Analyse financière - Information financière, diagnostic et évaluation
Mémoire présenté devant l’Institut de Science Financière et … · 2018. 11. 7. · du Master...
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Domaine Scientifique de Gerland 50 Avenue Tony Garnier – 69366 LYON CEDEX 07 Tél. (33) 04.37.28.74.40 – Fax (33) 04.37.28.76.32 E-mail : [email protected]
Mémoire présenté devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances
le 30 Septembre 2008
pour l’obtention
du Master Recherche Sciences Actuarielle et Financière
Par : Khouloud MANDHOUJ
Titre : Analyse du Risque de Provisionnement en Assurance IARD et Enjeux dans le Cadre
de Futur Référentiel « Solvabilité 2 »
Confidentialité : Confidentiel (5 ans)
Composition du jury des mémoires : Entreprise : AXA France
Membres du jury des mémoires
M. AUGROS Jean-Claude
M. LAURENT Jean-Paul Directeurs de mémoire :
M. LEBOISNE Nicolas M. DALBARADE Emmanuel M. LOISEL Stéphane M. KUNTZ Sébastien M. PLANCHET Frédéric
M. QUITTARD-PINON François
M. RULLIERE Didier
M. TCHAPDA Idriss
Invité : Secrétariat :
Mme BARTHELEMY Diane
Mme BRUNET Marie Mme GARCIA Marie-José Mme GHAZOUANI Soundous Mme MOUCHON Marie-Claude
Bibliothèque : Mme SONNIER Michèle
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 2
RESUME
Mots Clés : Solvabilité 2, Capital, Solvabilité, SCR, Modèle interne, Value at Risk, Best Estimate, Risque de provisionnement à un an, Volatilité à un an, Provisionnement stochastique, Chain Ladder, Modèles Linéaires Généralisés, Modèle Bayésien, Incréments négatifs.
Dans le cadre du projet « Solvabilité 2 », la valorisation des provisions techniques doit se faire en valeur de marché. Cette valeur doit intégrer une marge de prudence liée à la volatilité des provisions qui définit le risque de provisionnement. Ce risque est dû à l’incertitude, sur le montant estimé des provisions (Best Estimate), résultante de caractère stochastique des règlements futurs des sinistres sur un horizon d’un an.
Cela systématise l’utilisation des techniques actuarielles stochastiques permettant de modéliser le risque de provisionnement et de mesurer le niveau de capital nécessaire pour le couvrir (SCR).
Afin d’atteindre ces deux objectifs, notre mémoire propose une approche basée sur des modèles stochastiques de provisionnement.
A ce titre, nous avons présenté deux modèles : le modèle de Chain Ladder Stochastique et le Modèle Linéaire Généralisé Bayésien qui tient compte des paiements incrémentaux négatifs. Ces modèles présentent l’avantage de disposer d’une information sur le caractère stochastique des règlements inconnus à effectuer dans un an (moyenne, variance, distribution empirique,…). Ainsi, en faisant appel aux techniques de simulation, nous pouvons déterminer la distribution prédictive des provisions sur laquelle seront évalués la volatilité à un an des réserves et le SCR du risque de provisionnement à un an (correspondant à une VaR 99,5%).
Nous avons appliqué notre approche sur une partie du portefeuille IARD d’un assureur de marché français. En comparant les résultats obtenus avec ceux du modèle actuel de mesure de risque de provisionnement à un an utilisé par cet assureur, nous avons conclu notre mémoire par les recommandations nécessaires afin d’améliorer ce modèle et le rendre plus adapté aux exigences du futur référentiel « Solvabilité 2 ».
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ABSTRACT
Key Words: Solvency 2, Capital, Solvency, SCR, Internal model, Value at Risk, Best Estimate, One year reserve risk, One year volatility, Stochastic reserving, Chain Ladder, Generalized Linear Models, Bayesian model, Negative increments.
In the context of “Solvency 2”rules definition, the reserves must be evaluated at Market value. This evaluation must include a prudential margin linked to the reserves’ volatility defining the reserve risk.
The reserve risk is due to the uncertainty on the estimated amount of reserves (Best Estimate) resulted from the stochastic character of the future one year claims payments.
“Solvency 2” introduces the necessary use of stochastic and actuarial techniques enabling not only to model the reserve risk but also to measure the capital required to cover it (SCR).
To achieve these two objectives, our thesis detailed an approach based on stochastic reserving models.
We select two models: the Chain Ladder Stochastic Model and the Generalized Linear Model based on bayesian approach which addresses the problem of negative incremental claims. These models include information about the stochastic character of the one year unknown claims (mean, standard deviation, empirical distribution …). Thus, on the base of the stimulation techniques, one can have a predictive distribution of the Best Estimate, on which will be evaluated the reserves’ one year volatility and the SCR of the one year reserve risk (corresponding to the VaR 99,5%).
We applied our approach on the P&C resulting portfolio belongs to a french insurer. By comparing the different results with those of the insurer’s current model of the one year reserve risk, we concluded our thesis by the necessary recommendations to improve the current model and make it more adapted to “Solvency 2” requirements.
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REMERCIEMENTS
Mes remerciements sont largement adressés à tous les membres de l’équipe Risk
Management d’AXA France pour l’accueil chaleureux qu’ils m’ont réservé.
Particulièrement, M. Emmanuel DALBARADE pour ses conseils précieux
et prolifiques.
Spécialement, M. Sébastien KUNTZ pour sa disponibilité et son aide, le soutien
et la confiance qu’il m’a témoignés tout au long de la préparation de ce mémoire.
J’adresse mes respectueux sentiments de gratitude à tout le personnel enseignant de
l’ISFA, notamment Monsieur le directeur Jean-Claude AUGROS.
Je tiens également à remercier vivement les membres de jury d’avoir accepté
d’évaluer ce travail.
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SOMMAIRE
RESUME .............................................................................................................................................. 2
ABSTRACT ........................................................................................................................................ 3
REMERCIEMENTS ......................................................................................................................... 4
SOMMAIRE .......................................................................................................................................5
INTRODUCTION GENERALE ................................................................................................... 8
PARTIE 1 . FONDEMENTS DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT EN
ASSURANCE IARD : DE SOLVABILITÉ 1 À SOLVABILITÉ 2 .................................... 12
INTRODUCTION ....................................................................................................................... 13 CHAPITRE 1 . LEGISLATION ACTUELLE DU CONTROLE DE SOLVABILITÉ AU
SEIN DE L’UNION EUROPÉENNE ....................................................................................... 14 1.1 Solvabilité 1 : Régime de solvabilité en vigueur dans l’Union Européenne ............... 14 1.2 Capital de Solvabilité : Définition et aspects réglementaires ...................................... 15 1.3 Les Provisions Techniques : Définition et aspects réglementaires (Exemple : French GAAP) .......................................................................................................................................... 17
1.3.1 Provisions pour les sinistres non encore survenus .................................................... 17 1.3.2 Provisions pour les sinistres survenus ........................................................................ 18
1.4 Critiques à l’encontre de Solvabilité 1 ............................................................................. 20 CHAPITRE 2 . SOLVABILITÉ 2 .............................................................................................. 22
2.1 Pilier 1 : Une approche économique pour le Passif fondée sur les risques .................. 24 2.1.1 Les Fonds Propres ......................................................................................................... 24 2.1.2 Les Provisions Techniques .......................................................................................... 25
2.1.2.1 Best Estimate ............................................................................................................ 25
2.1.2.2 Marge de Risque ...................................................................................................... 28 2.2 Le Risque de Provisionnement en Assurance IARD : Une nouvelle problématique introduite par Solvabilité 2 ...................................................................................................... 29
2.2.1 Définition du Risque de Provisionnement ................................................................... 30 2.2.2 Evaluation du Risque de Provisionnement .................................................................. 31
CONCLUSION ............................................................................................................................. 33
PARTIE 2 . MODÈLE INTERNE D’EVALUATION DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT : FONDEMENTS THÉORIQUES ............................................... 35
INTODUCTION .......................................................................................................................... 36 CHAPITRE 1 . FONDEMENTS THÉORIQUES D’ÉVALUATION DU BEST
ESTIMATE DES PROVISIONS POUR SINISTRES À PAYER (PSAP) ......................... 37 1.1 Notations .............................................................................................................................. 37 1.2 Les Méthodes Chain Ladder ............................................................................................... 40
1.2.1 Méthode de Chain Ladder classique ............................................................................... 40 1.2.2 Méthode de Chain Ladder Stochastique : Le Modèle de Mack (1993) ...................... 42
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1.2.4 Limites des méthodes Chain Ladder ............................................................................... 44 1.3 Les Modèles Linéaires Généralisés : Présentation Générale ......................................... 45 1.4 Modélisation des PSAP et la problématique de présence des incréments négatifs ... 48
1.4.1 Présentation du modèle GLM alternatif (Kunkler. [2006]) ......................................... 49 1.4.2 Approche Bayésienne pour l’estimation des réserves ................................................. 50
1.4.2.1 Rappel sur le modèle Bayésien ............................................................................... 51
1.4.2.2 Procédure d’estimation des réserves ....................................................................... 52
CHAPITRE 2 . TECHNIQUES DE SIMULATION .............................................................. 59 2.1 Simulation par inversion de la fonction de répartition ................................................. 59 2.2 Simulation de Monte Carlo par Chaîne de Markov ....................................................... 61
2.2.1 Méthode d’échantillonnage de GIBBS ........................................................................ 61 2.2.2 Application de la méthode d’échantillonnage de GIBBS à l’approche Bayésienne 63
CHAPITRE 3. VALUE AT RISK ................................................................................................ 65 3.1 Mesure de Risque ................................................................................................................. 65 3.2 Value at Risk ........................................................................................................................ 67
3.2.1 Définition ....................................................................................................................... 67 3.2.2 Les différentes approches de calcul de la VaR ........................................................... 68
3.3 Evaluation du risque de provisionnement par la VaR ................................................... 70 CONCLUSION ............................................................................................................................. 71
PARTIE 3 . ETUDE EMPIRIQUE ............................................................................................... 72 INTRODUCTION ....................................................................................................................... 73 CHAPITRE 1 . PORTEFEUILLE IARD ETUDIÉ .................................................................. 75
1.1 Portefeuille étudié ............................................................................................................... 75 1.2 Présentation des données ................................................................................................... 76 1.3 Outils .................................................................................................................................... 77
CHAPITRE 2 . MODÈLE ACTUEL DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT D’AXA
FRANCE ......................................................................................................................................... 78 2.1 Notion de Coefficient de Variation ................................................................................... 78 2.2 Modèle Actuel du Risque de Provisionnement d’AXA France ...................................... 79
2.2.1 Risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des paiements ................................................................................................................................................... 80 2.2.2 Risque de provisionnement sur un horizon d’un an ................................................. 81
2.3 Limites de la méthode actuelle d’évaluation et d’analyse du risque de provisionnement à un an ........................................................................................................... 84
CHAPITRE 3 . RISQUE DE PROVISIONNEMENT SUR L’HORIZON ULTIME DU
DEVELOPPEMENT DES PAIEMENTS ................................................................................ 86 3.1 Méthode Chain Ladder Stochastique ............................................................................... 86 3.2 Modèle GLM LogNormale basé sur l’approche Bayésienne ......................................... 87 3.3 Analyse des Résultats ......................................................................................................... 95
CHAPITRE 4. RISQUE DE PROVISIONNEMENT SUR UN HORIZON D’UN AN 101 4.1 Méthode Chain Ladder Stochastique : Approche Paramétrique ................................ 102 4.2 Modèle GLM LogNormale basé sur l’approche Bayésienne ....................................... 108 4.3 Analyse des Résultats ....................................................................................................... 111
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4.4 SCR du risque de provisionnement à un an : Modèle Standard vs Modèle interne . 116 CONCLUSION ...…………………..……………………………………………………………121
CONCLUSION GENERALE .................................................................................................... 122
ANNEXES ....................................................................................................................................... 128 ANNEXE 1 . QUANTITATIVE IMPACT STUDIES (QIS) .............................................................. 129
ANNEXE 2 . CONSULTATION PAPERS (CP) ............................................................................... 131 ANNEXE 3 . RISQUES A PRENDRE EN COMPTE DANS LE CALCUL DU SCR…………….132 ANNEXE 4 . REGLEMENTS CUMULÉS DE SINISTRES ................................................................. 137 ANNEXE 5 . REGLEMENTS INCREMENTAUX DE SINISTRES ...................................................... 138 ANNEXE 6 . RESULTATS PAR BRANCHE DES ESTIMATIONS DES PARAMÈTRES DE LA
TENDANCE DES DONNÉES TRANSFORMÉES *z DU TRIANGLE MIXTE (MODELISÉES PAR UN GLM DE BERNOULLI) ..................................................................................................................... 139 ANNEXE 7 . RESULTATS PAR BRANCHE DES ESTIMATIONS A PRIORI DE LA MODELISATION GLM PAR L’APPROCHE BAYESIENNE ........................................................................................... 140 ANNEXE 8 . RESULTATS PAR BRANCHE DES ESTIMATIONS A POSTERIORI DE LA MODELISATION GLM PAR L’APPROCHE BAYESIENNE ................................................................ 147 ANNEXE 9 . QQPLOT DE LA LOI EXPONENTIELLE VS LES DONNÉES DU TRIANGLE COMPOSE Q .......................................................................................................................................................... 153 ANNEXE 10 . PROGRAMMES MATLAB .................................................................................... 155
BIBLIOGRAPHIE ......................................................................................................................... 165
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INTRODUCTION GENERALE
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En 2001, la Commission Européenne a lancé pour le secteur de l’assurance une
réforme de la réglementation européenne, sur les nouvelles normes de solvabilité,
dites les directives « Solvabilité 2 » qui introduisent des profonds changements en ce
qui concerne le passif d’une société d’assurance.
En effet, dans ce futur système de solvabilité trois principales valeurs de références
doivent être mesurées. La première définit le capital minimum à détenir pour exercer
une activité d’assurance, la seconde concerne le niveau des provisions techniques et
la troisième concerne le niveau des fonds propres (ou capital de solvabilité) à
constituer au passif en complément des provisions techniques et qui doit être fondé
sur une approche intégrée des risques, auxquels les assureurs sont confrontés,
permettant de l’évaluer à travers une mesure de risque facile à mettre en œuvre par
l’assureur.
En particulier, Solvabilité 2 a introduit un changement fondamental dans
l’évaluation des provisions pour sinistres à payer (PSAP) qui constituent l’élément
essentiel des passifs en Assurance IARD (pour Incendie Accidents et Risques
Divers), par le passage d’un environnement actuel déterministe, où aucune démarche
ou méthode n’est requise pour pouvoir déterminer le montant des provisions, à un
environnement méthodologique stochastique qui vise à anticiper les engagements
pris de l’assureur mais non encore réalisés. Ainsi, toute prédiction du montant des
provisions inclut une certaine incertitude qui sera capturée par « le risque de
provisionnement », ce qui conduira à mobiliser des ressources complémentaires
correspondant à un chargement en capital de solvabilité qu’il faut constituer afin de
le couvrir.
Les réflexions actuelles de la Commission Européenne sont orientées vers un choix
offert aux compagnies d’assurance afin d’évaluer ce chargement du capital :
l’utilisation de la formule standard ou la mise en œuvre d’un modèle interne.
La première option a été définie pour être commune à toutes les sociétés d’assurance
européennes, alors que la deuxième doit être fondée sur la réalisation d’une
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modélisation personnalisée et globale du portefeuille d’assurance en adéquation avec
la réalité économique de l’ensemble des risques assurés.
Dans ce nouveau contexte, les sociétés d’assurance seront fortement incitées à
construire et à améliorer leurs modèles internes dans le but d’avoir une meilleure
gestion de leurs risques.
Leader sur le marché d’assurance français, la société d’assurance « AXA France » a
déjà construit son modèle interne de mesure et de gestion du risque de
provisionnement mais elle souhaite l’améliorer en recherchant des méthodes et des
approches plus robustes permettant de mieux appréhender ce risque.
Ainsi, la finalité de notre mémoire est double : il s’agit, d’une part, de proposer une
modélisation du risque de provisionnement d’une partie du portefeuille IARD
d’AXA France, et d’autre part, d’évaluer le chargement en capital nécessaire pour le
couvrir. Cette finalité sera basée sur des méthodes actuarielles et stochastiques de
provisionnement et tient compte notamment des exigences réglementaires du projet
Solvabilité 2 (horizon d’un an, modèle interne, …).
Pour atteindre ces objectifs, nous exposerons, dans une première partie, l’évolution
du contexte réglementaire de mesure des passifs en assurance IARD tout en nous
concentrant sur les provisions techniques. Pour ce faire, nous allons présenter dans
un premier chapitre la réglementation du passif dans le cadre actuel du projet
« Solvabilité 1 ». Le deuxième chapitre sera consacré à la présentation des nouveaux
aspects quantitatifs réglementaires introduits par le projet « Solvabilité 2 » pour
l’évaluation du niveau des fonds propres et les provisions techniques avant
d’aborder le risque de provisionnement en assurance IARD.
Le modèle interne sera la méthode privilégiée pour mesurer le chargement en
capital lié au risque de provisionnement dans le contexte de Solvabilité 2. Ainsi, et
avant toute étude technique, il nous a paru important de rappeler, dans la deuxième
partie, les fondements théoriques du modèle interne en soulignant trois principes
formant respectivement ses trois chapitres, à savoir : la modélisation des PSAP (à ce
titre, nous allons présenter deux méthodes : les méthodes de type Chain Ladder et les
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Modèles Linéaires Généralisés), ensuite, les techniques de simulation de Monte Carlo
et enfin la mesure de risque Value at Risk.
La troisième partie sera consacrée à l’étude empirique qui illustre une mise en
œuvre pratique de mesure et d’analyse du risque de provisionnement d’une partie
du portefeuille IARD de la société d’assurance AXA France. Ainsi, après avoir
présenté dans un premier chapitre le portefeuille IARD étudié et dans un deuxième
chapitre le modèle actuel d’AXA France, nous allons procéder à l’évaluation du
risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des paiements,
dans un troisième chapitre. Dans le quatrième chapitre, nous allons proposer deux
approches de mesure de chargement en capital lié au risque de provisionnement à un
an dans le cadre du modèle interne du projet Solvabilité 2, tout en comparant ce
montant du capital avec celui obtenu par la formule standard.
Enfin, et compte tenu des résultats obtenus et des analyses effectuées, nous allons
conclure notre étude par les recommandations qui permettent d’améliorer le modèle
actuel de mesure de risque de provisionnement à un an d’AXA France pour le
portefeuille IARD étudié.
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PARTIE 1
FONDEMENTS DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT EN ASSURANCE IARD :
DE SOLVABILITÉ 1 À SOLVABILITÉ 2
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INTRODUCTION
Une société d’assurance se doit d’être solvable, c'est-à-dire de disposer un niveau
de passif (fonds propres et provisions techniques) permettant d’assumer ses
engagements vis-à-vis des assurés et des bénéficiaires de contrats.
L’importance des sommes en jeu a conduit l’Etat à établir des normes permettant le
contrôle de la solvabilité des compagnies d’assurance. Ces enjeux ont été repris au
niveau européen dans le but d’harmoniser les systèmes des différents Etats membres.
Dans cette optique d’harmonisation européenne, la Commission Européenne s’est
attachée à établir un système de solvabilité commun.
Dans un premier temps, elle a harmonisé les systèmes de marge de solvabilité
(Solvabilité 1). Puis elle a commencé à élaborer un référentiel unique dit « Solvabilité
2 » visant à mieux évaluer et intégrer le risque dans les contraintes imposées aux
assureurs en vue d’assurer un niveau suffisant des fonds propres pour couvrir tous
les risques liés à l’activité de la compagnie (risque de souscription, risque
opérationnel, risque de marché, …).
Dans ce nouveau contexte, Solvabilité 2 a introduit le risque de provisionnement
dans le risque de souscription qui constitue le principal risque de passif en assurance
IARD. Ainsi, ce risque doit être garanti par des fonds propres.
L’objectif de la première partie est de présenter l’évolution du contexte
réglementaire de l’évaluation du passif en assurance IARD qui constitue le
fondement du risque de provisionnement.
Pour atteindre cet objectif, nous allons présenter dans un premier chapitre la
réglementation actuelle du passif en assurance IARD dans le cadre de Solvabilité 1.
Dans un deuxième chapitre, nous allons présenter les nouveaux aspects quantitatifs
réglementaires introduits par le projet « Solvabilité 2 » pour l’évaluation du niveau
des fonds propres et les provisions techniques avant d’border le risque de
provisionnement en assurance IARD.
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CHAPITRE 1
LEGISLATION ACTUELLE DU CONTROLE DE SOLVABILITÉ AU SEIN DE L’UNION EUROPÉENNE
En Europe, les premières réglementations1 sur la solvabilité ont été énoncées en
1973 pour le secteur non vie et 1979 pour le secteur vie, elles imposaient aux
assureurs de constituer un «matelas» de fonds propres pour faire face aux aléas de
leur activité. L'objectif du contrôle de la solvabilité était de permettre aux autorités de
contrôle d'identifier en amont les cas problématiques parmi les assureurs et donc de
mieux protéger les preneurs d'assurance.
1.1 Solvabilité 1 : Régime de solvabilité en vigueur dans l’Union Européenne
La réglementation sur la solvabilité n'a subi que peu de modifications depuis
l'adoption des directives dites « Solvabilité 1 » en février 2002, devenues plus
contraignantes depuis 2004. En effet, la législation n'a pas modifié le calcul de
solvabilité, se contentant d'ajouter certaines composantes pour mieux refléter la
situation réelle (relèvement du fonds minimum de garantie ainsi que du seuil dans le
calcul de l’exigence de marge de solvabilité pour le secteur non vie, composition des
fonds propres disponibles, …). Ainsi, « Solvabilité 1 » a conféré des droits
d’intervention étendus aux autorités du contrôle des sociétés d’assurance et elle a pu
renforcer les contrôles en imposant le respect permanent des exigences de solvabilité
(et pas seulement au moment de l’établissement des états financiers) que ce soit pour
l’assurance vie ou l’assurance IARD.
1 Les exigences de solvabilité ont été définies dans la première directive 73/239/CEE du Conseil pour les assureurs non vie et dans la première directive 79/267/CEE du conseil pour les assureurs vie.
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Dans le cadre de Solvabilité 1, le système d’assurance IARD repose sur des règles
(Commission Européenne, [1973] et [2002]) relatives aux actifs (en particulier
l’investissement des montants en représentation des provisions) et aux passifs (calcul
de capital de solvabilité et des provisions techniques). Dans ce qui suit, nous nous
intéresserons aux règles relatives aux passifs.
Fig.1.1 : Cadre du projet Solvabilité 1 : Actifs et Passifs du Bilan d’une société d’assurance
1.2 Capital de Solvabilité : Définition et aspects réglementaires Le contrôle de la solvabilité adopté en Europe repose principalement sur des
règles régissant la dotation en fonds propres. Ainsi, « Solvabilité 1 » impose aux
assureurs de détenir des fonds propres équivalents à l'exigence de marge de
solvabilité ou au fonds minimum de garantie si celui-ci est plus élevé. Par
conséquent, l’assureur européen doit se conformer aux critères de solvabilité
suivants :
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La Marge de Solvabilité Réglementaire
Elle vise à définir le montant des fonds propres indispensable à l'activité courante
de l'entreprise et elle représente une garantie supplémentaire qui vient s'ajouter aux
actifs détenus en contre partie des provisions techniques et permettant ainsi, de
garantir la solvabilité effective de l’entreprise.
En assurance IARD, la marge de solvabilité est calculée en pourcentage des primes
émises ou des sinistres. Pour cela, la réglementation exige une dotation à hauteur
soit de l'indice de primes, soit de l'indice de sinistres, le plus élevé étant retenu
(Commission Européenne. [2002]).
Ces indices sont calculés à l'aide des formules suivantes:
• Indice des primes= [(18%× première tranche de 50 millions EUR de primes
brutes) + (16%× primes brutes restantes)] × taux de rétention2 (50% au minimum)
• Indice des sinistres = [(26% ×première tranche de 35 millions EUR de sinistres
brutes) + (23% × sinistres brutes restants)] × taux de rétention
Notons que dans l’assurance Responsabilité Civile (RC), à l’exception de l’assurance
RC Automobile, et dans l’assurance transport et aviation, on applique un coefficient
de 1,5 à ces indices.
Fonds Minimum de Garantie
Il permet de garantir la solvabilité exigée qui désigne le niveau des fonds propres
auquel l’assureur est tenu de se conformer.
En assurance IARD, le fonds minimum de garantie est constitué du tiers de la marge
de solvabilité, avec un minimum de 0,2 à 1,4 millions euros selon la branche
d’activité.
2 Taux de rétention = Sinistres nets (après déduction de réassurances)/moyenne des sinistres brutes sur 3 mois.
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1.3 Les Provisions Techniques : Définition et aspects réglementaires (Exemple : French GAAP3)
Le dispositif « Solvabilité 1 » précise que la législation des Etats membres est
applicable. Ainsi, chacun de ces Etats applique ses règles comptables pour définir et
estimer les montants des provisions techniques. Cette estimation « prudente »
correspond à leur valeur comptable définie par la somme non actualisée des
paiements futurs (y compris les frais de gestion des sinistres).
A titre d’exemple, nous allons présenter la réglementation comptable française (en
anglais, French GAAP).
Selon l’article R.331-1 du code des assurances, les assureurs doivent constituer des
«… provisions techniques suffisantes pour le règlement intégral de leurs
engagements vis-à-vis des assurés ou bénéficiaires des contrats ». Ainsi, les
provisions techniques sont des fonds constitués et inscrits au passif du bilan d’un
assureur pour les sinistres non encore réglés. Les actifs correspondant à ces
provisions sont financés par les primes payées par les preneurs d’assurance. Au cas
où ces primes ne seraient pas suffisantes, la différence doit être couverte par les
capitaux propres. En outre, les ajouts aux provisions doivent être enregistrés comme
des dépenses, alors que la libération des provisions est enregistrée comme revenu.
En assurance IARD, les provisions couvrent deux catégories de sinistres4 : les
sinistres non encore survenus et les sinistres survenus.
1.3.1 Provisions pour les sinistres non encore survenus
Elles regroupent la provision pour primes non acquises et la provision pour
risques en cours.
Generally Accepted Accounting Principles : Normes comptables françaises.
4 Ce sont les deux principales catégories, il y a aussi les autres provisions techniques comme la provision pour égalisation, la provision pour risque d’exigibilité des engagements techniques, …
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Provision pour primes non acquises
C’est une provision destinée à constater, pour l’ensemble des contrats en cours, la
part des primes émises et des primes restant à émettre se rapportant à la période
comprise entre la date de l’inventaire et la date de la prochaine échéance de prime
(ou du terme du contrat). Le calcul de cette provision se fait au prorata temporis pour
chaque contrat et chaque catégorie comptable (art. R331-6, 2).
Provision pour risques en cours
Elle a pour objet de pallier une éventuelle insuffisance des tarifs. Ainsi, cette
provision est destinée à couvrir, pour l’ensemble des contrats en cours, la charge des
sinistres et des frais afférents aux contrats par la période s’écoulant entre la date
d’inventaire et la date de la première échéance de prime pouvant donner lieu à une
révision de la prime par l’assureur, ou, à défaut, entre la date d’inventaire et le terme
du contrat pour la part de ce coût qui n’est pas couverte par la provision pour primes
non acquises (art. R331-6, 2°bis).
1.3.2 Provisions pour les sinistres survenus
Ce sont les provisions pour les sinistres à payer « PSAP » (en anglais,
outstanding claims reserve) définies par « la valeur estimative des dépenses en
principal et en frais, tant internes qu’externes, nécessaires au règlement de tous les
sinistres survenus et non payés » (art. R331-6, 4°)5. Elles regroupent la provision pour
les sinistres déclarés et la provision pour les sinistres pas encore déclarés.
La provision pour les sinistres déclarés (provision dossier/dossier (D/D))
Cette provision concerne les sinistres ayant été notifiés à l’entreprise d’assurance et
dont l’année de déclaration correspond à l’année de survenance (voir Fig.1.2).
Réglementairement (art. R.331-15), la méthode d’évaluation de cette provision est la
méthode dossier-dossier (en anglais, case estimate). Dans ce cas, les gestionnaires des
sinistres évaluent chaque sinistre et estiment son coût final, non actualisé, dans les
5 La partie de la PSAP correspondant aux dépenses en frais est la provision pour frais futurs de gestion. Dans notre cas, elle est calculée forfaitairement en pourcentage de PSAP. Ainsi, nous ne distinguerons pas la PSAP et la provision pour frais futurs de gestion.
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registres de l’entreprise et constituent, ainsi, une provision pour assurer le paiement
ultérieur des sinistres. De ce fait, ils contrôlent, le règlement de ces derniers et
s’assurent que le montant des provisions est adéquat.
Fig.1.2 : Provision pour les sinistres survenus et déclarés
La provision pour les sinistres pas encore déclarés (ou tardifs)
C’est la provision relative aux sinistres survenus et tardifs (en anglais IBNR6,
Incurred But Not Reported) dont l’année de déclaration est postérieure à l’année de
survenance (voir Fig.1.3).
Fig.1.3 : Provision pour les sinistres survenus et pas encore déclarés
(Cas où la déclaration sera faite après une année)
Bien que la règle générale en matière de provisionnement pour les sinistres survenus
soit l’évaluation « dossier-dossier », le code des assurances (depuis 1991) accepte
l’utilisation des méthodes statistiques7 (avec l’accord de la commission de contrôle
des assurances) pour l’évaluation de la provision pour « IBNR ».
6 Les sinistres IBNR regroupent les sinistres IBNER (Incurred But Not Enough Reported) qui sont les sinistres déclarés mais non suffisamment provisionnés, et les sinistres IBNYR (Incurred But Not Yet Reported) aussi appelés les « true IBNR » qui sont les sinistres survenus mais non encore déclarés. Ainsi, les incertitudes sur le montant des provisions pour les IBNER et IBNYR contribuent implicitement aux incertitudes existantes sur les IBNR. 7 Ces méthodes statistiques reposent principalement sur les données historiques de la sinistralité et elles sont d’autant plus performantes que les données sont stables, nombreuses et fiables.
1/1 /N 31/12 /N 31/12 /N+1 Sinistre
Provision
Déclaration
1er règlement Provision
…………………….......
Règlement définitif
31/12 /N+..
1/1 /N 31/12 /N 31/12 /N+1 Sinistre
Provision
Déclaration
1er règlement Provision
…………………….......
Règlement définitif
31/12 /N+..
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 20
1.4 Critiques à l’encontre de Solvabilité 1 Malgré la simplicité et la robustesse du dispositif Solvabilité 1, ses avantages
masquent certaines critiques quantitatives et qualitatives.
Critiques Quantitatives
• Il prend le passé comme la seule et l’unique référence et fait donc l’hypothèse
que le passé est un bon guide pour estimer le futur sans ajustement, ainsi, la
vision de « Solvabilité 1 » est uniquement rétrospective.
• Il ne fait aucune distinction entre les risques, quelle que soit leur volatilité à
l’intérieur d’une même branche (seul le montant souscrit impacte le calcul), or
les différentes lignes d’activité présentent des profils de risque très différents.
• Il ne porte que sur le montant espéré et non actualisé des provisions techniques
et l’évaluation de ces dernières ne repose pas sur une approche cohérente avec
la valorisation du marché.
• Il pénalise les entreprises qui sur-provisionnent leurs risques. Ainsi, les
assureurs plus prudents se trouvent désavantagés par rapport à leurs
concurrents, car ils immobilisent plus de capital dans leurs provisions
techniques et sont donc soumis à des exigences plus strictes en matière de
solvabilité.
Critiques Qualitatives
L’aspect qualitatif est complètement négligé. Cela peut être expliqué par plusieurs
raisons. D’abord, aucune surveillance n’est exercée sur le contrôle interne (pistes
d’audit, méthodes de gestion,…), ensuite, solvabilité 1 ne satisfait pas aux exigences
internationales notamment les normes IAS-IFRS8, et enfin, il est moins complet que
8 IAS (International Accounting Standards) : c’est l’ancien nom des normes comptables internationales. Les normes comptables internationales développées à partir du 1 Avril 2001 s’appellent IFRS (International Financial Reporting Standards). Certaines IAS ont été remplacées par des IFRS, d’autres sont toujours en vigueur. L’ensemble IAS/IFRS a été imposé comme cadre comptable par l’UE afin d’harmoniser la présentation et la clarté des états financiers des entreprises cotées.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 21
d’autres systèmes internationaux de contrôle de solvabilité (comme ICAS9au
Royaume –Uni, la norme RBC10aux Etats-Unis,…).
A cause des critiques formulées à l’encontre de la réglementation en vigueur, la
commission européenne a été amenée à proposer une révision du système régissant
actuellement le contrôle de solvabilité dans l’UE (Commission Européenne. [2003]).
9 ICAS (Individual Capital Adequacy Standards) nouvelles normes prudentielles au Royaume-Uni qui incluent une définition de la marge de solvabilité en fonction du risque. 10 RBC (Risk Based Capital) : norme en vigueur du contrôle de solvabilité aux Etats-Unis depuis 1993 et qui exige aux sociétés d’assurance de détenir des fonds propres en fonction de leurs risques.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 22
CHAPITRE 2
SOLVABILITÉ 2 En 2001, la Commission Européenne a lancé le projet « Solvabilité 2 » afin de revoir
le dispositif européen actuel de surveillance prudentielle des compagnies
d’assurance. Après le lancement d’une large consultation organisée par le CEIOPS 11
en fin de 2005 (par les Consultation Papers 12) et à travers des études d’impact sur le
marché (par le biais des QIS 13), ce projet de directive européenne a été présenté à la
commission en juillet 2007 et devrait être adopté d’ici à la fin de l’année 2008 pour
une mise en œuvre prévue à partir de 2010 ou 2012.
Les objectifs de Solvabilité 2 sont de protéger les assurés et d’établir un calcul de
solvabilité reflétant mieux les risques encourus par les assureurs, que le permettent
les critères actuels de Solvabilité 1. Par conséquent, ce nouveau système doit fournir
aux autorités du contrôle les outils et la capacité d’évaluer la solvabilité globale des
sociétés d’assurance.
En outre, Solvabilité 2 sera fondé sur une structure à trois piliers (voir Fig.1.4). Le
premier plus quantitatif, prévoit essentiellement les règles concernant l’évaluation du
passif (à savoir le niveau des provisions techniques et le niveau des fonds propres) et
de l’actif (qui sera évalués avec leur valeur de marché), ce pilier s’attache donc à
établir des outils de mesure de la suffisance des « provisions techniques » et à
formuler une harmonisation de ses principes de calcul entre les différentes
compagnies d’assurance. Le deuxième pilier est plus qualitatif prévoit les règles de
suivi des risques en interne aux sociétés et aux autorités du contrôle. Enfin, le
troisième pilier concerne la transparence et la communication d’informations
relatives aux deux piliers précédents.
11 CEIOPS (Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors): c’est le Comité Européen des Contrôleurs d’Assureurs et de Pensions Privées créé par la Commission Européenne en 2003. Son rôle principal consiste à fournir à la Commission une expertise technique concernant les règles, les recommandations et les directives pour le projet Solvabilité 2 12 Voir ANNEXE 2. 13 QIS (Quantitave Impact Studies) : Etudes Quantitatives d’Impact (voir ANNEXE 1).
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 23
Fig.1.4 : Les trois Piliers du Projet Solvabilité 2
Notre mémoire est centré uniquement sur les exigences quantitatives, et concerne
donc exclusivement le Pilier 1 pour le risque de passif IARD, que nous allons
développer dans ce qui suit.
Fig.1.5 : Cadre du projet Solvabilité 2 : Actifs et Passifs du Bilan d’une société d’assurance
Pilier 1 Exigences Quantitatives
• Définition des risques • Evaluation des actifs • Evaluation des
provisions techniques • Exigence du Capital
de solvabilité (SCR) • Exigence du Capital
minimum (MCR) • Modèles internes • Dépendance des risques
Pilier 2 Exigences Qualitatives
• Contrôle interne
• Gestion des Risques
• Corporate Governance
• Harmonisation du contrôle au niveau européen
Pilier 3 Discipline de marché
• Communication financière aux : autorités de marché, assurés et épargnants, régulateurs,…
• Transparence et harmonisation des règles comptables et prudentielle
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 24
2.1 Pilier 1 : Une approche économique pour le Passif fondée sur les risques
2.1.1 Les Fonds Propres
Le calcul des Fonds Propres comporte deux niveaux : le Capital Minimum
Requis (en anglais, Minimum Capital Requirement « MCR ») et le Capital de Solvabilité
Requis (en anglais, Solvency Capital Requirement « SCR »).
Minimum Capital Requirement (MCR)
C’est le niveau du capital au dessous duquel des mesures diverses devront être
exercées par les autorités du contrôle (plan de redressement, retrait d’agrément,…). Il
doit constituer un indicateur simple, robuste, objectif et facile à calculer afin de
permettre des évaluations fréquentes et idéalement additives sur les filiales d’un
groupe14.
Solvency Capital Requirement (SCR)
Egalement appelé Capital Ajusté au Risque (en anglais, Risk Adjusted Capital), ce
dernier désigne " le niveau de capital permettant à une société d’assurance d’absorber les
sinistres imprévus significatifs et de donner aux preneurs d’assurance l’assurance raisonnable
que les versements seront effectués à leur échéance" (Commission Européenne, [2003]). Il
s’agit donc du capital nécessaire à la société pour qu'elle soit quasi-certaine de
demeurer solvable et de pouvoir poursuivre son activité dans les années futures.
Le SCR sera calculé en utilisant soit une formule standard développée au niveau
européen, soit un modèle interne à la compagnie (préalablement validé par les
autorités du contrôle) qui devra mieux s’adapter au profil de risque de l’assureur.
14 Les modalités du calcul de MCR sont actuellement en cours de définition. Néanmoins, deux approches seront envisagées pour son calcul (selon QIS 3) : Une approche compacte : Selon laquelle, le MCR correspond au maximum entre un montant forfaitaire prédéfinie (plancher absolu) et un pourcentage du SCR de l’année précédente. Une approche modulaire : Le MCR est évalué par une mesure de risque, prédéfinie, au seuil de confiance 90% sur le risque de marché et les risques assurantiels (risques de souscription).
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 25
Par conséquent, tous les risques importants et quantifiables auxquels un assureur est
exposé doivent être pris en compte dans ce calcul15.
Toutefois, quelque soit l’approche adaptée pour évaluer le SCR, ce dernier doit
correspondre aux fonds propres requis pour remplir toutes les obligations à un
horizon temporel donné, fixé à un an, et en fonction d’un niveau de confiance défini
(équivalent à une probabilité de ruine de 0,5%) en utilisant un modèle probabiliste et
des données internes à la société.
2.1.2 Les Provisions Techniques En accord avec les développements attendus de l’IASB16, les provisions
techniques devront être calculées en « Best Estimate » qui correspond à la meilleure
vision économique des provisions techniques et d’une Marge pour Risque (en
anglais, Market Value Margin), telle que :
Valeur de Marché des Provisions Techniques = Best Estimate + MVM
2.1.2.1 Best Estimate
En règle générale, le « Best Estimate » des provisions techniques
correspond à la valeur actuelle de leurs montants attendus ou espérés, basée non
seulement sur des informations actuelles, disponibles, crédibles et conformes aux
caractéristiques du portefeuille d’assurance sous- jacent mais aussi, sur des méthodes
statistiques compatibles avec les meilleures pratiques actuarielles en vigueur et tenir
compte de tous les facteurs susceptibles d’avoir un impact sensible sur la sinistralité
future attendue.
15 Voir ANNEXE 3 pour une présentation complète des risques à prendre en compte dans le calcul de SCR. 16 IASB (International Accounting Standards Board) : c’est l’organisme international chargé de l’élaboration des normes comptables internationales IAS/IFR.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 26
En assurance IARD (directe), les résultats de calcul du « Best Estimate » doivent être
présentés sur la base d’une segmentation selon douze branches17 (voir Fig.1.6).
Fig.1.6 : Segmentation des Branches pour l’évaluation du Best Estimate
en Assurance IARD (directe)
En outre, le « Best Estimate » de chaque branche regroupe le « Best Estimate des
provisions pour primes » et le « Best Estimate des provisions pour sinistres à payer »
qui doivent être calculés séparément et brutes des contrats de réassurance et des
véhicules de titrisation18.
Best Estimate des provisions pour primes
Les provisions pour primes (en anglais, stand-ready obligation) remplacent les
actuelles provisions pour primes non acquises et pour risques en cours (risques liés
aux sinistres non survenus). Elles concernent la période de couverture durant
laquelle l’assureur doit fournir un service consistant à accepter et à gérer les risques
de survenance des événements assurés avec gravité variable, de ses souscripteurs.
17 Article 63 de la Directive du Conseil concernant les comptes annuels et les comptes consolidés des entreprises d’assurance (91/674/CEE). 18 La titrisation est un type de couverture qui permet de transférer un risque d’un assureur ou d’un réassureur, non pas auprès d’un autre assureur ou d’un autre réassureur, mais au marché financier.
1. Accident et maladie – indemnités journalières
2. Accident et maladie – assurance maladie
3. Accident et maladie – autres risques non compris dans 1. ou 2.
4. Automobile, Responsabilité Civile
5. Automobile, autres branches
6. Marine, aviation et transport
7. Incendie et autres dommages aux biens
8. Responsabilité civile
9. Crédit et caution
10. Protection juridique
11. Assistance
12. Divers assurance non-vie
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 27
Le « Best Estimate des provisions pour primes » couvre tous les règlements de
sinistres futurs postérieurs à la date d’évaluation qui seront couverts par les polices
en cours qui n’ont pas encore expiré, les frais administratifs et toutes les futures
primes attendues.
Une approche simplifiée du «Best Estimate de la provision pour primes » a été
suggérée par les QIS 3 et QIS 4. Elle consiste à utiliser « une approximation basée sur
les paiements des sinistres moyens attendus » et un « ratio combiné »19estimé à partir
des données spécifiques à la société.
Best Estimate des provisions pour sinistres à payer (PSAP)
Les PSAP concernent la période de règlement comprise entre la survenance des
sinistres (y compris les IBNR) et leur règlement définitif. Durant cette période de
règlement, l’assureur est exposé à un risque dû aux incertitudes concernant, par
exemple, le nombre et le montant des sinistres IBNR, la nature stochastique du
montant des sinistres et la date du règlement (qui est fonction des procédures de
gestion des sinistres et de la réouverture potentielle de sinistres) ainsi qu’à des
incertitudes liées, par exemple, à une évolution de l’environnement juridique.
Le CEIOPS, par l’intermédiaire des QIS, précise que le « Best Estimate des provisions
pour les sinistres à payer », en particulier pour les branches à développement long et
moyen, doit être calculé par au moins deux méthodes actuarielles
différentes20considérées comme fiables et pertinentes et donnant un faisceau
convergent d’estimations. La méthode la plus appropriée et qui rend compte au
mieux de la nature de passif sera ensuite choisie (Commission Européenne, [2008]).
Comme un passif n’arriverait pas à trouver preneur au prix du Best Estimate sur un
marché organisé, une quantité supplémentaire doit être ajoutée à ce dernier pour
pouvoir qualifier l’ensemble de « valeur de marché » des provisions. Cette quantité
est appelée « Marge pour Risque ».
19 Le ratio combiné est égale à (Sinistres+frais généraux)/Primes. 20 Deux méthodes sont différentes lorsqu’elles font appel à des techniques actuarielles différentes et à des séries d’hypothèses différentes qui contrôlent l’une l’autre l’absence d’erreur de paramètre ou de modèle.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 28
2.1.2.2 Marge de Risque
En assurance IARD, l’approche validée par le CEIOPS pour l’évaluation
de La Marge de Risque (en anglais, Market Value Margin) est la méthode « Coût de
Capital » (en anglais, Cost of Capital). Cette méthode inspirée par le Test Swiss de
Solvabilité, consiste à calculer le coût d’immobilisation d’un montant des fonds
propres éligibles (égale au SCR) nécessaire pour assumer les engagements
d’assurance et de réassurance jusqu’à extinction totale de ces derniers. Elle se résume
dans ces trois étapes :
Etape 1
A la date du calcul de Best Estimate (correspond, par définition, au début de l’année
0), on calcul le SCR pour chaque segment d’assurance (voir Fig.), correspondant non
seulement à cette date, mais aussi à chaque année future de la durée de vie des
engagements en prenant en compte les risques suivants : opérationnel, de
souscription relatif au portefeuille en cours (en Run –Off) et le risque de contrepartie
(relatif aux cessions de réassurance).
Etape 2
Le coût de détention du SCR est obtenu en multipliant chacun des futurs SCR par le
coût de capital (fixé à 6%).
Etape 3
Actualiser chacun des montants obtenus précédemment au moyen de la courbe des
taux sans risque de l’année 0. La somme de ces valeurs actualisées correspond à la
marge du risque à associer au Best Estimate des engagements concernés au début de
l’année 0.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 29
2.2 Le Risque de Provisionnement en Assurance IARD : Une nouvelle problématique introduite par Solvabilité 2
Nous avons vu que l’évaluation de la « Marge de Risque » requiert le calcul du
SCR de chaque segment d’assurance. L’évaluation du SCR nécessite une
quantification des risques qui lui sont associés (voir ANNEXE 3).
En assurance IARD, le risque de souscription non vie constitue la composante
principale dans l’évaluation du SCR. Ce risque correspond, en effet, à un risque
d’assurance spécifique qui résulte des contrats d’assurance et il doit couvrir les
incertitudes relatives aux résultats des souscriptions de l’assureur. Ces incertitudes
concernent :
• Le montant et le moment des règlements de sinistres liés aux passifs existants ;
• Le volume d’affaires qui sera souscrit et les taux de prime (ou les tarifs) auxquels il
sera souscrit ;
• Les taux de prime qui seraient nécessaires pour couvrir les passifs engendrés par
les affaires souscrites.
Par conséquent, l’évaluation du risque de souscription IARD nécessite la distinction
entre trois sources de ce risque à savoir les risques de tarification et de
provisionnement et les risques catastrophes.
Les risques qui comprennent des incertitudes quant à la date des paiements
qu’aux coûts à savoir :
• Le risque de tarification (risque des primes) relatif à l’insuffisance du tarif et à la
volatilité du ratio combiné du fait que les dépenses et le volume des pertes liées
aux futurs sinistres survenant jusqu’à l’horizon de l’évaluation de solvabilité
(horizon d’un an) soient supérieures aux primes perçues.
• Le risque de provisionnement (ou le risque des réserves) lié aux provisions pour
primes et les provisions pour sinistres à payer.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 30
Les risques de Catastrophe : résultent des événements extrêmes ou irréguliers
insuffisamment couverts par les chargements au titre des risques de tarification et de
provisionnement.
Dans ce qui suit, de ce paragraphe, nous nous intéresserons, en particulier, au risque
de provisionnement lié aux provisions pour sinistres à payer.
2.2.1 Définition du Risque de Provisionnement
Solvabilité 2 a introduit un changement radical dans la détermination des
provisions pour sinistres à payer, par le passage d’un environnement déterministe,
où aucune méthode ou démarche n’est requise pour pouvoir évaluer les montants
des provisions (cadre du projet Solvabilité 1), à un environnement méthodologique,
très encadré et ayant une dimension stochastique.
Cette dimension stochastique permet de définir le risque de provisionnement qui
correspond à une mauvaise évaluation du Best Estimate (ou du niveau moyen) des
provisions pour sinistres à payer et à la volatilité de ce Best Estimate.
Mauvaise évaluation du Best Estimate des provisions pour sinistres à payer
Elle correspond à une mésestimation des provisions pour sinistres vu que les
erreurs de provisionnement sont inévitables quelle que soit la méthode d’évaluation
choisie. Ces erreurs peuvent être provoquées soit par des facteurs contrôlables par
l’assureur (comme la manque de connaissance de l’activité ou les tendances qui
caractérisent les sinistres) ou des facteurs incontrôlables (comme les évolutions
juridiques inattendues, l’exemple le plus parlant est celui des Etats-Unis, où les
changements juridiques ont entraîné des sinistres se montant à des milliards de
dollars dans le domaine de l’environnement et ces sinistres n’étaient pas prévus
lorsque les polices ont été souscrites).
Volatilité du Best Estimate des provisions pour sinistres à payer
Elle est dûe à la nature stochastique des futurs règlements des sinistres. En effet, les
estimations initiales de ces derniers ne prédiront jamais parfaitement les sinistres
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 31
définitifs payés (sinistres réels) fluctueront autour de leur valeur moyenne
statistique.
2.2.2 Evaluation du Risque de Provisionnement
Le principe d’évaluation du risque de provisionnement, dans le contexte du
projet Solvabilité 2, se base essentiellement sur l’effet de l’ajout d’une information
supplémentaire relative aux règlements futures des sinistres et à l’évolution des
provisions dossier/dossier (sur un horizon d’un an), sur l’estimation et la volatilité
du Best Estimate de provisionnement.
Ainsi, considérons que l’assureur a estimé le montant des provisions (leur Best
Estimate) de fin d’année N, sachant les informations disponibles jusqu’à cette date.
Ces provisions correspondent à tous les règlements futurs des sinistres jusqu’à la fin
de la période de leur liquidation.
Le fait de disposer d’une information supplémentaire sur les règlements futurs de
l’année N+1(comme leur tendance, leurs caractéristiques statistiques,…) peut
entrainer un changement dans l’estimation du Best Estimate des provisions de fin de
l’année N, déjà faite par l’assureur. Ainsi, et avec cette information supplémentaire,
l’assureur peut réduire l’erreur dans l’estimation du Best Estimate des provisions.
Ajoutant à cela que l’assureur peut prévoir plusieurs scénarios pour l’information
concernant les sinistres de l’année N+1, vu le caractère stochastique de ces derniers.
Il peut avoir, par conséquent, des estimations différentes pour le Best Estimate des
provisions, ce qui génère la volatilité de ce dernier.
Afin d’évaluer le risque de provisionnement, les autorités du contrôle prévoient
deux options pour les sociétés d’assurance, la formule standard ou le modèle interne.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 32
Formule Standard
Le chargement en capital nécessaire pour couvrir le risque de provisionnement
(SCR) est calculé en prenant en compte les hypothèses suivantes :
• une volatilité du provisionnement fixée par branche ;
• une corrélation fixée entre les branches et entre les risques ;
• une distribution LogNormale du risque sous jacent.
Modèle interne
Les autorités du contrôle autorisent les sociétés d’assurance à utiliser leur propre
modèle interne pour l’évaluation du risque de provisionnement. Au contraire de la
formule standard, la volatilité du provisionnement ainsi que les corrélations entre les
branches et entre les risques sont celles intrinsèques à la société et dépendantes de sa
propre expérience.
L’unique exigence, imposée par les autorités du contrôle, pour le modèle interne est
que ce dernier doit être conforme aux exigences de base de Solvabilité 2 à savoir un
horizon d’un an et une mesure de risque définie par une probabilité de ruine de
0,5%.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 33
CONCLUSION
Au niveau de cette première partie, nous avons vu que dans un contexte
réglementaire évolutif de passif en assurance IARD, les assureurs sont désormais
fortement incités à établir un calcul de solvabilité reflétant mieux le risque de
souscription en intégrant le risque du provisionnement dans le calcul du capital de
solvabilité (SCR).
Nous avons commencé, par la présentation du contexte actuel (Solvabilité 1) de
l’évaluation du passif qui repose principalement sur des règles régissant la dotation
en fonds propres et cela par l’exigence d’une marge de solvabilité qui vise à définir la
solvabilité effective de la compagnie d’assurance.
Toutefois et malgré la robustesse de Solvabilité 1, celui-ci présente certaines
faiblesses dont les principales sont : l’absence d’une approche qui soit cohérente avec
le marché dans le calcul des provisions techniques et la non prise en compte de tous
les risques encourus par l’assureur dans le calcul du capital de solvabilité.
Ainsi, la nécessité d’une part, de déterminer « une valeur de marché » des
provisions techniques alors qu’il n’existe pas de marché des passifs et d’autre part
d’intégrer tous les risques dans le calcul du capital de solvabilité, a introduit, avec le
référentiel Solvabilité 2, des changements importants dans l’évaluation du passif.
En premier lieu, nous avons défini les nouvelles règles des exigences quantitatives
pour le passif IARD. Ainsi, la valeur de marché des provisions techniques doit être
calculée en Best Estimate en rajoutant une marge pour risque, et le capital cible ou
SCR sera évalué via une formule standard ou un modèle interne en prenant compte
essentiellement le risque de souscription qui constitue le principal risque de passif
IARD.
En second lieu, nous avons présenté le risque de provisionnement qui est une des
composantes du risque de souscription IARD. Ce risque est dû essentiellement à une
mauvaise évaluation de Best Estimate des provisions et à la volatilité de ce dernier.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 34
Vu la nécessité de prendre en compte les provisions techniques dans le calcul du
SCR par leur risque, deux approches seront envisageables pour l’évaluation du
risque de provisionnement soit la formule standard ou le modèle interne.
Dans la partie suivante du notre mémoire, nous allons présenter les fondements
théoriques de l’évaluation du risque de provisionnement par le modèle interne dans
le cadre du projet « Solvabilité 2 ».
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 35
PARTIE 2
MODELE INTERNE D’EVALUATION
DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT :
FONDEMENTS THEORIQUES
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 36
INTODUCTION
L’évaluation du risque de provisionnement se fait par le calcul d’un chargement en
capital (SCR) relatif à ce risque. Ce SCR doit être calculé sur la base d’une mesure de
risque appelée Value at Risk.
Dans le cadre du modèle interne, cette mesure de risque requiert d’avoir une
distribution du risque sous jacent qui correspond aux fluctuations du Best Estimate
suite aux différents scénarios construits des règlements futurs des sinistres (sur un
horizon d’un an) en essayant d’intégrer au mieux le fonctionnement réel de la
compagnie.
Ainsi, le but de cette partie est de présenter les fondements théoriques de l’évaluation
du risque de provisionnement par le modèle interne dans le cadre du référentiel
« Solvabilité 2 », en mettant en œuvre trois valeurs de référence qui feront l’objet des
chapitres de cette partie :
Méthodes d’évaluation du Best Estimate des PSAP : deux méthodes
actuarielles différentes et cohérentes avec les données intrinsèques à la société
(QIS 3 et QIS 4).
Techniques de simulation : pour construire les scénarios des règlements
futurs des sinistres.
La Value at Risk : qui est la mesure de risque privilégiée pour évaluer le SCR.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 37
CHAPITRE 1
FONDEMENTS THEORIQUES D’EVALUATION DU BEST ESTIMATE DES PROVISIONS POUR SINISTRES À PAYER (PSAP)
Afin de mesurer le niveau des PSAP sans marge de risque qu’une compagnie
d’assurance doit détenir, l’approche retenue par la commission européenne était le
Best Estimate ou l’approche de « valeur attendue », qui sera une estimation basée sur
la valeur actuelle de l’espérance des provisions.
Dans le QIS 4, le CEIOPS a encouragé l’utilisation des paramètres spécifiques aux
activités des assureurs pour l’évaluation du « Best Estimate » en Assurance IARD.
Ainsi, cette évaluation doit être fondée sur une approche économique s’appuyant sur
des hypothèses réalistes et des méthodes actuarielles adaptées au propre profil du
risque de la société.
Il existe différentes méthodes de calcul du Best Estimate des PSAP. La littérature
étant abondante sur le sujet, nous nous limiterons à la description des méthodes
classiques, que nous mettrons en œuvre dans ce mémoire, à savoir : les méthodes de
type Chain Ladder et les Modèles Linéaires Généralisés.
1.1 Notations Nous présentons, dans ce paragraphe, l’ensemble des notations que nous
utiliserons par la suite.
Se plaçant au 31/12/N, nous supposons, qu’après n années suivant leur survenance,
tous les sinistres soient entièrement réglés.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 38
Fig.2.1 : Schéma de déroulement d’un sinistre en se plaçant au 31/12/N
Considérons une (sous-) branche dont les sinistres se déroulent sur n années. On note :
- i 21: année de survenance (date à laquelle le sinistre a lieu), ni ≤≤1 .
- j 21 : année de développement (la jième année de développement est la jième
année suivant la survenance du sinistre), nj ≤≤1 .
- ijy : une mesure de sinistralité (ou exposition au risque) correspondant à
l’année de survenance i et au délai j.
Dans la suite, nous supposerons, pour fixer les idées, que nous traitions des
paiements de sinistre en monnaie constante comme une mesure de sinistralité
(c'est-à-dire que l’on neutralise l’inflation). Ainsi : ijy correspond au paiement
des sinistres (survenus à la date i) effectué à la jième année de développement.
Par ailleurs, soit :
- ijC : représente la somme cumulée des paiements (en monnaie constante)
relatifs aux sinistres survenus à la date i et effectués jusqu’à la jième année de
développement ( nj ≤≤1 ). On a donc la relation : −
=
+=1
1
j
kikijij yyC .
Afin de décrire comment les paiements des sinistres (cumulés ou décumulés) de
chaque année de survenance i s’évoluent dans le temps, par année de développement
j, on met classiquement ces paiements sous la forme des triangles de liquidation qui
se présentent ainsi :
21 i et j peuvent être des périodes trimestrielles, semestrielles, …
Survenance Déclaration
Règlements
Clôture
n années de développement
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 39
Année de développement
Année de 1 2 … j … n-i … n-1 n
survenance 1 2
…
i ijy
… n-j
… à
estimer n-1 n
Fig.2.2 : Triangles de liquidation
- Les paiements du triangle supérieur sont connus et déjà observés
(pour 1+−≤ inj ).
- Les paiements du triangle inférieur sont des inconnus qu’on cherche à estimer
(pour 1+−≥ inj ).
- Les diagonales des triangles correspondent à des paiements calendaires. Par
exemple, l’année calendaire k ( nk 21 ≤≤ ) a donné lieu au paiement total
=
−
k
iikiy
1, (ou ikiC −, ), toutes années d’origine confondues.
Remarque : la majeure partie des méthodes de provisionnement s’applique à
d’autres figures de liquidation (ou données) que des triangles, comme les trapèzes :
Fig.2.3 : Formes des trapèzes de liquidation
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 40
1.2 Les Méthodes Chain Ladder Les Méthodes Chain Ladder s’appliquent à des triangles de paiements cumulés
( ijC où nji ≤+ ). Elles sont basées sur l’utilisation de facteurs de développements (ou
ce qui est équivalent, de cadence de règlements), implicitement supposés constants
pour toutes les années de survenance. Ces facteurs seront utilisés pour prévoir la
partie inconnue du tableau triangulaire.
1.2.1 Méthode de Chain Ladder classique
La méthode Chain Ladder est une des méthodes les plus couramment
utilisées dans les compagnies d’assurance du fait de la simplicité de sa mise en
application et de sa clarté. Le but de cette méthode est d’estimer, à partir des
observations faites sur le passé, la valeur finale des montants des paiements cumulés
relatifs à une certaine année de survenance.
Hypothèses
H1 : Les années de survenance sont indépendantes entre elles, c'est-à-dire que les
ensembles ini CC ,...,1 et mnm CC ,...,1 sont indépendantespour mi ≠
H2 : Les années de développement sont les variables explicatives du
comportement des sinistres futurs. Ainsi, les facteurs de développement sont
indépendants des années de survenance des sinistres.
H3 : Absence de facteurs exogènes (changements de l’inflation ou dans la
réglementation).
H4 : Les règlements des sinistres sont stables dans le temps.
Présentation du modèle
Le facteur du développement jf correspond à un coefficient moyen de passage de
la jième à la (j+1)ième année de développement. Son estimateur est définie par :
−
=
−
=+
=hn
ihi
hn
ihi
j
C
Cf
1,
11,
ˆ , avec : 11 −≤≤ nh
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 41
Les estimateurs ainsi obtenus sont sans biais et non corrélés.
Les valeurs des paiements cumulés, inconnus après m années de développement
pour chacune des années de survenance i sont estimées par :
∏−
+−=+−=
1
11,,
ˆˆm
imllimimi fCC
Ainsi que les paiements cumulés à l’ultime : ∏−
+−=+−=
1
11,,
ˆˆn
inllinini fCC
, avec :
1,1,ˆ
+−+− = iniini CC
La réserve estimée pour l’année de survenance i correspond au montant estimé
des paiements cumulés à l’ultime moins les sinistres déjà réglés jusqu’à 31/12/N,
ainsi : 1,,ˆˆ
+−−= ininii CCR
Et la réserve totale (ou agrégée) pour le risque considéré est estimée par : =
=n
iiRR
1
ˆˆ
Application pour la branche Risques Industriels et Pertes d’Exploitation
Nous supposerons qu’au bout de 14 ans, tous les sinistres relatifs à une certaine
année de survenance sont survenus et déclarés et qu’ils ne donnent plus lieu à aucun
règlement.
Années de développement Réserves
Année de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ( iR
survenance
1994& ant
528 529 553 550 549 550 551 550 551 0,00 1995
96 99 104 104 101 101 101 100 100 101 0,23
1996
103 102 105 106 106 106 106 106 106 106 106 0,03 1997
129 135 141 141 142 143 143 142 142 142 142 142 0,22
1998
116 124 130 130 131 133 133 133 134 134 134 133 134 0,18 1999 60 218 264 273 276 280 280 280 282 281 281 282 281 282 0,12 2000 56 138 156 161 161 160 161 157 156 156 156 156 156 156 -0,60 2001 64 140 165 176 178 175 175 178 177 177 177 177 177 177 1,95 2002 54 111 125 127 129 129 130 132 131 131 131 131 131 131 2,43 2003 79 191 202 203 205 206 207 210 210 209 209 210 209 210 4,91 2004 63 129 147 148 150 151 152 154 154 153 153 154 153 154 5,20 2005 59 126 134 138 140 141 142 144 143 143 143 143 143 143 9,21 2006 72 129 145 150 151 152 153 156 155 155 155 155 155 155 26,28 2007 48 111 125 129 130 131 132 134 133 133 133 133 133 133 85,64
jf 2,323 1,127 1,033 1,011 1,005 1,008 1,015 0,996 0,999 1,000 1,001 0,998 1,002 1,000
Total ( R 135,81
Fig.2.4 : Application de la méthode Chain Ladder déterministe à la branche Risques Industriels et Pertes d’Exploitation
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 42
1.2.2 Méthode de Chain Ladder Stochastique : Le Modèle de Mack (1993) Introduit par T. Mack. [1993], le modèle de Chain Ladder Stochastique est
une présentation probabiliste de la méthode Chain Ladder classique. En outre, c’est
un modèle non paramétrique, au sens où aucune hypothèse n’est faite sur les
composantes du triangle, et conditionnel, au sens où les espérances sont prises
connaissant les réalisations du triangle supérieur.
Par ailleurs, le but recherché par ce modèle est de pouvoir quantifier la variabilité des
réserves estimées et d’associer, ainsi, des intervalles de confiance aux estimations
faites.
Hypothèses
H1 : Indépendance des années de survenance. Ainsi, les ensembles des variables
aléatoires ini CC ,...,1 et mnm CC ,...,1 sont indépendantespour mi ≠
Cette hypothèse d’indépendance ne serait pas vérifiée en cas de changement
important dans la gestion de sinistres ou du taux d’inflation qui les impacte, ces
changements affectant, par effet calendaire, plusieurs exercices de survenance.
H2 : soit 1, +≤+= nkiCD ikN l’ensemble des informations apporté par le
triangle supérieur (les paiements cumulés observés jusqu’à 31/12/N).
Pour 1,...,1 −= nj , il existe un paramètre jf tel que conditionnellement, on a :
ijjN
ji CfDCE =+ )( 1,
Sous (H1) et (H2), les facteurs de développement
−
=
−
=+
=hn
ihi
hn
ihi
j
C
Cf
1,
11,
ˆ de la méthode Chain
Ladder Classique sont des estimateurs sans biais de jfet non corrélés.
H3 : pour ni ≤≤1 et nj ≤≤1 ; on a : 2
1, )var( jijN
ji CDC σ=+ avec : jσ est la
volatilité par période de développement incluse implicitement dans la méthode
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 43
Chain Ladder et :
2
1
1,2 ˆˆ
ˆˆ
11ˆ
−
=
+
−
−−=
jn
ij
ij
jiijj f
C
CC
jnσ est un estimateur sans biais de
2jσ pour
21 −≤≤ nj
(Avec :
= −
−
−−
222
3
422
1 ˆ,ˆˆ
minˆ nn
nn σ
σσσ ) .
Sous ces trois hypothèses, le modèle stochastique de Mack devra fournir exactement
les mêmes résultats en espérance que ceux dans le cadre de la méthode Chain Ladder
Classique.
Présentation du modèle
∏−
+−=+−=
1
11,,
ˆˆm
imllimimi fCC
est un estimateur sans biais du montant espéré des paiements
cumulés inconnus après m années de développement pour chacune des années de
survenance i , définie par : ∏−
+−=+−=
1
11,, )(
m
imllimi
Nmi fCDCE
Ainsi que pour les paiements cumulés à l’ultime espérés ∏−
+−=+−=
1
11,, )(
n
inllini
Nni fCDCE
, où ∏−
+−=+−=
1
11,,
ˆˆn
inllinini fCC
est leur estimateur sans biais.
Le montant des réserves espérées correspondant à l’année de survenance i
)( 1,,N
ininii DCCRE +−−= est estimé par : 1,,ˆˆ
+−−= ininii CCR
Ainsi que pour les réserves totales espérées )(1
Nn
ii DRRE
=
= qui sont estimées
par : =
=n
iiRR
1
ˆˆ
En outre, Mack (1993) indique, que sous les hypothèses (H1), (H2) et (H3)
l’incertitude présente dans l’estimation de iR par iR
correspond à l’erreur
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 44
quadratique moyenne (en anglais, mean squared error : m.s.e) de ce dernier et elle est
estimée par :
+=
−
=
−
−+=kn
jjk
ik
n
ink k
kini
CCfCResm
1
1
12
22 1
ˆ1ˆˆ)ˆ(.ˆ.
σ
Avec : 1,1,ˆ
+−+− = iniini CC et ikC sont les valeurs estimées du triangle inférieur. De même,
sous les mêmes hypothèses, l’incertitude présente dans l’estimation des réserves
agrégées R par R
est estimée par :
=
−
+−=−
=
+=
+=
1
2
1
1
1
2
2
1
ˆˆ2
ˆˆ)ˆ(.ˆ.)ˆ(.ˆ.n
i
n
inkkn
nnk
k
kn
ijijini
C
fCCResmResm
σ
A partir de la relation suivante : )ˆ(.ˆ.)ˆ(.ˆ. ini CesmResm = , Mack a donné une estimation
de l’incertitude présentée dans l’estimation du montant des paiements cumulés du
triangle inférieur ijC
par ijC avec
)1( +>+ nji à l’aide d’une formule récursive
(Mack. [1999]) :
+=
−
=
+ jn
kkj
ijj
jijji
CCfCCesm
1
222
22
1,
ˆ
1ˆ1
ˆˆˆ)ˆ(.ˆ.
σ
En prenant comme valeur initiale 0)ˆ(.ˆ. 1, =−+ iniCesm (où iniC −+1, est la somme cumulée
de tous les règlements déjà effectués jusqu’au 31/12/N).
1.2.4 Limites des méthodes Chain Ladder
La méthode de Chain Ladder est très simple à appliquer et souvent retenue
comme la méthode « centrale » et « de référence » pour le provisionnement dans les
compagnies d’assurance. Cependant, elle possède plusieurs inconvénients :
• Les périodes de développement élevées comportent peu d’observations. Le
dernier coefficient est par exemple calculé à partir de deux valeurs seulement et il
est appliqué à toute la colonne.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 45
• L’estimation des paiements cumulés à l’ultime se fait à l’aide de coefficients
multiplicatifs. Le risque d’accumulation d’erreur est donc important et d’autant
plus important que l’exercice de survenance du sinistre est récent ( comme le
paiement cumulé de la dernière année de survenance qui doit être surveillé
puisqu’elle est la seule valeur connue de cette année, ainsi, une valeur très élevée
ou très faible de ce paiement aura un impact très important).
• L’approche de Chain Ladder repose sur l’hypothèse d’une cadence des paiements
constatée par le passé qui va se reproduire dans le futur. Ainsi, elle ne prend pas
en compte les différents changements susceptibles de se produire dans le rythme
des paiements, ainsi que dans les tendances du marché (fluctuations de l’inflation,
évolution de jurisprudence,…).
Bien que le Modèle de Chain Ladder Stochastique possède les mêmes limites que le
modèle de Chain Ladder Classique, il présente, cependant l’avantage indéniable de
fournir une estimation de volatilité des réserves et d’associer ainsi un niveau de
risque aux estimations, ainsi que la possibilité de comparer les résultats obtenus avec
d’autres modèles comme les Modèles Linéaires Généralisés que nous allons les traiter
dans ce qui suit.
1.3 Les Modèles Linéaires Généralisés : Présentation Générale
Les Modèles linéaires généralisés (GLM pour Generalized Linear Models, en
anglais) ont été introduits par Nelder et Wedderburn en 1972. Extensions du modèle
linéaire Normal, ils sont très courants dans de nombreux domaines d’application de
la statistique.
Utilisés pour la première fois pour la tarification des risques de masse dans les
années 1980, ils y sont devenus incontournables. Leur introduction, dans les années
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 46
1990, pour la détermination des provisions pour sinistres s’est avérée extrêmement
fructueuse22.
Au contraire des méthodes Chain Ladder, les modèles GLM sont basés sur les
triangles des montants des paiements de sinistres ou incréments (en anglais,
increments). Par la suite, nous allons faire une présentation générale des modèles
GLM.
Les GLM sont des modèles statistiques, paramétriques du type « variable à
expliquer/variables explicatives ». Par application à la modélisation stochastique des
réserves, les GLM sont formés de trois composantes (Dobson. [2002]) :
Les incréments connus ijy du triangle supérieur sont supposés être des variables
aléatoires indépendantes et ont la même distribution qui doit appartenir à la
famille des exponentielles23 :
De densité :
+−
= );;()(
)(exp);;( ijijij
ijijijijij yc
a
byyf ωϕω
φθθ
ϕθ
où
ijθ : Paramètre réel, appelé paramètre naturel.
ϕ : est un paramètre réel appelé paramètre d’échelle (en anglais, scale parameter)
indépendant de l’année de survenance i et de l’année de développement j.
a: est une fonction continue et strictement positive.
b et c sont deux fonctions régulières telles que : b est définie sur ℜ et de classe
C2 (en particulier b est convexe) et c est définie sur 2ℜ .
ijω : Poids, connus a priori, associé aux incréments observés ijy
22 De très nombreux ouvrages exposent de manière approfondie la théorie statistique sous-jacente des modèles GLM ; l’un des plus classiques est celui de Mc Cullagh et Nelder (1989). 23 La famille des exponentielles regroupe les lois LogNormale, Gamma, Poisson, Bernoulli et Binomiale. Elle possède deux propriétés désirables :
- La distribution est caractérisée uniquement par sa moyenne et sa variance.
- La variance est une fonction de la moyenne.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 47
De moyenne : )()( 1ijijij byE θµ −==
De variance : ij
ijV
ωµϕ )(
, avec : V(.) est la fonction variance de la distribution.
Des paramètres ),,( ji γαιβ = associés à des variables aléatoires explicatives
qualitatives X tels que :
iα : associé à la variable aléatoire année de survenance.
jγ : associé à la variable aléatoire année du développement.
ji+ι : associé à la variable aléatoire année calendaire. En raison de l’hypothèse
que le triangle de liquidation soit déflaté, l’inflation annuelle est supposée
constante, ainsi tous les incréments auront le même paramétrage par année
calendaire, on a donc : ιι =+ ji
On définit, ainsi, le Prédicteur Linéaire : βη ijij y=
Dans la suite, nous allons nous limiter à la modélisation selon des variables
qualitatives à paramétrage nii ,...,1)( =α , njj ,...,1)( =γ et un paramètre constant ι .
Connaissant la densité (ou la vraisemblance) des ijy , ces paramètres seront estimés
par la méthode de maximum de vraisemblance.
Par opposition au modèle conditionnel de Mack (1993), dont les hypothèses
portent sur les deux premiers moments (conditionnels) des paiements, les modèles
GLM nécessitent la donnée a priori d’une fonction « lien » entre les lois des
incréments ijy et les paramètres iα , jγ et ι . Ce lien s’exprime sous la forme d’une
fonction appelée « la fonction lien » l qui est définie par : βηµ ijijij yl ==)( .
Nous allons présenter dans le Tab.2.1 les fonctions liens utilisées, en pratique, pour
les modèles GLM LogNormale, Poisson et Gamma.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 48
Tab.2.1: Fonctions liens des modèles GLM
Modèle Distribution Fonction lien )( ijl µ Fonction lien Inverse
ijijl µη =− )(1
LogNormale ),()log( ijijij Ny σµ≈ Identité : ijµ ijη
Poisson )( ijij Poissony µ≈ Logarithmique : )log( ijµ )exp( ijη
Gamma ),( νµ ijij Gammay ≈ Logarithmique : )log( ijµ )exp( ijη
Dans le cas où la fonction lien utilisée serait la fonction identité, on parle de
modèle GLM additif, alors que si la fonction lien est la fonction logarithme, on parle
du modèle GLM multiplicatif.
1.4 Modélisation des PSAP et la problématique de présence des incréments négatifs
Il arrive fréquemment que les triangles de liquidation contiennent, comme
données observées, des incréments négatifs. Ceci est dû aux recours (ou
subrogations). En effet, après avoir réglé les indemnités à l’assuré à la suite d’un
sinistre, l’assureur se substitue à lui pour récupérer la somme versée auprès du
responsable du dommage, ainsi, l’assureur est « subrogé » dans les droits de l’assuré.
Considérons par exemple le cas d’un incendie qui a été déclaré chez un locataire.
L’assureur du propriétaire indemnise ce dernier, puis réclame au locataire et son
assureur le remboursement de la somme versée. Il y a donc en premier lieu le
paiement du sinistre (sortie de fonds) puis récupération de fonds auprès d’un tiers
(entrée de fonds qui est équivalente à un sinistre négatif) à des dates différentes.
Afin de tenir compte de la présence des incréments des sinistres négatifs dans les
triangles de liquidation, plusieurs « techniques informelles » ont été abordées dans la
littérature.
Mack. [1994] a proposé de considérer les incréments négatifs comme des données
manquantes et de les extraire, ainsi, de l’analyse.
Par ailleurs, plusieurs modèles stochastiques ont adopté une méthode qui consiste à
ajouter une constante à tous les incréments connus (avant l’analyse), afin de les
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 49
rendre positifs, et une fois que les incréments de sinistres futurs sont estimés, cette
même constante sera soustraite de ces derniers (Verrall et al. [1993]). Citons, ainsi
quelques exemples de modèles.
Le modèle LogNormale, appliqué pour la première fois à la modélisation
stochastique des PSAP par Kremer. [1982], Zehnwirth. [1989,1994] et Verrall. [1991],
requiert que les incréments de sinistres soient positifs à cause de la transformation
logarithmique de ces derniers ( NyLNy ijij ≈≈ )log( ). Ainsi, et afin de résoudre ce
problème, Verrall et al. [1993] ont proposé l’ajout d’une constante comme solution
par l’introduction du modèle LogNormale à trois paramètres24. Toutefois, Verrall et
al. [1993] ont montré que ce modèle fournit une estimation inadéquate des réserves
en cas de présence d’un très grand nombre des incréments négatifs. En plus, ce
modèle est instable à cause de la constante, puisque les résultats finals dépendent
fortement de la valeur estimée de cette dernière (De Alba. [2002]).
Le modèle de Poisson a été introduit par Mack. [1991] pour la modélisation
stochastique des réserves et formalisé comme un modèle GLM par Verrall et al.
[1998]. Ce modèle est moins restrictif sur la présence des incréments négatifs par
rapport à celui LogNormale. Néanmoins, il nécessite que la somme des incréments
par année d’accident et par année de développement soit positive25 (England et al.
[1999]), encore l’ajout d’une constante a été suggéré comme solution (Verrall. [1996]).
En résumé, toutes les solutions proposées ont présenté des restrictions sur le nombre
des incréments négatifs observés du triangle de liquidation.
Kunkler. [2006] a proposé un modèle alternatif qui forme une extension des modèles
GLM en traitant les incréments négatifs sans poser aucune restriction.
Dans ce mémoire, nous allons restreindre l’étude de ce modèle alternatif dans le cas
d’une modélisation GLM LogNormale vu que la loi LogNormale soit la loi la plus
utilisée dans l’assurance IARD.
24 Les trois paramètres : sont la moyenne, la variance (ou spread, en anglais) et le seuil (estimé par la constante). 25 Ceci est du aux équations de Vraisemblance pour l’estimation des paramètres et la forme de la fonction lien.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 50
1.4.1 Présentation du modèle GLM alternatif (Kunkler. [2006])
• Soit 1,...,1;,...,1; +−=== injniyy ij le triangle original qui contient les
incréments de sinistres observés positifs et négatifs.
• On définit le triangle des données mixtes 1,...,1;,...,1; +−=== injnizz ij où :
>
<−=
01
01
ij
ij
ij ysi
ysiz
• On peut, ainsi, construire un triangle des données composées
1,...,1;,...,1; +−=== injniqq ij qui contient les incréments positifs et reflète
les incréments négatifs, avec : ijijij zyq = . Par conséquent, on a :
−=<>
=>>
)1(00
)1(00
ijijij
ijijij
zysiq
zysiq
Ainsi, nous pouvons appliquer le modèle GLM « classique » sur les données
du triangle composé q.
• Une fois qu’on a estimé les futures données du triangle mixte (soit :
ninjnizz ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== ) et les incréments futurs du triangle
composé (soit : ninjniqq ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== ). On peut déduire les
incréments futurs estimés du notre triangle original, à partir de la relation :
ij
ijij z
qy ~
~~ = et estimer ensuite les réserves.
1.4.2 Approche Bayésienne pour l’estimation des réserves
Kunkler. [2006] a proposé une approche bayésienne pour l’estimation des
réserves.
Après avoir rappelé les principales caractéristiques du modèle bayésien, nous allons
présenter son application pour l’estimation des réserves dans le cadre d’une
modélisation GLM LogNormale.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 51
1.4.2.1 Rappel sur le modèle Bayésien
Un modèle Bayésien est donné par la distribution a priori )(xp d’une
variable aléatoire, réelle et inconnue x et par la vraisemblance )( xyp des données
observées y.
Théorème : Dans le cadre bayésien, toute l’information sur x à partir des observations
y repose sur la densité a posteriori )( yxp qui est obtenue par la règle de Bayes :
)(
)()()(
yp
xpxypyxp = , où : la constante de normalisation )( yp s’obtient par
intégration : = dxxpxypyp )()()(
La connaissance de la densité a posteriori )( yxp permet alors de calculer l’estimateur
de la moyenne a posteriori obtenu par intégration : = dxyxxpyxE )()(
Corollaire : L’inférence bayésienne assume que les observations y et z avec leurs
paramètres inconnus respectives θ et λ sont des variables aléatoires. La distribution
de probabilité jointe de y, z, θ et λ est donnée par : ),,(),(),,,( λθλθλθ zyppzyp =
où : ),( λθp est la distribution jointe à priori de θ et λ et ),,( λθzyp est la
vraisemblance jointe. En conditionnant ),,,( λθzyp sur les données observées y et z
en utilisant la règle de Bayes, on obtient la distribution jointe a postériori de θ et λ qui
est définie par : ),(
),,(),(),,(
zyp
zyppzyp
λθλθλθ =
avec : = λθλθλθ ddzyppzyp ),,(),(),( est la distribution marginale jointe de y et
z (qui ne dépend pas de θ et λ ) et peut être donc considérée comme une constante
de normalisation. Ainsi, un résultat important de l’inférence bayésien consiste à
définir la distribution jointe a posteriori non normalisée deθ et λ , par :
),,(),(),,( λθλθλθ zyppzyp ∝ .
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 52
Parmi les différentes méthodes d’estimation, l’analyse Bayésienne a gagné en
popularité au cours des dernières années. En effet, le fait que cette méthode consiste
à baser l’estimation des paramètres sur une distribution a posteriori (qui mélange
l’information portée par les données observées, via la vraisemblance, et une
information a priori sur la distribution des paramètres à estimer), cela lui permet
d’avoir plusieurs avantages par rapport à une analyse classique. Tout d’abord,
l’introduction de connaissances a priori est susceptible d’améliorer l’estimation des
paramètres Ensuite, le formalisme Bayésien permet une analyse complète des
incertitudes non seulement d’échantillonnage (c’est le cas également des analyses
classiques), mais aussi de modélisation (quelle loi de probabilité choisir ? modéliser
une tendance linéaire, exponentielle, quadratique ?). Enfin, en basant l’inférence sur
une loi de probabilité, le calcul des intervalles de confiance est très naturel, et ne
repose sur aucune hypothèse asymptotique.
Toutefois, la seule difficulté dans l’analyse bayésienne est que la loi a posteriori
s’exprime, en général, comme une distribution multivariée qui est délicate à
manipuler dès que le nombre de paramètres est supérieur à deux ou trois et qui
nécessite, ainsi, un outil informatique assez puissant26.
1.4.2.2 Procédure d’estimation des réserves
• D’après le corollaire, on définit la distribution jointe de ijz et ijq sachant leurs
paramètres inconnus respectifs θ et λ : ),()(),,( θλλθ ijijijijij zqpzpzqp = , ainsi, on
peut définir la distribution marginale conditionnelle de ijq :
),1()1Pr(),1()1Pr(),( 10 θλθλλθ ==+−=−== ijijijijijijij zqpzzqpzqp
),1(),1()1( 10 θλθλ =+−=−= ijijijijijij zqpzqp
26 Une méthode qui fournit une solution algorithmique à ce problème est la méthode de simulation MCMC qui sera traitée dans le chapitre suivant « Techniques de simulation ».
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 53
Ainsi, et sachant queij
ijij z
qy = , on définit la distribution marginale conditionnelle de
ijy par : ),1(),1()1(),( 10 θλθλλθ =+−=−−−= ijijijijijijij zypzypyp
Cette distribution est la somme pondérée de deux distributions marginales : une
distribution régulière de la famille exponentielle ),1( 1θ=ijij zyp et une distribution
qui « reflète » la famille exponentielle ( )),1( 0θ−=−− ijij zyp .
• D’après le corollaire, on définit la distribution jointe a postériori des valeurs futures à
estimer ijz~ et ijq~ étant donné les valeurs connues du triangle mixte ijz et du triangle
composé ijq : ),~~()~(),~,~( qzqpzzpzqzqp ijijijijij =
Cette distribution permet de définir la distribution conditionnelle a posteriori des
valeurs futures des incréments, soient ijy~ par la relation : ijijij zqy ~~~ = .
Ainsi, pour estimer la distribution des ijy~ , nous devrons estimer :
La distribution a posteriori des valeurs futures ijz~ sachant z : )~( zzp ij
La distribution a posteriori des valeurs futures ijq~ sachant ijz~ et q : ),~~( qzqp ijij
Estimation de la distribution future a posteriori : )~( zzp ij
• On effectue la transformation suivante sur les données du triangle mixte, soit :
2/)1(* += ijij zz , ainsi on dispose 1,...,1;,...,1;** +−=== injnizz ij comme l’ensemble
des données transformées du triangle mixte. Par l’estimation de la distribution future
a posteriori )~( ** zzp ij , on déduit facilement celle )~( zzp ij
• Le modèle paramétrique des données transformées du triangle mixte
1,...,1;,...,1;** +−=== injnizz ij conditionnellement à des paramètres inconnus
1,...,1;,...,1; +−=== injniijλλ est défini par la loi Bernoulli de paramètre ijλ .
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 54
La densité de ijz sachant λ est donnée par : ijij zij
zijijzp
** 1)1()( −−= λλλ , où :
)1Pr( λλ == ijij z (resp. )1Pr(1 λλ −==− ijij z ) : est la probabilité associée à un
incrément positif (resp. négatif) dans l’année d’accident i et l’année de
développement j.
Afin de ne disposer aucune information a priori sur la distribution de λ , on suppose :
1)( =λp .(Kunkler.[2004])
• On définit la densité a postériori des valeurs futures transformées du triangle mixte
ninjnizz ij ,...,2;,...,2;~~ ** +−=== sachant les valeurs déjà connues
1,...,1;,...,1;** +−=== injnizz ij , par : )~(** zzp ij , cette densité est définie par la loi
Bernoulli de paramètre ijλ~ ).
Ainsi, on peut définir la moyenne a posteriori : ijij zzE λ~)~( ** = (avec :
ninjni ,...,2;,...,2 +−== ).
• Afin d’estimer ijλ~ , on modélise les données du triangle mixte par un modèle GLM
de Bernoulli. On définit ainsi :
Le prédicteur linéaire : ρτη )()(*
mjzij Imj >−+= où :
I : est une fonction indicatrice27.
m = 1,…, n est le rang de l’année de développement en dessous duquel la
moyenne a posteriori ijλ~ est approximativement stable par année de
développement. En outre, on suppose que les données transformées du triangle
mixte *z ont la même tendance par année de survenance et qu’elles n’ont pas
de tendance par année calendaire.
27 Une fonction indicatrice )( AI est définie par : 1)( =AI (si la condition A est satisfaite) et 0)( =AI (si la
condition A est non satisfaite).
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 55
La fonction lien est donnée par : *
)( zijijl ηλ = . Les fonctions liens associées à un
modèle GLM de Bernoulli, les plus utilisées en pratique, sont de trois types
(Tab.2.2).
Tab.2.2 : Les fonctions liens et leurs inverses associées à un modèle GLM de Bernoulli
Une fois qu’on a estimé le paramètre τ du prédicteur linéaire
*zijη , on a :
*~ zijη et on
déduit : )~(~ *1 z
ijij l ηλ −= .
Estimation de la distribution future a posteriori : ),~~( qzqp ijij
• Nous commençons par définir la distribution paramétrique conditionnelle des
données du triangle composé ijq (qui sont positifs) par un modèle GLM.
• Ainsi, on définit le prédicteur linéaire, appliqué sur le triangle composé q, par un
modèle à tendance probabiliste28 (voir Zehnwirth. [1994]) :
−−++
−=
−
=
−+
=
−−−=
−
=
−+
=
+++
+++
++===
ββ
β ιγαιγαβµη
ij
ij
ij
ij
X
z
j
d
ji
ttdi
X
z
j
d
ji
ttdiij
qij
qij X )1(
1
1
2
1)1(
1
1
2
1
11
Par hypothèse, on considère que les incréments positifs et négatifs ont la même
tendance par année calendaire, ainsi : ιιι == −+ , ce qui implique au final :
−+
=−=
−
=
−−=
−
=
++ +
++
+===
2
1)1(
1
1)1(
1
1
11ji
ttz
j
ddiz
j
ddiij
qij
qij ijij
X ιγαγαβµη β
Ainsi : ),,( ιγαβ +++ = et ),,( ιγαβ −−− =
28 Au contraire du modèle GLM des données du triangle mixte z, où le prédicteur linéaire est du type déterministe Chain Ladder (cette première forme du prédicteur linéaire est définie par Kremer.[1982]).
Fonction lien )( ijl λ Fonction lien inverse : ijijl λη =− )(1
Logistic ))1/(log( ijij λλ − ))exp(1/()exp( ijij ηη +
Probit )(1ijλφ − )( ijηφ
Complémentaire log-log ))log(log( ijλ− ))exp(exp( ijλ−
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 56
)( −+ αα : Paramètre de tendance des incréments positifs (négatifs) par année de
survenance.
)( −+ γγ : Paramètre de tendance des incréments positifs (négatifs) par année de
développement.
On considère ainsi, que la distribution du triangle composé q est conditionnellement
LogNormale pour 1,...,1;,...,1 +−== injni
=
−=
≈
+
−
−
+
−
+
1,
1,
,/)(2
2
ijij
ijij
ijij
zsiX
N
zsiX
N
zqLog
ωσβ
ωσβ
θβ
β
Où : [ ]βσθ ²,= et ],[ −+= βββ et 2σ .
−ω ( +ω ) : poids des incréments négatifs (positifs) dans le triangle de liquidation.
L’estimation de la distribution future a posteriori ),~~( qzqp ijij nécessite de déterminer
l’estimateur du paramètre inconnu [ ]βσθ ²,= (soit ]~
²,~[~ βσθ = ) qui se définie à partir
des distributions a posteriori des paramètres 2σ β
Dans le cas d’une modélisation GLM LogNormale, ces distributions a posteriori sont
conditionnellement définies par (Kunkler. [2004]) :
))(,ˆ(, 21'2 σβσβ ββ−≈ XXNq et ),( 222 sknInvq q βχσ −−≈ 29
Avec : β et ²s sont les estimateurs de β et 2σ et donnés par :
)log()(ˆ '1' qXXX ββββ −= et ( ) ( )ββ βββ
ˆ)log(ˆ)log(1
²'
XqXqkn
sq
−−−
= , où :
29 En imposant une distribution marginale de chi deux inverse scaled à 2σ par l’approche bayésienne, on incorpore une incertitude sur ce paramètre de variance. Si on n’adopte pas l’approche bayésienne, cette distribution sera simplement : 1)( 2 =qp σ et toute l’incertitude sera modélisée par β
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 57
qn : est le nombre initial des données dans le triangle composé q (ou le triangle de
liquidation).
βk : nombre des paramètres de β .
En outre, on suppose qu’on ne dispose d’aucune information a priori sur les
distributions de β et 2σ , en imposant que la distribution jointe de ces derniers est
définie par : 122 )(),( −∝ σσβp .
Une fois que le paramètre [ ]βσθ ²,= estimé, on peut définir la distribution future a
posteriori ),~~( qzqp ijij par une loi LogNormale conditionnelle définie par :
=
−=
≈
+
−
−
+
−
+
1~~,
~~
1~~,
~~
~,~/)~(
2~
2~
ijij
ijij
ijij
zsiX
N
zsiX
N
zqLog
ωσβ
ωσβ
θβ
β
Pour : ninjni ,...,2;,...,2 +−==
Estimation des Réserves
A partir de l’estimation des distributions futures a posteriori des valeurs futures du
triangle mixte ninjnizz ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== et du triangle composé
ninjniqq ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== , on peut déterminer la distribution a posteriori des
incréments futurs du triangle de liquidation ninjniyy ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== à
l’aide de la relation : ijijij zqy ~~~ = .
Ainsi, on définit :
+−=
=n
injiji yR
2
~ : les réserves par année de survenance.
=
=n
iiRR
1
: les réserves totales (ou agrégées).
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 58
L’analyse bayésienne utilise des techniques de simulation (comme la méthode
d’échantillonnage de GIBBS30) qui permettent au final de créer une distribution
empirique (ou un échantillon) de chaque incrément futur ce qui permet d’avoir une
distribution empirique des réserves par année d’accident et une distribution
empirique des réserves agrégées.
Lors de la création des échantillons de L (par exemple 10000) pour les réserves, on
dispose :
- Pour les réserves de l’année de survenance i, on a : iLii RRR ,.......,, 21
- Pour les réserves totales, on a : LRRR ,.......,, 21
Ce qui nous permet de calculer leurs caractéristiques statistiques empiriques
(moyenne empirique, quantiles, variance empirique, médiane, …). En particulier, le
Best Estimate des réserves est estimé par la moyenne empirique et l’erreur
quadratique moyenne (m.s.e) est estimée par la variance empirique (De Alba. [2006]).
Tab.2.3 : Estimation de Best Estimate et m.s.e des réserves
Réserves par année d’accident i Réserves agrégées
Best Estimate m.s.e Best Estimate m.s.e
=
=L
lili R
LR
1
1
2
1
2 )(1
i
L
lilR RR
Ls
i =
−=
= ==
==L
l
n
iil
L
ll R
LR
LR
1 11
11 2
1
2 )(1
RRL
sL
llR
=
−=
30 Cette méthode est parmi les méthodes de Monte Carlo par Chaîne de Markov(MCMC). Le cas général de cette méthode ainsi que son application au modèle bayésien seront abordés dans le chapitre suivant « Techniques de simulation ».
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 59
CHAPITRE 2
TECHNIQUES DE SIMULATION
Les Techniques de simulations sont indispensables que ce soit pour l’estimation des
réserves (par l’approche bayésienne) ou pour la génération d’un grand nombre de
scénarii des paiements futurs sur un horizon d’un an.
Il existe différentes méthodes de simulation. Nous allons limiter notre champ d’étude
aux méthodes de Monte Carlo dont le but est de rapprocher le résultat théorique
recherché en effectuant des tirages selon la loi du phénomène observé.
Nous allons présenter dans ce chapitre deux techniques de simulation par la
méthode de Monte Carlo à savoir la méthode d’inversion de la fonction de
répartition et la méthode de Monte Carlo par Chaîne de Markov.
2.1 Simulation par inversion de la fonction de répartition Classiquement, c’est l’une des méthodes les plus utilisées en simulation, au
moins lorsque la puissance de l’outil informatique permet les calculs, et que
l’inversion de la fonction de répartition est faisable, ce qui nécessite le plus souvent
une expression analytique simple de cette fonction de répartition.
Cette technique repose sur la définition suivante :
Définition Soit X une variable aléatoire réelle (v.a.r) de fonction de répartition F.
On appelle inverse généralisée de F, la fonction 1−F définie pour tout ] ]1;0∈y par
yxFxyF ≥ℜ∈=− )(inf)(1 .
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 60
L’existence de la fonction de répartition inverse étant acquise, voici un résultat
expliquant l’utilisation de ce type de méthodes :
Propriété soit U une v.a.r suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1], alors )(1 UF −
A la même loi que X. De plus, si F est continue surℜ , alors )(1 UF − suit la loi
uniforme U [0 ; 1].
Ainsi, pour simuler un n-échantillon i.i.d de loi ayant pour fonction de répartition F,
il suffit de simuler n réalisations indépendantes d’une v.a.r de loi uniforme U [0 ; 1],
puis d’appliquer l’inverse de la fonction de répartition à chacune de ces valeurs. On
comprend alors ici tout l’enjeu d’une simulation « optimale » des réalisations d’une
loi uniforme, puisque les seules approximations résident dans celle-ci quand
l’inversion de la fonction de répartition se fait de manière analytique. Il existe
plusieurs procédés informatiques de génération des v.a.r uniformément distribuées.
Parmi ceux-ci, les générateurs pseudo aléatoires31 implémentés par défaut dans les
langages usuels (type C++, VBA, MATLAB,…) produisent des valeurs déterministes
et parfaitement prévisibles, mais dont les propriétés statistiques sont satisfaisantes
(en particulier les tests d’indépendance sur les échantillons obtenus par ces
générateurs sont statistiquement validés).
Dans le cas où nous ne disposerions pas de formule explicite pour 1−F , nous
utiliserons des algorithmes d’approximation de cette fonction ou des algorithmes
spécifiques à la loi que l’on souhaite traiter. C’est le cas, en particulier, pour la loi
Normale N ( ²,σµ ) dont la fonction de répartition est ∞−
−−
=x r
drexF
2
21
2
1)( σ
µ
πσ. Il
n’y a pas d’expression analytique de l’inverse de cette fonction et on utilise donc
des algorithmes d’approximation comme la méthode de rejet polaire, méthode du
Box Muller, l’algorithme d’inversion de Moro …32
31 Un générateur aléatoire est un algorithme fournissant une suite de nombres compris entre 0 et 1. 32 Voir Planchet et al. [2005] pour une présentation simple illustrée par des exemples de ces algorithmes d’approximation.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 61
2.2 Simulation de Monte Carlo par Chaîne de Markov Les méthodes de Monte Carlo par Chaîne de Markov (MCMC pour Markov
Chain Monte Carlo, en anglais) reposent sur le principe suivant : « Générer une chaîne
de Markov homogène, de loi stationnaire la loi à simuler ».
Il existe dans la littérature de nombreuses méthodes MCMC (voir Droesbeke et al.
[2002]). Notons que si ces méthodes sont de nombreuses applications dans une
approche bayésienne pour l’estimation des paramètres, elles sont aussi utilisables
dans le cadre de la génération de réalisations de v.a.r.
Nous nous limiterons ici à une méthode qui utilise des densités conditionnelles,
appelée « échantillonnage de GIBBS». Après avoir présenté le cas général de cette
méthode, nous allons montrer comment l’appliquer au modèle Bayésien (voir
Planchet et al. [2005]).
2.2.1 Méthode d’échantillonnage de GIBBS
Soit un vecteur aléatoire ),...,( 1 nXX à simuler. Notons :
- ),...,( 1 nxxp la densité (ou encore la distribution) jointe.
- )( jxp la densité marginale de la jéme variable
- ),( jixxp ij ≠ la densité conditionnelle complète de la jéme variable.
L’algorithme à utiliser pour simuler des réalisations du vecteur ),...,( 1 nXX est :
- Choisir des valeurs initiales ),...,,( )0()0(2
)0(1
)0(nxxxx = .
- Initialiser la variable de comptage i à i=0.
- Simuler : )1(1
+ix suivant ),...,( )()(21
in
i xxxp ,
)1(2
+ix suivant ),...,,( )()(3
)1(12
in
ii xxxxp + ,
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 62
)1(3
+ix suivant ),...,,,( )()(4
)1(2
)1(13
in
iii xxxxxp ++ ,
…
)1( +inx suivant ),...,,( )(
1)1(
2)1(
1i
nii
n xxxxp −++
Et on déduit, enfin : ( ))1()1(2
)1(1
)1( ,...,, ++++ = in
iii xxxx
- Incrémenter i de 1 unité, puis repasser à la troisième étape.
Nous ne présentons pas ici les bonnes propriétés de cet algorithme, mais nous
admettrons qu’il génère des Chaînes de Markov de distribution invariante )(xp , ce
qui nous permettra d’utiliser le résultat suivant (voir Rolski et al. [1998]):
Théorème d’Ergodicité
=
→n
ip
i XhEXhn 1
)( )]([)(1
quand +∞→n p.s
Nous allons présenter par la suite un exemple extrait de Droesbeke et al. [2002].
Soient les v.a.r suivantes :
),( baBetaY ≈ de densité )1()()()(
)( 111
−− −ΓΓ+Γ= ba yy
baba
yf , avec : 10 ≤≤ y
)(λPoissonZ ≈ de densité [ ]!
1)exp()( 12 z
zfzλλ −−= , avec : z=1,2, …
),( yzBinomialeX ≈ conditionnellement à Z et Y , de densité xzxxz yyCzyxf −−= )1(),(3
, avec : x=0, 1, 2, …,z .
Pour situer cet exemple dans un contexte actuariel, Scollinik. [1996] imagine par
exemple que X représente le nombre de polices générant des sinistres dans un
portefeuille de polices Z i.i.d ayant chacune une probabilité de sinistre égale à Y .
Ainsi, la loi marginale de X donne le nombre de polices générant un sinistre dans un
portefeuille arbitraire, mais cette loi ne peut pas être obtenue analytiquement.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 63
Appliquons donc l’échantillonnage de GIBBS, nous avons :
),(),( yzBinomialezyxf ≈ ; ),(),( bxnaxBetazxyf +−+≈ et
[ ][ ] [ ]( ))!(
1)1exp(),(
xzy
yyxzfxz
−−−−=
−λλ , avec : ,...1, += xxz ; où :
[ ])1(),( yPoissonyxxzf −≈− λ
La densité de X est approximée par : +
+=
=EK
Ek
kk NYxfK
xf1
)()( ),(1
)( en notant K le
nombre de simulations effectuées, et E le nombre des premières simulations dont
nous ne tenons pas compte, afin d’annuler l’effet du choix des valeurs initiales de
l’algorithme. Les variables sont initialisées, puis nous calculons )1(Y à partir de )0(X et
)0(Z , puis )1(Z à partir de )1(Y et )0(X puis )1(X à partir de )1(Y et )1(Z et ainsi de suite.
Cette méthode est souvent préconisée pour simuler des modèles multivariés
complexes. La seule chose à savoir faire est de simuler les distributions
conditionnelles complètes des différentes variables du modèle, au pas à pas. Et c’est
là où intervient l’appellation Monte Carlo de cette méthode MCMC, car pour pouvoir
simuler ces distributions conditionnelles, il faut utiliser des algorithmes de type
Monte Carlo correspondants à celles-ci.
2.2.2 Application de la méthode d’échantillonnage de GIBBS à l’approche Bayésienne
Plaçons-nous dans cette partie sous le modèle Bayésien classique. Pour
générer le vecteur ),...,( 1 mλλ , l’idée est ainsi de disposer, pour j=1,2,…,m, des lois
conditionnelles : );,,...,( 1 jlxxg lnjj ≠λλ et d’utiliser alors la méthode vue au
paragraphe précédent, en remarquant bien que nxx ,...,1 sont des observations
disponibles au moment de la simulation, et n’ont donc pas besoin d’être simulées.
Une autre approche, plus générale, est de pouvoir décomposer ),...,( 1 nxxg λ , en :
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 64
θθθλλ dxxgxxgxxg nnn ),...,(),,...,(),...,( 12111 = , avec : ),...,(),,...,( 1211 nn xxgxxg θθλ
vérifiant à son tour l’hypothèse de décomposition.
Ainsi, la méthode d’échantillonnage de GIBBS permet de résoudre les problèmes
d’intégration numérique, rencontrés dans l’approche Bayésienne. En effet, ces
problèmes n’admettent pas en général de solution analytique, et sont inabordables au
moyen des techniques d’approximations analytiques ou numériques classiques.
En conclusion, bien que coûteuses en temps de calcul, les méthodes MCMC, et en
particulier la méthode d’échantillonnage de GIBBS, sont très robustes, peu sensibles
à l’initialisation, et permettent d’obtenir des estimateurs « optimaux » dans des cas
très complexes. Ces méthodes constituent, ainsi, des méthodes stochastiques
puissantes de simulation qui seront amenées à se développer dans le futur.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 65
CHAPITRE 3
VALUE at RISK
Dans un contexte de projet « Solvabilité 2 », le principal outil théorique pour
l’évaluation de chargement en capital (ou SCR) de risque de provisionnement, sur un
horizon temporel de gestion fixé à un an et en fonction d’une règle de tolérance au
risque, est défini sous le vocable « mesure de risque ».
La mesure de risque privilégiée par le projet « Solvabilité 2 » pour l’évaluation de
SCR lié au risque de provisionnement, que ce soit par l’approche standard ou le
modèle interne, est la Value at Risk (VaR).
Dans ce qui suit, on donnera, d’abord, la définition d’une mesure de risque. Ensuite,
nous allons présenter d’une façon intuitive la notion de la VaR avant de la situer
dans le cadre d’évaluation du risque de provisionnement.
3.1 Mesure de Risque
Soit Ω l’ensemble fini des états de nature possibles, on appelle variable
aléatoire réelle une fonction Χ qui à un état de la nature ω associe le réel ( )ωΧ .
En assurance, plusieurs indicateurs de risque (comme la charge agrégée de sinistres
d’une ou plusieurs garanties, les variations défavorables des provisions techniques,
…) peuvent être formalisés de cette manière.
Χ pourra être caractérisée par sa fonction de répartition XF , donnée par :
( ) ( ) xxxF ≤ΧΡ=≤ΧΡ=Χ ωω
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 66
On appelle mesure de risque une fonction ρ associant à un risque Χ un réel positif
( )Χρ sur la base d’un indicateur de ce risque.
Par ailleurs, une mesure de risque doit pouvoir vérifier un certain nombre de
propriétés élémentaires.
A ce jour, il n’existe pas de consensus dans la littérature actuarielle sur les propriétés
que doit nécessairement respecter une mesure de risque. Nous rappelons ci-après le
corps des propriétés pouvant s’appliquer aux mesures de risque utilisées pour
estimer le chargement en capital en nous inspirant des travaux d’Odjo et De La
Foata, [2001].
En effet, pour deux risques quelconques Χ et Υ , les propriétés suivantes peuvent
être formulées :
• P1: Invariance par translation ( ) ( ) cc −Χ=+Χ ρρ
Pour toute constante c, Si on ajoute (resp. on retranche) un montant certain c à
un indicateur du risque d'un centre de profit (qui peut être soit la compagnie
dans son ensemble, soit limité à une branche d’activité donné). Le besoin en
capital décroît (resp. augmente) du même montant.
• P2 : Sous additivité ( ) ( ) ( )Υ+Χ≤Υ+Χ ρρρ
La fusion de deux centres de profit ne crée pas de risque supplémentaire. Au
contraire, la diversification tend à réduire le risque global. Cette propriété
permet ainsi une gestion décentralisée du besoin en capital dans les différents
centres de profit sans courir le risque d’un besoin global supérieur à la somme
des besoins individuels de chacun des centres. Si cette propriété n’était pas
respectée, une société ne respectant pas un certain niveau requis de capital
pourrait être incitée à se scinder artificiellement en deux entités afin de réduire
son besoin en capital.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 67
• P3 : Homogénéité positive ( ) ( )Χ=Χ λρλρ
De même qu’une fusion ne crée pas de risque supplémentaire ( )( ) ( )Χ≤Χ λρλρ ,
une fusion sans diversification ne réduit pas le besoin global en capital.
• P4 : Monotonie ( ) ( )Υ≥ΧΥ≥Χ ρρ
Si les pertes encourues avec le risque Χ sont toujours supérieures à celles
obtenues avec Υ , le besoin en capital pour X doit être supérieur à celui
pour Υ .
Par ailleurs, selon Artzner et al. [1999], une mesure de risque vérifiant ces quatre
propriétés est dite« cohérente».
3.2 Value at Risk
3.2.1 Définition
Développée par Jorion. [1997], La Value at Risk (en français, Valeur en
Risque) correspond au montant de perte probable liée à des variations défavorables
de risque sous-jacent, pour un horizon de gestion donné(H). En terme statistique, si
l’on note α le seuil de confiance choisi, la VaR correspond à la notion de quantile :
( ) αα −=≥ 1)(Pr VaRHperteob
Afin de calculer la VaR, il est essentiel de spécifier la période sur laquelle le risque est
mesuré et le seuil de confiance α .
Par ailleurs, la VaR présente une limite méthodologique assez fondamentale. D’une
part, elle n’est pas une mesure cohérente du risque puisqu’elle ne vérifie pas toujours
la propriété de sous additivité et d’autre part, elle ne s'intéresse pas aux valeurs
extrêmes au delà du seuil α .
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 68
L’introduction de la TailVaR (TVaR) a permis de combler ces limites. Cette mesure
de risque est définie comme la moyenne des VaR de seuil supérieur à α . Ainsi, elle
prend en compte les extrêmes au-delà du seuil α et en plus, elle est une mesure
cohérente du risque. Cependant, le calcul de la TVaR s’avère plus difficile et nécessite
un nombre de simulations important. De plus, on réalise la moyenne des pertes rares
donc moins bien connues (sinistres très élevés dont l’estimation et la modélisation
sont moins fiables), ce qui peut donner des calculs inadéquats.
Fig.2.5 : Représentation de la VaR et TailVaR à un seuil α
3.2.2 Les différentes approches de calcul de la VaR
Il existe en pratique trois méthodes de calcul de la VaR à savoir les méthodes
paramétrique, historique et Monte Carlo.
La VaR paramétrique
Cette méthode est fondée, en général, sur l’hypothèse de connaissance de la loi
réelle suivie par les pertes.
Ainsi, connaissant la vraie fonction de répartition F (.) associée à la distribution de
pertes ( Χ ), on a: ( )αα1−
Χ= FVaR
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 69
Dans le cas particulier des distributions gaussiennes, on a la formulation explicite
suivante: ( ) ( )Χ+Χ= σαα ZEVaR
Avec : E (.)=moyenne, σ (.)=écart type et αZ le quantile normal d’ordre α .
Et c’est le seul cas pour lequel il est équivalent de raisonner en VaR ou en variance
pour déterminer le chargement en capital (SCR) relatif au risque Χ .
Notons que cette méthode analytique ne prend en compte que des relations
linéaires entre les indicateurs du risque et le SCR.
La VaR historique
Contrairement à la VaR paramétrique, la VaR empirique est entièrement basée sur
les variations historiques des indicateurs du risque.
Il correspond au montant de pertes qui se situe à la ( ) ièmeT*α−1 position de la
série des pertes historiques (de longueur T) classées en ordre croissant.
Bien que la VaR historique n’impose pas d’hypothèses sur la loi des indicateurs de
risque (à la différence de la VaR analytique), il est tout de même nécessaire d’avoir
un modèle sous-jacent pour estimer les indicateurs de risque pour l’historique des
pertes. Par ailleurs, cette méthode est très utilisée en pratique vu sa simplicité et
son implémentation facile. Toutefois, elle représente quelques difficultés. En effet,
l’estimation d’un quantile demande beaucoup d’observations, condition rarement
réalisée en pratique en assurance (en particulier l’insuffisance des observations
dans le triangle de liquidation pour le provisionnement IARD).
La VaR aléatoire (ou VaR Monte Carlo)
La VaR Monte Carlo est basée sur la simulation des indicateurs de risque par une
loi admissible, par génération d’un grand nombre de scénarii, on obtient ainsi, une
distribution simulée des pertes qui converge vers la vraie distribution (inconnue) ;
il suffit ensuite de calculer le quantile correspondant comme pour la méthode de
VaR historique.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 70
Il faut noter que cette méthode demande beaucoup de temps de calcul. De plus,
elle demande un effort important de modélisation puisqu’elle détermine
entièrement les trajectoires des indicateurs du risque utilisés pour le calcul de la
VaR.
3.3 Evaluation du risque de provisionnement par la VaR
Dans le cadre de notre étude qui consiste à évaluer le risque de
provisionnement par le modèle interne du projet Solvabilité 2, le SCR lié à ce risque
est évalué au final à l’aide de la VaR à un seuil de confiance 99,5% (soit donc un
niveau de ruine de 0,5%) sur une période d’un an, calculée sur la base d’une
distribution de l’indicateur du risque sous-jacent qui correspond aux fluctuations (ou
variations) de Best Estimate des provisions techniques de fin de l’année N suite aux
simulations des différents scénarii de l’information supplémentaire relative aux
paiements de l’année N+1.
Ainsi, le principal intérêt de la VaR est que sa mise en œuvre permet d’évaluer la
perte maximum probable liée aux variations défavorables du Best Estimate.
Notons que, d’une part, puisqu’au final la distribution empirique des différentes
valeurs du Best Estimate est inconnue, la VaR calculée dans le cadre du modèle
interne correspond à la VaR Monte Carlo.
D’autre part, l’approche standard impose une loi LogNormale pour la distribution de
Best Estimate des provisions, ainsi, la VaR 99,5% peut être calculée directement par la
méthode paramétrique à partir de la fonction de répartition LogNormale ou encore
par la méthode de Monte Carlo suite à une simulation de la distribution
paramétrique de Best Estimate.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 71
CONCLUSION Au niveau de cette partie, nous avons présenté le cadre théorique de l’évaluation
du risque de provisionnement tout en respectant la réglementation et le principe du
modèle interne du projet « Solvabilité 2 ».
Nous avons commencé, dans le premier chapitre par la présentation des deux
méthodes actuarielles différentes d’évaluation du Best Estimate à savoir les méthodes
de Chain Ladder et les modèles GLM.
Après avoir rappelé les principes de la méthode de Chain Ladder déterministe et le
modèle conditionnel de Mack (qui constitue une extension stochastique de cette
dernière), nous avons fait une présentation générale des modèles GLM avant
d’aborder la problématique de présence d’incréments négatifs, qui se présentent
souvent dans les triangles de liquidation. De ce fait, nous avons présenté un modèle
GLM basé sur une approche bayésienne qui s’adapte à cette problématique tout en
limitant notre champ d’étude au modèle GLM LogNormale.
Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté deux techniques de simulation de
Monte Carlo à savoir la méthode classique d’inversion de la fonction de répartition et
la méthode MCMC (en particulier, la méthode d’échantillonnage de GIBBS appliquée
au modèle bayésien), qui seront utiles pour la construction des scénarios des
paiements adaptés aux modèles de provisionnement de Chain Ladder et les modèles
GLM.
Le troisième chapitre était consacré à la présentation de la VaR. Nous avons
rappelé, d’abord, les caractéristiques d’une mesure de risque et défini, ensuite, la
notion de la VaR ainsi que ses méthodes d’évaluation avant d’expliquer comment on
peut mettre en œuvre cette mesure dans l’évaluation du SCR lié au risque de
provisionnement.
Nous illustrons dans la troisième partie formant la partie empirique, une mise en
œuvre pratique de ces différents aspects théoriques appliquée à un portefeuille IARD
d’une société d’assurance du marché français.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 72
PARTIE 3
ETUDE EMPIRIQUE
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 73
INTRODUCTION
Le principe fondamental de la réforme « Solvabilité 2 » est simple : chaque assureur
ou réassureur doit être à même de comprendre les risques inhérents à son activité
afin d’allouer suffisamment de capital pour les couvrir. Le processus
d’implémentation de ce processus est cependant beaucoup plus complexe et
nécessite la participation de tous les acteurs du marché d’assurance européen que ce
soient les autorités du contrôle ou les sociétés d’assurance et de réassurance.
Dans ce contexte, le marché français semble actuellement au milieu de gué avec
certains acteurs qui sont déjà bien engagés dans l’implémentation de ce processus.
Leader sur le marché d’assurance français, « AXA France » utilise déjà des modèles
d’évaluation de ses risques techniques et financiers dont l’objectif est de pouvoir les
utiliser pour évaluer ses besoins en capital pour la couverture de ces risques tout en
respectant les normes du futur référentiel « Solvabilité 2 ».
Néanmoins, AXA France souhaite améliorer la modélisation de certains risques dont
le risque de provisionnement. Cette mission est confiée au département « Risk
Management » qui a pour objectif d’identifier, mesurer, gérer et suivre l’ensemble
des risques d’AXA France.
Au cours de mon stage de fin d’études au sein du département « Risk Management
IARD », j’ai eu l’occasion de participer à plusieurs missions : proposer une approche
méthodologique pour la modélisation des réserves de chaque branche compatible
avec les exigences de Solvabilité 2, participer à l’implémentation de la méthode
retenue dans le modèle interne AXA France et à l’analyse de la solution « Risk
Management » pour couvrir le risque de provisionnement.
L’objectif principal de ces missions était de chercher des améliorations pour le
modèle actuel de mesure du risque de provisionnement d’ « AXA France IARD ».
Pour atteindre cet objectif et après avoir présenté dans les parties précédentes les
fondements théoriques et réglementaires du risque de provisionnement, nous allons
présenter dans cette partie une mise en œuvre pratique d’analyse du risque de
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 74
provisionnement des réserves de fin 2007 dans le cadre du projet Solvabilité 2
appliquée à un portefeuille IARD d’AXA France.
Après avoir présenté le portefeuille IARD à étudier dans un premier chapitre, nous
allons exposer et analyser, dans un deuxième chapitre, le modèle actuel d’AXA
France afin de trouver les sources d’amélioration possible pour ce dernier. Dans les
deux chapitres qui suivent, nous allons analyser, en premier lieu, les différents
résultats obtenus sur le risque de provisionnement des réserves de fin 2007 sur
l’horizon ultime de développement des paiements, et en second lieu, sur un horizon
d’un an conformément aux exigences du projet « Solvabilité 2 ». Enfin, nous allons
comparer les résultats du modèle interne de risque de provisionnement à un an à
ceux de la formule standard.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 75
CHAPITRE 1
PORTEFEUILLE IARD ETUDIÉ
Dans ce chapitre, nous présentons, d’abord, les branches retenues du portefeuille
d’assurance IARD étudié ainsi que leur base de données correspondante, et ensuite
les outils informatiques que nous avons utilisés.
1.1 Portefeuille étudié
Le portefeuille IARD retenu pour l’analyse et l’évaluation du risque de
provisionnement est constitué de trois branches :
Risques Industriels et Pertes d’exploitation
Cette branche appartient au segment « Incendie et autres dommages aux biens »
(voir Fig.1.6). Elle correspond à un risque court c'est-à-dire qu’une fois le sinistre est
ouvert (ou déclaré), celui-ci sera réglé rapidement.
Responsabilité Civile Automobile Corporelle (RC AUTO Corporelle)
Cette branche appartient au segment « Automobile, Responsabilité Civile ». Elle
constitue un risque à liquidation lente, l’assureur peut ainsi être informé rapidement
de l’existence d’un sinistre corporel (suite à l’accident automobile) mais son
règlement total ne pourra pas intervenir, en tout état de cause, avant que toutes les
conséquences en terme de santé ne soient connues, c'est-à-dire que l’état de santé de
l’assuré ne soit stabilisé. Notons que le coût final du sinistre reste également
incertain.
Responsabilité Civile Entreprises Générale (RC Entreprises Générale)
Cette branche appartient au segment « Responsabilité Civile », elle a une
liquidation longue.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 76
1.2 Présentation des données
Base de données pour les méthodes Chain Ladder (voir ANNEXE 4)
Nous disposons pour chacune des trois branches d’un jeu de 90 données des
paiements cumulés correspondant à quatorze années de survenance de sinistres (de
1994 jusqu’à 2007) avec un développement de paiements sur un maximum de
quatorze ans, c'est-à-dire qu’on suppose qu’au bout de quatorze ans, tous les sinistres
aient été déclarés et qu’ils ne donnent plus lieu à aucun règlement.
Base de données pour la modélisation GLM (voir ANNEXE 5)
Pour mener à bien notre étude sur le modèle GLM (en particulier pour la
modélisation de la tendance), nous disposons de 496 paiements incrémentaux de
sinistres pour chacune des trois branches correspondant à dix-neuf années de
survenance des sinistres (de 1989 jusqu’à 200733) et 76 (soit 19×4) périodes
trimestrielles de développement. Notons que ces incréments sont bruts de recours, ce
qui justifie la présence des montants négatifs.
Remarques
Dans un souci de confidentialité, nous avons reconstitué l’historique des
paiements des sinistres pour chacune des branches de notre portefeuille
« IARD ». Cette reconstitution respecte la structure interne des données réelles de
façon qu’elle n’affecte pas, au final, les analyses faites.
Toutes les données observées relatives à nos branches sont déflatées et brutes
de réassurance et elles sont présentées sous forme des trapèzes de liquidation.
Nous avons présenté le détail de tous les montants des règlements, en cumulés
ainsi que les incréments (notons que pour ces derniers, nous avons essayé de
montrer uniquement la présence des valeurs négatives sans présenter la totalité
des données).
33 Dans ce qui suit de cette partie, l’année de survenance 1994 & ant dans le cadre d’une modélisation GLM présente les années de survenance de 1989 jusqu’à 1994.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 77
1.3 Outils
Les principaux outils informatiques à notre disposition sont :
- RA Tool : Outil de simulation d’AXA France programmé sur Excel et en VBA.
- Un progiciel de programmation : MATLAB.
Notre choix pour MATLAB est justifié par la puissance de ce dernier, il nous
permet de faire des estimations sur un volume de données très important, des
simulations des échantillons assez grands de variables aléatoires et d’effectuer, en
plus, tous types de calculs statistiques.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 78
CHAPITRE 2
MODÈLE ACTUEL DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT
D’AXA FRANCE
Ce chapitre est consacré à la présentation du modèle actuel d’AXA France pour
l’analyse et l’évaluation du risque de provisionnement sur l’horizon ultime du
développement des règlements (qui correspond au nombre maximum des années du
développement) et sur un horizon d’un an.
Avant de présenter cette méthode, il nous semble intéressant de présenter la notion
du coefficient de variation. Ce dernier sera, en effet, un outil d’analyse tout au long
de notre étude.
2.1 Notion de Coefficient de Variation
On définit le coefficient de variation par le rapport entre la racine carrée de
l’erreur quadratique moyenne (s.e pour squared error, en anglais), qui est une mesure
de variabilité (ou de l’incertitude) de l’estimation de Best Estimate R (valeur espérée
des provisions), et la valeur espérée de ce Best Estimate. Ainsi, on a analytiquement :
)ˆ()ˆ(.
)(varRE
RescviationdetCoefficien =
Ce coefficient est un indicateur de la qualité d’estimation du Best Estimate. En effet,
plus ce coefficient est faible, plus l’amplitude de l’intervalle de confiance des Best
Estimate est étroite et par conséquent plus la valeur estimée du Best Estimate est
précise.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 79
Remarque
A partir d’un échantillon assez grand (de moyenne E et d’écart typeσ ) des
réalisations d’une variable aléatoire Χ , nous pouvons construire un intervalle de
confiance pour cette v.a Χ en utilisant l’approximation normale. En effet, à un seuil
de confiance α , on a : [ ]σαqE ±∈Χ , avec αq est le quantile d’ordre α de la loi
Normale (0,1).
Ainsi, l’intervalle de confiance à 95% construit pour un échantillon assez grand des
réalisations de Best Estimate R , s’écrit sous la forme: )]ˆ(.96,1)ˆ([ ResRE ± , soit donc:
)]ˆ(..96,1)ˆ([ REcvRE ±
2.2 Modèle Actuel du Risque de Provisionnement d’AXA France
A l’aide de l’outil informatique de simulation nommé « RA Tool », la méthode
actuelle de l’analyse et d’évaluation du risque de provisionnement est dérivée du
modèle conditionnel de Mack (1993 et 1999) et donc à la méthode de Chain Ladder
Stochastique.
Cette méthode consiste à estimer, dans un premier temps, la volatilité et le coefficient
de variation des réserves à l’ultime à l’aide de la méthode Chain Ladder et de
procéder, dans un second temps, à quelques ajustements « manuels » sur ces
estimations cohérents avec la vision interne de la société pour le risque engendré par
chaque branche.
Dans notre cadre d’étude et en nous plaçant toujours au 31/12/2007, nous allons
décrire, par la suite, le principe de cette méthode pour le risque de provisionnement
(pour les réserves à l’ultime de fin 2007) sur l’horizon ultime du développement des
paiements (soit les quatorze années calendaires futures de 2008 à 2020) et sur un
horizon d’un an (prochaine année calendaire qui est l’année 2008), voir Fig.3.1.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 80
Fig.3.1 : Horizon ultime et Horizon à un an du risque de provisionnement des réserves de fin 2007
2.2.1 Risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des
paiements
Le principe de la méthode est le suivant :
1- La valeur estimée du Best Estimate des réserves à l’ultime est déterministe et
son calcul inclut plusieurs facteurs internes à la société (charges sinistres, avis
d’experts,…)
Remarque : Dans tout ce qui suit, le Best Estimate du modèle actuel d’AXA France
désignera notre « Best Estimate de Référence ».
2- Après l’estimation du montant espéré et de la volatilité des réserves à l’ultime à
l’aide du modèle conditionnel de Mack(1993), un coefficient de variation à l’ultime
théorique est calculé sur la base de ces estimations.
3- Dans le cas de notre portefeuille IARD, la volatilité et le coefficient de variation
à l’ultime seront sélectionnés de telle sorte :
Horizon ultime du développement des paiements
Année de survenance
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
1994 & ant
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
horizon à un an
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 81
Pour la branche Risques Industriels & Pertes d’exploitation, on conserve la
volatilité théorique des réserves à l’ultime (Mack. [1993]). Ainsi, le nouveau
coefficient de variation sera le rapport entre le Best Estimate de Référence et
cette dernière.
Pour les branches RC, on conserve le coefficient de variation théorique et on
recalcule une nouvelle volatilité des réserves à partir de ce dernier et du Best
Estimate de Référence.
4- Le montant du Best estimate de référence et la volatilité retenue des réserves à
l’ultime seront considérés respectivement comme la moyenne empirique et la
variance empirique des réserves à l’ultime.
Ainsi, en imposant la loi LogNormale à la distribution des réserves à l’ultime, dont la
calibration des paramètres se fait à l’aide de la méthode des moments, on calcul, par
conséquent, la VaR au seuil de confiance 99,5% sur la base du quelle sera évaluée le
SCR lié au risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des
paiements.
2.2.2 Risque de provisionnement sur un horizon d’un an
Avant de décrire les étapes de la méthode pratiquée dans ce cas, nous
précisons que l’estimation prudente du Best Estimate espéré reste la même que celui
pour l’analyse de risque de provisionnement sur l’horizon ultime de 14 ans (qui est
notre Best Estimate de référence).
Par conséquent, et afin d’analyser et évaluer le risque de provisionnement des
réserves à l’ultime de fin 2007 sur un horizon d’un an, le but de cette méthode est de
réestimer la volatilité (m.s.e) du montant espéré du Best Estimate des réserves à
l’ultime en tenant compte de la déviation (ou la variation) à un an relative à la
volatilité à l’ultime de ces réserves.
Dans ce qui suit de ce paragraphe, nous allons décrire les principales procédures de
cette méthode avec une illustration sur la branche « Risques Industriels & Pertes
d’exploitation ».
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 82
1- La formule donnée par Mack ([1993] et [1999]) pour l’estimation de la volatilité des
réserves à l’ultime de fin 2007 par chaque année de survenance, soit (pour i= 2, …,
14):
+=
−
=
−
−+=k
jjk
ikik k
kii
CCfCResm
14
1
114
1142
2214,
1ˆ1ˆˆ)ˆ(.ˆ.
σ permet d’estimer la part de cette volatilité
à l’ultime qui correspond à l’année calendaire 2008, soit donc :
( )
+=
−
=
k
jjk
ikk
kii
CCfCResm 14
1
2
2214,
2008 1ˆ1ˆˆ)ˆ(..
σpour : k=14+1-i et i= 2, …, 14.
Ainsi, On définit :
Le rapport : ( ) ( )
)ˆ(..
)ˆ(.ˆ.1
)ˆ(..
)ˆ(..)ˆ(.ˆ.20082008
i
i
i
ii
Resm
Resm
Resm
ResmResm−=
− (exprimé en pourcentage)
correspond à la déviation (ou la variation) à un an de la volatilité à l’ultime des
réserves de fin 2007. Plus le rapport est faible, moins sera la déviation de la volatilité
des réserves à l’ultime de fin 2007 à un an et cela veut dire implicitement un impact
faible des paiements futurs inconnus de l’année 2008 sur le montant estimé des
réserves à l’ultime de fin 2007 et vice versa.
)ˆ(.ˆ. iResm ( )2008)ˆ(.. iResm ( )
)ˆ(.ˆ.)ˆ(.ˆ.
2008
i
iResm
Resm
( )( ))ˆ(.ˆ.)ˆ(.ˆ.
2008
1i
iResm
Resm−
1995 0,061 0,061 100% 0%
1996 0,162 0,096 60% 40%
1997 0,425 0,198 46% 54%
1998 0,536 0,140 26% 74%
1999 1,701 0,375 22% 78%
2000 5,123 4,292 84% 16% 2001 35,609 29,700 83% 17%
2002 30,470 4,947 16% 84%
2003 60,574 9,396 16% 84%
2004 47,047 4,196 9% 91%
2005 54,252 10,677 20% 80%
2006 148,350 89,180 60% 40%
2007 1595,605 1469,802 92% 8%
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 83
A titre d’exemple, pour l’année de survenance 2000, ce rapport est de 16%, cela
signifie que les paiements futurs inconnus et qui ne sont pas encore réglés de 2008
relatifs aux sinistres survenus en 2000 peuvent engendrer une variation de 16% de la
volatilité à l’ultime des réserves de fin 2007 relatives à l’année de survenance 2000
(cette volatilité est estimée au 31/12/2007), c'est-à-dire un risque d’erreur dans
l’estimation de la volatilité à l’ultime de ± 16%. Or cette volatilité mesure l’incertitude
dans l’estimation du montant espéré des réserves, par conséquent, ce rapport est un
indicateur de l’effet du caractère stochastique des paiements inconnus de 2008 sur
une mésestimation des réserves de fin 2007 (ou autrement dit, sur le risque de
provisionnement des réserves de fin 2007). On peut dire, ainsi, que cet indicateur est
qualifié comme une information supplémentaire, qu’on dispose au 31/12/2007, sur
le caractère aléatoire des paiements futurs inconnus de 2008.
Par contre, le rapport : ( )
)ˆ(..
)ˆ(.ˆ.2008
i
i
Resm
Resm(exprimé en pourcentage) mesure la stabilité à
un an de la volatilité à l’ultime des réserves de 2007. Plus ce rapport est élevé, plus la
volatilité à l’ultime des réserves de fin 2007 sera stable (et donc moins sera l’impact
des paiements de 2008 sur cette dernière).
Par exemple, pour l’année de survenance 1995, ce rapport est de 100% c'est-à-dire
que la volatilité des réserves de fin 2007 relatives aux sinistres survenus en 1995 est
totalement stable et les paiements futurs de l’année 2008 n’ont aucun impact sur cette
volatilité.
2- En multipliant le rapport ( )
)ˆ(.ˆ.
)ˆ(..2008
i
i
Resm
Resm par la volatilité (m.s.e) estimée du Best
Estimate des réserves à l’ultime de fin 2007 (cette dernière est déterminée par une
sélection, voir l’étape 3 du paragraphe précédent), on déduit une nouvelle estimation
de la volatilité (m.s.e) du montant espéré du Best Estimate des réserves à l’ultime en
tenant compte de la déviation (ou la variation) à un an de la volatilité à l’ultime de
ces réserves ou aussi l’information supplémentaire sur les paiements futurs de 2008.
Le nouveau coefficient de variation calculé est appelé « coefficient de variation à un
an des réserves à l’ultime»(en anglais, covariance of reserves « First year of deviation »), il
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 84
sert ainsi comme un indicateur de la qualité des estimations du Best Estimate des
réserves à l’ultime de fin 2007 sachant l’information supplémentaire sur les
paiements futurs de 2008.
3- La VaR 99,5% est calculée sur la base de la distribution de Best Estimate simulée à
partir de la loi LogNormale dont le calibrage des paramètres se fait par la méthode
des moments, en supposant que la moyenne empirique du Best Estimate soit la
valeur comptable des réserves nette de réassurance et la variance empirique est la
m.s.e du Best Estimate à un an (calculée en 2).
Ainsi, nous pouvons évaluer la VaR 99,5% et donc le SCR du risque de
provisionnement à un an.
2.3 Limites de la méthode actuelle d’évaluation et d’analyse du risque
de provisionnement à un an
A partir de notre analyse de la méthode actuelle d’AXA France pour
l’évaluation du risque de provisionnement, nous avons pu dégager les limites
suivantes :
- L’estimation du Best Estimate des réserves est déterministe en respectant les
normes de « Solvabilité1 », alors que selon la réglementation du futur référentiel
« Solvabilité 2 », ce Best Estimate doit être estimé par la valeur actualisée des réserves
espérées en utilisant des méthodes actuarielles de provisionnement.
- La VaR au seuil de confiance 99,5% est calculée à partir d’une distribution
LogNormale du risque sous jacent, ainsi, ce calcul est inspiré du modèle standard de
l’évaluation du risque de provisionnement.
- L’idée de base de tout le raisonnement sous jacent de la méthode d’analyse et
d’évaluation du risque de provisionnement à un an est basée sur la volatilité à
l’ultime des réserves. En effet :
L’information supplémentaire sur le caractère stochastique des paiements de
2008 (qui correspond à la source du risque de provisionnement à un an) est estimée
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 85
sur la base des volatilités des réserves à l’ultime. En effet, le rapport
( ) ( ))ˆ(..
)ˆ(.ˆ.1
)ˆ(..
)ˆ(..)ˆ(.ˆ.20082008
i
i
i
ii
Resm
Resm
Resm
ResmResm−=
−, qui constitue l’indicateur sur l’incertitude
liée aux paiements futurs de 2008, ne fait intervenir, comme nous pouvons le voir
dans son expression, que la volatilité à l’ultime des réserves (soit )ˆ(.ˆ. iResm ).
L’estimation de la volatilité à un an du montant espéré du Best Estimate des
réserves de fin 2007 est basée sur le rapport ( )
)ˆ(..
)ˆ(.ˆ.2008
i
i
Resm
Resmqui ne met en jeu que la
volatilité à l’ultime des réserves, ainsi, l’évaluation du SCR lié au risque de
provisionnement à un an est faite à partir du découpage de la volatilité à l’ultime.
Par conséquent, cette méthode ne prend pas en considération la « propre volatilité »
des paiements de 2008 qui peut constituer un indicateur plus robuste sur leur
caractère stochastique.
Comme toute méthode est passible d’amélioration, les limites décrites ci-dessus n’ont
pas pour but de critiquer la méthode pratiquée actuellement et de mentionner ses
insuffisances.
Nous allons essayer à partir de ces limites d’apporter des améliorations à cette
méthode adaptées au modèle interne du risque de provisionnement dans le cadre de
futur référentiel « Solvabilité 2 ».
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 86
CHAPITRE 3
RISQUE DE PROVISIONNEMENT SUR L’HORIZON
ULTIME DU DEVELOPPEMENT DES PAIEMENTS
Le risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des
paiements requiert l’évaluation du Best Estimate et de la volatilité des réserves à
l’ultime puisque l’évaluation du SCR sera faite sur la base de la distribution de ces
dernières.
Dans ce chapitre, nous allons procéder, d’abord, à l’évaluation du Best Estimate et
de la volatilité des réserves à l’ultime de fin 2007 par la méthode de Chain Ladder
stochastique et le modèle GLM. Nous allons analyser, ensuite, les résultats obtenus
en les comparant avec la méthode actuelle d’AXA France.
3.1 Méthode Chain Ladder Stochastique
Les valeurs estimées du montant espéré (Best Estimate) et de la volatilité des
réserves à l’ultime de fin 2007, sont celles données par le modèle conditionnel de
Mack (1993).
Le SCR du risque de provisionnement à l’ultime est évalué à l’aide de la VaR au
seuil de confiance 99,5% calculée sur la base d’une distribution LogNormale des
réserves à l’ultime et dont les paramètres sont calibrés par la méthode des
moments (où la moyenne empirique est le Best Estimate des réserves à l’ultime et
la variance empirique est la m.s.e des réserves à l’ultime).
Notre intérêt à la modélisation LogNormale pour les réserves à l’ultime, se justifie
par le fait de pouvoir comparer les résultats à ceux de la méthode actuelle d’AXA
France, ainsi, d’autres lois peuvent être envisageables.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 87
3.2 Modèle GLM LogNormale basé sur l’approche Bayésienne Vu la présence importante d’incréments négatifs dans les trapèzes de
liquidation (voir ANNEXE 5) et pour mener à bien notre étude par le choix d’une
modélisation GLM qui soit la mieux adaptée à notre base de données, nous avons
choisi d’appliquer le Modèle GLM LogNormale (basé sur l’approche bayésienne)
proposé par Kunkler. [2006].
Nous avons expliqué la théorie sous jacente du modèle dans la deuxième partie
(Chapitre 1) de notre mémoire. Ainsi, nous allons présenter dans ce paragraphe
l’application de ce modèle sur les trois branches de notre Portefeuille afin de mieux
appréhender son aspect empirique.
Notons que, dans le cadre de ce modèle, toutes les estimations des paramètres et
toutes les simulations des distributions a posteriori ont été faites à l’aide de la
méthode d’échantillonnage de GIBBS. Le programme MATLAB de cette méthode,
appliqué à nos données, est présenté en ANNEXE 10.
Estimation de la distribution a posteriori des données futures z~ du triangle
mixte
- La fonction lien appliquée au modèle GLM de Bernoulli des données transformées
*z est la fonction Probit (voir Tab.2.2).
Les résultats d’estimation des paramètres de la tendance des *z (par année de
survenance et par année du développement), à l’aide de méthode d’échantillonnage
de GIBBS, sont présentés en ANNEXE 6.
Estimation de la distribution a posteriori des données futures q~ du triangle
composé
Avant toute précision sur la modélisation de la tendance, il nous paraît utile de
distinguer entre les résidus des données composées q correspondants aux incréments
positifs et les résidus des données composées q correspondants aux incréments
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 88
négatifs. Ceci est dû au fait que les incréments positifs et négatifs n’ont pas la même
tendance.
Par ailleurs, avec la modélisation bayésienne, on définit les résidus a priori par la
différence entre les valeurs observées q du triangle composé et leurs estimations a
priori par le modèle GLM LogNormale dont le prédicteur linéaire a priori (qui est le
même pour toutes les branches) est donné par :
( ) ( ) ιγαγαη )2()1()1( )1(1)1( −++−++−+= −=−
=++ jiIjIj
ijij zzqij .
La tendance des données composées q qui sera retenue au final pour l’estimation des
paramètres du prédicteur linéaire a posteriori vise à bien capturer la tendance des
valeurs moyennes des résidus a priori34 par année de survenance et par période de
développement. Ainsi, on définit les résidus a posteriori par la différence entre les
valeurs observées q du triangle composé et leurs estimations a posteriori par le
modèle GLM LogNormale (dont le prédicteur linéaire est celui retenu a posteriori).
Les résultats des estimations a priori et a posteriori des paramètres de la tendance du
prédicteur linéaire et les tendances des résidus a priori et a posteriori figurent
respectivement en ANNEXE 7 et ANNEXE 8.
La vérification des hypothèses sur les résidus est une méthode qui nous permet de
valider ou non la cohérence du choix de la modélisation GLM LogNormale pour les
données composées. En effet, pour la distribution LogNormale choisie, l’hypothèse
de normalité des résidus doit être vérifiée exactement et non asymptotiquement.
Pour cela, nous avons procédé à un test d’ajustement de la distribution des résidus a
posteriori, avec le Quantile-Quantile plot (QQplot) de la loi Normale.
34 Ces moyennes correspondent à la moyenne empirique des résidus a priori par année d’accident et par période du développement.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 89
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Standard Normal Quantiles
Qua
ntile
s of In
put S
ample
QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal
Fig.3.2 : Branche Risques Industriels et Pertes d’exploitation
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Standard Normal Quantiles
Qua
ntile
s of
Inpu
t Sam
ple
QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal
Fig.3.3 : Branche RC AUTO Corporelle
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 90
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Standard Normal Quantiles
Qua
ntile
s of In
put S
ample
QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal
Fig.3.4 : Branche RC Entreprise Générale
Nous pouvons remarquer l’existence de valeurs aberrantes pour les résidus aux
extrémités (c'est-à-dire pour les premières et les dernières années de survenance) qui
ne sont pas ajustées avec la loi Normale, ce qui constitue un indicateur sur la
présence des valeurs extrêmes. La justification de cela est liée à la nature de la
branche (courte ou longue), en effet :
La branche courte « Risques Industriels & Pertes d’exploitation » présente des
incréments très faibles ainsi qu’un nombre assez élevé des incréments négatifs
pour les premières années de survenance puisque les sinistres survenus ont été
quasi totalement réglés pendant les premières périodes du développement. Au
contraire, pour les dernières années de développement la quasi totalité des
sinistres a été réglée ce qui justifie la présence des montants trop élevés des
incréments.
Les branches RC à liquidation longue présentent des incréments très élevés pour
les périodes du développement des sinistres survenus à l’année 1989 puisque
l’horizon de liquidation de ces derniers est très long par rapport aux sinistres
survenus pendant les autres années et par conséquent, ils ont été réglés en totalité.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 91
En revanche, les sinistres RC survenus aux dernières années ne sont pas encore
liquidés ce qui justifie la présence des incréments très faibles et négatifs.
Ainsi, la modélisation GLM LogNormale de ces incréments extrêmes n’est pas tout à
fait adéquate. Toutefois, la problématique de présence des incréments extrêmes ne
sera pas traitée dans le cadre de notre étude et nous pouvons, par conséquent, retenir
la distribution LogNormale Conditionnelle qui paraît adéquate pour modéliser les
données composées q de chacune des trois branches de notre portefeuille.
Remarque
Afin de vérifier la présence des valeurs extrêmes, on a adopté aussi l’approche
graphique de QQplot, mais en appliquant cette fois, le QQplot de la loi exponentielle
sur la distribution des observations du triangle composé q (voir ANNEXE 9). La
présence des distributions concaves (pour la branche Risques Industriels & Pertes
d’Exploitation) et convexes (pour les branches RC) par rapport à la droite linéaire
dans le QQplot nous indique une queue de distribution respectivement plus épaisse
et plus fine par rapport à celle de la loi Normale et par conséquent, la présence des
valeurs extrêmes.
Réserves à l’ultime de fin 2007
La technique de simulation par la méthode d’échantillonnage de GIBBS nous
permet de créer au final une distribution empirique de chaque incrément futur, ce
qui permet d’avoir une distribution empirique pour les réserves à l’ultime de chaque
année de survenance et une distribution empirique des réserves totales à l’ultime.
A titre d’exemple, nous présentons les distributions empiriques des réserves totales à
l’ultime de chaque branche.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 92
Fig.3.5 : Distribution d’un échantillon de 10000 réalisations des réserves totales à l’ultime
de la branche Risques Industriels et Pertes d’Exploitation
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 105
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Fig.3.6 : Distribution d’un échantillon de 10000 réalisations des réserves totales à l’ultime
de la branche RC AUTO Corporelle
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 93
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
x 105
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Fig.3.7 : Distribution d’un échantillon de 10000 réalisations des réserves totales à l’ultime de la branche RC Entreprises Générale
Comme nous pouvons le constater, d’une part, la branche « Risques Industriels et
pertes d’exploitation » présente la possibilité d’avoir des réserves totales (ou
agrégées) de fin 2007 négatives, ce résultat est attendu pour cette branche courte
puisqu’une fois les sinistres survenus sont déclarés, ils seront réglés rapidement en
totalité ce qui peut engendrer le cas où le montant total des recours (entrée de fonds)
excède le montant total des règlements (sortie de fonds) pour toutes les années de
survenance, ajoutant à cela que le trapèze de liquidation de cette branche présente un
nombre assez important des paiements incrémentaux négatifs déjà observés (voir
ANNEXE 5).
D’autre part, les deux autres branches RC à liquidation plus ou moins longue ne
présentent pas la possibilité d’avoir des réserves totales de fin 2007 négatives, ce qui
est attendu aussi pour ces branches dont le règlement des sinistres survenus est très
long et se fait avec des montants très importants et d’ailleurs, elles présentent un
nombre limité des incréments négatifs observés (par rapport à la branche courte).
Ainsi, nous pouvons conclure que la distribution des réserves totales à l’ultime de fin
200735 issues de la modélisation GLM LogNormale, reflètent bien la tendance des
incréments observés en tenant compte de la particularité de chaque branche (comme
35 Cette remarque est valable aussi pour les réserves à l’ultime par année de survenance.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 94
la présence d’un nombre assez important des incréments négatifs pour notre branche
courte Risques Industriels & Pertes d’exploitation). Ce qui donne une indication, a
priori sur la robustesse de la qualité des estimations pour le Best Estimate et la
volatilité des réserves à l’ultime ainsi que pour le SCR du risque de provisionnement
sur l’horizon ultime du développement des sinistres. En effet, à partir des
distributions empiriques des réserves, on peut évaluer :
Le Best estimate qui sera estimé par la moyenne empirique.
La volatilité des réserves à l’ultime (m.s.e) qui sera estimée par la variance
empirique.
La VaR au seuil de confiance 99,5% qui correspond au quantile d’ordre 99,5%.
Remarque
Nous allons distinguer dans ce qui suit, deux types de réserves :
Les réserves totales : en considérant que les réserves par année de survenance
sont totalement indépendantes. Ainsi, la volatilité des réserves totales est
simplement la somme des volatilités par année de survenance.
Les réserves agrégées : en considérant implicitement les interactions et la
diversification entre les réserves par année de survenance. Ces interactions seront
incluses dans la volatilité des réserves agrégées (qui diffère de celle des réserves
totales).
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 95
3.3 Analyse des Résultats36
Après avoir présenté les résultats numériques des différentes méthodes
d’évaluation du risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement
des sinistres, nous allons procéder à une analyse de ces résultats pour les différentes
branches formant notre portefeuille IARD.
Tab.3.1 Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% pour la branche
Risques Industriels & Pertes d’Exploitation
Modèle AXA France Chain Ladder Stochastique GLM LogNormale
BE s.e s.e/BE (%)
VaR 99,5% BE s.e
s.e/BE (%)
VaR 99,5% BE s.e
s.e/BE (%)
VaR 99,5%
1994&ant 5,85 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,06 0,06 98,67 0,57
1995 3,22 0,25 7,70 4,71 0,23 0,25 105,74 1,50
0,06 0,08 133,33 0,46
1996 1,59 0,40 25,21 3,27 0,03 0,40 1453,26 0,74
0,11 0,13 125,44 0,77
1997 3,29 0,65 19,81 6,10 0,22 0,65 291,20 3,46
0,19 0,20 105,04 1,12
1998 3,31 0,73 22,12 6,41 0,18 0,73 409,61 3,35
0,32 0,29 91,75 1,73
1999 2,27 1,30 57,41 7,96 0,12 1,30 1049,57 3,16
0,52 0,53 101,03 3,04
2000 1,98 2,26 45,41 14,50 -0,60 2,26 -379,09 10,76
0,91 1,53 167,20 4,70
2001 2,63 5,97 226,67 35,56 1,95 5,97 305,75 31,12
1,52 1,19 78,00 7,68
2002 2,50 5,52 220,95 33,00 2,43 5,52 226,78 31,58
2,52 1,86 73,68 11,94
2003 5,34 7,78 145,71 47,26 4,91 7,78 158,60 47,00
4,15 3,48 83,66 17,68
2004 5,56 6,86 90,77 40,86 5,20 6,86 131,97 41,71
7,18 5,12 71,27 31,32
2005 10,25 7,37 48,30 46,48 9,21 7,37 80,00 44,01
13,37 9,25 69,17 54,52
2006 25,89 12,18 47,05 77,34 26,28 12,18 46,34 74,27
26,01 17,59 67,63 108,13
2007 88,95 39,95 44,90 256,72 85,64 39,95 46,64 243,36
52,55 32,89 62,59 201,65
Réserves Totales
142,64 44,50 31,20 580,16 135,81 44,50 32,76 536,02 109,48 39,02 35,64 445,30
IC(BE)37 55,42 259,86 48,61 223,01 33,00 185,96 Ecart/RA38
-5%
5% -8%
-23% -12% 14% -23%
Ecart/CL 5%
-5% 8%
-19% -12% 9% -17%
Ecart/GLM 30% 14% -12% 30% 24% 14% -8% 20%
Réserves agrégées
142,64 46,91 32,38 357,50 135,81 46,91 34,54 293,77 109,48 39,87 36,42 262,01
IC(BE) 50,69 234,86 44,19 229,43 31,32 187,63 Ecart/RA -5% 7% -18% -23% -15% 12% -27% Ecart/CL 5% -6% 22% -19% -15% 5% -11%
Ecart/GLM 30% 18% -11% 36% 24% 18% -5% 12%
36 Tous les résultats sont exprimés en 1000 €. 37 IC(BE) : c’est l’intervalle de confiance du Best Estimate donné par l’approximation Normale. 38 RA : est une référence à RA Tool et donc au modèle d’AXA France.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 96
Tab.3.2
Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% pour la branche RC AUTO Corporelle
Modèle AXA France Chain Ladder Stochastique GLM LogNormale
BE s.e s.e/BE
(%) VaR
99,5% BE s.e
s.e/BE (%)
VaR 99,5% BE s.e
s.e/BE
(%) VaR
99,5% 1994& ant 6,12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
8,61 1,90 22,06 25,89
1995 2,86 1,60 56,34 9,63 0,24 0,14 56,34 0,81
3,40 1,06 31,21 7,26
1996 4,51 2,54 56,46 15,21 0,65 0,36 56,46 2,18
0,34 1,12 324,38 8,01
1997 3,71 2,59 69,74 15,42 1,48 1,04 69,74 6,16
4,28 1,14 26,61 8,33
1998 4,82 2,10 43,63 12,96 2,81 1,22 43,63 7,54
4,92 1,25 25,5 9,45
1999 5,12 2,24 43,84 13,8 4,32 1,89 43,84 11,65
5,87 1,43 24,35 10,88
2000 8,87 6,79 76,56 40,52 5,41 4,14 76,56 24,70
7,35 1,83 24,96 14,39
2001 8,7 10,27 87,76 61,6 7,53 6,61 87,76 39,64
9,50 2,47 26,01 18,52
2002 10,1 13,22 87,56 79,31 7,85 6,87 87,56 41,23
12,58 3,37 26,82 25,19
2003 19,84 10,98 55,31 65,71 13,19 7,30 55,31 43,69
16,83 4,55 27,01 35,19
2004 29,16 8,97 36,31 67,96 21,10 7,68 36,31 49,18
22,73 5,99 26,33 46,00
2005 36,73 8,97 24,42 66,33 34,50 8,42 24,42 62,29
30,80 8,16 26,48 63,78
2006 48,82 9,36 19,17 78,21 47,89 9,18 19,17 76,73
41,80 11,61 27,69 86,05
2007 73,06 12,93 15,57 122,26 70,44 10,97 15,57 103,69
55,62 15,40 27,69 113,77
Réserves Totales
232,45 24,55 10,56 548,93 217,42 22,41 10,56 469,49 224,65 22,95 10,22 472,71
IC(BE) 184,33 280,57 172,42 262,42 179,65 269,65 Ecart/RA
-6% -8%
-28%
-3% -6% -3% -27%
Ecart/CL 7% 9%
38%
3% 2% -3% 0,7%
Ecart/GLM 3% 7% 3% 37% -3% -2% 3% -0,7%
Réserves agrégées
232,45 26,84 11,55 379,7 217,42 25,12 11,55 281,83 224,65 26,05 11,6 313,30
IC(BE) 184,33 280,68 168,2 266,64 173,57 275,73 Ecart/RA
-6% -6%
-26%
-3% -3% 0,4% -17%
Ecart/CL 7% 7%
35%
3% 4% 0,4% 11%
Ecart/GLM 3% 3% -0,4% 21% -3% -4% -0,4% -10%
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 97
Tab.3.3 Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% pour la branche
RC Entreprise Générale
Modèle AXA France Chain Ladder Stochastique GLM LogNormale
BE s.e s.e/BE
(%) VaR
99,5% BE s.e
s.e/BE (%)
VaR 99,5% BE s.e
s.e/BE
(%) VaR
99,5% 1994&ant 2,39 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
15,94 3,34 20,95 46,04
1995 3,99 1,83 45,77 0,11 0,98 0,45 45,77 2,75
5,17 1,69 32,62 11,35
1996 6,87 3,44 50,09 20,80 1,99 1,00 50,09 6,03
5,62 1,68 29,85 11,79
1997 5,96 2,35 39,42 14,80 2,72 1,07 39,42 6,74
6,25 1,74 27,86 12,52
1998 9,76 4,21 43,07 26,00 4,07 1,75 43,07 10,81
7,03 1,82 25,92 13,35
1999 11,32 6,40 56,53 38,20 4,67 2,64 56,53 15,79
8,07 1,97 24,41 15,11
2000 12,19 6,53 53,61 39,20 6,55 3,51 53,61 21,06
9,42 2,24 23,77 17,86
2001 11,35 7,53 66,34 44,80 8,04 5,33 66,34 31,74
11,13 2,63 23,68 20,70
2002 11,78 6,04 51,32 36,40 12,75 6,54 51,32 39,42
13,23 3,07 23,21 23,95
2003 16,12 6,23 38,65 39,40 17,66 6,82 38,65 43,06
15,84 3,65 23,05 29,36
2004 25,85 9,07 35,09 58,60 18,30 6,42 35,09 41,55
19,27 4,48 23,26 36,22
2005 27,55 7,45 27,05 52,80 25,58 6,92 27,05 48,96
23,69 5,75 24,26 46,63
2006 32,81 7,08 21,59 55,60 42,37 9,15 21,59 71,77
29,36 7,08 24,13 55,14
2007 38,37 7,51 19,58 62,00 53,26 10,43 19,58 86,14
36,76 9,07 24,67 92,99
Réserves Totales
216,30 22,38 10,35 437,80 198,95 20,59 10,35 425,81 206,78 15,73 7,60 433,00
IC(BE) 172,43 260,16 158,59 202,98 175,98 237,58 Ecart/RA
-8% -8%
-3%
-4% -30% -27% -1%
Ecart/CL 9% 8%
3%
4% -25% -27% 2%
Ecart/GLM 5% 42% 36% 1% -4% 31% 36% -2%
Réserves agrégées
216,30 26,09 12,06 309,60 198,95 23,99 12,06 258,18 206,78 21,89 10,59 272,71
IC(BE) 165,16 267,44 151,92 245,98 163,86 249,7 Ecart/RA
-8% -8%
-17%
-4% -16% -12% -12%
Ecart/CL 9% 24%
20%
4% -9% -12% 6%
Ecart/GLM 5% 36% 14% 13% -4% 10% 14% -5%
Quelque soit la branche étudiée, la méthode actuelle d’AXA France, Ajustée par le
modèle conditionnel de Mack paraît plus pessimiste que la méthode de Chain
Ladder Stochastique et le modèle GLM. En effet, les estimations du Best Estimate et
la VaR sont plus élevées. Ceci est dû au fait que le modèle interne d’AXA France
consiste à donner une estimation déterministe (en tenant compte d’autres
informations de marché) et donc assez prudente au Best Estimate des réserves à
l’ultime ainsi que la VaR.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 98
Par ailleurs, nous pouvons bien remarquer la convergence des résultats pour les Best
Estimate et les VaR de la méthode Chain Ladder et du modèle GLM malgré la
différence entre leurs hypothèses et leurs techniques.
D’autres constations communes pour toutes les branches peuvent être encore faites.
D’une part, la volatilité ainsi que le coefficient de variation des réserves en agrégées
sont supérieurs à ceux des réserves totales ce qui peut être expliqué par le fait que les
réserves agrégées prennent en compte les éventuelles interactions entre les réserves
des années de survenance alors que les réserves en totale considèrent que ces
dernières sont indépendantes. D’autre part, la VaR des réserves agrégées est toujours
inférieure à la somme des VaR des réserves par année de survenance, cela veut dire
qu’il faut beaucoup plus de chargement de capital pour couvrir indépendamment le
risque de provisionnement de chaque année de survenance que pour couvrir le
risque de provisionnement en agrégé. Ainsi, la diversification entre les différentes
années de survenance joue un rôle très important dans le calcul de la VaR et donc le
SCR final. Par conséquent, nous allons nous intéresser dans ce qui suit à l’analyse du
risque de provisionnement sur les réserves agrégées.
Analysons maintenant le risque de provisionnement pour chaque branche.
D’après les résultats de la branche « Risques Industriels & Pertes d’Exploitation »
(voir Tab.3.1) et plus précisément les écarts des Best Estimate et des VaR évalués par
les différentes méthodes, nous pouvons bien constater, que les résultats du modèle
AXA France et de la méthode de Chain Ladder Stochastique sont les plus proches, en
raison que ces deux modèles reposent sur une distribution LogNormale calibrée par
la même volatilité à l’ultime (s.e).
Par ailleurs, la comparaison de la volatilité des provisions à l’ultime du modèle GLM
LogNormale et la méthode de Chain Ladder Stochastique (ou encore modèle d’AXA
France) est assez difficile, vu la différence des hypothèses sous-jacentes et des
techniques utilisées, mais les résultats de volatilité des réserves à l’ultime permettent
de donner une indication sur la robustesse de la modélisation GLM qui n’impose
aucune distribution paramétrique à ces dernières. Dans cette optique, il faut noter
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 99
que, dans le cadre du modèle GLM, la volatilité des réserves à l’ultime que ce soit en
agrégée ou pour les premières années de survenance (où la présence des incréments
négatifs est très excessive) est plus basse par rapport aux autres modèles. Ainsi, cette
baisse de l’incertitude (ou encore de l’erreur d’estimation) sur le Best Estimate des
réserves de fin 2007 entraîne une diminution de la VaR et donc du chargement du
capital (SCR) du risque de provisionnement.
Les Tableaux Tab.3.2 et Tab.3.3 des branches RC, nous indiquent que la modélisation
GLM accorde un SCR plus prudent, pour couvrir le risque des réserves agrégées des
branches à développement long tout en présentant des résultats très satisfaisants, par
rapport à la méthode Chain Ladder Stochastique, concernant la variabilité des
estimations faites sur les réserves. D’une part, le coefficient de variation du Best
Estimate des réserves en Total ou en agrégée, pour la branche « RC AUTO
Corporelle » est sensiblement très proche ou inférieur à celui évalué par la méthode
Chain Ladder Stochastique (ou encore le modèle d’AXA France). D’autre part, le
coefficient de variation ainsi que la volatilité des réserves à l’ultime, pour la branche
«RC Entreprise Générale» sont largement plus bas.
Ajoutons à ce qui précède qu’avec le modèle GLM, les coefficients de variations des
réserves à l’ultime des dernières années de survenance sont relativement stables
entre eux et plus élevés par rapport à ceux de la méthode Chain Ladder, ce qui peut
être un indicateur sur la stabilité «prudente» du modèle pour les réserves de ces
années qui sont les plus incertaines et les plus risquées pour une branche à
développement long.
Ainsi et étant donné que la volatilité des réserves agrégées à l’ultime pour les
branches RC, dans le cadre du modèle d’AXA France, soit calibrée à l’aide du
coefficient de variation de la méthode Chain Ladder, une surestimation de
l’indicateur de variabilité des réserves estimées augmente l’incertitude sur les
montants de Best Estimate des réserves ce qui peut entrainer une surestimation du
SCR destiné à couvrir le risque lié à cette incertitude.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 100
Nous pouvons conclure, d’après notre analyse du risque de provisionnement sur
l’horizon ultime des paiements de sinistre, que malgré la différence des techniques et
hypothèses utilisées dans les modèles GLM et Chain Ladder Stochastique, ils
présentent des résultats convergents pour les réserves agrégées que ce soit pour le
montant de leur Best Estimate ou pour leur VaR 99,5%, avec des incertitudes plus
faibles sur les estimations faites par la modélisation GLM.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 101
CHAPITRE 4
RISQUE DE PROVISIONNEMENT SUR
UN HORIZON D’UN AN
Le risque de provisionnement sur un horizon d’un an est modélisé par les
fluctuations du Best Estimate des réserves de fin 2007 résultant du caractère
stochastique des paiements de l’année calendaire future 2008 (voir Fig.3.1). Ainsi, en
se plaçant au 31/12/2007, ce caractère stochastique requiert qu’on dispose une
information supplémentaire qui sera un indicateur sur l’incertitude liée à ces
paiements.
Ce chapitre vise à présenter deux approches d’évaluation du risque de
provisionnement d’un an basées sur la méthode Chain Ladder Stochastique et la
modélisation GLM. Après avoir exposé ces deux approches nous allons analyser,
dans un premier temps, leurs résultats en les comparant au modèle actuel d’AXA
France. Dans un second temps, nous allons comparer le SCR du modèle interne
correspondant à ces différentes approches à celui du modèle standard
Fig.3.8 : Schéma synthétique de modélisation du risque de provisionnement à un an
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 102
4.1 Méthode Chain Ladder Stochastique : Approche Paramétrique
L’information supplémentaire sur les règlements des sinistres de l’année
calendaire 2008 (notés par : iniC −+2, où n=14 et i=1,…,14, voir Fig.3.9) peut être liée aux
caractéristiques statistiques de ces règlements et en particulier à leurs moments. En
effet, à l’aide des méthodes de Chain Ladder déterministe et stochastique, on dispose
des estimateurs du montant espéré et de la volatilité du montant espéré de ces
règlements.
Fig.3.9 : Les paiements cumulés correspondant à l’année calendaire 2008
Dans ce paragraphe, nous allons proposer une méthode paramétrique qui nous
permet de modéliser le Best Estimate des réserves de fin 2007 à partir d’une
modélisation des paiements cumulés futurs inconnus de l’année calendaire 2008 par
une loi appartenant à une famille connue de loi (dont il suffira de déterminer les
paramètres), tout en restant cohérent avec les méthodes de Chain Ladder
déterministe et stochastique.
Choix et calibrage de la Loi paramétrique utilisée
Le Test Swiss de Solvabilité ainsi que le CEIOPS (par le biais de QIS 4) proposent
de modéliser les risques à partir des lois Normales et LogNormale. En particulier, la
loi Normale est préconisée pour la branche santé, du fait de sa queue de distribution
Année de développement
Année de survenance 1 2 … j … ….. n=14
1994&ant
1995 nC ,2
…
i iniC −+2,
…
…
2007
2,nC
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 103
courte, tandis que la loi LogNormale, de queue de distribution nettement importante,
est préconisée pour les branches IARD (comme les branches RC).
Nous allons présenter un bref rappel pour la description des lois Normale et
LogNormale.
• Loi Normale
Soit une variable aléatoire X qui suit la loi Normale N ( ²,σµ ).
- µ=)(XE et ²)var( σ=X
- Sa fonction de densité est donnée par :
2
21
2
1)(
−−
= σµ
πσ
x
exf
• Loi LogNormale
Une variable aléatoire Y suit la loi LogNormale LN ( ²,σµ ), si )(YLogX = obéit
à une loi Normale ( ²,σµ ) :
- 2²
)(σµ +
= eYE et )1()var( ²²2 −= + σσµ eeY
- Sa fonction de densité est donnée par :
2)ln(21
2
1)(
−−= σ
µ
πσ
y
ey
yf
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Fig.3.10: Simulation d’un échantillon qui suit la loi LN ( µ =10 ;
σ =0.6)
vs la loi Normale
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 104
Afin de déterminer les paramètres des lois, à partir des données disponibles du
tringle de liquidation, on procède comme suit :
- On suppose que les deux premiers moments empiriques des paiements cumulés de
l’année calendaire 2008, 2, +−iniC soient connus. En effet :
• La moyenne empirique est celle donnée par la méthode de Chain Ladder
Classique, c'est-à-dire 2,ˆ
+−iniC (qui est l’estimateur du montant espéré des
paiements cumulés de l’année 2008).
• La variance empirique est celle donnée par la formule récursive du T. Mack
(1999) c'est-à-dire )ˆ(.ˆ. 2, +−iniCesm (qui est l’estimateur de la variance du montant
espéré des paiements cumulés de l’année 2008).
- A l’aide de la méthode des moments, on estime les paramètres de la loi en égalisant
les deux premiers moments empiriques par ceux paramétriques.
Ainsi, en supposant que les paiements de 2008 2, +−iniC suivent la loi LogNormale LN
( ²,σµ ) et par application de la méthode des moments, on aura :
+=
−=
−=
=
+−
+−
+−
++−
+
+−
22,
2,2
2
2,
22,
22,
ˆ)ˆ(..
1lnˆ
2ˆ
)ˆln(ˆ
)1()ˆ(..
ˆ2²
2
ini
ini
ini
ini
ini
C
Cesm
C
eeCesm
eC
σ
σµ
σσµ
σµ
Modélisation du Best Estimate des réserves de fin 2007
Afin d’illustrer l’impact de cette information dont en dispose sur le montant du
Best Estimate des réserves de fin de l’année 2007, nous allons effectuer cette
démarche :
- Simuler les paiements cumulés de l’année N+1 par la loi LogNormale calibrée.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 105
Soit 22008 +≤+= nkiCD ik l’ensemble des informations disponibles sur les
règlements au 31/12/2007, mais en rajoutant cette fois les paiements cumulées
relatives à l’année calendaire 2008, autrement dit : 220072008 +=+∪= nkiCDD ik
- Réappliquer la méthode de Chain Ladder Classique afin d’estimer le montant
espéré des paiements cumulés à l’ultime sachant l’information supplémentaire (soit
)( 2008, DCE ni ) par niC ,
ˆ
- Réestimer le montant du Best Estimate des réserves de fin de l’année 2007 sachant
l’information supplémentaire sur les paiements de l’année 2008 par iR et R (soit
)( 2008DRE i et )( 2008DRE en rajoutant les paiements de l’année 2008.
Exemple : pour la branche Risques Industriels et Pertes d’Exploitation
En présentant les résultats obtenus pour 5 simulations et en les comparant à ceux de
la méthode de Chain Ladder Stochastique Classique, nous avons :
Tab.3.4 : Approche paramétrique avec la loi LogNormale et écarts par rapport aux résultats de Chain Ladder déterministe
39 Best Estimate calculé initialement par la méthode Chain Ladder sans aucune information sur les paiements de 2008 (voir Fig.2.4).
BE039 Simulation 1 Simulation 2 Simulation 3 Simulation 4 Simulation 5
BE1 écart BE2 écart BE3 écart BE4 écart BE5 écart
1994&ant 0,00 0,00 0,00% 0,00 0,00% 0,00 0,00% 0,00 0,00% 0,00 0,00%
1995 0,23 -0,46 -296,91% 0,18 -22,84% 0,01 -97,27% 0,29 23,27% 0,56 136,81%
1996 0,03 0,65 2265,86% 0,08 194,66% -0,49 -1858,90% 0,11 305,28% 0,09 229,12%
1997 0,22 0,48 113,43% 0,68 201,87% 0,08 -62,77% 0,26 15,93% 0,35 55,61%
1998 0,18 0,16 -13,28% -0,02 -111,28% 0,12 -31,12% 0,06 -67,42% -0,06 -136,24%
1999 0,12 0,45 258,43% 0,36 193,02% -0,39 -415,06% 0,65 419,04% 0,07 -47,00%
2000 -0,60 2,12 -454,89% 1,74 -391,59% -3,28 448,81% -2,62 338,32% -0,42 -28,96%
2001 1,95 1,45 -25,60% 7,00 258,86% -0,67 -134,36% -2,74 -240,14% 1,29 -33,77%
2002 2,43 1,36 -44,22% 0,00 -100,06% 3,49 43,50% 2,39 -1,88% 7,04 189,40%
2003 4,91 6,36 29,69% 5,59 13,98% -1,33 -127,06% 4,76 -2,98% 5,28 7,66%
2004 5,20 5,48 5,39% 5,41 4,07% 3,73 -28,19% 4,99 -4,00% 5,60 7,65%
2005 9,21 9,03 -1,94% 7,01 -23,82% 7,15 -22,32% 6,84 -25,75% 8,73 -5,21%
2006 26,28 22,56 -14,16% 27,38 4,19% 14,61 -44,39% 28,53 8,57% 29,36 11,73%
2007 85,64 54,01 -36,93% 63,54 -25,80% 67,27 -21,45% 121,93 42,37% 81,68 -4,62%
TOTAL 135,81 103,64 -23,69% 118,97 -12,40% 90,32 -33,50% 165,45 21,82% 139,56 2,76%
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 106
Nous pouvons ainsi remarquer que l’incertitude sur les paiements cumulés de
l’année 2008 (due à leur caractère stochastique) génère une incertitude sur le montant
espéré des réserves, qui fluctue autour de celui obtenu avec la méthode de Chain
Ladder déterministe.
- En renouvelant cette démarche N fois, on obtient N montants du Best Estimate qui
permettent d’en déduire la loi de la distribution de Best Estimate des réserves de fin
2007 à un an (par année de survenance et en agrégées).
Nous précisons que dans notre cadre d’étude, tous les résultats présentés sont issus
de 10 000 simulations des paiements de 2008.
A titre d’exemple, nous présentons ci-dessous les distributions de Best Estimate des
réserves agrégées de fin 2007 à un an de chacune des trois branches.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Fig.3. 11: Distribution des 10000 réalisations du Best Estimate à un an des réserves
totales à l’ultime pour la branche Risques Industriels & pertes d’exploitation
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 107
160 180 200 220 240 260 2800
50
100
150
200
250
300
350
Fig.3.12 : Distribution des 10000 réalisations du Best Estimate à un an des réserves
totales à l’ultime pour la branche RC AUTO Corporelle
140 160 180 200 220 240 2600
50
100
150
200
250
300
350
Fig.3.13: Distribution des 10000 réalisations du Best Estimate à un an des réserves
totales à l’ultime pour la branche RC Entreprises Générale
Les distributions, ainsi obtenues, nous permettent de déduire :
La volatilité à un an (m.s.e) du Best Estimate des réserves de fin 2007 qui
correspond à la variance empirique.
Le coefficient de variation à un an du Best Estimate des réserves de fin 2007.
Le quantile d’ordre 99,5% qui correspond à la VaR au seuil de confiance
99,5%.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 108
4.2 Modèle GLM LogNormale basé sur l’approche Bayésienne Avec la modélisation GLM des réserves par l’approche bayésienne, nous
disposons d’une information supplémentaire sur les incréments de l’année
calendaire suivante 2008 ( 276;19,...,1;~ +−== ijiyij , voir Fig.3.14) à savoir leur
distribution a posteriori.
Fig.3.14 : Les incréments de sinistres correspondant à l’année calendaire 2008
Afin d’illustrer l’effet de cette information supplémentaire sur le Best Estimate des
réserves de fin 2007, on procède comme suit :
En disposant les distributions a posteriori des données du triangle composé et
du triangle mixte correspondant à l’année calendaire 2008 (soient
24;19,...,1;~ +−== injiqij et 24;,...,1;~ +−== injnizij ) dont la modélisation était
faite respectivement par un modèle GLM LogNormale et un modèle GLM de
Bernoulli, on a ainsi une distribution des valeurs simulées des incréments de l’année
calendaire 2008 24,~
+− iniy déduites par la relation : 24,24,24,~~~
+−+−+− = iniiniini zqy .
Soit 12007 +≤+= nkiyD ik l’ensemble des informations disponibles au 31/12/2007.
En rajoutant les incréments de sinistres relatifs à l’année calendaire 2008, on a ainsi
l’ensemble des informations connues jusqu’à 31/12/2007 mais en leur rajoutant
l’information supplémentaire sur ces derniers, soit donc :
2~20072008 +=+∪= nkiyDD ik
Trimestre de développement
Année de survenance 1 2 … j … ….. n=76
1989
1990 ny ,2
~
…
i iniy 42,
~−+
…
2007 2,19
~y
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 109
Pour chaque diagonale simulée des incréments de 2008, on réapplique la
modélisation GLM par l’approche bayésienne afin d’estimer le montant espéré (Best
Estimate) des réserves de fin de l’année 2007 en rajoutant les incréments de sinistres
de 2008.
Dans un but de simplification et vu la puissance informatique exigée par notre outil
de simulation (la méthode d’échantillonnage de GIBBS), nous allons supposer que la
tendance des données du triangle composé et la tendance du triangle mixte restent
les mêmes, suite à l’ajout du diagonale supplémentaire des incréments de 2008 (voir
les ANNEXES 6 et 8)40.
Exemple d’Application pour la branche Risques Industriels & Pertes
d’Exploitation
Par application du modèle GLM par l’approche bayésienne, nous allons présenter
les montants du « Best Estimate des réserves de fin 2007 », relatifs à 5 simulations
pour les incréments de sinistres de l’année calendaire 2008, en les comparants avec
ceux obtenus sans l’information supplémentaire.
40 Notons que cette hypothèse peut être forte si le tirage des incréments de 2008 est extrême.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 110
Tab.3.5 : Variations du Best Estimate des réserves de fin 2007
Nous remarquons, ainsi, que le caractère stochastique des incréments de l’année 2008
engendre une incertitude sur le montant espéré (Best Estimate) des réserves de fin
2007.
Ainsi, et pour 10 000 diagonales simulées des incréments de 2008, on a au final
la distribution des Best Estimate par année de survenance et en agrégée, ce qui nous
permet de calculer :
La volatilité à un an (m.s.e) du Best Estimate des réserves de fin 2007 qui
correspond à la variance empirique.
Le coefficient de variation à un an du Best Estimate des réserves de fin 2007.
Le quantile d’ordre 99,5% qui correspond à la VaR au seuil de confiance 99,5%.
41 Best Estimate calculé initialement par le modèle GLM sans aucune information sur les paiements de 2008.
BE041 Simulation 1 Simulation 2 Simulation 3 Simulation 4 Simulation 5
BE1 écart BE2 écart BE3 écart BE4 écart BE5 écart
1994&ant 0,06 0,00 -93,95% -0,93 -1638,20% 0,02 -70,41% 1,13 1774,18% -0,12 -297,04%
1995 0,06 0,13 122,28% 0,99 1568,50% -1,38 -2432,57% -0,78 -1412,40% -0,16 -368,80%
1996 0,11 0,29 173,27% 0,01 -88,07% -0,29 -371,58% 0,25 138,17% -0,18 -267,91%
1997 0,19 0,18 -8,10% 0,09 -55,24% -1,17 -711,47% 2,56 1235,75% -0,03 -116,35%
1998 0,32 0,37 15,59% 0,59 85,86% -0,49 -253,78% 0,61 93,93% -0,21 -166,50%
1999 0,52 0,72 38,21% 1,13 116,09% 0,97 85,90% -3,37 -742,40% 0,15 -71,49%
2000 0,91 1,03 12,52% 2,94 222,18% 2,34 155,82% 2,39 161,77% 0,30 -66,78%
2001 1,52 1,59 4,54% 2,05 34,95% 1,24 -18,39% -0,81 -153,13% 1,49 -1,94%
2002 2,52 2,63 4,27% 4,12 63,56% 3,44 36,36% 3,90 54,95% 2,06 -18,36%
2003 4,15 4,17 0,42% 3,62 -12,99% 4,73 13,81% 3,82 -8,10% 4,90 17,84%
2004 7,18 7,23 0,75% 6,15 -14,39% 7,46 3,97% 7,45 3,74% 6,48 -9,77%
2005 13,37 13,36 -0,07% 14,92 11,57% 12,99 -2,86% 13,70 2,49% 13,03 -2,54%
2006 26,01 25,96 -0,16% 27,95 7,47% 25,58 -1,65% 26,45 1,72% 26,11 0,39%
2007 52,55 52,58 0,04% 52,00 -1,06% 53,49 1,78% 52,11 -0,85% 52,19 -0,69%
TOTAL 109,48 110,25 0,70% 115,62 5,61% 108,93 -0,50% 109,44 -0,04% 106,01 -3,17%
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 111
4.3 Analyse des Résultats Dans ce qui suit et après avoir présenté les résultats numériques d’évaluation
du risque de provisionnement à un an des différentes méthodes, nous allons
comparer, dans un premier temps, ces résultats à ceux du risque de provisionnement
sur l’horizon ultime de développement des règlements des sinistres. Dans un second
temps, nous allons les analyser pour chaque branche de notre portefeuille IARD.
Tab.3.6 Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% à un an pour la
branche Risques Industriels & Pertes d’Exploitation
Modèle AXA France Chain Ladder Stochastique GLM LogNormale
BE s.e s.e/BE (%)
VaR 99,5% BE s.e
s.e/BE
(%) VaR
99,5% BE s.e
s.e/BE (%)
VaR 99,5%
1994&ant 5,85 0,00 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00
1995 3,22 0,25 7,70 5,00 0,24 0,24 102,99 0,86
0,03 0,26 881,92 0,24
1996 1,59 0,31 19,46 3,00 0,03 0,31 1113,25 0,83
0,09 0,45 496,90 0,47
1997 3,29 0,44 13,51 5,00 0,23 0,45 197,66 1,36
0,25 0,37 149,67 0,64
1998 3,31 0,37 11,31 5,00 0,18 0,38 210,06 1,18
0,14 0,73 520,01 0,84
1999 2,27 0,61 26,94 5,00 0,13 0,66 514,96 1,79
0,57 0,48 84,14 1,56
2000 1,98 2,07 41,57 14,00 -0,58 2,08 -357,16 4,79
0,58 0,69 118,20 2,66
2001 2,63 5,45 207,01 33,00 2,00 5,46 273,09 16,34
2,09 0,93 44,37 13,82
2002 2,50 2,22 89,02 13,00 2,44 2,26 92,80 8,42
3,45 1,74 50,54 5,63
2003 5,34 3,07 57,39 19,00 4,96 3,17 64,02 13,11
4,53 3,09 68,18 12,75
2004 5,56 2,05 27,11 16,00 5,21 2,17 41,72 10,71
7,23 3,51 48,61 17,87
2005 10,25 3,27 21,42 29,00 9,20 3,36 36,54 17,90
12,12 5,95 49,09 26,65
2006 25,89 9,44 36,47 65,00 26,24 9,66 36,83 52,47
26,34 9,46 35,93 58,21
2007 88,95 38,34 43,10 249,00 85,50 39,16 45,81 226,32
52,06 37,27 73,56 245,02
Réserves Totales
142,64 40,29 28,25 461,05 135,76 41,15 30,31 356,09 109,48 38,24 34,88 416,36
IC(BE) 63,67
221,61 55,1
216,41
28,13
190,83
Ecart/RA
-4% 2% 7% -23%
-23% -6% 23% -10%
Ecart/CL 5% -2% -7% 29%
-19% -7% 15% 17%
Ecart/GLM 30% 5% -19% 11% 24% 8% -13% -14%
Réserves Agrégées
142,64 40,29 28,25 347,80 135,76 42,18 31,07 261,00 109,48 38,86 35,5 240,55
IC(BE) 63,67
221,61 53,08
218,43
35,23
183,72
Ecart/RA
-4% 5% 10% -25%
-23% -3% 26% -30%
Ecart/CL 5% -4% -9% 33%
-19% -8% 14% -14%
Ecart/GLM 30% 4% -20% 44% 24% 8% -12% 8%
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 112
Tab.3.7 Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% à un an pour la
branche RC AUTO Corporelle
Modèle AXA France Chain Ladder Stochastique GLM LogNormale
BE s.e s.e/BE (%)
VaR 99,5% BE s.e
s.e/BE
(%) VaR
99,5% BE s.e
s.e/BE (%)
VaR 99,5%
1994&ant 6,12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
9,32 1,10 11,75 3,54
1995 2,86 1,61 56,34 9,63 0,24 0,13 55,97 0,57
3,02 0,73 24,11 4,88
1996 4,51 2,37 52,60 14,24 0,65 0,34 53,14 1,54
0,87 1,32 52,05 7,43
1997 3,71 2,39 64,33 14,22 1,48 0,96 64,96 4,01
4,11 0,81 19,77 6,01
1998 4,82 0,86 17,93 7,51 2,81 0,51 18,07 4,10
4,80 0,87 18,04 5,09
1999 5,12 1,70 33,13 11,16 4,32 1,44 33,24 8,22
5,01 1,01 20,16 8,32
2000 8,87 6,17 69,53 36,72 5,41 3,76 69,57 15,49
7,44 1,79 24,08 13,01
2001 8,7 8,14 69,59 48,47 7,43 5,23 70,34 22,22
10,61 2,24 21,14 18,20
2002 10,1 7,05 46,70 42,96 7,83 3,64 46,48 17,90
12,55 2,66 21,20 20,55
2003 19,84 3,45 17,40 30,50 13,23 2,31 17,44 19,42
16,89 3,16 18,73 26,44
2004 29,16 1,39 4,76 32,93 21,10 1,08 5,10 23,94
22,63 3,41 15,08 36,00
2005 36,73 1,22 3,32 39,99 34,49 1,25 3,62 37,75
30,11 4,29 14,26 43,11
2006 48,82 3,90 7,98 59,76 48,01 3,83 7,98 58,11
41,51 5,48 13,21 64,08
2007 73,06 6,99 8,42 102,78 70,51 5,96 8,45 87,25
224,65 6,66 11,93 108,03
Réserves Totales
232,45 12,59 5,42 450,87 217,51 10,79 4,96 300,53 224,65 11,65 5,18 364,69
IC(BE) 207,38
257,51 196,36
238,65
201,84
247,46
Ecart/RA
-6% -14% -8% -33%
-3% -7% -4% -19%
Ecart/CL 7% 17% 9% 50%
3% 8% 4% 21%
Ecart/GLM 3% 8% 5% 24% -3% -7% -4% -18%
Réserves Agrégées
232,45 12,59 5,42 305,73 217,51 12,77 5,87 251,00 224,65 12,03 5,36 260,15
IC(BE) 207,38
257,51 192,48
242,53
201,05
248,25
Ecart/RA
-6% 1% 8% -17%
-3% -4% -1% -15%
Ecart/CL 7% -1% -8% 22%
3% -6% -9% 4%
Ecart/GLM 3% 5% 1% 17% -3% 6% 9% -3%
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 113
Tab.3.8 Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% à un an pour la
branche RC Entreprises Générale
Modèle AXA France Chain Ladder Stochastique GLM LogNormale
BE s.e s.e/BE (%)
VaR 99,5% BE s.e
s.e/BE
(%) VaR
99,5% BE s.e
s.e/BE (%)
VaR 99,5%
1994&ant 2,39 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
16,32 0,35 2,12 6,32
1995 3,99 1,83 45,77 11,20 0,99 0,45 45,52 2,19
4,20 0,61 14,48 9,43
1996 6,87 3,10 45,09 19,00 2,00 0,89 44,40 4,30
5,23 0,22 4,28 10,65
1997 5,96 0,95 15,90 8,80 2,72 0,44 16,14 3,85
5,42 0,57 10,60 10,76
1998 9,76 3,16 32,36 21,00 4,08 1,32 32,45 7,68
6,87 1,27 18,53 11,34
1999 11,32 5,01 44,32 30,80 4,69 2,09 44,58 10,16
7,64 2,06 26,92 12,98
2000 12,19 4,14 33,97 27,00 6,54 2,26 34,48 12,68
8,76 2,42 27,61 13,43
2001 11,35 5,83 51,37 35,20 8,00 4,15 51,81 19,62
10,74 2,71 25,19 15,63
2002 11,78 2,66 22,62 20,40 12,75 2,94 23,04 20,81
12,23 2,87 23,46 18,32
2003 16,12 2,16 13,40 22,60 17,68 2,41 13,61 24,11
15,41 3,32 21,57 25,75
2004 25,85 3,19 12,35 35,20 18,26 2,29 12,52 24,53
18,12 4,11 22,69 27,32
2005 27,55 1,49 5,40 31,60 25,57 1,48 5,79 29,56
23,21 4,61 19,84 31,02
2006 32,81 3,73 11,36 43,60 42,33 4,83 11,40 55,99
28,12 5,06 17,99 62,21
2007 38,37 4,10 10,69 50,20 53,21 5,68 10,67 69,18
44,51 6,28 14,12 86,01
Réserves Totales
216,30 13,08 6,05 356,6 198,83 10,34 5,20 284,67 206,78 11,93 5,77 341,17
IC(BE) 190,66
241,94 178,56
219,09
183,39
230,16
Ecart/RA
-8% -21% 5% -20%
-4% -8% -5% -5%
Ecart/CL 9% 26% 16% 25%
4% 15% 11% 20%
Ecart/GLM 5% 9% 5% 4% -4% -13% -10% -16%
Réserves Agrégées
216,30 13,08 6,05 250,20 198,83 12,65 6,36 234,00 206,78 12,38 5,99 236,34
IC(BE) 190,66
241,94 174,04
223,61
182,5
231,06
Ecart/RA
-8% -3% 5% -6%
-4% -5% -1% -5%
Ecart/CL 9% 3% -5% 7%
4% -2% -6% 1%
Ecart/GLM 5% 6% 1% 6% -4% 2% 6% -1%
La comparaison des résultats dans les tableaux ci-dessus à ceux du risque de
provisionnement sur l’horizon ultime de développement des paiements, nous amène
à remarquer que l’ajout d’une information supplémentaire liée à l’incertitude des
paiements de 2008 entraine un risque de provisionnement à un an plus faible que
celui à l’ultime et ceci quelque soit la branche et quelque soit la méthode.
En effet, nous constatons d’une part, une baisse des coefficients de variation et des
volatilités du Best Estimate des réserves à l’ultime de fin 2007 en agrégée et en total.
Notons que cette baisse est assez importante (prés de 50%) pour les branches RC à
développement long, alors qu’elle est assez faible pour la branche « Risques
Industriels & Pertes d’Exploitation » à développement court.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 114
D’autre part, nous pouvons remarquer la baisse du VaR 99,5% (et par conséquent le
SCR du risque de provisionnement), ce qui est un résultat attendu. En effet, le fait
d’avoir au 31/12/2007 un indicateur sur le caractère aléatoire des paiements futurs
de 2008, diminue le risque d’incertitude liée à l’estimation des réserves de fin 2007 et
donc le chargement en capital destiné à couvrir ce risque. En outre, on constate que le
modèle actuel d’AXA France accorde toujours plus de prudence pour l’estimation du
VaR 99,5% à un an par rapport aux deux autres méthodes.
Par la suite, nous allons analyser pour chaque branche les résultats obtenus par les
différentes méthodes utilisées vu que ces dernières reposent sur des techniques
actuarielles assez différentes.
Le tableau Tab.3.6 nous indique une convergence des volatilités à un an du Best
Estimate des réserves à l’ultime par année de survenance entre les différentes
techniques utilisées, ce qui rend leur comparaison assez difficile. Toutefois, les
volatilités à un an du Best Estimate des réserves à l’ultime en agrégée ou en total
nous donnent une indication sur la robustesse de l’approche utilisée dans la
modélisation GLM. En effet, bien que l’approche paramétrique par la méthode Chain
Ladder prenne en compte la propre volatilité « non paramétrique » des paiements de
2008 ( Mack,[1999]), l’imposition d’une loi LogNormale calibrée sur la base de cette
volatilité comme un indicateur de leur caractère aléatoire entraine une augmentation
de l’erreur d’estimation à un an du Best Estimate des réserves en total et en agrégée
par rapport à celle du notre modèle de référence d’AXA France qui utilise une
approche non paramétrique pour refléter ce caractère aléatoire. En revanche, avec la
modélisation GLM, on impose une loi LogNormale pour les paiements de 2008 mais
dont la calibration des paramètres se fait, cette fois ci, en prenant en compte plusieurs
facteurs qui « enrichirent » l’information détenue sur le caractère aléatoire de ces
paiements comme la tendance des autres paiements antérieurs en leur imposant
aussi une loi LogNormale et surtout l’intégration des incréments négatifs dans le
modèle, on peut avoir ainsi des paiements négatifs en 2008 avec cette approche alors
que ce n’est pas le cas avec l’approche par la méthode Chain Ladder. Tous ces
facteurs ont abouti, par conséquent, à une diminution de l’erreur d’estimation à un
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 115
an du Best Estimate des réserves en total et en agrégée par rapport à celle évaluée par
la méthode actuelle d’AXA France.
Par ailleurs, l’analyse des résultats des écarts entre les coefficients de variations à un
an des réserves en total ou agrégée des branches RC (voir Tab.3.7 et Tab.3.8), nous
amène à constater une convergence entre les trois approches évoquées. En outre,
nous pouvons constater une convergence assez remarquable entre les coefficients de
variation à un an des Best Estimate des réserves par année de survenance évalués par
le modèle actuel d’AXA France et l’approche paramétrique de la méthode Chain
Ladder bien que ces deux méthodes reposent sur des hypothèses assez différentes
concernant la nature de l’information connue sur le caractère aléatoire des paiements
de l’année 2008. Dans ce contexte, l’information basée sur le découpage de la
volatilité à l’ultime des réserves est considérée comme équivalente à l’information
basée sur la propre volatilité des paiements de 2008 donnée par Mack. [1999] et à
laquelle on a ajouté une distribution LogNormale à ces paiements. Or cela ignore le
fait que les branches à développement long sont, par leur nature, plus risquées et
présentent une grande incertitude sur le montant des paiements futurs de 2008
surtout pour toutes les années de survenance (à l’exception des premières années
pour les quelles la plupart des règlements ont été réglés). Ainsi, l’hypothèse selon
laquelle on peut prédire l’incertitude sur les paiements de 2008 à partir de la
volatilité à l’ultime des réserves de fin 2007 nous semble assez restrictive et ne reflète
pas, d’une façon raisonnable, le risque de provisionnement à un an.
Par ailleurs, les résultats de la modélisation GLM pour les branches RC semblent très
intéressants. En effet, les coefficients de variations à un an du Best Estimate des
réserves de fin 2007 sont les plus faibles pour les premières années de survenance, et
les plus élevés pour les années récentes tout en maintenant un coefficient de
variation à un an plus faible pour le Best Estimate des réserves agrégées de fin 2007.
Ainsi, le modèle GLM apporte des estimations plus précises pour le risque de
provisionnement à un an par rapport aux autres approches (reflétées par la VaR
99,5% et donc un SCR à un an, relatif que ce soit aux dernières années de survenance
ou aux réserves agrégées, plus élevé par rapport à celui obtenu avec la méthode de
Chain Ladder paramétrique).
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 116
En conclusion de l’analyse faite, nous pouvons déduire que malgré la convergence
des trois approches, les résultats de la modélisation GLM nous paraissent les plus
robustes que celle fondée sur la méthode de Chain Ladder Stochastique ou le modèle
actuel d’AXA France, et en plus les plus adaptés à la nature de la branche étudiée
(développement long ou court).
Nous allons procéder, dans le paragraphe suivant, à l’évaluation du SCR lié au
risque de provisionnement à un an par le modèle standard et le modèle interne.
4.4 SCR du risque de provisionnement à un an : Modèle Standard vs
Modèle interne
Dans les parties précédentes de notre mémoire, nous avons vu que l’évaluation
du SCR du risque de provisionnement à un an, dans le cadre du projet « Solvabilité
2 », peut se faire soit par une formule standard soit par un modèle interne. Toutefois,
quelque soit la méthode choisie, le calcul de SCR doit être basé au final sur une VaR à
un seuil de confiance de 99,5%.
Après avoir rappelé les deux méthodes d’évaluation de SCR conformément au QIS 4
(voir Commission Européenne. [2008]), nous allons les appliquer à notre portefeuille
IARD à l’aide des trois approches déjà décrites (Modèle actuel d’AXA France, Chain
Ladder Stochastique Paramétrique et GLM LogNormale).
Modèle Standard
Le Chargement en capital au titre de risque de provisionnement est calculé
comme suit :
VSCR )(σρ=
V : est une mesure de volume, elle correspond au Best Estimate.
σ : volatilité relative (ou coefficient de variation) des réserves agrégées sous
l’hypothèse de LogNormalité du risque sous jacent.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 117
ρ : est une fonction de la volatilité relative.
)(σρ : est fixée de manière à produire un chargement en capital conforme au
standard de la VaR 99,5 % dans l’hypothèse d’une distribution LogNormale du
risque sous-jacent. Approximativement, σσρ 3)( ≈ .
Toutefois, l’évaluation du SCR dans le cas de notre portefeuille IARD se fait en deux
étapes :
On calcule d’abord, le SCR par la formule standard relatif à chaque branche en
considérant indépendamment les σ et les volumes de chacune d’elle.
Notons que σ est fixée par branche selon une segmentation identique à celle de
l’évaluation du Best Estimate (voir Fig.1.6), ainsi :
En comparant les volatilités fixées par la formule standard à celles calculées
précédemment (voir Tab 3.6, Tab 3.7 et Tab 3.8), nous pouvons bien remarquer que
la formule standard sous évalue la volatilité de la branche « Risques Industriels et
Pertes d’Exploitation » et sur évalue celles de nos branches RC.
On fait l’agrégation des σ et des volumes, en calculant un globalσ du notre
portefeuille, tel que : =
⋅⋅⋅⋅⋅=3
1,,2
1
jijijiji
global
global VVCorrV
σσσ , où :
globalV : est le Best Estimate global qui correspond à la somme des Best Estimate des
différentes branches.
iV (resp. jV ): est le Best Estimate par branche i (resp. j ).
jiCorr , : est le coefficient de corrélation entre les branches i et j . Ce coefficient est
fixé selon une matrice de corrélation entre les différents segments des branches.
Branche σ
Risques Industriels & Pertes d’Exploitation 10 %
RC AUTO Corporelle 12 %
RC Entreprises Générales 15 %
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 118
Ainsi :
Le SCR du risque de provisionnement du portefeuille global en tenant compte de
l’agrégation et de la diversification entre les différentes branches, est défini par :
globalglobalagrégé VSCR )(σρ=
Tab.3.9 : Modèle Standard : SCR du risque de provisionnement par branche, en Total et en agrégé
Modèle Interne
Le chargement en capital pour couvrir le risque de provisionnement correspond,
dans ce cas, à l’excédent de la VaR 99,5% calculée sur la « propre distribution » du
risque sous jacent par rapport au Best Estimate, Ainsi :
SCR= VaR 99,5% - Best Estimate
Notons que le Best Estimate et la VaR 99,5% sont ceux des réserves agrégées.
Branche i Branche j jiCorr ,
Risques Industriels
& Pertes d’Exploitation RC AUTO Corporelle 0,25
RC AUTO Corporelle RC Entreprises Générales 0,5
RC Entreprises Générales Risques Industriels
& Pertes d’Exploitation 0,25
Risques Industriels & Pertes
d’Exploitation
RC AUTO Corporelle
RC Entreprises Générales
SCR TOTAL
SCR Agrégé
Modèle AXA France 51,79 105,28 110,84 267,91 131,40 Chaine Ladder Stochastique 40,73 78,30 89,47 208,51 102,09
GLM LogNormale 32,84 80,87 93,05 206,77 101,89
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 119
Comme nous avons procédé dans le cas de la méthode standard, l’évaluation du SCR
se fait en deux étapes :
On calcule d’abord, un SCR relatif à chaque branche prise indépendamment.
On agrège par la suite les volatilités et les volumes en calculant le produit
matriciel suivant : VXX ' , où :
),,( 321 SCRSCRSCRX = et
=2323321331
3223221221
3113211221
σσσσσσσσσσσσσσσ
CorrCorr
CorrCorr
CorrCorr
V
Avec :
)3,2,1( =iiσ : est la volatilité relative (ou le coefficient de variation) évaluée par le
modèle interne.
)3,2,1,(, =jiCorr ji : est la corrélation entre les branches fixée par le modèle standard.
Tab.3.10 : Modèle interne : SCR du risque de provisionnement par branche, en Total et en agrégé
Quelque soit la méthode de provisionnement utilisée, la comparaison des résultats
de Tab.3.9 et Tab.3.10, nous permet de constater que le SCR du modèle interne, pour
chacune des branches RC, est plus faible que celui évalué par la formule standard,
alors que ce n’est pas le cas pour la branche « Risques Industriels & Pertes
d’Exploitation ».
En effet, la branche « Risques Industriels & Pertes d’Exploitation » est caractérisée
par un risque de graves c'est-à-dire qu’elle présente quelques sinistres qui évoluent
très défavorablement sur des horizons différents et qui nécessitent donc d’être
réassurés alors que les branches RC sont caractérisées par un risque de fréquence
c'est-à-dire qu’elles présentent beaucoup de sinistres qui évoluent défavorablement
Risques Industriels
& Pertes d’Exploitation RC AUTO Corporelle
RC Entreprises Générales
SCR TOTAL
SCR Agrégé
Modèle AXA France 135,16 43,28 33,9 212,34 88,12 Chain Ladder Stochastique 125,24 33,49 35,17 193,90 80,20
GLM LogNormale 131,07 35,5 29,56 196,13 78,49
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 120
en même temps, ainsi, ces derniers sont quasiment assurés par la société et leurs
valeurs brutes de réassurance sont sensiblement proches de celles nettes de
réassurance. Or la volatilité relative des réserves de chaque branche σ est calibrée
sur la base des triangles de liquidation nets de réassurance, c’est pour cela que l’effet
de réassurance est plus fort pour les Risques Industriels & Pertes d’Exploitation à
travers les montants faibles du SCR relatifs à cette branche dans le modèle standard.
Par ailleurs, concernant le SCR du risque de provisionnement du portefeuille global,
nous remarquons, d’abord, que le SCR en agrégé est plus faible que celui en Total
que ce soit pour le modèle interne ou le modèle standard, puisqu’on tient compte de
la diversification entre les différentes branches ce qui permet de compenser le risque
de provisionnement et de diminuer ainsi le chargement en capital nécessaire pour
couvrir ce dernier.
Ensuite, nous pouvons bien constater la convergence assez remarquable entre le SCR
total ou agrégé de la méthode Chain Ladder et le modèle GLM alors que ceux du
modèle actuel d’AXA France sont plus élevés en raison de la prudence qui caractérise
ce modèle.
Enfin, quelque soit la méthode de provisionnement choisie, le SCR total ou agrégé
dans le modèle interne est plus faible par rapport à celui du modèle standard, cela
nous indique l’importance du modèle interne qui est d’ailleurs le modèle
recommandé par le CEIOPS vu qu’il est basé sur des informations internes et plus
précises concernant le profil de risque de la société, ce qui permet d’éviter une
surévaluation du capital de solvabilité et donc une immobilisation inutile du capital.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 121
CONCLUSION
Au niveau de cette partie, nous avons effectué une mise en œuvre pratique
d’analyse et d’évaluation du risque de provisionnement sur une partie du
portefeuille IARD de la Société d’assurance AXA France.
Après avoir défini le portefeuille étudié, nous avons exposé le modèle actuel
d’analyse de risque de provisionnement d’AXA France. Dans un souci
d’amélioration de ce dernier, nous avons utilisé deux méthodes actuarielles
différentes à savoir la méthode de Chain Ladder Stochastique et le Modèle GLM
LogNormale.
L’analyse faite sur le risque de provisionnement sur l’horizon ultime du
développement des règlements des sinistres nous a montré la convergence des
résultats obtenus par ces deux méthodes que ce soit pour le Best Estimate des
réserves ultimes ou la VaR à 99,5%, avec une incertitude plus faible concernant les
estimations faites par la modélisation GLM.
Vu que le caractère stochastique des paiements de 2008 génère une fluctuation de
ce Best Estimate des réserves à l’ultime autour de sa moyenne (qui est le Best
Estimate évalué sans aucune information sur l’incertitude liée à ces paiements
futurs), nous avons proposé deux approches d’analyse du risque de provisionnement
à un an qui dérivent de la méthode de Chain Ladder Stochastique et le Modèle GLM
LogNormale. Nous avons constaté d’après les résultats obtenus, une convergence
assez remarquable entre ces deux approches, qui reposent sur des hypothèses et des
techniques actuarielles assez différentes. Toutefois, la modélisation GLM nous parait
la plus intéressante puisqu’elle permet non seulement de réduire l’incertitude liée
aux fluctuations du Best Estimate mais aussi d’avoir des résultats adaptés à la nature
de la branche (à développement court, à développement long).
Enfin, nous avons procédé à l’évaluation du SCR lié au risque de provisionnement
à un an de notre portefeuille IARD par la formule standard et le modèle interne. Les
résultats obtenus nous ont montré d’une part, que de nouveau il y a une convergence
entre la méthode Chain Ladder Stochastique et la modélisation GLM et d’autre part,
que le modèle interne permet d’économiser le SCR lié au risque de provisionnement
du portefeuille global.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 122
CONCLUSION GENERALE
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 123
La solvabilité est au centre de la problématique d’exercice d’activité d’assurance et
avec l’adoption des futures directives du projet « Solvabilité 2 », chaque assureur doit
comprendre tous les risques liés à son activité afin d’être en mesure de fournir une
évaluation adéquate d’un niveau suffisant du capital pour les couvrir.
C’est dans le cadre de la recherche d’un outil permettant de modéliser le risque de
provisionnement à un an et d’évaluer le capital de solvabilité (SCR) nécessaire pour
le couvrir, dans un contexte de futur référentiel « Solvabilité 2 », que se situent les
objectifs de notre mémoire.
Nous avons commencé par la présentation du contexte réglementaire du risque de
provisionnement à un an. De ce fait, « Solvabilité 2 » a introduit des contraintes plus
strictes sur la détermination des PSAP. Ces dernières doivent être évaluées en valeur
de marché en intégrant une marge de prudence liée à la volatilité (ou variations) des
provisions estimées autours de la valeur de leur Best Estimate retenu. Cette volatilité
est dûe à la nature stochastique des règlements de sinistres sur un horizon d’un an.
Ainsi, le SCR doit être lié à une VaR au seuil de confiance 99,5% calculée sur la base
de la distribution des Best Estimate des réserves à l’ultime, suite aux différents
scénarios des règlements à effectuer dans un an, ce qui nécessite de disposer d’une
information supplémentaire sur l’incertitude liée à ces derniers.
A cette fin, nous avons présenté deux approches différentes basées sur une
modélisation actuarielle et stochastique du Best Estimate des réserves à l’ultime.
En premier lieu, nous avons exposé, la méthode de Chain Ladder dans sa version
déterministe et stochastique. Cette méthode permet de fournir les deux premiers
moments analytiques pour chaque paiement futur. Par conséquent, et afin d’avoir
une estimation de la distribution prédictive du Best Estimate des réserves à l’ultime
de fin de l’année et d’incorporer la volatilité de processus, nous avons procédé à une
simulation des paiements futurs, à effectuer dans un an, en leur imposant une loi
LogNormale.
Le sujet de la modélisation stochastique des incréments négatifs appliquée au
provisionnement a donné lieu, ces dernières années, à certain nombre de
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 124
controverses, mais il est devenu incontournable pour répondre aux problématiques
du contexte réglementaire relatif au projet Solvabilité 2. Nous avons essayé d’y
contribuer en présentant dans ce mémoire les particularités d’une modélisation GLM
LogNormale alternative, basée sur l’approche bayésienne, qui tient compte des
paiements incrémentaux négatifs. Cette modélisation présente l’avantage d’avoir une
distribution empirique de chacun des paiements futurs et par conséquent une
estimation empirique de la volatilité de Best Estimate des réserves à l’ultime sans
avoir à mener des calculs analytiques pour simuler les paiements futurs à un an.
La société d’assurance AXA France, utilise actuellement « un modèle interne
partiel » que ce soit pour la modélisation du risque de provisionnement à un an ou
pour l’évaluation du SCR nécessaire pour le couvrir, en combinant à la fois la
formule standard (par l’imposition d’une distribution LogNormale au risque sous
jacent) et les principes du modèle interne (la volatilité à un an des provisions est
déterminée sur la base de la méthode de Chain Ladder Stochastique ajustée à la
vision interne de la société pour le risque engendré par chaque branche).
Nous avons appliqué nos deux approches, décrites précédemment et qui se situent
dans le cadre du modèle interne du projet Solvabilité 2, sur une partie du
portefeuille d’assurance IARD d’AXA France afin d’analyser et d’évaluer le risque de
provisionnement à un an lié aux réserves de fin 2007.
De notre étude sur les trois branches de sinistres à déroulement court et long, nous
avons remarqué, une convergence assez remarquable entre la modélisation GLM et
la méthode de Chain Ladder stochastique que ce soit pour le montant du Best
Estimate, la VaR au seuil de confiance 99,5% ou encore la volatilité des réserves de
fin 2007 par année de survenance, en total ou en agrégée et cela malgré la grande
différence dans leurs techniques et hypothèses sous jacentes.
Toutefois, en prenant comme référence le modèle actuel d’AXA France, les résultats
fournis par la modélisation GLM LogNormale semblent les plus robustes et les plus
satisfaisants grâce à une volatilité et un coefficient de variation de Best Estimate des
réserves à l’ultime plus faibles et plus adaptés à la nature et à la particularité de
chaque branche (courte/longue, présence des incréments négatifs dans les premières
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 125
années de survenance ou dans celles les plus récentes). Ainsi, la modélisation GLM
nous a permis d’avoir plus de précision sur le risque de provisionnement à un an.
L’évaluation du SCR nécessaire pour couvrir le risque de provisionnement à un an
du notre portefeuille IARD, nous a montré d’une part, que le SCR global est toujours
supérieur à celui agrégé quels que soient le modèle retenu pour son évaluation
(standard ou interne) et le modèle actuariel de provisionnement. Ceci est dû à l’effet
de la diversification qui existe entre les différentes branches : une perte majeure dans
une branche peut être en tout ou en partie compensée par des résultats meilleurs que
ceux attendus dans d’autres branches.
Par ailleurs, les SCR global et agrégé évalués à l’aide du modèle interne sont
nettement plus faibles par rapport à ceux évalués par la formule standard.
En outre, et dans le cadre du modèle interne, le SCR basé sur le modèle actuel
d’AXA France est plus élevé par rapport aux SCR des deux autres approches entre
lesquelles nous avons constaté une convergence assez remarquable. Ces résultats
semblent cohérents puisque le modèle actuel d’AXA France est un modèle interne
partiel alors que les approches par la méthode Chain Ladder Paramétrique et le
modèle GLM LogNormale se situent dans le cadre d’une modélisation « purement
interne » du risque de provisionnement.
Ainsi, certes le « modèle interne partiel » conduirait la société à baisser le coût issu
d’application de la directive, mais devrait induire des coûts en terme de besoins en
capital biens supérieurs que ceux obtenus avec un « modèle interne ». La bonne
stratégie sera donc de mettre en relation les deux modèles et de déterminer celui qui
sera le plus bénéfique. Néanmoins, l’idée d’option bénéfique ne se limite pas à un
bénéfice économique, mais intègre le bénéfice d’une gestion plus efficace du risque
de provisionnement.
En conclusion, cette étude menée sur notre portefeuille IARD, nous offre un outil
adéquat de modélisation du risque de provisionnement à un an et d’évaluation du
SCR lié à ce risque en respectant le modèle interne du projet « Solvabilité 2 ».
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Ainsi, nous pouvons fournir les recommandations nécessaires pour l’assureur afin
d’atteindre ces objectifs. En effet, deux recommandations peuvent être retenues :
La première est d’adapter le modèle interne partiel actuel en conservant
l’évaluation prudente et déterministe du Best Estimate des réserves à l’ultime qui
incluse plusieurs facteurs internes à la société (charges sinistres, avis d’experts,…) et
la distribution LogNormale du risque sous jacent mais en adaptant cette fois la
volatilité à un an ou le coefficient de variation à un an résultant de la modélisation
GLM LogNormale. Ces deux derniers seront retenus sur la base de la même sélection
actuelle de la volatilité qui dépend de chaque branche. Ainsi, dans le cadre de notre
portefeuille IARD, la volatilité à un an sera retenue pour la branche à développement
court alors que le coefficient de variation à un an sera retenu pour les branches à
développement long.
La deuxième est d’adapter un modèle interne que ce soit pour l’évaluation du Best
Estimate des réserves à l’ultime, de la volatilité à un an ou encore pour la distribution
du risque sous jacent. Dans ce cas, notre approche basée sur la modélisation GLM
LogNormale sera retenue.
Bien que le modèle GLM LogNormale qui tient compte de la présence des
paiements négatifs semble le plus robuste pour répondre à notre problématique,
l’approche fondée sur ce modèle est très coûteuse en temps de calcul et nécessite un
outil informatique très puissant. En plus, elle présente le risque d’avoir soit un sur-
paramétrage soit un sous-paramétrage dans le modèle et d’avoir ainsi des résultats
biaisés.
Par ailleurs, nous avons limité notre étude à deux approches fondées sur une
modélisation LogNormale des paiements à effectuer dans un an. Il sera donc possible
de les modéliser, par des autres lois paramétriques (Poisson, Poisson sur-dispersée,
Gamma, …) qui peuvent refléter, d’une façon plus adéquate, leur caractère
stochastique.
En outre, vu que notre mémoire était concentré sur l’évaluation du SCR du risque de
provisionnement à un an en adoptant une volatilité de provisionnement à un an
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 127
intrinsèque à chaque risque assuré , nous n’avons pas abordé les problématiques de
la détermination des corrélations intrinsèques entre les branches et les risques qui
doivent être aussi intégrées dans le calcul du SCR lié au risque de provisionnement.
Il sera donc intéressant de poursuivre cette étude en intégrant des techniques
permettant de combiner les résultats entre les différentes branches afin de fournir
une couverture plus robuste du risque de provisionnement à un an. Notons, enfin,
que la complexité de ces techniques s’échelonne jusqu’à des modèles complexes
faisant intervenir « la dépendance de queue » qui permet de refléter des situations
où les différentes branches d’activités sont quasiment indépendantes dans la plupart
des situations, mais présentent une forte dépendance lorsque des pertes graves
surviennent.
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ANNEXES
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ANNEXE 1. Quantitative Impact Studies (QIS) Le CEIOPS doit déterminer les impacts possibles de la future norme de solvabilité par une série d’études quantitatives d’impact (en anglais, Quantitative Impact Studies « QIS »). L’objectif de ces études est double : d’une part évaluer la faisabilité des calculs et l’impact de Solvabilité 2, et d’autre part préparer la proposition de Directive Cadre (en Juillet 2007).
QIS1 (CEIOPS, [2005] 42) Débuté en octobre 2005, les résultats du premier QIS ont été publiés en mars 2006. Cette étude a été concentrée sur l’évaluation de niveau de prudence des provisions techniques courantes. L’enjeu est de mieux calibrer le montant des provisions techniques qui devraient être estimées selon le calcul de « Best Estimate » majoré d’une marge de risque (correspondant à la VaR au seuil de confiance 75%).
QIS 2(CEIOPS, [2006] 43) Le QIS 2 a débuté en mai 2006. Les premiers résultats ont été publiés en décembre 2006. Cette étude portait sur les impacts de la reformulation de l’évaluation des actifs et des passifs et plus spécifiquement le calcul du SCR et du MCR. Il avait trois objectifs principaux :
• obtenir des informations sur la praticabilité des calculs ; • quantifier les impacts possibles sur le bilan et sur le montant du capital d’une
approche testée dans le QIS 2 si une d’entre elle venait à être adoptée comme standard de solvabilité ;
• rassembler les informations qualitatives et quantitatives sur la pertinence des différentes approches testées pour le calcul du SCR.
Néanmoins, le but restait plutôt général, concernant essentiellement la définition des méthodes et non les calibrations (qui concerneront le QIS 3). Les spécifications techniques tels les paramètres étaient volontairement peu claires et approximatifs (CEIOPS, [2006]44).
QIS 3 (CEIOPS, [2007]45) Cette étude a été débutée en avril 2007 et suite à une demande de la Commission Européenne (en juillet 2007), précisant les éléments qui devront être abordés par le CEIOPS, ce dernier a produit en décembre 2007 les résultats des analyses effectuées précisant les pours et les contres concernant les trois grandes familles de méthodes
42 “Quantitative Impact Study 1: Summary Report” .Frankfurt, 2005. 43 “Consultation Paper 20 ” .Frankfurt, 10 November 2006. 44 “Quantitative Impact Study 2 : Summary Report” .Frankfurt, 6 December 2006. 45 “Quantitative Impact Study 3: Summary Report” .Frankfurt, December 2007.
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de détermination de la MCR, soit (1) l'approche modulaire, (2) un pourcentage du SCR ou (3) un pourcentage des provisions techniques. Toutefois, l’objectif du QIS 3, était non seulement d’affiner le calibrage des formules standards pour le calcul de MCR, mais aussi d’introduire la problématique au niveau des groupes.
QIS 4(Commission Européenne, [2008]) Le 31 mars 2008, un document précisant les « Spécifications Techniques de QIS 4 » a été proposé par la CEIOPS. De nombreux correctifs ont été communiqués aux sociétés jusqu'au dernier jour de soumission. Les sociétés individuelles avaient jusqu'au 7 juillet 2008 pour soumettre leur réponse. Les groupes ont un délai complémentaire jusqu'au 31 juillet 2008. La Commission Européenne avait fixé pour objectif à ce QIS4, au-delà de fournir des formules standards (MCR et SCR) cohérentes et calibrées, d'adresser les points suivants:
• fournir une simplification pour les assureurs de taille plus réduite (règle de proportionnalité) ;
• tester une simplification au niveau de l'évaluation des provisions techniques ; • Tester l'utilisation de paramètres spécifiques à l'entité pour la détermination
du risque de souscription ; • Mesure l'impact de l'effet de diversification pour les groupes ; • Identifier l'état de préparation des modèles internes et comparer les SCR
résultant de la formule standard avec ceux résultant des modèles internes existants sur le marché.
La restitution des résultats par l'ACAM (Autorité de Contrôle des Assurances et des Mutuelles) devrait avoir lieu le 6 octobre 2008 alors que les résultats au niveau européen par le CEIOPS devraient avoir lieu le 19 novembre 2008.
QIS 5 … Comme cela avait été évoqué par le CEIOPS et l'ACAM, il est fortement envisageable qu'un QIS5 sera lancé fin 2008/début 2009 afin de compléter le calibrage des formules standards. Il est même envisageable que d'autres QIS puissent suivre jusqu'à l'adoption de spécifications définitives prévue pour la deuxième moitié de 2010.
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ANNEXE 2 . Consultation Papers (CP)
En parallèle aux QIS, le CEIOPS continue de publier des "Consultation Papers" (CP) suivant la même procédure qu'effectuée en mai 2004 pour les trois "Waves of Calls for Advice". Déjà, six "Consultation Papers" avaient été publiés en novembre 2006 et avaient fait l'objet de très nombreuses réponses de la part du marché à la mi-janvier 2007. Le CEIOPS en a proposé une synthèse en mars 2007 qui a constitué autant d'avis à la Commission Européenne. Ces avis ont aidé la Commission Européenne à rédiger la proposition de directive européenne publiée le 10 juillet 2007 en traitant les trois piliers:
• le CP25 a permis au CEIOPS d'établir en mai 2008 une recommandation sur les mesures de supervision des groupes : Ce CP traite du "support" fourni par un groupe à ses filiales et de la coordination, coopération et échange d'information entre autorités de contrôle concernant les groupes.
• Le CP24 a permis au CEIOPS d'établir en mai 2008 une recommandation à la Commission Européenne concernant les principes de Proportionnalité : Quelles mesures de simplification apporter aux entités dont la taille, la nature des risques souscrits et la complexité de ces risques (souvent liée à la nature), ou plus exactement une combinaison des trois critères, font que ces entités ont droit de procéder à des simplifications suivant le principe de proportionnalité. Ces simplifications peuvent intervenir au niveau des différents piliers (pilier I : provisionnement et SCR, pilier II : gouvernance & pilier III : Reporting) ainsi que sur l’aspect "modèle interne". Le délai de réponse à ce CP a été très réduit puisque fixé entre le 25 février au 7 mars 2008.
• Le CP 23 a permis de préciser les modalités de détermination des provisions techniques (Best Estimate et Risk Margin) en cas d'absence de données et/ou d'expertise dans la société. Après publication le 21 décembre 2007, les sociétés avaient jusqu'au 15 février 2008 pour soumettre leurs réponses qui ont fait l'objet d'une restitution au marché en juillet 2008. Ces techniques ont été testées lors du QIS4.
• Le CP 20 reprenait l'ensemble des éléments quantitatifs du Pilier I (provisions techniques, MVM, MCR, SCR...), et le CP 19 précisait les règles en matière d'actifs en regard des provisions et de la SCR, traitant plus particulièrement des risques de concentration et de liquidité,
• Le CP 18 traitait de l'harmonisation du contrôle au niveau européen et plus spécifiquement des pouvoirs et, en particulier, de sanction; le CP 17 donnait un cadre méthodologique au "capital add-on"; et enfin le CP 16 traitait de la réassurance et plus particulièrement des règles d’admissibilité.
• Le CP 15 traitait de la communication / publication des informations.
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MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 133
Risques de marché
Il s’agit des risques liés au niveau où de la volatilité des instruments financiers mis en représentation de l’actif et dont les cours sont susceptibles de varier. L’exposition au risque de marché est mesurée par l’impact des mouvements des variables financières telles que les cours des actions, les taux d’intérêt, les prix de l’immobilier, les spreads et les taux de change
Risque de taux d’intérêt : Un risque de taux d’intérêt existe pour tous les actifs et passifs dont la valeur d’actif nette est sensible aux variations de la structure par terme des taux d’intérêt ou à la volatilité des taux. Les actifs et passifs sensibles aux variations des taux d’intérêt sont les investissements en instruments à taux fixe, les passifs d’assurance ainsi que les instruments financiers (capitaux empruntés) et les dérivés de taux d’intérêt. Les flux de passifs futurs seront sensibles à une modification du taux d’actualisation de ces flux.
Risque sur actions : Le risque sur actions résulte du niveau ou de la volatilité de la valeur de marché des actions. L’exposition au risque sur actions concerne tous les actifs et passifs dont la valeur est sensible aux variations des cours de bourse.
Une distinction peut être effectuée entre le risque idiosyncratique, qui résulte d’une diversification insuffisante, et le risque systématique, qui a trait à la sensibilité de la performance des actions à celle des portefeuilles de marché et ne peut être réduit par la diversification. C’est pourquoi il est également dit non diversifiable.
Risque d’immobilier : Le risque sur actifs immobiliers résulte du niveau ou de la volatilité des prix de marché de l’immobilier. Ce risque est lié, par exemple, à une crise immobilière qui conduit à constater des moins values latentes et donc à une dépréciation des actifs.
Risque monétaire : Résulte du niveau ou de la volatilité des taux de change.
Risque de Spread : c’est la partie du risque inhérent aux instruments financiers qui résulte de la volatilité des spreads de crédit par rapport à la structure par terme des taux sans risque. Il représente la variation de valeur due à un mouvement de la courbe des rendements relativement à la structure par terme des taux sans risque.
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Concentrations des risques de marché : Les concentrations de risques de marché présentent un risque supplémentaire pour un assureur en raison :
• de la volatilité supplémentaire inhérente aux portefeuilles d’actifs concentrés ;
• du risque supplémentaire de perte de valeur permanente partielle ou totale résultant de la défaillance d’un émetteur.
Par souci de simplicité et de cohérence, la définition des concentrations de risques de marché est limitée au risque relatif à l’accumulation d’expositions avec une même contrepartie. Elle ne comprend pas les autres types de concentration (géographie, secteur d’activité, etc.).
Risque de contrepartie
Le risque de contrepartie est le risque de pertes résultant d’une défaillance imprévue ou d’une dégradation de la note de crédit des contreparties ou des débiteurs de contrats de réduction des risques, tels que des dispositifs de réassurance, des titrisations et des dérivés, ainsi que des créances auprès d’intermédiaires, et de tout autre exposition de crédit non couverte dans le sous-module Risque de spread.
Le module Risque de contrepartie envisage l’exposition globale de l’entreprise d’assurance ou de réassurance au risque de chaque contrepartie, indépendamment de la forme juridique de ses obligations contractuelles à l’égard de cette entreprise.
Risque de souscription vie
Ce module concerne le risque résultant de la souscription de contrats d’assurance vie, qui est associé aux risques couverts et aux procédures suivies dans la gestion de l’activité.
Le risque de souscription vie est composé des risques biométriques (risque de mortalité, risque de longévité et risque d’invalidité/de morbidité), du risque de rachat, du risque de dépenses, du risque de révision et du risque de catastrophe.
Risque de mortalité : Le risque de mortalité représente l’incertitude relative aux tendances et paramètres, dans la mesure où ceux-ci ne sont pas déjà pris en compte dans l’évaluation des provisions techniques.
Ce risque est applicable aux contrats d’assurance subordonnés au risque de mortalité (c’est-à-dire les contrats pour lesquels le montant actuellement à verser au décès est supérieur aux provisions techniques détenues et où par conséquent,
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 135
une augmentation des taux de mortalité risque d’entraîner une augmentation des provisions techniques)
Risque de longévité : Le risque de longévité résulte de l’incertitude relative aux tendances et paramètres dans la mesure où ceux-ci ne sont pas déjà pris en compte dans l’évaluation des provisions techniques.
Ce risque est applicable aux contrats d’assurance subordonnés au risque de longévité (lorsqu’il n’y a pas de prestation en cas de décès ou lorsque le montant actuellement à payer en cas de décès est inférieur aux provisions techniques détenues et que par conséquent, une baisse des taux de mortalité risque d’entraîner une augmentation des provisions techniques)
Risque d’invalidité : Le traitement du risque d’invalidité représente le risque d’incertitude relative aux tendances et paramètres dans la mesure où ceux-ci ne sont pas déjà pris en compte dans l’évaluation des provisions techniques.
Il est applicable aux contrats d’assurance dans lesquelles le versement des prestations est subordonné à une invalidité définie.
Risque de rachat : Le risque de rachat concerne la perte ou la modification défavorable de la valeur des passifs d’assurance résultant d’une variation du niveau ou de la volatilité des taux de déchéance, de résiliation, de modification du statut libéré (cessation du paiement des primes) et de rachat des polices. La formule standard tient compte du risque de changement permanent des taux et du risque de rachat massif.
Risque de dépenses : Le risque de dépenses résulte de la variation des frais de gestion des contrats d’assurance ou de réassurance.
Risque de révision : Dans le contexte du module Risque de souscription vie, le risque de révision représente le risque de variation défavorable du montant d’une rente du fait d’une révision imprévue du processus des sinistres. Ce risque doit être exclusivement appliqué aux rentes et aux prestations résultant de sinistres en non-vie et assimilables à une rente vie (assurance accidents comprise, mais hors accidents du travail).
Risque de catastrophe : Les risques de catastrophe en vie on trait à des événements extrêmes ou irréguliers (une pandémie par exemple) qui ne sont pas suffisamment pris en compte par les chargements en capital des autres sous-modules du risque de souscription vie.
Risque de souscription santé : Ce module couvre le risque de souscription pour toutes les garanties santé et accidents du travail ; il se divise en trois sous-
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modules : santé à long terme pratiquée sur une base technique similaire à celle de l’assurance vie (qui n’existe qu’en Allemagne et en Autriche), santé à court terme et accidents du travail.
Le risque opérationnel
C’est le risque de perte résultant de procédures internes inadaptées ou défaillantes, du personnel ou des systèmes, ou d’événements extérieurs. Il comprend également les risques juridiques, mais il exclut les risques de réputation et les risques résultant de décisions stratégiques. La modélisation de ce risque est très délicate. Les évènements qui lui correspondent ont des probabilités d’occurrence faible mais leur survenance a des conséquences financières lourdes pour la compagnie.
Le risque de souscription non vie
Il regroupe les risques de tarification et de provisionnement et le risque catastrophe. (voir CHAPITRE 2.PARTIE 1).
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ANNEXE 4 : Règlements cumulés de sinistres
Risques Industriels et Pertes d’Exploitation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1994 & ant 527 616 528 808 553 297 549 633 549 373 549 914 551 146 549 748 551 033
1995 95 895 99 003 104 250 104 043 100 574 100 565 100 514 100 219 100 269
1996 102 760 102 155 104 902 106 312 106 445 106 428 106 309 105 890 105 948
1997 128 531 135 311 140 751 141 160 142 246 142 797 142 957 142 173 141 889
1998 115 711 123 700 129 620 130 293 130 800 132 610 133 176 133 297 133 542
1999 60 391 217 976 264 101 272 690 276 143 279 921 280 168 280 460 281 724
2000 55 866 138 094 156 337 160 802 160 897 159 979 160 890 156 872
2001 63 874 139 939 165 224 176 090 178 127 174 897 175 495
2002 54 039 111 046 124 544 127 495 128 967 128 569
2003 79 364 191 125 201 638 203 154 204 708
2004 63 426 128 790 146 816 148 386
2005 59 181 125 590 133 995
2006 72 425 128 722
2007 47 657
RC AUTO Corporelle 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1994 & ant 1 106 973 1 127 184 1 148 276 1 159 828 1 172 873 1 185 009 1 193 498 1 200 017 1 203 809
1995 58 982 62 408 65 310 67 664 71 284 72 950 73 904 75 623 76 383
1996 48 520 54 999 62 354 64 486 66 593 68 379 70 300 71 514 72 449
1997 46 899 56 305 63 103 67 661 72 405 78 345 81 100 84 011 85 484
1998 33 208 47 182 56 778 63 623 70 997 76 052 89 032 95 189 97 342
1999 11 353 36 541 50 102 60 333 67 816 78 465 88 129 91 000 98 344
2000 12 928 33 947 46 871 57 379 66 337 72 403 78 216 81 398
2001 11 490 32 099 47 127 56 418 65 012 70 006 74 738
2002 10 219 26 801 38 407 45 166 51 642 56 492
2003 8 634 24 693 38 541 45 462 52 123
2004 10 244 30 367 40 772 49 716
2005 11 758 34 880 48 502
2006 11 377 33 668
2007 11 810
RC Entreprises Générales
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1994 & ant 500 504 521 116 532 948 544 949 552 376 559 286 567 351 578 024 587 904
1995 34 403 38 833 43 680 46 879 48 893 53 264 54 263 55 645 57 604
1996 35 111 37 867 40 099 43 684 45 468 49 882 50 631 51 896 52 842
1997 26 794 31 965 35 315 39 104 43 382 45 440 46 292 47 972 50 507
1998 20 974 27 854 32 848 36 938 40 499 46 054 50 686 54 882 56 906
1999 7 095 18 524 23 834 27 556 33 927 37 036 39 096 47 868 49 257
2000 6 659 17 854 26 211 31 763 38 194 45 126 48 208 50 286
2001 5 430 16 580 23 899 29 887 34 846 40 703 44 753
2002 6 178 19 534 31 194 37 437 43 350 50 573
2003 6 834 19 821 31 338 37 723 43 075
2004 5 851 17 223 25 563 29 566
2005 6 703 19 145 27 406
2006 6 782 23 445
2007 7 308
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 138
ANNEXE 5 : Règlements incrémentaux de sinistres
Risques Industriels et Pertes d’Exploitation
...51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
1989 -286 748 -65 -379 -371 -9 -2 -25 2 -1083 4 249 780 -211 -195 1 -208 56 12 -1 95 1 -89 474 711 -15
1990 1 9 1 3 -25 17 -46 -47 -4 -110 33 1 1 2 1 1 1 48 1 1 1 -41 1991 -221 -87 1 2 54 -283 -21 -9 -33 1 -14 1 1 -6 1 1 1 -2 1992 28 12 1168 -5 20 172 -151 -1230 -219 4 -35 -150 354 27 1993 1 22 8 -2 1 36 1 4 6 34 1994 17 1 -1 1 1 2
1995 14 19
..…..
RC AUTO Corporelle
….52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75...
1989 1990 5954 1157 2460 350 943 802 769 1289 3122 1254 777 1901 1258 1128 629 445 2032 2448 144 465 1271 -271 180
1990 -57 -138 143 197 -125 413 -11 36 1 447 18 72 -35 228 105 -30 -39 -342 380 11 -22 1991 818 173 387 29 9 185 49 51 6 14 4 9 37 -9 1 71 32 1992 540 63 2001 27 37 64 80 19 200 591 -288 34 333 1993 556 52 137 94 21 39 77 77 91 1994 86 68 709 489 -21
1995 118 271 ……
...
RC Entreprises Générales
…36 37 38 39.. ..42 43 44 45 46…. ...53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65…..
1989 1750 1149 681 602 323 1054 518 1150 397 143 528 129 648 294 1247
1990 -9 757 610 262 26 278 29 -92 51 21 -32 2039 -2098 -100 292 30 67 46
1991 478 887 151 233 60 119 -75 51 547 -389 128 94 38 692 158 1095 1181 313 45 658 -13
1992 337 834 354 322 106 89 495 303 711 89 46 4 610 55 17 4 53 6 59 44 23 1993 497 286 719 223 444 -254 872 136 466 -241 491 40 1798 550 75 354 189 1994 932 707 147 187 104 153 1231 -72 171 23 30 33 569 1995 244 734 1331 1912 123 105 692 292 418 1996 302 -105 753 -123 74 469 557 395 76 1997 133 650 704 84 841 1235 136 1998 2203 282 -474 1021
1999 -252
…….
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 139
ANNEXE 6 : Résultats par branche des estimations des paramètres de la tendance des données transformées *z du triangle mixte (modélisées par un GLM de Bernoulli)
1. Risques Industriels & Pertes d’Exploitation
Le prédicteur linéaire est donné par : ρτη )50()50(*
>−+= jzij Ij
Bayesian Model Gibbs Estimates Paramètre Coefficient Std Deviation P-value46
τ 0.782979 0.067469 0.000000 ρ -0.052928 0.011814 0.000000
2. RC AUTO Corporelle
Le prédicteur linéaire est donné par : ρτη )55()55(*
>−+= jzij Ij
Bayesian Model Gibbs Estimates Paramètre Coefficient Std Deviation P-value
τ 1.933776 0.116224 0.000000 ρ -0.086212 0.019784 0.000000
3. RC Entreprises Générale
Le prédicteur linéaire est donné par : ρτη )40()40(*
>−+= jzij Ij
Bayesian Model Gibbs Estimates Paramètre Coefficient Std Deviation P-value
τ 1.982845 0.132639 0.000000 ρ -0.025251 0.010637 0.010100
P-value : indique la significativité de paramètre estimé, si le P-value est très faible (<0,05), cela veut dire que
l’estimation du paramètre est assez significative.
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 140
ANNEXE 7 : Résultats par branche des estimations a priori de la modélisation GLM par l’approche Bayésienne
1. Risques Industriels & Pertes d’Exploitation
Estimation des paramètres de la tendance, où le prédicteur linéaire a priori qijη
est donné par : ( ) ιγαγαη )2()1()1( )1()1( −++
−++−+= −=−
−
=++ jiIjIj
ijij zzqij
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments positifs
Bayesian Model Gibbs Estimates +ω 0.3500 −ω 0.0802
Mean 2σ 0.8885 Variable prior mean prior std dev P-values
+α 8.338129 0.534153 0.000000 −α 6.584925 0.952634 0.000000 +γ -0.138630 0.027786 0.000000 −γ -0.092836 0.033336 0.002600
ι 0.029688 0.035511 0.202700
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 141
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments négatifs
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 142
2. RC AUTO Corporelle
Estimation des paramètres de la tendance, où le prédicteur linéaire a priori qijη
est donné par : ( ) ( ) ιγαγαη )2()1()1( )1()1( −++−++−+= −=−−
=++ jiIjIj
ijij zzqij
Bayesian Model Gibbs Estimates +ω 0.8787 −ω 0.8361
Mean 2σ 0.9667 Variable prior mean prior std dev P-values
+α 8.719131 0.324137 0.000000 −α 7.204902 0.977399 0.000000 +γ -0.037487 0.017035 0.014100 −γ -0.023386 0.025420 0.179400
ι -0.025709 0.021651 0.119700
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 143
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments positifs
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments négatifs
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 144
3. RC Entreprises Générale
Estimation des paramètres de la tendance, où le prédicteur linéaire a priori qijη
est donné par : ( ) ( ) ιγαγαη )2()1()1( )1()1( −++−++−+= −=−−
=++ jiIjIj
ijij zzqij
Bayesian Model Gibbs Estimates +ω 0.9045 −ω 0.5649
Mean 2σ 0.9594 Variable prior mean prior std dev P-values
+α 7.741834 0.316642 0.000000 −α 4.011321 1.452349 0.002000 +γ -0.045784 0.016682 0.003400 −γ 0.015621 0.033613 0.314800
ι 0.001253 0.021192 0.478000
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 145
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments positifs
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 146
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments négatifs
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 147
ANNEXE 8 : Résultats par branche des estimations a posteriori de la modélisation GLM par l’approche bayésienne
1. Risques Industriels & Pertes d’Exploitation
Paramètres de la tendance pour les données du triangle composé q où le
prédicteur linéaire a posteriori qijη est donné par :
)1()7(2)7(1)1(2)19(1)19( )]1([])19()1([ −=−
>−
≤−
=+
>+
≤+ −+++−+−+=
ijij ziizjjqij IjIIIjIjI γααγγαη
ι)2( −++ ji
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments positifs
Bayesian Model Gibbs Estimates +ω 0.3650 −ω 0.0849
Mean 2σ 0.8919 Variable Post mean Post std dev P-values
+α 10.837495 0.231118 0.000000 −1α 2.098432 0.503243 0.000000 −2α 1.675974 0.368642 0.000000 +1γ -0.069363 0.014342 0.000000 +2γ -0.018860 0.011753 0.051000 −γ -0.016491 0.009408 0.040600
ι -0.132985 0.007542 0.000000
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 148
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments négatifs
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 149
2. RC AUTO Corporelle
Paramètres de la tendance pour les données du triangle composé q où le
prédicteur linéaire a posteriori qijη est donné par :
)1(4)46(3)46(3)4628(2)28(2)285(1)5( ])46(18)28(23)5([ =+
>+
>+
<<+
>+
≤<+
≤+ −++−++−++=
ijzjjjjjjqij IjIIjIIjII γγγγγγαη
ιγγα )2(])50()1([ )1(2)50(1)50()3( −++−+−++ −=
−>
−≤>
− jiIjIjIIijzjji
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments positifs
Bayesian Model Gibbs Estimates +ω 1.0889 −ω 0.7169
Mean 2σ 0.9637
Variable Post mean Post std dev P-values +α 9.858867 0.147901 0.000000 −α 0.548987 0.456094 0.011300 +1γ -0.308185 0.188820 0.054400 +2γ -0.021158 0.008013 0.004900 +3γ -0.030276 0.009396 0.000700 +4γ 0.066240 0.010720 0.000000 −1γ 0.042953 0.008567 0.000000 −2γ -0.039907 0.027567 0.073600
ι -0.077303 0.003701 0.000000
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 150
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments négatifs
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 151
3. RC Entreprises Générale
Paramètres de la tendance pour les données du triangle composé q où le
prédicteur linéaire a posteriori qijη est donné par :
)1(3)52(2)52(2)5221(1)21( ])52(31)21()1([ =+
>+
>+
≤<+
≤+ −++−+−+=
ijzjjjjqij IjIIjIjI γγγγαη
ιγαα )2(])1([ )1()3(2)3(1 −++−+++ −=−
>−
≤− jiIjII
ijzii
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments positifs
Bayesian Model Gibbs Estimates +ω 1.0253 −ω 0.4687
Mean 2σ 0.9766
Variable Post mean Post std dev P-values +α 8.957822 0.152817 0.000000 −1α 1.249062 0.343930 0.000200 −2α 0.888809 0.359091 0.007300 +1γ -0.018715 0.008826 0.016900 +2γ -0.010062 0.005537 0.034300 +3γ 0.079138 0.014530 0.000000 −γ -0.018899 0.005416 0.000000
ι -0.059811 0.004030 0.000000
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 152
Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments négatifs
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 153
ANNEXE 9 : QQplot de la loi exponentielle vs les données du triangle composé q
Risques Industriels & Pertes d’exploitation
0 1 2 3 4 5
x 104
0
1
2
3
4
5
6
7
Exp
onen
tial Q
uant
iles
Ordered Data
RC AUTO Corporelle
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0
1
2
3
4
5
6
7
Exp
onen
tial Q
uant
iles
Ordered Data
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 154
RC Entreprises Générale
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0
1
2
3
4
5
6
7
Exp
onen
tial Q
uant
iles
Ordered Data
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 155
ANNEXE 10 : Programmes MATLAB
Nous allons présenter dans cette annexe les programmes MATLAB de la
modélisation GLM par l’approche Bayésienne. Ces programmes étaient implémentés
en utilisant Jim LeSage Toolbox (JLET)47. Ce dernier contient des programmes de
simulation par la méthode d’échantillonnage de GIBBS appliquée à la modélisation
Bayésienne.
1. %This function allows to construct the orders of accident years and the %orders of development periods which correspond to the original data %triangle function[acc,dev]=step_1() % accident years’ orders (for 496 data) dim1=12; dim2=7; acc1=[]; for i= 1:dim1 acc1=[acc1;repmat(i,32,1)]; end acc2=[]; a=4; for j=1:dim2 acc2=[acc2;repmat(j+12,32-a,1)]; a=a+4; end acc=[acc1;acc2]; % development years’ orders (for 496 data) dev1=[]; b=0; for i=1:dim1 dev1=[dev1;(45-b:76-b)']; b=b+4; end dev2=[]; c=4; for j=1:dim2 dev2=[dev2;(1:32-c)']; c=c+4; end dev=[dev1;dev2];
47 Les programmes sont disponibles sur www.spatial-econometrics.com
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 156
2. %This function allows to construct the orders of accident years and the %orders of development periods correspond to the future increments of the %triangle
function[accF,devF]=step_2() % accident years’ orders (for 684 data) dim1=19; accF=[]; a=0; for i=2:dim1 accF=[accF;repmat(i,a+4,1)]; a=a+4; end % development years’ orders (for 684 data) devF=[]; b=0; for i=2:dim1 devF=[devF;(73-b:76)']; b=b+4; end
3.
% function which allows to construct: % 1)The Mixture triangle data zij where: zij=-1 si yij<0 % zij=1 si yij>0 % 2) zstarij is a transformation of zij where: % zstarij=(zij+1)/2 = 0 si zij=-1 % = 1 si zij=1 % Then zstarij is a Bernoulli random variable
function[z,zStar]=step_3(Y) z=zeros(size(Y)); z(Y<0)=-1; z(Y>0)=1; zStar=(z+1)/2;
4.
% This function allows the estimation of the linear predictor nij % corresponding to the mixture triangle data zij % link function: function logit (for the demonstrations, see Kunkler,2004) % we have: nij=alpha+(j-h)1(j>h)*gamma where: h=1,....,75 % zX: the matrix associated to this equation % zXF: the matrix associated to the future "mixture data triangle" % h=40 for RC Entreprises Générale % h=50 for Risques Industriels & Pertes d’Exploitation % h=55 for RC AUTO Corporelle function[zX,zXF]=step_4(Y,dev,accF,zStar,devF,h) zX=ones(length(Y),2); zX(dev<=h,2)=0;
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 157
zX(dev>h,2)=dev(dev>h)-h; zXF=ones(length(accF),2); zXF(devF<=h,2)=0; zXF(devF>h,2)=devF(devF>h)-h;
% probit_g(): function in JLET which perform a "logistic Bayesian % regression"(see LeSage(1999)) % This code create a 10 000 sample values from the "mixture posterior % distribution" p(alpha,gamma|z) function[stLogit]=step_5(zX,zStar) nomit=1000; ndraw=11000; % setting r=7 or even r=3 and relying on a diffuse prior for beta should % produce estimates close to those from a traditional logit regression % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parameters psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stLogit=probit_g(zStar,zX,ndraw,nomit,prior); % The stLogit structure contains a variable named bdraw that stores % 10 000 samples from the posterior distribution p(alpha,gamma|z). % Normally,one would apply the logit inverse link function to this simple % to create a sample of 10 000 values for the mixture posterior % distribution p(lambda|z).However, due to the implementation of JLET one % uses the probit inverse link function function[lambdaF,zStarF,zF,zFMean]=step_6(stLogit,zXF) lambdaF=normcdf(zXF*stLogit.bdraw'); %lambdaF is a 10000*nF matrix that stores 10 000 samples in each future %accident and development periods. These sample values for p(lambda|z) are %used to create sample values for the mixture posterior predictive %distribution p(zStarF|z) by drawing zStarF=Bernoulli(lambdaF) zStarF=binornd(1,lambdaF); % we apply the inverse transformation from zStarF back to zF which % is given by: zF=2*zStarF-1; % The means for the simple values from the posterior predictive % distribution p(zF|z) in each future accident and development period are % given by:
zFMean=mean(zF,2); % The stLogit structure contains a variable named bdraw that stores % 10 000 samples from the posterior distribution p(alpha, gamma|z). % Normally, one would apply the logit inverse link function to this simple % to create a sample of 10 000 values for the mixture posterior % distribution % p(lambda|z).However, due to the implementation of JLET one uses the % probit inverse link function function[lambdaF,zStarF,zF,zFMean]=step_6(stLogit,zXF) lambdaF=normcdf(zXF*stLogit.bdraw');
MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ Page 158
%lambdaF is a 10000*nF matrix that stores 10000 samples in each future %accident and development period. These sample values for p(lambda|z) are %used to create sample values for the mixture posterior predictive %distribution p(zStarF|z) by drawing zStarF=Bernoulli(lambdaF) %zStarF=binornd(1,lambdaF); % we apply the inverse transformation from zStarF back to zF which % is given by: zF=2*zStarF-1; % The means for the simple values from the posterior predictive % distribution % p(zF|z) in each future accident and development period zFMean=mean(zF,2);
5.
function[qX,qLog,q]=step_7(Y,z,dev,acc)
% Creation of composite data triangle q which q=Y.*z; % we suppose that the sampling distribution for the composite triangle q is % conditionally lognormal: qLog=log(q); % The linear predictor beta=(alpha+,alpha-,gamma+,gamma-,l) with % an associated n*5 design matrix stored in qX Numparams=5; qX=zeros(length(q),Numparams); qX(Y>0,1)=1; %Alpha +ve qX(Y<0,2)=1; %Alpha –ve qX(Y>0,3)=dev(Y>0)-1; %Gamma +ve qX(Y<0,4)=dev(Y<0)-1; %Gamma –ve qX(:,5)=dev+acc-2; %Iota
6. % The ols_g() function in JLET is a Gibbs sampler for the Bayesian % regression model (see LeSage,1999). % The model is estimated using ols_g() with a non informative prior (or % diffuse) distribution for beta=(alpha+,alpha-,gamma+,gamma-,l) %-------------------------------------------------------------------------- % Remark: in this program the estimation of the parameters is based on the % original triangle yij so we kept on consideration the indictor functions % zij function[stOLS]=step_8(qLog,qX) Numparams=5; nomit=1000; ndraw=11000; %Diffuse prior b prior.beta=zeros(Numparams,1); % means prior.bcov=eye(Numparams)*1000; % variance % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parameters psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stOLS=ols_g(qLog,qX,ndraw,nomit,prior);
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7.
% The stOLS structure contains a variable (bdraw) that stores 10 000 sample% values from the posterior composite distribution p(beta|q)where: % beta=(alpha+,alpha-,gamma+,gamma-,l) .
% The weight w+ (w-) is estimated by the inverse of the variance of the % residuals for the positive(negative) values of y, and is stored in % wgtpos(wgtneg). function[residuals,wgtpos,wgtneg]=step_9(stOLS,Y,qLog) residuals=qLog-stOLS.yhat; wgtpos=1/var(residuals(Y>0),1); wgtneg=1/var(residuals(Y<0),1);
8.
% Ones know the weights w+ and w-, the model is estimated again using % ols_g()function.function[w,qLogW,qXW,stWLS,residualsW]=step_10(Y,wgtpos,wgtneg,q,qLog,qX) Numparams=5; w=zeros(size(q)); w(Y>0)=sqrt(wgtpos); w(Y<0)=sqrt(wgtneg); qLogW=w.*qLog; qXW=repmat(w,1,Numparams).*qX; nomit=1000; ndraw=11000; %Diffuse prior b prior.beta=zeros(Numparams,1); % means prior.bcov=eye(Numparams)*1000; % variance % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parameters psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stWLS=ols_g(qLogW,qXW,ndraw,nomit,prior); % The weighted residuals are: residualsW=qLogW-stWLS.yhat;
9.
% The design matrix qX is next updated for the linear predictor's new % structure of % beta=(alpha1+,alpha2+,alpha3+,alpha1-,gamma1+,gamma2+,gamma3+,gamma1-, % gamma2-,Iota) % Remark: in this program the estimation of the parameters is based on the % composite triangle qij function[qX1,stOLS1]=step_11(Y,acc,dev,qLog) %-------------------------------------------------------------------------- % Branche RC Entreprises générale %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=8; qX1=zeros(length(acc),Numparams);
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a=acc(Y>0); %alpha+ qX1(:,1)=1; b=acc(Y<0); qX1(b<=3,2)=1; %alpha1- qX1(b>3,3)=1; alpha2- c=dev(Y>0); qX1(c<=21,4)=c(c<=21)-1; %gamma 1+ qX1(c>21,4)=20; qX1(c<=52,5)=c(c<=52)-21; qX1(c<21,5)=0; %gamma2+ qX1(c>52,5)=31; qX1(c>52,6)=c(c>52)-52; d=dev(Y<0); qX1(d,7)=d-1; %gamma - qX1(:,8)=dev+acc-2; %Iota %-------------------------------------------------------------------------- % Branche risques industriels et pertes d'exploitation %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=7; qX1=zeros(length(acc),Numparams); a=acc(Y>0); % alpha + qX1(:,1)=1; b=acc(Y<0); qX1(b<=7,2)=1; % alpha 1- qX1(b>7,3)=1; % alpha 2- c=dev(Y>0); qX1(c<=19,4)=c(c<=19)-1; %gamma 1+ qX1(c>19,4)=18; qX1(c>19,5)=c(c>19)-19; %gamma 2+ d=dev(Y<0); qX1(d,6)=d-1; %gamma - qX1(:,7)=dev+acc-2;
%-------------------------------------------------------------------------- % Branche RC AUTO CORPORELLE %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=9; qX1=zeros(length(acc),Numparams); a=acc(Y>0); % alpha + qX1(:,1)=1;
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b=acc(Y<0); % alpha- qX1(b,2)=1; c=dev(Y>0); %gamma 1+ qX1(c<=5,3)=1; qX1(c<=28,4)=c(c<=28)-5; % gamma 2+ qX1(c<=5,4)=0; qX1(c>28,4)=23; qX1(c<=46,5)=c(c<=46)-28; % gamma 3+ qX1(c<28,5)=0; qX1(c>46,5)=18; qX1(c>46,6)=c(c>46)-46; % gamma 4+ d=dev(Y<0); qX1(d<=50,7)=d(d<=50)-1; % gamma 1- qX1(d>50,7)=49; qX1(d>50,8)=d(d>50)-50; % gamma 2- qX1(:,9)=dev+acc-2; %Iota %------------------------------------------------------------------------- nomit=1000; ndraw=11000; %Diffuse prior b prior.beta=zeros(Numparams,1); % means prior.bcov=eye(Numparams)*1000; % variance % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parameters psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stOLS1=ols_g(qLog,qX1,ndraw,nomit,prior);
10. % The same two step estimation procedure (8 and 9) is repeated % using the ols_g() function in JLET. function[residuals1,wgtpos1,wgtneg1]=step_12(stOLS1,Y,qLog) residuals1=qLog-stOLS1.yhat; wgtpos1=1/var(residuals1(Y>0),1); wgtneg1=1/var(residuals1(Y<0),1);
11. function[w1,qLogW1,qXW1,stWLS1,residualsW1]=step_13(Y,wgtpos1,wgtneg1,q,qLog,qX) %Numparams=8; si branche RC entreprises générale %Numparams=9; si branche RC AUTO CORPORELLE %Numparams=7; si branche Risques industriels et pertes d'exploitation Numparams=8; w1=zeros(size(q));
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w1(Y>0)=sqrt(wgtpos1); w1(Y<0)=sqrt(wgtneg1); qLogW1=w1.*qLog; qXW1=repmat(w1,1,Numparams).*qX1; nomit=1000; ndraw=11000; %Diffuse prior b prior.beta=zeros(Numparams,1); % means prior.bcov=eye(Numparams)*1000; % variance % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parametrs psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stWLS1=ols_g(qLogW1,qXW1,ndraw,nomit,prior); % The weighted residuals are: residualsW1=qLogW1-stWLS1.yhat;
12. function[qXF,filterpos,filterneg]=step_14(accF,devF) % We are going to create the design matrix qXF for the future loss data % triangle % Finally, We create filters to separate the parameters estimated in 11.and % the design matrix into two parts: the positive(filterPos) predictions and % negative (filterNeg) predictions. %-------------------------------------------------------------------------- % Branche RC Entreprise générale %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=8; qXF=zeros(length(accF),Numparams); qXF(:,1)=1; %alpha+ qXF(accF<=3,2)=1; %alpha1- qXF(accF>3,3)=1; alpha2- qXF(devF<=21,4)=devF(devF<=21)-1; %gamma 1+ qXF(devF>21,4)=20; qXF(devF<=52,5)=devF(devF<=52)-21; %gamma2+ qXF(devF<21,5)=0; qXF(devF>52,5)=31; qXF(devF>52,6)=devF(devF>52)-52; %gamma3+ qXF(:,7)=devF-1; %gamma - qXF(:,8)=devF+accF-2; %Iota filterpos=[1 4 5 6 8]; filterneg=[2 3 7 8]; %-------------------------------------------------------------------------- % Branche risques industriels et pertes d'exploitation %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=7; qXF=zeros(length(accF),Numparams);
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qXF(:,1)=1; % alpha + qXF(accF<=7,2)=1; % alpha 1- qXF(accF>7,3)=1; % alpha 2- qXF(devF<=19,4)=devF(devF<=19)-1; %gamma 1+ qXF(devF>19,4)=18; qXF(devF>19,5)=devF(devF>19)-19; %gamma 2+ qXF(:,7)=devF+accF-2; %Iota filterpos=[1 4 5 7]; filterneg=[2 3 6 7]; %-------------------------------------------------------------------------- % Branche RC AUTO CORPORELLE %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=9; qXF=zeros(length(accF),Numparams); qXF(:,1)=1; % alpha + qXF(:,2)=1; % alpha - qXF(devF<=5,3)=1; % gamma 1+ qXF(devF<=28,4)=devF(devF<=28)-5; % gamma 2+ qXF(devF<=5,4)=0; qXF(devF>28,4)=23; qXF(devF<=46,5)=devF(devF<=46)-28; % gamma 3+ qXF(devF<28,5)=0; qXF(devF>46,5)=18; qXF(devF>46,6)=devF(devF>46)-46; % gamma 4+ qXF(devF<=50,7)=devF(devF<=50)-1; % gamma 1- qXF(devF>50,7)=49; qXF(devF>50,8)=devF(devF>50)-50; % gamma 2- qXF(:,9)=devF+accF-2; %Iota %filterpos=[1 3 4 5 6 9]; %filterneg=[2 7 8 9]; %-------------------------------------------------------------------------- % This separation allows one to produce 10 000 sample values for both the % negative values and the positive values in each future accident and % development period by the expression of the conditional lognormal % distribution of the future loss data triangle which is based on the % future mixture data triangle z, joint posterior distribution % p(beta,sigma²|q),and the weights w- and w+.
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% see 13.for the estimation of the future loss data triangle
13. function[mupos,sigpos,muneg,signeg,qFpos,qFneg,qLogF,yF]=step_15(zF,wgtpos1,wgtneg1,stWLS1,qXF,filterpos,filterneg,accF) % Positive data estimated parameters mupos=(qXF(:,filterpos)*stWLS1.bdraw(:,filterpos)')/wgtpos1; sigpos=sqrt(stWLS1.sdraw/wgtpos1); sigpos=repmat(sigpos,1,length(accF))'; qFpos=normrnd(mupos,sigpos); % Negative data estimated parameters muneg=(qXF(:,filterneg)*stWLS1.bdraw(:,filterneg)')/wgtneg1; signeg=sqrt(stWLS1.sdraw/wgtneg1); signeg=repmat(signeg,1,length(accF))'; qFneg=normrnd(muneg,signeg); %combine based on future mixture triangle qLogF=zeros(length(accF),10000); qLogF(zF<0)=qFneg(zF<0); qLogF(zF>0)=qFpos(zF>0); % Sample values for each posterior predictive loss distribution p(yF|y) for % the future loss data triangle yF are calculated by: yF=(exp(qLogF)./zF);
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