Profesor:

Modelos de Estimación de Leyes

Roberto Díaz

GEOESTADÍSTICA

Sobre el Profesor

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Roberto Díaz Molina

Ingeniero Civil de Minas e Ingeniero CivilIndustrial con 29 anos de experiencia de mineria tanto en Chile como en Sudafrica,desarrollando por 14 anos cargos de gerenteen varias áreas de la mineria.

Amplia experiencia en modelamiento y estimacio n de reservas, gestio n y planificacio nminera y de negocios, preparacion y evaluacionde proyectos de capital y exploracionBrownfield.

Contenidos del Curso

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Modelamientoy Análisis de

Data

AnálisisVariográfico

Modelos de Simulación

Modelos de estimación

de leyes

• Modelo'Geológico• Modelo'de'Bloques

• Compositación'de'

sondajes

• Análisis' exploratorio'

de'la'Data

• Variografía'experimental'(varios'

modelos)

• Variografía'

estructural

• Variografía'de'Indicadores

• Análisis'de'

Anisotropías

• Cambio'de'Soporte• Kriging (Ordinario,'

Simple'y'de'

Indicadores)

• Kriging puntual'y'de'

bloques• Validación'del'

modelo'de'leyes

• Bases'de'la'Simulación'

Condicional

• Simulación'

Gaussiana

• Simulación'de'Indicadores

• Uso'de'las'

simulaciones'en'

minería.

Agenda de Hoy

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• Cambio de Soporte

• Kriging (Ordinario, Simple y de Indicadores)

• Kriging puntual y de bloques

• Validación del modelo de leyes

Objetivos

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Entregar los conocimientos básicos para realizar una estimaciónde leyes puntuales y de bloques.

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Cambio de Soporte

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¿Por qué es importante el cambio se soporte?

En la minería se extraen bloques mineralesde gran tamaño y no del tamaño de lasmuestras puntuales; además, la variabilidadespacial de muestras es diferente,dependiendo del tamaño del soporte.

SOPORTE: El soporte es el volumen sobre elcual se mide o se considera la variable enestudio (testigo, compósito, pozo detronadura, unidad selectiva de explotación o“bloque”)

Cambio de Soporte

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Cambio de Soporte o Regularización:

La variable regularizada sobre el bloque V,denotada como Z(V), se define como elpromedio de los valores puntuales en V:

En donde |V| representa el volumen delbloque V. Sr requiere que la variable seaaditiva.

Tanto la distribución estadística de los valores(histograma) como su correlación en elespacio (variograma) dependen del soporteconsiderado.Este efecto de soporte tiene importantesconsecuencias en la evaluación deyacimientos, pues los datos disponibles(sondajes, pozos de tronadura) no tienen elmismo soporte que las unidades a estimar

Cambio de Soporte

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Cambio de Soporte

La'primera'imagen'corresponde'a'un'soporte'de'1mx1m,'la'segunda'a'un'soporte'de'5mx5m'y'la'tercera'a'un'soporte'de'25mx25m.

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Efecto en el Histograma:

Cambio de Soporte

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Cambio en el variograma:

El paso de un soporte pequeño a un soportemayor es una operación reguladora (→“suavizamiento” de los mapas).

Efecto de cambiar el soporte de los datos alcompositarlos:

Mientras mayor sea el tamaño de loscompósitos, más regular será su variogramacerca del origen y más pequeña será sumeseta.

La teoría predice que la amplitud del efectopepita es inversamente proporcional alvolumen del dato. Por ejemplo, al pasar decompósitos de 1m de largo a compósitos de2m de largo, el efecto pepita deberíadisminuir a la mitad. La proporción del efectopepa (en relación a la meseta total) deberíadisminuir también.

Cambio de Soporte

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Cambio en las curvas de selectividad:

Las curvas de selectividad cuantifican losrecursos recuperables en un yacimiento(tonelaje, cantidad de metal, etc.). Dependende cuatro factores:

• El efecto de soporte: mientras másvoluminoso el soporte, menosselectividad.

• El efecto de información: algunos bloquesde mineral son subestimados y enviadosequivocadamente a botadero; otrosbloques estériles son sobreestimados yenviados a planta.

• Las restricciones geométricas: algunosbloques de alta ley pueden serabandonados si los costos paraalcanzarlos son demasiado altos.

• La dilución operativa.

Cambio de Soporte

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La decisión de enviar un bloque a planta obotadero se efectúa en base a la leyestimada del bloque en lugar de la leyverdadera (desconocida).

Para minimizar el efecto de información, sebuscará un estimador preciso e insesgado(global y condicionalmente)

Cambio de Soporte

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Sesgo Condicional

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Kriging Ordinario y Simple

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El kriging es un término que ha sido acuñadopara designar al "mejor estimador linealinsesgado" de un punto y al mejor promediolineal móvil ponderado de un bloque.

Este nombre apareció alrededor de 1960para nombrar una técnica creada en Franciapor Matheron a partir de los trabajos de D. G.Krige quién fue probablemente el primeroque hizo uso de la correlación espacial y delmejor estimador lineal insesgado en elcampo de la evaluación de yacimientosminerales.

El kriging es una técnica de estimación localque ofrece el mejor estimador linealinsesgado de una característica desconocidaque se estudia.

Kriging o Krigeage

Sea Z (x) una función aleatoria, la cual estádefinida en un soporte puntual y esestacionaria de segundo orden, con :

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Suponga que se hacen mediciones de lavariable de interés Z en los puntos xi, i= 1, 2,...,n, de la región de estudio, es decir se tienenrealizaciones de las variables Z(x1), . . . , Z(xn),y se desea predecir Z(xo), en el punto x0donde no hubo medición. En estacircunstancia, el método kriging ordinariopropone que el valor de la variable puedepredecirse como una combinación lineal delas n variables aleatorias así:

Kriging Ordinario

En donde los λi representan los pesos oponderaciones de los valores originales.Dichos pesos se calculan en función de ladistancia entre los puntos muestreados y elpunto donde se va a hacer lacorrespondiente predicción. La suma de lospesos debe ser igual a uno para que laesperanza del predictor sea igual a laesperanza de la variable. Esto último seconoce como el requisito de insesgamiento.

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Asumiendo que el proceso es estacionario demedia m (desconocida) y utilizando laspropiedades del valor esperado, sedemuestra que la suma de lasponderaciones debe ser igual a uno (1):

Kriging Ordinario

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Kriging Ordinario

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Kriging Ordinario

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Se tiene una configuración de datos como laque se presenta en el esquema de abajo. Conbase en siete datos observados (valores allado del signo + por fuera de los círculosnumerados de 1 a 7) se quiere predecir unvalor de la variable en el punto donde seencuentra el signo de interrogación, por fueradel circulo con el número cero.

Ejemplo

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Sean las distancias entre las muestras lassiguientes:

Y sea:La estructura de correlación espacial entrelos datos es estimada por un modeloexponencial :γ(h)=10(1−exp(−3h/10))(pepita cero, meseta 10 y rango 10) o entérminos de la función de autocovarianza por:C(h)=10 (exp(−3h/10)),

Ejemplo

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Las siguientes matrices que permiten encontrar los pesos para la predicción:

C(h)=10 (exp(−3h/10))

C11(0) = 10 exp (-3*0/10) = 10C12(2.24) = 10 exp (-3*2.24/10) = 5.11

C13(10.44) = 10 exp (-3*10.44/10) = 0.44…..C10(4.47) = 10 exp (-3*4.47/10) = 2.61C20(3.61) = 10 exp (-3*3.61/10) = 3.39

Ejemplo

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Ejemplo

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Ejemplo

Z0* ='592'

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Suponga que hay una variable regionalizadaestacionaria con media (m) y covarianzaconocidas. De manera análoga a como sedefine en modelos lineales (por ejemplo endiseño de experimentos) el modeloestablecido en este caso es igual a la mediamás un error aleatorio con media cero. Ladiferencia es que en este caso los errores noson independientes.

Sea Z(x) la variable de interés medida en elsitio x.

Para asegurar que no exista sesgo, adiferencia del kriging ordinario, no existenrestricciones con respecto a losponderadores.

Kriging Simple

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kriging de Indicadores

Ejemplo, si se desea saber cual es la probabilidad de encontrar valor sobre una ley decorte de 0.6 % CuT, entonces:

I = 0, si la muestra tiene un valor de CuT menor a 0.6%I = 1, si la muestra tiene un valor de CuT sobre 0.6%.

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Indicadores Multiples

Para aplicar el kriging de indicadores múltiples, se deben definir varias leyes de cortecon su respectivo percentil en la distribución; por ejemplo:

Ley de Corte 1 = 0.2 %CuTLey de Corte 2 = 0.4 %CuTLey de Corte 3 = 0.6 %CuT

1st Quartile 0.03000Median 0.080003rd Quartile 0.43000Maximum 2.95000

0.28144 0.33860

0.07000 0.09000

0.43219 0.47266

A-Squared 106.57P-Value <0.005

Mean 0.31002StDev 0.45151Variance 0.20386Skewness 2.17026Kurtosis 5.09761N 961

Minimum 0.01000

Anderson-Darling Normality Test

95% Confidence Interval for Mean

95% Confidence Interval for Median

95% Confidence Interval for StDev

3.02.52.01.51.00.50.0

Median

Mean

0.350.300.250.200.150.10

95% Confidence Intervals

Summary Report for CuT

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kriging de Indicadores

Probabilidad de leyes bajo 0.2 % CuT

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kriging de Indicadores

Probabilidad de leyes bajo 0.4 % CuT

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kriging de Indicadores

Probabilidad de leyes bajo 0.6 % CuT

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Kriging puntual y de Bloques

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Hasta el momento se han realizadoestimaciones en un punto (Kriging Puntual);sin embargo, en el caso cuando se deseeconocer el valor promedio sobre una región obloque, se formulan las ecuaciones delKriging de manera análoga al caso puntual.

En el kriging por bloques en lugar de estimarel valor en un punto xk se considera unaregión Vk de área Ak con centro en el punto xk

. El estimador tiene la siguiente forma:

En las ecuaciones del Kriging puntual elvector del miembro derecho lassemivarianzas γ ij son reemplazadas por lassemivarianzas promedios con respecto albloque Vk que se expresan como:

Kriging Puntual y de Bloques

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El semivariograma ha sido determinado paraun soporte del tamaño de las muestras; porlo tanto es necesario estimar la varianzaespacial entre el soporte de la muestra (v) y elsoporte del bloque (V). Para ello, el Bloque V,se discretiza en infinitos puntos del tamañodel soporte de la muestra como acontinuación:

El cálculo de γ(V,v) tomaría mucho tiempo yaque debería considerar un número casiinfinito de puntos dentro del bloque devolumen V; sin embargo, se han desarrolladoalgoritmos matemáticos que permitenobtener una buena aproximación en un cortoperíodo de tiempo.

Kriging Puntual y de Bloques

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En estricto rigor, el krigeado de un bloque Vdebería realizarse considerando todos losdatos disponibles (krigeado completo). Sinembargo, esta situación implica cálculos muylargos; por otra parte, las muestras alejadastendrían un peso casi nulo.

Por esta razón la práctica recomienda a unavecindad de estimación que puede ser unaesfera o círculos, o bien un elipsoide o elipse(3D y 2D), o también, porque no, unrectángulo o una caja. Como recomendaciónpráctica, el radio en una cierta dirección nodebe ser inferior al alcance en esa dirección.

Selección de Muestras

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La práctica ha demostrado que en el espaciode 2 dimensiones con una vecindad quecontenga un promedio del orden de 8muestras, los resultados son buenos. En elespacio de 3 dimensiones la situación es máscompleja y debe ser analizada en cada casoparticular.

El elipsoide al momento de estimar debedividirse en sectores y octantes para restringiry distribuir de una mejor manera elaprovechamiento de los datos de lasmuestras y obtener una mejor estimación.

Cuando las muestras son numerosas y sedesea obtener el mejor estimador; entoncesla selección de muestras a considerar es algocrucial y para ello se han diseñado dos tiposde búsqueda: Por Octante o por Cuadrante.

Selección de Muestras

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El plan de Kriging considera las siguientes etapas:

• Definición de manejo de Outliers (Capping)• Identificación de la zona a estimar los bloques (puede estar restringida por sólidos

en 3D o mediante Polígonos)• Identificación de la muestras a utilizar (todas o restringirlas a sólo usar aquellas que

se encuentren dentro del sólido).• Ingreso de variograma considerando las anisotropías (x, y, z)• Definición de los radios de búsqueda del elipsoide.• Definición de la búsqueda de muestras.• Definir el número mínimo de muestras a utilizar por Cuadrante u Octante.• Definir el número máxima de muestras a utilizar para la estimación.

• Seleccionar el método de interpolación (Kriging Ordinario o Kriging Simple)

Plan de Kriging

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First Pass

• Major Axis Direction Defined By Variogram Model• Distance Along Major Axis = 75m• Directions/Distances for other two directions defined by variogram model• Minimum/Maximum Number of Composites = 18/25• Number of Octants With Data = At least 5• Maximum Number of Composites From One Hole = 6

Second Pass• Major Axis Direction Defined By Variogram Model• Distance Along Major Axis = 150m• Directions/Distances for other two directions defined by variogram model• Minimum/Maximum Number of Composites = 18/25

• Number of Octants With Data = At least 4• Maximum Number of Composites From One Hole = 8

Ejemplo de plan de Kriging

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Ejemplo de plan de Kriging

Pass$3:• Fixed'Search'(250x250x250m)

• Minimum/Maximum'Number'of'Composites'='15/25

• 5'Octants'Must'Contain'Data

Pass$4:• Fixed'Search'(300x300x300)

• Minimum/Maximum'Number'of'Composites'='15/25

• Maximum'Number'of'Composites'From'1'Drillhole'='10

Pass$5:• Blocks'not'estimated'in'passes'1[4'are'assigned'a'value'equal'to'the'average'of'

the'blocks'estimated'in'pass'4'(by'estimation'unit'and'zone)

Cada'paso'define'la'calidad'de'la'estimación'y'es'considerada'en'el'momento'de'la'

clasificación'de'recursos.

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Validación del Modelo de Bloques

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Una vez terminado el proceso de estimaciónse procede a validar las leyes de los bloquesy analizar su comportamiento espacial.

Existen varios métodos que se aplican en lapráctica:

• Validar que la ley media de modelo delbloques es igual (o muy cercana) a la leymedia de las muestras.

• Comparación con el bloque y el Vecinomás Cercano (NN = Nearest Neihbor).

• El NN se obtiene con el promedio de lasleyes de las muestras que estén máscercanas al centroide del bloque y secompara con el valor estimado.

Validación del Modelo

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Comparación de contactos geológicos ycomportamiento de las leyes mediante“Swath Plots”.

El Swath Plot es un gráfico que compara ladistribución de leyes en una serie de bandas,generados en diferentes direcciones a lolargo del depósito en donde se comparan losresultados de Kriging versus el modelo deleyes entregado por el NN.

Validación del Modelo

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