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1. Resumen

En el presente artículo se reportan resultados de experimentoscon simples muestras de papel, útiles para obtener un mayor co-nocimiento del flujo de fluidos en medios porosos. Además, sereportan algunas nuevas observaciones relacionadas con la diná-mica espacio-temporal de interfases auto-afines que se formanen experimentos de inmersión de muestras de papel en líquidos.Se encontró que el movimiento de la interfase en un medio poro-so exhibe una naturaleza escalonada. La altura de la región hú-meda, como una función del tiempo, exhibe un comportamientoparecido al de la escalera del diablo con exponente de escala-miento δ, mientras que el ancho de la interfase oscila erráticamentecon el tiempo. Estas oscilaciones erráticas poseen una invarianzaestadística auto-afín con respecto al tiempo con el exponente deescalamiento χ, el cual se encontró que es igual al exponente decrecimiento β. También se observó que los valores de χ, β, y δ asícomo el exponente de rugosidad (Hurst) H, varían de un experi-mento a otro en intervalos amplios, y que sus distribuciones seajustan a una distribución normal. Los valores promedio de todoslos exponentes dependen de la estructura del papel, pero no de lascondiciones ambientales. Además, se encontró que el valor pro-medio del exponente depende de la orientación de la interfasecon respecto a la orientación de las fibras de papel; mientras quelos valores promedios de H y δ no dependen de la estructura delpapel.

2. Abstract

In this paper the results of paper wetting experiments are reported.These experiments are useful to get a deep knowledge on thefluid flow mechanisms in porous media. Some new observationsconcerning the spatial-temporal dynamics of self-affine interfacesformed in paper-wetting experiments are reported. We find thatthe motion of the wet front in a porous medium has a step-wisenature. The height of the wetted area, as a function of time, dispalysa devil’s-staircase-like behaviour with scaling exponent d, whereasthe front width oscillates erratically with time. These erraticoscillations posses a statistical self-affine invariance in time withthe scaling exponent c, which is found to be equal to the growthexponent β. We also note that the values of χ, β, and d as well asthe interface roughness (Hurst) exponent H vary from oneexperiment to another in wide ranges¸and that their distributionsobey a normal distribution. The mean values of all expomnentsare dependent on the paper structure, but not on the environmentalconditions. Furthermore, we find that the mean value of b dependson the interfce front orientation with respect to the fibers directionin the paper, whereas the mean values of H and δ do not dependon it.

3. Introducción

México es uno de los países que basan su economía nacional enla producción de petróleo, lo que implica que se deban invertiruna gran cantidad de recursos económicos, tecnológicos, mate-riales y de mano de obra. Actualmente, la mayor riqueza petrole-ra se encuentra en el sureste de México. En dicha región se en-cuentran el mayor número de yacimientos petroleros. Sin embar-go, estos yacimientos tienen una característica que los distinguede los demás yacimientos petroleros que hay en otros países; adecir, que son Yacimientos Naturalmente Fracturados (YNF), verfigura 1. La explotación de este tipo de yacimientos requiere detécnicas de explotación especiales con el fin de no alterar la for-mación del yacimiento. Los YNF de México se encuentran enuna etapa avanzada de explotación. Sin embargo, existe una tre-menda incertidumbre en cuanto a su modelado, lo cual no permi-te la implantación de programas adecuados de explotación. Prin-cipalmente, el problema del modelado de fracturas en los YNFtiene su origen en la complejidad de las estructuras geológicas,en los procesos de alteración que sufren las rocas y a la falta deherramientas que conduzcan a una caracterización geológica másdetallada.

Modelación de Yacimientos NaturalmenteFracturados Mediante Geometría Fractal

Daniel Morales Matamoros*, Alexander Balankin*,Jesús Márquez González*, Raymundo MartínezAngeles**, Fernando Castrejón Vacío**.

*Sección de Estudios de Posgrado e Investigación ESIME-IPNUnidad Profesional “Adolfo López Mateos”Av. Politécnico s/n, Col. Lindavista, Edificio 5, 3er Piso.México, D.F., C.P. 07738Tel. 5729-6000 ext. 54589

**Instituto Mexicano del Petróleo; Eje Central Lázaro CárdenasNo. 152, Colonia San Bartolo Atepehuacan, Apartado Postal14-805, C.P. 07730

Recibido el 25 de agosto del 2000; aceptado el 17 de octubre del 2000.

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Por otro lado, los modelos geológico-petrofísicos (MGP) que hanresultado de la caracterización geológica reflejan principalmentecaracterísticas estáticas, relacionadas con la capacidad de alma-cenamiento de las formaciones productoras. Al tratar de relacio-nar esta información con los aspectos dinámicos del yacimiento,existe un bajo nivel de correspondencia entre los MGP y los as-pectos dinámicos del sistema. Estas diferencias tienen su expli-cación en que las características petrofísicas de las rocas cambiancontinuamente entre los pozos.

Aunque se han obtenido buenos resultados en la caracterizaciónde los YNF con la metodología actual, estos resultados se puedenmejorar aún más. Para esto, se deben tomar en cuenta los siguien-tes aspectos:

1) Realizar una caracterización más detallada con herramientasde alta resolución que afine el modelo y sea congruente con laspruebas de pozo y con la simulación numérica,

2) Emplear herramientas como la geometría fractal para caracte-rizar la complejidad de las estructuras geológicas a fin de obtenerparámetros que conduzcan al desarrollo de un modelo más real.

Históricamente, se han realizado ciertas inversiones en los YNFsin un conocimiento adecuado de los mismos, lo que ha redunda-do en recuperaciones limitadas de hidrocarburos, y como conse-cuencia en bajos resultados económicos. Se considera que el po-bre conocimiento en estos pozos se debe principalmente a lossiguientes hechos:

• Se posee un bajo conocimiento acerca del origen, evolución ygeometrías de los sistemas de fracturas que caracterizan lasrocas almecenadoras de los campos productores de hidrocar-buros en México.

• No se cuenta con un conocimiento detallado de los modelosde fractura en superficie bajo diferentes condiciones de diso-lución y su relación con las macro estructuras.

• No se han realizado estudios tectónicos al nivel de campo paracomprender el origen, la distribución y evolución espacio-temporal de los sistemas de fracturas y su relación con la his-toria diagenética.

• No se cuenta con una metodología ni con las herramientasadecuadas para manejar en forma precisa la información ob-tenida, ya sea directamente o indirectamente, de los YNF.

Si se toman en cuenta los aspectos anteriores, se pueden obtenerparámetros para desarrollar modelos estáticos y dinámicos quepermitan el empleo de simulaciones numéricas de los YNF. Paralograr esta meta, se deben incorporar nuevas herramientas deanálisis, experimentación y modelación que permitan obtener unmejor conocimiento de los fenómenos que se presentan antes,durante y después de la explotación de petróleo. Dentro de estasnuevas herramientas se pueden citar dos: la teoría de la percolacióny la geometría fractal, con las cuales es posible obtener parámetrosque nos conduzcan al desarrollo de modelos físicos.

4. Desarrollo

4.1 Modelación de Flujo de Petróleo en Medios Porosos

Como punto de partida en la discusión del flujo de fluidos en unmedio poroso, comencemos por considerar una escena familiar:en el desayuno por accidente alguien derrama el café sobre elmantel de la mesa. Seguramente no es el momento adecuado paraobservar como las fuerzas microscópicas se equilibran cuando elcafé ha dejado de propagarse. Así como tampoco es el momentoapropiado para pensar acerca de la morfología de la mancha decafé que ha formado, o para pensar acerca de la rugosidad de sucontorno. Así pues, esperamos a que se calmen un poco las cosas,y finalmente observamos la gran mancha de café que se ha for-mado sobre el mantel.

Sujetando un pedazo de papel toalla, aquel que se emplea en lacocina para limpiar líquidos, y sumergiendo un extremo en cual-quier líquido, se puede repetir el accidente inoportuno en el desa-yuno a escala de laboratorio. El papel es un material heterogéneo,un prototipo de una roca heterogénea que contiene petróleo. Unade las diferencias entre el flujo de fluido en un papel toalla y el

Fig. 1. Ejemplo de un núcleo obtenido de unyacimiento naturalmente fracturado.

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flujo de petróleo en una roca es la escala en la cual se lleva a caboel fenómeno de flujo de fluidos. Esta diferencia es una ventaja: sepuede emplear una muestra de papel toalla de 20 cm (ver figura2) para que nos ayude a comprender mejor el problema de unpozo petrolero de 20 Km [1].

Por ejemplo, se puede caracterizar la interface que se forma cuandosumergimos el papel toalla en un fluido empleando leyes de es-calamiento, cuya forma se puede predecir

por simples modelos que capturan los mecanismos esenciales quedan lugar a su morfología. La finalidad de estos experimentos esobtener nuevos parámetros que caractericen la formación, creci-miento y dinámica de interfaces en medios porosos usando comoherramienta de análisis la geometría fractal.

4.2 Diseño Experimental

El papel es un material poroso (ver figura 3) con estructuraanisotrópica asociada con una orientación asimétrica en la distri-bución de sus fibras [2]. A pesar de la naturaleza estocástica de ladistribución de las fibras, la estructura porosa de los papeles noes aleatoria, pero posee correlaciones en amplios intervalos quese caracterizan por un comportamiento de leyes de potencias deacuerdo a la función de autocorrelación espacio-densidad [3].Diferentes tipos de papel tienen diferentes estructuras, lo que dalugar a diferentes distribuciones de poros [2]. Esto permite estu-diar los efectos del desorden y la anisotropía en estructuras poro-

sas en el comportamiento dinámico espacio-temporal de unainterfase húmeda.

En este trabajo, se estudia la evolución espacio-temporal deinterfases que se forman cuando una interfase húmeda se propa-ga ya sea en la dirección paralela o perpendicular a la direcciónde las fibras del papel. Los experimentos de flujo de fluidos enpapel se realizaron en probetas rectangulares de dos diferentestipos de papel: papel filtro y papel secante. Las propiedades físi-cas de estos papeles se presentan en la tabla 1. La longitud detodas las probetas (en la dirección de propagación de la interfase)fue de 250 mm, mientras que el ancho de las probetas varió desdeW

0 = 10mm hasta W

M = 100mm, con la siguiente relación W =

λW0 para los siguientes factores de escala λ = 1, 1.5, 2, 3, 4, 5, 8,

10. Al menos se realizaron 50 experimentos en cada ancho depapel.

Para estudiar la dinámica de interfases, se sumergió una probetade papel en una solución de agua-tinta china, y se grabó el creci-miento de la interfase que se formaba entre una región húmeda(negra) y una región blanca (seca) con una cámara digital de 24cuadros por segundo (ver figuras 4 a – d). Se dejaba crecer lainterfase hasta detener el crecimiento y no se observara ningúncambio en la altura, como en la forma de la interfase. El perfil dela interfase registrada en cada cuadro se obtuvo empleando elpaquete Scion Image [4] como una función de una variable z(x)en formato XLS (ver figuras 4 e – h). A partir de estos perfiles sedeterminaron la altura del área húmeda, h(t, W) = max

x∈W {x,t}, y

el ancho de la interfase, w(t, W) = maxx∈W

{z(x,t)} - minx∈W

{z(x,t)}como funciones del tiempo, t, y el ancho de la probeta, W.

Fig. 2. Dispositivo empleado en el estudio de la for-mación, crecimiento y dinámica de interfasesen medios porosos.

Fig. 3. Microfotografía de la estructura depapel filtro (tomada a 50 X).

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Tabla 1 . Propiedades físicas del papel filtro y papel secante, y exponentes de escalamiento para el comportamiento dinámico de interfaces formadas en experimentos de flujo de fluidos.

Papel Filtro Secante

Módulo de Young, MPa 3075 ± 50 797 ± 20 3350 ± 35 1900 ± 50Esfuerzo máximo, MPa 17.5 ± 0.4 4.73 ± 0.35 20.3 ± 1.1 10.9 ± 0.5

Espesor, mm 0.22 ± 0.04 0.22 ± 0.04Densidad, g/m2 110 ± 10 210 ± 18

Dirección del flujo Longitudinal Transversal Longitudinal Transversal

δ (Escalera del Diablo)(min/max)

δ (comportamientode escalamiento)

(min/max)

Promedio{χ}(min/max)

Desviación estándar de χPromedio{β}(min/max)

Desviación estándar de β

Exponentede

Rugosidadglobal

Exponentede

rugosidadlocal

α

Promedio{H}(min/max)Desviaciónestándar

de H

0.318(0.188/0.503)0.270 ± 0.04

(0.128/0.376)

0.35(0.110/0.730)

0.18860.3502

(0.116/0.764)0.1576

0.639 ± 0.005

0.640(0.551/0.751)

0.0424

0.323(0.198/0.531)0.366 ± 0.03

(0.232/0.525)

0.62(0.250/1.01)

0.15430.6131

(0.240/0.997)0.1630

0.635 ± 0.004

0.629(0.536/0.715)

0.0379

0.254(0.221/0.331)0.241 ± 0.01

(0.172/0.309)

0.48(0.182/0.962)

0.18830.4739

(0.178/0.955)0.1714

0.751 ± 0.009

0.733(0.609/0.840)

0.0452

0.251(0.200/325)0.256 ± 0.01

(0.195/0.357)

0.87(0.540/ 0.997)

0.15530.8642

(0.562/1.161)0.1846

0.749 ± 0.007

0.745(0.651/0.888)

0.0489

Fig. 4. (a) – (d) Fotografías de interfases en papel filtro orientadas en la dirección perpendicular respectoa la dirección de la fibras de papel; (e) – (h) gráficos correspondientes de z(x) en tiempos de (a), (e)900 seg., (b), (f) 925 seg., (d),(g) 1000 seg. y (d), (h) 1680 seg. (es decir mayor a TS).

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4.3 Resultados y Discusión

Como se observa en las figuras 5 a y 5 b, en las etapas iniciales,la altura de la región húmeda, h(t), como una función del tiempoforma una escalera del diablo; mientras que el ancho de la interfaseexhibe un comportamiento dinámico errático y se observan osci-laciones estocásticas en el ancho de la interfase en un pequeñointervalo de tiempo; sin embargo, su valor promedio aumentacon respecto al tiempo en escala de tiempo global. Sin embargo,posteriormente h(t) alcanza un máximo (ver figura 2 a) y el an-cho de la interfase se satura (ver figura 5 b). El tiempo de satura-ción promedio, T

sa = ⟨T

s (W)⟩

N, aumenta cuando se incrementa el

ancho de la probeta como Tsa ∝ Wz (ver figura 5 c), donde z es el

exponente dinámico[5].

El análisis de los gráficos w(t,W) (ver figura 5 b) muestra que latransformada de Fourier de la función de auto-correlación ⟨w(t +∆t, W) w(t, W)⟩; es decir, el espectro de energía del comporta-miento temporal del ancho de la interfase húmeda exhibe un com-portamiento de ley de potencias (ver figura 5 d). Ésto indica lavarianza auto-afín de w(t,W) con respecto a la escala del tiempo.Específicamente, para un fractal auto-afín, el espectro de energíaS(k,W) escala como:

S k W k( , ) ~ ( )− +2 1χ

donde χ > 0 es el exponente de oscilación del ancho de la interfasey k es el factor de onda. Ésto significa que, w(λt, W) ≅ λχ w(t, W),donde “≅” denota igualdad en el sentido estadístico.

Por otro lado, se observa que en los gráficos 5 a y b se puedenajustar a un comportamiento asintótico de ley de potencias, gene-ralmente aplicado dentro del marco de escalamiento dinámico(ver [5] y [6]). Es decir, en la etapa inicial la altura promedio,h

m(t,W) = {z(x,t)}

x∈W ~ h ∝ tδ, y w ∝ tβ, respectivamente; mientras

que en el tiempo de saturación (t = TS) el ancho de la interfase,

promedio de un conjunto de probetas idénticas, escala con el an-cho de la probeta (ver figura 6 a) como: {w(W, T

S)}

N ∝ Wα, donde

β es el exponente de crecimiento y α es el exponente de rugosi-dad global [1]. De aquí que, el comportamiento asintótico delancho promedio de la interfase se puede describir como si se adop-tara la formulación de escalamiento dinámico [5].

⟨ ⟩w W t W x t WN sz( , ) ~ ( / )α f

donde ƒ(y) es la función de escalamiento Family-Vicsek, la cualsatisface ƒ ~ yβ para y << 1, y ƒ ~ 1 para y >> 1; y z = α/β.También se observa que la distribución de las probetas de w(W,T

s) obedece a la función de distribución estadística introducida

por [6].

La rugosidad local de la interfase saturada está caracterizada porel exponente de (Hurst) rugosidad local, H. En este trabajo, sedeterminó el exponente de rugosidad local de todas las interfasessaturadas por el método de Variograma usando el paquete Benoit1.2 [7]. Las variaciones locales de la interfase z(x, t = T

s), toman-

do el promedio de ventanas locales de tamaño ∆, obedece al com-portamiento de escalamiento:

V z x z x H( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆∆= ⟨ − + ⟩ ∝2 2 2

como se puede observar en las gráficas de la figura 6 b.

Se puede observar de los datos presentados en la figura 6 c, que elvalor de H (determinado para interfases que se forman en un pa-pel específico) varía aleatoriamente de un experimento a otro,ajustándose a una distribución normal. Se encontró que el valorpromedio del exponente de rugosidad local no depende del an-cho de la probeta, como tampoco depende de la orientación de lainterfase con respecto a la orientación de las fibras del papel (vertabla 1). Al mismo tiempo, para diferentes tipos de papel se en-contró que el valor promedio de H es completamente diferente(ver figura 6 c y la tabla 1).

Se encontró que en todos los casos H ≅ α (ver tabla 1); es decir,las interfases saturadas son esencialmente auto-afines en natura-leza. Se observa que, generalmente, 0 ≤ Η ≤ α, donde la igualdadH = α es una clara indicación de invarianza estadística auto-afínde la interfase; mientras que una interfase rugosa intrínsicamenteanormal satisface 0 ≤ H < α, y para una interfase súper rugosa secumple que 0 < H ≤ α1, α > 1 [8].

El conjunto de exponente de escalamiento medidos, β, χ, y δ,también se ajustan a una distribución normal (ver figuras 6 d y e).Se encontró que para la orientación de una interfase dada en unpapel dado, el valor promedio del exponente de oscilación delancho, χ, es igual al valor promedio del exponente de crecimien-to; es decir, χ ≅ β (ver tabla 1). Sin embargo, se encontró que elvalor promedio de β es diferente para las direcciones paralela yperpendicular con respecto a la orientación de la fibras de papel,para un papel dado (ver figura 6 e), mientras que el valor prome-dio de δ no depende de la orientación de la interfase con respectoa la orientación de las fibras de papel (ver tabla 1).

Cabe mencionar que para los diferentes tipos de papel, los valo-res promedio de todos los exponentes son diferentes (ver figura 3y tabla 1). Por otro lado, a pesar de la fuerte dependencia de h(t =T

s), h

m(t = T

s) y w(t = T

s) del aire húmedo, así como de la humedad

inicial del papel, se encontró que los valores promedios de todoslos exponentes de escalamiento no dependen de las condicionesambientales (aire, humedad del papel, temperatura, concentra-ción de tinta china).

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5. Conclusiones

El movimiento de la interfase en un medio poroso tiene una natu-raleza escalonada. El desplazamiento de la interfase es una fun-ción de salto del tiempo, tal que la altura de la región húmedah(t,W), como una función del tiempo, exhibe un comportamientosemejante a la escalera del diablo; mientras que la altura prome-dio, h

m(t,W) = ⟨z(x,t)⟩

x∈W aumenta monótonamente con el tiempo

como hm ~ tδ.

El flujo intermitente da lugar a las oscilaciones temporales erráticasdel ancho de la interfase. Estas oscilaciones poseen una invarianzaauto-afín estadística en tiempo con exponente de escalamiento χhasta T

S ~ Wz. Al mismo tiempo, el comportamiento del ancho

promedio de las interfases satisface el escalamiento dinámico deFamily-Vicsek con exponente de escalamiento β ≅ χ.

Para una serie de experimentos idénticos los valores medidos detodos los exponentes de escalamiento (δ, χ ≅ β, y α = H) se ajus-

Fig. 5. Dependencias de tiempo típicas de (a) la altura de la región húmeda y (b) el ancho de la interfase para interfases orientadasparalelas a la dirección de las fibras de papel filtro (los recuadros muestran las partes amplificadas de las gráficas principa-les; las líneas suaves son ajustes por ley de potencias mediante el método de mínimos cuadrados); (c) tiempo promedio dela saturación de la interfase contra ancho de la probeta para interfases en la dirección perpendicular (curva 1) y en ladirección paralela (curva 2) con respecto a la dirección de las fibras de papel filtro; (d) espectro de energía del gráfico (b): (---), los datos se ajustaron por el método de mínimos cuadrados.

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tan a una distribución normal. Los valores promedios de todoslos exponentes dependen de la estructura del papel, pero no de-penden de las condiciones ambientales.

Otro resultado interesante que se encontró, es que el valor pro-medio de β (≅ χ) depende de la orientación de la interface conrespecto a la orientación de las fibras del papel, mientras que losvalores de δ y α = H no dependen de la orientación con respectoa las fibras de papel. Este hallazgo sugiere un cambio radicaldesde el punto de vista teórico de la dinámica de interfaces.

Es razonable esperar que estos aspectos sean característicos parael crecimiento de todas las interfaces auto-afines en sistemas enno-equilibrio de diferente naturaleza. Finalmente, estos trabajospueden ser el punto de partida para analizar el comportamientodel petróleo en los yacimientos.

Estos resultados permiten la aplicación de herramientas como lageometría fractal para obtener parámetros que nos permitan de-sarrollar modelos físicos que describan mejor el complejo com-portamiento de flujo de fluidos en medios porosos; y las propues-tas que se hacen para su aplicación a la industria petrolera.

6. Referencias bibliográficas

[1] A. L. Barabási, H. E. Stanley “Fractal Concepts in SurfaceGrowth”. Cambridge University Press, 1995.

[2] M. Deng y C. T. J. Dodson “Paper: An Engineering StochasticStructure”. (Atlanta Georgia, Tappi Press), 1994.

[3] N. Provatas, M. J. Alava y T. Ala-Nissila. “Phys. Rev.”. E,54, R36, 1996.

[4] Trusoft International, Scion Image, http:///www.trusoft-international.com, 1999.

[5] F. Family y T. Bishkek. “Dynamics of Fractal Surface”.(Singapore, World Scientific, 1991.

[6] A. S. Balankin y O. Susarrey “Phil. Mag. Lett.”. 79, 629,1999.

[7] Scion Corporation Benoit 1.2 http:///www.scioncorp.com,1999.

[8] J. M. López M. A. Rodríguez y R. Cuerno. “Phys. Rev”. E,56, 3993, 1997.

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Fig. 6. (a) ancho promedio de lainterfase contra ancho de la pro-beta para papel filtro (línea 1) ypapel secante (línea 2). (b) Grá-fico típico de las variaciones lo-cales en el ancho de la interfasecon tamaño de ventana para pa-pel filtro. (c) – (e) Distribucionesestadísticas acumulativas de (c)el exponente de Hurst parainterfases en papel filtro (curva 1)y papel secante (curva 2). (d) ex-ponente de desplazamiento parapapel filtro (curva 1) y para papelsecante (curva 2) y (e) el expo-nente de crecimiento b para el flu-jo de fluido en la dirección per-pendicular (curvas 1 y 3) y en ladirección paralela (curvas 2 y 4)respecto a la orientación de lasfibras de papel filtro (curvas 1 y2) y papel secante (curvas 3 y 4).Los datos se ajustaron de acuer-do a una distribución normal.