Modele operaţionale

1. Un oscilator constituit dintr-un punct material cu masa m=1,6*10−2 kg,suspendat la capătul unui

resort, oscilează sub acţiunea forţei elastice, conform ecuaţiei: y=10−1 sin(π8 *t +

π8 ) (m)

a) perioada şi frecvenţa oscilatiilor;

b) viteza maximă si acceleraţia maximă a punctului material;

c) valoarea maximă a forţei care acţionează asupra punctului material;

d) relaţiile care exprimă dependenţa de timp a energiilor: cinetică, potenţială şi totală a punctului

material;

e) timpul în care punctul material efectuează drumul de la jumatatea amplitudinii, la√3 /2din

amplitudine.

REZOLVARE

a) Legea de mişcare a oscilatorului liniar armonic este: y=Asin(ωt +φ0).

Comparând cu expresia dată, stabilim urmatoarele:

A=0,1m, ω=π8

rad2 si φ0=

π8 rad,

T=2πω =

2ππ8

=16s; v=1T =

116Hz.

b) Ecuaţiile pentru viteză şi acceleraţie sunt:

v=π8 *0,1cos(

π8t+ t

8 ), a=-(π8 )*0,1sin(

π8t+ π

8 )

valorile extreme se realizează pentru cosα=-1,+1 respectiv pentru sinα=-1,+1.

Valorile maxime vor fi:

vmax =π8 *0,1

ms≈0,04 m

s ,

amax =¿)2*0,1≈0,01 ms2 0

c)F=ma;Fmax=mamax=1,6*10-2*0,015≈0,25mN

d)Ec=mv2

2cos2(ωt+φ0)=1.6*10−2*8*10−4cos2(

π8 *t +

π8 )

sau Ec=12,32cos2(ωt+φ0)μJ ,

EP=mω2 A2

2sin2(ωt+φ0)=12,32(

π8t+ π

8 ) μJ ,

Et=EC+Ep=12,32μJ ,

e)Punctul material P oscilează în jurul poziţiei de echilibru O, cu amplitudinea A între punctele

M şi N.

În poziţia P1, elongaţia y1=A2 deci:

A2 =Asin(π8

t1+π8 );1

2=sin(π8t1+

π8 )deci π8

t1+π8 =π6 ;t1=1/3s.

În poziţia P2, elongaţia y2=√32

A .

Analog √32

A=Asin(π8 *t +

π8 ),t2=5/3s;

Iar ∆ t=t 2−t 1=43s .

2. Să se calculeze acceleraţia gravitaţională g într-un punct oarecare A de pe Pământ, ştiind că un

ceasornic cu pendul care bate secunda în B, întârzie cu 35 s în 24 ore. Pentru B, gB=9,815m/s2.

REZOLVARE

TA=2π √ l√ gA

,TB=2π √l√ gB

, TB=tN ,TA=

t+∆tN

T B

T A=√ gB√gA

,T B

T A= t+∆ t

N ,gB

g A=( t+∆ t

N)2

gA=gB(t

t+∆ t )2,gA=9,807m/s2.

3. Un pendul a cărui perioadă de oscilaţie este 0,5s se fixează de un cărucior care coboară pe un plan

înclinat şi apoi se deplasează pe un plan orizontal. Unghiul format de planul înclinat cu orizontala este

de 45o. Neglijând frecările, să se determine perioada de oscilaţie a pendulului gravitaţional când:

a) căruciorul coboară pe planul înclinat;

b) căruciorul se deplasează pe planul orizontal.

REZOLVARE

Lungimea pendulului se va calcula pornind de la expresia perioadei.

T=2π√1√ gA

,,l= ¿2

4 gπ2 =0,25

4=0,0625m

A=Mgsinα

M=g sinα

Forţa de inerţie care acţionează asupra corpului de masă m este, F⃗ i=-m⃗a sau Fi=mg sinα .

Această forţă este anulată de o componentă a greutăţi Gt=Fi=mg sinα . Este posibil numai dacă

firul este perpendicular pe planul înclinat. Astfel, rămâne o forţă activă Gn= mg cosα , care reprezintă şi

greutatea aparentă Ga=mga, unde am notat prin ga acceleraţia gravitaţională aparentă.

Astfel mg cosα=mga sau ga= g cosα ,

T=2π√l√ ga

=2π √l√ gcosα

≈0,6 s .

Pe plan orizontal a=0, deci T=0,5 s.

4. Un pendul matematic bate secunda la nivelul mării. Se transportă un pendul identic la altitudinea

h=318,5km. Ce diferenţă de timp va înregistra acest pendul faţa de pendulul de la sol în decurs de 4 h?

(RP=6370 km).

REZOLVARE

G=KmM❑RP

2

m =

KM❑RP

2 , unde : g – acceleraţia gravitaţională, M – masa Pământului, Rp – raza Pământului, K –

constanta atracţiei universale. Acceleraţia gravitaţională la înălţimea h faţă de pământ este

g’=KmM

(Rp+h)2

m=

KM(Rp+h)

2 .

Perioada pendulului gravitaţional este T=2π √ l√ g

, iar la altitudinea h este

T’=2π √ l√ g '

=2π √ lg √(

Rp+hRp

¿)¿2=R p+hRp

T.

Perioada pendulului în cele două situaţii va fi:

T=tN si T’=

t+∆tN .

Rezultă ∆ t=T '

T∗t−t=t ( Rp+h

R p−1)=720 s .

5. Să se determine perioada micilor oscilaţii executate de sistemul din figură . Marimile fizice l, m, g si k

se presupun cunoscute. Se neglijează frecările.

REZOLVARE

Referitor la cele două resorturi, deşi aparent ar fi conectate în serie, ele acţionează ca şi cum ar fi

legate în paralel, kp=2k (comprimarea unuia se face pe seama destinderi celuilalt, deci │y1│=│y2│).

Pendulul gravitaţional contribuie în acelaşi sens la mişcarea corpului de masa m. Constanta elastică

pentru pendulul gravitaţional este kg=mgl .

Astfel, rezultă ke=2k+mgl (asupra punctului material de masa m acţionează şi forţa de revenire a

pendulului), iar perioada este T=2π √ mk❑e

, T=2π

√ 2km

+ gl

6. Constanta elastica a unui resort este k=50N/m. Se leagă un capăt al resortului de un corp de masa

m=0,5kg, Astfel încât resortul este netensionat. Se imprimă corpului viteza v0=1ms-1 în sensul întinderi

resortului. Ştiind că deplasarea corpului pe suprafaţa orizonatală se face cu frecare, coeficinetul de

frecare la alunecare fiind μ=0,6 ,calculaţi distanţa OM la care corpul se opreşete prima dată.

REZOLVARE

Aplicând teorema energiei mecanice Ef-Ei=L şi explicitând k x2

2−mv0

2

2=-Ff*x, obţinem ecuaţia

25x2+3x-0,25=0 cu soluţia fizic acceptată x=6 cm.