mininininiiiiiiiiiiiiiii
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA AMBIENTAL Y SANITARIA I. SUMATORIAS: Hallar una fórmula para cada una de las expresiones que se dan a continuación: 1. Jjj 2. K 3. Hh 4. ∑ ( ) = Para hallar su fórmula usaremosla siguiente identidad: − ( − ) = − ( − ) ° = ° Hallamos la siguiente identidad con el teorema del binomio ( ± ) =∑ ! ( − )! ! − = También se puede realizar los siguientes pasos: 1) La suma de los exponentes =n, es decir es de grado n. Ejemplo: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 4 a 3 b 1 →3+1=4 n=4 2) Para los hallar los exponentes. £ Mediante el símbolo del coeficiente binominal n= exponente de expansión. Índice k inferior=indica que plaza, comenzando desde k=0 hasta llegar a n. Ejemplo cuando n=5 de (a + b) 5 a 5 − k b k k=valores sucesivos desde 0 hasta 5 (a + b) 5 = a 5 + a 4 b + a 3 b 2 + a 2 b 3 + ab 4 + b 5 £ la siguiente expresión (a + b) 5 → ′′ ′′ = →a 5 + a 4 + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 → ′′ ′′ = → b 0 + b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 (a + b) 5 =a 5 + a 4 b + a 3 b 2 + a 2 b 3 + ab 4 + b 5 3) Para hallarlos coeficientes: £ Usamos el triángulo de pascal Son simétricos:1 4 6 4 1
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FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERA
ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA AMBIENTAL Y SANITARIA
I. SUMATORIAS:
Hallar una frmula para cada una de las expresiones que se dan a continuacin:
1. Jjj
2. K
3. Hh
4. ()= Para hallar su frmula usaremosla siguiente identidad:
( ) = ( )
=
Hallamos la siguiente identidad con el teorema del binomio
( ) = !
( )! !
=
Tambin se puede realizar los siguientes pasos:
1) La suma de los exponentes =n, es decir es de grado n.
Ejemplo:
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
4 a3b13+1=4 n=4 2) Para los hallar los exponentes.
Mediante el smbolo del coeficiente binominal
n= exponente de expansin.
ndice k inferior=indica que plaza, comenzando desde k=0 hasta llegar
a n.
Ejemplo cuando n=5 de (a + b)5
a5 kbk
k=valores sucesivos desde 0 hasta 5
(a + b)5 = a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5
la siguiente expresin
(a + b)5 = a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0
= b0+ b1 + b2 + b3 + b4 + b5
(a + b)5 =a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5 3) Para hallarlos coeficientes:
Usamos el tringulo de pascal
Son simtricos:1 4 6 4 1
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Usamos el coeficiente binominal (nmeros combinatorios)del teorema de
combinacin de numerosnCk
= nCk
(a + b)5=a5 +a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5
(a + b)5=a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
( )15 =a15 - 15a14b + 105a13b2 - 455a12b3+ 1365a11b4- 3003a10b5+ 5005a9b6-6435 a8b7
+ 6435a7b8- 5005a6b9+ 3003a5b10- 1365a4b11 + 455a3b12-105a2b12 + 15ab14 - b15
( 1)15 = 15 1514 + 10513 45512 + 136511 300310 + 50059 64358 + 64357
50056 + 30035 13654 + 4553 1052 + 15 1
Reemplazando (i 1)15 en el segundo miembro
( ) = ( )
( )
= (15 1514 + 13 45512 + 11 300310 + 9 64358
+ 64357 50056 + 30035 13654 + 4553 1052 + 15 1)
( )
= 15 + 1514 13 + 45512 11 + 300310 9 + 64358
64357 + 50056 30035 + 13654 4553 + 1052 15 + 1)
i15 (i 1)15
= 1514 13 + 45512 11 + 300310 9 + 64358 64357 + 50056
30035 + 13654 4553 + 1052 15 + 1)
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Aplicando sumatoria a ambos miembros
[15 ( 1)15] =
=
= [1514 13 + 45512 11 + 300310 9 + 64358 64357
=
+ 50056 30035 + 13654 4553 + 1052 15 + 1]
Aplicando la 1era Regla Telescpica en el 1 miembro:
[() ( )]
=
= () ()
Sea:() = ; ( ) = ( 1)15
() = ; () =
[() ( )] =
=
Reemplazamos el valor del 1miembro
[ ( )]
=
= =
= [1514 13 + 45512 11 + 300310 9 + 64358
=
64357 + 50056 30035 + 13654 4553 + 1052 15 + 1]
Hallamos la sumatoria en el segundo miembro por propiedad 3 y 4.
propiedad 3 = cf(i) =ni=1 c f(i)ni=1
propiedad 4 = [f(i) g(i)] =ni=1 f(i)ni=1 g(i)
ni=1
= ()
=
() +
=
() ()
=
+ ()
=
()
=
+ ()
=
=
()
=
+ ()
=
()
=
+ ()
=
()
=
+ ()
=
()
=
+
Reemplazando los valores de cada sumatoria con a formula que ya tenemos
()= = (++++
)
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()= =(++++
)
()= = (++++
)
()= =(++++
)
()= =(+++
) +
()= =(+++
)
()= =(+++
)
()= =(++
)
()= =(++
) +
()= =(++
)
()= =(++
) +
()= = (++
)
()= =(+
) +
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= ()
=
( + + + +
)
+ ( + + + +
)
( + + + +
)
+ ( + + + +
)
( + + +
)
+ ( + + +
)
( + + +
) + (
+ +
)
( + +
) + (
+ +
) ( + +
)
+ ( + +
) (
+
) +
= ()
=
( + + + +
)
+ ( + + + +
)
( + + + +
)
+ ( + + + +
)
( + + +
)
+ ( + + +
)
( + + +
) + (
+ +
)
( + +
) + (
+ +
) ( + +
)
+ ( + +
) (
+
) +
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= ()
=
+ (
) [( + + +
+ )
+ ( + + + +
) ( + + + +)
+ ( + + + + )
( + + + )
+ ( + + + )
( + + + ) + ( + + + )
( + + ) + ( + + )
( + + ) + ( + + ) ( + ) + ]
= ()
=
+ (
) [ + +
+ + + + +
+
+ + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + + + ]
= ()
=
+ (
) [ + +
+ + + + +
+ +
+ + + +
+ + +
+ + + +
+ +
+ + +
+ + + +
+ + + + ]
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()
=
= ( + + +
)
()
=
= + + + +
()
=
= + + + + +
()
()
=
= + + + + +
Rta: ()= =+++++
15. (1/ + 1/)=
(1) ==
1
: 1
= 1
(1) == 1
(1/) == (1
)
(1/)= = (1
)
Rta: (1/ + 1/)= = (1) +
(1)
II. REAS USANDO SUMATORIAS:
1. Hallar el rea formada por =16
2+1 , el eje desde [6,6]
Tabulamos para hallar el grafico
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III. REAS USANDO INTEGRALES SIMPLES:
1. Hallar el rea formada por =16
2+1 , el eje desde [6,6]
Tabulamos para hallar el grafico
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SOLUCIN:
Para el grfico:
La nica restriccin de la funcin sera:
2 + 1 0
2 1
Y pues siendo una funcin cuadrada nunca llegara a ser negativa
Los intervalos son
[, ]=[6,0] [0,6]=2[6,0]
Para hallar el rea integraremos la funcin:
(16
2 + 1)
+ (16
2 + 1)
= 2 (16
2 + 1)
Empecemos por:
(16
2 + 1)
Para ello usamos sustitucin trigonomtrica:
Teniendo de la forma :2 + 2 = (2 + 12) ,
usaremos: = tan
En ese caso tenemos:
= tan = tan1()
= (sec )2
cos =1
2 + 1
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(cos )2 =1
2 + 1
Entonces aplicamos:
16 (1
2 + 1)
16 (cos )2(sec )2
16 (cos )2(1 + tan 2)
16 (cos )2 + (cos )2(tan )2
16 (cos )2 + (sin )2
16 (1), reemplazando el valor de
16() = 16 arctan()
16
2 + 1 = 16 arctan()
Entonces aplicamos a la integral:
(16
2 + 1)
16 [arctan()]60
16 [arctan(0) arctan(6)]
16 [0 (80,53
180)]
16 [0 (80,53
180)]
16 [1,405]2
(16
2 + 1)
= 22,482
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(16
2 + 1)
Luego multiplicamos (x2)ala integral ya que son simtricos.:
(16
2 + 1)
2(22,48) 2 = 44.96
= 44.96
2. Hallar el rea de la regin limitada por y = x4 36x2 , x2 + y2 = 121
x y
-11.00000 10285.0000
-10.00000 6400.00000
-9.00000 3645.00000
-8.00000 1792.00000
-7.00000 637.00000
-6.00000 0.00000
-5.00000 -275.00000
-4.00000 -320.00000
-3.00000 -243.00000
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-2.00000 -128.00000
-1.00000 -35.00000
0.00000 0.00000
1.00000 -35.00000
2.00000 -128.00000
3.00000 -243.00000
4.00000 -320.00000
5.00000 -275.00000
6.00000 0.00000
7.00000 637.00000
8.00000 1792.00000
9.00000 3645.00000
10.00000 6400.00000
11.00000 10285.0000
x y
-11.00000 0.00000
-10.00000 4.58258
-9.00000 6.32456
-8.00000 7.54983
-7.00000 8.48528
-6.00000 9.21954
-5.00000 9.79796
-4.00000 10.24695
-3.00000 10.58301
-2.00000 10.81665
-1.00000 10.95445
0.00000 11.00000
1.00000 10.95445
2.00000 10.81665
3.00000 10.58301
4.00000 10.24695
5.00000 9.79796
6.00000 9.21954
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7.00000 8.48528
8.00000 7.54983
9.00000 6.32456
10.00000 4.58258
11.00000 0.00000
= + =
1. Hallando los puntos de: = Primero factorizamos
( ) =
= =
= ( )
= ( )( + )
=
= [; ]
1. Despejando y de 2 + 2 = 121 2 + 2 = 121
2 = 121 2
= 121 2
2. Hallando los puntos de: = 121 2
= 121 2
0 = 121 2
= 121 2 0
= ( 11)( + 11) 0
= ( 11)( + 11) 0
= [11; 11]
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Hallando los puntos de interseccinde = y + =
Hacemso por sustitucionn ya que tenemos el valor de y
+ =
+ ( ) =
+ ( ) =
+ ( ) =
Igualamos ambas funciones para saber cules son los puntos que tienen en
comn. Entonces:
El primer punto en comn ser: (, ; , )
El segundo punto en comn ser: (, ; , )
