Modelo de Leontief
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24/05/2008
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Modelo de Leontief:Modelo de Leontief:Matriz insumoMatriz insumo--produtoproduto
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA (UNIR)NÚCLEO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTEMENTO DE ENGENHARIA E FÍSICACURSO DE LICENCIATUARA EM FÍSCIA
DISCIPLINA ALGEBRA LINEARDOCENTE: CARLOS TENÓRIO
Marcos André Alves BritoMarcos André Alves Brito
Islândio Dantas Chaves Islândio Dantas Chaves
PORTO VELHO-RO, 2007
IntroduçãoIntrodução
I.I. ConceitosConceitos básicosbásicos
II.II. OO modelomodelo comocomo ferramentaferramenta dede
programaçãoprogramação econômicaeconômica
III.III. AA MatrizMatriz InsumoInsumo--ProdutoProduto
IV.IV. DeterminaçãoDeterminação dosdos coeficientescoeficientes técnicostécnicos
V.V. EquaçãoEquação dede insumoinsumo dodo ProdutoProduto
VI.VI. AplicaçãoAplicação teóricateórica
Conceitos básicosConceitos básicos
DemandaDemanda finalfinal (Y)(Y):: A demanda final, compõe-se do consumo(C) das familiares, do governo e a formação bruta de capitalfixo (I) . E pode ser representado algebricamente pelaseguinte relação; C + I = YY..
DemandaDemanda intermediáriaintermediária:: representa os fornecimentos eaquisições de cada setor em relação a si próprio e aosdemais.
ValorValor BrutoBruto dada ProduçãoProdução (VBP)(VBP);; é a soma da demandaintermediária (DI) e da demanda final (DF). Expressomatematicamente por; VBP = DI + DF
ValorValor AgregadoAgregado BrutoBruto (VAB)(VAB);; é soma do total de salários,juros, aluguéis, e lucros, mais o total dos tributos indiretos e adepreciação gerados durante o processamento da produção.
O modelo como ferramenta de O modelo como ferramenta de programação econômicaprogramação econômica
A abordagem de programação econômica apóia-sena noção de interdependência econômica entre os setoresprodutivos, esta interdependência resulta da interaçãoentre as unidades produtoras que repassam seus bens aoutras unidades para serem processados.
O modelo de Wassily W. Leontief proporciona a baseconceitual para a análise das conexões entre relaçõesintersetoriais, possibilitando programar o sistemaeconômico em consonância com os objetivo que se queriaatingir .
A importância deste instrumental, decorre de se saberse determinada meta é consistente ou não, de acordo coma disponibilidade de recursos, no sentido de evitar pontosde estrangulamento ou gargalos, que posso comprometeras metas almejadas.
Matriz insumoMatriz insumo--ProdutoProduto
Cada setor é relacionado duas vezes. Em linha (o quecada setor vende); Em coluna (o que cada setor compra);VetoresVetores--linhalinhaXX1111 definedefine aa vendavenda dodo setorsetor 11 p/p/ oo setorsetor 11XX1212 definedefine aa vendavenda dodo setorsetor 11 p/p/ oo setorsetor 22XX1313 definedefine aa vendavenda dodo setorsetor 11 p/p/ oo setorsetor 33∑∑XX11JJ definedefine aa demandademanda intermediáriaintermediária totaltotal atendidaatendida pelopelosetorsetor jj..CC11 aa vendasvendas dodo setorsetor 11 parapara oo consumoconsumo finalfinal..II11 osos investimentoinvestimento realizadorealizado pelopelo setorsetor 11YY11 éé oo totaltotal dada demandademanda finalfinal atendidaatendida pelopelo setorsetor 11(consumo(consumo ++ investimentos)investimentos)
Matriz insumoMatriz insumo--ProdutoProduto
VetoresVetores--colunacoluna
XX1111 definedefine aa compracompra dodo setorsetor 11 recebidarecebida dodo setorsetor 11
XX2121 definedefine aa compracompra dodo setorsetor 11 recebidarecebida dodo setorsetor 22
XX3131 definedefine aa compracompra dodo setorsetor 11 recebidarecebida dodo setorsetor 33
∑∑XXii11 definedefine asas aquisiçõesaquisições feitasfeitas pelopelo setorsetor 11
recebidarecebida deledele própriopróprio ee dosdos demaisdemais setoressetores
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Matriz insumoMatriz insumo--ProdutoProduto
Setores compradores
Demanda Intermediária Demanda Final
VBP
Setores vendedoresPrimário Secundário Terciário Subtotal consumo investimento Total
Primário X11 X12 X13 ∑ X1J C1 I1
Y1 V1
Secundário
X21 X22 X23 ∑ X2J C2 I2
Y2 V3
TerciárioX31 X32 X33 ∑X3J C3 I3
Y3 V4
Total∑Xi1 ∑Xi2 ∑Xi3 ∑XIJ ∑C ∑I
∑Y ∑V
VABVA1 VA2 VA3 ∑VA
VBPV1 V2 V3 ∑VIJ
Determinação dos Coeficientes Técnicos de Produção
O cálculo do coeficiente técnico de produção (Aij), expressa quanto o
setor j necessita do produto do setor i. Os coeficientes técnicos de umamatriz insumo-produto genérica é dado por Aij = Xij / Vj, assim, a matriz
dos coeficientes é;
A11= X11 /V1 A12= X12/ V2 A13= X13 /V3
A= A21= X21 /V1 A22= X22 /V2 A23= X23 /V3
A31= X31/ V1 A32= X32 /V2 A33= X33/ V3
Equações Insumo-Produto
Vimos que:
X11 + X12 + X13 + Y1 = V1
X21 + X22 + X23 + Y2 = V2
X31 + X32 + X33 + Y3 = V3
Como:
Aij = Xij / Vj Xij = Aij . Vj
Podemos reescrever as três primeiras
equações como:
A11 V1 + A12 V2 + A13 V3 + Y1 = V1
A21 V1 + A22 V2 + A23 V3 + Y2 = V2
A31 V1 + A32 V2 + A33 V3 + Y3 = V3
Equações Insumo-Produto
Isolando-se a demanda final Y do lado direito das equações:(1 - A11 ) V1 - A12 V2 - A13 V3 = Y1
-A21 V1 + (1 - A22) V2 - A23 V3 = Y2
-A31 V1 - A32 V2 + (1 - A33) V3 = Y3
Temos, portanto, um sistema matricial do tipo: (I – A)V = Y, pois:
1 - A11 - A12 - A13 V1 = Y 1- A21 +(1 - A22) -A23 . V2 = Y2
- A31 - A32 +(1 - A33) V3 = Y3
Equações Insumo-Produto
Com está interessado em saber como VBPdecorrente de efeito direto e indireto devemosisolar V, resolvendo a expressão matricial, temos;
(I – A) (I – A)-1 V = (I – A)-1 YOnde (I – A) (I – A)-1 = I, portanto
IV = (I – A)-1 YEm que, IV=V, de modo que: V = (I – A)-1 Y.
Assim é possível determinar o impacto naprodução dos setores quando há uma variação nademanda final. A matriz (I – A)-1 é matriz docoeficiente diretos mais o indiretos.
Esta expressão é a matriz dos requisitos
direto e indireto por unidade de demandafinal;
1 - A11 - A12 -A13-1 Y1 = V1
- A21 +(1 - A22) -A23 . Y2 = V2
-A31 - A32 +(1 - A33) Y3 = V3
Equações Insumo-Produto
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Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do ModeloVamosVamos suporsupor umum economiaeconomia fechadafechada comcom apenasapenas trêstrês setoressetores e,e, quequefixadofixado porpor decisãodecisão políticapolítica osos objetivosobjetivos dede crescimentocrescimento sejamsejam ososdescritosdescritos nana tabelatabela abaixoabaixo;;
Objetivo de expansão da demanda final
SetoresTotais da demanda final (Y)
Taxa de expansão
Níveis atuais Níveis Programados
Primário 400 600 50%
Secundário 350 560 60%
Terciário 500 900 80%
Total 1250 2060 65%
Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo
DadoDado queque oo objetivoobjetivo éé dede expansão,expansão, ee conhecendoconhecendo aa relaçõesrelações intersetoriaisintersetoriaisexpostoexposto nana tabelatabela abaixoabaixo.. Pergunta,Pergunta, qualqual oo crescimentocrescimento dede cadacada setorsetor ee dosdosinsumosinsumos parapara queque nãonão ocorraocorra pontoponto dede estrangulamento?estrangulamento?
Modelo de três setores para um economia fechada
Demanda IntermediáriaDemanda final VBP
Primário Secundário Terciário Subtotal
Primário 100 400 250 750 400 1150
Secundário 150 100 400 650 350 1000
Terciário 600 200 300 1100 500 1600
Total 850 700 950 2500 1250 3750
VAB 300 300 650 1250
VBP 1150 1000 1600 3750
ResoluçãoResolução
11°°passo acha a matriz dos coeficiente técnicos passo acha a matriz dos coeficiente técnicos ((Aij = Xij / Vj )
0,0870 0,4000 0,1563
A = 0,1304 0,1000 0,2500
05217 0,2000 0,1875
22°°passo solucionar a equação matricial, passo solucionar a equação matricial, V = (I – A)-1 Y, para encontra
a demanda intermediária e o VBP. Achar a matriz inversa (I – A)-1 , resolvendo;
(1 - 0,0870) - 0,4000 -0,1563
(I – A) = -0,1304 (1 - 0,1000) - 0,2500
-05217 -0,2000 (1 - 0,1875)
Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo
Resolvendo temos a seguinte matriz;Resolvendo temos a seguinte matriz;
0,91300,9130 - 0,4000 -0,1563
(I – A)= -0,1304 0,90000,9000 - 0,2500
-0,5217 -0,2000 0,81250,8125
PeloPelo teorema,teorema, temostemos;; (I – A)-1 = [Adjunta da matriz(I – A)] / [Determinante da Matriz (I–A)]
3°passo achar a matriz cofatora de (I – A) para encontrara matriz adjunta de (I – A), considerando que a matrizadjunta é igual a transposta da matriz cofatora.
0,6813 0,2364 0,4956
cofatora (I – A)= 0,3563 0,6603 0,3913
0,2407 0,2487 0,7695
A matriz adjunta é igual a transporta de matriz cofatora, A matriz adjunta é igual a transporta de matriz cofatora, então temos;então temos;
0,6813 0,3563 0,2407
adjunta (I – A)= 0,2364 0,6603 0,2487
0,4956 0,3913 0,7695
Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo
Agora encontrando o determinante da matriz Agora encontrando o determinante da matriz (I–A);
0,91300,9130 - 0,4000 -0,1563
Det. (I – A)= -0,1304 0,90000,9000 - 0,2500 = 0,4498
-0,5217 -0,2000 0,81250,8125
Dividindo todos os elementos da matriz adjunta Dividindo todos os elementos da matriz adjunta (I–A) pelo pelo determinantes de determinantes de (I– A).
0,6813
0,4498
0,3563
0,4498
0,2407
0,4498
Adj. (I – A) =
Det (I – A)
0,2364
0,4498
0,6603
0,4498
0,2487
0,4498
0,4956
0,4498
0,3913
0,4498
0,7695
0,4498
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4 passo resolvendo o teorema, 4 passo resolvendo o teorema, (I – A)-1 = [Adjunta da matriz (I – A)] / [Determinante da Matriz (I – A)], temos;
1,5147 0,7921 0,5351
(I – A)-1 = 0,5256 1,4680 0,5529
1,1018 0,8699 1,7108
Com isso, pode-se calcular os VBP´s, resolvendo a seguinte equação matricial; (I – A)-1 Y = V
1,5147 0,7921 0,5351 600 = V1
0,5256 1,4680 0,5529 . 560 = V2
1018 0,8699 1,7108 900 = V3
Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo
Pela resolução das equação matricial, o novos Pela resolução das equação matricial, o novos VBP de cada um do setores;VBP de cada um do setores;
VBP do PrimárioVBP do Primário
VV11== (1,5147*600) + (1,5147*600) + (0,7921*560) +(0,7921*560) + (0,5351*900) =(0,5351*900) = 1.8341.834
VBP do SecundárioVBP do Secundário
VV22== (0,5256*600) +(0,5256*600) + (1,4680*560) +(1,4680*560) + (0,5529*900) =(0,5529*900) = 1.6351.635
VBP do TerciárioVBP do Terciário
VV33== (1,1018*600) +(1,1018*600) + (0,8699*560) +(0,8699*560) + (1,7108*900) =(1,7108*900) = 2.6882.688
Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do ModeloConhecidoConhecido oo VBPVBP podepode sese determinardeterminar aa novanova estruturaestrutura dadamatrizmatriz insumoinsumo--produto,produto, atravésatravés dodo fórmulafórmula dodo coeficientecoeficiente
técnicostécnicos.. Aij = Xij / Vj => Xij = Aij . Vj
X11= 0,0870 * 1.834 =0,0870 * 1.834 = 160160
X21 = 0,1304 * 1.834 =0,1304 * 1.834 = 239239
X31 = 0,5217 * 1.834 =0,5217 * 1.834 = 957957
∑∑ XXi1 i1 = 1.3561.356
X12 = 0,4000 * 1.635 =0,4000 * 1.635 = 654654
X22 = 0,1000 * 1.635 =0,1000 * 1.635 = 164164
X32 = 0,2000 * 1.635 =0,2000 * 1.635 = 327327
∑∑ XXi2 i2 == 1.1451.145
X13 = 0,1563 * 2.688 =0,1563 * 2.688 = 420420
X23 = 0,2500 * 2.688 =0,2500 * 2.688 = 672672
X33 = 0,1875 * 2.688 =0,1875 * 2.688 = 504504
∑∑ XXi3 i3 == 1.5961.596
Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo
ComCom oo VBPVBP conhecidoconhecido ee aa novanova estruturaestruturaintersetorial,intersetorial, obtémobtém--sese facilmentefacilmente oo VAB,VAB, viaviaresidual,residual, dadodado queque;;
VAB do PrimárioVAB do Primário
VAVA11== VBPVBP1 1 -- ∑∑ XXi1i1 == 1.834 1.834 -- 1.356 =1.356 = 478478
VAB do SecundárioVAB do Secundário
VAVA22== VBPVBP2 2 -- ∑∑ XXi2 i2 == 1.635 1.635 -- 1.145 =1.145 = 490490
VAB do TerciárioVAB do Terciário
VAVA33== VBPVBP3 3 -- ∑∑ XXi3 i3 == 2.688 2.688 -- 1.596 =1.596 = 1.0921.092
AssimAssim aa novanova matrizmatriz ficafica dada seguinteseguinte formaforma;;
Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo
Projeções VBP, DI, VAB
Demanda IntermediáriaDemanda final VBP
Primário Secundário Terciário Subtotal
Primário 160 654 420 1234
600 1834
Secundário239 164 672 1075
560 1635
Terciário957 327 504 1788
900 2688
Total1356 1145 1596 4097
2060 6157
VAB478 490 1092 2060
VBP1834 1635 2688 6157
FimFim