Mjerna nesigurnost karakteristike nelinearne zavojnice
65
Mjerna nesigurnost karakteristike nelinearne zavojnice Biondić, Ivan Master's thesis / Diplomski rad 2014 Degree Grantor / Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Josip Juraj Strossmayer University of Osijek, Faculty of Electrical Engineering, Computer Science and Information Technology Osijek / Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Fakultet elektrotehnike, računarstva i informacijskih tehnologija Osijek Permanent link / Trajna poveznica: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:200:992915 Rights / Prava: In copyright Download date / Datum preuzimanja: 2021-10-18 Repository / Repozitorij: Faculty of Electrical Engineering, Computer Science and Information Technology Osijek
Transcript of Mjerna nesigurnost karakteristike nelinearne zavojnice
Mjerna nesigurnost karakteristike nelinearnezavojnice
Biondić, Ivan
Master's thesis / Diplomski rad
2014
Degree Grantor / Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Josip Juraj Strossmayer University of Osijek, Faculty of Electrical Engineering, Computer Science and Information Technology Osijek / Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Fakultet elektrotehnike, računarstva i informacijskih tehnologija Osijek
Permanent link / Trajna poveznica: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:200:992915
Rights / Prava: In copyright
Download date / Datum preuzimanja: 2021-10-18
Repository / Repozitorij:
Faculty of Electrical Engineering, Computer Science and Information Technology Osijek
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET
Sveučilišni studij
Mjerna nesigurnost karakteristike nelinearne zavojnice
Diplomski rad
Ivan Biondić
Osijek, 2014.
Obrazac D1: Obrazac za imenovanje Povjerenstva za obranu diplomskog rada
Osijek,2014.
Odboru za završne i diplomske ispite
Imenovanje Povjerenstva za obranu diplomskog rada
Ime i prezime studenta: Ivan Biondić
Studij, smjer: Sveučilišni diplomski studij elektrotehnike, smjer Elektroenergetika
Mat. br. studenta, godina upisa: D-596
Mentor: Izv.prof.dr.sc.Kruno Miličević
Sumentor:
Predsjednik Povjerenstva: Izv.prof.dr.sc. D. Pelin
Član Povjerenstva:
Naslov diplomskog rada: Mjerna nesigurnost karakteristike nelinearne zavojnice
Primarna znanstvena grana rada: Elektrostrojarstvo
Sekundarna znanstvena grana (ili polje) rada: -
Zadatak diplomskog rada: Odrediti parametre karakteristike nelinearne zavojnice na temelju mjerenja. Procijeniti utjecaj nesigurnosti izmjerenih veličina na karakteristike nelinearne zavojnice.
Prijedlog ocjene pismenog dijela ispita (diplomskog rada):
Izvrstan (5)
Kratko obrazloženje ocjene prema Kriterijima za ocjenjivanje završnih i diplomskih radova:
Primjena znanja stečenih na fakultetu: 3 boda Postignuti rezultati u odnosu na složenost zadatka: 3 boda Jasnoća pismenog izražavanja: 3 boda Razina samostalnosti: II. razina
Potpis sumentora: Potpis mentora:
Dostaviti:
1. Studentska služba
U Osijeku,2014. godine
Potpis predsjednika Odbora:
IZJAVA O ORIGINALNOSTI RADA
Osijek, 2014.
Ime i prezime studenta: Ivan Biondić
Studij : Sveučilišni diplomski studij elektrotehnike, smjer Elektroenergetika
Mat. br. studenta, godina upisa: D-596
Ovom izjavom izjavljujem da je rad pod nazivom:
Mjerna nesigurnost karakteristike nelinearne zavojnice
izrađen pod vodstvom mentora
Izv.prof.dr.sc.Krune Miličevića
i sumentora
moj vlastiti rad i prema mom najboljem znanju ne sadrži prethodno objavljene ili neobjavljene
pisane materijale drugih osoba, osim onih koji su izričito priznati navođenjem literature i drugih
izvora informacija.
Izjavljujem da je intelektualni sadržaj navedenog rada proizvod mog vlastitog rada, osim u onom
dijelu za koji mi je bila potrebna pomoć mentora, sumentora i drugih osoba, a što je izričito
navedeno u radu.
Potpis studenta:
SADRŽAJ
1. UVOD ......................................................................................................................................... 1
1.1. TEORIJSKI UVOD U IZRAČUN MJERNE NESIGURNOSTI ........................................ 1
1.1.1. Normalna (Gaussova) razdioba ..................................................................................... 1
1.1.2. Izračun mjerne nesigurnosti na temelju modela s jednim ulazom i jednim izlazom .... 4
1.1.3. Izračun mjerne nesigurnosti na temelju modela s više ulaza i jednim izlazom ............ 6
1.1.4. Izračun mjerne nesigurnosti na temelju modela s više ulaza i više izlaza .................... 7
2. MATEMATIČKI MODEL NELINEARNE ZAVOJNICE ...................................................... 10
2.1. OPIS MJERENJA .............................................................................................................. 12
2.2. KARAKTERISTIKA OTPORA ........................................................................................ 13
2.2.1. Prvi odsječak karakteristike otpora ............................................................................. 13
2.2.2. Drugi odsječak karakteristike otpora ........................................................................... 14
2.2.3. Poopćenje izračuna karakteristike otpora .................................................................... 16
2.3. KARAKTERISTIKA INDUKTIVITETA ......................................................................... 18
2.3.1. Prvi odsječak karakteristike induktiviteta ................................................................... 18
2.3.2. Drugi odsječak karakteristike induktiviteta ................................................................. 20
2.3.3. Poopćenje izračuna karakteristike induktiviteta .......................................................... 22
3. MJERNA NESIGURNOST KARAKTERISTIKA .................................................................. 25
3.1. Analitički izračun mjerne nesigurnosti karakteristike otpora i induktiviteta ..................... 25
3.1.1 Analitički izračun faktora utjecajnosti (osjetljivosti) ................................................... 28
3.1.2 Numerički izračun faktora utjecajnosti (osjetljivosti) .................................................. 29
3.2. Primjer izračuna mjerne nesigurnosti krivulje magnetiziranja transformatora .................. 30
4. ZAKLJUČAK ........................................................................................................................... 36
1
1. UVOD
Krivulja magnetiziranja pojavljuje se kod modeliranja zavojnica s feromagnetskom jezgrom i
transformatora u praznom hodu. Problemi koji se javljaju pri modeliranju nelinearnih zavojnica
su utjecaji zasićenja, histereze i vrtložnih struja [1-9]. Razmatrat će se model do čijih se
parametara može doći na temelju neinvazivnih mjerenja, kao što su mjerenja napona, struje i
djelatne snage. Primjer invazivnog mjerenja je izravno mjerenje magnetskog toka u magnetskoj
jezgri (npr. pomoću Hallovog senzora). Neinvazivna mjerenja mogu se vršit na priključnicama
zavojnice (transformatora), što je jednostavnije.
Pri određivanju parametara modela potrebno je uvažiti nesigurnosti izmjerenih veličina zbog
čega dolazi do rasipanja parametara modela. Dakle, parametre modela pravilno je shvatiti kao
raspone (intervale, područja) parametara koji definiraju model s određenom pouzdanosti. Cilj
rada je odrediti mjernu nesigurnost karakteristika nelinearne zavojnice i pripadne intervale
pouzdanosti [10-13].
1.1. TEORIJSKI UVOD U IZRAČUN MJERNE NESIGURNOSTI
Izračun mjerne nesigurnosti (standardne devijacije) se temelji na širenju pogreške (engl. error
propagation) kroz model. Temeljna zadaća teorije širenja pogrešaka je pronalaženje funkcije
gustoće vjerojatnosti izlaznih varijabli na temelju poznavanja funkcija razdiobi ulaznih podataka
i na temelju poznavanja matematičkog modela sustava kroz koji se pogreška širi. Razdiobe
ulaznih i izlaznih podataka mogu biti različitog tipa (normalna, uniformna, studentova,
Poassonova, …). Najvažniji tip razdiobe u mjeriteljstvu je normalna (Gaussova) razdioba, jer se
gotovo sve druge razdiobe, pod određenim uvjetima (centralni granični teorem), mogu
aproksimirati normalnom razdiobom.
1.1.1. Normalna (Gaussova) razdioba
Jednodimenzionalna normalna razdioba zadana je izrazom (1.1). Parametri koji definiraju
normalnu razdiobu su (aritmetička sredina ili matematičko očekivanje) i (standardna
devijacija).
21
21( )
2
x
f x e
(1.1)
2
Na slici 1.1. prikazan je graf normalne razdiobe. Ako je normalnom razdiobom opisan rezultat
mjerenja, tada pouzdanost pronalaska prave vrijednosti unutar intervala , iznosi
68%, dok pouzdanost za interval 2 , 2 iznosi 95%.
Slika 1.1. Normalna razdioba
Višedimenzionalna (k-dimenzinalna) normalna razdioba zadana je prema izrazu (1.2). Parametri
koji definiraju višedimenzionalnu normalnu razdiobu su vektor matematičkog očekivanja
1 2, , ,T
k μ i matrica kovarijanci C . Matrica C je simetrična matrica zadana prema
(1.3). Elementi na glavnoj dijagonali matrice kovarijanci 2
ii predstavljaju varijancu varijable ix ,
dok preostali elementi ij i j predstavljaju kovarijancu između varijabli ix i
jx .
112
/2 1/2
1( )
2 det
T
kf e
x μ C x μx
C (1.2)
2
11 12 1
2
21 22 2
2
1 2
k
k
k k kk
C (1.3)
3
Kod jednodimenzionalne normalne razdiobe se pojavljuju intervali pouzdanosti koji procjenjuju
pouzdanost pronalaska prave vrijednosti unutar određenog intervala. Kod višedimenzionalne
normalne razdiobe intervali poprimaju više dimenzija pa se nazivaju područja pouzdanosti,
[14,15]. Prema izrazu (1.4) se računa područje ( k -dimenzionalni elipsoid) čija je pouzdanosti
1 .
21 ( )k
T x μ C x μ (1.4)
Za desnu stranu jednadžbe (1.4) vrijedi izraz (1.5), tj. parametar 2 ( )k se određuje na temelju hi
kvadratne razdiobe koja ima k stupnjeva slobode i vjerojatnosti .
2 2
kP (1.5)
Neka je, na primjer, rezultat mjerenja opisan dvodimenzionalnom normalnom razdiobom
(slika 1.2). Tada se može zaključiti da se prava vrijednost nalazi unutar područja označenog
crvenom elipsom s pouzdanosti od 68%, odnosno da se prava vrijednost nalazi unutar područja
označenog zelenom elipsom s pouzdanosti od 95%. Prikaz područja pouzdanosti u ravnini
mjerenih veličina 1 2,x x nalazi se na slici 1.3. Iz oblika područja pouzdanosti može se odrediti
koja koordinata više doprinosi mjernoj nesigurnosti, a iz nagiba se može zaključiti o međusobnoj
zavisnosti koordinata.
Slika 1.2. Dvodimenzionalna normalna razdioba s naznačenim područjima pouzdanosti
4
Slika 1.3. Prikaz područja pouzdanosti u ravnini 1 2,x x
1.1.2. Izračun mjerne nesigurnosti na temelju modela s jednim ulazom i jednim izlazom
Slika 1.4. Blok dijagram sustava s jednim ulazom i jednim izlazom (engl. SISO)
Na slici 1.4. je najjednostavniji slučaj širenja pogreške kroz sustav. Dakle, potrebno je odrediti
funkciju gustoće vjerojatnosti jedne izlazne varijable na temelju poznavanja funkcije gustoće
vjerojatnosti jedne ulazne varijable i na temelju matematičkog modela sustava.[11]
Ako je funkcija ( )f x koja predstavlja matematički model sustava nelinearna, funkcija gustoće
vjerojatnosti izlazne varijable poprima kompliciran oblik, a posebno kada postoji više ulaznih
varijabli, više o tome u [12]. Zato se vrlo često koristi procjena funkcije gustoće vjerojatnosti.
Procjena se temelji na širenju samo prva dva statistička momenta, odnosno srednje vrijednosti
y i drugog centralnog momenta 2
y (varijance). Ova dva momenta u općem slučaju ne opisuju
u potpunosti funkciju gustoće vjerojatnosti, osim ako se pretpostavi da je funkcija gustoće
vjerojatnosti normalna (Gaussova).
5
Na slici 1.5. je prikazan jednostavan slučaj s jednim ulazom i jednim izlazom. Neka ulazna
varijabla x ima normalnu razdiobu s parametrima x i x . Sada se postavlja pitanje koje
vrijednosti poprimaju parametri y i y koji opisuju gustoću vjerojatnosti izlazne varijable.
Slika 1.5. Širenje pogreške
Na slici 1.5. se može primijetiti širenje pogreške ulazne varijable x za koju se pretpostavlja
normalna razdioba s parametrima x i x . Ako se varijabla x i njena funkcija gustoće
vjerojatnosti preslikava preko funkcije ( )f x , općenito nelinearne, tada je funkcija gustoće
vjerojatnosti izlazne varijable, općenito, različita od normalne razdiobe. Na slici 1.2. je označena
gustoća vjerojatnosti preslikana preko nelinearne funkcije ( )f x sa 1yp . Dakle, tako dobivena
razdioba je nesimetrična, odnosno različita od normalne razdiobe. Ako se funkcija ( )f x
aproksimirala Taylorovim redom prvog stupnja oko točke xx dobiva se linearan odnos
između ulaza i izlaza (na slici 1.5. označeno s ( )g x ). U literaturi [13] se mogu pronaći izrazi
koji uvažavaju i više stupnjeve Taylorovog reda.
( )
x
x x
x
fy f x
x
(1.6)
Širenjem varijable s normalnom razdiobom kroz linearan model rezultira također normalnom
razdiobom izlazne varijable. Kako bi se jednoznačno odredili parametri izlazne funkcije gustoće
koriste se izrazi:
6
y xf (1.7)
x
y x
x
f
x
(1.8)
Bitno je naglasiti kako izračunata distribucije izlazne varijable definirane sa y i y predstavlja
aproksimaciju stvarne razdiobe, zbog toga se postavlja pitanje o točnosti same aproksimacije,
više o tome u [11,13].
1.1.3. Izračun mjerne nesigurnosti na temelju modela s više ulaza i jednim izlazom
Slika 1.6. Blok dijagram sustava s više ulaza i jednim izlazom (engl. MISO)
U ovom slučaju jedna izlazna varijabla ovisi o n ulaznih varijabli. Funkcija ( )f x je u općem
slučaju nelinearna. Slično kao i u prethodnom slučaju funkcija se aproksimira Taylorovim redom
prvog stupnja oko točke 1 2, , , n .
1 2
1 2
1 , , ,
, , ,
n
n
n i i
i i
fy f x
x
(1.9)
Aproksimacija prema (1.9) je linearna što znači da je razdioba izlazne varijable normalna (ako su
razdiobe svih ulaznih varijabli normalne). Kako bi se odredili parametri normalne razdiobe
izlazne varijable koriste se sljedeći izrazi:
1 2, , ,y nf (1.10)
21
2 2
1 1 1
2n n n
y i ij
i i j ii i j
f f f
x x x
(1.11)
7
U izrazu (1.11) je izostavljen vektor 1 2, , , n koji naglašava oko koje točke se računaju
parcijalne derivacije. U izrazu (1.11) se pojavljuje kovarijanca ij koja predstavlja međusobnu
linearnu ovisnost ulaznih varijabli ix i jx . Kada su ulazne varijable međusobno nezavisne
kovarijanca je nula.
1.1.4. Izračun mjerne nesigurnosti na temelju modela s više ulaza i više izlaza
Slika 1.7. Blok dijagram sustava s više ulaza i više izlaza (engl. MIMO)
Ovakav tip sustava (slika 1.7.) je najopćenitiji. Ulazne i izlazne veličine mogu se zapisat i u
kompaktnijem (matričnom) obliku, odnosno 1 2, , ,T
nx x xx , 1 2, , ,T
ny y yy . Slično se
mogu i funkcije 1 2, , , mf f f zapisati u obliku jedne vektorske funkcije, tj.
1 2, , ,T
mf f f f x x x x .
Postupak određivanja distribucije izlaznih varijabli sličan je prethodnim primjerima (pogl. 1.1.1.
i 1.1.2.) samo što poprima generalizirani oblik. Prvo je potrebno linearizirati vektorsku funkciju
f x s pomoću Jacobijeve matrice. Elementi Jacobijeve matrice se nazivaju koeficijenti
utjecajnosti ili osjetljivosti.
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
n
n
m m m
n
f f f
x x x
f f f
x x x
f f f
x x x
fJ x
x (1.12)
Dakle, vektorska funkcija J x (dimenzija m n ) je linearizirani oblik vektorske funkcije f x
, zato se može zapisat u matričnom obliku, odnosno kao linearni operator. U sljedećem koraku se
8
uvodi (simetrična) matrica kovarijanci xC (dimenzija n n ) koja sadrži sve varijance i
kovarijance ulaznih varijabli 1 2, , , nx x x . Ako su sve ulazne varijable međusobno nezavisne
tada kovarijance nestaju ( 0i jx x i j ) a matrica xC postaje dijagonalna.
1 1 2 1
2 1 2 2
1 2
2
2
2
n
n
n n n
x x x x x
x x x x x
x
x x x x x
C (1.13)
Za razliku od sustava s jednom izlazom varijablom kod kojih je izlazna nesigurnost y
„matrica“ dimenzija 1 1 (skalar), dok se kod sustava s n izlaznih varijabli nesigurnost izlaznih
varijabli daje se u obliku (simetrične) matrice kovarijanci yC (dimenzija m m ). Izraz koji
opisuje širenje ulazne nesigurnosti (zadane matricom xC ) kroz linearizirani matematički model
sustava (opisan matricom J x ) je:
T
y xC JC J (1.14)
1 1 2 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 1 2 2
1 2 1 2
1 1 1
2 21 2
2 22 2 2
1 2
2 2
1 2
n n
n n
n n n n n n
ny y y y y x x x x x
y y y y y x x x x x
n
y y y y y x x x x xm m m
n
f f f
x x x
f f f
x x x
f f f
x x x
1 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
m
m
m
n n n
ff f
x x x
ff f
x x x
ff f
x x x
Promotrimo jedan dijagonalni element matrice yC , npr.
1
2
y prema [11] ima oblik:
1
21
2 21 1 1
1 1 1
2i i j
n n n
y x x x
i i j ii i j
f f f
x x x
(1.15)
Jednadžba (1.15) se podudara s jednadžbom (1.11) izvedenom za sustav s više ulaznih varijabli i
jednom izlaznom varijablom. Navedena jednadžba se zove zakon širenja.
9
Promotrimo i jedan ne dijagonalni element matrice yC , npr.
1 2y y prema [11] ima oblik:
1 2
121 2 1 2
1 1 1
2i i j
n n n
y y x x x
i i j ii i i j
f f f f
x x x x
(1.16)
U izrazu (1.16) se može primijetiti kako postoji doprinos kovarijanci 1 2y y izlaznih varijabli od
strane varijanci pojedinih ulaznih varijabli 2
ix i od strane kovarijanci i jx x ulaznih varijabli.
Dakle kovarijanca izlaznih varijabli, npr. 1 2y y može postojat i kada su ulazne varijable
nezavisne ( 0i jx x i j ). Kada se mjerna nesigurnost izražava matricom kovarijanci tada je
mjerni rezultat zapisan na visokoj razini. Više o cjelovitom zapisu mjernog rezultata u [16].
10
2. MATEMATIČKI MODEL NELINEARNE ZAVOJNICE
Modeliranje nelinearne zavojnice promatrat će se na temelju pretpostavljenog modela (slika
2.1.), odnosno jednadžbi (2.1) – (2.7). Model se sastoji od paralelnog spoja nelinearnog otpora
(linearnog po odsječcima) i nelinearnog induktiviteta (linearnog po odsječcima). [3]
Slika 2.1. Model nelinearne zavojnice
R Lu u u (2.1)
R Li i i (2.2)
( )R R Ri f u (2.3)
( )L Li f (2.4)
udt (2.5)
Funkcije ( )R Rf u i ( )Lf predstavljaju karakteristike otpora i induktiviteta. Bitno je naglasiti
kako se radi o neparno simetričnim funkcijama (odnosno centralno simetričnim s obzirom na
ishodište pripadnog sustava), što znači da je karakteristiku dovoljno odredit samo u jednom
kvadrantu. Isto tako funkcije ( )R Rf u i ( )Lf su linearne po odsječcima (slike 2.2 i 2.3).
Jednadžba k-tog 1,2, ,k n odsječka otpora u prvom kvadrantu zadana je izrazom (2.6).
1 ( 1) 1
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ,Rk R k R k R k R k ki u G u U I u U U
(2.6)
11
Slika 2.2. Karakteristika nelinearnog otpora ( ( )R R Ri f u )
Izraz za karakteristiku induktiviteta u prvom kvadrantu je:
( 1) 1 1
1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ,Lk L k k k k
k
i IL
(2.7)
Slika 2.3. Karakteristika nelinearnog induktiviteta ( ( )L Li f )
Iz slika 2.2. i 2.3. može se vidjet kako su funkcije ( )R Rf u i ( )Lf određene lomnim točkama.
Odnosno, funkcija otpora je određena vršnim vrijednostima napona ˆkU i vršnim vrijednostima
struje otpora ˆRkI , dok je karakteristika induktiviteta određena vršnom vrijednosti toka ˆ
k i
vršnom vrijednosti struje induktiviteta ˆLkI . Kako bi se odredile pojedine karakteristike potrebno
je na temelju izmjerenih podataka izračunat lomne točke.
12
2.1. OPIS MJERENJA
Mjerenja se vrše na temelju sheme na slici 2.4. Kako bi se odredilo n odsječaka (po kvadrantu)
na karakteristikama otpora i induktiviteta potrebno je provest n mjerenja. Pomoću naponskog
izvora se efektivna vrijednost napona U postavlja na n različitih vrijednosti, uzlaznim slijedom.
Pri tome se očitaju pripadne vrijednosti efektivne struje I i djelatne snage P . Prije očitanja
instrumenata potrebno je sačekati da se znamenke ustale na instrumentima (očitava se nakon
prijelaznih pojava). Isto tako pri povećanju napona potrebno je paziti da se ne prekorači nazivna
efektivna vrijednost struje kroz zavojnicu što bi uzrokovalo pregrijavanje namota.
Slika 2.4. Shema mjernog kruga
Dakle u k-tom mjerenju očitaju se parametri kU , kI , kP , 1,2,...,k n . Također vrijedi 0 0U ,
0 0I i 0 0P zbog pretpostavke o neparnoj simetriji karakteristika. Nakon provedenih n
mjerenja i na temelju pretpostavke poznato je 3 3n podataka, odnosno:
0 0 0 1 1 1, , ; , , ; , ,n n nU I P U I P U I P . Iz navedenih parametara i poznate frekvencije naponskog
izvora mogu se izračunati karakteristike otpora i induktiviteta.
13
2.2. KARAKTERISTIKA OTPORA
2.2.1. Prvi odsječak karakteristike otpora
Slika 2.5. Prvi odsječak karakteristike otpora
Prvi odsječak u prvom kvadrantu opisan je jednadžbom (2.9). Svaki odsječak je određen s dvije
točke. Prva točka prvog odsječka je ishodište (poznate koordinate) dok su koordinate druge točke
nepoznate 1 1ˆ ˆ, RU I , a mogu se izračunat iz rezultata prvog mjerenja, odnosno iz 1 1 1, ,U I P .
Prva koordinata 1U se jednostavno izračuna prema jednadžbi (2.8), dok je drugu koordinatu 1ˆRI
moguće odredit iz izraza (2.11) i (2.12). Jednadžbe za određivanje 1ˆRI se temelje na izrazu (2.10)
za djelatnu snagu koju troši zavojnica.
1 1ˆ 2U U (2.8)
1 1 1
ˆ0,R R Ri G u u U
(2.9)
/4 /4 /42 2
2 2 21 1 1 11 1 1 1 1 1 1
0 0 0
ˆ ˆ44 4( ) ( ) ( ) sin
2
T T T
R
GU GUP u t i t dt G u t dt t dt GU
T T T (2.10)
11 2
1
PG
U (2.11)
14
1 1 1ˆ 2RI GU (2.12)
Efektivna vrijednost struje kroz otpor 1RI računa se prema izrazu (2.13), koja je potrebna pri
izračunu odsječaka induktiviteta. Bitno je primijetiti kako je omjer vršne i efektivne struje otpora
2 , ovaj omjer ne mora vrijedit za struje dobivene preslikavanjem preko ostalih odsječaka.
4 4 4
222
1 1 1 1 1 1 1
0 0 0
4 4 4 ˆ sin
T T T
R RI i dt G u dt GU t dt GUT T T
(2.13)
Moguće je 1ˆRI i 1RI dobit na jednostavniji način, fazorskom transformacijom, ali samo za prvi
odsječak. Fazorska transformacija je ograničena na linearne mreže.
2.2.2. Drugi odsječak karakteristike otpora
Slika 2.6. Prva dva odsječka karakteristike otpora
Prva dva odsječka karakteristike otpora u prvom kvadrantu imaju jednadžbe prema (2.14) i
(2.15). Parametri koji određuju prvi odsječak 1 1ˆ ˆ, RU I su poznati iz prethodnog razmatranja, isto
tako poznati su rezultati mjerenja 0 0 0 1 1 1 2 2 2, , ; , , ; , ,U I P U I P U I P . U ovom, drugom, koraku
potrebno je odrediti parametre drugog odsječka 2 2ˆ ˆ, RU I . Parametar 2U se jednostavno odredi
iz izmjerenog efektivnog napona 2U prema izrazu (2.16). Kako bi se odredio drugi parametar
2ˆRI potrebno je krenut od izraza (2.17) za djelatnu snagu.
15
1 1 1
ˆ0,R R Ri G u u U
(2.14)
2 2 1 1 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ,R R R Ri G u U I u U U
(2.15)
2 2ˆ 2U U (2.16)
1 1
1 1
4 42
2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1
0 0
4 4 ˆ ˆ( )R R
R R
T Tt t
R R R
t t
P u i dt u i dt G u dt u G u U I dtT T
(2.17)
Izraz (2.17) sastoji se od dva integrala jer struja koja protječe nelinearnim otporom određuje se
preko različitih odsječaka zadanih izrazima (2.14) i (2.15). Struja otpora dobiva se
preslikavanjem napona preko prvog odsječka sve dok je trenutna vrijednost napona izvora manja
ili jednaka od 1U , nakon čega prelazi na drugi odsječak. Slično se može pokazati i za vremenske
intervale, odnosno na vremenskom intervalu 10, Rt struja je rezultat preslikavanja napona preko
prvog odsječka, dok je na intervalu 1, 4Rt T rezultat preslikavanja preko drugog odsječka.
Trenutak 1Rt je određen prelaskom s prvog odsječka na drugi prema jednadžbama (2.18) i (2.19).
Detaljniji prikaz nalazi se na slici (2.6.).
2 1 1ˆ( )Ru t U (2.18)
1 1
1 1
2
1sin 0,
4R R
U Tt t
U
(2.19)
Iz jednadžbe (2.17) moguće je izračunati nagib drugog odsječka 2G i zatim izračunati 2ˆRI prema
izrazu (2.20). Ovdje nije izveden izraz za izračun 2G zato što će se u sljedećem razmatranju svi
izrazi poopćiti za bilo koji odsječak.
2 2 2 1 1ˆ ˆ2 ( )R RI G U U I (2.20)
Slično kao u slučaju jednog odsječka moguće je izračunati efektivnu vrijednost struje otpora,
prema izrazu (2.21), nakon što se odrede parametri drugog odsječka.
1
1
4222
2 1 2 2 1 1
0
4 ˆ ˆ( )R
R
t T
R R R
t
I G u dt G u U I dtT
(2.21)
16
2.2.3. Poopćenje izračuna karakteristike otpora
Poopćenje izraza se temelji na iterativnom postupku, tj. kako bi se izračunali parametri koji
određuju k-ti ( 1,2, ,k n ) odsječak ˆ ˆ,k RkU I potrebno je uvažiti k prethodno izračunatih i
pretpostavljenih vrhova odsječaka karakteristike otpora 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ0,0 ; , ; ,R k R k
U I U I i prvih
1k mjerenja 0 0 0 1 1 1, , ; , , ; , ,k k kU I P U I P U I P . Dakle izračun vrha ˆ ˆ,k RkU I ne ovsi o
mjerenjima s indeksima većim od k .
Neka je napon izvora u k-toj iteraciji dan izrazom (2.22), a jednadžba z-tog odsječka izrazom
(2.23).
ˆ( ) sin 2 sink k ku t U t U t (2.22)
1 ( 1) 1
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ,Rz z R z R z R z zi G u U I u U U
(2.23)
Tada se nepoznanica ˆkU računa prema izrazu (2.24).
ˆ 2k kU U (2.24)
Kako bi se odredila nepoznanica ˆRkI potrebno je krenuti od jednadžbe za djelatnu snagu, dakle
djelatna snaga kP koju troši zavojnica određena je izrazom (2.25), odnosno izrazom (2.26). Znak
sumacije u izrazu (2.25) se pojavljuje jer se struja u k-toj iteraciji dobiva preslikavanjem napona
preko k različitih odsječaka. Izraz (2.26) je prikladnije zapisan izraz (2.25).
( , ) ( , )
( 1, ) ( 1, )
1 ( 1)
1 1
4 4 ˆ ˆ( )
R z k R z k
R z k R z k
t tk k
k k Rz k z k z R z
z zt t
P u i dt u G u U I dtT T
(2.25)
, 1 ( 1) ,
1
4 ˆ2 ( ) 2k
k k z k z k z z R z z k
z
P U G U A U B I BT
(2.26)
1 1.
1 1 1arcsin sin 2arcsin arcsin sin 2arcsin
2 2 2
z z z zz k
k k k k
U U U UA
U U U U
(2.27)
1,
1cos arcsin cos arcsinz z
z k
k k
U UB
U U
(2.28)
17
1
( , ) ( , )
1sin 0,
4
zR z k R z k
k
U Tt t
U
(2.29)
Izraz za nagib k-tog odsječka kG je jedina nepoznanica u izrazu (2.26) i može se izračunati
prema (2.30).
1
, , 1 , ,1 11
, 1 ,
ˆ ˆ2 2 24
2 2
kk
k k z k z k z z k z kR k R zzk
k
k k k k k k
TPI B G U A U B I B
UG
U A U B
(2.30)
Kada je poznata vrijednost nagiba k-tog odsječka kG moguće je odrediti ˆRkI prema (2.31), što je
cilj.
1 1ˆ ˆ2Rk k k k R kI G U U I
(2.31)
Bitno je primijetiti kako karakteristika otpora ovisi samo o izmjerenim efektivnim naponima i
djelatnim snagama, dok uopće ne ovisi o izmjerenim efektivnim strujama.
Kako će za poopćeni izračun karakteristike induktiviteta biti potrebna efektivna vrijednost struje
kroz otpor RkI potrebni su slijedeći izrazi:
,
1,
22
1 11
4 ˆ ˆ( )z k
z k
tk
Rk z k z R zz t
I G u U I dtT
(2.32)
Prikladniji zapis izraza (2.32) je sljedeći izraz:
2 2 2 2 2 2
, 1 , 1 1 ,1 1 1
1
4ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
Rk z k z k z k z z z k z z z z z kR z R z R z
k
z
I G U A G U G U I B G U G U I I ET
(2.33)
1,
1arcsin arcsinz z
z k
k k
U UE
U U
(2.34)
18
2.3. KARAKTERISTIKA INDUKTIVITETA
2.3.1. Prvi odsječak karakteristike induktiviteta
Kako je jedna od veličina koja definira karakteristiku induktiviteta tok, potrebno ga je definirati
prema [18]. Valni oblik toka (slika 2.7.) u stacionarnom stanju zadan je prema izrazu:
ˆ
ˆcos cosU
udt t t
(2.35)
Slika 2.7. Valni oblik napona i toka u periodičkom (stacionarnom) režimu
Prvi odsječak karakteristike induktiviteta (slika 2.8.) u trećem kvadrantu zadan je jednadžbom
(2.36), ali parametar 1L je nepoznat. Svaki odsječak je određen s dvije točke. Prva točka prvog
odsječka je ishodište, dok su koordinate 1 1ˆˆ , LI druge točke nepoznate, a mogu se
izračunati iz rezultata prvog mjerenja, odnosno iz 1 1 1, ,U I P i prethodno izračunate
karakteristike otpora, odnosno iz efektivne vrijednosti struje otpora 1RI izračunate prema (2.13).
Dakle, prva nepoznanica 1 može se jednostavno dobiti prema (2.37).
1 1
1
1 ˆ ,0LiL
(2.36)
11
2ˆ U
(2.37)
19
Slika 2.8. Prvi odsječak karakteristike induktiviteta
Izračun druge nepoznanice 1ˆLI prvog odsječka induktiviteta temelji se na dva izraza za efektivnu
vrijednost struje induktiviteta 1LI . Prvi izraz (2.38) služi kako bi se izračunala efektivna struja
induktiviteta 1LI na temelju poznavanja efektivne struje 1I i efektivne struje otpora 1RI . Izraz
(2.38) je dobro poznat iz fazorskog računa. Kako se u prvoj iteraciji struje otpora i induktiviteta
preslikavaju samo preko jednog odsječka ispunjen je zahtjev fazorske transformacije da mreža
mora biti linearna.
2 2
1 1 1L RI I I (2.38)
Drugi izraz (2.39) za efektivnu struju temelji se na trenutnoj struji induktiviteta koja se dobije
preslikavanjem trenutnog toka preko prvog odsječka. U izrazu (2.39) jedina nepoznanica je 1L .
224 4 4
12 11 1
1 10 0 0
ˆ cos4 4 4T T T
L L
tI i dt dt dt
T T L T L
(2.39)
Sređivanjem izraza (2.39) slijedi izraz (2.40) s pomoću kojega se može odrediti 1L .
11
1L
UL
I (2.40)
20
Kako bi se odredila ordinata vrha prvog odsječka 1ˆLI , što je i cilj ovog razmatranja, koristi se
izraz (2.41).
11
1
ˆˆL
UI
L (2.41)
2.3.2. Drugi odsječak karakteristike induktiviteta
Slika 2.9. Drugi odsječak karakteristike induktiviteta
Prva dva odsječka karakteristike induktiviteta u trećem kvadrantu (slika 2.9.) imaju jednadžbe
prema (2.42) i (2.43). Koordinate koje određuju prvi odsječak 1 1ˆˆ , LI poznate su iz prethodne
iteracije, a time i parametri koji određuju jednadžbu prvog odsječak prema (2.42). Još su poznati
rezultati prvog i drugog mjerenja 1 1 1 2 2 2, , ; , ,U I P U I P i vrijednosti efektivne struje otpora za
prvu i drugu iteraciju 1RI i 2RI . U ovoj, drugoj, iteraciji potrebno je odrediti koordinate
2 2ˆˆ , LI koje određuju drugi odsječak, a time i parametre jednadžbe (2.43) drugog odsječka.
1 1
1
1 ˆ ,0LiL
(2.42)
21
2 1 1 2 1
2
1 ˆˆ ˆ ˆ,L Li IL
(2.43)
Koordinata 2 se jednostavno odredi iz izmjerenog efektivnog napona 2U prema izrazu (2.44).
22
2ˆ U
(2.44)
Kako bi se odredio drugi parametar 2ˆLI potrebno je krenuti od dva izraza za efektivnu struju
induktiviteta. Na temelju prvog izraza (2.45) može se izračunati efektivna struja induktiviteta 2LI
, jer su efektivna struja 2I i efektivna struja otpora 2RI poznate. Efektivna struja 2I je poznata
iz mjerenja, a efektivna struja otpora 2RI je poznata iz jednadžbe (2.21), koja je izvedena kod
izračuna karakteristike otpora. Izraz (2.45) je ispravno primijeniti i u ovom slučaju, iako nije
ispunjen uvjet o linearnoj mreži (u ovom slučaju se struje otpora i induktiviteta preslikavaju
preko dva odsječka). Razlog primjenjivosti izraz (2.45) je ortogonalnost struja otpora i
induktiviteta, što je nužan uvjet, dok je uvjet linearnosti mreže dovoljan.
2 2
2 2 2L RI I I (2.45)
Drugi izraz za struju induktiviteta (2.46), izveden je na temelju trenutne struje induktiviteta.
Trenutna struja induktiviteta dobiva se preslikavanjem trenutnog toka preko dva odsječka
karakteristike induktiviteta, prema izrazima (2.42) i (2.43), što je ujedno razlog zbog kojega se
izraz (2.46) sastoji od dva integrala. Struja induktiviteta dobiva se preslikavanjem toka preko
prvog odsječka u trećem kvadrantu sve dok je trenutna vrijednost toka unutar segmenta 1ˆ ,0
, nakon čega prelazi na drugi odsječak. Slično se može pokazati i za vremenske intervale,
odnosno na vremenskom intervalu 10, Lt struja je preslika toka preko prvog odsječka dok je na
intervalu 1, 4Lt T preslika toka preko drugog odsječka. Trenutak 1Lt je određen prelaskom s
prvog odsječka na drugi prema jednadžbama (2.47) i (2.48). Detaljniji prikaz nalazi se na slici
2.9.
1
1
2 24
2 22 2 1 1
1 20
4 1 ˆˆL
L
tT
L L
t
I dt I dtT L L
(2.46)
2 1 1ˆ
Lt (2.47)
22
1 11
2
1cosL
Ut
U
(2.48)
U izrazu (2.46) jedina nepoznanica je 2L . Izraz za izračun 2L ovdje nije naveden jer će se u
sljedećim razmatranjima izvesti poopćeni izraz koji će vrijedit za kL , iz kojega se jednostavno
dolazi do izraza za 2L uvrštavanjem 2k . Kako bi se konačno izračunala nepoznanica 2ˆLI koja
definira vrh drugog odsječka koristi se izraz (2.49).
2 2 1 1
2
2ˆ ˆL LI U U I
L (2.49)
2.3.3. Poopćenje izračuna karakteristike induktiviteta
Poopćenje izraza se temelji na iterativnom postupku, tj. kako bi se izračunali parametri koji
određuju k-ti odsječak ˆˆ ,k LkI potrebno je uvažiti parametre svih k prethodno izračunatih i
pretpostavljenih vrhova odsječaka karakteristike induktiviteta 1 1 1 ( 1)ˆ ˆˆ ˆ0,0 ; , ; ,L k L kI I ,
prvih k mjerenja 0 0 0 1 1 1, , ; , , ; , ,k k kU I P U I P U I P i prvih k efektivnih struja otpora
1 2; ;R R RkI I I izračunatih prema (2.32). Bitno je primijetiti kako je za izračun karakteristike
induktiviteta potrebno prethodno izračunat karakteristiku otpora.
Neka je trenutni tok u k-toj iteraciji zadan izrazom (2.50) i neka je jednadžba z-tog odsječka u
trećem kvadrantu zadana izrazom (2.51). Tada se prva koordinata k-tog odsječka ˆk može
izračunati samo na temelju poznavanja izmjerenog efektivnog napona kU i kružne frekvencije
izvora prema (2.52).
2
( ) coskk
Ut t
(2.50)
1 11
1 ˆˆ ˆ ˆ,Lz z z zL z
z
i IL
(2.51)
2ˆ k
k
U
(2.52)
Pri izračunu druge nepoznate koordinate ˆLkI potrebno je napisati dva izraza za efektivnu
vrijednost struje induktiviteta (2.53) i (2.54). Odnosno, prema izrazu (2.53) izračunati efektivnu
23
struju induktiviteta LkI na temelju izmjerene efektivne struje kI i izračunate, prema (2.32),
efektivne struje otpora RkI i uvrstiti je u jednadžbu (2.54). Izraz (2.53) je opravdan zbog
ortogonalnosti struja otpora i induktiviteta (bez daljnjeg dokazivanja).
2 2
Lk k RkI I I (2.53)
( 1, )
( , )
2
2
1 11
4 1 ˆˆL z k
L z k
tk
Lk k z L zz zt
I I dtT L
(2.54)
U izrazu (2.54) se pojavljuje znak sumacije jer se trenutna vrijednost struje induktiviteta dobiva
preslikavanjem toka preko k različitih odsječaka, a svaki odsječak ima drukčije parametre.
Granice integracije u izrazu (2.54) određene su prelascima trenutnog toka preko lomnih točaka
karakteristike induktiviteta prema (2.55).
1
( , )
1cos z
L z k
k
Ut
U
(2.55)
Izraz (2.56) je prikladniji zapis izraza (2.54).
2
,
1
4 k
Lk z k
z
I ST
(2.56)
2 2
11 21 1, , , ,1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 22 ˆ ˆzL zk k z zz k z k z k z kL z L z
z z z z z
I UU U U US C I D I F
L L L L L
1 1,
1 1 1arccos sin 2arccos arccos sin 2arccos
2 2 2
z z z zz k
k k k k
U U U UC
U U U U
(2.57)
1,
1sin arccos sin arccosz z
z k
k k
U UD
U U
(2.58)
1,
1arccos arccosz z
z k
k k
U UF
U U
(2.59)
24
Kako je u izrazu (2.56) jedina nepoznanica kL moguće ju je izračunati. Bitno je uočiti da se
nepoznanica kL nalazi u nazivniku, zbog čega se uvodi supstitucija prema (2.60). Nakon
uvođena supstitucije u izraz (2.56) i sređivanja dobije se izraz (2.61).
1
k
k
yL
(2.60)
2 0k k k k ka y b y c (2.61)
2 2
, 1 , 1 ,2 2k k k k k k k k k k ka U C U U D U F
, 1 ,1ˆ2 2k k k k k k kL k
b I U D U F
12 2
, ,11
ˆ4
k
k k k Lk z kL kz
Tc I F I S
Rješavanjem kvadratne jednadžbe (2.61) dobiju se dva rješenja, ali jedno je nefizikalno.
Odnosno, izraz za ky (fizikalno rješenje) je dan prema (2.62), zatim se s pomoću supstitucije
(2.60) može se izračunati kL .
2 4
2
k k k k
k
k
b b a cy
a
(2.62)
Kako bi se odredila ordinata ˆkI vrha koji određuje k-ti odsječak koristi se izraz (2.63).
1 ( 1)ˆ ˆ2Lk k k k L kI y U U I (2.63)
25
3. MJERNA NESIGURNOST KARAKTERISTIKA
3.1. Analitički izračun mjerne nesigurnosti karakteristike otpora i induktiviteta
Prema razmatranjima iz 1. poglavlja može se nacrtati blok dijagram sustava kojim se mjerna
nesigurnost širi, slika 3.1.
Slika 3.1. Blok dijagram sustava s više ulaza i više izlaza u vektorskom obliku
Neka su vektori x i y oblika prema (3.1). U ulaznom vektoru se nalaze izmjerene vrijednosti dok
su u izlaznom vektoru složeni parametri koji definiraju karakteristiku otpora (
ˆ ˆ,k RkU I 1,2, ,k n ) i karakteristiku induktiviteta ( ˆˆ ,k LkI 1,2, ,k n ).
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
T
n n n
T
n R R Rn n L L Ln
U U U I I I P P P
U U U I I I I I I
x
y(3.1)
Neka je zadana matrica kovarijanci ulaznih varijabli xC tada se matrica kovarijanci yC izlaznih
varijabli može izraziti prema (3.2). U nastavku su matrice xC , J i yC raspisane.
T
y xC JC J (3.2)
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
2
2
2
2
n n n
n n n
n n n n n n n n n n n n
n n
U U U U U U U I U I U I U P U P U P
U U U U U U U I U I U I U P U P U P
U U U U U U U I U I U I U P U P U P
I U I U I U I I I I I I I P
x
C
1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
2
2
2
n
n n n
n n n n n n n n n n n n
n n n
n
I P I P
I U I U I U I I I I I I I P I P I P
I U I U I U I I I I I I I P I P I P
PU PU PU P I P I P I P P P P P P
P U P U P U P I P I P
2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
n n
n n n n n n n n n n n n
I P P P P P P
P U P U P U P I P I P I P P P P P P
(3.3)
26
Matrica xC može se zapisati pomoću blok matrica:
UU UI UP
x IU II IP
PU PI PP
C C C
C C C C
C C C
(3.4)
Matrica J ima oblik:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
n n n
n n n
n n n n n n n
n n
U U U U U U U U U
U U U I I I P P P
U U U U U U U U U
U U U I I I P P P
U U U U U U U U
U U U I I I P
J
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
n n
n
R R R R R R R R R
n n n
R R R R R R R R R
n n n
Rn Rn Rn
n
U
P P
I I I I I I I I I
U U U I I I P P P
I I I I I I I I I
U U U I I I P P P
I I I
U U U
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
Rn Rn Rn Rn Rn Rn
n n
n n n
n n n
n
I I I I I I
I I I P P P
U U U I I I P P P
U U U I I I P P P
U
2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
n n n n n n n n
n n n
L L L L L L L L L
n n n
L L L L L L L L
n n
U U I I I P P P
I I I I I I I I I
U U U I I I P P P
I I I I I I I I
U U U I I I P P
2
1 2 1 2 1 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
L
n
Ln Ln Ln Ln Ln Ln Ln Ln Ln
n n n
I
P
I I I I I I I I I
U U U I I I P P P
27
Dakle, potrebno je odrediti elemente matrice J na temelju matematičkog modela izvedenog u 2.
poglavlju. Moguća su dva načina izračuna, analitički i numerički (poglavlja 3.1.1. i 3.1.2.). Zbog
kraćeg zapisa matrice J mogu se koristiti blok matrice.
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
R R R
L L L
UU UI UP
I U I I I P
U I P
I U I I I P
J J J
J J J
JJ J J
J J J
(3.5)
Matrica kovarijanci izlaznih varijabli yC ima oblik:
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
n nRn LnR R L L
n nRn LnR R L L
U U U U U U U I U I U I U U U U I U I U I
U U U U U U U I U I U I U U U U I U I U I
y
C
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
n n n n n n n n n n n n n nRn LnR R L L
n nRnR R R R R R R R R R R R L R L
U U U U U U U I U I U I U U U U I U I U I
I U I U I U I I I I I I I I I I I I I
2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1
ˆ ˆ
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
LnR
n nRn LnR R R R R R R R R R R R L R L R
nRn Rn Rn Rn Rn Rn Rn Rn RnR R
I I
I U I U I U I I I I I I I I I I I I I I I
I U I U I U I I I I I I I I
2 1 2
1 1 1 2 11 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 22 1 2 2 2 2 1 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
nRn Rn Rn Rn LnL L
nn Rn RnR R L L
n RnR R
I I I I I I I
U U U I I I I I I
U U U I I I
2 2 1 2 2 2 1
1 21 2 1 2 1 2 1
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
n L L R
n n n nn n n n n n n n n nRnR R L L R
n RnL L L L R L R L L
I I I
U U U I I I I I I
I U I U I U I I I I I I I
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1
1 2
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
nL L L L L L L
n nRnL L L L R L R L L L L L L L L L
nLn Ln Ln Ln
I I I I I I I U
I U I U I U I I I I I I I I I I I I I I U
I U I U I U I
1 2 1 2 1 2
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
nLn Ln Rn Ln Ln Ln Ln Ln Ln LnR R L LI I I I I I I I I I I I I I
Zapis matrice yC s pomoću blok matrica je:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
R L
R R R R R L
R L
L L R L L L
UU UI U UI
I U I I I I I
y
U I I
I U I I I I I
C C C C
C C C C
CC C C C
C C C C
(3.6)
28
Kako su karakteristike otpora i induktiviteta određene uređenim parovima
ˆ ˆ ˆˆ, , 1,2, ,k Rk k LkU I I k n , mjerna nesigurnost pojedinog uređenog para određena je
pripadnom matricom kovarijanci, dimenzija 2 2 , koja se sastoji od elemenata matrice yC .
Neka matrica RkC pripada uređenom paru ˆ ˆ,k RkU I , a matrica LkC uređenom paru ˆˆ ,k LkI .
2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
k kk k k Rk k Lk
Rk k Rk Rk Lk k Lk Lk
U U U I I
Rk Lk
I U I I I I I
C C (3.7)
Poznavanjem lomnih točaka i pripadnih matrica kovarijanci svaka lomna točka se može
procijeniti dvodimenzionalnom normalnom razdiobom.
3.1.1 Analitički izračun faktora utjecajnosti (osjetljivosti)
Izračun elemenata blok matrica UU
J , UI
J i UP
J se temelji na izrazu (2.24) za izračun ˆkU .
Elementi matrice UU
J su određeni prema (3.8), koji iskazuje da je blok matrica UU
J dijagonalna.
Elementi matrica UI
J i UP
J su zadani prema (3.9) i (3.10), odnosno obje blok matrice su
nulmatrice.
2ˆ
2 2k
k kjk
j j j
UU U
U U U
(3.8)
2ˆ
0k
k
j j
UU
I I
(3.9)
2ˆ
0k
k
j j
UU
P P
(3.10)
U izrazu (3.8) oznaka jk predstavlja Kroneckerovu delta funkciju.
Elementi blok matrica ˆRI U
J , ˆRI I
J i ˆRI P
J se temelje na izrazu (2.31) za izračun ˆRkI . Kako ˆRkI ne
ovisi o ulaznim veličinama jU i
jP za koje vrijedi k j blok matrice ˆRI U
J i ˆRI P
J poprimaju
donje trokutasti oblik. Izračun preostalih elemenata blok matrica ˆRI U
J i ˆRI P
J dan je u obliku
priloga zbog opsežnosti. Blok matrica ˆRI I
J je nulmatrica jer ˆRkI ne ovisi o mjerenoj struji I .
29
Elementi blok matrica ˆ UJ , ˆ I
J i ˆ PJ temelje se na izrazu (2.52) za izračun ˆ
k . Elementi blok
matrice ˆ UJ određeni su izrazom (3.11) prema kojem se može zaključiti kako je blok matrica
ˆ UJ dijagonalna. Elementi blok matrice ˆ I
J i ˆ PJ određeni su izrazima (3.12) i (3.13) prema
kojima su blok matrice ˆ IJ i ˆ P
J nulmatrice.
ˆ 2 2k k
jk
j j
U
U U
(3.11)
ˆ 2
0k k
j j
U
I I
(3.12)
ˆ 2
0k k
j j
U
P P
(3.13)
Elementi blok matrica ˆLI U
J , ˆLI I
J i ˆLI P
J zasnivaju se na izrazu (2.63) za izračun ˆLkI . Kako ˆLkI ne
ovisi o ulaznim parametrima jU ,
jI i jP za koje vrijedi k j , zbog toga blok matrice ˆ
LI UJ ,
ˆLI I
J i ˆLI P
J imaju donje trokutasti oblik. Izračun preostalih elemenata naveden je u prilogu zbog
opsežnosti.
3.1.2 Numerički izračun faktora utjecajnosti (osjetljivosti)
Prema [13] koeficijenti utjecajnosti k
j
f
x
(elementi matrice J ) mogu se približno numerički
izračunati prema jednadžbama:
1 2
1 2 1 2
( , , , )
( , , , , , ) ( , , , )
n
k j n k nk
j x x x
f x x x h x f x x xf
x h
x
(3.14)
1 2
1 2 1 2
( , , , )
( , , , , , ) ( , , , , , )
2n
k j n k j nk
j x x x
f x x x h x f x x x h xf
x h
x
(3.15)
Jednadžba (3.15) daje bolja rješenja od jednadžbe (3.14) jer je apsolutna pogreška kod jednadžbe
(3.14) proporcionalna s h , dok je kod jednadžbe apsolutna pogreška proporcionalna s 2h .
Problem kod numeričkih derivacija je u odabiru pomaka h . Sa stajališta apsolutnih pogrešaka
bolja je manja vrijednost pomaka h (idealno je 0h ). Kako računala imaju konačnu
30
razlučivost (pamte brojeve na konačno mnogo decimala) mora se paziti kako izrazi u brojnicima
jednadžbi (3.14) i (3.15) ne bi bili ispod razine razlučivosti (ovaj uvjet propisuje minimalnu
vrijednost pomaka h ).
3.2. Primjer izračuna mjerne nesigurnosti krivulje magnetiziranja transformatora
Mjerenja su provedena na transformatoru u praznom hodu nazivne snage 200 VA i nazivnog
primarnog napona 30 V. Shema mjernog kruga je dana u poglavlju 2.1., a rezultati mjerenja
nalaze se u tablici 3.1. Parametri koji određuju karakteristike otpora i induktiviteta, koji se
određuju na temelju 2. poglavlja, također se nalaze u tablici 3.1. Program koji izračunava
parametre karakteristika iz izmjerenih podataka nalazi se na CD-u prilogu P.3.1.
Tablica 3.1. Izmjerene vrijednosti i parametri karakteristika
Uk, V Ik, A Pk, W ˆkU , V ˆ
RkI , A ˆk , Vs
ˆLkI , A
k = 1 4.18 0.008 0.022 5.91 0.007 0.019 0.009
k = 2 8.51 0.014 0.083 12.03 0.013 0.038 0.012
k = 3 12.36 0.018 0.172 17.48 0.020 0.056 0.013
k = 4 16.21 0.022 0.290 22.92 0.025 0.073 0.018
k = 5 19.97 0.028 0.435 28.24 0.030 0.090 0.028
k = 6 23.91 0.040 0.630 33.81 0.038 0.108 0.052
k = 7 24.70 0.043 0.680 34.93 0.041 0.111 0.062
k = 8 26.21 0.054 0.790 37.07 0.046 0.118 0.087
k = 9 27.24 0.064 0.870 38.52 0.049 0.123 0.117
k = 10 28.53 0.089 1.020 40.35 0.061 0.128 0.184
k = 11 29.32 0.139 1.200 41.46 0.084 0.132 0.362
k = 12 30.67 0.271 1.500 43.37 0.095 0.138 0.681
k = 13 31.62 0.561 1.900 44.72 0.145 0.142 1.620
k = 14 32.08 0.752 2.100 45.37 0.150 0.144 2.110
k = 15 32.72 1.238 2.600 46.27 0.222 0.147 3.660
k = 16 33.31 1.793 3.300 47.11 0.304 0.150 5.029
k = 17 34.29 3.320 6.000 48.49 0.679 0.154 9.300
31
Često se izmjereni podatci daju u grafičkom obliku odnosno kao zavisnosti ( )II f U i
( )PP f U , slike 3.2. i 3.3. Karakteristike otpora i induktiviteta su prikazane na slikama 3.4. i
3.5.
Slika 3.2. Grafički prikaz ( )II f U
Slika 3.3. Grafički prikaz ( )PP f U
32
Slika 3.4. Karakteristika otpora
Slika 3.5. Karakteristika induktiviteta
Neka je mjerna nesigurnost izmjerenih podataka 1% od očitane vrijednosti i neka su izmjereni
podatci međusobno nezavisni (kovarijance su nula). Tada matrica kovarijanci izmjerenih veličina
im dijagonalan oblik:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 20,01x n n ndiag U U U I I I P P P C (3.16)
Na temelju razmatranja iz poglavlja 3.1. mogu se odrediti područja pouzdanosti kojima se
procjenjuje mjerna nesigurnost karakteristika otpora i induktiviteta. Program koji računa
područja pouzdanosti nalazi se na CD-u P.3.2.
33
Slika 3.6. Područja pouzdanosti lomnih točaka karakteristike otpora
Slika 3.7. Područja pouzdanosti lomnih točaka karakteristike induktiviteta
34
Na slikama 3.6. i 3.7. prikazane su karakteristike otpora i induktiviteta s naznačenim područjima
pouzdanosti lomnih točaka. Crvenom elipsom je naznačeno područje čija je pouzdanost 68% ,
dok je zelenom elipsom označeno područje čija je pouzdanost 95% . Lomne točka nalaze se u
središtu pripadnog područja pouzdanosti (elipse). Iz nagiba područja pouzdanosti može se dobiti
informacija o zavisnosti koordinata lomnih točaka. Tako se, na primjer, za posljednju točku na
karakteristici otpora (isto vrijedi i za posljednju točku na karakteristici induktiviteta) može
zaključiti kako u slučaju povećanja napona (toka) dolazi do smanjenja struje, vrijedi i obratno.
Ako se usporede područja pouzdanosti npr. na karakteristici otpora za točke koje se nalaze prije i
poslije „koljena“ uočava se značajno povećanje nesigurnosti točaka poslije „koljena“. Iako slike
pružaju kvalitativan opis mjerne nesigurnosti, kvantitativni podatci se nalaze u matrici
kovarijanci izlaznih veličina yC .
Slika 3.8. Usporedba područja pouzdanosti posljednje točke karakteristike otpora
Na slikama 3.8. i 3.9. napravljena je usporedba područja pouzdanosti (68%) za različite mjerne
nesigurnosti izmjerenih podataka (napona, struje i snage). Žutom bojom označeno je područje
pouzdanosti za koje je mjerna nesigurnost izmjerenog napona 1% od očitane vrijednosti, dok je
mjerna nesigurnost preostalih podataka 0,5% od očitane vrijednosti. Slično vrijedi i za preostala
dva područja pouzdanosti. Na slikama 3.8. i 3.9. prikazana je samo posljednja točka pripadne
karakteristike zbog preglednosti. Može se primijetiti kako mjerna nesigurnost izmjerenog napona
ima najveći utjecaj na nesigurnost obje karakteristike.
35
Slika 3.9. Usporedba područja pouzdanosti posljednje točke karakteristike induktiviteta
36
4. ZAKLJUČAK
U uvodnom poglavlju opisan je postupak procjene širenja mjernih nesigurnosti kroz matematički
model. Postupak se temelji na pretpostavkama da se mjerne nesigurnosti mogu opisati
normalnom razdiobom i na pretpostavci da je linearizirani matematički model dovoljno točan za
izračun mjerne nesigurnost. Bitno je naglasiti kako postoji postupak (Monte Carlo simulacija)
koji uvažava mjerne nesigurnosti s gustoćama vjerojatnosti različitim od normalne, isto tako za
konačni rezultat daje razdiobe koje ne moraju biti normalne.
U drugom poglavlju je detaljno opisan matematički model, prema Dommelovoj metodi, kojim je
modelirana karakteristika nelinearne zavojnice. Prednosti ovakvog načina modeliranja su
relativno jednostavna mjerenja (efektivne vrijednosti napona i struje te djelatne snage). Više o
nedostatcima ovakvog modeliranja u [19]. Postoje i drugačije metode modeliranja karakteristika,
npr. s pomoću polinoma i/ili trigonometrijskih funkcija, tada se govori o estimaciji parametara
modela (npr. koeficijenata polinoma).
U trećem poglavlju primijenjen je postupak širenja mjerne nesigurnosti opisan u prvom
poglavlju na karakteristike izvedene u drugom poglavlju. Na kraju trećeg poglavlja prikazan je
konkretan primjer dobiven na temelju mjerenja. Napravljena je usporedba utjecaja nesigurnosti
mjerenih veličina na nesigurnosti karakteristika otpora i induktiviteta prema kojoj se vidi kako
mjerna nesigurnost napona ima najveći utjecaj.
37
Literatura
[1] T. Stensland, E.F. Fuchs, W.M. Grady, M.T. Doyle: ''Modeling of Magnetizing and Dore-
Loss Currents in Single-Phase Transformers with Voltage Harmonics for Use in Power
Flow'', IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 12, no. 2, pp. 768-784, April 1997.
[2] J.A. Martinez-Velasco, B.A. Mork: ''Transformer Modeling for Low Frequency Transients -
The State of the Art,'' Proceedings of the 2003 IPST International Conference on Power
Systems Transients, New Orleans, June 2003.
[3] W.L.A. Neves, H.W. Dommel: ''On Modelling Iron Core Nonlinearities'', IEEE
Transactions on Power Systems, vol. 8, no. 2, pp. 417-425, May 1993.
[4] E. J. Tarasiewicz, A. S. Morched, A. Narang, E. P. Dick: ''Frequency Dependent Eddy
Current Models for Nonlinear Iron Cores'', IEEE Transactions on Power Systems, vol. 8,
no. 2, pp. 588-597, May 1993.
[5] K.H. Carpenter: ''Simple Models for Dynamic Hysteresis Which Add Frequency-Dependent
Losses to Static Models'', IEEE Transactions on Magnetics, vol. 34, no. 3, pp. 619-622, May
1998.
[6] W. Chandrasena, P.G. McLaren, U.D. Annakkage, R.P. Jayasinghe, D. Muthumuni, E.
Dirks: ''Simulation of Hysteresis and Eddy Current Effects in a Power Transformer'',
Proceedings of the 2003 IPST International Conference on Power Systems Transients, New
Orleans, June 2003.
[7] N.A. Janssens: ''Magnetic Cores Modeling for Ferroresonance Computations using the
Harmonic Balance Method'', IEEE Power Engineering Society General Meeting, vol. 3, pp.
1644-1649, July 2003.
[8] E.F. Fuchs, R. Fei: ''A new Computer-Aided Method for the Efficiency Measurement of Low-
Loss Transformers and Inductors under Nonsinusoidal Operation'', IEEE Transactions on
Power Delivery, vol. 11, no. 1, pp. 292-304, January 1996.
[9] J. Kral, R. Smid, H. M. Geirinhas Ramos, and A. Lopes Ribeiro: “The Lift-Off Effect in
Eddy Currents on Thickness Modeling and Measurement“, IEEE Transactions on
Instrumentation and Measurement, vol. 62, no. 7, pp. 2043-2049, July 2013
[10] JCGM 100:2008, “Evaluation of measurement data—Guide to the expression of uncertainty in
measurement,” (GUM, originally published in 1993), Joint Committee for Guides in Metrology,
2008. [Online]. Dostupno na: http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html
[11] R.Siegwart, K.A.Arras, „An introduction to error propagation“, Swiss federal institute of
tecnology Lausanne, 1998.
[12] A.M. Breipohl, „Probabilistic systems analysis: An introduction to probabilistic models,
decisions and applications of random processes“, John Wiley & Sons, 1970.
[13]M.G.Cox, P.M.Harris,“Software support for metrology best practice guide no. 6“, 2006
38
[14] Bilješke s predavanja Advanced multivariated statistical metods, „Multivariate normal
distribution“.
http://jonathantemplin.com/files/multivariate/mv11icpsr/mv11icpsr_lecture04.pdf
[15] Bilješke s predavanja, „Multivariated normal distribution“
http://www.public.iastate.edu/~maitra/stat501/lectures/MultivariateNormalDistribution-I.pdf
[16] Z.Godec, D.Dorić, „Osnove mjerenja“,priručnik za laboratorijske vježbe, 2007.
[17]W.L.A. Neves, H.W. Dommel: ''On Modelling Iron Core Nonlinearities'', IEEE Transactions
on Power Systems, vol. 8, no. 2, pp. 417-425, May 1993.
[18] I. Flegar, „Teorija mreža – Bilješke s predavanja“, Elektrotehnički fakultet Osijek, 2001.
[19] K. Milicevic, I. Lukacevic, I. Flegar, "Modeling of Nonlinear Coil in a Ferroresonant
Circuit," Electrical engineering (Archiv fur Elektrotechnik), Vol. 91; pp. 51-59, 2009
39
Sažetak
Nelinearna zavojnica modelira se otporom i induktivitetom čije su karakteristike linearne po
odsječcima. Parametri karakteristika se određuju na temelju mjerenja napona, struje i snage.
Kako sva mjerenja posjeduje mjernu nesigurnost promatra se njihov utjecaj na parametre
karakteristika otpora i induktiviteta. Procjena mjerne nesigurnosti parametara karakteristika
temelji se na pretpostavkama da se mjerne pogreške izmjerenih veličina mogu opisati
normalnom razdiobom i da se može primijeniti linearizirani matematički model. Na temelju
provedene analize uočeno je kako dolazi do znatnog povećanja mjerne nesigurnosti
karakteristika s porastom napona. Najveći doprinos mjernoj nesigurnosti karakteristika dolazi od
mjerne nesigurnosti izmjerenog napona.
Ključne riječi: širenje pogrešaka, procjena mjerne nesigurnosti, modeliranje nelinearne
zavojnice, područja pouzdanosti
Measurement uncertainty of the instantaneous characteristics
of nonlinear coil
Abstract
Nonlinear coil model is defined by piecewise characteristics of resistance and inductance. The
characteristics of coil are obtained by measurements: RMS coil voltage, RMS coil current and
coil losses. Since every measurement has uncertainties, it is investigated how measurement
uncertainties reflect on coil characteristics. Estimation of coil characteristics uncertainties is
based on following assumptions: all measurement errors have normal distribution and linearized
model is sufficiently accurate approximation of nonlinear coil model. Results show that
uncertainty of coil characteristics is growing for higher amplitudes of voltage. Highest
contribution to coil characteristics uncertainty has uncertainty of measured RMS voltage.
Key words: error propagation, uncertainty estimation, nonlinear coil model, confidence regions
40
Životopis
Ivan Biondić rođen je 7.1.1991. u Našicama. Živi u Čačincima gdje je završio osnovnu školu
„Antun Gustav Matoš“. Zatim upisuje S.Š. Marka Marulića u Slatini, smjer Elektrotehnika. Sve
je razrede završio s odličnim uspjehom, te sudjelovao na natjecanjima. Zbog ostvarenih rezultata
na natjecanjima (1. mjesto na državnom natjecanju iz matematike) ima izravni upis na
Elektrotehnički fakultet u Osijeku. Odabire smjer elektroenergetiku. Preddiplomski studij je
završio s odličnim uspjehom i upisao diplomski studij smjer elektroenergetika.
______________________
(potpis)
41
Prilog
Izračun preostalih elemenata matrice ˆRI U
J .
1 11
ˆˆ2 2
R kRk k k kk k k
j j j j j
II G U UU U G
U U U U U
1ˆR k
j
I
U
- poznato iz prethodnih iteracija
1,
0,
kjk
j
j kU
inačeU
1
, , 1 , ,1 11
, 1 ,
1
, , 1 , ,1 11
, 1 ,
ˆ ˆ2 2 24
2 2
ˆ ˆ2 2 24
2 2
kk
k k z k z k z z k z kR k R zzk k
j j k k k k k k
kk
k k z k z k z z k z kR k R zzj k j j
k k k k k k
TPI B G U A U B I B
G U
U U U A U B
TPI B G U A U B I B
U U U U
U A U B
1
, , 1 , ,1 11
, 1 ,2
, 1 ,
ˆ ˆ2 2 24
2
kk
k k z k z k z z k z kR k R zzk
k k k k k k
j jk k k k k k
TPI B G U A U B I B
UU A U B
U UU A U B
Nastavak na sljedećoj stranici.
42
1
, , 1 , ,1 121
, 1 ,
1
, , 1 , ,1 1,1
,2
, 1 ,
ˆ ˆ2 2 24
2
ˆ ˆ2 2 24
2
kk k
k k z k z k z z k z kR k R zzk j j j j
k k k k k k
kk
k k z k z k z z k z kR k R zk kzk k
k k k
j jk k k k k k
TP UI B G U A U B I B
U U U U U
U A U B
TPI B G U A U B I B
AU UA U
U UU A U B
,1, 1
11 1, ,
, , 1 , , 1 , ,1 121
ˆ ˆˆ ˆ2 2 2
4
2
k kkk k k
j j
kR k R zk k z kk k z
k k k z k z z k z k z k z z k z kR k R zzk j j j j j j j
k k
BUB U
U U
I IB BTP U GB I U A U B G U A U B B I
U U U U U U U U
U A
, 1 ,
1
, , 1 , ,1 1, ,1 1
, , 12
, 1 ,
1 ,
, 12
ˆ ˆ2 2 24
2
ˆˆ2 2
4
k k k k
kk
k k z k z k z z k z kR k R zk k k kzk k k
k k k k k k
j j j jk k k k k k
R k k kk kk k R k
k j j j
U B
TPI B G U A U B I B
A BU U UA U B U
U U U UU A U B
I BTP UB I
U U U U
11 ,
, 1 , , 1 , , 11
, 1 ,
1
, , 1 , ,1 11
,
ˆˆ2
2
ˆ ˆ2 2 24
2
kR z z kz
k z k z z k z k z k z z k z k R zz j j j j j
k k k k k k
kk
k k z k z k z z k z kR k R zzk
k k
I BGU A U B G U A U B B I
U U U U U
U A U B
TPI B G U A U B I B
U
U A
, ,1
, , 12
1 ,
k k k kk kk k k k k k
j j j jk k k k
A BU UA U B U
U U U UU B
Nastavak na sljedećoj stranici.
43
11 1, , , ,1
, , 1 , , , 1 ,1 121
ˆ ˆˆ ˆ2 2 2
4
2
kR k R zk k z k z k z kk k kz z
k k k z k z z k z z k k z k z z kR k R zzk j j j j j j j j j j
k
I IB A B BTP U UG UB I U A U B G A U B U B I
U U U U U U U U U U U
U
, 1 ,
1
, , 1 , ,1 1, ,1 1
, , 12
, 1 ,
ˆ ˆ2 2 24
2
k k k k k
kk
k k z k z k z z k z kR k R zk k k kzk k k
k k k k k k
j j j jk k k k k k
A U B
TPI B G U A U B I B
A BU U UA U B U
U U U UU A U B
Izvod ,z k
j
A
U
ako je z k
, 1 1
1 1
1 1 1arcsin sin 2arcsin arcsin sin 2arcsin
2 2 2
1 1 1arcsin sin 2arcsin arcsin sin 2arcsin
2 2 2
z k z z z z
j j k k k k
z z z z
j k j k j k j k
A U U U U
U U U U U U
U U U U
U U U U U U U U
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2 2 2
1
1 1 1 1
1cos 2arcsin cos 2arcsin
21 1 1
k k kz z z z z z z z
k j k j k j k j k j k j k j kz z
k kz z z
k k k
U U U UU U U U U U U U
U U U U U U U U U U U U U U UU U
U UU U U
U U U
2
11
k
j
z
k
U
U
U
Nastavak na sljedećoj stranici.
44
1 1
2 2
1
2 2
1
2
2
1 1
11 cos 2arcsin 1 cos 2arcsin
21 1
1
1
1
k kz z z z
k j k j k j k jz z
k kz z
k k
kz z
k j k j z
kz
k
U UU U U U
U U U U U U U UU U
U UU U
U U
UU U
U U U U U
UU
U
2 3 2 31 1 12 2 1 12
1
32 2 2 2 2
11
1
1
1
k k kz z z zz k z z k z
k j k j j j j jz
k k k z k zz
k
U U UU U U UU U U U U U
U U U U U U U UU
U U U U U UU
U
Izvod ,z k
j
A
U
ako je z k
, 1 1 1 1
1 1
2
1
2
1
1 1 1 1arcsin sin 2arcsin arcsin sin 2arcsin
2 2 2 2 2
1
1cos 2arcsin
21
k k k k k k
j j k k j k j k
k k k
k j k j k
kk
k
A U U U U
U U U U U U U U
U U U
U U U U U
UU
U
1 1 1 1
2 2
1
2 2
1 1
1 1
2
2
1
1 1
11 cos 2arcsin
21 1
1
1
1
k k k k k k
k j k j k j k j k
kk k
k k
k k k
k j k j k
k
k
U U U U U U
U U U U U U U U U
UU U
U U
U U U
U U U U U
U
U
32 2 31 1 1
2 1 1 1
1
2 2 2 3 2 2
1 1
1
k k k k kk k k k
j k j j j
k k k k k k k
U U U U UU U U U
U U U U U
U U U U U U U
45
Izvod ,z k
j
B
U
ako je z k
, 1 1
2
2
1 1cos arcsin cos arcsin cos arcsin cos arcsin
1
1sin arcsin
1
z k z z z z
j j k k j k j k
kz z
k j k jz
kz
k
B U U U U
U U U U U U U U
UU U
U U U UU
UU
U
1 1
2
1
2
1
1 1
2 2
1
22 2
1
1
sin arcsin
1
1 1
1 1
1 1
kz z
k j k jz
kz
k
k kz z z z zz k
k j k j k j k j jz z
k k kz z
k k
UU U
U U U UU
UU
U
U UU U U U UU U U
U U U U U U U U UU U
U U UU U
U U
2 211 1
2 2 2 2
1
k kzz z k z
j j j
k z k z
U UUU U U
U U U
U U U U
Izvod ,z k
j
B
U
ako je z k
21 1 11 12
, 1 1
2 2 2 2
11
1
1 1cos arcsin sin arcsin
1
k k k k kk k k
k j k j j jk k k k
j j k k k k kk
k
U U U U UU U U
U U U U U UB U U
U U U U U U UU
U
46
Izračun preostalih elemenata matrice ˆRI P
J .
1
1
ˆˆ2
R kRk kk k
j j j
II GU U
P P P
1ˆR k
j
I
P
- poznato iz prethodnih iteracija
1
1 1
, , 1 , ,
1
, 1 ,
ˆ ˆ2 2 2
4
2 2
kR k R zk z
k k k z k z z k z k
zk j j j jk
j k k k k k k
I IP GTB U A U B B
U P P P PG
P U A U B
kjk
j
P
P
z
j
G
P
- poznato iz prethodnih iteracija
47
Izračun preostalih elemenata matrice ˆLI U
J .
1 11
1 1
ˆ ˆˆ2 2
L k L kLk k k kk k k k k k
j j j j j j j
I II y U Uy U U U U y
U U U U U U U
1ˆL k
j
I
U
- poznato iz prethodne iteracije
kjk
j
U
U
2 2
2
2
2 22 2
2
2
2 4 4 24
2 4
14 42 4 2 4
2 4
4
k k k k k k k k k k
j jk k k kk
j j k k
k kk kk k k k k k k kk k k k k k k k
j jj j j k k k
k
a b b a c b b a c aU Ub b a cy
U U a a
b ab aa b a c b b a ca b a c b b a c
U UU U U b a c
a
2
2
2
2
2
2
2
2
12 4 4 4
2 4
2
12 2 4
4
2
j
k
k k k k kk k k k k k k k
j j j j jk k k
k
k k k k kk k k k k k k k
j j j j jk k k
k
U
a
b b c a aa b a c b b a c
U U U U Ub a c
a
b b c a aa b a c b b a c
U U U U Ub a c
a
48
2 2
, 1 , 1 ,
, , ,2 21 1, 1 , , 1 1 , 1
2 2
2 2 2 2
kk k k k k k k k k k
j j
k k k k k kk k k kk k k k k k k k k k k k k k k k
j j j j j j j
aU C U U D U F
U U
C D FU U U UU C U U D U D U U U F U
U U U U U U U
1
, 1 , , 1 , , 1 ,1 1
1
, 1 , , 1 ,1
, 1 ,
ˆˆ ˆ2 2 2 2
ˆˆ2 2
ˆ
2 2
L kkk k k k k k k k k k k k k k k k k kL k L k
j j j j
L k
k k k k k k k k k k k kL k
j j j
L k
k k k k k k
IbI U D U F U D U F I U D U F
U U U U
IU D U F I U D U F
U U U
IU D U F
1 , ,1, , 11
ˆ k k k kk kk k k k k kL k
j j j j j
D FU UI D U F U
U U U U U
12 22 2 2
, , 1 , 1 1 ,1 1 1 11
22 11 ,2 2
, , ,1 11
ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 24
ˆˆ ˆ 2
4 4
kk
k k Lk k z z k k z z z z k z z z z z kL k L z L z L zzj j
kL k k kLk
k k z k k k LkL k L kzj j j j j
c TI F I U y C U y U y I D U y U y I I F
U U
I FIT TI F S F I I
U U U U U
1
,
1
11 ,2
, ,1 11
ˆˆ ˆ2
2
kLk
z k
zj j
kL k k k Lk
k k Lk z kL k L kzj j j j
IS
U U
I F ITF I I I S
U U U U
49
1 12 2 2
, , 1 , 1 1 ,1 1 11 1
2 2 2
, 1 , 1 1 ,1 1 1
ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
k k
z k k z z k k z z z z k z z z z z kL z L z L zz zj j
k z z k k z z z z k z z z i z kL z L z L z
j j j
S U y C U y U y I D U y U y I I FU U
U y C U y U y I D U y U y I I FU U U
1
1
12 2 , ,
, 1 , , 1 11 1 11
2 2
, 1 1 1
ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ2 2 2
k
z
kz k z k
z k k z k z z z z k k z k z z k z i k z z zL z L z L zz j j j j j
z k z z z z L z L z
j
C DC U y U y U y I D U y U y D U y I U y U y I
U U U U U
F U y U y I IU
2 ,2
1 11 1 1
2 1, ,
, 1 , , 1 11 1
ˆ ˆ2 2 2
ˆˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
z k
z z z z L z L z
j
L zz k z k
k z z k k z k z z z z k k z k z z k z z k z z zL z L z
j j j j j j
FU y U y I I
U
IC DU y C U y U y U y I D U y U y D U y U y U y I
U U U U U U
1
1
2
2 21 ,2
, 1 1 1 11 1 1
2 ,
, 1 ,1
ˆˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2
ˆ2 2 2 2 2
k
z
L z z k
z k z z z z z z z zL z L z L z
j j j j
z kk kzk z z k z k k z z z z k zL z
j j j
I FF U y U y I U y U y I I
U U U U
CU UyU y C y U U y U y I D y
U U U
111
, 1
1
, 1 11 , 1 1 11 1 1
ˆ
2
ˆ ˆ ˆ2 2 2 2
kL zz z z
k k z z k z z
z j j j j j
z k z z z zk z z z z k z z z z z zL z L z L z
j j j j
Iy U yU U y D y U
U U U U U
D U y U yU y U y I F U y y U y I U I
U U U U U
1 1
1 1
2 ,2
1 1 1 1
ˆ ˆˆ
ˆ ˆ2 2 2
L z L z
z z L z
j j j
z k
z z z z L z L z
j
I IU y I
U U
FU y U y I I
U
50
Izvod ,z k
j
C
U
ako je z k
, 1 1
1 1
1 1 1arccos sin 2arccos arccos sin 2arccos
2 2 2
1 1 1arccos sin 2arccos arccos sin 2arccos
2 2 2
z k z z z z
j j k k k k
z z z z
j k j k j k j k
C U U U U
U U U U U U
U U U U
U U U U U U U U
1 1 1 1
2 2 2
1
2 2 2
1 1
1 1 1 1
1cos 2arccos cos 2arccos
21 1 1
k k kz z z z z z z z
k j k j k j k j k j k j k j kz z
k kz z z
k k k
U U UU U U U U U U U
U U U U U U U U U U U U U U UU U
U UU U U
U U U
2
2
1 1
2 2
1
2 2
1
1
1 1
11 cos 2arccos 1 cos 2arccos
21 1
1
k
j
z
k
k kz z z z
k j k j k j k jz z
k kz z
k k
U
U
U
U
U UU U U U
U U U U U U U UU U
U UU U
U U
2 3 2 31 1 12 2 1 12 2
1
32 2 2 2 2 2
11
1 1
1
1 1
k k k kz z z z z zz k z z k z
k j k j k j k j j j j jz z
k k k k z k zz z
k k
U U U UU U U U U UU U U U U U
U U U U U U U U U U U UU U
U U U U U U UU U
U U
51
Izvod ,z k
j
C
U
ako je z k
, 1 1 1 1
1 1
2
1
2
1
1 1 1 1arccos sin 2arccos arccos sin 2arccos
2 2 2 2
1 1
1cos 2arccos
21
k k k k k k
j j k k j k j k
k k k
k j k j k
kk
k
C U U U U
U U U U U U U U
U U U
U U U U U
UU
U
1 1 1 1
2 2
1
2 2
1 1
21 12 12
1
2
1
1
11 cos 2arccos
21 1
1
1
1
k k k k k k
k j k j k j k j k
kk k
k k
k k k kk k
k j k j k
kk
k
U U U U U U
U U U U U U U U U
UU U
U U
U U U UU U
U U U U U
UU
U
311
3 2 2
1
kk
j j
k k k
UU
U U
U U U
Izvod ,z k
j
D
U
ako je z k
, 1 1
1 1
2
1
2
1
1 1sin arccos sin arccos sin arccos sin arccos
1
1cos arccos cos arccos
1
z k z z z z
j j k k j k j k
kz z
k j k jz z
kz
k
D U U U U
U U U U U U U U
UU U
U U U UU U
UU
U
2 211 12
22 2 2 2 2
1
1
1
1
k k kz z z zz k z z k z
k j k j j j j j
k k k z k zz
k
U U UU U U UU U U U U U
U U U U U U U U
U U U U U UU
U
52
Izvod ,z k
j
D
U
ako je z k
21 1 1 1 11 12 2
, 1 1 1
2 2 2 2 2
11 1
1 1
1 1 1sin arccos cos arccos
1 1
k k k k k k k kk k k
k j k j k j k j j jk k k k k
j j k k k k k kk k
k k
U U U U U U U UU U U
U U U U U U U U U UD U U U
U U U U U U U UU U
U U
Izvod ,z k
j
E
U
ako je z k
1 1
2 2
, 1 1
2 2
1
1 1
1 1 1 1arcsin arcsin arcsin arcsin
1 1
k k kz z z z zk z
k j k j k j k j jz k z z z z
j j k k j k j k kz z
k k
U U UU U U U UU U
U U U U U U U U UE U U U U
U U U U U U U U UU U
U U
11
2 2 2 2
1
kzk z
j j j
k z k z
UUU U
U U U
U U U U
Izvod ,z k
j
E
U
ako je z k
1 1 112
, 1 1
2 2 2
11
1
1 1 1arcsin arcsin
21
k k k k kk k
k j k j j jk k k k
j j k j k k k kk
k
U U U U UU U
U U U U U UE U U
U U U U U U U UU
U
53
Izvod ,z k
j
F
U
ako je z k
1 1 112 2
, 1
2 2 2 2 2 2
11
1 1
1 1 1arccos arccos
1 1
k k k kz z z z z zk i k z
k j k j k j k j j j j jz k z z
j j k k k k z k zz z
k k
U U U UU U U U U UU U U U
U U U U U U U U U U U UF U U
U U U U U U U U UU U
U U
Izvod ,z k
j
F
U
ako je z k
1 1 112
, 1
2 2 2
11
1
1 1arccos
1
k k k k kk k
k j k j j jk k k
j j k k k kk
k
U U U U UU U
U U U U U UF U
U U U U U UU
U
2
22 2
2 2
1
22
Rk
jLk Rkk Rk
j j Lk jk Rk
I
UI II I
U U I UI I
22 2 2 2 2
, 1 , 1 1 ,1 1 11
2 2 2 2 2
, 1 , 1 1 ,1 1 1
4 ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
4 ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
kRk
z k z k z k z z z k z z z z z kR z R z R zzj j
z k z k z k z z z k z z z z z kR z R z R z
j j j
IG U A G U G U I B G U G U I I E
U T U
G U A G U G U I B G U G U I I ET U U U
1
k
z
Nastavak na slijedećoj stranici.
54
22,2 2 2 2
, ,
,
1 , 1 , , 1 11 1 1 1
2 2
, 1
2
4 ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2
2 2 2
z kkzk z k z z k z k
j j j
z kkzk z z z k z z z z k z k z k z z z k z zR z R z R z R z
j j j j
z k z z z z
j
AUGU A G A G U
U U U
BUGU G U I B G G U I B G U B G U I G U G U I
T U U U U
E G U G UU
1
,2 2 2 2
1 1 11 1 1 1
,2 2 2 2
, ,
1 , 1 ,1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2
2 2 2
4 ˆ ˆ2 2 2 2
k
z
z k
z z z zR z R z R z R z
j
z kkzk z k z z z k k z k
j j j
kzk z z z k z z z z kR z R z
j j
EI I G U G U I I
U
AUGU A G G A U G U
U U U
UGU G U I B G G U I B
T U U
1 ,
, 1 1 11
2
1 ,2 2 2 2 2
, 1 1 1 11 1 1
ˆˆ2 2
ˆˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2
R z z k
z k z k z z z k z z R zz j j j
R z z k
z k z z z z z z z zR z R z R z
j j j j
I BG U B G U G U G U I
U U U
I EE G U G U I G U G U I I
U U U U
,2 2 2 2
, ,
1 ,11 , 1 , , 1 11 1 1
2 2 2
ˆ4 ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2
k
z kkzk z k z z z k k z k
j j j
R z z kkz z zk z z z k z z z z k z k z k z z z k z zR z R z R z
j j j j j
AUGU A G G A U G U
U U U
I BUG G UU G U I B G G U I B G U B U G G U G U I
T U U U U U
1
1 1 ,2 2 21, 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 2 2 2 2 2 2
k
z j
R z R z z kz zz k z z z z z z z z z z z zR z R z R z R z R z
j j j j j j
U
I I EU GE G U G U G U G I U I I G U G U I I
U U U U U U
Nastavak na slijedećoj stranici.
55
,2 2 2 2
, ,
1 ,11 , 1 , , 1 11 1 1
2 2 2
ˆ4 ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2
z kkzk z k z z z k k z k
j j j
R z z kkz z zk z z z k z z z z k z k z k z z z k z zR z R z R z
j j j j j
AUGU A G G A U G U
U U U
I BUG G UU G U I B G G U I B G U B U G G U G U I
T U U U U U U
1 1 ,2 2 21 1, 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2
j
R z R z z kz z z zz k z z z z z z z z z z z zR z R z R z R z R z
j j j j j j j
I I EG U U GE G U U G G U G I U I I G U G U I I
U U U U U U U
1
k
z
56
Izračun preostalih elemenata matrice ˆLI I
J .
1
1
ˆˆ2
L kLk kk k
j j j
II yU U
I I I
1ˆL k
j
I
I
- poznato iz prethodnih iteracija
22
2
2 2
44 2 4 24 1 1
2 2 2 2 22 4 4
k k k k kk k kk k k k k k k k
j jj j j j jk k k kk k k
j j k k k k j k jk k k k k k
b b c b cb a cb b a c b a b a
I II I I I Ib b a cy b b
I I a a a a I a Ib a c b a c
0k
j
a
I
1, 1 ,
ˆ
2 2L kk
k k k k k k
j j
IbU D U F
I I
22 1
2 21 21 1 1, , , ,1 1 1
1
ˆˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
4
kL kk Lk
z z z z zz z zk k k z k k z k z kL z L z L zzj j j j
Ic ITF U y C U y U y I D U y U y I I F
I I I I
Nastavak na sljedećoj stranici.
57
22
1, , 111
, 121 2
1 1, 1 1
2,
1
, 1
ˆ2 2 2 2ˆˆ2
2 ˆ ˆ2 2 2
4ˆ
ˆ22
zz zzk z k z k k L zk
L k j jLkk k LkL k
zj jz zz zz k L z L z
j
zk z k
L k Lkk k LkL k
j j
yU C D U y U y I
I I IITF I I
I IF U y U y I I
I
U C yI IT
F I II I
1 1, 1 11
221 12
1 1, 1
2,
1
, 1
ˆ ˆ2 2 2 2
ˆˆ2 2 2
4ˆ
ˆ22
z zz z zz zz k k L z L z
j j jk
z L zzzz zz k L z
j j j
zzk z k
jL k Lk
k k LkL kj j
y yD U U y I y U y I
I I I
IyF U U y I
I I I
yU C y
II ITF I I
I I
1
1 1, 1
1
11 12
1 1, 1 1
ˆˆ2 2 2 2
ˆ ˆˆ ˆ2 2 2
L zz zz zz zz k k L z
j j jk
zL z L zz z
z zz zz k L z L zj j j j
Iy yD U U y I y U
I I I
I Iy yF y U U I y I
I I I I
z
j
y
I
- poznato iz prethodnih iteracija
2
2 2
2 2 2 22
k kk
j jLk k kk Rk
j j Lk jk Rk k Rk
I II
I II I II I
I I I II I I I
0Rk
j
I
I
u-i karakteristika ne ovisi o izmjerenoj struji (ovisi samo o naponu i snazi)
kjk
j
I
I
58
Izračun preostalih elemenata matrice ˆLI P
J .
1
1
ˆˆ2
L kLk kk k
j j j
II yU U
P P P
1ˆL k
j
I
P
- poznato iz prethodnih iteracija
22
2
2 2
44 2 4 24 1 1
2 2 2 2 22 4 4
k k k k kk k kk k k k k k k k
j jj j j j jk k k kk k k
j j k k k k j k jk k k k k k
b b c b cb a cb b a c b a b a
P PP P P P Pb b a cy b b
P P a a a a P a Pb a c b a c
0k
j
a
P
1, 1 ,
ˆ
2 2L kk
k k k k k k
j j
IbU D U F
P P
59
22 1
2 21 21 1 1, , , ,1 1 1
1
22
1, ,1
, 1
ˆˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
4
ˆ2 2 2 2ˆˆ2
2
kL kk Lk
z z z z zz z zk k k z k k z k z kL z L z L zzj j j j
zz zzk z k z k k L
L k j jLkk k LkL k
j j
Ic ITF U y C U y U y I D U y U y I I F
P P P P
yU C D U y U y I
I P PITF I I
P P
11
21 21 1, 1 1
21 1, , 1 1
1
, 1
21,
ˆ ˆ2 2 2
ˆ ˆ4 2 2 2 2ˆ
ˆ22
2
zk
zz zz zz k L z L z
j
z zz z z zz zk z k z k k L z L z
j j jL k Lk
k k LkL kj j
zz k
F U y U y I IP
y yU C y D U U y I y U y I
P P PI ITF I I
P P yF U
1
221 1
1 1
121 1, , 1
1
, 1
,
ˆˆ2 2
ˆˆ4 2 2 2 2
ˆˆ2
2
2
k
z L zzzz L z
j j j
L zz z zz z zz zk z k z k k L z
j j j jL k Lk
k k LkL kj j
z k
IU y I
P P P
Iy y yU C y D U U y I y U
P P P PI ITF I I
P P
F
1
11 12
1 1 1 1
ˆ ˆˆ ˆ2 2
k
zL z L zz z
z zz z L z L zj j j j
I Iy yy U U I y I
P P P P
z
j
y
P
- poznato iz prethodnih iteracija
2
22 2
2 2
1
22
Rk
jLk Rkk Rk
j j Lk jk Rk
I
PI II I
P P I PI I
60
22 2 2 2 2
, 1 , 1 1 ,1 1 11
22 2 2 2
, , 1 , 1 11 1 1
4 ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
4 ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 2
kRk
z k z k z k z z z k z z z z z kR z R z R zzj j
zk z k k z k z z z z k z z z zR z R z R z
z j j j
IG U A G U G U I B G U G U I I E
P T P
GU A U B G G U I E G U G U I I
T P P P
1
2
, , 1 11 1
221 12
, 1 1 1
2
, , 1
ˆ ˆ4 2 2 2 2
4
ˆˆ2 2 2
4 2 2 2
4
k
z zk z k z k z k z z z z zR z R z
k j j j
z R zzz k z z z R z
j j j
z zk z k z k z k z z
j
G GU A G U B G G U I G U I
P P P
T IGE U U G I
P P P
G GU A G U B G U
P P
T
1
1 1
11 12
, 1 1 1 1
ˆˆ2
ˆ ˆˆ ˆ2 2 2
R z zz z R z
k j j j
zR z R zz z
z k z z z zR z R z
j j j j
I GG U I
P P
I IG GE U G U I G I
P P P P
