Misteriosul număr Pi
description
Transcript of Misteriosul număr Pi
Matematicienii notează raportul dintre circumferinta unui cerc si diametrul sau prin litera
greceasca PI care reprezinta initiala cuvintelor din aceeasi limba “perimetros” (perimetru) si
“periferia” (periferie) , folosite de Arhimede in lucrarea sa despre cerc. Dar nu intotdeauna
matematicienii au intrebuintat litera PI pentru a reprezenta raportul dintre circumferinta si diametrul
cercului. El a fost introdus abia in secolul al XVIII-lea, si atunci nu de catre toti matematicienii ,care
pentru a marca acest raport foloseau litera “p” . Litera greceasca PI a fost folosita in geometrie
pentru prima data de Isaac Barrow (1630-1677) in lucrarea “Lectii tinute in scoala publica a Academiei
din Cambridge” de W. Oughtred in “Matematica recreativa”, pentru a nota insa lungimea cercului.
Abia spre sfarsitul secolului al XVII-lea, cand rapoartele au fost assimilate cu numerele, a
inceput sa fie folosit PI in sensul de astazi.
Cel dintii mathematician care l-a folosit pe PI pentru a-l nota pe 3,14… a fost W. Jones
(1675-1749), in anul 1706, apoi Cristian Goldbach (1690-1764), in anul 1742. Celebrul matematicien
elvetian Leonhard Euler (1707-1783), membru al Academiei de Stiinte din Petersburg, mai intrebuinta
prin 1734 litera “p” pentru a nota raportul dintre lungimea cercului si diametrul sau,apoi cativa ani
mai tarziu litera “c”, pentru ca in lucrarea “Introducere in analiza infinitilor”, publicata in 1748, sa
adopte definitive litera greceasca PI, si, datorita lui, acest simbol a intrat definitive in uzul general al
matematicienilor.
Noi cunoaștem azi drept valoare pentru Pi
numărul 3,141.592.653…, dar , în decursul istoriei ,
valoarea lui nu a fost întotdeauna aceeași , ci a
variat față de acest număr, în funcție de epocă,
zona geografică și popoare. Vechile valori ale lui Pi
au fost calculate empiric, mai mult deduse pe cale
de încercări. Astfel, se lua pur și simplu o sfoară și
se înconjura cu ea un cilindru, după care se
măsurau lungimea ei și diametrul cercului. Ceea ce
ieșea din această împărțire era valoarea lui Pi,
deși în aceea vreme , așa cum am arătat, acest
raport nu se nota cu această literă. Cea mai veche
valoare a raportului dintre circumferința cercului și
diametrul sau a dat-o scribal egiptean Ahmes în
jurul anului 1.800 î. Chr. , în “Manualul lui Ahmes”,
aflat pe papirusul Rhind . Ea este de 3,1604, mai
mare decât valoarea reală cu aproximativ 0,0188,
rezultat care este însă mult mai apropiat de
valoarea sa reală față de rezultatul obținut mai
târziu de Arhimede.
Egiptenii mai obțineau valoarea lui
Pi folosind raportul dintre perimetrul
pătratului de la baza piramidei lui Keops si
dublul înălțimii acestui monument,
rezultatul fiind de 3,1415982. Încă din
antichitate, matematicienii au încercat să
rezolve așa-numita problemă a cvadraturii
cercului, adică să contruiască un patrat
care să aibă aria egală cu a unui cerc dat,
folosind numai compasul și rigla, dar pentru
aceasta le trebuia valoarea exactă a lui Pi.
Prin descifrarea unor tabele scrise pe
tăblițe de lut, descoperite in 1950, de M.
Bruius, la Susa, în Iran, rezultă că, în urmă
cu 2.000 de ani î. Chr. , Babilonienii
calculaseră pentru Pi valoarea de 3,125, cu
0,0166 mai mică decât valoarea reală. La
vechii caldeeni,valoarea lui Pi era egală cu
3, pentru că ei considerau că raza cercului
se poate înscrie de 6 ori pe circumferința
cercului.
Egiptenii mai obțineau valoarea lui
Pi folosind raportul dintre perimetrul
pătratului de la baza piramidei lui Keops si
dublul înălțimii acestui monument,
rezultatul fiind de 3,1415982. Încă din
antichitate, matematicienii au încercat să
rezolve așa-numita problemă a cvadraturii
cercului, adică să contruiască un patrat
care să aibă aria egală cu a unui cerc dat,
folosind numai compasul și rigla, dar pentru
aceasta le trebuia valoarea exactă a lui Pi.
Prin descifrarea unor tabele scrise pe
tăblițe de lut, descoperite in 1950, de M.
Bruius, la Susa, în Iran, rezultă că, în urmă
cu 2.000 de ani î. Chr. , Babilonienii
calculaseră pentru Pi valoarea de 3,125, cu
0,0166 mai mică decât valoarea reală. La
vechii caldeeni,valoarea lui Pi era egală cu
3, pentru că ei considerau că raza cercului
se poate înscrie de 6 ori pe circumferința
cercului.
Evrei, care au avut relații culturale
și politice foarte strânse cu asiro-
caldeenii.Îl considerau pe Pi egal tot cu 3.
În “Biblie” se relatează că în templul lui
Solomon,ridicat în secolul al XI-lea î. Chr,
era un mare bazin de aramă, “de formă
rotundă,având zece coți de la o margine la
alta și o linie de 30 de coți îi masura
circumferinta”. Din descrierea acestui bazi,
făcut de arhitectul Hiram de Tyr, la cererea
lui Solomon, rezultă că Pi era egal cu 3,așa
cum rezultă și din “Talmud”, o culegere de
tradiții rabinice posterioare “Bibliei”, în 3
care se afirmă că “ceea ce are un înconjur
de trei palme e lat de o palmă”. Aceeași
valoare de3 o dă și chinezul Ceu-pei în
lucrarea sa “Cartea Sfântă a
socotitului”,apărută în secolul III î.Chr.
Evrei, care au avut relații culturale
și politice foarte strânse cu asiro-
caldeenii.Îl considerau pe Pi egal tot cu 3.
În “Biblie” se relatează că în templul lui
Solomon,ridicat în secolul al XI-lea î. Chr,
era un mare bazin de aramă, “de formă
rotundă,având zece coți de la o margine la
alta și o linie de 30 de coți îi masura
circumferinta”. Din descrierea acestui bazi,
făcut de arhitectul Hiram de Tyr, la cererea
lui Solomon, rezultă că Pi era egal cu 3,așa
cum rezultă și din “Talmud”, o culegere de
tradiții rabinice posterioare “Bibliei”, în 3
care se afirmă că “ceea ce are un înconjur
de trei palme e lat de o palmă”. Aceeași
valoare de3 o dă și chinezul Ceu-pei în
lucrarea sa “Cartea Sfântă a
socotitului”,apărută în secolul III î.Chr.
Prin secolele VIII-VII î. Chr. , geometrii greci
aveau doua idei fundamentale în legătură cu
cvadratura cercului: prima – că cercul se poate asimila
cu un poligon regulat cu un număr înfinit de laturi și,
a doua – că aria cercului este cuprinsă între cea a unui
poligon regulat înscris și ce-a a unui poligon regulat
circumscris,având același număr infinit de laturi. Ei
credeau că problema cvadraturii cercului se poate
rezolva prin metodă gramică, adică prin trasarea unor
curbe mai complicate decât cercul. Printre greci care
au căutat să rezolve cvadratura cercului și să afle
valoarea lui Pi se număra Hipocrat din Chios (secolul
V i. Chr.) , care s-a folosit de arile limitate de doua
arce de cerc având aceleași extremităti și a căror
convexitate sunt situate de aceeași parte, figura
geometrică plană numită “lunula”. Dinostrat (sec. IV.
î. Chr.), fostul elev a lui Platon, s-a folosit de o curbă
ajutătoare,cunoscută azi în geometrie de “cvadricea
lui Dinostrat”, iar Arhimede din Siracuza (287-212 î.
Chr.), în lucrarea sa “Despre masurarea cercului”, a
găsit valoarea lui Pi ca fiind cuprinsă între 3,141606 și
3,141590, valoarea cea mai apropiată de cea reală
fiind 3,1416, care este și astăzi folosită de către
matematicieni. Valori apropiate de cele obținute de
Arhimede au găsit și Claudiu Ptolomeu și Heron din
Alexandria. Cel dintîi grec care a popularizat
problema cvadraturii cercului,ridiculizând-o, a fost
scriitorul Aristofan (sex V. î. Char.),în comedia sa
“Păsările”.
În general romanii au folosit pentru Pi
valoarea dată de Arhimede, în schimb
indienii foloseau pentru raportul dintre
lungimea cercului și diametrului sau
valoarea de 3,0625. La începutul Evului
Mediu, matematicianul arab Mahomed ben
Musa (sec IX), în lucrarea sa “Algebra”,
dădea pentru Pi aceeași valoare ca și
Arhimede , afirmând că “Procedeul cel mai
bun este sa înmulțim diametrul cu 3 1/7.
Acesta este mijlocul cel mai rapid și cel mai
ușor. Mai mult știe Dumnezeu!” . În secolul
VI d. Chr. , renumitul matematician indian
Aria-Bahata a dat pentru Pi valoarea de
3,1416, plecând de la un hexagon înscris
într-un cerc, căruia i-a dublat succesiv
laturile până la un poligon cu 384 de laturi.
Apoi, considerând că perimetrul unui poligon
cu un număr de laturi se apropie de
lungimea circumferinței în care se înscrie
acel poligon, a calculat acest perimetru, pe
care l-a împărțit apoi la diametrul său.
Un alt matematician indian, Bhaskara
înteleptul, care a trăit în secolul al XII-lea, a dat
pentru Pi valoarea de 3,1416, folosind același
procedeu de calcul aplicat de Arhimede. Marele
învățat uzbec Djemsid-ben Masud ed-Din al-
Casi, care a trăit în jurul anului 1400,primul
director al observatorului astronomic de lângă
Samarkand, a scris o carte intitulată “învățătura
despre cerc” în care a calculat raportul dintre
lungimea circumferiței și raza servindu-se de un
poligon regulat cu 800.335.168 de laturi,
obținând pentru Pi urmatoarea valoare, cu 16
zecimale, 3,141.592.653.589.793.2… rezultat
surprinzător de exact.
Matematicianul olandez Ludolph van Keulen
(1540-1610) din Leyda, a obținut, in 1596,
valoarea lui Pi cu 35 de zecimale, număr care a
fost agravat pe mormântul lui,germanii numind
și astăzi simbolul Pi număr ludolphian.
Un alt matematician indian, Bhaskara
înteleptul, care a trăit în secolul al XII-lea, a dat
pentru Pi valoarea de 3,1416, folosind același
procedeu de calcul aplicat de Arhimede. Marele
învățat uzbec Djemsid-ben Masud ed-Din al-
Casi, care a trăit în jurul anului 1400,primul
director al observatorului astronomic de lângă
Samarkand, a scris o carte intitulată “învățătura
despre cerc” în care a calculat raportul dintre
lungimea circumferiței și raza servindu-se de un
poligon regulat cu 800.335.168 de laturi,
obținând pentru Pi urmatoarea valoare, cu 16
zecimale, 3,141.592.653.589.793.2… rezultat
surprinzător de exact.
Matematicianul olandez Ludolph van Keulen
(1540-1610) din Leyda, a obținut, in 1596,
valoarea lui Pi cu 35 de zecimale, număr care a
fost agravat pe mormântul lui,germanii numind
și astăzi simbolul Pi număr ludolphian.
În Europa medievală,problema cvadraturii cercului i-a
preocupat mai puțin pe matematicieni,acest lucru fiind
prezentat ca având ceva mistic, ca un fel de piatră filosofală a
matematicienilor , cel care ar fi putut rezolva această problema
ar fi putut sa înțeleagă o mulțime de lucruri tainice despre
lume și viață. În timpul Renașterii,unii matematicieni au
încercat să-I combată pe vechii greci,care au susținut că
această problemă a cvadraturii cercului nu s-ar putea rezolva ,
deși toată lumea știe că nici una din valorile date lui Pi nu este
exactă, din moment ce ele se bazează pe perimetrele unor
poligoane, și nu pe circumferința certului. Lipsa soluției la
această problemă a făcut ca orice acțiune de orice natură, grea
și încurcantă, căreia nu i se întrevedea o soluție să fie numită
în literatură, ca fiind o adevarată cvadratura a cercului.
Matematicianul și astronomul olandez Cristiaan Huygens
(1629-1695) a publicat in 1651 lucrarea “Teoreme asupra
cvadraturii hiperbolei, elipsei și cercului din datele proporțiilor
centrului de greutate”, iar în 1654 “Despre aflarea marimii
cercului”, în care, folosind aceeași metodă a perimetrelor, a
determinat valoarea lui Pi, el fiind ultimul care a mai folosit
metoda perimetrelor pentru determinarea valorii Pi. După el,
matematicienii nu au mai folosit metode geometrice, ci analitice
pentru aflarea valorii Pi, așa cum a facut matematicianul francez
Francois Viete (1540-1603), care, în anul 1593, a scos lucrarea
“Opt cărți despre raspunsuri la diferite probleme”, în care a
demonstrat că raportul dintre aria pătratului înscris în cerc și
aria cercului se poate exprima printr-un produs cu un număr
infinit de factori.
Matematicianul și filosoful englez Thomas Hobbes (1588-1679) a încercat să
rezolve problema cvadraturii cercului, dar după mulți ani de muncă rezultatul la
care a ajuns a fost total eronat,lucru demonstrat de distinstul matematician
englez John Wallis (1616-1703), care a polemizat cu Hobbes o perioadă de timp,
demonstrându-i că s-a înșelat. În cele din urma, Hobbes i-a scris lui Wallis : “Sau
eu singur sînt nebun, sau ei toți (profesorii de matematică) și-au pierdut mințile;
nu văd o părere de mijloc – doar dacă nu va veni altcineva care să spună că toți
am înnebunit”. Wallis i-a dat replica,scriindu-i: “Afirmația d-lui Hobbes nu poate fi
combătută. Pentru că daca el ar fi nebun,ar fi extrem de improbabil să fie convins
prin rațiune de acest lucru; pe de altaparte, dacă noi toți am fi cei nebuni, n-am
avea calificarea necesară pentru a încerca să o facem”. Duelul verbal dintre ei a
continuat până la moartea lui Hobbes, la vârsta de 91 de ani. În unul din ultimele
sale atacuri,Hobbes scria despre afirmațile lui Wallis: “Tot ce ați spus până acum
este eroare și răutate; astfel spus,, vânt rău mirositor, asemenea celui lansat de
o mirtoagă cu burta prea plină atunci când este înseuată”. Despre Hobbes s-a
spus că reprezintă cazul clasic al omului de geniu care se aventurează într-o
ramură a științei pentru care nu era bine pregătit și care și-a cheltuit cea mai
mare parte din energia sa creatoare în tot felul de absurdității pseudoștiințifice.
În secolul al XVIII-lea, Johann Lambert (1728-1777) a reușit să soluționeze una din problemele
legate de numărul Pi, arătând că aceasta este un număr irațional,sau, cu alte cuvinte, că el nu se
poate exprima sub forma unui număr zecimal finit și că nici nu are vreun grup de zecimale care să se
repete, adică să poată fi scris sub formă de fracție zecimală periodică. Mai târziu in 1882,
matematicianul german Ferdinand Lindemann (1852-1939) a demostrat că problema găsirii
cvadraturii cercului nu poate fi rezolvată, pentru Pi face parte din clasa numerelor trascendente, care
nu pot fi rădăcini ale unor ecuații algebrice cu coeficienți întregi. Ori, pentru a construi o linie cu rigla
și compasul trebuie ca lungimea respectivei linii să fie rădăcina unei ecuații algebrice cu coeficienți
întregi. Din moment ce Pi este transcendent, el nu poate fi o astfel de rădăcină și, că atare, găsirea
cvadraturii cercului este imposibilă.
La sfârșitul secolului al XIX-lea, numeroși matematicieni au căutat să calculeze, cu creionul și
hârtia în față, cât mai multe zecimale pentru Pi. Cel mai neobosit calculator s-a dovedit
matematicianul englez William Shanks, care, de-a lungul a peste 20 de ani, a reușit să calculeze 707
zecimale, numai că, după inventarea calculatorului, în 1945, s-a constatat că Shanks greșise ce-a de-a
528-a zecimală, iar toate celelante care urmau erau și ele,evident,eronate.
În anul 1945,folosindu-se calculatorul ENIAC, s-au obținut nu mai puțin de 2.000 de zecimale,
în numai 70 de ore. Mai târziu, un alt calculator, mai performant, a obținut 3.000 de zecimale în numai
13 minute ! în 1959, cu ajutorul unor calculatoare franceze și engleze s-a ajuns la performanța de
10.000 de zecimale, iar la 29 iulie 1961, un calculator IMB 7090 Data Center, din New York, a calculat
pentru Pi 100.265 de zecimale, după 8 ore și 1 minut, și după alte 42 de minute pentru a transforma
rezultatul binar in formă zecimală.
Din revista “Science et Vie” aflăm că la centrul de calcul al Universității
din Tokyo, cercetătorul japonez Yasumara Kanada a lucrat la 1024 de
microprocesoare montate în paralel, timp de 10 ore, pentru a-l cunoaște mai
bine pe Pi. La sfarșitul acestui efort deosebit, matematicianul a aflat pentru
Pi 51 de miliarde de zecimale, fără să găsească o anumită regulă matematică
în însușirea acestor cifre, deși există și grupe de cifre care se repetă, astfel
fiind grupuri de 7777 și chiar un neașteptat 999999, dar ele sunt total
întâmplătoare. Scriind despre faptul că astăzi calculatoarele pot obține
pentru Pi câteva mii de zecimale în mod obișnuit, Philip j. Davis scrie în cartea
sa “Legendele numeroaselor mări “, ca o asemenea operație a devenit un fel
de “gărgară cu ajutorul căreia mașinile de calcul îș curăță gâtul”.
1. “Dar o știm, e număr important ce trebuie iubit
Din toate numerele inseminate diamante neasemuit,
Cei ce vor temeinic asta preui
Ei veșnic bine vor trăi”
2. “Sus e luna;
O zeiță fermecată,
Ca nebuna
Peste ape trece supărată.
Cântecele toamnei parfumate
Mor de dor;
Legănate ușor
Visuri de iubire
Spre cer zbor”
Pentru memorarea mai facilă a cat mai multor zecimale ale numărului Pi s-au înlocuit, in
diferite limbi, tot felul de fraze,zicale,poezioare etc. ușor de memorat și care dau, prin numărul
de litere ale cuvintelor, luate în ordine,cifrele zecimale respective. În Limba Română propoziția
“Așa e ușor a scrie renumitul și utilul număr” da valoarea lui Pi cu 8 zecimale, în germană este
un catren care dă 23 zecimale, iar in limba franceză, 4 versuri alexandrine dau primele 30 de
zecimale ale numarului Pi. Acesta este aproape recordul absolut, pentru că mai departe nu se
mai poate deoarece a 32-a zecimala e…. zero!
În Limba Română performanța este de 25 de zecimale, dată de urmatoarele doua poezii:
Deși este studiat de mai bine de 5.000
de ani, nici astăzi numărul Pi nu este cunoscut
îndeajuns, el continuînd să fie un număr
ciudat,care iși păstrează tainele și poate să ne
rezerve înca multe surprize.
http://www.almeea.com/misteriosul-numar-pi/ Istoria Matematicii de N. Mihăileanu Istoria matematicii de Descartes până la mijlocul secolului al XIX-lea – H.
Wieleitner.