Mintázatképződés gerjesztett szemcsés anyagban:

KlasztereződésKlasztereződés

Bordács Sándor

TartalomTartalom

• Bevezető

• Klaszterképződés

• Maxwell-démon kísérlet

• Urna modell, Egger fluxus modellje

• „Hirtelen összeomlás”

• Granuláris szökőkút és szemcsés „racsni”

• Többkomponensű rendszerek

BevezetőBevezetőMintázatképződés nemegyensúlyi rendszerekben

Hullámfodrok(állandó szél vagy vízmozgás)

Rayleigh-Bénard konvekciók(hőmérséklet különbség)

Klasztereződés jelenségeKlasztereződés jelenségeKlasztereződés: gerjesztett (pl.:rázás) szemcsés rendszerekben itt-ott összesűrűsödnek a részecskék

I. Goldhirsch and G. Zanetti, PRL 70, 1619 (1993).

Magyarázat: • a szemcsés anyagok inelasztikus gázként kezelhetőek• a rendszerben sűrűség fluktuációk vannak• a nagyobb sűrűségű térrészekben gyorsabban disszipálódik a részecskék mozgási energiája• a ritkább részből érkező, gyorsabb részecskék a sűrűsődésekhez érve gyorsan elvesztik mozgási energiájukat, így azok tovább sűrűsödnek

Motiváció: szállítószallag, osztályozógép

Maxwell-démon kísérletMaxwell-démon kísérlet

H.J. Schlichting and V. Nordmeier, Math. Naturwiss. Unterr. 49, 323 (1996).

Maxwell-démon kísérletMaxwell-démon kísérlet

• Erős rázás egyforma sűrűség mindkét oldalon• Gyenge rázás spontán tükrözési szimmetria sértés

Maxwell-démon: olyan lény, aki két tartályban egyensúlyban lévő gázokat összekötő nyílásnál a „meleg” és „hideg” részecskéket szétvállogatva hőmérséklet különbséget idéz elő

Granuláris gázRázás Ütközések

TartalomTartalom

• Bevezető

• Klaszterképződés

• Maxwell-démon kísérlet

• Urna modell, Egger fluxus modellje

• „Hirtelen összeomlás”

• Granuláris szökőkút és szemcsés „racsni”

• Többkomponensű rendszerek

Modell:Legyen 2 urna NTot golyóval, adott valószínűséggel átteszek egy véletlenszerüen kiválasztott részecskét

Feltevések:• a granuláris hőmérséklet: T(nk)=T0+(1-nk)Δ ahol nk=Nk/NTot

• igaz a barometrikus magasság formula

Részecskeáram:

Dinamikai egyenlet:

Urna modellUrna modell

A. Lipowski and M. Droz, PR E 65, 031307 (2002)

11 1( ) (1 )

dnn n

dt

1/ ( )( ) kT nk kn n e

Urna modellUrna modellAszimmetria paraméter:

Az urna modell fázisdiagramja:

1 2( ) / 2 TotN N N

I, III, IV régiókban a szimmetrikus megoldás stabil II, III, IV részeken az aszimetrikus stabil megoldás

0 0

Vasvilla bifurkáció, β=1/2 kritikus exponenssel

γ=1, átlagtér eredmények(Részecskeáram fluktuációit elhagytuk)

2( )TotN

Urna modellUrna modellAszimmetria paraméter:

Az urna modell fázisdiagramja:

1 2( ) / 2 TotN N N

I, III, IV régiókban a szimmetrikus megoldás stabil II, III, IV részeken az aszimetrikus stabil megoldás

0 0

Hiszterézis, Elsőrendű fázisátalakulás(I II másodrendű)Kísérletekben nem figyelték meg

A modell:• 2D számolás• a két rész között h magasságban egy S vastagságú rés van• a rázás a amplitúdójú f frekvenciájú fűrészfog jellel zajlik

•

•

Egger fluxus modelljeEgger fluxus modellje

A fluxus NEM monoton függvénye a részecske számnak klasztereződés

B J J B Dinamikus egyensúly feltétele:

21

2k kT v

/( ) kgz Tkk

k

gNn z e

T L

J. Eggers, PRL 83, 5322 (1999)

Egger fluxus modelljeEgger fluxus modellje22( ) ( ) / 2 kBn

k k k kn n h S T An e

2

2( )TothN

Baf

B 0 (elasztikus eset) határesetben monoton a fluxusB-t növelve maximuma lesz a fluxusnak

Dinamikai egyenlet:

B változtatásával bifurkációk jelennek megaz aszimmetria paraméterbenβ=1/2

11 1( ) (1 )

dnn n

dt

Többrekeszes rendszerekTöbbrekeszes rendszerek• 3D számolás, több rekeszre a fluxus modell alapján• A fluxus kifejezése hasonló marad csak A, B paraméterek változnak kicsit

• dinamikai egyenlet:

• általában ciklikus elrendezést használnak, de ez csak a számértékeket befolyásolja, új viselkedést nem ad

1 1( ) 2 ( ) ( )kk k k

dnn n n

dt

K. van der Weele et al., Europhys Lett. 53, 328 (2001)

Többrekeszes rendszerekTöbbrekeszes rendszerekValódi kísérletek kezdeti feltételek szerint osztályozva:• egyenletes eloszlás (1/3|1/3|1/3) × egy teli rekesz (pl.: 0|1|0)

3 rekesz esetén kettős hurok bifurkáció, elsőrendű fázisátalakulást mutat a rendszer (~Potts model K=2, K≥3)

5 rekesz: elsőrendű fázisátalakulásEgyensúly: vagy szimmetrikus vagy teljesen antiszimmetrikus (K rekeszre is igaz)

Klaszter összeomlásKlaszter összeomlás

D. van der Meer et al., PRL 88, 174302 (2002)

B >~ 1, egyenletes eloszlással induló rendszer, instabil köztesállapoton keresztül jut a stabil állapotba

A kezdeti klaszter sokáig erősebb rázás (B = 0,33) hatására sem bomlik fel, majd hirtelen összeomlik

Összeomló klaszter szétterülése:• kísérletek szerint az eloszlás függvény szélessége ~ t1/3

• szokásos diffúziós modellek ~ t1/2

Dinamikai egyenlet:

Kontinum eset:

Erős rázás(B 0) esetén az egyenlet egyszerűsödik• Urna modell Φ~n diffúziós egyenletre vezet• Egger modelljében Φ~n2 kísérleteknek megfelelő 1/3 exponens

Klaszter összeomlásKlaszter összeomlás

1 1( ) 2 ( ) ( )kk k k

dnn n n

dt

( , ) ( ( , ))t xxn x t n x t

Granuláris szükőkútGranuláris szükőkútAz alsó furatnak köszönhetően a szemcsék körbe-körbe mehetnek

Az alsó résen átmenő fluxust h 0 kapjuk, Ψ~n2

Dinamikai egyenlet:

Kettőshurok bifurkáció jelenik meg (fekete vonal kísérlet, piros/kék csillag MD szimuláció)

11 1 1 1( ) (1 ) ( ) (1 )

dnn n n n

dt

„„Szemcsés racsni”Szemcsés racsni”Részecske transzport a Maxwell-démon segítségével

Páros vagy páratlan rekeszekre azonos egyenletKezdeti feltételekre való érzékenység (piros/kék csillag MD szimuláció)

TöbbkomponensűTöbbkomponensű rendszerekrendszerekKét különböző átmérőjű golyó (r1/r2=2)A oldal 180|200B oldal 120|400

Rázás erőssége:Erős szimmetrikus fázis

Közepes A rekeszbe sűrűsödnek, mivel a nagyobb részecskék „hűtik” a

rendszert (nagyobb tömeg és felület)

Gyenge B rekeszbe sűrűsödnek, intuitív kép: teniszlabdák pattognak

kosárlabdákon

R. Mikkelsen et al., PRL 89, 214301 (2002)

TöbbkomponensűTöbbkomponensű rendszerekrendszerekHőmérsékletet a befolyó energia áram és a disszipáció egyensúlya adja:• Visszapattanó részecske 2af-el növeli sebességét• Feltesszük, hogy a részecskék sebesség eloszlását Maxwell-eloszlással írhatjuk le

• A veszteség arányos az ütközések számával és az egy ütközés alatt el disszipált energiával

• A fluxus kifejezhetjük a részecske számokkal

D az inverz rázáserősség, Ψ a sugarak hányadosa

ÖsszefoglalásÖsszefoglalás• Szemcsés rendszerek távol az egyensúlytól hajlamosak

mintázat képzésre• Klaszteresedéshez a rugalmatlan ütközések közvetítette

disszipatív folyamatokra is szükség van• 2 (N) rekeszben lévő szemcsés anyag klasztereződését

a részecske áram nem monoton viselkedése okozza• A rekeszek közötti diffúzió 1/3 exponenssel jellemezhető• A klaszteresedés felhasználható a szemcsés anyagok

transzportjában

Köszönöm a figyelmet!