Predição de Links em Redes Complexas usando o Classificador Naïve Bayes
Modelos de Redes Complexas Ricardo Prudêncio. Como as redes se formam?
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Modelos de Redes Complexas
Ricardo Prudêncio
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Como as redes se formam?
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Redes AleatóriasErdõs e Rényi (50-60)
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Redes Aleatórias
• Erdõs e Rényi - Random Graph Model• Conjunto fixo de n nós• links se formam de maneira puramente aleatória
• G(N,p)
Número de nós do grafo
Probabilidade de ocorrência de uma aresta entre dois nós
Suposição básica: Arestas são criadas de forma aleatória com igual probabilidade independente dos nós
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Redes Aleatórias• G(N,p) tem propriedades que pode ser
definidas de forma analítica
• Tamanho médio <L>
• Grau médio
L LP(L)pN(N 1)2L0
N(N 1)2
k 2L /N p(N 1)
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Redes Aleatórias
• G(N,p) não define uma única rede – i.e., Pode levar a diferentes realizações (conjunto
de redes possíveis com diferentes probabilidades)
N=10 p=1/6
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O que fazer com esse modelo?!
Simulações!!!
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Redes Aleatórias - Evolução
• Redes complexas evoluem a partir da conexão de nós inicialmente isolados
• Qual o tamanho esperado do maior componente da rede???
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Redes Aleatórias - Evolução
• Na maioria das redes, é crucial existir um componente gigante com alta fração dos nós– E.g., Estruturas de comunicação não são úteis sem um
componente gigante
– E.g., Em redes sociais, um componente gigante é condição para observar uma divulgação
• Quando a rede emerge a partir de um conjunto desordenado de indivíduos pouco conectados?
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Redes Aleatórias - Evolução
• Tamanho médio do componente gigante sobre diferentes realizações do modelo aleatório
Grau médio <k>
Componente Gigante (Fração em relação a N - %)
1
100%
Transição de fase
Transição de fase = tamanho do componente gigante começa a crescer exponencialmente
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Redes Aleatórias - Evolução
• A medida que a rede cresce:– Um componente gigante emerge quando o grau
médio ultrapassar um limiar (baixo)– O restante dos nós compõem um número de
componentes pequenos sem conexão
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Redes Aleatórias
• Outras características importantes– Distância entre nós– Distribuição do grau dos nós– Transitividade (coeficiente de clustering)
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Redes Aleatórias – Distância dos Nós
• Distância entre nós é pequena (fenômeno de mundo pequeno)
• Distância cresce apenas de forma logaritmica com o tamanho da rede
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Redes Aleatórias – Grau do Nós
• Distribuição do Grau
Seleciona k nós de N-1
Probabilidade de ter k arestas
Probabilidade de não observar N-1-k arestas
P(k) N 1k
pk (1 p)(N 1) k
Crítica- Existe uma quantidade razoável de nós com grau próximo à média- Existe uma quantidade pequena de nós cujo grau difere muito da médiaIsso não acontece comumente em redes reais
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Redes Aleatórias - Transitividade
• Coeficiente de Clustering – Qual a probabilidade de dois nós com um vizinho
em comum serem conectados?
– Em um modelo G(N,p), temos simplesmente:
?
A B
C
1
N
kpC
Transitividade
Crítica: - C tende a zero para N grande e um
grau médio fixoIsso também não ocorre com frequência em redes reais
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Redes Aleatórias
• Crítica: modelo inadequado para descrição de fenômenos reais– E.g. coeficiente de clustering e distribuição de grau não
refletem o que se observa em redes reais
• Entretanto: – (1) bastante usado para simulações e comparações com
redes reais– (2) fácil de analisar fenômenos que ocorrem no mundo
real• E.g. evolução para redes altamente conectadas
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Redes de Mundo PequenoWatts and Strogatz, Nature, (1998).
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Fenômeno de Mundo Pequeno
• Distância entre nós de uma rede é tipicamente pequena
• Independente do tamanho da rede
• Experimento de Milgram (1960)– Seis graus de separação
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Modelo de Mundo Pequeno
• Meio termo entre redes regulares e redes aleatórias
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Modelo de Mundo Pequeno
APPLET http://ccl.northwestern.edu/netlogo/models/run.cgi?SmallWorlds.839.533
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Modelo de Mundo Pequeno
• Distância típica pequena e transitividade alta
• Mas... distribuição de grau é uniforme assim como no modelo aleatório– I.e. nós são relativamente igualitários na rede
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Redes Sem EscalaR. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, 401 130 (1999).
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World Wide WebNodes: Documentos WWW Links: URLs
3 bilhões de documentos
ROBOT: coletava todas as URL’s em um documento e as seguia recursivamente
Modelo Aleatório
(Esperado)
P(k) ~ k-
Observado
R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, 401 130 (1999).
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World Wide Web
• Distribuição dos nós não é igualitária como no modelo aleatório– Poucos nós com muitos links (Hubs)
• Existência de Hubs acontece em muitas redes complexas reais
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Distribuição – Lei de Potência
Malha Viária Malha Aérea
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Redes Sem Escala
• Redes cuja distribuição dos graus dos nós seguem uma lei de potência– Scale-free Networks =
• Diversas redes reais têm a característica básica de redes sem escala– E.g., Internet, redes de proteínas, redes de
colaboração, redes de citação,...
P(k) ~ k-
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Nós: usuários onlineLinks: contatos
ONLINE COMMUNITIES
Twitter:
Jake Hoffman, Yahoo, Alan Mislove, Measurement and Analysis of Online Social Networks
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Nós: atoresLinks: atuaram juntos
N = 212,250 actors k = 28.78P(k) ~k-
Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999)
=2.3
ACTOR NETWORK
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)exp()(~)( 00
k
kkkkkP
H. Jeong, S.P. Mason, A.-L. Barabasi, Z.N. Oltvai, Nature 411, 41-42 (2001)
Nós: proteínas Links: interações físicas (binding)
TOPOLOGY OF THE PROTEIN NETWORK
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( = 3)
(S. Redner, 1998)
P(k) ~k-1736 PRL papers (1988)
Network Science: Scale-Free Property February 7, 2011
SCIENCE CITATION INDEX
Nós: papersLinks: citações
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Redes Sem Escala - Formação
• Redes sem escala se forma seguindo o princípio da conexão preferencial
• Conexão preferencial = nós bem conectados tendem a receber mais links no futuro
– Plausível em muitos contextos (e.g. páginas Web)
• Princípio “Rich Get Richer” – Herbert Simon
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Redes Sem Escala - Formação
Simulação:(A)Crescimento: a cada momento adicione um
novo nó à rede
(B) Conexão Preferencial: conecte o novo nó a dois nós existentes. A probabilidade de escolha de um nó para ligação é proporcional ao grau do nó
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Redes Sem Escala - Formação
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Redes Sem Escala - Formação
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Redes Sem Escala - Implicações• Existência de um pequeno número hubs com papel estrutural de conectar a rede
– Em muitos casos, observa-se uma hierarquia de hubs – Alta resiliência a falhas aleatórias e baixa tolerância a ataques direcionados– Papel importante em processos de difusão
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Considerações Finais
• Vimos modelos de redes bastante conhecidos
• Entretanto existem outros modelos importantes–E.g., Hierarquical Random Graphs
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Considerações Finais
• Alguns contextos requerem modelos bem específicos
– E.g. Chains of Affection: Bearman et al. (2004)
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Material de Estudo• Networks: An Introduction (M. Newman)
• Linked: A Nova Ciência das Redes(A-L. Barabási)
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Material de Estudo
• Parte da aula gerada a partir dos slides de Barabási em:– http://barabasilab.neu.edu/courses/phys5116/