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KatjaMaaB

Modellieren im Mathematikunterricht der Sekun­darstufe I

Zusammenfassung

In einer qualitativen Studie wurde untersucht, inwieweit die Schiilerbeliefs tiber Mathematik sowie die Kompetenzen im Anwenden von Mathematik durch einen Unterricht, der Realitiitsbeziige in­tegriert, verandert werden. Dazu wurden in den Unterricht zweier 8. Klassen tiber einen Zeitraum von 15 Monaten sechs Modellierungseinheiten integriert. Wahrend des gesamten Erhebungszeit­raums wurden die Beliefs und die Modellierungskompetenzen durch eine Vielzahl von Methoden erhoben. Der Aufsatz beschreibt den theoretischen Ansatz, seine unterrichtliche Umsetzung und den methodologischen Ansatz der Studie und stellt anschliel3end wesentliche Ergebnisse der Stu­die vor.

Abstract

This paper deals with an empirical study, which aims at showing in which way the pupils beliefs about mathematics and their modelling competencies are changed by modelling lessons. Therefore six modelling units were integrated into the maths lessons of two parallel classes of grade 8. Dur­ing the data collection period a variety of methods was used to collect the mathematical beliefs and the modelling competencies of the pupils. The paper explains the theoretical approach, the class­room settings and the methodological approach of the study and describes the main results of the study.

1 Einleitung

Die Integration von Realitlitsbezligen und Modellierungen wird in der didaktischen Dis­kussion seit lahrzehnten als eine M6glichkeit genannt, urn Lemenden u. a. Flihigkeiten im Anwenden von Mathematik und ein angemessenes Bild von der Relevanz von Ma­thematik fUr die Gesellschaft zu vermitteln (vgl. Kaiser-MeBmer 1986/1). Eine breite Implementation von Modellierungen in den Schulalltag hat jedoch bisher trotz langjahri­ger Diskussion nicht stattgefunden.

Ausgehend von den vorhandenen empirischen Untersuchungsergebnissen sowie dem aktuellen Stand der didaktischen Diskussion urn Realitlitsbezlige und Beliefs einerseits und den alarmierenden Ergebnissen der TIMS-Studie fUr Deutschland andererseits wur­de in einer empirischen Studie untersucht, welche Konsequenzen eine Integration von Modellierungsbeispielen in den Mathematikunterricht hat.

Der Fokus der Untersuchung lag dabei einerseits auf den Veranderungen von Schii­lerbeliefs durch Realitlitsbezlige und Modellierungen im Unterricht bzw. deren Auswir­kungen auf den Unterricht und andererseits auf der Entwicklung von Modellierungs­kompetenzen. Daraus ergaben sich folgende erkenntnisleitende Fragen:

1. Inwieweit verandem sich die mathematischen Beliefs der Lemenden durch Realitlitsbezlige und Modellierungen im Unterricht?

(JMD 26 (2005) H. 2, S. 114-142)

Modellieren im Mathematikunterricht 115

2. Inwieweit erlemen SchUlerinnen und Schuler der Klasse 8 durch einen ent­sprechend gestalteten Unterricht, selbststandig Modellierungsprozesse durch­zufuhren?

3. Welche Zusammenhange bestehen zwischen den Beliefs und den Modellie­rungskompetenzen?

2 Theoretischer Ansatz

2.1 Realitlitsbeziige

2.1.1 Begriffsdefinitionen

Die Begriffe "Anwendungen", "Realitatsbeziige", "Modellierungen" und "Mathematisie­rungen" werden in der Literatur unterschiedlich verwendet. In der Regel versteht man unter Anwendungen den Gebrauch von Mathematik zur Losung auBer- und auch inner­mathematischer Probleme oder Fragestellungen. Der Begriff "Realitatsbezuge" dagegen bezieht sich auf auBermathematische Beziige von Mathematik. Die Frage, wie das Ver­hiiltnis von Mathematik und Realitiit gesehen wird, eroffnet dabei ein breites Spektrum von Positionen.

Aufgrund der Vielzahl verschiedener Arten von Aufgaben, die unter dem Begriff "Realitatsbezuge" subsumiert werden, werden im Folgenden Klassifizierungen realitats­bezogener Aufgaben betrachtet.

Klassifizierungen dieser Aufgaben stellen eine sinnvolle Moglichkeit der Strukturie­rung dar. Derartige Klassifizierungen finden sich u. a. in Forster (1997, S. 137) und Gal­braith/Stillman (200 I, S. 30 I). Das Spektrum der Klassifizierungen reicht von einer Ordnung nach der Nutzlichkeit und Relevanz des Sachkontextes fur das Leben der Ler­nenden (Burkhardt 1989, S. 5, bzw. 1979) bis zu einer Ordnung nach den Bearbeitungs­hilfen, die in den Aufgabenstellungen zur Modellierung gegeben sind (Galbraith 1995, S. 23).

Eine Klassifizierung, die verschiedene Aspekte, wie z. B. die Authentizitat des Sach­kontextes, die in den Aufgaben gestellten Anforderungen und die didaktische Zielset­zung berucksichtigt, nimmt Kaiser (1995, S. 67) vor. Sie unterscheidet Einkleidungen mathematischer Probleme in die Sprache des Alltags, Veranschaulichungen mathemati­scher Begriffe (z. B. die Verwendung von Temperaturen bei der Einfuhrung negativer Zahlen), Anwendungen mathematischer Standardverfahren (Anwendung wohlbekannter Algorithmen zur Losung realer Probleme) und Modellbildungen, d.h. komplexe Prob­lemloseprozesse.

Der Fokus dieser Studie liegt auf den Modellierungen, weil ihre Integration in den Schulalltag im Hinblick auf die Ziele (vgl. 2.1.2), die mit der Behandlung realitatsbezo­gener Aufgaben verfolgt werden, notig erscheint und sie bisher im Schulalltag kaum be­rucksichtigt werden.

In der mathematikdidaktischen Diskussion gibt es eine Vielzahl von unterschiedli­chen Auffassungen uber Modellierungsprozesse. Grundsatzlich konnen diese Auffassun­gen im Anschluss an Kaiser-MeBmer (1986/1, S. 83 ff.) daran unterschieden werden, welche Bedeutung sie der Mathematik und den auBermathematischen Problemen zuord­nen.

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Fur De Lange (1989, S. 101) steht das Mathematisieren auBer- und innermathemati­scher Kontexte und dadurch das Entdecken mathematischer Begriffe im Vordergrund. Ein Ruckbezug auf die so genannte reale Welt erfolgt zwar, spielt aber eine untergeord­nete Rolle.

" ... the real-world situation or problem is explored intuitively, for the purpose of mathematising it. This means organising and structuring the problem, trying to identify the mathematical aspects of the problem, and discovering regularities and relations. The initial exploration, with a strong intuitive component, should lead to the development, discovery or (re)invention of mathematical concepts." (De Lange, 1993, S. 5)

Auch in anderen Positionen wird die Mathematik in das Zentrum der Uberlegungen gestellt (Lamon 1997, S. 35, Matos 1998, S. 21 f., Klaoudatosl Papastravridis 2001, S. 327 ff.).

Galbraith (1995, S. 30) stellt im Gegensatz zu de Lange nicht das Mathematisieren in den Vordergrund, sondem siehtjeden Schritt zur Lasung eines realen Problems inklusive dem Ruckbezug auf das ursprungliche Problem als bedeutsam an. Einen zentralen Stel­lenwert im Rahmen der didaktischen Diskussion nimmt die Position von Blum (1985, S. 200 bzw. 1996, S. 18) ein, der ebenfalls den gesamten Modellierungsprozess als wesent­lich ansieht.

Ausgangspunkt des Modellierens ist dabei eine Situation in der Realitat, die meistens aufgrund ihrer KomplexiHit vereinfacht, idealisiert und strukturiert werden muss. Da­durch entsteht das "Realmodell", dessen Mathematisierung zum "mathematischen Mo­dell" fuhrt. Seine Bearbeitung durch heuristische Strategien und mathematische Kennt­nisse fuhrt zu mathematischen Resultaten. Diese mussen im Hinblick auf die Realsituati­on interpretiert werden. 1m Anschluss daran muss das gesamte Vorgehen und die Lasung u. a. durch Hinzuziehen von geeigneten Vergleichswerten validiert werden. Erweist sich die gefundene L6sung oder das gewahlte Vorgehen als der Realitat nicht angemessen, so mussen einzelne Schritte oder auch der gesamte Modellierungsprozess emeut durch­gefuhrt werden (vgl. Abbildung 1 weiter unten). Ahnliche Vorstellungen uber Modellie­rungsprozesse finden sich auch auBerhalb der mathematikdidaktischen Diskussion in der angewandten Mathematik (Sonar 2001, S. 21 ff.).

Die Autorin schlieBt sich im Wesentlichen der von Blum vertretenen Auffassung yom Modellierungsprozess an. Die damit vorgenommene Abgrenzung von der Auffas­sung de Langes resultiert u. a. aus der Zielsetzung dieser Studie, zu untersuchen, inwie­weit sich durch einen Unterricht, der Modellierungen integriert, die verbreitete Sichtwei­se, dass Mathematik realitatsfem ist, verandem lasst. Dafur ist es natig, eine reale Aus­gangssituation zu betrachten und ihr einen entsprechenden Stellenwert zu verleihen.

Ebenso wie die Auffassungen uber den Modellierungsprozess divergieren auch die Meinungen uber die Relevanz des Sachkontextes. Wahrend de Lange, Matos und Klau­datos/Papastravridis auch innermathematische Kontexte akzeptieren, betonen andere die Bedeutung von realistischen, authentischen Fragestellungen (vgl. u. a. Galbraith 1995, S. 39, Alsina, 1998, S. 4). Insbesondere Kaiser-MeBmer (1993, S. 216) fordert, dass eine graBere Anzahl von auBermathematischen Problemen authentisch sein sollte. Nur durch authentische Probleme kann ihrer Meinung nach den Lemenden die Relevanz von Ma­thematik verdeutlicht werden. Unter einer authentischen Situation versteht sie eine au­Bermathematische Situation, die in ein bestimmtes Gebiet eingebettet ist und sich mit Phanomenen und Fragen beschaftigt, die fur dieses Gebiet bedeutsam sind und von den entsprechenden Fachleuten auch als solche erkannt werden.

Modellieren im Mathematikunterricht 117

In der vorliegenden Studie wird der Realitiitsniihe von Modellierungsbeispielen im Hinbliek auf die we iter unten formulierten Ziele von Realitiitsbeziigen (vgl. Absehnitt 2.3) ein hoher Stellenwert zugeordnet. Daher ist es m. E. sinnvoll, authentisehe auBerma­thematisehe Probleme gemiiB der Auffassung von Kaiser-MeBmer zu betraehten. Dabei gilt in dieser Studie aueh der Alltag als "Gebiet" und hier die Mensehen, die in ihm le­ben, als "Faehleute". Eine Situation wird aueh als authentiseh angesehen, wenn sie im Unterrieht nur simuliert wird. Oiese Definition erseheint sinnvoll, weil so einerseits be­rUeksiehtigt wird, dass jede Unterriehtssituation per se kiinstlieh ist und in der Sehule selten Gelegenheit besteht, tatsiiehlieh von Faehleuten eingeforderte Auftriige zu bear­beiten, und andererseits dennoeh relevante, nieht kiinstliehe Fragestellungen hervorge­hoben werden.

lnsgesamt resultiert aus den vorangegangenen Erliiuterungen folgende Siehtweise von Modellierungen, die die Grundlage fur die Auswahl und Konstruktion der Unter­riehtseinheiten bildet (vgl. Kapitel 3): Modellierungsprobleme sind komplexe, offene, realitiitsbezogene und authentisehe Problemstellungen, zu deren L6sung problem16sen­des, divergentes Denken erforderlieh ist. Dabei k6nnen sowohl bekannte mathematisehe Verfahren und Inhalte verwendet werden als aueh neue mathematisehe Erkenntnisse ent­deekt werden. Die Saehkontexte miisscn adressatengereeht ausgewiihlt werden.

Oer Prozess beim L6sen von Modcllierungsaufgaben kann naeh Auffassung der Au­torin in Anlehnung an Blum (1996, S. 18) wie folgt sehematiseh dargestellt werden:

Real~ "lltdICrcn i

~ lnterp:retiertc

Losung

REAUTAT

lllJllll'nntl,->icn:n Mathematisches

Modell

1 ","d"",,"

+-\--____ -+ ___ Mathematische

Lasung Illtcrl'rdtcrcn

MATHEMATIK

Abb. I: Schematische Darstellung des Modellierungsprozesses

2.1.2 Zielsetzungen

Neben der untersehiedliehen Sehwerpunktsetzung in der Auffassung dessen, was unter Modellierungsprozessen bzw. Mathematisierungsprozessen zu verstehen ist, werden mit deren Einbezug in den Unterrieht aueh untersehiedliehe Ziele verfolgt. De Lange (1989, S. 197 bzw. 1989b, S. 100) sieht als Ziele von Anwendungsorientierung primiir die Ver­mittlung von beziehungshaltiger Mathematik und die F6rderung des Verstiindnisses ma­thematiseher Begriffe und Methoden.

Demgegenliber zeigen Galbraith (1995, S. 22), Kaiser (1995, S. 69), BlumINiss (1991, S. 42) bzw. Blum (1996, S. 21 f.) eine breitere Sieht von Argumenten flir Reali­tiitsbezlige im Mathematikunterrieht. Wesentliehe Zielsetzungen sind dabei die Vermitt­lung der Fiihigkeit zur Umweltbewiiltigung, die Vermittlung von Problemlosefahigkeiten

118 Katja Maar.,

sowie eines angemessenen Bildes von Mathematik und die lempsychologische Unter­smtzung mathematischen Lemens.

1m Rahmen dieser Studie wird ebenso wie bei Blum, Kaiser sowie Galbraith und in emeuter Abgrenzung von De Lange (1989) die Auffassung vertreten, dass durch die In­tegration von Realitatsbeziigen in den Mathematikunterricht die Realisierung einer Viel­zahl von Zielen angestrebt werden soIl:

1. Methodologische Ziele: ModeIlierungen und Realitatsbeziige soIlen den Schu­lerinnen und Schiilem Kompetenzen zum Anwenden von Mathematik in einfa­chen und komplexen unbekannten Situationen vermitteln.

2. Kulturbezogene Ziele: ModeIlierungen und Realitatsbeziige soIlen den Schule­rinnen und Schiilem ein ausgewogenes Bild von Mathematik als Wissenschaft und ihrer Bedeutung fUr unsere Kultur und GeseIlschaft vermitte1n.

3. Pragmatische Ziele: Realitatsbeziige im Mathematikunterricht soIlen den Schiilerinnen und Schiilem helfen, aus dem Unterricht bekannte Umweltsitua­tionen zu verstehen und zu bewaltigen.

4. Lernpsychologische Ziele: Realitatsnahe ModeIlierungsbeispiele soIlen den Schiilerinnen und Schulem helfen, eine aufgeschlossene EinsteIlung gegenuber dem Mathematikunterricht zu entwicke1n und das Behalten und Verstehen von mathematischen Inhalten untersmtzen.

5. Piidagogische Ziele: Realitatsnahe ModeIlierungen im Mathematikunterricht soIlen heuristische Strategien, Problem16se- und ArgumentationsHihigkeiten sowie kreatives Verhalten ausbilden und fordem.

Dabei sind m. E. die Vermittlung von ModeIlierungskompetenzen sowie die Vermitt­lung eines angemessenen Bildes von Mathematik besonders bedeutsam, da diesen beiden Aspekten im Alltag eines "mundigen Burgers" eine groBe Relevanz zukommt.

2.1.3 Stellenwert von Modellierungen

In engem Zusammenhang mit der Forderung nach Realitatsbeziigen und ModeIlierungen steht die Frage, welchen SteIlenwert diese im Unterricht einnehmen sollen. Grundsatz­lich gilt es zu klaren, ob die Orientierung an der Fachsystematik oder die Orientierung an den Sachkontexten im Vordergrund steht. In der didaktischen Diskussion scheint weit­gehend Konsens dariiber zu bestehen, dass beide Aspekte beriicksichtigt werden mussen.

Kaiser-MeBmer (1993, S. 215) fordert basierend aufUnterrichtsbeobachtungen eine Balance zwischen der Orientierung an der Mathematik und an den Sachkontexten.

Auch Winter (1995, S. 37) betont durch die Angabe von drei Grunderfahrungen ne­ben der Bedeutung von Anwendungen auch die Wichtigkeit der Fachsystematik. Blum (1996, S. 23) unterstreicht, dass eine Dberbetonung der Anwendungen falsch ware:

"Namrlich sind Anwendungsbeziige nur eine Komponente im komplexen Feld des Lehrens und Lemens von Mathematik. Wenn man diese Komponente zu sehr betont, entsteht, - ebenso wie bei ihrer Vemachlassigung - ein reduktionistisches Mathematik­bild. Ziel ist [ ... ] eine ausgewogene Beriicksichtigung verschiedener Komponenten."

1m Anschluss an Blum, Kaiser und Winter sollen realitatsbezogene Modellierungen m. E. einen hohen SteIlenwert im Mathematikunterricht einnehmen, was aber nicht dazu fUhren darf, dass eine Orientierung an Mathematik als Wissenschaft v611ig aufgegeben wird. Diese Auffassung begriindet sich in der oben formulierten Zielsetzung, ein ange­messenes Bild von Mathematik als Wissenschaft vermitteln zu wollen.

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2.1.4 Modellierungen im Schulalltag

Trotz der intensiven didaktischen Diskussion urn Realitatsbezuge sowie der Entwicklung zahlreicher Modellierungsbeispiele spielen Modellierungen in der alltaglichen Unter­richtspraxis weitgehend eine geringe Rolle, was auch in der Literatur seit Jahren kriti­siert wird (vgl. u. a. Schupp 1989, S. 44, Blum 1995, S. 9). Lediglich eingekleidete Auf­gaben finden im Schulalltag haufiger Berucksichtigung (Blum 1996, S. 29).

Die Grunde, die der breiten Integration von Modellierungsbeispielen im Schulalltag entgegenstehen sind vielfaltig (vgl. insbesondere Blum 1996, S. 29, aber auch Abrantes 1993b, S. 363, Schupp 1997. S. 7). Dazu gehoren organisatorische Hindernisse (Unter­richtszeit, 45-Minuten-Rhythmus, Lehrplane), schUlerbezogene Hindernisse (Unterricht wird durch Modellierungsbeispiele anspruchsvoller und weniger kalkulierbar), lehrerbe­zogene Hindernisse (hOhere Zeiterfordemis, Lehren wird anspruchsvoller und schwerer kalkulierbar, Lehrende sehen Modellierungen nicht als Mathematik an, die Lehrenden sehen sich als nicht kompetent bzgl. des Sachkontextes an, Leistungsmessung erscheint komplexer) und materialbezogene Hindernisse (Lehrer kennen die Textquellen nicht 0-

der such en sehr detailliert autbereitete Materialien). Der geringe Stellenwert, den Modellierungen im Schulalltag einnehmen, stellt eine

wesentliche Begrundung fur die Durchfuhrung der vorliegenden Studie dar. 1m Zentrum des Interesses stehen dabei die Leistungen und die Beliefs der SchUlerinnen und SchUler und damit auch schUlerbezogene Barrieren, liber die es bisher kaum empirische Untersu­chungen gibt.

2.1.5 Modellierungskompetenzen

In der aktuellen didaktischen Diskussion urn Realitatsbezlige stehen derzeitig auch die Modellierungskompetenzen im Zentrum des Interesses. Grundsatzlich stellt die Unter­scheidung zwischen Modellierungskompetenzen und Modellierungsfahigkeiten einen neuen Trend in der Diskussion urn Realitatsbezuge dar. 1m Discussion Document zur ICMI Study 14 (Blum et al. 2002, S. 271) werden folgende Fragen gestellt:

"Are modelling ability and modelling competency different concepts? Can specific subskills and subcompetencies of "modelling competence" be identified? (Blum et al. 2002, S. 271)

Diese Fragen wei sen darauf hin, dass es in der mathematikdidaktischen Diskussion keine umfassende Definition von Modellierungskompetenzen bzw. -fahigkeiten gibt.

Zur begrifflichen Prazisierung wird zunachst auf Kompetenzen im Allgemeinen ein­gegangen: Die Definitionen fur Kompetenzen sind vielfaltig und unterscheiden sich zum Teil erheblich (vgl. u. a. Bohm 2000, S. 309, Jager 2001, S. 160, Jank/Meyer 1994, S. 44, Baumert et al. 2001, S. 141). Bedeutsam fur die vorliegende Studie erscheint die fol­gende Definition aus dem Bereich der Padagogik:

"Kompetenz bezeichnet die Fahigkeit einer Person, auf der Grundlage gesicherter Erkenntnisse [ ... ] die sachliche Richtigkeit bzw. Angemessenheit von Aussagen und Auftragen personlich nachzuprufen, zu beurteilen und in gesellschaftlicher Verantwor­tung in Handlungen umzusetzen, [ ... ]." (Frey 1999, S. 109, zit. n. Jager 2001, S. 162)

Kompetenzen umfassen hiemach Fahigkeiten und die Bereitschaft, diese Fahigkeiten in Handlungen umzusetzen. Ahnliche Sichtweisen werden auch in der mathematikdidak­tischen Diskussion urn Modellierungen vertreten.

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"Research has shown that knowledge alone is not sufficient for successful modelling: the student must also choose to use that knowledge, and to monitor the process being made." (Tanner/Jones 1995, S. 63)

Die Aussage impliziert, dass Modellierungskompetenzen aus Modellierungsfahigkei­ten und der Disposition, sie zu nutzen, bestehen. Doch was konkret sind Modellierungs­fahigkeiten bzw. -kompetenzen?

In Anlehnung an den u. a. von Blum dargestellten Kreislaufprozess (vgl. Abschnitt 2.1.1) und bestehende Modelle zum ProblemlOseprozess prazisieren BlumIKaiser das Konstrukt "mathematische Anwendungsfahigkeiten"l u. a. durch folgenden Teilfahigkei­ten (BlumIKaiser 1997, vgl. MaaB 2004, S. 32 f.):

1. Fahigkeiten zum Verstandnis eines realen Problems und zum Aufstellen eines realen Modells

2. Fahigkeiten zum Aufstellen eines mathematischen Modells aus einem realen Modell

3. Fahigkeiten zur Lasung mathematischer Fragestellungen innerhalb eines ma­thematischen Modells

4. Fiihigkeit zur Interpretation mathematischer Resultate in einem realen Modell bzw. einer realen Situation

5. Fahigkeiten zur Infragestellung der Lasung und ggf. emeuten DurchfUhrung ei­nes Modellierungsprozesses.

Eine iihnliche Aufiistung der Modellierungsfahigkeiten gibt Protke (2000, S. 34) an. Haufig wird in der Literatur die Auffassung dariiber, was unter Modellierungs­kompetenzen zu verstehen ist, nicht durch eine explizite Angabe von Teilkompetenzen, sondem vielmehr durch die Angabe von Analyseschemata zur Bewertung von Schiiler­leistungen verdeutlicht. Beispiele fUr solche Schemata hefem u. a. Money/Stephens (1993, S. 328), Haines/Izard (1995, S. 138) und Ikeda/Stephens (1998, S. 227).

1m Zusammenhang mit Handlungskompetenz wird in der didaktischen Diskussion zunehmend die Notwendigkeit der Entwicklung von Metakognition diskutiert (Sjuts 2003, Baumert et aI., 2001, Schoenfeld 1992). Der Begriff "Metakognition" wird in der Literatur nicht einheitlich definiert.

Von zentraler Bedeutung fUr die Mathematikdidaktik ist die Position von Sjuts (2003, S. 18). Er versteht unter Metakognition das Denken tiber das eigene Denken so­wie die Steuerung des eigenen Denkens. Er unterscheidet drei Komponenten von Meta­kognitionen: Deklarative Metakognition (Wissen eines Menschen tiber kognitive Gege­benheiten, z. B. diagnostisches Wissen tiber das eigene Denken, das bewertende Wissen tiber Aufgaben sowie das strategische Wissen tiber Lasungswege), prozedurale Meta­kognition (Tatigkeiten des Planens, Uberwachens und Priifens) und motivationale Meta­kognition (Motivation zum Einsatz von Metakognition).

1m Rahmen der PISA-Studie wird der Begriff des selbstregulierten Lemens verwen­det (Baumert et aI., 2001, S. 271 ff.). Darunter wird die Handlungskompetenz der Ler­nenden verstanden, sich selbststandig Lemziele zu setzen, dem Inhalt und dem Ziel an­gemessene Techniken auszuwahlen und gegebenenfalls zu korrigieren sowie das eigene Vorgehen zu bewerten.

In der Quelle wird noeh nieht zwischen Kompetenzen und Fiihigkeiten untersehieden. GemiiB der obigen Definition kann die Liste der TeiWihigkeiten aber direkt auf Modellierungskompe­tenzen iibertragen werden.

Modellieren im Mathematikunterricht 121

Empirische Studien (vgl. Sjuts 2003, S. 26, Schoenfeld 1992, S. 355 ff.) verweisen auf die Bedeutung der Metakognition beim Lasen von Problemen bzw. komplexen Auf­gabenstellungen, und die Entwicklung der Fahigkeit zum selbstregulierten Lemen wird als Hauptaufgabe institutioneller Bildungsprozesse angesehen (Baumert et ai., 200 I, S. 28). Metakognition gilt als "Protokompetenz", die Bedingung fur eine Reihe von Schliis­selkompetenzen wie z. B. dem selbststandigen Umgang mit Problemen und dem Selbst­lemen ist (Sjuts 2003, S. 20).

In dieser Studie wird gema/3 den aktuellen Trends in der mathematikdidaktischen Forschung der Begriff Modellierungskompetenzen in Abgrenzung von Modellierungsfa­higkeiten verwendet. Basierend auf den der Literatur entnommenen Definitionen von "Kompetenzen" soli folgende Auffassung von Modellierungskompetenzen gelten:

Modellierungskompetenzen umfassen die Fahigkeiten und Fertigkeiten, Modellie­rungsprozesse zielgerichtet und angemessen durchfuhren zu kannen sowie die Bereit­schaft, diese Fahigkeiten und Fertigkeiten in Handlungen umzusetzen.

Aufgrund der Anlehnung an den von Blum dargestellten Modellierungsprozess er­scheint es angemessen, auch die von Blum/Kaiser (1997, S. 9 ff.) aufgestellte Liste der Teilfahigkeiten bzw. -kompetenzen zu verwenden. Gema/3 der aktuellen Diskussion wird der Entwicklung von Metakognitionen im Allgemeinen sowie von metakognitiven Modellierungskompetenzen im Unterricht eine hohe Bedeutung zugeordnet. 1m An­schluss an Sjuts (2003) bezeichnet Metakognition im Foigenden das Denken tiber das ei­gene Denken sowie die Steuerung der eigenen Denkprozesse.

2.2 Mathematische Beliefs

2.2.1 Begriffsdefinitionen

Mathematische Beliefs eines Schtilers werden als ein Filter gesehen, "der fast aile seine Gedanken und Tatigkeiten modifiziert" (Pehkonen 1993, S. 306). Leider gibt es jedoch kein einheitliches Begriffsverstandnis tiber Beliefs (PehkonenlTomer 1996, S. WI, Op't Enyde, de Corte, Verschaffel 2002, S. 13). Dariiber hinaus wird eine Vielzahl unter­schiedlicher Begrifflichkeiten verwendet. Trotz der unterschiedlichen Definitionen hat sich jedoch in der intemationalen Diskussion der Begriff "Belief' herauskristallisiert, der aus der Kognitionspsychologie stammt (Hart 1989, S. 41).

Eine gro/3e Bedeutung im Rahmen der vielfaltigen Definitionen von Beliefs nimmt der Begriff der "Einstellung" ein, der im Folgenden kurz betrachtet werden soil.

Auch fUr den aus der Sozialpsychologie stammenden Begriff der "Einstellung" (Hart 1989, S. 41) gibt es eine Vielzahl von unterschiedlichen Definitionen (Grigutsch 1996, S. 5, Grigutsch/Raatz/Tomer 1998, S. 5, Martino/Zan 2001, S. 18). Insgesamt stimmen die meisten dieser Definitionen darin tiberein, dass sie eine Einstellung als eine Bereit­schaft zur Reaktion auf ein Objekt sehen und dass eine Einstellung durch Konsistenz der Reaktionen gekennzeichnet ist (GrigutschlRaatz/Tomer 1998, S. 5).

Der sog. Drei-Komponenten-Ansatz genoss tiber langere Zeit eine gro/3e Popularitat (Grigutsch 1996, S. 6) und wird auch als Grundlage fur weitere Begriffsdefinitionen ge­sehcn (Tomer 2002, S. 107):

• Die kognitive Komponente bezieht sich auf die Vorstellungen tiber das betref­fende Objekt und kann auch als subjektives Wissen bezeichnet werden. Die affektive Komponente umfasst die emotionale Bindung zwischen Subjekt und Objekt.

122 Katja Maa~

• Die handlungsrelevante (konative) Komponente der Einstellung bezieht sich auf die Handlungsbereitschaft, die das entsprechende Objekt beim Individuum her­vorruft.

Grundsatzlich unterscheiden sich die zahlreichen Positionen im deutschsprachigen Raum darin, welchen Stellenwert sie jeweils kognitiven, affektiven, handlungsrelevanten und weiteren Aspekten von Beliefs zuordnen. Haufig werden Beliefs als Einstellungs­strukturen verstanden und ihnen somit kognitive, affektive und konative Komponenten zugeordnet (vgl. Tomer 2002, S. 107, GrigutschIRaatziTomer 1998, S. 10, Grigutsch 1996, S. 16). 1m Gegensatz dazu finden bei Tietze (2002) affektive Komponenten kaum Berucksichtigung. Er verwendet den Begriff "subjektive Theorie". Berger (2000, S. 101) und Gellert (1998, S. 61 ff.) betonen in ihren Definitionen des Untersuchungsgegenstan­des eine soziokulturelle Komponente. In jtingster Zeit wird in den fur den deutschspra­chigen Raum als zentral anzusehenden Arbeiten der Gruppe urn Tomer (2002, S. 108) von der Existenz kognitiver und affektiver Komponenten ausgegangen. Eine Handlungs­relevanz wird in neuerer Zeit nicht vorausgesetzt.

In Anlehnung an die Arbeiten der Gruppe urn Tomer wird im Folgenden ebenfalls der Begriff "Belief" verwendet. Daruber hinaus wurde im Rahmen der Studie im An­schluss an PehkoneniTomer (1996, S. 6) die folgende Definition vorgenommen: Beliefs setzen sich aus relativ tiberdauemdem subjektivem Wissen von bestimmten Objekten oder Angelegenheiten sowie damit verbundenen Emotionen und Haltungen zusammen. Alle Beliefs tiber Mathematik, den Mathematikunterricht und das Lemen von Mathema­tik bilden zusammen das mathematische Weltbild. Weiter geht die Autorin davon aus, dass Beliefs bewusst oder unbewusst sein konnen und bei unbewussten Beliefs haufig die affektiven Komponenten im Vordergrund stehen. In Anlehnung an den von Tomer (2002, S. 108) dargestellten aktuellen Forschungsstand wird auBerdem der konative (handlungsrelevante) Einfluss der Beliefs nicht zwingend vorausgesetzt, sondem als eine "interessante Forschungsfrage" betrachtet. Die Frage, inwieweit Beliefs auch soziokultu­relle Komponenten enthalten, ist fur die vorliegende Studie nicht relevant, da die sozio­kulturellen Gegebenheiten fur die Untersuchten ahnlich waren.

2.2.2 Kategorien mathematischer Weltbilder

Eine fur die vorliegende Studie bedeutsame Kategorisierung von mathematischen Be­liefs wurde von Grigutsch (1996) bzw. GrigutschIRaatziTomer (1998) vorgenommen. Grigutsch unterscheidet folgende Aspekte mathematischer Weltbilder:

2

• Schemaaspekr: Mathematik wird als eine Sammlung von Rechenverfahren und -regeln verstanden, die genau angeben, wie man Aufgaben lost.

• Prozessaspekt: Mathematik wird als Prozess aufgefasst. Urn ein Problem zu 10-sen, muss man nachdenken, Zusammenhange verstehen und nach Losungswe­gen suchen.

• Formalismusaspekt: Wesentliche Merkmale der Mathematik sind Strenge, Ex­aktheit, Eindeutigkeit und Logik.

• Anwendungsaspekt: Mathematik hilft, alltagliche Aufgaben und Probleme zu lOsen und hat einen allgemeinen, grundsatzlichen Nutzen fi.ir die Gesellschaft.

Grigutsch (1995 S. 198) unterscheidet dabei zwischen Schemaorientierung und rigider Sche­maorientierung. Auf diese detaillierte Unterscheidung wird hier verzichtet, da diese beiden 0-rientierungen in der Praxis insbesondere bei Kindem schwer unterscheidbar sind.

Modellieren im Mathematikunterricht 123

GrigutschiRaatz/Tomer (1998, S. 22) betonen, dass sich das mathematisches Welt­bild nicht auf diese vier Aspekte reduzieren Hisst, vielmehr handelt es sich urn eine kom­plexe, hoch differenzierte Struktur. Die Aspekte dienen also nur der Strukturierung eines sehr komplexen Phanomens.

3 Unterrichtliche Umsetzung des theoretischen An­satzes

3.1 Kriterien fUr die unterrichtliche Umsetzung

Realistische bzw. realitatsnahe Modellierungen mussen gemaB dem in Abschnitt 2.1.3 formulierten theoretischen Ansatz der Studie einen wesentlichen Anteil am Mathematik­unterricht haben. Urn diesen grundlegenden Gedanken im Unterricht umzusetzen, muss­ten bei der Konstruktion des Unterrichts und der Modellierungsbeispiele verschiedene auf dem theoretischen Ansatz basierende Kriterien beachtet werden. Dariiber hinaus wa­ren institutionelle Rahmenbedingungen zu beachten.

3.1.1 Rahmenbedingungen

Als Lemgruppen wurden zwei Parallelklassen ausgewahlt, die sich zu Beginn der Studie im 7. Schuljahr befanden. Der Unterricht dieser Klassen war wie ublich in jeweils 45-minutige Unterrichtsstunden aufgeteilt. Zeitlich begrenzte Klassenarbeiten mussten zur Leistungsmessung im vorgegebenen Umfang durchgefUhrt werden. AuBerdem mussten sich die Modellierungsbeispiele narurlich aus schulorganisatorischen Grunden in den fUr Klasse 7 bzw. Klasse 8 geltenden Lehrplan fUr Baden-Wurttemberg einfUgen.

Urn einerseits trotz der Integration von Modellierungsbeispielen in den "normalen Mathematikunterricht" den Anforderungen des Lehrplans gerecht zu werden und ande­rerseits zu groBe Widerstande seitens der Lemenden sowie ihrer Eltem, die an traditio­nellen Mathematikunterricht gewohnt sind, zu vermeiden, wurde flir die Integration der Modellierungsbeispiele der von BlumlNiss (1991, S. 60) beschriebene "island approach" ausgewahlt. Gleichzeitig wurde dadurch der Sichtweise Rechnung getragen, dass Reali­tatsbeziige und Modellierungen nur eine Komponente im komplex en Feld des Lehrens und Lemens von Mathematik sind (vgl. Abschnitt 2.1.3).

3.1.2 Kriterien zur Entwicklung der Unterrichtseinheiten

Die Modellierungsbeispiele wurden so ausgewahlt, dass sie die Umsetzung der in Ab­schnitt 2.1.2 beschriebenen Ziele soweit wie moglich untersrutzten. Die uberwiegende Anzahl der auBermathematischen Probleme sollte authentisch sein, da nur so den Schiile­rinnen und Schiilem die Relevanz von Mathematik deutlich wird und nur so die ange­strebten Ziele fUr realitatsbezogenen Unterricht erreicht werden konnen.

Daruber hinaus sollten die Modellierungsbeispiele die Vermittlung verschiedener Aspekte des Wissens uber Modellierungsprozesse ermoglichen. Die Grundlage fUr die Vermittlung des Wissens tiber Modellierungsprozesse stellte die Kreislaufdarstellung des Modellierungsprozesses dar (vgl. Abschnitt 2.1.1). Da einige der verwendeten Begriffe fUr Jugendliche der Sekundarstufe I moglicherweise schwer oder gar nicht verstandlich sind, wurde die Darstellung diesbeziiglich vereinfacht: So wurde der Begriff "mathema­tisieren" durch "mathematisch darstellen", der Begriff "validieren" durch "bewerten" er-

124 Katja Maar.,

setzt und die Schritte "interpretieren" und "bewerten" anders als in Abbildung 1 nicht explizit getrennt.

3.1.3 Allgemeine Anmerkungen zur Gestaltung des Unterrichts

In Anlehnung an die Ergebnisse einiger empirischer Studien (vgl. u. a. Gal­braithiClathworthy 1990, S. 158, de Lange 1993, S. 5, S. 65, Ikeda/Stephens 2001, S. 381, Tanner/Jones 1995, S. 65) wurden die Unterrichtsmethoden so ausgewahlt, dass sie den Schiilerinnen und Schiilem ein weitgehend selbststandiges Arbeiten ermoglichten. Als eine adaquate Unterrichtsform unter den gegebenen schulischen Rahmenbedingun­gen sehe ich in diesem Zusammenhang Gruppenarbeit an, auf deren Vorteile neben den oben erwahnten Studien auch die didaktische Literatur verweist (vgl. u. a. Zech 1998, S. 358). Gruppenarbeitsphasen wechselten daher mit Plenumsphasen sowie Individualpha­sen abo In Plenumsphasen wurden im Hinblick auf das angestrebte selbststandige Arbei­ten der Lemenden in der Regel Schiilerdiskussionen unter weitgehender Zuruckhaltung der Lehrkraft durchgefiihrt.

SchlieBlich wurde bei der Durchfiihrung der Unterrichtseinheiten groBer Wert darauf gelegt, die Entwicklung von metakognitiven Modellierungskompetenzen zu fdrdem. Einen breiten Raum nahm die Vermittlung von deklarativem Wissen iiber Modellierungsprozesse ein. Daruber hinaus so11te auch die Entwicklung von prozeduralen und motivationalen Metakognitionen gefdrdert werden. Verschiedene Vorgehensweisen, Losungen, Vorste11ungen und Fehler der Lemenden wurden im Unterricht produktiv, sachlich und nicht wertend diskutiert. Die auf selbststandiges und entdeckendes Lemen zielende Konzeption des Unterrichts bot dazu vielfaltige Moglichkeiten. Weiter wurden die Lemenden vor a11em wahrend der Gruppenarbeitsphasen immer wieder aufgefordert, ihr Vorgehen insbesondere anhand der Kreislaufdarstellung zu iiberwachen und "Irrwege" bei der Prasentation ihrer Lasung darzustellen.

Unter Berucksichtigung des theoretischen Ansatzes und der genannten Rahmenbedingungen wurden 6 Modellierungseinheiten entwickelt, die sich unterschiedlichen Sachkontexten zuwendeten, zu deren Bearbeitung unterschiedliche mathematische Inhalte notig waren und die sehr unterschiedlich in ihrem Zeitbedarf (1-12 Unterrichtsstunden) waren. Die Modellierungseinheiten wendeten sich u. a. folgenden Problemfragen zu: Wie groB ist die Oberflache eines Porsche 911? Wie viele Menschen stecken in einem 25 km langen Stau? (Jahnke 1997, S. 70 ff.) Wie konnen die monatlichen Mobiltelefongebiihren verschiedener Anbieter in Abhiingigkeit yom Nutzungsverhalten iibersichtlich dargestellt werden? Inwieweit kann das in Stuttgart­Waldhausen3 benotigte Brauchwasser durch Sonnenko11ektoren auf den Dachem erwarmt werden?

1m Folgenden so11 exemplarisch die Unterrichtseinheit zur letzten Problemfrage dargestellt werden.

3 Der Name des Stadtteils wurde verandert, urn die Anonymitat der untersuchten Lemenden zu gewahrleisten.

Modellieren im Mathematikunterricht 125

3.2 Modellierungsbeispiel "Sonnenenergie"

3.2.1 Informationen zum Sachkontext

Die geringen Reserven der fossilen Energietrager lassen die Frage aufkommen, inwie­we it regenerative Energien fUr die Deckung des Energiebedarfs verwendet werden kon­nen. Angesichts der aktuellen Krisen im nahen Osten, der Bedrohung durch Fundamen­talisten und der zunehmenden Anschlage auf Olraffinerien und Olfelder in den Forder­landem wird diese Frage immer dringlicher. 1m Folgenden wird exemplarisch die Son­nenenergie und ihr moglicher Beitrag zur Bedarfsdeckung betrachtet. Die jahrliche globale Sonneneinstrahlung liegt in Deutschland zwischen 1000 bis 1200 kWh/me und ist damit groB genug, urn fUr die Energiegewinnung genutzt zu werden (Landesgewerbeamt 2000, S. 3). Allerdings ist die Sonneneinstrahlung nicht gleichmaBig auf das lahr verteilt.

Die Ausbeute eines Kollektors ist - neben der Kollektorart - abhangig yom Nei­gungswinkel und der Himmelsrichtung. Untersuchungen haben ergeben, dass optimale Bedingungen bei Stidausrichtung und 30° - 45° Dachneigung vorliegen (Landesgewer­beamt 1999, S. 4). Die GroBe des Speichers ist in Abhangigkeit von der Kollektorflache zu wahlen, als Richtlinie gilt, dass pro Quadratmeter Kollektorflache ein Warmespei­chervolumen von ca. 50 I benotigt wird (Landesgewerbeamt 1999, S. 9).

Derzeit treten bei der Brauchwassererwarmung durch Sonnenenergie noch Probleme auf, weil die m ark tiib Ii chen Warmespeicher sich nicht zur saisonalen Warmespeicherung (tiber den Winter) eignen. Dariiber hinaus reicht der auf den Dachem von Mehrfamilien­hausem verfugbare Platz oft nicht aus, urn Kollektoren fUr den gesamten Brauchwasser­bedarf im Sommer zu installieren. Beide Probleme sind zurzeit Gegenstand der For­schung. In einigen Neubauprojekten, in denen mehrere Wohnhauser mit Sonnenkollekto­ren ausgestattet und tiber ein Blockheizkraftwerk verbunden werden (z. B. in Friedrichs­hafen) ist es bereits gelungen, diese Hindemisse zu tiberwinden (Landesgewerbeamt 2000, S. 18, Landesgewerbeamt 1999, S. 18).

Der Beitrag von Sonnenenergie zur Bedarfsdeckung kann nicht nur anhand eines Hauses diskutiert werden. Urn Sonnenenergie in Zukunft sinnvoll einzusetzen, muss vielmehr untersucht werden, welches Potential Sonnenenergie - bei Weiterentwicklung entsprechender Technik - bietet. Urn diese Perspektiven aufzuzeigen, muss die Bedarfsdeckung einer ganzen Region untersucht werden (Blasing et al. 2000). Damit ergibt sich exemplarisch folgende Problemfrage: Inwieweit ist es moglich, das in Stuttgart- Waldhausen benOtigte Brauchwasser durch Sonnenkollektoren auf den Dachern zu erwarmen?

Das Sachproblem ist auBerordentlich komplex: Die GroBe der insgesamt geeigneten Dachflachen ist relativ schwer zu ermitteln, da die Dachformen unterschiedlich sind und Randbedingungen (Himmelsrichtung, Neigungswinkel, Gauben) die Nutzung einschran­ken, verschiedene Kollektoren liefem unterschiedliche Energieertrage, der Wasser­verbrauch in den Haushalten ist sehr unterschiedlich, aufgrund jahreszeitlicher Schwan­kungen der Sonneneinstrahlung ist die Energiegewinnung im Laufe eines lahres sehr un­terschiedlich und in der Regelliegen keine Transportsysteme zwischen den Hausem vor. Wie kann nun ein derartig komplexes Modellierungsproblem in den Mathematikunter­richt integriert werden?

126 Katja Maa~

3.2.2 Unterrichtliche Umsetzung

1m Folgenden wird der Verlauf einer Unterrichtseinheit beschrieben, die im April 2002 in einer 8. Klasse durchgeflihrt wurde und acht Unterrichtsstunden umfasste. Ais Einstieg wurde den Lemenden eine Graphik gezeigt, die uber die abnehmenden fossilen EnergievorriHe informierte. 1m sich anschlieBenden Gesprach stellten die Lemenden die Notwendigkeit der Verwendung von regenerativen Energieformen heraus. Danach wur­den die SchUlerinnen und SchUler uber die vom Verband Region Stuttgart in Auftrag ge­gebene Studie informiert und erhielten die Aufgabe, die oben genannte Problemfrage selbststandig zu modellieren.

1m Plenum wurde geklart, welche Informationen benotigt werden. Zu den genannten Themenbereichen wurden von den Lemenden Arbeitsgruppen gebildet, die die Informa­tionen flir die Klassen einholten und aufbereiteten:

1. Sonnenkollektoren: Anhand von Sachtexten, deren Vorauswahl angesichts der Komplexitat des Themas angezeigt erschien, informierten sich die Schulerin­nen und SchUler uber gangige Kollektorarten, ihre Ausrichtung auf dem Dach sowie die Leistung der Kollektoren.

2. Transport der Energie, Speichermoglichkeiten von Sonnenenergie: Auch hier­zu erhielten die Lemenden Sachtexte, die sie uber Pilotprojekte und die dabei entwickelten Moglichkeiten der Langzeitspeicherung und des Transportes in­formierten.

3. Warmwasserverbrauch und Energiebedarf: Der durchschnittliche Warmwas­serverbrauch pro Person wurde anhand von mitgebrachten Wasserabrechnun­gen berechnet. Die zur Berechnung des Gesamtverbrauches notige Einwohner­zahl von Waldhausen entnahmen die Lemenden dem bereitgestellten Statisti­schen Jahrbuch der Stadt Stuttgart (Landeshauptstadt Stuttgart, Statistisches Amt 1999). Zur Erwarmung von 1 m3 (von lOoe auf 60°C) wurde ein Ener­giebedarf von 58 kWh ermittelt (Neckarwerke Stuttgart, femmundliche Aus­kunft, 2002).

4. Gesamtgroj3e der Dachjlachen: Die SchUlerinnen und SchUler dieser Arbeits­gruppe sollten uberlegen, wie grundsatzlich verfahren werden konnte, da noch keine Daten uber Hauser vorlagen.

Die jeweiligen Ergebnisse der Gruppenarbeit wurden anschlieBend dem Rest der Klasse prasentiert. Danach wurde das weitere Vorgehen intensiv und kontrovers disku­tiert. Wahrend die einen der Auffassung waren, dass insbesondere die jahreszeitlichen Schwankungen unbedingt berucksichtigt werden mussen, wollten andere diese im Hin­blick auf die bereits laufenden Forschungsprojekte zu Langzeitspeichem vemachlassi­gen. Diese Meinung setzte sich schlieBlich durch.

Intensiv besprochen wurde auch das Vorgehen zur Ermittlung der Dachflachen. Da die von der. verantwortlichen Gruppe entwickelten Ideen zur Vermes sung ohne An­schauungsmoglichkeit nur bedingt verstandlich waren, warf ein SchUler die Idee auf, die Uberlegungen auBerhalb der Schule an einem konkreten Haus fortzusetzen. Ausgewahlt wurde ein Haus mit Satteldach. Es wurde von den SchUlerinnen und SchUlem eigenstan­dig und sehr lebhaft diskutiert, welche Moglichkeiten es zur Vermes sung gibt.

Modellieren im Mathematikunterricht 127

Abb. 2: Vereinfachte Skizze eines Hauses mit Satteldach

Insgesamt wurden von den Lemenden folgende Ideen entwickelt, wobei Gauben und ahnliches vemachlassigt wurden:

• Vermes sen der Strecken a und b mit Hilfe von ZollstOcken u. A. (vgl. Abb. 2) • Abschreiten der Strecken a und b und Multiplikation der Anzahl der Schritte mit

der Schrittlange • Abschatzen von h und s mit Hilfe der "Daumenregel": Die Hohe wird mit Hilfe

des Daumens angepeilt und durch Drehung des Daumes auf eine waagerechte, mess bare Strecke ilbertragen.

• Abschatzen von a mit Hilfe eines Geodreiecks. Schnell wurde dabei deutlich, dass sich die "Messwerte" der Lemenden flir s und h

erheblich unterschieden, wahrend die Messwerte flir a, b und a relativ gut ilbereinstimm­ten. Daraufhin kamen zwei Schiller auf die Idee, die vor dieser Unterrichtseinheit durch­genommenen Kongruenzsatze zur Ermittlung von s zu nutzen.

Nach diesen Oberlegungen zur Ermittlung der GroBe eines Daches wurde von den Lemenden eifrig diskutiert, wie zur Ermittlung der flir Sonnenkollektoren geeigneten Gesamtdachflache in Waldhausen vorzugehen sei. Dabei erorterten die Schtilerinnen und Schiller im Wesentlichen zwei Ideen: Einerseits kann bei jedem Dach iiberlegt werden, welcher Teil der Dachtliiche fUr die Montage geeignet ist. Andererseits kann vorab festgelegt werden, welcher Anteil der Dachflache flir Sonnenkollektoren als geeignet anzusehen ist. Eine Schillerin argumentierte, dass etwa bei der Halfte aller Hauser das Dach in Nord-Sild-Richtung ausgerichtet ist und davon etwa die Halfte der Dachflache flir Kollektoren verwendet werden kann, also v.. der Dachflache nutzbar ist. Der letzte Ansatz fand breite Zustimmung. Die Schillerinnen und Schiller erhielten also die Hausaufgabe, die GroBe von einigen Dachem mithilfe der erarbeiteten Verfahren zu berechnen. Diese Ergebnisse wurden im folgenden Unterricht zusammengetragen und zur Berechnung cines Durchschnittswertes und schlieBlich der Gesamtdachflache verwendet.

AnschlieBend mussten die bisher ermittelten Werte bzgl. der Leistung der Sonnenkollektoren, des Wasserverbrauches und des Energiebedarfs zum Erwarmen von Wasser sowie der GroBe der Gesamtdachflache zueinander in Beziehung gesetzt werden, urn zu beurteilen, ob auf den Dachem Waldhausens genug Energie zur Erwarmung des Brauchwassers erzeugt werden kann. In einem Plenumsgesprach wurden mit Blick auf die Ausgangsfrage nochmals aile durchgeflihrten Schritte, ihr Zweck und die Teilergebnisse genannt:

I. Energiegewinn durch Sonnenkollektoren: 400 kWh pro Jahr und Quadratmeter 2. Energietransport, Speichermogliehkeiten: Wurden vemachlassigt

128 Katja Maa~

3. Energiebedarfzum Erwarmen von 1 m3 Wasser: 58 kWh 4. Warmwasserbedarfin Waldhausen: 170.000 m3

5. Gesamtgrofie der nutzbaren Dachflache: 143.000 m2•

SchlieBlich erhielten wir als Ergebnis, dass etwa 10.000.000 kWh/a zum Erwarmen des Wassers benotigt werden und theoretisch etwa 57.000.000 kWh/a erzeugt werden konnen. Das klang zunachst sehr tiberzeugend. Doch welche Aussagekraft hat das Ergebnis wirklich?

1m Sinne eines kritischen Ruckblickes wurden noch einmal alle Einschrankungen, die wahrend des Modellierens vorgenommen wurden, betrachtet. Besonders schwer wog fur die SchUlerinnen und SchUler, dass die jahreszeitlichen Schwankungen nicht beruck­sichtigt wurden. Schnell war klar,dass eine derartig gute Energieversorgung im Winter nicht erreicht werden kann. War die Modellierung also sinnlos? Emeut gab es sehr ge­gensatzliche Auffassungen. SchlieBlich schalteten sich zwei SchUler ein, die sich in der arbeitsteiligen Gruppenarbeitsphase mit den Transportmoglichkeiten und den Langzeit­speichem beschaftigt hatten. Sie verwiesen auf die Bedeutung des Ergebnisses fur die Zukunft, da ja im Bereich der Langzeitspeicher intensiv geforscht wird. Somit konnte das errechnete Ergebnis bezogen auf die Problemfrage als geeignet betrachtet werden: Es hat zukunftsweisende Bedeutung.

4 Methodologischer Ansatz

4.1 Grundlagen des methodologischen Ansatzes

Ziel dieser Studie war eine Hypothesengenerierung tiber die Konsequenzen des Einbe­zugs von Modellierungen in den alltaglichen Unterricht. Da bislang nur wenige empi­risch abgesicherte Ergebnisse fiber den Untersuchungsgegenstand vorliegen, verortet sich die Studie in der qualitativen Forschung. Ein wesentliches Ziel qualitativer For­schung ist die Erklarung komplexer Zusammenhange in ihrem alltaglichen Kontext und nicht die Erklarung einzelner Beziehungen durch Isolierung (FlickIKardorff/Steinke 2002, S. 23). Es soIl weniger Bekanntes tiberpruft als Neues entdeckt werden:

"Qualitative methods can be used to explore substantive areas about which is little known or about which much is known to gain novel understandings. In addition, qualita­tive methods can be used to obtain the intricate details about phenomena such as fee­lings, thought processes, and emotions that are difficult to extract or learn about through more conventional research methods." (Strauss/Corbin 1998, S. 11)

Das Ziel, die Konsequenzen der Integration von modellierendem Unterricht im Schulalltag zu untersuchen, machte es erforderlich, Modellierungseinheiten tiber einen langeren Zeitraum und unter Wahrung einer moglichst narurlichen Unterrichtssituation in den Unterricht zu integrieren; Daher wurde die Rolle der Forscherin und der Unter­richtenden von derselben Person im Sinne der Aktionsforschung (vgl. etwa KrOlnrey 1998) tibemommen.

Wesentliches Charakteristikum fur die Auswahl der Erhebungs- und Auswertungs­methoden war das Prinzip der Offenheit (Strauss/Corbin 1998, S. 12): Da wenig fiber die Konsequenzen von modellierendem Unterricht bekannt ist, sollten nicht vorab Hypothe­sen an das Feld herangetragen, sondem vielmehr in Auseinandersetzung mit den Daten entwickelt und als Ergebnisse forml.l:liert werden.

Modellieren im Mathematikunterricht 129

Ziel der Auswertung war die Bildung von Typologien. Verfahren der Typenbildung, des Fallvergleichs und der Fallkontrastierung spielen eine bedeutende Rolle in der quali­tativen Forschung, wei I die komplexe Realitat dadurch reduziert und damit greifbar ge­macht wird (Kelle/Kluge 1999, S. 9). Urn begrtindete Typologien aufstellen zu konnen, sollte das Feld moglichst breit erfasst werden, so dass letztendlich die wahrend des ge­samten Erhebungszeitraums (15 Monate (04/01 - 07102)) erhobenen Daten von 35 (von insgesamt 42) Lemenden, deren Entwicklung im Hinb1ick auf die Forschungsfragen re­levant erschien, ausgewertet wurden.

4.2 Erhebungsmethoden

Urn der Komplexitat des Untersuchungsgegenstandes gerecht zu werden, wurde eine Vielzahl von Erhebungsmethoden ausgewahlt.

In Anlehnung an die Reisetagebticher von GalliniRuf (1993, S. 16) wurden die Ler­nenden wahrend der DurchfUhrung der Studie aufgefordert, eine Art Lemtagebuch zu fUhren. Der Fokus dieser Lemtagebticher lag allerdings anders als bei GalliniRuf nicht auf dem Erwerb von Fachkompetenz, sondem vielmehr auf Beliefsystemen tiber Ma­thematik. Die Lemtagebticher sicherten eine kontinuierliche Erhebung der Beliefs tiber Mathematik und ermoglichten somit Aussagen tiber deren Entwicklung. In Erganzung dazu wurden zur Erhebung des mathematischen Weltbildes zu Beginn und am Ende der Studie offene schriftliche Befragungen durchgefUhrt, die gezielt bedeutsam erscheinende Aspekte ansprachen.

AuBerdem wurden mit den Lemenden in der Mitte des Erhebungszeitraumes und am Ende Interviews durchgefUhrt. Zur Erhebung von Beliefs werden in der qualitativen For­schung primar Leitfaden-Interviews eingesetzt (Flick 2000, S. 94 ff.). Der Interviewende orientiert sich bei der DurchfUhrung des Interviews an einem Leitfaden, der zwar einen thematischen Rahmen vorgibt, aber offene Antworten zulasst. Da die Interviews von ei­ner Studentin durchgefuhrt wurden und anders als die schriftlichen Befragungen nicht direkt mit dem Unterricht in Zusammenhang standen, war damit zu rechnen, dass durch diese Erhebung weitere Erkenntnisse gewonnen werden konnten.

Auch fUr die Erhebung der Modellierungskompetenzen wurden verschiedenen Erhe­bungsmethoden eingesetzt. Dazu gehOrten Interviews, Concept Maps und ein Potential­test zur Erhebung der mathematischen Leistungsfahigkeit (BlumiKaiser/Burghes/Green 1994). Wesentliches Mittel zur Erhebung der Modellierungskompetenzen waren jedoch Tests und Klassenarbeiten wahrend des gesamten Erhebungszeitraums.

Diese Methoden der Leistungsmessung ermoglichten eine kontinuierliche Beobach­tung der Entwicklung von Modellierungskompetenzen. Dartiber hinaus war es hier mog­lich, Modellierungsaufgaben groBeren Umfangs zu stellen. Beispielsweise wurde die folgende Aufgabe in dem letzten Test der Studie bearbeitet:

Die wc/tweiten Erdgasreserven wurden 1993 etwa auf 141,8 Billionen Kubikmeter geschiitzt. Die jiihrliche Fordermenge betrug seitdem in etwa 2,5 Billionen Kubikmeter. Berechne modellhaji unter unterschiedlichen Annahmen, wann die Erdgasreserven auf gebraucht sein werden und sprich begrilndete Handlungsempfehlungen fur die Politiker aus. Erliiutere und begrilnde dein gesamtes Vorgehen ausfiihrlich.

130 Katja Maa~

4.3 Auswertungsmethoden

Eine sequentielle, interpretative Annaherung an die Daten erschien im Hinblick auf die Forschungsfragen und die angestrebte breite Erfassung des Feldes nicht adaquat. Vielmehr wurden zwei Auswertungsverfahren ausgewahlt, die dem jeweiligen Untersu­chungsgegenstand (Beliefs bzw. Modellierungskompetenzen) und der angestrebten Ty­pologiebildung angemessen erschienen:

Die Daten, die Auskunft uber die Beliefsysteme der Lemenden liefem sollten, wur­den mithilfe des theoretischen Kodierens ausgewertet (Flick 2000, S. 197 ff.). Beim the­oretischen Kodieren werden dem empirischen Material Kodes ~ also Begriffe ~ zuge­ordnet, die zunachst nahe am Text und spater zunehmend abstrakter formuliert sind. Wahrend des Kodierens werden standig Vergleiche zwischen Phanomenen, Fallen und Begriffen durchgefiihrt, urn ein tieferes Verstandnis uber den Sachverhalt zu erlangen. Entscheidend dabei ist, nicht auf der Ebene deskriptiver Fragen und Vergleiche zu ver­harren, sondem yom konkreten Fall zu abstrahieren. Die Sequentialitat des Textes wird aufgebrochen (Strauss/Corbin 1998, S. 73 ff.).

FUr die Rekonstruktion der Modellierungskompetenzen wurden die Tests und Klas­senarbeiten sowie die Interviews und Concept Maps der Lemenden nach der von Blum/Kaiser (1997) erstellten Auflistung detailliert analysiert. Fur jede Bearbeitung ei­ner Aufgabe wurde eine Beschreibung erstellt, die aufzeigte, in welchem Bereich Fehler auftraten. AnschlieBend wurden diese Beschreibungen vergleichend betrachtet, urn be­sondere Schwachen zu identifizieren und Aussagen uber die Entwicklung der Modellie­rungskompetenzen zu treffen. Die Aufmerksamkeit konzentrierte sich dabei auf die in der Definition der Modellierungskompetenzen beschriebenen Teilkompetenzen, die me­takognitiven Modellierungskompetenzen und auf weitere auffallige Aspekte wie z. B. die Abhangigkeit der Qualitat der Losung von der Komplexitat der Aufgabenstellung, einen moglichen Zusammenhang zum Sachkontext oder zur Einstellung der Lemenden.

Mit Hilfe der beiden Auswertungsverfahren wurde fiir aIle Schiilerinnen und SchUler ein detailliertes Profil hinsichtlich der Beliefs und der Modellierungskompetenzen er­stellt. SchlieBlich wurden in Anlehnung an die "Mehrfeldertafel" von Kelle/Kluge (1999, S. 79) mit Hilfe von Listen sowie Karten, auf denen die Charakteristika der jeweiligen FaIle notiert waren, fallvergieichende und faIlkontrastierende Ana1ysen durchgefiihrt. Die unterschied1iche Gruppierung der Jugendlichen in Abhiingigkeit von den Belief­systemen und ihrer Entwicklung im Verlauf der Studie, der Einstellung gegenuber den Modellierungsbeispielen, der Einstellung gegenuber dem Fach Mathematik sowie ihren Modellierungskompetenzen und ihren Schwachen fiihrte zur Bildung von zwei Typolo­gien (vgl. Abschnitt 5.1.2 und 5.2.2). Wesentliches Mittel zur Verdeutlichung der Er­gebnisse war die Konstruktion von Idealtypen im Sinne von Weber (1904) (vgl. Ger­hardt 1991, S. 437 f.), die durch die Idealisierung des tatsachlich Geschehenen einen theoretischen Charakter haben.

4.4 Geltungsbegriindung

Die Frage, inwieweit die Qualitat und die Gute qualitativer Forschung beurteilt werden kann, wird hiiufig gestellt (Steinke 2002, S. 319). Der Grund dafiir liegt insbesondere in den Schwierigkeiten, den Auswertungsprozess nachvollziehbar zu dokumentieren, da unmoglich aile wichtigen Textstellen angefiihrt werden k6nnen. Zur L6sung dieser Prob­lematik werden in der Literatur Kriterienkataloge aufgestellt (Flick 2000, S. 252 ff.,

Modellieren im Mathematikunterricht 131

Strauss/Corbin 1998, S. 269). Zu den dort genannten Kriterien geh6ren z. B. die inter­subjektive Naehvollziehbarkeit dureh eine ausfuhrliehe Dokumentation des Forsehungs­prozesses und die empirisehe Verankerung der Ergebnisse in den Daten. Da eine aus­fuhrliehe Dokumentation der Daten in diesem Aufsatz nieht geleistet werden kann, wird an dieser Stelle auf MaaB (2004, S. 180) verwiesen. 1m Foigenden werden jeweils ein­zelne, besonders deutliehe Textpassagen stellvertretend fur viele andere angegeben.

5 Ergebnisse der Studie

5.1 Beliefs fiber Mathematik

Die in diesem Kapitel vorgestellten Ergebnisse basieren auf der Auswertung der Lemta­gebtieher, der FragebOgen und der Interviews von 35 Lemenden mit Hilfe der in Ab­sehnitt 4.3 dargestellten Methoden.

5.1.1 Grundlegende Ergebnisse

Die Beliefs der Lemenden tiber Mathematik erwiesen sieh als vieWiltig. Es konnten so­wohl Beliefs rekonstruiert werden, die sieh auf Mathematik als Wissensehaft beziehen als aueh solche, die sieh im Wesentliehen auf den Mathematikunterrieht konzentrieren. 1m Verlauf der Auswertung zeigte sieh, dass eine Zuordnung der Beliefs aus der erstge­nannten Gruppe zu den von Grigutseh (vgl. Absehnitt 2.2.2) besehriebenen Kategorien sinnvoll war. Dabei wurden die Beliefs wie folgt gruppiert:

Prozessorientierte Be/iej.i': Es konnten die Siehtweisen rekonstruiert werden, dass man in Mathematik viel naehdenken und ausprobieren muss, selbst naeh L6sungswegen suehen muss, Probleme 16sen muss, Ideen zum L6sen von Aufgaben haben muss, viel begrunden muss und versehiedene L6sungswege finden kann. So deutet z. B. das fol­gende Zitat auf eine prozessorientiertc Siehtweise:

"Cuter Unterricht ist Unterricht, bei dem der Stoff, den man lernen soli in dieser Stunde so richtig gut eingepackt .. ,ist: Nicht, dass man eben erkliirt bekommt, wie etwas junktioniert, sondern dass man da sagt, es ist diese Situation, wie lOst man sie?" (Britta, 2. Fragebogen, 2.7.(2)

Schemaorientierte Belie/i-: Es konnten die Siehtweisen rekonstruiert werden, dass man zum L6sen von Mathematikaufgaben Regeln lemen und anwenden muss, es immer nur einen L6sungsweg gibt, man zum L6sen von Mathematikaufgaben das L6sungsver­fahren kennen muss, derldie Lehrende das L6sungsverfahren erklaren muss, man in Ma­thematik vie 1 tiben muss und in Mathematik eine ztigige Wissensvermittlung wiehtig ist. Diese Beliefs werden z. T, in den folgenden Zitaten deutlieh:

"lch m()chte, ich wurd' Mathe eigentlich so mit Formeln, mit Zeichnen. Nicht so

Realitiitssachen, ich hin eherjur mathematische Sachen. So Formeln und so. " (Carsten, 1. IntervieH', 24.1.02)

Formalismusorientierte Beliefs: Es konnten die Siehtweisen rekonstruiert werden, dass zur L6sung von Mathematikaufgaben exakte Verfahren eingesetzt werden mussen, Mathematik cine logisehe Wissensehaft ist, man in Mathematik logiseh denken muss und eine Mathematikaufgabe ein genaues, eindeutiges Ergebnis haben muss, wie z. B. in diesem Zitat ausgedrtiekt wird:

,,[Mathe macht Spa/1J wenn ich ein eindeutiges Ergebnis von einer lan­genlschwierigen Aulgahe Clllsgerechnet habe, " (Frank, 2. Fragebogen, 2.7.(2)

132 Katja Maar.,

Anwendungsorientierte Beliefs: Es konnten die Sichtweisen rekonstruiert werden, dass man Mathematik im Leben benotigt, Mathematik im Beruf wichtig ist, man Ma­thematik fUr andere SchuWicher benotigt, Mathematik tiberall benotigt wird und man Mathematik fUr die Allgemeinbildung braucht. Eine klare anwendungsorientierte Sicht­weise zeigt sich im folgenden Zitat:

" Um es dann, also ich stell mir immer vor man macht das alles, um es irgendwie im Alltag zu verwenden. Nicht unbedingt im Alltag, aber irgendwo auf der Erde, ja das man es schon brauchen kann. " (Britta, 1. Interview, 24.1.02)

Die Ergebnisse der Studie zeigen also einerseits, dass die von Grigutsch beschriebe­nen Aspekte von mathematischen Weltbildern bei vie len Schiilerinnen und Schtilern auf­treten. Andererseits wird aber auch deutlich, dass diese nicht ausreichen, urn die Welt­bilder vollstandig zu charakterisieren. Viele Lernende scheinen kaum konkrete Vorstel­lungen von Mathematik als Wissenschaft zu haben, ihr Denken bezieht sich primar auf den Mathematikunterricht und ihre Rolle in diesem Unterricht. Diese Beliefs werden im Folgenden in Abgrenzung zu den von Grigutsch beschriebenen Beliefs als nicht­fachspezijisch bezeichnet.

Innerhalb der nicht-fachspezifischen Beliefs sind dabei bewusste Beliefs, also solche mit kognitivem Schwerpunkt von eher unbewussten Beliefs zu unterscheiden, die durch Einstellungen gegentiber dem Mathematikunterricht deutlich werden und somit affektiv gepragt sind. U. a. konnten folgende Beliefs rekonstruiert werden: Beliefs mit kognitivem Schwerpunkt:

• Beliefs tiber die kurze Dauer von Unterrichtseinheiten im Mathematikunterricht: " ... die Aufgaben sollten moglichst nur eine Stunde dauern." (Gunda, Lerntage­buch, 15.5.01)

• Beliefs tiber die geringe Bedeutung von Texten im Mathematikunterricht: "Schreiben tut man in Deutsch. Rechnen in Mathe. Und das ist auch gut so. " (Frank, 2. Fragebogen, 2.7.02)

• Beliefs tiber die Notwendigkeit des Lernens: "Entweder man kann Mathematik oder man kann es nicht, lernen bringt nichts " (Kai, miindliche Aussage, 6.6.02)

Beliefs mit affektivem Schwerpunkt: • Beliefs tiber Unterrichtsmethoden:

In welchen Situationen macht dir Mathematik Spaj3? "Wenn wir Gruppenarbeit machen ... " (Elli, 1. Fragebogen, 2.4.01)

• Beliefs tiber die Atrnosphare im Unterricht: " ... scheif3e war nur, dass manche Leute sich einfach nicht an die leichtesten Regeln (wie: "melden ") halten konnen und Frau Maaj3 dann voll auf die Pa/me bringen. Dann wird der Unterricht richtig blod, aber manche wollen es ja ein­fach nicht kapieren ... " (Doro, Lerntagebuch, 16.4.02)

• Beliefs tiber das Verstandnis: ,,Auj3erdem habe ich alles verstanden und wenn man etwas versteht, dann macht es Spaj3 und gar nichts stort einenf" (Doro, Lerntagebuch, 29.11.01)

Wahrend die Beliefs mit affektivem Schwerpunkt Bedingungen fUr einen "guten" Mathematikunterricht formulieren, beinhalten die Beliefs mit kognitivem Schwerpunkt explizite Auffassungen tiber den Mathematikunterricht, die wahrscheinlich von Vorstel­lungen durch den traditionellen Mathematikunterricht gepragt sind.

Modellieren im Mathematikunterricht 133

Die nicht-fachspezifischen Beliefs schienen bei einigen Lemenden so dominant zu sein, dass fachspezifische Beliefs im Sinne von Grigutsch (1996) nicht rekonstruiert werden konnten.

5.1.2 Reaktionsmuster

Insgesamt zeigte die Rekonstruktion der mathematischen Weltbilder in dieser empiri­schen Studie fUr die einzelnen Lemenden ein in der Regel komplexes GefUge unter­schiedlicher Beliefs. Die Analyse der Daten verwies auf einen engen Zusammenhang zwischen dem mathematischen Weltbild vor Beginn der Studie und den Reaktionen auf die Modellierungsbeispiele. Ahnliche mathematische Weltbilder hatten weitgehend ahn­liche Reaktionen zur Folge. Basierend auf der Analyse aller 35 EinzeWille konnten Gruppierungen gemaB der oben genannten Kategorien vorgenommen und idealtypische Reaktionsmuster beschrieben werden, wobei jedoch aufgrund der Komplexitat der Welt­bilder die Obergange zwischen den Gruppen z. T. flieBend waren bzw. keine eindeutige Zuordnung moglich war. Dennoch war haufig ein Aspekt als wesentlich zu erkennen, oft waren allerdings auch zwei oder drei Kategorien bedeutsam. Insgesamt konnten folgen­de sechs idealtypische Reaktionsmuster auf die Modellierungsbeispiele in Abhangigkeit von den mathematischen Weltbildem zu Beginn der Studie beschrieben werden. Idealtyp A+B Lemende mit anwendungsorientierten (Typ A) oder prozessorientierten (Typ B) mathe­matischen Weltbildem zeigen eine positive bzw. tendenziell positive Einstellung gegen­tiber den Modellierungsbeispielen. Die anwendungsorientierten Vorstellungen werden bis zum Ende der Studie vertieft und ausgescharft. Ein Beispiel dafur stellt Albert dar, der zu Beginn der Studie weitgehend prozess- und kaum anwendungsorientierte Sicht­weisen zeigte.

Glaubst du, dass du das, was du in den realitatsbezogenen Unterrichtseinheiten ge­lernt hast, jetzt oder spiiter brauchen kannst oder nicht? "Ich denke, es wird nicht scha­den, da Wissen immer gerne gesehen ist. Auch werde ich selbststandiger und kann die Tilcken (I) z. B. Automechaniker (Porsche) aujdecken. " (Albert. 2. Fragebogen am Ende der Studie. 2.7.02) Idealtyp F Lemende mit affektiv gepragtem nicht-fachspezifischem mathematischem Weltbild und der Wahmehmung, dass sie in den Modellierungseinheiten relativ vie! verstehen, reagie­ren auf die Modellierungsbeispiele sehr positiv und bilden anwendungsorientierte Vor­stellungen aus. So schreibt Z. B. Doro, eine an Mathematik wenig interessierte und an leistungsschwache Schtilerin am Ende der Studie:

Schreibe auf was du deiner Meinung nach durch die realitatsbezogenen Aufgaben gelernt hast. " Sehr vie!: 1. Mathe kommt iiberall vor. 2. Mathe kann SpafJ machen. 3. Jeder Mensch braucht Mathe. 4. Welchen Handy-Anbieter ich nehme. 5 . ... Lauter wich­tige Dinge eben . .. (2. Fragebogen. 2.7.()2) Idealtyp C+D+E Lemende mit schema- (Typ C) oder formalismusorientierten (Typ D) oder kognitiv ge­pragten nicht-fachspezifischem (Typ E) mathematischen Weltbildem lehnen die Model­lierungsbeispiele vehement abo Bis zum Ende der Studie werden keine bzw. kaum an­wendungsorientierten Vorstellungen ausgebildet. So schreibt z.B Carsten:

We!che mathematischen Themen sind deiner Meinung nach fiir dein spateres Leben wichtig:) "Kommt aufden Berulan. wenn man lngenieur wird, braucht man Geometrie.

134 Katja Maal1

Wenn man Kassiererin wird, dann braucht man nur Plus, Minus, Mal, Geteilt." (Cars­ten, schemaorientiertes Weltbild, 2. Fragebogen, 2.7.02)

Das folgende Zitat zeigt die vehemente Ablehnung von Frank: Was hast du durch die Modellierungsbeispiele gelernt? "Dass Mathe richtig atzend

sein kannf" (Frank,formalismusorientiertes Weltbild, 2. Fragebogen, 2.7.02) Die hier idealtypisch beschriebenen Reaktionsmuster bieten fur die in der Studie auf­

getretenen Reaktionen Erkliirungsansiitze. Die Reaktionsmuster k6nnen als Komponen­ten gesehen werden, die sich bei einem komplexen mathematischen Weltbild zu einem Gesamtbild zusammenfugen. Die Reaktionsmuster verdeutlichen, dass die Integration von Modellierungsbeispielen in den Mathematikunterricht dazu fuhren kann, dass die Lemenden anwendungsorientierte Beliefs ausbilden oder bereits vorhandene intensivie­reno Allerdings verweisen die ablehnenden Reaktionen von manchen Lemenden, auch darauf, dass Beliefs relativ stabile Strukturen sind, die nur schwer veriindert werden k6nnen.

5.2 Modellierungskompetenzen

Die im Folgenden vorgestellten Ergebnisse basieren auf der Analyse der Modellierungs­tests, der Klassenarbeiten, der Concept Maps und der Interviews von 35 Lemenden mit­hilfe der in Abschnitt 4.3 beschriebenen Methoden.

5.2.1 Grundlegende Ergebnisse

Ein wesentliches Ergebnis der Studie ist, dass bereits in Klasse 7 und 8 Modellierungs­kompetenzen vermittelt werden k6nnen. Die meisten Schiilerinnen und SchUler waren am Ende der Studie in der Lage, selbststiindig Probleme zu modellieren. Sie verfugten also nicht nur uber Teilkompetenzen, sondem waren in der Lage, selbststandig ganze Modellierungsprozesse durchzufuhren.

Unterschiede in den Modellierungskompetenzen zeigten sich allerdings in Abhiin­gigkeit von der Komplexitiit der Aufgabenstellung. Am Ende der Studie waren die meis­ten Lemenden in der Lage, einfache Probleme zu modellieren, viele scheiterten jedoch bei komplexen. Anderen gelang auch die Modellierung komplexerer Aufgabenstellungen muhelos. Dieses Ergebnis steht im deutlichen Gegensatz zu der - insbesondere im Schulalltag weitlaufig verbreiteten - Meinung, dass realitiitsbezogene Modellierungsauf­gaben aufgrund ihrer Komplexitiit erst in hOheren Klassenstufen bzw. gar nicht in der Schule eingesetzt werden konnen.

Die Klassenarbeiten und Tests verweisen darauf, dass Defizite in allen Teilschritten des Modellierungsprozesses auftraten. So konnten Fehler beim Bilden des Realmodells und des mathematischen Modells, beim Finden der mathematischen L6sung und bei de­ren Interpretation und Validierung festgestellt werden. Dariiber hinaus konnten Fehler identifiziert werden, die den ganzen Modellierungsprozess betreffen. So wurden z. B. Modellierungen ohne Ergebnis abgebrochen, weil die Rechnung zu uniibersichtlich wur­de bzw. eine Vorgehensweise gewiihlt wurde, die aufgrund mangelnder Sachinformatio­nen nicht ausgefuhrt werden konnte. Einige SchUlerinnen und SchUler berichteten auch von ihren eigenen lebensweltlichen Erfahrungen im Zusammenhang mit dem Sachkon­text ohne Bezug zur Modellierung zu nehmen. Fur eine ausfuhrlichere Darstellung wird auf MaaB 2004 (S. 160 ff.) verwiesen.

Modellieren im Mathematikunterricht 135

Die Ergebnisse der Untersuchung verweisen auch darauf, dass Lemende metakogni­tive Modellierungskompetenzen erwerben konnen. Viele Lemende verfligten am Ende der Studie tiber ein detailliertes und vemetztes Wissen tiber den Modellierungsprozess, andere tiber Grundkenntnissc. Besonders haufig konnten F ehlvorstellungen bzgl. der Begriffe "Realmodell" und "Mathematisches Modell" und ihrer Unterscheidung sowie dem Begriff "Bewerten" und seiner Trennung yom Interpretieren festgestellt werden.

Zwischen den Schwachcn im Modellieren und den Fehlvorstellungen tiber den Mo­dellierungsprozess waren individuelle Zusammenhange erkennbar, die auf die Bedeu­tung des Wissens tiber ModeUierungsprozesse fUr die Ausbildung von Modellierungs­kompetenzen verweisen (vgl. MaaJ3 2004, S. 161 ff.).

5.2.2 Reaktionsmuster

1m Rahmen der Analyse der Modellierungskompetenzen konnten verschiedene Faktoren identifiziert werden, die Eintluss auf diese zu haben scheinen. Dazu gehOren u. a. die mathematischen Fahigkeiten, Kompetenzen im zielgerichteten Vorgehen, Metakogniti­onen und Kompetenzen im auf die Modellierung bezogenen Argumentieren sowie im Verschriftlichen dieser Argumentation.

Ais besonders wesentlicher Eintlussfaktor erwies sich im Verlauf des Auswertungs­prozesses die Einstellung gegentiber den Modellierungsbeispielen und der Mathematik, so dass hier typische Reaktionsmuster und damit involviert Fehlermuster rekonstruiert werden konnten. Aufgrund cines bei den Untersuchten vielfach festgestellten Zusam­menhangs zwischen ciner positiven Einstellung gegentiber einem Bereich und der Leis­tung in diesem konnen vier Idealtypen unterschieden werden, die sich in einem zweidi­mensionalen Feld verorten lassen, das von der Einstellung gegentiber den Modellie­rungsbeispielen und der gegcntiber Mathematik aufgespannt wird (vgl. Abb. 2):

mathematik ferne Modellierer

Ein~tellung gegenuber den + ; ivlodcllicrungsbcispiclcn

reflektierende Modelherer

+ Einstellung -------------t------------- gegentiber

Mathematik

desintercssicrtc Modellierer

rcaliHitsfcrnc Modellierer

Abb. 2: Modellierungstypen Wahrend bei den reflektierenden Modellierern - nattirlich in Abhangigkeit von der

Leistungsfahigkeit - kaum Schwierigkeiten auftreten, zeigen desinteressierte Modellie­rer Schwachen in allen Bereichen. Die beiden anderen Idealtypen konnen wie folgt cha­rakterisiert werden:

Die realitatsfernen Modelherer haben eine positive Einstellung gegentiber der kon­textfreien Mathematik. Sie lehnen die Modellierungsbeispiele vehement ab, die entspre­chenden Sachkontexte intercssieren sie tiberhaupt nicht. In Foige dieser Ablehnung wird

136 Katja Maa~

eine affektive Barriere aufgebaut, die insbesondere dazu fUhrt, dass Schwachen in den Bereichen auftreten, die eng mit kontextbezogener Mathematik zusammenhangen, nam­lich beim Bilden des Realmodells und beim Validieren, partiell auch beim Interpretieren.

Die mathematikfernen Modellierer haben eine eindeutige Praferenz fUr den Sachkon­text. Dagegen haben sie gegeniiber Mathematik eine eher negative Haltung und sind in Mathematik eher leistungsschwach. Die Modellierungsbeispiele werden mit Begeiste­rung aufgenommen. Gewisse Kompetenzen in der Strukturierung und Analyse von Prob­lemen und im kritischen Retlektieren ermoglichen ein angemessenes Aufstellen des Re­almodells und die Validierung. Besondere Schwachen treten hier beim Bilden und Losen des mathematischen Modells sowie beim Interpretieren von komplexen mathematischen Losungen auf.

Obwohl fast alle Lemenden am Ende der Studie gelemt hatten, selbststandig ganze Modellierungsprozesse durchzufUhren und keine quantitativen Zusammenhange zwi­schen den Einstellungen und Modellierungskompetenzen rekonstruiert werden konnen, zeigen die Idealtypen einen qualitativen Zusammenhang dazwischen auf. Die Beliefs, deren Eintluss auf die Einstellung aufgezeigt wurde, haben somit auch Eintluss auf die Modellierungskompetenzen.

6 Vergleich der Ergebnisse mit anderen Studien

In dieser Studie wurde versucht, ein moglichst umfassendes Bild der Reaktionen der Lemenden auf die Integration von Modellierungsbeispielen in den Unterricht zu zeich­nen. Eine ahnlich umfassende Studie legte Kaiser-MeBmer bereits 1986 fUr die Sekun­darstufe II vor. Die Ergebnisse der vorliegenden Studie kniipfen an diese an. So verwies Kaiser-MeBmer bereits auf den hinderlichen Eintluss einer engen Mathematikauffassung fUr das Erwerben von Modellierungskompetenzen und auf einen positiven Eintluss von Realitatsbeziigen auf die Einstellung der Lemenden. Diese Zusammenhange konnten fUr die Sekundarstufe I bestatigt und unter Bezug auf die Forschung zu Beliefs ausdifferen­ziert und in Form von idealtypischen Reaktionsmustem verdeutlicht werden.

Eine weitere wichtige Grundlage dieser Studie stellen die Ergebnisse von Grigutsch (1996) dar. Unter Beriicksichtigung der von ihm beschriebenen Aspekte konnten die ma­thematischen Weltbilder von Lemenden qualitativ und mit Bezug auf Modellierungen analysiert werden. Aufbauend daraufwurden die mathematischen Weltbilder der Unter­suchten detailliert beschrieben und zusatzlich nicht-fachspezifische Vorstellungen re­konstruiert und kategorisiert. Eine ahnliche Erweiterung der Kategorien von mathemati­schen Weltbildem wurde von Eichler (2002, S. 30) fUr Lehrende vorgenommen.

Dariiber hinaus schlieBen die Ergebnisse dieser unter deutschen Rahmenbedingungen durchgefUhrten Studie an die Ergebnisse zahlreicher intemationaler Studien zu Modellie­rungen an, wobei allerdings nur wenige Studien in der Sekundarstufe I durchgefUhrt wurden. So verwiesen bereits GalbraithiClathworthy (1990, S. 158) auf den positiven Eintluss von metakognitiven Modellierungskompetenzen in Bezug auf die Modellie­rungskompetenzen insgesamt. Dieser Eintluss konnte auch in dieser Studie gezeigt wer­den, die auBerdem untersucht, in welchen Bereichen Fehlvorstellungen iiber den Model­lierungsprozess vorliegen konnen (vgl. MaaB 2004, S. 160).

Die hier festgestellten Defizite beim Modellieren bestatigen und erganzen die Ergeb­nisse anderer vorab durchgefUhrter Studien. So wiesen auch Kaiser-MeBmer (1986, S. 144) und Haines/CrouchIDavis (2001, S. 366) groBere Schwierigkeiten beim Bilden des

Modellieren im Mathematikunterricht 137

Realmodells nacho AuBerdem erkannten Haines/CrouchIDavis (2001, S. 366) sowie Abrantes (1993, S. 108) Defizite beim Vergleich der berechneten Ergebnisse mit dem Problem in der realen Welt. Die in dieser Studie festgestellten Schwachen bei der Argu­mentation uber die Modellierung entsprechen den Ergebnissen von Potari (1993, S.174), der beschrieb, dass viele Lemende bei der Bearbeitung eines Modellierungsbeispieles keine mathematischen Kenntnisse nutzten, sondem von ihren Erfahrungen berichteten.

7 Perspektiven

7.1 Integration von Modellierungen in den Schulunterricht

Die Durchfuhrung der Studie zeigt, dass es grundsatzlich moglich ist, Modellierungen auch unter den gegebenen Rahmenbedingungen in den Schulunterricht zu integrieren. Daruber hinaus verweist die positive Entwicklung der Modellierungskompetenzen vieler Lemender darauf, dass es nicht nur moglich, sondem vielmehr auBert wichtig ist, Model­lierungsbeispiele in den Mathematikunterricht zu integrieren. Durch diese Integration konnen die Schulerinnen und SchUler lemen, Umweltsituationen zu bewaltigen und Ma­thematik zum Losen von Problemen in der Realitat einzusetzen.

Die bei vielen Lemenden beobachtete Zunahme anwendungsorientierter Sichtweisen verweist darauf, dass ein entsprechend gestalteter Unterricht helfen kann, ein angemes­senes mathematisches Weltbild sowie langfristig auch eine Weltsicht yom Modellie­rungsstandpunkt zu entwickeln und somit einen Beitrag zur Erziehung der Lemenden zu "mundigen Biirgem" leistet. Zwei der wesentlichen fur die Integration von Realitatsbe­ziigen formulierten Ziele (vgl. Abschnitt 2.1.3) konnen also bei vielen Lemenden er­reicht werden.

Die vehement ablehnenden Reaktionen mancher Lemender zeigen auf, wie wichtig es ist, mit der Behandlung von Modellierungsbeispielen sehr fruh, also bereits in der Grundschule, zu beginnen. Entscheidend ist dabei, die Lemenden durch die Auswahl der Aufgaben und die Gestaltung des Unterrichts von der Vorstellung zu 16sen, dass eine Mathematikaufgabe immer nach einem bestimmten vorgegebenen Algorithmus mit allen vorgegebenen Werten innerhalb kurzer Zeit ge16st werden kann und ein eindeutiges, ex­aktes Ergebnis hat.

Da Modellierungen im Schulalltag ein "Schattendasein" fuhren (vgl. Abschnitt 2.1.4), obwohl die Umsetzung auch unter den gegebenen Rahmenbedingungen moglich ist und sinnvoll erscheint, sind MaBnahmen zur Implementation dringend geboten. Mo­dellierungen bzw. entsprechende propadeutische Aufgaben sollten als verpflichtender Bestandteil in den Lehrplan aller Jahrgange und Schulformen aufgenommen werden. Besonders bedeutsam erscheint jedoch die Integration von Modellierungen in die erste und zweite Phase def Lehrerausbildung und die Durchfuhrung entsprechender, mogli­cherweise verbindlicher, Fortbildungen.

Dabei sollten in diesen Fortbildungen neb en konkreten Modellierungsbeispielen, dem Modellierungsprozess auf einer Metaebene, der Leistungsmessung und Moglichkeiten der unterrichtlichen Umsetzung vor allem auch die Ziele der Integration von Modellie­rungsbeispielen in den Unterricht thematisiert werden. Dies erscheint geboten, da einer­seits in der Praxis haufig die Auffassung vertreten wird, dass Realitatsbezuge und Mo­dellierungen die Schulerinnen und Schiiler motivieren, andererseits aber hinsichtlich der

138 Katja Maaf1

Umsetzung dieser lempsychologischen Ziele - wie die Ergebnisse zeigen - Skepsis an­gebracht ist.

7.2 Unterrichtliche Umsetzung

Um die Lemenden, die derartige Aufgaben nicht gewohnt sind, langsam an Modellie­rungen heranzuflihren, sollte der Einstieg in das Modellieren unbedingt mit relativ kur­zen Unterrichtseinheiten erfolgen. Die intensive Beschaftigung vieler Lemender mit den Sachkontexten der jeweiligen Modellierungsbeispiele, ihr beachtlicher Lemerfolg sowie die Tatsache, dass relevante Fragestellungen haufig eine intensive Beschaftigung mit dem Sachkontext sowie langere Berechnungen erfordem, verweisen aber auch darauf, dass spater auch langere Modellierungsprojekte in den Unterricht einbezogen werden sollten.

We iter sollte bei der Behandlung von Modellierungen im Unterricht die Vermittlung von Wissen tiber den Modellierungsprozess auf der Metaebene einen angemessenen Teil einnehmen. Die Ergebnisse verdeutlichen, dass bereits in Klasse 7/8 eine Vermittlung von Wissen tiber dies en Prozess mit Hilfe eines Kreislaufschemas moglich ist. Das flir die Einflihrung gewahlte Schema sollte aus folgenden Grunden modifiziert werden:

Die Schwierigkeiten, die im Zusammenhang mit den Begriffen "Realmodell" und "mathematisches Modell" auftraten, sprechen jedoch daflir, auf diese Unterscheidung im Rahmen der Ersteinflihrung zu verzichten. Zwar ist die Unterscheidung zwischen Real­modell und mathematischem Modell auf einer theoretischen Ebene sinnvoll, um entspre­chende Phasen des Vorgehens zu verdeutlichen, eine Zuordnung dieser beiden Begriffe zu den konkreten Modellierungsbeispielen - und damit eine Konkretisierung flir die SchUlerinnen und SchUler - ist in der Praxis jedoch haufig kaum moglich. Die Wahl des Begriffes "Bewerten" erwies sich aufgrund der begrifflichen Niihe zur Notenvergabe als ungeeignet. Weil der Begriff "Validieren" fUr Lemende eines 7./8. Schuljahres schwer verstandlich ist, konnte altemativ die Formulierung "auf Gtiltigkeit tiberprufen" gewahlt werden. Die Schwierigkeiten die im Zusammenhang mit dem Interpretieren und Validie­ren auftraten (vgl. Abschnitt 5.2.1), verweisen darauf, dass es sinnvoll ist, diese beiden Schritte in der Modelldarstellung zu trennen. Die folgende Darstellung zeigt eine inhalt­lich veranderte Auffassung yom Modellierungsprozess flir die Ersteinflihrung:

auf mathematischer

. ~ Q u. realitatsbezogener Q Realttat Ebene vereinfachen Modell

aufGiiltigkeit i iiberpriifen I

interpretieren

1 Uisungswege

suchen, lOsen

Modellieren im Mathematikunterricht 139

7.3 F orschung

Die Ergebnisse der Studie verweisen auch auf die Notwendigkeit weiterer Untersuchun­

gen: Die zentrale Rolle, die den mathematischen Beliefs der Lemenden zukommt, zeigt die Notwendigkcit auf, die Vcrflechtung dieser Beliefs mit denen der Eltem und denen der Lehrenden zu untersuchen. Da moglicherweisc der Unterricht vieler Lehrender von

dem selbst erlebten Mathematikuntcrricht sowie der Hochschulausbildung gepragt wird, gilt es insbesondere nach Moglichkeiten zu suchen, um diesen Circulus vitiosus zu durchbrechen. Um die Chancen einer breiten Implementierung basierend auf einer gro­

Beren Stichprobc vertiefend zu untersuchen, mlissen flir mehr Altersstufen Unterrichts­konzeptionen zur Integration von Modellierungen in den Mathematikunterricht entwi­

ckelt und evaluiert werden.

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Adresse der Autorin

KatjaMaaB Padagogische Hochschule Freiburg Institut fUr Mathematik und Informatik und ihre Didaktiken Kunzenweg 21 79117 Freiburg Email: Katja.Maass@ph-freiburg.de

Manuskriptcingang: 17. Januar 2005

Typoskripteingang: 29. April 2005