broja k, a samim time ienergije

k = n πL n = 1 , 2, 3,...

(24.21)

E = h̄2 k 2

2m = h 2 n 2

8mL 2 .

(24.22)

Čestica u potencijalnoj jami može poprimiti diskretan skup vrijednosti. Kažemoda energija čestice u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami ima diskretan spek-tar . Kvantni broj n odred̄uje kvantno stacionarno stanje u kome se sistemnalazi. Kvantno stacionarno stanje s na jnižim iznosom energije, naziva se os-

novno kvantno stanje .

4.4 Čestica u kutijiPotencijalna energija kutije u obliu kocke dana je izrazom


32/67


V = 0, za 0 < x < L , 0 < y < L , 0 < z < L i V = ∞ u preostalom dijeluprostora.(24.23)

Valna funkcija različita je od nule, i jednaka valnoj funkciji slobodne čes-tice unutar kocke, dok iščezava izvan kocke. Problem se svodi na rješavanje jednadžbe (23.5) uz rubni uvjet,

Ψ = 0 na površini kutije.

(24.24)

Jednadžba (23.5) rješava se metodom separacije funkcija. Pretpostavimoćemo rješenje u obliku

Ψ(→r ) = X (x) ·Y (y) ·Z (z)(24.25)

Uvrstimo li funkciju Ψ( →r u jednadžbu (23.5) dobije se,

−h̄2

2m (X ′′Y Z + XY ′′Z + XY Z ′′) = EXY Z

Podijelimo li ovu jednadžbu s X Y Z dobijamo

−h̄2

2m (X ′′

X + Y ′′

Y + Z ′′

Z ) = E

(24.26)

Svaki od tri člana unutar zagrade su funkcije samo koordinate x, y ili z.Stoga mora biti

−h̄2

2mX ′′

X = E + h̄ 2

2m (Y ′′

Y + Z ′′

Z ) = h̄ 2 k 2x

2m ,

(24.27)

gdje je kx neka konstanta. Iz jednadžbe (24.27) lako je naći ovisnost X(x)

X ′′ = −k2x X X = C x e±ik x x .

(24.28)


33/67

4.5. DEGENERACIJA ENERGIJSKIH NIVOA 27

Uz rubni uvjet Ψ(0) = Ψ( L) = 0 dobije se konačni oblik X funkcije, idozvoljene vrijednosti x komponente valnog vektora kx ,

X = 2 iC x sin kx x,

(24.29)

kx = nx πL , n x = 1 , 2, 3....

(24.30)

Potpuno analognim načinom dobiju se Y i Z funkcije. Ukupna valna funkcijaglasi

Ψ(→r ) = C sin kx

x sin kyy sin k

zz,

dok je energija

E = h2

8mL 2 (n2x + n2y + n 2z ), n x = 1 , 2,..., ny = 1 , 2,... , n z = 1 , 2,... .

(24.31)

4.5 Degeneracija energijskih nivoaShema energijskih nivoa za česticu u kutiji, nešto je složenija od sheme na

slici 24.2b. Dok je pri gibanju čestice pri jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami, jednom energijskom nivou odgovaralo jedno stacionarno kvantno stanje,u slučaju gibanja u kutiji jedan energijski nivo mogu dijeliti više stacionarnihkvantnih stanja.

Slika 24.3

Za energijski nivo kaže se da je degeneriran onoliko puta koliko stacionarnihstanja dijeli tu energiju. Tako npr. prva tri pobud̄ena stanja (131, 221, 121stanja, slika 24.3) su 3 puta degenerirana, dok su osnovno stanje i četvrtopobud̄eno stanje nedegenerirani.

4.6 Harmonički oscilatorU klasičnoj mehanici harmonički oscilator predstavljačestica koja se giba u poljuelastične sile →F = −kx →i , gdje je k konstanta opruge, a x pomak iz ravnoteže .Potencijalna energija takove čestice je


34/67


V = 12 kx2 .

(24.32)

Iskoristimo li klasičan izraz za kružnu frekvenciju

ω = km ,(24.33)

izraz za potencijalnu energiju postaje (slika 24.4)

V = mω2

2 x2 .

(24.34)

Schrodingerova jednadžba (23.5) za jednodimenzionalni harmonički oscilatorglasi,

d 2 Ψdx 2 +

2mh̄ 2 (E − mω

2 x 2

2 )Ψ = 0.

(24.35)

Slika 24.4

Čestica koja čini harmonički oscilator nalazi se u potencijalnoj jami (slika24.4). Prema onome što smo vidjeli u poglavlju (24.2) harmonički oscilator ima diskretan energijski spektar . Taj spektar (24.3) dobije se analizom mogućihrješenja jednadžbe (24.35). Dozvoljene vrijednosti energije harmoničkog oscila-tora su,

E = ( n + 12 )h̄ω, n = 0 , 1, 2, 3,... .

(24.36)

Energijski nivoi harmoničkog oscilatora su ekvidistantni. Najniža mogućaenergija harmoničkog oscilatora iznosi E 0 = 12 h̄ω. Ova energija naziva se en-ergija nultog gibanja . Čak i na apsolutnoj nuli harmonički oscilator titra. Ovogibanje direktna je posljedica Heisenbergovih relacija neodred̄enosti. Sistem koji

se giba u ogranid̄enom dijelu prostoram, ne može imati energiju nula.

4.7 Moment količine gibanja. Rotator.Vremenski neovisna Schrodingerova jednadžba (23.5) može se zapisati u obliku


35/67

4.7. MOMENT KOLI ČINE GIBANJA. ROTATOR. 29

Ê Ψ = E Ψ,

(24.37)

gdje je Ê operator energije, E vlastita vrijednost operatora energije, a Ψvlastita funkcija operatora energije. Operator energije jednak je

Ê = −h̄2

2m ∆ + V (→r ),(24.38)

Relacija (24.37) je specijalan slučaj jednog od postulata kvantne mehanike,koji odred̄uje koje vrijednosti može poprimiti neka zikalna veličina. Ako jeklasična veličina q predstavljena kvantno - mehaničkim operatorom Q (ne ulaz-imo u postupak odred̄ivanja kvantnomehaničkog operatora odred̄ene zikalneveličine q), tada veličina q može poprimiti one vrijednosti za koje jednadžba

Q̂Ψ = q Ψ,

(24.39)

ima rješenja. Te veličine q 1 , q 2 ,... nazivaju se vlastite vrijednosti operatoraQ̂. Problem nalaženja spektra vrijednosti q naziva se problem vlastitih vrijed-nosti. Valnu funkciju Ψ i koja odgovara vlastitoj vrijednosti q i naziva se vlastita valna funkcija . Od izuzetnog značenja u kvantnoj mehanici su vlastite valnefunkcije operatora energije (Schrodingerova jednadžba). Da bi se opisao mo-ment količine gibanja, u kvantnu mehaniku uvode se četiri operatora, operator

iznosa momenta količine gibanja ˆL

2

i njegove projekcije ˆLx

ˆLy

ˆLz . Ovi operatorivezani su relacijom

L̂2 = L̂x2

+ L̂y2

+ L̂z2

(24.40)

Rješenje problema vlastitih vrijednosti iznosa momenta količine gibanja

L̂2 = L2Ψ,

(24.41)

nije jednostavno. Nećemo ga izvoditi već razmotriti rješenje. Vlastite vrijednosti momenta količine gibanja L2 su

L2 = l(l + 1) h̄2 , (l = 0 , 1, 2, 3,... ).

(24.42)


36/67


Kvantni broj l naziva se orbitalni kvantni broj . Prema relaciji (24.42) mo-ment količine gibanja može imati diskretan skup vrijednosti. Operator projek-cije momenta količine gibanja na z-os ima relativno jednostavan oblik, pa ćemoproblem vlastitih vrijednosti pro jekcije momenta količine gibanja na istaknutuz-os u cjelosti rješiti. Operator glasi

L̂z = −ih̄ ∂ ∂ϕ ,(24.43)

gdje je ϕ polarni kut oko osi z. Problem vlastitih vrijednosti operatora L zglasi

−ih̄ ∂ψ∂ϕ = Lz ψ.(24.43)

Rješenje ove jednadžbe ima oblik

ψ = Cexp(i L zh̄ ϕ)

(24.44)

Periodički granični uvjet [ ψ(ϕ) = ψ(ϕ + 2 π)] kvantizira vrijednosti Lz ,

Lz = mh̄, (m = 0 , ±1, ±2,... ±l).(24.45)

Kvantni broj m naziva se magnetski kvantni broj . S obzirom da projekcijamomenta količine gibanja ne može nadmašiti sam moment količine gibanja morabiti,

|mh̄| ≤h̄ l(l + 1)|m| ≤l 1 + 1l < l (1 + 12l ) < l + 12 .

(24.46)

S obzirom da su m i l cijeli brojevi l je najveća vrijednost koju m možepoprimiti. Dvije čestice koje su udaljene za stalnu vrijednost u prostoru nazivaju

se rotatori . Prema klasičnoj mehanici energija rotatora je

E = L2

2I ,


37/67

4.8. KVANTNOMEHANI ČKO TUMA ČENJE OVISNOSTI TOPLINSKOG KAPACITETA O TEMPERATURI

(24.47)

gdje je L iznos momenta količine gibanja, a I moment inercije oko osi vrtnje.Prema relaciji (24.42) dozvoljene vrijednosti energije rotatora su

E = h̄2

2I ·l(l + 1).(24.48)

4.8 Kvantnomehaničko tumačenje ovisnosti toplin-skog kapaciteta o temperaturi

U okviru kinetičke teorije plinova ne može se rastumačiti ovisnost toplinskogkapaciteta o temperaturi. Sve što se moglo zaključiti je da su pri jako niskimtemperaturama uključeni samo translacioni stupnjevi slobode, dok se na višimtemperaturama uključuju rotacioni i vibracioni stupnjevi slobode. Prema kvant-noj teoriji, translacioni stupnjevi slobode doprinose toplinskom kapacitetu kodvelǐcina kT bude reda veličine razlike energije prvog pobud̄enog stanja i os-novnog stanja. Prema (24.31) ova razlika iznosi

∆ E T = E 112 −E 111 = 32 π2 h̄ 2

mL 2

(24.49)

Analogno prema (24.49) i (24.36) za rotacione i vibriracione stupnjeve slo-bode dobije se

∆ E R = E 2 −E 1 = 2h̄2

I

(24.50)

∆ E H = E 1 −E 0 = h̄ω.(24.51)

Promotrimo li gibanje molekule H 2 u kocki vrijednosti 1 cm3 , te uzmemo lieksperimentalno odred̄ene vrijednosti I i kružne frekvencije ω, granične temper-

ature postaju,

T T = ∆ E T

k ≈10−13 K

T R = ∆ E R

k ≈102K


38/67


T H = ∆ E H

k ≈6 ·103K .Translacioni stupnjevi slobode se ukljǔcuju kod vrlo niskih temperatura.

Praktički već od apsolutne nule čestice će apsorbirati energiju iz okoline prekotranslacionih stupnjeva slobode. Kod temperatura poprima vrijednosti oko T Ruključit će se i rotacioni stupnjevi slobode. Konačno kad temperatura poprimivrijednosti u blizini T H , uključit će se i vibracioni stupnjevi slobode i molarnitoplinski kapacitet poprimit će punu vrijednost 7/2 R, gdje je R plinska kon-stanta. Molekule kisika O2 i dušika N 2 imaju manje iznose T R (imaju veći mo-ment inercije) ( T O 2R = 2 .09KiT

N 2R = 2 .86K ). Vibracione temperature T H su

T O 2H = 2260KiT N 2H = 3340K . U području sobnih temperatura ( T ≈300K ) koddvoatomnih plinova uključeni su samo translacioni i rotacioni stupnjevi slobode

pa je

C V = 52 R.

(24.52)


39/67

Poglavlje 5

ATOMSKA FIZIKA

5.1 Atom vodikaPrema Rutherfordovom modelu atoma, vodikov atom čine proton i elektron.Ako je naboj jezgre Ze (Z > 1) sistem se naziva ion sličan atomu vodika. Pošto je masa elektrona dosta manja od mase jezgre, Schrodingerova jednadžba uslučaju iona sličnog atomu vodika glasi

∇2 ψ + 2m eh̄ 2 (E +

Ze 2

r )ψ = 0.

(25.1)

Nećemo rješavati gornju diferencijalnu jednadžbu, već diskutirati rješenja.Elektron u polju jezgre ima 3 stupnja slobode, pa je valna funkcija odred̄ena s3 kvantna broja, n , l i m

ψ = ψnlm (r, Θ,ϕ).

(25.2)

r , Θ i ϕ su polarne koordinate elektrona sa ishodǐstem u jezgri. Kvantnibroj n naziva se glavni kvantni broj i odred̄uje energiju elektrona u polju jezgre

E n = − m e e4

2(4 πǫ0 ) 2 h̄ 2Z 2

n 2 , n = 1 , 2, 3....

(25.3)

U slučaju vodikova atoma ( Z = 1) izraz (25.3) se podudara s izrazom zaenergiju elektrona u Bohrovom modelu atoma vodika (22.23). Orbitalni kvantnibroj l odred̄uje iznos momenta količine gibanja elektrona. Za odred̄eni n mogúcasu rješenja Schrodingerove jednadžbe (25.2) za slijedeće vrijednosti l-a

33


40/67

34 POGLAVLJE 5. ATOMSKA FIZIKA

l = 0 , 1, 2,...,n −1.(25.4)

Dalje za odred̄enu vrijednost l-a, prema (24.54) magnetski kvantni brojpoprima 2 l + 1 vrijednost

m = −l, −l + 1 ,..., 0,...,l −1, l.(25.5)

Za odred̄eni energijski nivo postoji n rješenja s različitim orbitalnim kvant-nim brojem l, dok za svaki l postoji 2 l + 1 valna funkcija s različitim vrijednos-tima m - a. Ukupna degeneracija n -tog energijskog nivoa iznosi

n −1l=0 (2l + 1) = n2 .(25.6)

U spektroskopiji stanja s l = 0 nazivaju se s stanja, a sa l = 1 , 2, 3 , p, d i f stanja. Uobičajeno je s brojkom označiti glavni kvantni bro j, dok se magnetskikvantni broj obično ne označava. Prema ovoj notaciji moguća elektronska stanjasu:

1s2s, 2p3s, 3p, 3d4s, 4p, 4d, 4f itd.

(25.7)

U slučaju vodika ( Z = 1) dio spektra shematski je prikazan na slici 25.1.Valne funkcije osnovnog i prvih pobud̄enih stanja su:

Ψ1,0,0 = a−3/ 22e−r/a 1√ 4π(25.8)

Ψ2,0,0 = a−3/ 2 √ 22 (1 − r2a )e− r2 a 1√ 4π

(25.9)

Ψ2,1,0 = a−3/ 2 8√ 627 [ra − 16 ( ra )2 ]e− r3 a 34π cos Θ

(25.10)


41/67

5.2. STERN - GERLACHOV EKSPERIMENT. SPIN. 35

a = a 0Z = 4πǫ0 h̄ 2

Zm e e 2

Slika 25.1

5.2 Stern - Gerlachov eksperiment. Spin.Godine 1921. Stern i Gerlach su propuštali snop atoma kroz nehomogeno mag-netsko polje (slika 25.2). Ako je → pm magnetski dipolni moment,

Slika 25.2.

potencijalna energija dipola u magnetskom polju je,

V = − → pm ·→B .Magnetski dipol trpi silu

→F = −∇V = ( → pm ∇) →B .(25.11)

S obzirom da je polje →B praktički homogeno u smjeru x i y, a komponentaBz ovisna samo o z smjeru jednadžbe (25.11) posta je

F z = pz · ∂B z∂z .(25.12)

Dipolni moment →m je vezan uz moment količine gibanja. Prema deniciji

→ pm = i →S (25.13)

gdje je i struja koje opisuje površinu →S . Ako struju čini elektron, čije vrijemeophoda ruba površine s iznosi τ dipolni moment postaje

→ pm = e→

S τ .

(25.14)

Ako je centralna sila uzrok gibanja naboja po zatvorenoj putanji, plǒsna


42/67


brzina →S /t je konstanta gibanja, a sa momentom količine gibanja vezana jerelacijom (vidi gibanje u polju centralne sile, Teorijska mehanika).

→

S τ =

→

L2m .

(25.15)

Kombinacijom relacija (25.15) i (25.14) dobije se

→ pm = e2m ·→L(25.16)

pz = e2m ·

Lz .

(25.17)

Prema kvantnoj mehanici (vidi poglavlje 24.6) pro jekciju momenta količinegibanja može poprimiti 2 l+1 vrijednost, gdje je l vrijednost orbitalnog kvantnogbroja. Ovisno o vrijednosti projekcije momenta količine gibanja atom može tr-piti jednu od 2 l+1 vrijednosti sile. Na zastoru bi se trebao pojaviti neparan brojlinija. Stern i Garlach su osim neparanog broja linija, uočili da neki atomi, kaoatomi srebra, vodika, čine paran broj linija (srebro i vodik čine dvije linije) na za-storu. Ovaj rezultat je u suprotnosti s pretpostavkom da čitav moment količinegibanja potjěce od orbitalnog gibanja elektrona. Godine 1925. S. Goudsmit iG. Uchlenbeck pretpostavili su da stanje elektrona nije potpuno opisano valnimfunkcijama, već elektron ima još jednu veličinu koja odred̄uje njegovo kvantnostanje, a to je spin . Spin je matematski izraz vezan s magnetskim momentomna isti način kao i moment količine gibanja, dapače može se s njime i zbrajati.Da bi se naglasila prostorna piroda momenta količine gibanja →L, ova veličinanaziva se orbitalni moment količine gibanja , za razliku od ukupnog momentakoličine gibanja, koji je kvantnomehanički zbroj orbitalnog i spinskog momentakoličine gibanja. Za razliku od orbitalnog momenta količine gibanja, iznos spina je karakteristika čestice kaošto su masa i naboj. Spin čestica može biti cjelobro- jan (s = 1 , 2, 3,... ) ili polucjelobrojan ( s = 1 / 2, 3/ 2, 5/ 2,... ). Čestice s cjelobro- jnim spinom nazivamo bozoni , a s polucjelobrojnim spinom fermioni . Projekcijaspina na istaknutu os mo”e poprimiti vrijednosti

sz =

−s,

−s + 1 ,...,s

−1, s.

(25.18)

U slučaju polucjelobrojnog spina postoji paran broj projekcija spina. Spinelektrona iznosi 1/2. Ako ukupan moment količine gibanja potječe od spina jednog elektrona tada u Stern-Gerlachovom eksperimentu postoje dvije linije


43/67

5.3. PAULIJEV PRINCIP ISKLJCENJA. RAZDIOBA ELEKTRONA PO STANJIMA. 37

(srebro, vodik). S obzirom da spin nije sadržan u Schrodingerovoj jednadžbi,kvantno stanje neke čestice odred̄eno je s četiri kvantna broja. Tri potječu izSchrodingerove jednadžbe, dok četvrti odred̄uje projekciju spina na istaknutuos. Magnetski dipolni moment elektrona je približno jednak Bohrovu magnetonuµB ,

µB = eh̄2m = 9 .27 ·10−24 J/T .

5.3 Paulijev princip iskljcenja. Razdioba elek-trona po stanjima.

Premda elektron u višeelektronskom atomu osim utjecaja jezgre, trpi i utjecajpreostalih elektrona u elektronskom oblaku, elektronska stanja zadržavaju kval-itativne karakteristike elektronskih stanja elektrona u vodikovom atomu. Pridovoljno niskim temperaturama svi elektroni u atomu morali bi biti u stanjunajniže energije, 1s. Med̄utim eksperiment pokazuje da to nije slučaj. Rješenjeovog problema dao je W. Pauli pomoću principa isključenja . Prema Pauli- jevom principu isljučenja dva fermiona ne mogu biti u istom kvantnom stanju.Napomenimo da je kvantno stanje odred̄eno kvantnim bro jevima valne funkcije

i projekcijom spina. S obzirom da je degeneracija n-tog energijskog nivoa n2

,2n2 je najveći broj elektrona koji mogu dijeliti glavni kvantni broj n . U spek-troskopiji se stanja s istim glavnim kvantnim brojem nazivaju ljuske i označavajuslovima

K L M N O P Qn 1 2 3 4 5 6 7

Stanja s istim orbitalnim kvantnim brojem nazivaju se u spektroskopijipodljuske. Broj stanja unutar podljuske je 2(2 l + 1).

podljuska s p p f gbroj stanja 2 6 10 14 18

Shema popunjenosti prve tri ljuske (K, L, M) dana je u tablici 25.1.


44/67


45/67

5.5. SPEKTAR X - ZRAKA 39

5.5 Spektar X - zraka

Godine 1895. W.K. Rontgen je opazio da, na mjestu gdje elektroni udaraju uanodu A (slika 25.3a), izlaze neke vrlo prodorne zrake. Kada je tim zrakamaobasjao svoju ruku koja se nalazila iznad fotografske ploče, nakon razvijanjaploče, na ploči su se vidjele kosti. Ove zrake se nisu otklanjale u magnetskompolju. Rontgen nije znao njihovu prirodu i nazvao ih je X - zrakama . Danasznamo da su to elektromagnetski valovi vrlo male valne duljine. Rontgenu učast ove zrake se često nazivaju i Rontgenske zrake .

Slika 25.3

Na slici 25.3 b prikazana je ovisnost intenziteta X -zraka o valnoj duljini.Pri manjim anodnim naponima spektar je kontinuiran, i potječe od kočenja

elektrona u polju jezgara atoma anode. Ovo zračenje naziva se zakočno zrǎcenje .Najniža valna duljina zračenja λmin ne ovisi o vrsti materijala. Povécanjemanodnog napona elektroni dobiju dovoljno energije da ”izbace” elektron iz Kljuske. Ako u njegovo stanje ”padne” elektron iz L ljuske, skok će biti popraćenemisijom fotona. Linija ovog zračenja u spektroskopiji naziva se K α linija (slika25.5 a). Na slici 25.5 b pokazana je ovisnost valne duljine linija o rednom brojuatoma anode.

Slika 25.5

Pretpostavimo da elektron izbije K elektron. S obzirom da su K elektroni,prema Bohrovom modelu, najbliži jezgri, elektron u prvoj višoj L ljusci osjećaefektivni naboj jezgre ( Z

−1)e. Prema izrazu za energijske nivoe elektrona u

ionima sličnim atomu vodika (25.3), kružna frekvencija emitirane X-zrake je,

ω = 1h̄ (E 2 −E 1) = m e e4

2(4 πǫ0 ) 2 h̄ 3 (Z −1)2 112 − 122(25.19)

ω = 34 R ′(Z −1)2 ,(25.20)

gdje je R’ Rydbergova konstanta (22.25). U slučaju općenite linije vrijediopćenita formula,

ω = R ′(Z −σ)2 1n 2 − 1m 2 ,(25.21)

gdje su n i m glavni kvantni brojevi, a σ empirijski odred̄en broj, ovisan o


46/67


vrsti linije. Modiciran izraz (25.21)

√ ω = C (Z −σ)(25.22)

naziva se Moseleyev zakon .

5.6 Zeemanov efektZeeman efekt je pojava kada se energijski nivo cijepa u magnetskom polju. Ovupojavu prvi je opazio 1896. god. P. Zeeman. Kvantnomehanički račun dajevrijednost projekcije magnetskog dipolnog momenta → pm ,

pm = µB gm,(25.23)

gdje je µB Bohrov magneton i iznosi

µB = 9 .27 ·10−24 J/T ,(25.24)

g je Landeovg-faktor, a m magnetski kvantni broj ukupnog momenta količinegibanja J. Pretpostavimo da ukupan spin elektrona u l-toj podljusci atomaiščezava. Tada je promjena energije elektrona u p podljusci

∆ E = µB gBm , (m = 0 , ±1,..., ±l)(25.25)

U slučaju p - podljuske ( l = 1) p nivo se cijepa u 3 nivoa (slika 25.6). Uspektru ovakvog atoma pojavit će se, kao posljedica prostornog gibanja elek-trona, tri bliske linije (triplet). Za slučaj s - podljuske ( l = 0) nema cijepanja(singlet).

Slika 25.6


47/67

Poglavlje 6

JEZGRA ATOMA

6.1 Sastav i karakteristike jezgreKada je 1911. Rutherford predložio centralni model atom, sve što se znaloo jezgri atoma bilo je da ona ima naboj Ze, gdje je Z redni broj elementau periodičkom sistemu elemenata i dimenzije reda veličine 10 −13 cm. Jezgrunajjednostavnijeg atoma, atoma vodika, čini proton (p) . Proton ima naboj +e.Uobičajeno je u nuklearnoj zici masu čestice izražavati kao energiju mirovanja(E = mc2) u elektron - voltima. Masa protona iznosi

m p = 938 .26MeV ,

(26.1)

dok je, radi usporedbe, masa elektrona

m e = 0 .511MeV .

(26.2)

Kao i sve elementarne čestice proton ima spin 1/2 i svojstveni magnetskimoment,

µ p = 2 .79 ·µnuc(26.3)

gdje je

µnuc = eh̄2m p = 5 .05 ·10−27 J/T (26.4)

41


48/67

42 POGLAVLJE 6. JEZGRA ATOMA

jezgrin magneton .Proton nije jedina čestica koja čini jezgru, što je lako uočiti, s obzirom da se

redni i atomski broj elemenata ne poklapa. Godine 1932. James Chodwick jeotkrio još jednu česticu koja čini jezgru atoma. Ona nema naboja, a masa joj je

mn = 939 .55MeV .

(26.5)

Ova čestica s masom vrlo blizu masi protona, zbog električne neutralnosti,nazvana je neutron . Spin neutrona je 1/2, a svojstveni magnetski moment je

µn = −1.91µnuc .(26.6)

U nevezanom stanju, neutron je nestabilan (radioaktivan). On se spon-tano raspada na proton, elektron i još jednu česticu antineutrino (¯ ν ). Vrijemepoluživota neutrona je 12 min. Shema raspada je,

n → p + e− + ν̄ .(26.7)

Masa neutrona veća je od mase protona i elektrona za 0.77 MeV (neutrinoima masu manju od 25 eV-a). Ova energija oslobad̄a se pri gornjem raspaduu obliku kinetičke energije oslobod̄enih čestica. Jedna od najvaćnijih karakter-istika jezgre atoma je broj protona u jezgri. Ovaj broj odgovara rednom broju Z elementa u sustavu periodičnih svojstava elemenata. Ukupan bro j nukleona (protona i neutrona) naziva se maseni broj A jezgre. Očito broj neutrona N u jezgri je N = A - Z. Jezgre se označavaju simbolom Z X A , gdje X stoji umjestokemijskog simbola elektrona. Jezgre koje imaju isti redni broj Z, a razlǐcitemasene brojeve A nazivaju se jezgre izotopa . Vécina kemijskih elemenata imanekoliko izotopa. Vodik ima 3 izotopa,

1 H 1 - obični vodik,1H 2 - deuterium,1H 3 - tricium,

od kojih su prva dva stabilna, dok je treći radioaktivan. U prvoj aproksi-maciji jezgru se može promatrati ako kuglu radijusa,

r = 1 .3 ·10−13 A1/ 3 cm = 1 .3A1/ 3Fm ,(26.8)


49/67

6.2. MASA I ENERGIJA VEZE 43

gdje je F m - fermi, 1F m = 10−13 cm.

6.2 Masa i energija vezeMasa jezgre uvijek je manja od zbroja masa nukleona. Uzrok ovome je energijavezanja, koju +e oslobad̄a pri spajanju nukleona u jezgru. Energija veze jezgre jednaka je razlici masa nukleona i jezgre, izrad̄ene u eV-ima,

E V = [ Zm p + ( A −Z )mn ]−m j c2 .(26.9)

Ako se E V podijeli s c2 dobije se veličina koja se naziva defekt mase ,

∆ = [ Zm p + ( A −Z )mn ] −m j .(26.10)

Slika (26.1) pokazuje energiju mase po nukleonu kao funkciju masenog brojaelementa.

Slika 26.1

6.3 Modeli jezgre atomaDvije temeljne teškoće koje se javljaju pri formiranju teorije jezgre su a) nepot-puno poznavanje potencijalne energije (sile) med̄u nukleonima i b) problemmnoštva čestica. Drugi problem potječe iz činjenice što se u jezgri nalazi većibroj nukleona, koji svi med̄udjeluju. Ne postoji model koji može rastumačitisva svojstva atomskih jezgara. Ukratkoćemo opisati dva modela, model kapljicei model ljuske. Model kapljice predložio je Niels Bohr. Jezgra se poimlje kaokapljica. Analogija izmed̄u ove dvije strukture leži u činjenicama da su a) silemed̄u česticama kratko dosežne, b) gustoća materije u oba sistema je neovisnao veličini kapljice, c) stišljivost materije je mala. Model ljuske predložila jeMarija Goeppert - Mayer. U ovom modelu pretpostavlja se da se nukleoni neo-visno giba ju u centralno - simetričnom polju. Diskretne energijske nivoe (kaoi u vodikovom atomu) popunjavaju nukleoni. Pri popunjavanju potrebno je

voditi računa o Paulijevom principu. Ovi nivoi su grupirani u ljuske koje nosetočno odred̄eni bro j nukleona. Popunjene ljuske su osobito specijalne tvorevine.Prema eksperimentalnim rezultatima, osobito stabilne su jezgre, kod kojih jebroj protona, ili broj neutrona, ili broj nukleona jednak

2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.


50/67


Ovi brojevi nazivaju se magični brojevi . Jezgre kod kojih je broj protona Zili neutrona N jednak magičnom broju nazivaju se magične jezgre . Ako su i Zi N magični bro jevi, jezgre se nazivaju dvostruko magične . Poznato je ukupnopet dvostruko magičnih jezgara,

2 He 4,8 O16 ,20 Ca 40 ,20 Ca 48 ,82 P b208 .

Ove jezgre su izuzetno stabilne. Jezgra helija ( α - čestica) toliko je stabilna,da je teške jezgre emitiraju u radioaktivnom raspadu.

6.4 Nuklearne sileVelika energija vezanja nukleona u jezgri ukazuje da u jezgri postoji jako privlačno

med̄udjelovanje nukleona. Ova sila drži nukleone na okupu na udaljenostiod ≈ 10−13 cm, usprkos Coulombovoj odbojno j sili. Med̄udjelovanje nukleonanaziva se jako med ¯udjelovanje . Značajke jakog nuklearnog med̄udjelovanja su:a) Nuklearne sile su kratkodosežne. Doseg je ≈ 10−13 cm. Na udaljenostimavećim od dosega protoni se odbijaju Coulombovom odbojnom silom.b) Jako nuklearno med̄udjelovanje ne ovisi o naboju nukleona.c) Jako nuklearno med̄udjelovanje ovisi o orjentaciji spina. Tako npr. neutron iproton čine vezano stanje deuterij, samo u slčaju antiparalelnih spinova.d) Nukleone sile nisu centralne sile tj. ovise o orjentaciji nukleonskih spinova.e) Nuklearne sile pokazuju svojstvo zasićenosti.Prema suvremenom poimanju, jako med̄udjelovanje je posljedica izmjene virtu-alnih čestica, mezona , med̄u nukleonima. Da bismo ovo razumjeli promotrimotumačenje elektromagnetske interakcije u kvantnoj elektrodinamici. Nabijenje

čestice med̄udjeluju elektromagnestkim poljem. Ovo polje se prikazuje kao skupfotona. Prema kvantnoj elektrodinamici, proces interakcije naboja sastoji se uizmjeni fotona. Svaki naboj uspostavlja u svojoj okolini polje, koje stalno ap-sorbira i emitira fotone. Med̄utim ovi fotoni nisu uobičajeni stvarni fotoni, većvirtualni fotoni . U kvantnoj mehanici pojam virtualne čestice se primjenjuje naone čestice koje se ne mogu detektirati za vrijeme života. Proces stvaranja poljaoko elektrona popraćen je reakcijom

e− ↔e− + h̄ω.(26.11)

U procesu (26.11)energija se ne sačuvava.Prema kvantnoj mehanici ovaj pro-ces je moguć. Prema relaciji neodred̄enosti, neodred̄enost u energiji sistema ∆ E vezana je s vremenom života sistema ∆ t,

∆ E ∆ t ≈ h̄.(26.12)


51/67

6.4. NUKLEARNE SILE 45

Ako je E energija virtualnog fotona, on unosi neodred̄enost u poznavanjeenergije elektrona E, i srednji život virtualnog fotona je

∆ t ≈ h̄E .(26.13)

Za to vrijeme virtualni foton prijed̄e put

∆ l = c∆ t ≈c h̄E .(26.14)

S obzirom da prema relaciji (22.8) foton može poprimiti po volji mali iznosenergije E, pa iznos puta virtualnog fotona je po volji velik. Prijed̄eni put vir-tualnog fotona (26.14) predstavlja doseg elektromagnetske interakcije. Kako jepoznato iz elektrodinamike doseg elektromagnetske sile je po volji velik. Godine1935. japanski zičar Hideki Yukawa pretpostavio je da u prirodi postoje čestice200, 300 puta teže od elektrona, koje igra ju veliku ulogu kao nosioci jakih nuk-learnih sila. Godine 1936. C. Andersson i S. Neddermeyer (Amerikanci) otkrilisu česticu 207 puta masivniju od elektrona, u kozmičkim zrakama. U početkuse mislilo da su to upravo te čestice, µ - mezoni ili muoni , nosioci Yukawineinterakcije. Med̄utim, pokazalo se da one slabo med̄udjeluju s nukleonima dabi bili nosioci jake nuklearne sile. Tek 1947. god. C. Lotles, G. Ocehialini i C.Powell otkrili su još jednu vrstu čestica u kozmičkom zračenju, π - mezoni ilipioni , koja je upravo bila nosioc jake nuklearne sile kako je to i Yukawa pred-vidio. Postoje pozitivni ( π+ ), negativni ( π−) i neutralni ( π0 ) mezon. Naboj π+i π− mezona jednak je elementarnom naboju e. Masa nabijenih piona je 273 m

e(140 MeV), a masa π0 mezona 264 me (135 MeV). Spin svih π čestica je nula.Sve tri čestice su nestabilne. Vrijeme poluživota π+ i π− mezona je 2.6 ·10−8s,a π 0 - mezona 0.8 ·10−16 s. Najčešći raspad nabijenih mezona je:

π+ →µ+ + ν π− = µ− + ν̄ ,(26.15)

gdje je µ+ i µ− pozitivan i negativan muon, a ν i ν̄ neutrino i antineutrino.Promotrimo izmjenu piona med̄u nukleonima

p ↔n + π+

n ↔ p + π−(26.16)

p ↔ p + π0 n ↔n + π0


52/67


6.5 Fisija, Atomska bomba

Neutron zbog električne neutralnosti, praktički interagira samo s jezgrom atoma.U sluča ju U 235 spori neutroni ( E < 100keV ) med̄udjeluju intenzivnije s jezgromod brzih neutrona ( E > 100keV ). Neutron može dvojako med̄udjelovati s jez-grom, može biti raspršen ili zahvaćen jezgrom.a) U moderatorima (neke vrste materijala) neutroni se uglavnom raspršuju. Na- jpoznatiji moderatori su grat, teška voda D 2O i berilijevi spojevi. U modera-toru, zbog raspršenja, energija neutrona se smanjuje do ravnotežne vrijednostienergije nasumičnog gibanja ≈kT .b) Godine 1938. Otto Hahn (1879. - 1968.) i Fritz Strassman (1902. - ), pronašlisu da se prilikom bombardiranja urana sa sporim neutronima, kao rezultat po- javljuju elementi iz sredine periodnog sistema elemenata, barij i lantan. Pojavusu rastumǎcili Otto Frisel (1904. - ) i Lise Meitner (1828. - 1968.). Prilikombombardiranja sporim neutronima, izmed̄u ostalih procesa jezgra urana zahvaćaneutron i raspada se na približno dva podjednaka dijela, tzv. fragmente sije .Ako pogledamo sl. 26.1. uočavamo da je energija veze po nukleonu, za elementeu sredini periodnog sistema, približno za 1MeV veća od iste za elemente prikraju periodnog sistema. Stoga je sija jezgre popraćena velikim oslobad̄anjemenergije. Posebno je značajna činjenica sa se pri siji oslobad̄a, u prosjeku, 2.5neutrona po jednom cijepanju jezgre urana. Jedan od procesa na koji se sijadogad̄a je

92 U 235 + n →55 Cs140 + 37 Rb94 + 2 n,(26.17)

dalje se fragmenti sije raspadaju β raspadom, koji je popraćen emisijom γ - zraka,

55 Cs 140 →56 Ba 140 →57 La 140 →58 Ce140(26.18)

37 Rb94 →38 S r 94 →39 Y 94 →40 Z r 94

Konačni produkti sije 58 Ce 140 i 40 Zr 94 su stabilni. Bombardiranje neutron-ima uzrokuje siju torija ( 10 T h232 ), protaktinija ( 91 P a 239 ) i plutonija ( 94 P u 239 ).Fisija U 235 i P u239 se dogad̄a prilikom bombardiranja neutronima bilo koje en-ergije, ali je znatno vjerojatnija sija prilikom bombardiranja jezgre sporim

neutronima. No vratimo se činjenici da se pri opisanoj siji U 235

javljaju i dvaneutrona. Oni mogu pobuditi na cjepanje još dvije jezgre, ove nakon raspada4 itd. Kako se pri svakoj siji oslobad̄a ≈ 1MeV , vrlo brzo se oslobodi ve-lika količina energije. Med̄utim svi neutroni ne pobude jezgre, jer prije nego lipobude jezgru, mogu napustiti komad urana. To će se i dogoditi ako je masaurana manja od kritične mase . Kritična masa je ona masa urana za koju se do-


53/67

6.6. NUKLEARNI REAKTORI 47

godi gore opisana lančana reakcija. Ako se dva komada urana s pojedinačnommasom manjom od kritične, ali s ukupnom masom većom od kritične spoje,zbog stalnog prisustva neutrona usred kozmičkog zračenja, doći će do lančanereakcije pri kojoj će se osloboditi ogromna kolǐcina razorne energije. Ovo jeprincip rada atomske bombe .

6.6 Nuklearni reaktoriElementi koji se koriste kao gorivo u nuklearnim elektranama su U 235 , U 238 ,P u 239 , T h232 . U prirodnom uranu koncentracija U 238 140 puta je veća od kon-centracije U 235 . Neutroni koji nastaju u sijiimaju energiju 0.7 MeV. Nakonniza neelastičnih sudara s uranovim jezgrama neutroni izgube energiju i apsor-bira ih ili jezgra U 235 ili jezgra U 238 . U prvom procesu lančana reakcija senastavlja, dok se u drugom slučaju prekida. Kako u prirodi prevladava U 238 ,

lančana reakcija se ne dogad̄a u prirodi. U nuklearnim reaktorima neutronise usporavaju uz pomoć moderatora . Jezgra atoma moderatora mora imatimasu istog reda veličine kao i neutron da bi pri srazu što veća energija prešlas neutrona na jezgru moderatora. Kao moderator koristi se grat, teška voda,helij i berilijev oksid. Vjerojatnost apsorpcije neutrona ovako male energije,u srazu s jezgrom moderatora, je vrlo mala. Lančana reakcija odvija se ve-likom brzinom, pa je uvijek prisutna opasnost pregrijavanja reaktora. Stogase u reaktor ubacuju regulacijske šipke od nekog materijala s velikim neutron-skim asorpsionim koecjentom, kao npr. bor ili kadmij. Fisija jezgre urana ureaktoru popraćena je velikim brojem radioaktivnih produkata. Osim toga β i γ zračenje je jako prisutno. Danas se reaktori koriste za dobivanje različitihumjetnih radioizotopa koji se naveliko koriste u znanosti i tehnologiji. Neutron-sko i γ zračenje vrlo je prodorno i predstavlja opasnost za život čovjeka. Stogasu reaktori oklopljeni da bi zaštitili okolinu od štetnog zračenja. Med̄utim,kako ne postoji potpuno sigurna zaštita, relativno često radioaktivna materijaiz nuklearnih elektrana, obično u obliku pare, prodire u okolinu. Eksplozija reak-tora u Černobilskoj nuklearnoj elektrani ukazuje, da su nuklearke potencijalnaopasnost za veliki prostor. Suočeni s ovim činjenicama, postavljamo pitanje osvrsihodnosti gradnje nuklearnih elektrana.

6.7 FuzijaEnergija se ne oslobad̄a samo pri siji, već i pri fuziji. Reakcija deuterija ( 1D 2 )i tricija ( 1T 3) daje

1D 2 + 1 T 3 →2 H e4 + n,(26.19)

pri čemu se oslobad̄a 17.6 MeV. Da bi došlo do reakcije (26.19) Coulombovogodbojnog potencijala jezgre moraju doći vrlo blizu. Za to su potrebne velike


54/67


temperature ( ≈ 107K ), a to je približno temperaturi unutar Sunca (procjen- jena na 10 7K ). Zbog ovog svojstva fuzija se, zove i termonuklearna reakcija.Nekontrolirana termonuklearna reakcija dogad̄a se vodikovoj hidrogenoj bombi.Temperature termonuklearne reakcije postiže se sijom atomske bombe. Na ta jnačin atomska bomba služi kao upaljač vodikove bombe.Zbog visoke temperature termonuklearna gorivo ne može se održati ni u jed-nom materijalu, pa se termonuklearna reakcija još ne koristi za proizvodnjuenergije. Ova visoko - temperaturna plazma (sistem nevezanih elektrona i jez-gara) pokušava se lokalizirati pomoću magnetskog polja. Za to su potrebnavrlo snažna magnetska polja, koja se ne mogu postići klasičnim elektromagne-tima. Novi visokotemperaturni supravodiči obećavaju dobivanje jakih magnet-skih polja, koja bi kontrolirala termonuklearnu reakciju.


55/67

Poglavlje 7

RADIOAKTIVNOST

7.1 Vrste radioaktivnih raspada

Radioaktivnost je prvi opazio Antonie Henri Beekguerd 1896. godine. Velikidoprinost proučavanju radioaktivnosti dali su Piere Curie i Maria Sklodovska -Curie. Oni su otkrili α , β i γ radioaktivni raspad.1) Alfa - raspad karakteriziraju α - čestice (jezgre helija). Primjer α raspada je

12 U 238 →90 T h234 + 2 He4 .(27.1)

Pri ovom raspadu α - čestica dobije se velika kinetička energija ( v ≈107m/s ,E ≈1MeV ). Prolazom kroz materiju α čestrica gubi energiju ionizirajući ma-teriju. U prosjeku potrebno je približno 35 eV da se formira elektron-ion par. α

- čestica nastala pri α - raspadu ionizira ≈ 105 atoma. S obzirom da je udaljenost med̄u atomima u čvrstom tijelu reda veličine 1 Ȧ, dubina prodiranja α -čestice je ≈10−3cm. Već običan list papira zaustavlja veliku većinu α ”estica izradioaktivnog α - raspada. α - čestice unutar jezgre vezana je s ostatkom jez-gre jakim nuklearnim silama, dok izvan jezgre djeluje odbojnim Coulombovimpotencijalom s ostatkom jezgre (slika 27.1). Visina barijere veća je od prosječneenergije α - čestice (6 MeV ), te α - čestica tunelira kroz barijeru. Nakon tuneli-ranja ubrzava se na Coulombovom odbojnom potencijalu, sve dok se početnapotencijalna energija ne pretvori u kinetičku.

Slika 27.1.

2) Beta raspad se manifestira na tri načina. U jendnom slučaju jezgra emitiraelektron ili pozitron, dok u drugom slučaju jezgra zahvaća jedan elektron izelektronskog oblaka, obično κ - elektron. Primjer β − raspada je

49


56/67

50 POGLAVLJE 7. RADIOAKTIVNOST

90 T h234 →91 P a 234 + e− + ν ,(27.2)

gdje je e− - elektron, a ν - antineutrino. Neutrino i antineutrino su česticekoje slabo interagiraju i vrlo ih je tesko detektirati. Postojanje ovakvih česticapredvidio je Wolfgang Pauli, da bi rastumačio ”gubitak” energije u β - raspadu.Samo ime neutrino potječe od Enrica Fermija. Primjer β + raspada je

7 N 13 →6 C 13 + e+ + ν ,gdje je e+ pozitron, a ν neutrino. Postojanje pozitrona predvidio je Paul

Dirac 1918., a eksperimentalno potvrdio njegovo postojanje Carl Anderson 1932.god.Zahvat elektrona dogad̄a se u reakciji

19 K + e− →18 Ar 40 + γ (27.3)

3) γ - zračenje. α i β raspad popraćeni su emisijom γ - zračenja ( λ ≈10−3 −1 Ȧ). Nakon raspada izvorne jezgre, novonastala jezgra obično se nalazi upobu”enom stanju. Spontani prijelaz u niža pobud̄ena stanja i konačno prijelazu osnovno stanje popraćeno je emisijom γ - zraka. Za razliku od αiβ zraka(̌cestice) γ zrake su vrlo prodorne.

4)Pri spontanom nuklearnom raspadu teška jezgra se raspada na 2 ili višemanjih. Ovaj proces može biti popraćen svim trima vrstama ( α , β i γ ) zračenja.

Fisija je primjer spontanog nuklearnog raspada.

7.2 Vrijeme poluraspadaRadioaktivnost je spontani prijelaz jedne jezgre atoma u drugu. Bez obzirana vrstu radioaktivnog raspada, radioaktivni raspad pojedine jezgre atoma neovisi o stanju susjednih atoma. Smanjenje ukupnog broja neraspadnutih

Moderna fizka

Documents

Transcript of Moderna fizka